ANÁLISE DE DESEMPENHO DOS FUNDOS DE INVESTIMENTO EM AÇÕES BRASILEIROS NO PERÍODO DE JANEIRO DE 1997 A OUTUBRO DE 2006

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1 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA BRASILEIRA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA E DE EMPRESAS CURSO DE MESTRADO EXECUTIVO EM GESTÃO EMPRESARIAL ANÁLISE DE DESEMPENHO DOS FUNDOS DE INVESTIMENTO EM AÇÕES BRASILEIROS NO PERÍODO DE JANEIRO DE 1997 A OUTUBRO DE 2006 Mestrando: Fernando Galvão Egea Orientador: Prof. Dr. Rogério Sobreira Dissertação apresentada à EBAPE Escola Brasileira de Administração Pública e de Empresas da Fundação Getúlio Vargas como requisito para obtenção do título de Mestre em Administração. Rio de Janeiro Janeiro/2008

2 FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS ESCOLA BRASILEIRA DE ADMINISTRAÇÃO PÚBLICA E DE EMPRESAS CENTRO DE FORMAÇÃO ACADÊMICA E PESQUISA CURSO DE MESTRADO EXECUTIVO EM GESTÃO EMPRESARIAL TÍTULO ANÁLISE DE DESEMPENHO DOS FUNDOS DE INVESTIMENTO EM AÇÕES BRASILEIROS NO PERÍODO DE JANEIRO DE 1997 A OUTUBRO DE 2006 DISSERTAÇÃO DE MESTRADO APRESENTADA POR: FERNANDO GALVÃO EGEA APROVADA EM / / PELA COMISSÃO EXAMINADORA: Prof. Dr. Rogério Sobreira Doutor em Economia (IE-UFRJ) Prof. Dr. Luiz Fernando Cerqueira Doutor em Economia (IE-UFRJ) Prof. Dr. Istvan Karoly Kasznar PhD em Business Administration pela Califórnia Coast University (EUA)

3 Resumo Esta pesquisa analisou a qualidade da gestão dos fundos de ações brasileiros através da análise do desempenho obtido por eles no período de janeiro de 1997 a outubro de A análise foi feita com base na Teoria Moderna das Carteiras. Ela analisou também a aplicação dos critérios de desempenho na medida do desempenho deles. A amostra de 21 fundos foi selecionada do universo composto pelos 126 maiores fundos de aços Brasileiros. Os seguintes critérios de desempenho foram calculados a partir das cotas mensais dos fundos: retorno absoluto, retorno Médio Mensal, Índice de Jensen, Índice de Treynor, Índice de Sharpe, Índice de Sortino, capacidade de prever os movimentos do mercad (Market Timing) e o Erro Quadrático Médio. A análise dos dados começou com a classificação dos fundos de acordo com os tipos ANBID, pois os objetivos e as limitações dos fundos da amostra não eram homogêneos. Posteriormente, os resultados obtidos nas medições de desempenho foram ordenados em rankings e analisados. Dez dos 21 fundos da amostra, todos ativos, tiveram desempenho superior ao mercado (representado pelo ) nos critérios do retorno médio mensal e nos Índices de Jensen, Treynor, Sortino e Sharpe. De acordo com o CAPM, esses gestores devem ter compilado as informações disponíveis de uma forma superior, e por isso, conseguiram um desempenho superior ao mercado. Os seis fundos da categoria INDEXADO ficaram com as seis primeiras posições na calcificação pelo Erro Quadrático Médio, o que já era esperado, pois a missão desses fundos é reproduzir o retorno do índice. Nenhum dos gestores dos 21 fundos demonstrou ter capacidade de prever o movimento do mercado (Market Timing), ao nível de significância de 5%, e movimentar o beta de sua carteira na direção correta a fim de maximizar o retorno do investidor. Palavras-chave: fundos de Investimento; fundos de ações; Jensen; Treynor; Sharpe; Sortino; EQM; erro quadrático médio.

4 Abstract This research evaluated the quality of the management of Brazilian stock funds on the period from January 1997 to October The analysis was based on the Modern Portfolio Theory measures of performance. In addition, this research evaluated the relevance of the performance measures The sample with 21 funds was extracted from the 126 largest Brasilian stock options funds because they were the only with quotas on the whole period. The monthly mean rate of return and the following indexes were calculated: total return, mean monthly return, Jensen Index, Treynor Index, Sharpe Index, Sortino Index, Market Timing and the Mean Quadratic Error. The initial analysis showed that the funds in the sample had different objectives and limitations. To make valuable comparisons, the ANBID (National Association of Investment Banks) categories were used to classify the funds. The measured results were ranked. The positions of the funds on the rankings based on the mean monthly return and the indexes of Jensen, Treynor, Sortino and Sharpe were similar. All of the ten ACTIVE funds of this research were above the benchmark ( index) in the measures above. Based on the CAPM, the managers of these funds got superior performance because they might have compiled the available information in a superior way. The six funds belonging to the ANBID classification of INDEXED got the first six positions in the ranking based on the Mean Quadratic Error. None of the researched funds have shown market timing skills to move the beta of their portfolios in the right direction to take the benefit of the market movements, at the significance level of 5%. Key Words: mutual funds; stock funds; Jensen; Treynor; Sharpe; Sortino; MQE; mean quadratic error; performance.

5 Índice 1. INTRODUÇÃO A TEORIA MODERNA DAS CARTEIRAS A Origem da Teoria Moderna das Carteiras Taxa de Retorno de uma Carteira de Investimentos Curvas de Indiferença Insaciabilidade dos Retornos e da Aversão ao risco Conceitos de Retorno e Risco A Fronteira Eficiente Modelo de Mercado de um Índice Único Modelo de Índice Único Aplicado a um Ativo Modelo de Índice Único aplicado a uma Carteira Efeito da Diversificação sobre o Risco de uma Carteira Ativo Livre de Risco Definição do Ativo Livre de Risco Investindo em um Ativo Livre de Risco e em um Ativo com Risco Investindo em Ativo Livre de Risco e em uma Carteira com Risco Tomando Emprestado e Emprestando a Taxa Livre de Risco, e investindo em um Ativo com Risco O Modelo de Precificação de Ativos CAPM Pressupostos do CAPM O Teorema da Separação A Carteira de Mercado (The Market Portfolio) Linha Principal do Mercado (CML Capital Market Line) Linha de Mercado dos Títulos (SML - Security Market Line) O Risco de um ativo no CAPM A Avaliação de Desempenho de uma Carteira Fazendo Comparações Relevantes Cálculo da Taxa de Retorno de uma Carteira Comparações Diretas Medições de Desempenho Baseadas no CAPM Índice de Jensen Índice de Treynor Índice de Sharpe Índice de Sortino Previsão dos Movimentos do Mercado (Market Timing) Medições de Desempenho sem o CAPM Erro Quadrático Médio METODOLOGIA Objetivos Objetivo Geral Objetivos Específicos Tipo de Pesquisa O TRATAMENTO DOS DADOS...42

6 4.1 A Coleta dos dados O Universo A População A Amostra Cálculo dos Critérios de Desempenho e Análise dos Resultados A Classificação dos Fundos pelo Critério da ANBID Análise dos Resultados Retorno Absoluto Retorno Médio Mensal Índice de Jensen Índice de Treynor Índice de Sharpe: Previsão dos Movimentos do Mercado (Market Timing) Erro Quadrático Médio CONCLUSÃO REFERÊNCIAS.77 ANEXO I OS 126 FUNDOS DE AÇÕES...80 ANEXO II COTAS MENSAIS DA AMOSTRA...81 ANEXO III REGRESSÕES LINEAR E POLINOMIAL...85

7 1 1. Introdução A redução gradual da taxa dos juros básicos do mercado brasileiro, a taxa SELIC (Sistema Especial de Liquidação e de Custódia), tem gerando um aumento no interesse do pequeno investidor pelo mercado de renda variável. Ele tem ingressado nesse mercado através da compra direta de ações, ou através da compra de cotas de fundos de ações, e por isso, agora passou a se preocupar com a qualidade da gestão destes fundos. Para avaliar a qualidade da gestão de um fundo de ações é necessário saber inicialmente o que o investidor deseja do fundo. A resposta, é que ele deseja que o retorno seja adequado ao nível de risco que ele está correndo, e principalmente, que ele seja previsível. Em outras palavras, o investidor quer retorno com consistência. Assim sendo, para analisar a qualidade da gestão dos fundos de investimentos são necessários os dados históricos de um longo período de tempo. Esta pesquisa avaliou a qualidade da gestão dos fundos de ações brasileiros através da análise do desempenho obtido por eles no período de janeiro de 1997 a outubro de A Comissão de Valores Mobiliários (CVM), órgão do governo brasileiro cuja principal meta é a proteção do investidor, define, através da Instrução n. 409, de 18 de Agosto de 2004, o que vem a ser um fundo de investimento: uma comunhão de recursos, constituída sob a forma de condomínio, destinado à aplicação em títulos e valores mobiliários, bem como em quaisquer outros ativos disponíveis no mercado financeiro e de capitais". Através dos fundos, os pequenos investidores têm acesso a melhores condições de mercado, menores custos e contam com gestão profissional, colocando-se em igualdade de condições com os grandes investidores. Além disso, devido ao grande volume de recursos reunidos nos fundos, o pequeno investidor consegue diversificar seus investimentos, diluindo seu risco e aumentando seu potencial de retorno. Os fundos de investimentos existem desde o século XIX. O primeiro deles surgiu na Bélgica e, posteriormente, também foram criados na Holanda,

8 2 França e Inglaterra. Nos Estados Unidos, o primeiro fundo mútuo iniciou suas operações em 1924 e existe até hoje. No Brasil, o primeiro fundo iniciou suas atividades em De acordo com o informe mensal da CVM, em outubro de 2006, havia fundos de investimento registrados na instituição, totalizando um patrimônio líquido de R$ 902,8 milhões trilhão e 11,1 milhões de cotistas. A maioria desses fundos é gerida por instituições financeiras, que empregam gestores profissionais, que tomam as decisões de investimento em nome dos cotistas, com o objetivo de atingir as metas pré-estabelecidas, respeitando as limitações expressas na política de investimento dos fundos. A avaliação do desempenho das carteiras formadas por esses gestores é de suma importância para o investidor na hora de selecionar um ou mais fundos onde vai investir seus recursos. Uma vez feito o investimento, ele precisa acompanhar o trabalho realizado pelo gestor, avaliando quão bem o fundo está operando em relação a outros fundos e em relação aos índices de mercado. O investidor também precisa compreender os riscos que está correndo e se certificar que o administrador está seguindo as políticas gerais do fundo. A avaliação de desempenho também é importante para que as instituições financeiras possam avaliar o desempenho dos gestores profissionais contratados por elas. Finalmente, a avaliação de desempenho é útil para que os próprios gestores acompanhem o desempenho de seus fundos e possam fazer os ajustes necessários na sua gestão. A necessidade de se desenvolver critérios adequados para a avaliação dos fundos de investimento tem gerado inúmeros trabalhos acadêmicos, patrocinados principalmente pelos fundos de pensão, que são um dos principais interessados no assunto, pois eles têm que gerir grandes volumes de recursos por longos períodos de tempo, para posteriormente, prover os benefícios contratados. Dentre os trabalhos acadêmicos, merece destaque especial o de Markowitz (1952), intitulado Portfolio Selection (do inglês, seleção de

9 3 carteiras), que é considerado o marco inicial da Teoria Moderna das Carteiras de investimento. Desde então, a avaliação de desempenho das carteiras de investimento tem evoluído substancialmente, sobretudo nas últimas décadas. Até Markowitz (1952), os investidores analisavam o risco e o retorno de cada ativo individualmente na hora de compor suas carteiras. Desta forma, eles poderiam concluir, por exemplo, que as ações das companhias de transporte ferroviário apresentavam uma boa relação de risco-retorno e, então, formariam uma carteira de investimentos somente com essas ações. Intuitivamente, percebe-se que essa não seria uma boa decisão, por colocar todos os ovos em uma única cesta. Mas foi Markowitz (1952) quem demonstrou isso. Detalhando a matemática da diversificação, ele propôs que os investidores deveriam selecionar suas carteiras de investimento baseados na relação de risco-retorno das carteiras, ao invés de selecionar ativos que individualmente possuíssem relação de risco-retorno atrativas. Utilizando a Teoria Moderna das Carteiras de Investimentos, esta pesquisa analisou os fundos de ações, um dentre os 7 tipos de fundos definidos pela Instrução 409 da CMV. Os tipos são: Fundos de Curto Prazo, Fundos Referenciados, Fundos de Renda Fixa, Fundos de Ações, Fundos Cambiais, Fundos de Dívida Externa e Fundos Multimercado. (CVM, Instrução n. 409, de 18 de Agosto de 2004). Inicialmente, esse trabalho apresenta uma revisão da literatura da Teoria Moderna das Carteiras, partindo de Markowitz, passando pela teoria de precificação de ativos CAPM, e finalmente, apresentando os critérios de medição de desempenho. A seguir, é apresentado o critério empregado para a seleção dos fundos de compuseram a amostra dessa pesquisa, e os resultados das medições de desempenho pelos critérios do retorno médio mensal, dos Índices de Jensen, Treynor, Sharpe e de Sortino, o Market Timing e pelo Erro Quadrático Médio. Finalmente, é apresentada a análise dos resultados e as conclusões, quanto a qualidade da gestão dos fundos analisados, e sobre a relevância dos critérios empregados para a medição do desempenho.

10 4 2. A Teoria Moderna das Carteiras 2.1 A Origem da Teoria Moderna das Carteiras A teoria moderna das carteiras de investimento teve início em 1952 com a publicação do artigo Portfolio Selection por Harry M. Markowitz. Nesse artigo, o autor separa o processo de seleção de carteiras em duas etapas. Na primeira, deve-se observar o comportamento do mercado para formar as expectativas dos preços futuros dos ativos. Na segunda, partindo das expectativas de retorno dos ativos, ele demonstrou geometricamente a importância da diversificação na formação das carteiras de investimento. Markowitz (1952) partiu do pressuposto que um investidor teria uma determinada quantidade de dinheiro para aplicar por um período fixo de tempo. Ao término deste período, o investidor iria consumir ou reinvestir a soma resultante do investimento (ou ambos); portanto, a abordagem de Markowitz (1952) é de um período único. Seu início foi denominado de t = 0 e seu término de t = 1. No momento t = 0 o investidor tem que escolher os ativos nos quais vai aplicar seus recursos que serão mantidos até o momento t = 1. Markowitz (1952) observou que o investidor racional não aplica todos os seus recursos no ativo com o maior retorno esperado, e demonstrou geometricamente, que além de não ser esse o comportamento do investidor médio, essa não seria uma atitude sábia, porque o investidor racional quer um alto retorno, mas, ao mesmo tempo, quer que esse retorno seja tão certo quanto possível. Portanto, o investidor racional leva em consideração dois parâmetros na hora da seleção de sua carteira de investimentos: a média e a variância do retorno esperado. Markowitz (1952) demonstrou em seu artigo Portfolio Selection (do inglês, Seleção de Carteira) que a forma para conciliar esses interesses conflitantes de risco e retorno é através da diversificação dos ativos na

11 5 carteira. Isto porque a diversificação entre ativos de mesma variância, que não sejam perfeitamente correlacionados, sempre resulta em uma carteira de variância menor que a original Taxa de Retorno de uma Carteira de Investimentos O retorno de uma carteira de investimento no período de tempo entre t=0 e t=1 é calculado da seguinte forma: rp W 1 W W 0 0 = (2.1) onde: r p representa o da carteira de investimentos; W 0 representa a somatória dos preços de compra dos ativos que compõem a carteira no instantante t=0; W 1 representa a somatória dos preços de compra dos ativos que compõem a carteira no instante t=1. A equação 2.1 pode ser manipulada algebricamente resultando em: W 1 = W 0 (1 + r p ) (2.2) A equação 2.2 mostra que o valor agregado dos ativos que compõem a carteira no instante t=1 será igual ao valor inicial W 0 mais a taxa de retorno. O problema da seleção das carteiras é que no momento t=0 o investidor desconhece qual será o valor das diversas carteiras possíveis no momento t=1. De acordo com Markowitz (1952), o retorno r p deve ser visto pelos investidores como uma estatística variável independente, que por sua vez, pode ser totalmente descrita por seu valor esperado e seu desvio padrão Curvas de Indiferença Para Markowitz (1952), os investidores selecionam as suas carteiras de investimento empregando as suas curvas de indiferença. Estas curvas representam as relações de risco e retorno preferidas por cada investidor. Elas

12 6 são representadas em um gráfico de duas dimensões, com o retorno médio estimado no eixo das abcissas, e o risco, representado pelo desvio padrão, no eixo das ordenadas. A figura 1 mostra as curvas de indiferença de um investidor hipotético. Cada linha curva mostra um conjunto de carteiras igualmente desejáveis para esse investidor. As letras A, B, C e D representam quatro carteiras. Neste exemplo, as carteiras A e B são igualmente desejáveis para este investidor, apesar de terem retornos esperados e desvios padrão diferentes. No entanto, a carteira C é a mais desejável de todas, e a carteira D é a menos desejável entre as apresentadas. Figura 1 Curvas de indiferença As curvas de indiferença variam de um investidor para outro, e até mesmo, para o mesmo investidor em momentos diferentes de sua vida. As figuras 2a, 2b e 2c apresentam as curvas de indiferença de três investidores com diferentes atitudes perante o risco.

13 7 Figura 2a: Investidor mais avesso ao risco Figura 2b: Investidor moderadamente avesso ao risco Figura 2c: Investidor pouco avesso ao risco A figura 2a apresenta a curva de indiferença de um investidor avesso ao risco, enquanto que a figura 2b apresenta a curva de um investidor moderadamente avesso ao risco, e a figura 2c apresenta a curva de um investidor pouco avesso ao risco.

14 8 Concluindo, cada investidor tem em sua mente um mapa (geralmente inconsciente) com suas curvas de indiferença, que é consultado no momento da escolha de sua carteira de investimentos Insaciabilidade dos Retornos e da Aversão ao risco Outro conceito da teoria moderna das carteiras é o da insaciabilidade dos retornos e da aversão ao risco. A insaciabilidade dos retornos e a aversão ao risco são dois pressupostos implícitos na discussão das curvas de indiferença, pois, podendo optar entre duas carteiras com o mesmo risco (representado pelo desvio padrão), o investidor sempre vai optar por aquela com a maior expectativa de retorno. Da mesma forma, podendo optar entre duas carteiras com o mesmo retorno esperado, ele sempre vai optar por aquela com o menor desvio padrão Conceitos de Retorno e Risco Pelo modelo de Markowitz (1952), no momento t=0, o investidor analisa o retorno esperado e o desvio padrão das carteiras possíveis e seleciona aquela que melhor atenda ao seu interesse de retorno e risco. Considerando que uma carteira é composta por um conjunto de ativos financeiros, o retorno da carteira, assim como seu risco, será uma conseqüência dos retornos e dos riscos individuais de cada um dos ativos que a compõe, levando em conta seus pesos na carteira A Fronteira Eficiente Markowitz (1952) mostrou geometricamente o benefício da diversificação dos ativos em uma carteira de investimentos partindo do pressuposto que todos os tipos de investimentos estariam disponíveis para todos os investidores. Portanto, cada investidor poderia construir uma carteira com n ativos de infinitas maneiras diferentes, cada uma combinando os n ativos em proporções distintas. Ele demonstrou que para cada nível de retorno há somente uma carteira de menor risco que todas as outras

15 9 A área demarcada na figura 3 mostra graficamente todas as carteiras possíveis para um conjunto de mais de dois ativos. Sua posição no gráfico pode variar; no entanto, seu formato geralmente é o de um guarda-chuva. Somente em situações muito especiais o formato será diferente de um guardachuva. Na figura 3, as carteiras eficientes, também chamadas de dominantes, estão na fronteira da figura, entre os pontos E e S. Todas as demais carteiras possíveis são chamadas de carteiras dominadas, pois, para cada carteira dominada sempre há uma carteira dominante, com uma melhor relação retorno-risco. Fig 3 Carteiras Possíveis e a Fronteira Eficiente A carteira ótima de cada investidor está localizada no ponto de tangência da sua curva de indiferença com a fronteira eficiente. O ponto O* da figura 4 representa a carteira ótima de um investidor hipotético que tenha as curvas de indiferença I 1, I 2, e I 3.

16 10 Figura 4 Seleção da carteira ótima Modelo de Mercado de um Índice Único Para calcular a fronteira eficiente de uma carteira utilizando o modelo proposto por Markowitz (1952) é preciso estimar o retorno esperado e o desvio padrão de cada um dos ativos da carteira, calcular as covariâncias entre eles e, finalmente, encontrar a fronteira eficiente, empregando a programação quadrática. Elton (2004) nos dá uma idéia da complexidade deste cálculo em termos práticos: A maioria das instituições financeiras acompanha entre 150 e 250 ações. Para utilizar a análise de carteiras, as instituições necessitam de estimativas de 150 a 250 retornos esperados e de 150 a 250 variâncias. Vejamos quantos coeficientes de correlação são necessários... precisaria estimar entre e coeficientes de correlação. O simples volume de dados é impressionante. (ELTON, 2004, p.128). A complexidade para se estimar um número tão alto de coeficientes de correlação levou ao desenvolvimento de modelos capazes de simplificar a estrutura de correlação entre títulos.

17 11 A técnica mais utilizada pressupõe que a variação conjunta entre as ações é devida a uma única influência, ou, a um único índice. Este modelo é chamado de modelo de índice único e facilita muito o processo de identificação das carteiras eficientes de Markowitz (1952) Modelo de Índice Único Aplicado a um Ativo A observação causal do comportamento dos preços das ações revela que, quando o mercado sobe (medido por qualquer um dos índices de mercado disponíveis), o preço da maioria das ações tende a subir, e, quando o mercado cai, o preço da maioria das ações também tende a cair. r i = a + β r (2.3) i i M onde r i representa o retorno do ativo i; a i representa a parcela do retorno do título i que não dependente do desempenho do mercado, portanto, é uma variável aleatória; r M representa o retorno do índice de mercado. É outra variável aleatória; β i representa uma constante que mede a variação esperada de r i para um determinado valor de r M. O termo a i representa o componente do retorno que não é sensível ao retorno do mercado. Seu valor é representado pela variável α que tem valor esperado a i e e i como o componente aleatório de a i. seguinte forma: a = α + e (2.4) i i i A equação do retorno de uma ação agora pode ser escrita da r i = α i + β i r i + e i (2.5) O termo e i da equação 2.5 é o erro randômico que existe porque o modelo de mercado não explica perfeitamente o retorno do ativo i. Ele pode ser visto como uma variável independente, com média igual a zero e desvio padrão σ ei.

18 12 Como se pode observar, a equação 2.5 é a equação de uma reta com inclinação β (beta). O β indica, portanto, a sensibilidade do ativo à variação do índice do mercado. Seu calculo é feito através da equação 2.6: 2 β ii = σii σi (2.6) onde: σ ii representa a covariância dos retornos do ativo i com o índice de mercado σ I 2 representa a variância dos retornos do índice de mercado. Uma das hipóteses do modelo é a de que: (, r ) E[ ( e 0)( r r )] 0 cov e = (2.7) i m = i M M Isto é, o erro aleatório do ativo não dependente do retorno do 2 mercado. Estimativas como α i, β i e σ ei são obtidos através de regressões de séries temporais. Outra hipótese é de que E( e i, e j ) =0, ou seja, dois títulos só variam em conjunto devido a movimentos coordenados do mercado. A equação 2.8 apresenta o risco total de um ativo i, que é composto pelo risco de mercado (ou sistemático) e do risco único (ou não sistemático): σ i 2 = β ii 2 σ I 2 + σ ei 2 (2.8) onde: σ i 2 representa o risco total do ativo; β 2 2 ii σ I representa o componente de risco sistemático do ativo, onde a variância dos retornos do mercado é uma variável aleatória; σ ei 2 é o risco único do ativo i Modelo de Índice Único aplicado a uma Carteira O retorno de uma carteira é calculado pela equação: temos: r p = N i= 1 Xiri (2.9) Substituindo-se os termos à direita da equação 2.9 pela equação 2.5,

19 13 N rp = Xi( αii + βi + e I i=1 ii ) (2.10) = N N N X + iαii X β + i ii r i i= 1 i= 1 i= 1 X e i i I (2.11) α + β r + e (2.12) = pi pi i pi O risco total da carteira corresponde a sua variância, que é consequência do risco total de seus ativos: σ β σ + σ 2 p = (2.13) 2 pi 2 I 2 ep que corresponde a: Risco Total = Risco Sistemático + Variância residual da Carteira da Carteira da Carteira onde: β N 2 2 i ii (2.14) pi = X β i= 1 temos: e assumindo que o erro randômico dos ativos não é correlacionado, 2 = N 2 ep X i i= 1 σ σ (2.15) 2 i Concluindo, da mesma forma que o risco de um ativo, o risco de uma carteira é composto pelo risco sistemático (de mercado) e o risco único (não sistemático) Efeito da Diversificação sobre o Risco de uma Carteira Conforme foi demonstrado, o risco total de uma carteira é composto pelo risco sistemático e o risco único (equação 2.13). O risco único, também chamado de risco não sistemático, é aquele relativo a uma empresa ou a um setor, e que tende a zero com a diversificação da carteira, quando os resíduos dos retornos dos ativos não são correlacionados. Isso pode ser observado na equação O aumento da

20 14 diversificação causa um aumento no denominador N, reduzindo o impacto individual do desvio padrão de cada ativo da carteira: N 2 1 εp = i= 1 N 2 2 σ σε i (2.16) Já o risco sistemático é inevitável, pois o aumento da diversificação faz com que ele tenda ao risco de mercado, como mostram as equações 2.13 e O efeito da diversificação sobre o risco de uma carteira está representado graficamente na figura 5: Figura 5 Efeito da diversificação sobre o risco de uma Carteira. O efeito da diversificação na redução do risco não sistemático de uma carteira depende da covariância dos seus ativos, como foi observado por Markowitz (1952) no artigo Portfolio Selection:... in trying to make variance small it is not enough to invest in many securities. It is necessary to avoid investing in securities with high covariances among themselves. We should diversify across industries because firms in different industries,

21 15 especially industries with different economic characteristics, have lower covariances than firms with an industry....na tentativa de reduzir a variância, investir em diversos ativos não é o suficiente. É preciso evitar que o investimento seja feito em ativos com alta covariância entre si. Devemos diversificar entre industrias, especialmente indústrias com diferentes características econômicas, porque empresas de diferentes industrias tem covariâncias menores que empresas da mesma indústria (MARKOWITZ, 1952, p. 89, tradução nossa). A figura 6 mostra que o efeito da diversificação sobre o risco não sistemático é função do número de ativos (abscissa) e da covariância entre os ativos que compõem a carteira. Concluindo, maior o número de ativos, e menor a correlação, menor será o risco não sistemático. Figura 6 Efeito da covariância sobre o risco único de uma carteira (fonte: HAUGEN, 2005, p. 139).

22 Ativo Livre de Risco Até aqui, foi abordado como o investidor deve proceder para selecionar sua carteira de investimentos, considerando que todos os ativos disponíveis possuem riscos individuais e incertos para o período de duração do investimento. Como nenhum dos ativos têm correlação negativa perfeita com qualquer outro ativo, todas as carteiras possíveis têm um retorno incerto no momento em que é feito o investimento, portanto, possuem risco. Nesta seção é introduzida a possibilidade de o investidor investir também em um ativo livre de risco. Desta forma, ele passa a ter a opção de investir em N ativos, sendo N-1 com risco, e um ativo livre de risco Definição do Ativo Livre de Risco Na teoria de Markowitz (1952), em que o investidor aplica seus recursos pelo horizonte de tempo de um período, o ativo livre de risco será aquele cujo rendimento é fixo e conhecido no momento em que é feita aplicação. Como não há nenhuma incerteza quanto ao retorno desta aplicação, seu desvio padrão é, por definição, igual a zero. Conseqüentemente, a covariância entre a taxa de retorno do ativo livre de risco e qualquer outro ativo com risco também será igual a zero. Como o ativo livre de risco deve ter, por definição, uma taxa fixa e certa de retorno, ele não pode ser de nenhuma organização que tenha uma mínima probabilidade de não honrá-lo. Considerando que todas as empresas têm alguma probabilidade de não honrar seus compromissos, esse ativo livre de risco só pode ser um título emitido pelo Governo Federal. Isto porque o Governo Federal sempre tem a possibilidade de emitir novos títulos ou dinheiro para pagá-lo. Assim sendo, o investimento em títulos Federais é a única aplicação livre de riscos.

23 Investindo em um Ativo Livre de Risco e em um Ativo com Risco Com a introdução do ativo livre de risco, o investidor pode, agora, destinar parte de seus recursos para esse ativo e o restante para uma carteira composta por ativos de risco. Esta possibilidade altera o conjunto de carteiras possíveis, e principalmente, altera a fronteira eficiente. A figura 8 apresenta o conjunto de carteiras possíveis, combinando um ativo livre de risco e um ativo de risco. Neste exemplo, a ação da empresa Able Co, localizada no ponto E é o ativo de risco, e um título do governo Norte-americano, com retorno fixo de 4% ao ano é o ativo livre de risco. A reta ligando os pontos A e E representa as carteiras que podem ser formadas combinando a ação da empresa Able Co. com o ativo livre de risco. Figura 7 Combinando um ativo livre de risco com um ativo com risco Investindo em Ativo Livre de Risco e em uma Carteira com Risco No exemplo da figura 9, é apresento o conjunto das carteiras possíveis de um investidor que tenha a opção de investir em um ativo livre de

24 18 risco e em uma carteira composta pelas ações de três empresas hipotéticas: Able Co., Charlie Co. e Baker Co.. O conjunto de carteiras possíveis passa a ser a área formada pelas duas retas mais o trecho curvo entre o ponto T e Baker Co. A fronteira eficiente passa a ser a reta entre o ativo livre de risco, o ponto T, e o trecho curvo até Baker Co.. Figura 8 Carteiras possíveis combinando um ativo livre de risco e uma carteira Tomando Emprestado e Emprestando a Taxa Livre de Risco, e investindo em um Ativo com Risco Supondo que o investidor possa tomar recursos emprestados pela taxa de juros livre de risco e que não haja limite para a tomada de recursos, o conjunto de carteiras possíveis passa a ser a área entre as duas retas infinitas (figura 9) e a fronteira eficiente estará localizada na reta que liga o ativo livre de risco à tangente T. As figuras 9.a e 9.b ilustram as carteiras ótimas para dois investidores com diferentes preferências por risco-retorno:

25 19 Figura 9.a Carteira ótima com aplicação à taxa livre de Riscos. Figura 9.b Carteira ótima com tomada de recursos à taxa livre de riscos 2.2 O Modelo de Precificação de Ativos CAPM O CAPM - Capital Asset Pricing Model (do inglês, Modelo Principal de Precificação de Ativos) é uma teoria sobre a formação dos preços dos ativos desenvolvida, simultaneamente e independentemente, por John Lintner (1965), Jan Mossin (1966) e William Sharpe (1964). A seguir, é apresentada a versão básica do CAPM, também chamada de versão Sharpe-Lintner-Mossin. Pelo CAPM, o preço dos ativos resulta do equilíbrio entre a oferta e a demanda, que por sua vez, está baseada na relação entre o retorno esperado

26 20 e o risco de cada ativo. Ele explica o preço individual de cada ativo partindo da premissa que todos os investidores empregaram a teoria das carteiras de Markowitz (1952) para encontrar a fronteira eficiente, e selecionam suas carteiras entre as que pertencem a essa fronteira Pressupostos do CAPM Um modelo é uma simplificação da realidade a fim de permitir que o foco esteja nos elementos mais importantes do fenômeno que ele procura explicar. Com o CAPM não é diferente, e essa simplificação é feita através de 10 pressupostos. Vários deles coincidem com os utilizados na abordagem de Markowitz (1952) apresentada na seção 2.1. Os pressupostos do CAPM são: 1. Todos os investidores selecionam suas carteiras para o horizonte de um período baseados no retorno esperado e no desvio padrão. 2. Os investidores nunca estão satisfeitos. Quando lhes é dada a opção de uma carteira com maior retorno, e mesmo risco, a carteira com maior retorno sempre é a selecionada. 3. Os investidores são avessos ao risco. Quando lhes é dada a possibilidade de escolha entre duas carteiras com retornos idênticos e riscos diferentes, eles sempre optam pela carteira com o menor risco. 4. Os ativos individuais são infinitamente divisíveis, significando que um investidor pode comprar uma fração de uma ação, se ele assim desejar. 5. O investidor pode emprestar (investir) ou tomar recursos emprestados pela mesma taxa de juros, que é a taxa livre de risco. 6. Os custos e taxas das transações são irrelevantes. 7. Todos os investidores têm o mesmo horizonte de tempo de aplicação, que é de um período. 8. A taxa de juros livre de risco é a mesma para todos os investidores.

27 21 9. A informação corre livremente e fica disponível para todos os investidores no mesmo instante. 10. Os investidores têm expectativas homogêneas, isto é, a mesma percepção em relação aos retornos esperados, desvios-padrão e covariâncias dos ativos. (SHARPE, 1995, p. 262, tradução nossa) Examinando os pressupostos do CAPM, nota-se uma simplificação ao extremo. Isso permite que se mude o foco do investidor individual para o que ocorreria com os preços dos ativos se todos investissem da mesma forma. Examinando o comportamento coletivo de todos os investidores do mercado, é possível desenvolver um modelo que explique o equilíbrio resultante da relação entre o risco e o retorno de cada ativo O Teorema da Separação Pelos pressupostos do CAPM, todos os investidores possuem as mesmas informações, e terão as mesmas expectativas quanto ao retorno, o desvio padrão dos ativos, e a covariância entre eles. Sendo assim, eles vão encontrar a mesma fronteira eficiente para o conjunto de todos os ativos de risco do mercado. Todos os investidores também concordam quanto ao valor do retorno do ativo livre de risco. Conseqüentemente, vão encontrar a mesma reta tangente a fronteira eficiente dos ativos de risco, e vão investir na mesma carteira de ativos de risco, representada pelo ponto Pi da figura 10.

28 22 Figura 10 Fronteira Eficiente com Aplicação e Captação à Taxa Livre de Risco Se todos os investidores enxergam a mesma fronteira eficiente, só escolherão carteiras diferentes se tiverem curvas de indiferença diferentes. Desta forma, por terem preferências diferentes em relação ao risco e retorno, eles vão escolher carteiras diferentes, porém, sempre posicionadas na fronteira eficiente representada na figura 10 pela reta tangente. O peso da carteira composta pelos ativos de risco na carteira de cada investidor depende da sua curva de indiferença, no entanto, o percentual de cada ativo na carteira de risco será o mesmo. Esta característica do CAPM é chamada de teorema da separação: A combinação ótima dos ativos de risco para um investidor pode ser determinada sem que se saiba quais as suas preferências em relação ao risco e o retorno. (SHARPE, 1993, p. 219, tradução nossa). Em suma, todos os investidores que desejarem um retorno acima da taxa livre de risco vão investir na mesma carteira de ativos de risco. O que vai variar será o peso de carteira de ativos com risco na carteira total do investidor.

29 A Carteira de Mercado (The Market Portfolio) Uma característica do modelo CAPM é que nenhum ativo pode ter uma proporção igual a zero na carteira tangente (representada pelo ponto Pi da Figura 12). A explicação está no Teorema da Separação, pelo qual, a proporção de cada ativo na carteira de ativos será a mesma para todos os investidores. Se algum ativo tivesse uma participação igual a zero na carteira tangente, significaria que nenhum investidor estaria aplicando seus recursos neste ativo. Isso faria com que o seu preço caísse, aumentando seu retorno relativo, até que sua participação na carteira tangente fosse diferente de zero. A carteira tangente é usualmente chamada de Carteira de Mercado, e representada pela letra M. A Carteira de Mercado é composta por todos os ativos do mercado. O valor relativo de cada ativo na carteira de mercado é obtido dividindo-se seu valor agregado pelo valor total de todos os ativos do mercado. De acordo com o CAPM, a carteira de mercado não é composta somente por ações, mas por todos os títulos de risco disponíveis no mercado, o que incluí também os imóveis. Na prática, no entanto, considera-se somente as ações no cálculo da Carteira de Mercado Linha Principal do Mercado (CML Capital Market Line) Identificada a Carteira de Mercado, encontra-se a fronteira eficiente do CAPM traçando a reta que liga esse ponto ao ativo livre de risco. A essa reta dá-se o nome de CML - Capital Market Line (do inglês, Linha Pricipal do Mercado). A identificação da CML é fundamental para o CAPM, uma vez que as carteiras eficientes estarão posicionadas sobre essa linha. Todas as demais carteiras não serão eficientes, e, portanto, estarão posicionadas abaixo dela, como está representado pelos pontos da figura 11.

30 24 Figura 11 Capital Market Line r A linha CML é representada pela equação 2.17: f p = rf + σp σm (2.17) onde: rm r r p é o retorno médio da carteira; r f é o retorno do ativo livre de risco; r M é o retorno médio da carteira composta por todos os ativos do mercado; σ p é o desvio padrão dos retornos da carteira; σ M é o desvio padrão dos retornos da carteira do mercado; A diferença representada na equação 2.17 por r r é chamada de M f prêmio de risco do mercado. A equação 2.17 pode ser interpretada como: Retorno Esperado = Preço do Tempo + (Preço do Risco x Quantidade de Risco)

31 Linha de Mercado dos Títulos (SML - Security Market Line) A linha CML representa o equilíbrio entre o retorno esperado e o desvio padrão das carteiras eficientes. Ativos de risco individuais estarão sempre abaixo da linha CML por constituírem carteiras ineficientes. Para conhecer mais sobre o retorno esperado e o risco de um ativo individual é necessária uma análise mais profunda. Na equação 2.18 é apresentada a fórmula para o cálculo do desvio padrão de um portfólio: σ p N N = i= 1 j= 1 XiXj σ ij 1/ 2 (2.18) onde: X i representa a proporção investida no ativo i X j representa a proporção investida nos j, σ ij representa a covariância dos retornos dos ativos i e j. Usando a mesma equação para o cálculo do desvio padrão do portfólio de mercado, temos: σm N N = i= 1 j= 1 X im X jm σ ij 1/ 2 (2.19) onde: X i representa a proporção investida no ativo i X j representa a proporção investida nos j, σ ij representa a covariância dos retornos dos ativos i e j. A equação 2.19 também pode ser escrita da seguinte forma: σm N N N = X 1M XjMσ1J + X 2M XjMσ2 J XNM j= 1 j= 1 j= 1 X jm σ NJ 1/ 2 (2.20)

32 26 Aplicando-se a propriedade da covariância pela qual a covariância do ativo i com uma carteira de mercado pode ser expressa como a média ponderada das covariâncias de todos ativos com o ativo i: N i=1 X 2 jm σ 2 ij = σ im (2.21) Aplicada a cada um dos N ativos que compõem a carteira representativa do mercado, resulta em: [ ] 1 / X 1Mσ1M + X 2Mσ2M + X 3Mσ3M XNMσNMσNM 2 σ M = (2.22) Onde σ 1M é a covariância do ativo 1 com o portfólio de mercado, σ 2M é a covariância do ativo 2 com o portfólio de mercado e assim por diante. Portanto, o desvio padrão da carteira de mercado será a raíz quadrada da média ponderada das covariâncias de todos os ativos com ele, e as parcelas serão proporcionais a participação de cada ativo na carteira de mercado. Pelo modelo CAPM, cada investidor possuí uma parcela de seus recursos aplicada na carteira do mercado, portanto todos os investidores se preocupam com o desvio padrão da carteira de mercado, uma vez que ele influencia na inclinação da linha CML, que por sua vêz, determina a magnitude de seu investimento no portfólio de mercado. A contribuição de cada ativo para o desvio padrão da carteira de mercado depende de sua covariância com a carteira de mercado, como se pode observar na equação Assim sendo, ativos com maiores valores de σ im são vistos pelos investidores como contribuintes para o aumento do risco da carteira de mercado. Por outro lado, ativos com maior desvio padrão não são vistos, necessariamente, como contribuintes para o aumento do risco da carteira de mercado que outros com menor desvio padrão. Isto posto, conclui-se que ativos com maiores valores de σ im devem possuir um retorno esperado proporcionalmente maior para que os investidores se interessem por eles. Essa relação da covariância do ativo com a carteira de mercado e seu retorno esperado é chamada de SML-Security Market Line (do inglês, Linha de Mercado dos Títulos). Sua equação é:

33 27 f i r r r f = + im σ 2 (2.23) M r M σ A SML está represntada na figura 12: Figura12 Security Market Line Versão da Covariância Outra forma de apresentar a SML é através da equação: i = rf + r rf im (2.24) r M β onde σ σ im β im = 2 (2.25) M A equação 2.24 é uma forma alternativa de se apresentar a SML. Sua representação gráfica está na figura 13:

34 28 Fig-13 Linha de Mercado dos Títulos (SML) Versão Beta O coeficiente beta (β) de uma carteira é a média ponderada dos betas de cada um dos ativos que a compõe. Ele é calculado pela fórmula: N β pm = XiβiM (2.26) i= O Risco de um ativo no CAPM O risco de um ativo no CAPM é função somente de seu beta, que por sua vez, é função de sua covariância com a carteira de mercado. Ele é medido utilizando-se a equação: σ i 2 = β im 2 σ M 2 + σ i 2 (2.27) onde σ i 2 representa o risco total de uma carteira β 2 2 im σ I representa o risco de mercado da carteira (ou risco sistemático); 2 σ i representa o risco único do ativo (ou não sistemático) Pela teoria do CAPM, ativos com maiores betas terão maiores níveis de risco de mercado, portanto, seus retornos esperados são maiores. Por

35 29 outro lado, não há razão para que ativos com maiores riscos únicos (risco não sistemático) tenham retornos superiores, pois no CAPM, não há nenhuma relação entre o risco único e o retorno esperado. Em suma, pelo modelo CAPM, os investidores são recompensados com maiores retornos por correrem o risco de mercado, porém, não são recompensados por correrem o risco único (risco não sistemático). 2.3 A Avaliação de Desempenho de uma Carteira A avaliação do desempenho de uma carteira é feita para se verificar a qualidade da sua gestão. Ela é feita sempre em relação a uma ou mais carteiras de referência. Para isso, toma-se um intervalo de tempo, que geralmente é de no mínimo quatro anos, e, utilizando dados mensais ou trimestrais, para que se tenha uma amostra de tamanho estatisticamente adequado, calcula-se o rendimento da carteira que está sendo avaliada para posteriormente compará-lo com o seu benchmark Fazendo Comparações Relevantes A idéia fundamental da avaliação de desempenho de uma carteira de investimentos está na comparação dos resultados obtidos por ela com os obtidos por outras carteiras. É importante que as carteiras escolhidas sejam realmente comparáveis. Isso significa que devem ter riscos semelhantes, assim como devem estar sujeitas às mesmas restrições. Por exemplo, uma instituição onde seus gestores só podem investir em ativos de grandes empresas, não pode comparar desempenho dessa carteira com outras que não tenham essa limitação. A comparação de desempenho entre carteiras com limitações diferentes também pode ser útil, mas para avaliar a relevância da restrição. Ela não serve para avaliar a qualidade da gestão da carteira.

36 30 Muitas vezes, o retorno obtido por uma carteira (ou fundo), é comparado com o obtido por carteiras com risco semelhante. Em outras comparações, utiliza-se uma medida explicita da relação entre risco e retorno para que as comparações possam ser feitas entre carteiras com níveis de risco diferentes Cálculo da Taxa de Retorno de uma Carteira O retorno de uma carteira sempre é calculado para um determinado intervalo de tempo. A equação, a seguir, calcula o retorno de uma carteira quando não há depósitos ou resgates entre o momento inicial e o final: Ve Vb r = (2.28) Vb onde: V e representa o valor da carteira ao término do período; V b represnta o valor da carteira no início do período; r representa a taxa de retorno da carteira Quando há depósitos ou resgates entre o início e o término do período, calcula-se o retorno da carteira utilizando a taxa de retorno ponderada no tempo, que consiste no cálculo do rendimento de cada período entre os depósitos e os resgates. Calculado o rendimento de cada período, soma-se um aos valores dos rendimentos e multiplica-se os rendimentos uns pelos outros. Finalmente, subtrai-se um do total da multiplicação para se obter o rendimento da carteira no período analisado Comparações Diretas A idéia por trás da avaliação de performance das carteiras é comparar os retornos obtidos pelo gestor com os retornos que ele poderia ter obtido se tivesse optado por outra carteira, respeitando as limitações impostas. A comparação pode ser com outras carteiras, ou com índices de mercado. À carteira com a qual será feita a comparação se dá o nome de benchmark.

37 31 O benchmark deve ser uma carteira relevante, possível e conhecida antecipadamente pelo gestor do fundo. O benchmark deve refletir os objetivos do cliente. Por exemplo, se o objetivo do cliente é que o investimento seja feito somente em empresas de pequeno porte, o benchmark deverá ser composto somente por empresas com essa característica. Outra característica desejável no benchmark é que ele tenha o mesmo nível de exposição ao risco que a carteira em avaliação, para que se possa fazer uma comparação direta dos rendimentos obtidos. A figura 14 apresenta um exemplo comum de comparação direta de retornos utilizada nos Estados Unidos. Ela apresenta o box plot dos retornos obtidos por um fundo de ações hipotético denominado de Fund em comparação com outros fundos expostos a um nível de risco semelhante: Figura 14 Comparando os Retornos dos Fundos Para se avaliar a qualidade da gestão de uma carteira não basta saber qual foi o retorno obtido em um determinado período. É preciso saber a que risco o investidor foi submetido para a obtenção dos retornos. Se o fundo for a única carteira de um investidor, provavelmente, ele estará interessado no risco total do fundo, que é medido pela variância, e está representado na figura 15. Por outro lado, se esta for uma das várias aplicações deste investidor, ele deve estar mais interessado

38 32 no risco em relação ao mercado, que é medido pelo β e está representado na figura 16. Figura 15 Comparando o Risco Total dos Fundos Figura 16 - Comparando o Risco Sistêmico dos Fundos. No calculo do desvio padrão e do β das figuras 15 e 16 foram utilizadas as equações 2.29 e 2.30 respectivamente:

39 33 σ p = N t= 1 ( rpt arpt) T / 2 (2.29) T T t t Mt pt pt Mt t= 1 t= 1 t= 1 β = p (2.30) T T 2 2 T ermt ermt t= 1 t= 1 onde er er er pr = r pt r ft e er Mt = r Mt r f.t er T T er Os gráficos box plot apresentados nas figuras 14, 15 e 16 mostram o retorno e o risco do Fundo em comparação com outros fundos. A relação risco-retorno obtida por ele parece estar acima da média, no entanto, não é possível afirmar de forma clara e precisa o quanto ele foi melhor (ou pior) que os outros fundos com os quais ele está sendo comparado. Para resolver esse problema, foram criadas medidas de performance de carteiras baseadas no CAPM que permitem quantificar, em bases ajustadas de risco-retorno, o desempenho das carteiras em relação a outras carteiras e também ao mercado Medições de Desempenho Baseadas no CAPM Índice de Jensen Michael C. Jensen (1969) partiu da premissa de que, em uma carteira diversificada, o risco não sistemático (ou único) seria anulado pelos riscos específicos de cada ativo. Sendo assim, ele se concentrou no estudo do risco sistemático da carteira por acreditar que esse seria o único risco relevante em uma carteira diversificada.

40 34 O método de Jensen (1969) para avaliar o desempenho de uma carteira utiliza a ex-post SML - Security Market Line (do inglês, Linha de Mercado dos Ativos) do CAPM. Através dela, ele mede a parcela de retorno em excesso obtida pelo administrador em relação à carteira de mercado. Seu índice é insensível ao risco da carteira de mercado, assim como ao retorno do mercado. O índice de Jensen, também conhecido como alfa de Jensen, mede a diferença entre o retorno da uma carteira em estudo e o retorno da carteira de mercado. Ele é calculado pela equação J p Onde: p [ r + ( r r ) β ] = r (2.31) F M F J p representa o índice de Jensen da carteira p; r p representa o retorno médio da carteira p; p r F representa o retorno médio do ativo livre de risco; rm representa o retorno médio do mercado; β p representa o beta da carteira em relação ao mercado O índice de Jensen mede a capacidade do gestor de prever o preço futuro dos ativos na hora de montar sua carteira. O índice pode ser positivo ou negativo. Quando positivo, significa que o administrador teve um desempenho superior ao do mercado, pelo CAPM Índice de Treynor Assim como Jensen, Jack L. Treynor (1965) também separou o risco em dois blocos (sistemático e não sistemático), e adotou a SML como benchmark, por concordar que o risco sistêmico é o único relevante para uma carteira diversificada. Seu índice também mede o prêmio pelo risco da carteira, mas seu risco é medido pelo Beta da carteira. Seu cálculo é feito através da equação 2.32: