Vibration Criteria for Precast Concrete Floor Structures. Sandra Freire de Almeida (1); Petrus Gorgônio B. da Nóbrega (2); João Bento de Hanai (3)

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1 Critérios de Vibração para Estruturas de Piso de Concreto Pré-moldado Vibration Criteria for Precast Concrete Floor Structures Sandra Freire de Almeida (1); Petrus Gorgônio B. da Nóbrega (2); João Bento de Hanai (3) (1) Pós-graduanda. Depto. de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos da USP - EESC-USP salmeida@sc.usp.br (2) Professor Adjunto. Depto. de Arquitetura, Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN nobrega@ufrnet.br (3) Professor Titular. Depto. de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos da USP - EESC-USP jbhanai@sc.usp.br Escola de Engenharia de São Carlos Departamento de Engenharia de Estruturas Av. Trabalhador São Carlense, 400 São Carlos SP Centro de Tecnologia - CT Universidade Federal do Rio Grande do Norte UFRN - Campus Universitário Natal - RN Resumo Com o uso intensivo de elementos pré-moldados de concreto, elementos mais esbeltos, leves e, conseqüentemente, menos rígidos, torna-se mais relevante analisar os limites aceitáveis relacionados à vibração do sistema estrutural (por exemplo, a freqüência natural mínima devido à excitação). Os elementos do tipo piso pré-moldado são mais suscetíveis ao carregamento dinâmico, por apresentar grandes vãos, pequenas espessuras e sofrer forte influência da rigidez das ligações. As vibrações nos pisos podem ser causadas por pessoas, através das atividades de caminhada ou aeróbica, ou ainda pelas atividades sincronizadas em estádios, ginásios e salas de dança. Este trabalho apresenta procedimentos simplificados de análise dinâmica existentes em artigos e normas da área de pré-moldados, e discute a razão e detalhes de cada etapa. São apresentados exemplos de cálculo de elementos de piso de concreto pré-moldado disponíveis na indústria brasileira, para os principais tipos de excitação devidos à atividade de pessoas. Conclui-se que diversos padrões comerciais destas estruturas, embora adequadamente dimensionados aos esforços solicitantes, não satisfazem aos critérios simplificados da análise das vibrações, indicando uma necessidade de uma investigação mais detalhada. Palavras-chave: vibração, dinâmica, piso de concreto pré-moldado, atividades humanas. Abstract The analysis of vibration limits for a structural system has become more relevant, specially because of the intensive use of precast concrete elements, which are light-weighted and have less stiffness. Precast concrete floor elements are more susceptible to the dynamic loading, because of their long spans, small thicknesses and they are strongly influenced by the connections rigidity. Floor vibrations are caused by individuals walking or individuals engaged in rhythmic activities in stadiums, gyms or dance rooms. This paper shows simplified procedures of dynamic analysis presented on other papers and on standards related to precast. Examples of typical elements of precast concrete floor available in Brazil are presented, for the main types of excitation due to human activities. Some elements studied in this paper do not satisfy the requirements of the vibration analysis. This indicates that a more detailed assessment is necessary. Keywords: vibration, dynamic, precast concrete floor, human activities.

2 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 1 1. Introdução Atualmente, de acordo com as normas de projeto de estruturas de concreto, para a análise de uma edificação deve ser realizada a verificação do estado limite de vibrações excessivas, no contexto dos estados limites de serviço. Como fatos geradores desta nova realidade, podem ser citados: uma nova concepção estrutural, o emprego de materiais de alta resistência, a adoção de sistemas construtivos inovadores em tempo e forma de execução, a prática de uma arquitetura mais ousada e a disponibilidade de ferramentas computacionais mais poderosas e rápidas. Todos estes aspectos convergem para a utilização de elementos estruturais cada vez mais esbeltos e mais leves, modificando o comportamento atual das edificações e ressaltando algumas conseqüências: uma não-linearidade geométrica mais pronunciada, o aumento da fissuração nas estruturas de concreto e daí uma não-linearidade física mais evidente, e o aumento da sensibilidade às vibrações. Os elementos do tipo piso pré-moldado de concreto são muito suscetíveis, do ponto de vista da dinâmica, aos carregamentos induzidos por pessoas (atividades de caminhada, aeróbica ou ações sincronizadas em estádios, ginásios e salas de dança), por apresentar grandes vãos, pequenas espessuras e sofrer forte influência da rigidez das ligações. CHEN; ASWAD (1994) afirmam que o critério de vibração pode direcionar o projeto de pisos. Embora as ações dinâmicas devidas a multidões sejam relativamente raras a ponto de provocar um colapso estrutural, são bastante freqüentes os casos de desconforto resultando também em um número crescente de acidentes ou situações de alto risco de falha (BACHMANN; 1992 e ALLEN; 1990). Mesmo em ambientes de atividade física reduzida escritórios e residências, por exemplo o efeito das vibrações incomoda as pessoas intensamente. Em relação a ginásios de esportes, estádios, salas de dança, indústrias e passarelas, onde as vibrações podem ser excessivas, tem-se grande desconforto e até casos de mal-estar. O presente trabalho é uma extensão do discutido por ALMEIDA et al. (2004). Seu objetivo, como o anterior, é apresentar uma metodologia simplificada e prática para a análise de vibrações de pisos pré-moldados, considerando diferentes tipos de excitação. O artigo também faz a aplicação destes conceitos no cálculo de diversas lajes comumente disponíveis no mercado nacional, variando diversos parâmetros estruturais e discutindo o impacto nos resultados. 2. Metodologia de Análise Quando a freqüência natural de uma estrutura for igual (ou quase) à freqüência de sua fonte de excitação, diz-se que ela se encontra na (ou próxima da) ressonância. Nesta situação, as deflexões da estrutura crescem significativamente e o movimento torna-se perceptível, muitas vezes incômodo. Um dos seguintes procedimentos deve ser adotado: 1) Análise dinâmica completa. Implica em permitir qualquer estado de excitação, seja a situação de ressonância (ou próxima dela) ou não, e realizar a análise elaborando um modelo para a estrutura que considere as ações como dinâmicas, calculando as suas respostas, variáveis ao longo do tempo. Por fim, comparar os resultados finais (deslocamentos, velocidades e acelerações, no tempo) com limites adequados. 2) Método do ajuste da freqüência. Implica em evitar a situação de ressonância pela modificação das freqüências naturais da estrutura via de regra, majorando-as. Para isto, deve-se alterar suas características de massa e/ou rigidez. Em geral, aumentam-se as dimensões das seções transversais dos elementos estruturais, ou criam-se mais apoios, enrijecendo o sistema. 3) Alterar as características de amortecimento da estrutura, o que reduzirá as amplitudes de vibração na condição de ressonância pelo aumento da energia que pode ser absorvida pelo próprio sistema. Em geral, isto é conseguido com a inclusão de

3 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 2 dispositivos especiais como os amortecedores visco-elásticos ou as massas adicionais de freqüência ajustada. A conduta comum na prática projetual, e geralmente discutida em normas técnicas, consiste no método do ajuste da freqüência. É feita uma análise simplificada, ou refinada, a fim de determinar a freqüência natural do sistema ( f n ), comparando-se este valor com a freqüência natural mínima necessária ( f mín ), relacionada ao tipo de excitação esperado. Quando fn f mín, o projeto está adequado, a estrutura não corre o risco de entrar em ressonância ou de apresentar vibrações excessivas. Quando f n < f mín promove-se a modificação das características estruturais de rigidez. Seguindo esta sistemática de análise, existem distintas expressões de cálculo para uma estrutura de piso, considerando as diferentes fontes de excitação. Assim, as variáveis envolvidas no problema diferem de acordo com o carregamento que provoca a vibração, os quais comumente são divididos em: (i) vibrações induzidas pelo caminhar de pessoas; (ii) vibrações induzidas por atividade rítmicas; (iii) vibrações induzidas por máquinas e equipamentos. Para todas elas, o fundamento da metodologia é encontrar a freqüência natural mínima necessária a fim da estrutura não se encontrar em uma situação próxima à ressonância. A seguir, serão vistas as expressões para os dois primeiros casos, caracterizando a excitação induzida por pessoas. 3. Freqüência Natural da Estrutura Uma das expressões básicas de cálculo da dinâmica é a que exprime a freqüência natural do sistema de 1 grau de liberdade (GDL). Esta é dada por: f 1 = 2π onde: f = freqüência natural (Hz); ω = freqüência natural circular (rad/s); K = rigidez do sistema (N/m); M = massa do sistema (kg); ω = 1 2π Tem-se que a freqüência é inversamente proporcional à massa, e diretamente proporcional à rigidez; ou seja, influencia nesta parcela o comprimento do vão do elemento, o seu módulo de elasticidade (propriedade material), a sua inércia (propriedade geométrica) e as condições de vínculo. Perceba-se que quanto mais flexível for a estrutura, menor a sua freqüência natural. No caso de estruturas pré-moldadas de concreto, a eficácia das ligações contribui para o grau desta flexibilidade e, conseqüentemente, na determinação das freqüências. O estado de fissuração da peça também influencia, pois com a evolução da danificação dos elementos existe uma diminuição da rigidez. Um sistema estrutural real não possui apenas uma única freqüência natural, mas um número delas equivalente aos seus graus de liberdade (infinito a princípio, mas reduzível ao número de coordenadas generalizadas que se adota), as quais, qualitativamente, obedecem ao exposto na expressão (1). A freqüência mais importante dentre todas geralmente é a primeira, chamada de fundamental, cujo valor numérico é o mais baixo. Os chamados parâmetros modais (as freqüências naturais, além dos modos de vibração e dos fatores de amortecimento modais) são determinados por métodos teóricos, por exemplo, o Método dos Elementos Finitos, ou pela via experimental. K M (1)

4 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 3 Existem, contudo, expressões que podem estimar o valor da freqüência natural de elementos estruturais simples, dentro de certas hipóteses, correntes em normas técnicas e artigos científicos. A expressão da freqüência fundamental de uma viga, por exemplo, considerada como um sistema contínuo com carga uniformemente distribuída, é dada por: E I g f n = R (2) 4 w L sendo: f n = freqüência natural de vibração fundamental (Hz); E = módulo de elasticidade (N/m²); I = momento de inércia da seção (m 4 ); g = aceleração da gravidade (g = 9,81m/s²); w = carga distribuída, permanente mais variável, por unidade de comprimento, (N/m); L = comprimento do vão (m); R = constante que varia com o tipo de vinculação: 1,57 para articulação-articulação 0,56 para engaste-balanço 3,56 para engaste-engaste 2,45 para engaste-articulação As constantes referidas originam-se das expressões analíticas de cálculo de vibrações de sistemas contínuos, e a expressão (2) é adimensional, devendo-se fornecer as variáveis nas unidades indicadas acima ou outras coerentes. ALMEIDA et al. (2004) relaciona esta expressão com a flecha no meio do vão, variável estática, além de compará-la ao que é exposto no PCI DESIGN HANDBOOK (2001). É importante destacar alguns pontos para o uso da expressão anterior: A carga total w a ser considerada deve ser estimada considerando-se os valores reais e não os de projeto, não devendo ser levado em conta qualquer coeficiente dinâmico ou outro fator de majoração similar. A tabela 2 fornece alguns valores de w variável para os casos de piso com atividades de dança, aeróbica e eventos esportivos ou sincronizados. Algumas considerações sobre esta variável são feitas em ALMEIDA et al. (2004). Em relação ao módulo de elasticidade, recomenda-se que seja adotado o módulo de elasticidade dinâmico ao invés do módulo estático usual. Este pode ser arbitrado como uma majoração do módulo estático em aproximadamente 20%. Este procedimento não é conservador, pois com um valor de E superior, a estrutura resulta mais rígida e, portanto, com maior freqüência natural. De forma geral, recomenda-se que as freqüências naturais dos pisos não devem ser inferiores a 3 Hz, pois esta é a faixa principal em que as pessoas se movimentam, em atividades sincronizadas ou intencionais a fim de excitar a estrutura. 4. Vibração Causada por Caminhada Uma pessoa caminhando causa vibração no piso, podendo essa movimentação da estrutura incomodar outros usuários que estejam realizando alguma atividade distinta no mesmo local. Mesmo quando alguns indivíduos estão caminhando, ao mesmo tempo, os seus passos não são sincronizados. Conseqüentemente, a análise dinâmica é baseada no efeito do impacto de vários indivíduos caminhando, mas não sincronizados. 4.1 Freqüência Natural Mínima Uma formulação empírica, baseada nos efeitos da ressonância da caminhada, indica a freqüência natural mínima requerida para a estrutura de piso. F f mín = 2,86 ln (3) ζ We

5 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 4 onde: f mín = freqüência natural fundamental mínima do sistema estrutural (Hz); ln = logaritmo neperiano; F = constante relacionada ao carregamento do piso, indicada na tabela 1; ζ = taxa de amortecimento modal, indicada na tabela 1; W e = peso efetivo, equivalente ao peso total da área do piso influenciada pelo carregamento concentrado, conforme discutido no item seguinte, (kn). Tabela 1 - Valores de F e ζ (MAST; 2001) Tipo de construção Escritórios, residências, Igrejas F (kn) 58 ζ 2 a 3 b 5 c Shopping centers 20 2 Passarelas internas 8 1 Passarelas externas 8 1 a) pisos com poucos elementos não estruturais e mobília, áreas abertas e igrejas b) pisos com elementos não estruturais e mobília c) pisos com divisórias inteiriças entre pisos 4.2 Peso efetivo O efeito do impacto dos pés de uma pessoa caminhando sobre o piso depende da massa da estrutura que é influenciada por este impacto. Este peso efetivo ( W e ) deve ser considerado como a carga permanente mais a variável (w) do painel pré-moldado do piso, multiplicado pelo vão (L) e por uma largura efetiva (B). MAST (2001), baseado em outras referências, indica que a largura B deve ser adotada como: para lajes maciças ou alveolares, que possuam significativa rigidez à torção, B = L ; para painéis duplo T, considerar B variando de 0,8 L (para duplo T de 45,7 cm com 7,62 cm de capa) até 0,6 L (para duplo T de 81,3 cm com 7,62 cm de capa); para elementos de vãos contínuos, o peso efetivo pode ser aumentado em 50%; ALMEIDA et al. (2004) expõe ainda, para a excitação por caminhada, os valores limites de aceleração máxima que a estrutura deve apresentar. 5. Vibração Causada por Atividade Rítmica Em eventos esportivos, concertos musicais, atividades aeróbicas, aulas de dança ou outro tipo de diversão, os expectadores e/ou os participantes freqüentemente se deslocam em conjunto, realizando uma atividade sincronizada em resposta a um estímulo, que pode ser a música, o grito da torcida, etc. Nesses casos, a vibração é causada por muitas pessoas se movimentando ao mesmo tempo em uma freqüência quase constante. Ocorre, então, as atividades ritmadas, cujas forças de excitação são muito mais evidentes do que aquelas produzidas pela caminhada. As expressões e parâmetros de cálculo apresentados à frente referem-se aos seguintes tipos de atividades: a) dança: pisos de academias de dança ou salões de baile; b) concertos ou eventos esportivos: pisos com espectadores de shows ou torcidas; c) atividade aeróbica: pisos de academias de ginástica ou de locais onde se pratica exercícios físicos, como clubes e quadras de escolas.

6 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado Freqüência Natural Mínima O cálculo da freqüência natural mínima recomendada para a estrutura é orientado pela expressão (4). É importante perceber que esta verificação deve ser aplicada para um, ou mais, dos harmônicos da freqüência básica de excitação, a fim de prevenir vibrações inadequadas em qualquer situação. fmín = f k αi w p + amáx / g wt 1 (4) onde: f mín = freqüência natural fundamental mínima do sistema estrutural (Hz); f = freqüência da força de excitação, ( f = i f excit ), (Hz); i = número do harmônico da força de excitação (1, 2 ou 3), indicado na tabela 2; f = freqüência básica da força de excitação, indicada na tabela 2 (Hz); excit k = constante adimensional que depende do tipo de atividade sobre o piso; 1,3 para dança; 1,7 para concertos ou eventos esportivos; 2,0 para atividade aeróbica; α i = coeficiente de ação dinâmica, dado na tabela 2; w p = peso dos participantes, por unidade de área, distribuído sobre o piso (N/m²), tab. 2; w t = peso total, por unidade de área, distribuído sobre o piso; ou seja: peso próprio do piso mais peso dos participantes (N/m²); a máx g = razão entre a aceleração máxima do piso e a aceleração devido à gravidade, cujos limites são apresentados na tabela 3. Atividade Tabela 2 - Carregamentos estimados durantes eventos ritmados Freqüência de excitação f excit (Hz) Peso dos partici-pantes w p (kn/m 2 ) Coeficiente dinâmico α i Dançar 1 o harmônico 1,5 a 3 0,6 0,5 Concertos ou eventos esportivos 1 o harmônico 1,5 a 3 1,5 0,25 2 o harmônico 3 a 5 1,5 5 Exercícios de impacto (atividade aeróbica) 1 o harmônico 2 a 2,75 0,2 1,5 2 o harmônico 4 a 5,5 0,2 0,6 3 o harmônico 6 a 8,25 0,2 0,1 ALMEIDA et al. (2004) tecem importantes considerações sobre a expressão (4), das o quais destaca-se: para a atividade de dança, exige-se o cálculo de f mín apenas para o 1 harmônico da força de excitação; para o caso de concertos e eventos musicais é preciso avaliar inclusive o 2 o harmônico; e para o exercício de impacto, até o 3 o harmônico. 5.2 Aceleração Máxima Os valores limites para a aceleração são indicados na tabela 3. MURRAY (1997) recomenda, todavia, que a aceleração não ultrapasse 5% de g, mesmo que este valor seja menor que o suportável pelos próprios participantes das atividades rítmicas. Justifica este limite a fim de que sejam protegidos os outros ocupantes da edificação, não integrantes da atividade ritmada.

7 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 6 Tabela 3 - Limites de aceleração recomendáveis para atividades rítmicas Finalidade da edificação Aceleração limite a máx / g Escritório ou residência 04 a 07 (0,4 a 0,7 %) Dança e levantamento de peso 15 a 25 (1,5 a 2,5 %) Atividades rítmicas 4 a 7 (4,0 a 7,0 %) 6. Recomendações das Normas Brasileiras Não há qualquer discussão sobre a ação devida a pessoas na NBR 9062:1985. A NBR 6118:2003 traz capítulo específico sobre o assunto, ditando que a freqüência natural da estrutura (f n ) deve ser superior à freqüência da fonte de excitação (nesta norma chamada de freqüência crítica f crít ) de um fator igual a 1,2 (f n > 1,2 f crit ). A NBR 6118:2003, com este procedimento, aponta valores referentes ao 2 o ou 3 o harmônico da força de excitação, dependendo do caso. É um procedimento mais simplificado que o exposto pelas expressões anteriores, embora com fundamento físico. Tabela 4 - Freqüências crítica e natural mínima (segundo a NBR 6118:2003) Caso f crit (Hz) Ginásio de esportes 8,0 9,6 Salas de dança ou de concerto sem cadeiras fixas 7,0 8,4 Escritórios 3,0 a 4,0 3,6 a 4,8 Salas de concerto com cadeiras fixas 3,4 4,1 Passarelas de pedestres ou ciclistas 1,6 a 4,5 1,9 a 5,4 7. Exemplos de Aplicação Existem exemplos de estruturas resolvidas em MAST (2001), ALLEN (1990) e PCI HANDBOOK (2001). Abaixo é feita a análise de alguns painéis típicos pré-moldados de piso, encontrados no mercado nacional (Figura 1). Na discussão que se segue, os diversos casos foram divididos segundo o tipo de excitação. Inicialmente adota-se: (i) os vínculos são do tipo articulação; (ii) não se considerou redução da inércia pela fissuração, o que implica em uma estrutura um pouco mais rígida. Destaca-se que ALMEIDA et al. (2004) estuda também as lajes treliçadas, não abordadas neste trabalho. b b h h Figura 1 - Tipos de painéis analisados Tabela 5 - Características dos painéis duplo T Elemento I (m 4 ) w painel (kn/m²) w capeamento (kn/m²) B painel (m) DT ,88 1,25 2,50 DT ,46 1,25 2,50 DT ,46 1,25 2,50 Concreto: f ck = 35 MPa e E s,din = MPa = (1,2 E s ) Tabela 6 - Características dos painéis alveolares Elemento I (m 4 ) w painel (kn/m²) w capeamento (kn/m²) B painel (m) Alveolar 12cm 2, ,00 1,25 1,00 Alveolar 15cm 2, ,33 1,25 1,25 Alveolar 20cm 6, ,78 1,25 1,25 Concreto: f ck = 35 MPa e E s,din = MPa = (1,2 E s )

8 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 7 Para as estruturas de piso estudadas à frente são apresentados gráficos com os valores das freqüências naturais, função do vão vencido. Na tabela pertinente a cada caso, indicam-se as freqüências mínimas requeridas da estrutura (calculada pela expressão 4), considerando os três primeiros harmônicos da força de excitação. Por último, indicam-se os valores de vãos máximos dos pisos (números inteiros) que atendem aos critérios do 1º e do 3º harmônico, além do prescrito pela NBR 6118:2003 (neste caso, f mín é indicado na tabela 4). 7.1 Atividades Aeróbicas Tabela 7 - Dados utilizados na verificação de vibração provocada por atividade aeróbica Carga variável (peso dos usuários): w p = 0,20 kn/m² (tabela 2) Freqüência do 1 o harmônico de excitação: f 1 = 2,75 Hz (tabela 2) Coeficiente dinâmico para cada harmônico: α 1 = 1,5 α 2 = 0,6 e α 3 = 0,1 Limite de aceleração a máx /g = 4 % (atividade rítmicas) (tabela 3) Constante k = 2 (atividade aeróbica) PAINEL DUPLO T 35,0 3 25,0 2 15,0 1 5, DT30 DT60 DT80 Figura 2 - Freqüência natural de painéis duplo T - atividade aeróbica (1º, 2º e 3º harm) (3º harm) DT 30 6,4; 9,2; 9,4 7,0 m 5,0 m 5,0 m DT 60 6,0; 8,8; 9,2 11,0 m 9,0 m 9,0 m DT 80 5,5; 8,2; 9,0 14,0 m 11,0 m 11,0 m LAJE ALVEOLAR 36,0 32,0 28,0 24,0 2 16,0 12,0 8,0 4, Alveolar 12 Alveolar 15 Alveolar 20 Figura 3 - Freqüência natural de lajes alveolares - atividade aeróbica (1º, 2º e 3º harm) (3º harm) AV 12 6,4; 9,1; 9,4 3,0 m < 3 m < 3 m AV 15 6,1; 8,8; 9,3 6,0 m < 4 m 4,0 m AV 20 5,9; 8,6; 9,2 7,0 m < 5 m 5,0 m Percebe-se claramente, no estudo da laje alveolar, que os resultados são muito restritivos e que apenas os painéis para vãos muito pequenos seriam aceitos. O caso seguinte é similar ao já realizado, porém admitindo os vínculos como engastes.

9 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 8 LAJE ALVEOLAR (com engastes) alveolar - Bi-engastado (1º, 2º e 3º harm) (3º harm) AV 12 6,4; 9,1; 9,4 5,0 m 4,0 m 4,0 m AV 15 6,1; 8,8; 9,3 9,0 m 7,0 m 7,0 m AV 20 5,9; 8,6; 9,2 11,0 m 8,0 m 8,0 m AV 12 AV 15 AV 20 Figura 4 - Freqüência natural de lajes alveolares - atividade aeróbica CASO 2 Como esperado, os vãos possíveis crescem significativamente. Por outro lado, vínculos engastados são onerosos e difíceis de executar. Considerar-se-á, a seguir, uma redução do módulo de elasticidade em função da fissuração (até então, adotou-se o E dinâmico sem minoração pela fissuração). LAJE ALVEOLAR (com engastes e 0,7 E din ) alveolar - Bi-engastado - 0,7EI (1º, 2º e 3º harm) (3º harm) AV 12 6,4; 9,1; 9,4 4,0 m 4,0 m 4,0 m AV 15 6,1; 8,8; 9,3 8,0 m 6,0 m 6,0 m AV 20 5,9; 8,6; 9,2 1 m 8,0 m 7,0 m AV 12 AV 15 AV 20 Figura 5 - Freqüência natural de lajes alveolares - atividade aeróbica CASO 3 Como o módulo de elasticidade é minorado, a freqüência natural dos pisos decresce, reduzindo um pouco os vãos máximos possíveis. 7.2 Eventos esportivos ou shows musicais Tabela 8 - Dados utilizados na verificação de vibração provocada por atividade ritmada Carga variável (peso dos usuários): w p = 1,50 kn/m² (tabela 2) Freqüência do 1 o harmônico de excitação: f 1 = 3,00 Hz (tabela 2) Coeficiente dinâmico para cada harmônico: α 1 = 0,25 α 2 = 5 Limite de aceleração a máx /g = 4 % (atividade rítmicas) (tabela 3) Constante k = 1,7 (concertos ou eventos esportivos)

10 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 9 PAINEL DUPLO T 45,0 4 35,0 3 25,0 2 15,0 1 5, (1º e 2º harm) (2º harm) DT 30 6,3; 7,8 6,0 m 6,0 m 5,0 m DT 60 6,0; 7,6 1 m 9,0 m 8,0 m DT 80 5,6; 7,4 13,0 m 12,0 m 1 m DT30 DT60 DT80 Figura 6 - Freqüência natural de painéis duplo T atividade sincronizada LAJE ALVEOLAR 32,0 28,0 24,0 2 16,0 12,0 8,0 4, (1º e 2º harm) (2º harm) AV 12 6,3; 7,8 3,0 m 3,0 m < 3 m AV 15 6,1; 7,7 5,0 m 5,0 m 4,0 m AV 20 5,9; 7,5 6,0 m 6,0 m 5,0 m Alveolar 12 Alveolar 15 Alveolar 20 Figura 7 - Freqüência natural de lajes alveolares atividade sincronizada Mais uma vez, os resultados são muito conservadores quando se consideram os vínculos como articulados. Abaixo estão apresentados os vãos máximos para os vínculos engastes com e sem a redução do módulo de elasticidade, recaindo-se em conclusão análoga à já comentada. Vínculos engastados permitem vãos maiores e há que se considerar a redução do módulo de elasticidade. LAJE ALVEOLAR (com engastes) Alveolar - Bi-engastado (1º e 2º harm) (2º harm) AV 12 6,3; 7,8 5,0 m 4,0 m 4,0 m AV 15 6,1; 7,7 8,0 m 7,0 m 6,0 m AV 20 5,9; 7,5 1 m 9,0 m 8,0 m AV 12 AV 15 AV 20 Figura 8 - Freqüência natural de lajes alveolares - atividade aeróbica CASO 2

11 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 10 LAJE ALVEOLAR (com engastes e 0,7 E din ) Alveolar - Bi-engastado - 0,7EI (1º e 2º harm) (2º harm) AV 12 6,3; 7,8 4,0 m 4,0 m 3,0 m AV 15 6,1; 7,7 7,0 m 6,0 m 6,0 m AV 20 5,9; 7,5 9,0 m 8,0 m 7,0 m AV 12 AV 15 AV 20 Figura 9 - Freqüência natural de lajes alveolares - atividade aeróbica CASO Vibração provocada por caminhada A freqüência natural mínima, para este tipo de atividade, apresenta valores variáveis com o peso efetivo e conseqüentemente com o vão, como pode ser observado pela expressão 3. Portanto, a comparação da freqüência mínima com a freqüência natural do painel deve ser feita para cada vão. O vão é possível de ser vencido desde que a freqüência natural da estrutura supere a freqüência mínima requerida. Tabela 9 - Dados utilizados na verificação de vibração provocada por caminhada F = 58 kn (escritórios ou residências, situação mais desfavorável) (tabela 1) ζ= 2 (pisos com pouca mobília e elementos estruturais, situação mais desfavorável) Largura efetiva estimada: B = L (painel alveolar), B = 0.8L, 0.7L ou 0.6L (painel duplo T) PAINEL DUPLO T 14,0 12,0 1 8,0 6,0 DT30 35,0 3 25,0 2 15,0 DT80 4,0 1 2,0 5, Frequência natural Frequência mínima Frequência natural Frequência mínima Figura 10 - Freqüências natural e mínima de painéis duplo T vibração por caminhada Observa-se que para o painel DT30 existe um vão máximo (5,0 m) até o qual f mín < f n. Para o piso DT80, a vibração por caminhada não é excessiva em nenhum caso. Para a laje alveolar com h = 12 cm (figura 11), a vibração por caminhada pode ser muito perceptível mesmo para pequenos vãos (máximo admissível = 2 m). Para o painel h = 20 cm, o máximo é 6 m. Adotando um amortecimento maior, menos conservativo (ζ= 5) e a constante relacionada ao carregamento de piso F = 58 kn, tem-se os resultados indicados na figura 12, onde são mostrados ainda a freqüência natural no caso de um módulo de elasticidade reduzido igual a 0,7E d.

12 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 11 LAJE ALVEOLAR 2 15,0 1 Alveolar 12 35,0 3 25,0 2 15,0 Alveolar 20 5,0 1 5, Frequência natural Frequência mínima Frequência natural Frequência mínima Figura 11 - Freqüências natural e mínima de lajes alveolares vibração por caminhada 5 45,0 4 35,0 3 25,0 Alveolar 12 Frequência natural Frequência natural com 0.7EI Frequência mínima Alveolar 15 Frequência natural Frequência natural com 0.7EI Frequência mínima 2 15, , Alveolar 20 Frequência natural Frequência natural com 0.7EI Frequência mínima Figura 12 - Freqüências natural e mínima de lajes alveolares vibração por caminhada CASO 2 Para a laje alveolar com h = 12 cm o vão máximo é 5 m (com redução da rigidez, 4 m), e para as lajes com h = 15 ou 20 cm qualquer vão é aceitável. 8. Conclusões Discutiu-se neste artigo a necessidade da análise de vibração em pisos pré-moldados de concreto, justificando tal fato. Foi apresentada uma metodologia simplificada para este fim, ilustrada por exemplos com painéis pré-moldados (duplo T e lajes alveolares). Com estas simulações de cálculo, percebe-se que os painéis, para diversos vãos usuais, não satisfazem aos requisitos da análise de vibração, embora adequadamente dimensionados aos esforços solicitantes. A ação dinâmica revela-se muito crítica, principalmente quando os vínculos são articulados. No caso de engastes, os vãos possíveis são mais razoáveis, embora possuam a desvantagem construtiva. O mais adequado é considerar no projeto, e executar, vínculos semi-rígidos. Neste caso, a freqüência natural da estrutura ainda pode ser calculada por uma expressão similar a (2), porém com constante diferente das apontadas. A figura 13 apresenta uma útil tabela, extraída de BLEVINS (1984).

13 1 o. Encontro Nacional de Pesquisa-Projeto-Produção em Concreto pré-moldado 12 Figura 13 Tabela de cálculo da freqüência natural de vigas com apoios semi-rígidos. 9. Referências ALLEN,D.E (1990). Building vibrations from human activities. Concrete International, v.12, n.6, p ALLEN, D.E (1990). Vibration criteria for assembly occupancies. Canadian Journal of Civil Engineering, v.17, n.5, p ALMEIDA, S.F.; NÓBREGA, P.G.B.; HANAI, J.B. Análise de vibrações de pisos de concreto prémoldado. In: CONGRESSO BRASILEIRO DO CONCRETO, 46, Florianópolis, Anais. Trabalho CBC0137, p. V.1-V.15. /CD-ROM/ ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1985). NBR 9062:1985 Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003). NBR 6118:2003 Projeto de estruturas de concreto - procedimento. Rio de Janeiro. BACHMAN, H. (1992). Case studies of structures with man-induced vibrations. Journal of structural engineering, v.118, n.3, p BLEVINS, R.D. Formulas for natural frequency and mode shape. Robert Krieger, CHEN, Y.; ASWAD, A. (1994). Vibration characteristics of double tee building floors. PCI Journal. v.37, n.1, p MAST, R.F (2001). Vibration of precast prestressed concrete floors. PCI Journal, nov/dec, p MURRAY, T.M.; ALLEN, D.E.; UNGAR, E.E. (1997). Floor vibrations due to human activity. AISC - CISC, Steel Design Guide Series, v.11. PCI PRECAST/PRESTRESSED CONCRETE INSTITUTE (2001). PCI design handbook. 5 ed/cd-rom/