CONSIDERAÇÃO DE AÇÕES DINÂMICAS NO DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO

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1 CONSIDERAÇÃO DE AÇÕES DINÂMICAS NO DIMENSIONAMENTO DE LAJES DE EDIFÍCIOS EM CONCRETO ARMADO Eduardo Pasquetti Moacir Kripka Agenor Dias de Meira Jr. Universidade de Passo Fundo Faculdade de Engenharia e Arquitetura Bairro São José Passo Fundo, RS Brasil mkripka@upf.tche.br Sumário O presente trabalho tem por objetivo apresentar um procedimento para a determinação da espessura mínima de lajes planas retangulares submetidas a cargas harmônicas decorrentes da ação do ser humano. Com esta finalidade foram elaborados ábacos para aplicação a lajes de edifícios residenciais, nos quais se pode ter ação dinâmica devido a caminhada rápida, e academias de ginástica. Em virtude da NBR-6118 (1978) praticamente omitir considerações sobre ações dinâmicas, este trabalho toma como referência as recomendações contidas no Boletim 209 do Comitê Europeu de Concreto (CEB, 1991). Sugere-se que a fixação de limites mínimos para espessura seja efetuada a partir da determinação da flecha decorrente das ações estáticas seguida da verificação a partir dos ábacos apresentados. Para as lajes analisadas no presente trabalho verificou-se que nem sempre o atendimento à flecha admissível para ações estáticas atende ao requisito relativo às vibrações perceptíveis ao ser humano. 1. Introdução Ações de caráter dinâmico são, com pouca frequência, consideradas na análise de estruturas usuais de edificações, sendo que normalmente podem ser substituídas por ações estáticas equivalentes. Esta simplificação contempla de forma satisfatória o dimensionamento em relação ao estado limite último, porém nem sempre atende a condição relativa a perfeita utilização da estrutura. A NBR-6118 (1978), atual norma brasileira de projeto e execução de obras de concreto armado, comenta somente que deve ser verificada a possibilidade de ressonância e fadiga nas estruturas. Já segundo o projeto de revisão da atual norma, para que a estrutura tenha um comportamento satisfatório frente às ações de natureza dinâmica a freqüência natural de vibração da estrutura deve ser 20% maior que a freqüência da excitação.

2 2 Não fornece, no entanto, indicações a respeito de como proceder para a obtenção da freqüência natural de vibração, nem tampouco das freqüências das excitações. Faltam, portanto, ferramentas que auxiliem o engenheiro na verificação do comportamento de tais estruturas sem que necessite proceder a uma análise dinâmica, a qual certamente envolveria o uso de programas de elementos finitos e, conseqüentemente, tempo no aprendizado para utilização do software e da teoria que o sustenta. Normalmente, associa-se a presença de ações dinâmicas a rajadas de vento ou trânsito de veículos sobre pontes. No entanto, pavimentos de edifícios residenciais ou comerciais também estão sujeitos a vibrações, provocadas tanto por caminhadas rápidas com até mesmo por corridas ou dança, no caso de pisos de ginásios de esportes ou academias de ginástica. Quando as vibrações decorrentes são perceptíveis aos sentidos humanos, podem provocar nestes efeitos que vão desde o desconforto, a preocupação a respeito da segurança do edifício, até o declínio do nível de concentração mental, entre outros. Isto só se verifica quando da proximidade da freqüência natural da estrutura com a freqüência de uma das cargas atuantes, sendo aconselhável portanto que a estrutura seja dimensionada com rigidez tal que mantenha sua freqüência de vibração superior a freqüência de repetição do carregamento. Neste sentido, seguindo as recomendações do CEB, Conselho Europeu de Concreto, contidas no Boletim 209, foram elaborados ábacos para lajes maciças retangulares, a fim de obter-se a espessura mínima das mesmas em função da geometria, das condições de contorno e da resistência do concreto empregado. As ações consideradas foram devido a caminhadas rápidas e a dança, as quais se constituem em situações limites para edifícios residênciais ou comerciais e para academias de ginástica, respectivamente. Tais ábacos, dependendo da forma como são utilizados, permitem tanto o dimensionamento como a verificação em estruturas já existentes. De forma a ilustrar a aplicação dos ábacos desenvolvidos, apresentam-se também os resultados obtidos a partir da análise de um pavimento de uma escola, na qual foram empregadas lajes planas de dimensões relativamente grandes. 1. Conceitos básicos Os principais objetivos da análise dinâmica consistem na determinação dos deslocamentos máximos e das propriedades dinâmicas de um sistema estrutural, que são as freqüências naturais de vibração associadas a seus respectivos modos de vibração os quais, a exemplo da rigidez, são propriedades intrínsecas da estrutura. Nos casos onde a carga que atua sobre a estrutura varia com o tempo de forma periódica ou é aplicada de forma rápida, deve-se proceder a uma análise dinâmica. Segundo ALVAREZ (1981), a análise estática só é válida quando se pode supor que o carregamento é iniciado em zero, atingindo seu valor final num intervalo de tempo muito grande e depois tendendo a manter seu valor estável durante o tempo, de modo que as acelerações e velocidades dos pontos da estrutura originem forças de inércia praticamente desprezíveis. Pelo fato de não existirem corpos rígidos, todas as cargas são de natureza dinâmica. Um ponto de uma estrutura, ao sofrer um deslocamento relativo, origina acelerações e velocidades, gerando assim forças de inércia que, dependendo das características do sistema estrutural, podem ser ou não desprezadas. Isto é, dizer se uma carga provoca ou não efeito dinâmico que deve ser levado em conta dependerá da resposta deste sistema. Uma maneira de prever a resposta da estrutura é comparar a freqüência natural de vibração da estrutura com a freqüência da solicitação, sendo que se forem coincidentes tem-se um fenômeno chamado de ressonância, onde os deslocamentos aumentam até atingir a ruptura da estrutura.

3 3 Ainda de acordo com ALVAREZ (1981), quando numa estrutura tem-se ressonância, por mais resistente que seja esta estrutura, acabará ultrapassando os estados limites de utilização. Ao se efetuar uma análise dinâmica normalmente procede-se a discretização da estrutura, que é a representação da mesma por um conjunto de barras e nós constituindo um sistema estrutural com um certo número de graus de liberdade, que expressam o deslocamento destes nós. Quanto menor for o número de graus de liberdade mais rápida será a resolução do sistema e, de forma geral, será também menos próxima da solução exata, uma vez que as estruturas reais são contínuas, possuindo infinitos graus de liberdade e, portanto, infinitas freqüências e modos de vibração. Ao solicitar uma estrutura qualquer com uma carga aplicada de forma súbita, provocase a vibração do sistema em vários modos. À medida que o sistema for dissipando a energia proveniente do deslocamento causado pela excitação, este sistema passa a vibrar somente no seu modo natural, que está associado à freqüência mais baixa de vibração. Toda estrutura em vibração livre tende a vibrar na sua freqüência e modo naturais de vibração, que é o modo onde ela apresenta menos resistência aos deslocamentos. Se a vibração é causada por uma ação periódica, a estrutura tende a vibrar na freqüência desta excitação. A equação (1) expressa o equilíbrio dinâmico que a todo instante deve ser satisfeito para cada nó, e que pode ser representada por um sistema massa-mola-amortecedor, sendo: k a rigidez correspondente à mola, x o deslocamento, c o amortecimento, x a velocidade, m a massa, x a aceleração e f (t) a ação variável em função do tempo. kx cx mx f (t) (1) Na equação anterior o produto kx representa a elasticidade do sistema, c x garante a extração de energia do sistema em movimento, fazendo com que volte ao repouso cessada a excitação, e a parcela m x corresponde às forças de inércia, que aumentam o valor de f (t) e são originadas pelo movimento da massa. Caso apenas f (t) seja nulo, tem-se um movimento livre amortecido, para o qual é efetuada a determinação das freqüências e modos naturais de vibração. O amortecimento c, por sua dificuldade de determinação, é convenientemente aproximado, considerando-se a força de amortecimento proporcional a velocidade, chamado de amortecimento viscoso. Normalmente, a maneira de expressar o quanto uma estrutura tem de amortecimento é através do coeficiente relativo de amortecimento, ou taxa de amortecimento, representado por, cujo valor é dado pela equação (2). Nesta, c é o amortecimento crítico da estrutura, cujo valor é c cr 2 km. c (2) cr 2. Vibrações em pavimentos de edifícios em concreto armado Conforme COOK et al (1988), para a estrutura não apresentar problemas com vibrações, sua freqüência natural deve ser igual ou superior a três vezes a da freqüência da excitação. Segundo o CEB (1990), para lajes com amortecimento alto, com taxa de amortecimento maior que 5%, a freqüência natural de vibração deve ser igual ou superior ao segundo harmônico do espectro de cargas. Para estruturas com taxa de amortecimento inferior a 5%, a freqüência natural de vibração deve ser igual ou superior ao terceiro harmônico do espectro de cargas.

4 4 De acordo ALVAREZ (1981), no caso lajes em concreto armado, a perda de energia do sistema em movimento é causada, entre outros, pelos seguintes fenômenos: comportamento não linear do concreto ou aço; perda de rigidez por fissuração; amortecimento proveniente de adição de materiais não estruturais ao piso nu. Caso seja necessária a determinação correta do coeficiente de amortecimento, deve-se proceder a sua obtenção a partir de instrumentação em estruturas reais e semelhantes ao modelo em estudo, não sendo válida portanto a verificação de comportamento em escala reduzida, devido à complexidade do problema. Em estruturas de edificações, conforme ALVAREZ (1981) apud BRIGGS, constatou-se que a taxa de amortecimento varia de 5% a 10%, e nos casos de amortecimento maior, (ALVAREZ apud NEWMARK e RODEMBLUETH) os máximos para a taxa de amortecimento chegaram a 20%. Nestes casos, pode-se substituir a freqüência natural de movimento livre amortecido pela do movimento livre, podendo então, ser desprezado o amortecimento para estruturas tais como lajes em concreto armado. Esta afirmação é amparada pelo CEB (1990), segundo o qual o amortecimento pode ser desprezível na maioria dos casos de vibração estrutural. 3. Ábacos para a determinação da espessura mínima 3.1 Hipóteses adotadas No presente trabalho são especialmente enfatizadas duas situações, quais sejam: pisos de edifícios comerciais ou residenciais com pessoas caminhando de forma rápida, e pisos de ginásios esportivos ou academias de ginástica. Para estas situações, segundo o Boletim 209 do CEB (1991), as frequências de excitação podem atingir 2,4Hz e 3,5 Hz, respectivamente. Estas frequências correspondem ao primeiro harmônico do espectro de cargas. O método utilizado para a elaboração dos ábacos, designado por High Tunning Method, ou método de sintonia alta, considera algumas simplificações no comportamento das lajes. Como já mencionado, é desprezado o amortecimento das lajes. Adicionalmente, a massa utilizada foi a proveniente do próprio piso, isto é, ao utilizar o ábaco não se consideram cargas acidentais como mobílias ou cargas fixas como paredes, como também não foi considerada a massa das cargas móveis que causam o carregamento dinâmico. Tal simplificação pode ser considerada aceitável na medida em que a adição de massa ao pavimento reduz o valor da freqüência natural de vibração, mas em contrapartida aumenta o amortecimento da laje. Adicionalmente, o método empregado baseia-se na representação de estruturas de lajes ou vigas por apenas um grau de liberdade situado no centro ou no meio do vão respectivamente, sendo que na realidade tem-se tantos modos e freqüências naturais de vibração quanto forem os graus de liberdade da estrutura. Conforme anexo do CEB (1991), no entanto, esta simplificação representa bem a realidade quando a estrutura apresenta uma distribuição de cargas razoavelmente uniforme sobre o piso e quando as freqüências dos dois primeiros modos não coincidem em valor, o que ocorre quando se trata de lajes de lados iguais. Nos casos onde não se atende esta exigência, deve-se proceder a uma análise com mais graus de liberdade. As tabelas apresentadas pelo CEB (1991) fornecem parâmetros para a determinação da frequência natural em vigas com três tipos distintos de vinculações e em lajes com duas situações de vinculação (lados totalmente engastados ou simplesmente apoiados). Os fatores de correção de massa, M, e de rigidez, L, apresentados nestas tabelas, foram obtidos através de aplicação do método de coordenadas generalizadas descrito detalhadamente, entre outros, por CLOUGH R. W. e PENSIEN J. (1975). Através da utilização destes fatores, a frequência natural circular é calculada com o emprego da expressão (2):

5 5 Lk w (2) Mm Com o objetivo de verificar os parâmetros fornecidos pelas tabelas do CEB (1991), e desta forma possibilitar a aplicação do método a distintas condições de contorno, foram realizadas diversas simulações numéricas com a utilização do software de elementos finitos Ansys. Foram analisadas lajes para diversas relações entre lados a/b (sendo a o lado menor e b o lado maior) e para as condições de contorno para as quais o CEB possibilita a determinação da frequência natural, variando-se para cada caso a espessura h da laje. Os modelos implementados sempre apresentaram valores ligeiramente superiores para a freqüência natural da estrutura, permitindo assim, um pequeno aumento nas dimensões da laje para ajustar-se com a freqüência de excitação. Para a situação onde todos os lados são apoiados constatou-se uma diferença máxima no valor da freqüência do primeiro modo da ordem de 5.69 %, para h=7 cm e a/b=0.5, e uma diferença mínima de 2.49 % quando h=14 cm e a/b=1. Para as lajes com todos os lados engastados a diferença máxima no valor da freqüência correspondente ao primeiro modo foi de 5.25 % com h=7 cm e a/b=0.7, e a mínima foi de 0.32 % para h=14 cm e a/b=1. Verificando que a diferença máxima de 5.69 % das freqüências representa um aumento de aproximadamente 10 cm no comprimento do lado menor ou uma redução de 0.37 cm de h, ambos para a/b=0.5 e h=7 cm, considerou-se esta imprecisão pequena e portanto desprezível para os objetivos propostos. Uma vez aferido o programa, foram determinados os valores que comporiam os ábacos. Para a determinação da espessura da laje a frequência natural foi igualada ao valor da freqüência correspondente ao terceiro harmônico de cada tipo de excitação considerada. Conforme simulações realizadas, alterações no valor da resistência característica do concreto, fck, não representaram modificações significativas no valor da freqüência. Ainda assim, para o caso no qual se deseje determinar a frequência da estrutura para uma resistência em particular, foi desenvolvido um ábaco genérico, válido no entanto apenas para as duas condições de contorno apresentadas pelo CEB Ábacos para lajes armadas em duas direções Os ábacos foram compostos com a utilização de software Maple. Primeiramente foram obtidos os comprimentos máximos do lado menor a das lajes para uma determinada relação a/b (variando-se de 0.5 a 1), e uma determinada espessura ou altura h de laje (variando-se de 7 a 14 cm). Os valores correspondentes forneceriam portanto seis pontos para o traçado de uma curva para cada espessura de laje. Ao programa coube interpolar curvas para estas espessuras, para oito tipos de condições de contorno em cada problema analisado, quais sejam, vibrações provocadas por caminhadas rápidas e vibrações em academias de ginástica ou ginásios esportivos. Para a elaboração dos ábacos genéricos as dimensões máximas foram obtidas tendo o fck, a freqüência da excitação e a espessura da laje como variáveis. A figura 1 apresenta as condições de contorno para as quais forma elaborados os ábacos, além das situações cobertas pelas tabelas do CEB (todos os lados simultaneamente apoiados ou engastados). Por questão de concisão, e com o objetivo de ilustrar o presente trabalho, apresenta-se apenas os ábacos desenvolvidos para a análise de vibrações provocadas por caminhadas rápidas em lajes simplesmente apoiadas (figura 2) e para academias de ginástica, também simplesmente apoiadas (figura 3). Os ábacos completos, bem como uma descrição mais aprofundada dos procedimentos envolvidos na obtenção destes podem ser encontados em PASQUETTI (2000). Para a primeira situação apresentada, conforme se verifica, as vibrações podem ocorrer em edifícios com lajes de grandes dimensões, uma vez

6 6 que, conforme citado anteriormente, a frequência utilizada como correspondente ao primeiro modo foi de 2,4 Hz. Já para a segunda situação a frequência considerada foi de 3,5 Hz. A utilização dos ábacos pode ser efetuada tanto para o dimensionamento como para a verificação de lajes existentes. Para qualquer destes casos, os dados necessários consistem unicamente na dimensão do lado menor a e no parâmetro z, equivalente à relação a/b. A espessura mínima h da laje corresponde à altura útil acrescida de um centímetro. Figura 1: condições de contorno cobertas pelos ábacos Figura 2: ábaco para lajes retangulares com quatro lados apoiados (caminhada).

7 7 Figura 3: ábaco para lajes retangulares com quatro lados apoiados (academias e ginásios). Para a verificação de lajes armadas em duas direções para situações diversas das consideradas foi desenvolvido ainda um ábaco genérico, apresentado na figura 4. Este ábaco foi obtido a partir das tabelas do CEB, e, portanto, pode ser utilizado apenas para lajes totalmente apoiadas ou totalmente engastadas. A utilização deste ábaco assemelha-se aos anteriores, sendo verificado o limite correspondente à dimensão máxima do lado menor a partir da equação 3. a máx fck h a z * 4 35 * (3) f onde: - a z é o valor obtido no ábaco correspondente a uma relação a/b ; - fck é a resistência característica do concreto, informada em kgf/cm²; - h é a espessura da laje em centímetros; - f é a freqüência correspondente ao primeiro modo da ação.

8 8 Figura 4: ábaco genérico Expressões para vigas e lajes armadas em uma única direção Para lajes armadas em uma única direção, e portanto utilizáveis também para vigas, foram desenvolvidas tabelas relacionando o comprimento do vão, a vinculação e a correspondente espessura. Opcionalmente, pode ser empregada a expressão (4) para, a exemplo do ábaco genérico, verificar-se o atendimento ao comprimento máximo. lmáx 4 fck 35 c h (4) f sendo o fator c aproximadamente igual a: -11,55 para laje simplesmente apoiada -14,42 para laje com uma extremidade apoiada e outra engastada -17,38 para laje totalmente engastada 4. Exemplo de análise de um pavimento De forma a ilustrar a aplicação dos ábacos desenvolvidos, apresenta-se a análise das lajes de um andar de uma escola construída na cidade de Carazinho, no Rio Grande do Sul (figura 4). Cada laje teve sua espessura determinada pelos critérios da NBR-6118(1980) para dispensa da verificação da flecha. Também foi verificado através dos ábacos desenvolvidos se a espessura de cada laje do projeto atendia a freqüência mínima adotada de 2,4Hz, correspondente a caminhadas rápidas.

9 9 Figura 4: esquema do pavimento estudado Os valores resultantes das análises efetuadas são apresentados na própria figura 4. As espessuras indicadas são as efetivamente utilizadas, baseadas apenas no cálculo estático. Já os valores de espessura de laje indicados entre parênteses são os sugeridos para alteração, de acordo com os critérios dos ábacos desenvolvidos. Em função das espessuras pouco usuais para o sistema estrutural empregado, foi necessária a utilização do ábaco genérico. Em função do método aproximada empregado na elaboração dos ábacos, para as lajes L1 e L8, que apresentaram espessura insuficiente para solicitações de caminhadas rápidas,

10 10 foram determinadas as correspondentes freqüências naturais. Estas resultaram em valores iguais a 6,59Hz e 5,18Hz respectivamente, o que segundo TARANATH (1988), satisfaz uma recomendação da norma Canadense que diz que pisos de escolas não devem apresentar freqüências naturais inferiores à 5Hz. Ainda segundo TARANATH (1988), no entanto, esta norma recomenda que pisos de auditórios, ginásios ou edificações com ocupações semelhantes apresentem freqüência igual ou superior a 10Hz. 5. Conclusões e considerações finais O fato de se observar com relativa frequência a ocorrência de vibrações perceptíveis em lajes de concreto armado sugere a necessidade de uma análise mais cuidadosa quando da verificação relativa ao estado limite de utilização nesse tipo de estrutura. Em função das poucas indicações fornecidas pelas normas técnicas vigentes e do maior grau de dificuldade que envolve a análise dinâmica, optou-se pelo desenvolvimento de ábacos de fácil utilização, a serem empregados para a verificação das espessuras determinadas da forma usual. A partir de diversas lajes analisadas, observou-se que o dimensionamento para ações estáticas, ainda que considerado o efeito das ações de longa duração, nem sempre se apresenta como suficiente. Deve-se enfatizar, no entanto, o caráter conservativo do método empregado na confecção dos ábacos. Desta forma, o não atendimento à espessura mínima indicada por estes não aponta necessariamente a ocorrência de vibrações excessivas, merecendo neste caso uma análise mais aprofundada pela determinação das frequências e modos de vibração da estrutura. É sabido que o pré-dimensionamento quando efetuado conforme indicação da NBR (1980), relativa à dispensa da verificação da flecha, conduz invariavelmente a valores conservativos para carregamentos usuais, razão pela qual não deverá constar das futuras normas. Pelas análises efetuadas verificou-se que a espessura obtida a partir dessa indicação é demasiada também quando comparada à obtida a partir dos ábacos apresentados no presente trabalho. A despeito das diversas simplificações efetuadas, considera-se que os ábacos desenvolvidos possam se constituir em um instrumento de grande utilidade para a determinação do comportamento de lajes de concreto armado frente a solicitações de natureza dinâmica. Referências Bibliográficas ALVAREZ, Arguelles. Teoria de las estructuras. 3 ed. Reverte, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de obras de concreto armado: NBR Rio de Janeiro, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Cargas para o cálculo de estruturas de edificações: NBR Rio de Janeiro, BLESSMANN, Joaquim. Introdução ao estudo das ações dinâmicas do vento. Porto Alegre : UFRGS, CEB, Vibration problems in structures. 1991, Nº 209, Bulletin d information. COOK, Robert D., MALKUS, David S., PLESHA, Michael E., Concepts and applications of finite element analysis. 3 ed. Madison: Wiley, 1988.

11 11 PASQUETTI, E., Consideração de Ações Dinâmicas no Dimensionamento de Pavimentos de Edifícios em Concreto Armado. Trabalho de Conclusão de Curso de Graduação, UPF: Passo Fundo TARANATH, B., Structural Analysis and design of tall buildings, 1988.