Instrumentação e Técnicas de Medidas

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1 Instrumentação e Técnicas de Medidas BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) - Pavillon de Breteuil

2 Controle de Versões 203 Versão : Com base em Measurement Systems Application and Design, Ernest O. Doebelin, 4th edition, 989, IEC International Electrotechnical Vocabulary, IEC , Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM) e Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (GUM). Versão.: Pequenas alterações de texto, informações adicionais da IEC , alguma informação sobre calibração dinâmica. 205 Versão 2: Pequenas correções de texto e união de todas as apostilas. Última alteração: 24/02/206 (22/08/203) 2

3 Índice Aplicações da instrumentação Configurações e descrições funcionais Elementos funcionais Transdutores ativos e passivos Modos de operação analógico e digital Modos de nulo e de deflexão Entradas e saídas... 3 Características de desempenho estático e dinâmico Características estáticas Calibração estática Erros aleatórios e sistemáticos Exatidão Precisão Deriva Faixa Faixa dinâmica Resolução Limiar Sensibilidade estática Linearidade Histerese e outras não linearidades Ajustes Exemplo sobre calibração estática Características dinâmicas Sistemas lineares no domínio do tempo Resposta ao degrau Resposta em frequência Exemplos de sistemas de ordem zero, um e dois Outras características Aspectos numéricos Algarismos significativos Representação de incertezas Cálculo e propagação de incertezas Erro máximo Erros e incertezas em instrumentos eletrônicos Transdutores resistivos Potenciômetro Strain gauge Detector resistivo de temperatura (RTD) Termistores Outros transdutores resistivos Eletrônica para transdutores resistivos Amplificador operacional Introdução Símbolo e Modelo Amplificador inversor Amplificador não-inversor

4 5.5 Amplificador somador inversor Amplificador diferencial ou subtrator Conversores tensão corrente Outras topologias Considerações práticas Circuitos especiais Amplificador de instrumentação Amplificador com realimentação ativa Amplificador diferencial completo Amplificador operacional de transcondutância (OTA) Amplificador isolador Amplificador chopper e auto-zero Amplificador de ganho programável (PGA) Potenciômetro digital Conversores AD e DA Referências de tensão e corrente Circuitos condicionadores para transdutores resistivos Medidas de resistência Circuitos em ponte de Wheatstone Medições de resistência em ponte de Wheatstone Instrumentação para medidas remotas Problemas com offset Interferência, blindagem e aterramento Formas de propagação Aterramento Laços de terra Cabeamento Acoplamento capacitivo Acoplamento indutivo Ruídos em circuitos de alta frequência Gabinetes Peças Transdutores reativos Transdutores capacitivos Variações dimensionais Capacitores diferenciais Transdutor Indutivo Transdutores de relutância variável Transdutores de indutância mútua Outros transdutores indutivos Comparadores Símbolo Características Configurações típicas Detetor por cruzamento de zero Limitação da tensão de saída Detetor de nível com limitação de tensão de saída Comparador de janela

5 0.3.5 Comparador de declividade Comparador com histerese...32 Retificadores de precisão e detectores de pico Retificador de ½ onda Retificador de onda completa Detetor de pico Sobre a escolha dos diodos Integradores e derivadores Integrador Integrador prático Derivador Derivador prático Conversor logarítmico e antilogarítmico Introdução Modelo de Ebers Moll do transístor NPN Conversor logarítmico Conversor Antilogarítmico Outras operações com circuitos analógicos Multiplicação Multiplicador por transcondutância variável Multiplicador com conversor logarítmico Divisão Raiz quadrada Circuito conversor RMS-DC Geradores de função Introdução Osciladores harmônicos Osciladores não harmônicos Gerador de onda retangular Gerador de onda triangular Gerador de rampa ou dente de serra Gerador de onda senoidal por conformação de triangular Conformação usando par diferencial Conformador com diodos Conformador por série de Taylor Geração de senoides por síntese digital direta (DDS) Circuitos condicionadores para sensores reativos Circuitos de medida Circuitos em ponte Circuitos para sensor simples ou diferencial Blindagem Demoduladores Transdutores autogeradores Transdutores termoelétricos Transdutores Piezoelétricos Transdutores fotovoltaicos Ruído e incertezas Ruído térmico

6 8.2 Shot noise Ruído de contato Soma de ruídos Espectro de ruído Equivalente Elétrico Razão sinal ruído e figura de ruído Tabela de erros Componentes Passivos Resistores e potenciômetros Efeitos térmicos Elementos parasitas Falhas, variação com o tempo e ruído Potenciômetros Indutores Capacitores Absorção Dielétrica Elementos parasitas (Rp, ESR e ESL) Tolerância Condicionamento para sensores autogeradores Offset e drift em amplificadores operacionais Eletrômetros, amplificadores de trans impedância e de carga Amplificador para fotodiodo no modo fotovoltaico Condicionador para fotodiodo operando no modo fotocondutivo Amplificadores de Carga Filtros seletores de frequência Introdução Unidades e nomenclatura Funções de ª e 2ª ordens Gabaritos Normalização e desnormalização em frequência Transformação passa baixa para passa baixa normalizado Transformação passa alta para passa baixa normalizado Transformação passa faixa para passa baixa normalizado Transformação rejeita faixa para passa baixa normalizado Escolha das frequências e atenuações Aproximações Cálculo das aproximações Para aproximação de Butterworth Outras aproximações Gráficos de resposta normalizados Soluções tabeladas Etapas da síntese Síntese de filtros Filtros de segunda ordem RC Filtros a capacitor chaveado Filtros variáveis de estado Exemplo Configurações de um único amplificador operacional

7 2..5 Passa baixas Sallen-Key Passa baixas MFB Passa altas Sallen-Key Passa altas MFB Passa Faixa Sallen-Key Passa faixas MFB Rejeita faixa (ou Notch) Rejeita faixa Sallen-Key (modificado com rede duplo T) Rejeita faixa MFB (modificado) Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo

8 Aplicações da instrumentação A instrumentação trata do uso de instrumentos de medida para, basicamente, três tipos de aplicações: O monitoramento de processos e operações; o controle de processos e operações, e a análise experimental. No monitoramento estamos interessados apenas na medida de diferentes grandezas físicas. No controle, por outro lado, estamos interessados em medir grandezas para fechar uma malha de controle tal qual em sistemas lineares. Também pode acontecer de estarmos estudando problemas que não tenham uma teoria bem definida para explicá-lo, neste caso simulações e experimentos devem andar de mãos dadas para tentar solucionar o problema proposto. A compreensão sobre o desenho e a concepção dos experimentos também é de fundamental importância para que se consiga manter sobre controle os efeitos indesejados. No mundo atual avaliamos, muitas vezes, que a solução de todos os problemas passa por uma análise computacional e que estes sistemas devem ser os mais eficientes. De um modo geral as pessoas já se convenceram que, no futuro, os computadores poderão resolver todos os problemas existentes. Os computadores, entretanto, não costumam ser os elementos críticos para a maioria dos problemas existentes e sim os atuadores ou sensores capazes de integrá-los ao mundo real. De qualquer forma, o uso inteligente da instrumentação sempre ira depender do nosso conhecimento sobre o assunto, dos materiais disponíveis, e de qual desempenho cada solução proposta pode apresentar. Novos equipamentos estão sendo desenvolvidos a cada dia, mas os conceitos e ideias básicas de vários sistemas de medida tem sido usadas com sucesso e continuarão assim por muitos anos ainda. Estudá-los é de grande valia para entender como funcionam e como são aplicados o que possibilitará estendê-los a outras aplicações. 8

9 2 Configurações e descrições funcionais 2. Elementos funcionais É possível e desejável descrever a operação e o desempenho de instrumentos de medida e equipamentos de forma generalizada. A operação normalmente é descrita em termos de elementos funcionais enquanto o desempenho em termos de características estáticas e dinâmicas. Antes de mais nada, entretanto, é importante deixar claro alguns conceitos aparentemente simples mas que podem gerar confusão. Instrumento de medida, por exemplo, e definido pelo Vocabulário Internacional de Metrologia (VIM) como o dispositivo utilizado para realizar medições, individualmente ou associado a um ou mais dispositivos suplementares enquanto que um sistema de medição corresponde a um ou mais instrumentos de medição e seus insumos. Já uma cadeia de medição é uma série de elementos de um sistema de medição que formam um caminho único desde a entrada até a saída do instrumento, como na Figura 2.. m A B C D E Figura 2.: Cadeia de medição. m) Mensurando; A) Elemento sensor primário; B) Elemento conversor de variável; C) Elemento de manipulação de variável; D) Elemento de transmissão de dados; E) Armazenamento ou exibição. O elemento sensor primário é aquele que primeiro recebe energia do meio e produz uma saída (sinal) que varia em função da quantidade a ser medida (mensurando). Em metrologia este elemento é chamado de sensor sendo definido como o elemento de um sistema de medição que é diretamente afetado por um fenômeno, corpo ou substância que contém a grandeza a ser medida. (VIM). Observe que o elemento primário sempre retira energia do meio. O sensor ideal é aquele que elimina este efeito de carga e não influencia sobre o que se deseja medir. Adicionalmente ele deve ser afetado apenas pelo mensurando desejado. A saída deste sensor primário sempre é uma variável física como deslocamento ou tensão. Algumas vezes é necessário transformar esta variável em outra mais fácil de ser tratada ou manipulada. Esta é a função do elemento conversor de variável. É interessante notar que nem todos os instrumentos incluem este bloco e outros incluem mais de uma transformação de variáveis. Também é importante dizer que algumas vezes um único elemento físico é responsável por um ou mais blocos deste diagrama. Na sequência existe o elemento de manipulação da variável relacionada a grandeza que se deseja medir. Esta manipulação pode ser um simples amplificador ou um complexo sistema envolvendo não apenas elementos eletrônicos. Se o sinal a ser manipulado é elétrico normalmente este bloco é chamado de condicionador de sinais, circuito de interface ou front end e as operações de mudança de nível, amplificação, filtragem, casamento de impedâncias, modulação e demodulação são as mais comuns. Assim como os demais, este elemento não necessariamente se apresenta nesta exata posição do diagrama, podendo ser necessário seu aparecimento em diferentes posições. Por fim existem os elementos de transmissão de dados que podem ser sistemas de exibição para o operador, telemetria ou simples alavancas para mover um ponteiro. Também podem ser sistemas para armazenar os dados obtidos permitindo uma análise ou relatório posterior. 9

10 É importante observar que todos os instrumentos de medição são criados para operarem em uma faixa de valores sendo que o seu máximo costuma ser chamado de valor nominal. O valor nominal, na verdade, é mais do que isso, ele corresponde ao valor da grandeza que serve de guia para a utilização apropriada do instrumento. Assim ele pode ser o valor máximo de medida de um voltímetro ou de uma proveta mas também pode ser o valor de um resistor ou da sua potência máxima. 2.2 Transdutores ativos e passivos Os transdutores, dispositivos utilizados em medição e que fornecem uma grandeza de saída que guarda uma relação especificada com uma grandeza de entrada (VIM), podem ser ativos ou passivos. Como este texto foi criado a partir de diferentes fontes podem aparecer nele duas definições diferentes para transdutores ativos e passivos. Transdutores passivos serão aqueles cuja energia para seu funcionamento é fornecida total ou quase que totalmente pelo sinal de entrada. Por outro lado um transdutor ativo é aquele que uma fonte auxiliar fornece a maior parte da energia necessária para o funcionamento do transdutor. Esta definição pode gerar algumas confusões. Uma chave, por exemplo, pode ser um transdutor ativo uma vez que a energia para ligar ou desligar o restante do circuito vem de uma fonte externa e não da chave ou do objeto que ativou a chave. Amplificadores são elementos naturalmente ativos pois a energia na saída do amplificador não vem da fonte de sinal mas sim da fonte de energia. Assim um transdutor resistivo pode ser considerado como ativo, uma vez que ele precisa ser alimentado por fontes de tensão ou corrente para resultar em uma tensão de saída. Neste caso a energia na saída do transdutor não é fornecida por ele mas sim pela fonte. Um transdutor passivo, por outro lado, é aquele que provê sua própria energia, ou a deriva do próprio fenômeno que está sendo medido. Um exemplo poderia ser um termopar, normalmente utilizado para medir temperatura, uma vez que a saída do transdutor é uma tensão proporcional a uma diferença de tensão. Atenção especial deve ser dada a estas definições pois elas podem ser utilizadas com sentidos diferentes em diferentes bibliografias Um sentido mais eletrônico, por exemplo, é comumente atribuído a elas e, neste caso, resistores e chaves seriam transdutores passivos. Os próprios termos, sensor e transdutor são usados com sentidos diferentes em diferentes textos e até mesmo em dicionários. Todas estas diferenças existem pois a instrumentação é usada e estudada por diversas áreas com jargões diferentes, mas mesmo restringindo a área a evolução da instrumentação ao longo dos anos levou a mudanças nos conceitos e definições para torná-los mais claros e menos ambíguos. Neste texto, de um modo geral, os termos sensores e transdutores serão usados de forma indistinta, mas se você tiver trabalhando com metrologia, não cometa este sacrilégio! Recomenda-se ainda que, em textos escritos, defina-se cada termo logo após o seu uso inicial, ou que seja citada uma referência para o significado dado a cada termo, neste caso recomenda-se o VIM do ano vigente. 2.3 Modos de operação analógico e digital Os instrumentos de medida podem funcionar em modo digital ou analógico. Normalmente o conceito de analógico implica na medida contínua enquanto que sistemas digitais utilizam quantização do que se mede. Esta quantização, entretanto, não deve ser significativa para não afetar a exatidão (desvio entre o valor considerado verdadeiro e o valor medido veja definição na seção 3..3) do equipamento mas deve ser usada como uma característica de imunidade a ruído. A limitação na exatidão geralmente está associada as porções analógicas e ao conversor A/D. 0

11 2.4 Modos de nulo e de deflexão Instrumentos de medida que funcionam no modo de deflexão apresentam uma saída que muda proporcionalmente com mudanças na entrada. Classicamente são instrumentos com ponteiros que apresentam deflexão em virtude de uma força que se opõe a um dispositivo de mola, por exemplo. Instrumentos que operam com nulo necessitam de uma realimentação (manual ou automática) para equilibrar a saída, ou seja, manter os ponteiros ou indicadores em uma posição de equilíbrio ou zero. Utilizam um sensor de equilíbrio entre uma quantidade desconhecida e uma quantidade padrão. Em geral possui maior exatidão e sensibilidade (razão entre a variação de saída e a variação correspondente de entrada veja definição na seção 3..0) mas uma pobre resposta dinâmica. Equipamentos de nulo costumam ser muito exatos porém costumam apresentar pior resposta temporal que os instrumentos de deflexão. 2.5 Entradas e saídas O instrumento ideal é aquele que responde a um único tipo de estímulo, ou seja, não é influenciado por variáveis distintas daquelas que se deseja medir. Este instrumento ideal não existe e sempre teremos que conviver com entradas que interferem diretamente na saída ou que modificam a função de transferência do instrumento (Figura 2.2). Interferência Modificador + Saída Sinal Figura 2.2: Entradas e saídas. Entradas que interferem diretamente na saída podem ser, por exemplo, vibrações ou inclinações em equipamentos mecânicos ou com partes hidráulicas ou ainda o campo de 60 Hz gerado pelas linhas de energia e que induzem tensões em diferentes elementos alterando diretamente a saída do equipamento. Entradas que modificam funções de transferência podem ser, por exemplo, a temperatura, alterando as dimensões de um equipamento mecânico ou valores de um divisor resistivo ou a saída de um amplificador, ou variações na fonte de alimentação do equipamento. Estas perturbações indesejadas no sinal (na entrada ou saída), quando aleatórias, são chamadas de ruído. Neste contexto o ruído não carrega informação enquanto que o sinal sim. Para resolver este problema ou minimizar sua influência podemos buscar sensores ou transdutores que respondam a um único tipo de estímulo e sejam mais insensíveis a interferências e as variáveis modificadoras. Isto é difícil de obter então outras estratégias normalmente são empregadas. As principais estratégias são a realimentação com alto ganho de malha, como nos casos de servo mecanismos, correções matemáticas da saída a partir de estimativas de como as interferências e os modificadores afetam a saída do equipamento, filtragens e a inclusão de outros sensores que medem as interferências e os modificadores e os cancelam na saída do equipamento.

12 3 Características de desempenho estático e dinâmico 3. Características estáticas 3.. Calibração estática As características estáticas de um equipamento, aquelas que dizem respeito a resposta do equipamento a entradas contínuas de frequência zero, são obtidas através de um procedimento chamado calibração estática. Este procedimento consiste em apresentar, ao instrumento, diferentes valores das grandezas desejadas mantendo constante as entradas modificadoras e as interferências. A relação entre as entradas contínuas e suas respectivas saídas é chamada de calibração estática. Este procedimento pode ser repetido várias vezes para cada entrada desejada. A calibração então, pode ser apresentada como uma curva, uma equação ou uma tabela ou ainda como uma família delas. Apesar de a definição acima exigir que todas as variáveis modificadoras e de interferência sejam mantidas constantes durante o processo de calibração, isto é impossível de se obter na prática. Também não é possível garantir um valor verdadeiro para a grandeza que se deseja medir. Uma definição mais verdadeira acerca da calibração é dada pelo VIM. No VIM 202 a calibração é definida como a operação que estabelece, sob condições especificadas, numa primeira etapa, uma relação entre os valores e as incertezas de medição fornecidos por padrões e as indicações correspondentes com as incertezas associadas; numa segunda etapa, utiliza esta informação para estabelecer uma relação visando a obtenção dum resultado de medição a partir duma indicação. Desta forma o uso da incerteza contorna os problemas práticos apresentados. O uso da incerteza na calibração de equipamentos é relativamente nova. A abordagem tradicional, baseada em erro (diferença) entre o valor medido e o valor verdadeiro da grandeza, definia que existiam erros aleatórios e sistemáticos (seção 3..2), mas estes erros deviam ser tratados diferentemente e não há regras para determinar a combinação destes erros (na verdade eles eram tratados da mesma forma como agora, porém as definições atuais são mais consistentes e menos sujeitas a má interpretação). Na abordagem moderna o conceito de erro (normalmente impossível de ser determinado, pois depende do valor real, verdadeiro, da grandeza) foi substituído pelo de incerteza. Na abordagem da incerteza o processo é tratado estatisticamente e dois Tipos de incerteza são definidos, a incerteza do Tipo A e a incerteza do Tipo B. A incerteza do Tipo A é avaliada de forma estatística e a incerteza do Tipo B é avaliada de outras formas mas ambas são tratadas matematicamente pela teoria da probabilidade. Assim, o resultado total pode ser expresso como um desvio padrão (incerteza padrão). Desta forma a incerteza é um parâmetro não negativo que caracteriza a dispersão dos valores atribuídos a grandeza que se deseja medir. Convém salientar que não existe relação entre erro aleatório e a incerteza do Tipo A nem entre o erro sistemático e a incerteza do Tipo B. Mais detalhes sobre este tipo de abordagem podem ser obtidos no Guia para a Expressão da Incerteza de Medição (GUM) Erros aleatórios e sistemáticos O erro de medição é a diferença entre o valor medido e um valor de referência. Se este valor de referência corresponde ao valor verdadeiro do mensurando então o erro (verdadeiro) é desconhecido, pois o valor verdadeiro nunca poderá ser definido. Se o valor de referência corresponde ao valor de um padrão de medição ou um valor convencional (uma constante, como a aceleração da gravidade, uma equação teórica ) então o erro pode ser determinado. 2

13 Em medidas repetidas a parcela do erro que permanece contante é chamada de erro sistemático e aquela que varia de forma imprevisível é chamada de erro aleatório. O erro aleatório é aquele devido a causas desconhecidas que ocorrem mesmo que todos os erros sistemáticos tenham sido levados em conta. Esses erros têm características estatísticas e só assim podem ser considerados. Já os erros sistemáticos correspondem a erros previsíveis mas que não se devem a um uso inadequado dos instrumentos. Nesta família de erros podemos listar os erros instrumentais (equipamento não calibrado, danificado ), erros característicos do instrumento (diferença entre a curva ideal e a curva real de calibração ), erros dinâmicos (caso um equipamento seja calibrado em condições estáticas e usado em medidas dinâmicas, tempo de resposta inadequado, resposta em frequência, distorções de amplitude e fase ), e erros ambientais (aqueles derivados do ambiente onde o sistema de medição é utilizado como temperatura, pressão, vibrações, choques, altitude ). A presença de erros sistemáticos pode ser descoberta realizando a medida com diferentes dispositivos, diferentes métodos, mudança nas condições de medida e até mesmo trocando o operador. Os termos tendência (bias) são comuns para designar a estimativa de um erro sistemático. Além destes, também nos deparamos com erros grosseiros devidos ao uso inadequado do instrumento como erros de leitura, erros de cálculo e registro de resultados e erros de inserção (aqueles onde o instrumento é inserido de forma incorreta no local da medição, como por exemplo o uso de um voltímetro com impedância de entrada da mesma ordem de grandeza dos resistores sobre os quais se deseja medir a tensão) ou erros de aplicação (causados pelo operador, tais como o fechamento de um sensor de pressão com bolhas de ar em seu interior). Estes erros devem ser evitados a qualquer custo. Informações sobre erro podem ser fornecidas na forma absoluta, relativa ou ambas. Quando apenas uma informação de erro absoluto, ou o erro relativo a um valor fixo, é fornecida este costuma ser o erro máximo apresentado pelo dispositivo. Este valor pode representar um erro proporcionalmente pequeno quando estamos realizando medidas próximas do valor nominal do dispositivo, mas proporcionalmente elevado quando a medida é feita para valores pequenos. Por exemplo, se um dispositivo pode medir até 00 N com erro d 0,% (0, N) ele pode errar 00% quando medir coisas da ordem de 0, N. Se o erro for apresentado de forma relativa ao valor que está sendo medido o dispositivo de medida deve ser capaz de perceber variações de entrada cada vez menores quando estamos medindo valores baixos da grandeza. Por exemplo, se um dispositivo apresenta erro de 0,% do valor medido ele pode errar 0, N quando medir 00 N ou 0,000 N se estiver medindo 0, N. No primeiro exemplo fica claro como é ruim fazer medidas longe do valor nominal do dispositivo e o segundo exemplo mostra que quando a medida se aproximar de zero as incertezas também devem zerar, o que é impossível. Alternativamente o erro de alguns dispositivos é fornecido com um valor absoluto e outro relativo. Neste caso ou o erro total é a soma dos dois erros em cada valor medido ou o maior erro é usado. Mais exemplos na seção Exatidão Grau de concordância entre o valor medido e o valor verdadeiro de um mensurando. A exatidão (accuracy) reflete um comportamento de tendência central mas não é uma grandeza e, portanto, não pode ser quantificada numericamente. Recentemente passou a se adotar também o termo veracidade de medição como sendo o grau de concordância entre a média de infinitos valores medidos e o valor de referência (observe que veracidade de medição é diferente de exatidão), mas também não pode ser quantificada. A exatidão e a veracidade de medição estão ligadas ao erro sistemático mas não ao erro aleatório. 3

14 Nos catálogos dos fabricantes de sensores, transdutores e equipamentos, assim como na norma IEC a exatidão é definida como o erro máximo entre o valor verdadeiro e o valor medido. Nela são incluídos os erros relacionados a linearidade (seção 3..) e a histerese (seção 3..2) entre outros. Muitas vezes a medida de erro é dada de forma percentual calculada com relação ao valor medido, valor do fundo de escala ou faixa dinâmica (seção 3..7). Este último é o recomendado pela IEC mas, mesmo para a faixa dinâmica, existem variantes (faixa dinâmica de saída ideal ou faixa dinâmica de entrada nominal) Precisão O conceito de precisão refere-se ao grau de concordância de uma medição realizada diversas vezes em condições de repetibilidade (mesmo procedimento, operadores, sistema de medição, condições de operação e local onde são realizadas medidas repetidas de um objeto num curto espaço de tempo) ou reprodutibilidade (diferentes procedimentos, operadores, sistema de medição, condições de operação e local onde são realizadas medidas repetidas do mesmo objeto). A precisão é uma medida de dispersão e geralmente é expressa como um desvio padrão, variância ou coeficiente de variação. A precisão está ligada a um erro aleatório Deriva A deriva ou drif corresponde a variação de um determinado valor ao longo do tempo e ocorre em função de características específicas de cada dispositivo. Também é possível especificar esta deriva em função de alguma outra variável específica como a temperatura Faixa A faixa, ou segundo o VIM, intervalo de medição (range), diz respeito aos valores máximo e mínimo do parâmetro de entrada que podem ser medidos, por exemplo, um dado sensor de pressão pode operar na faixa de 60 a +400 mmhg. Não existe a necessidade da faixa incluir valores negativos e positivos, ser simétrica, ou englobar o zero. De qualquer forma a faixa é sempre informada como um intervalo de valores. Em instrumentos completos onde a saída já é calibrada (a saída é idealmente igual à entrada) a faixa é estipulada com relação a saída. Com relação a sensores e transdutores normalmente o interesse é a grandeza que se deseja medir, ou seja, a entrada. Mesmo assim em alguns contextos o termo faixa, ou range, se refere apenas a um intervalo de valores independente deles serem entrada ou saída, ou ainda, variáveis modificadoras, como no caso da faixa de temperatura em que o equipamento pode operar Faixa dinâmica A faixa dinâmica, formalmente conhecida por amplitude de medição (span), é um escalar que indica a amplitude do intervalo de medição. Assim, um sensor com faixa de 60 a +400 mmhg apresenta faixa dinâmica de 460 mmhg. Assim como ocorre para a definição de faixa, no caso de instrumentos calibrados a faixa dinâmica é estipulada com relação a saída do equipamento e para sensores e transdutores a faixa dinâmica é calculada com relação a grandeza que se deseja medir. O termo faixa dinâmica, ou span, também pode ser utilizado apenas para indicar a variação máxima de entrada, saída ou variáveis modificadores. No caso de algumas normalizações, por exemplo, como no cálculo da linearidade ou histerese, emprega-se a faixa dinâmica na grandeza onde é calculado o erro 4

15 (normalmente na saída). De qualquer forma, a faixa dinâmica é um escalar cujo valor é igual à diferença entre o máximo e o mínimo de uma determinada grandeza Resolução Esta especificação é a menor mudança incremental do parâmetro de entrada que causa uma variação detectável no valor de saída do sensor. A resolução pode se expressa como um percentual da faixa dinâmica ou em valores absolutos. Em sistemas digitais a resolução está fortemente ligada ao nível de quantização (conversores analógico para digital e vice-versa) e em sistemas analógicos ao ruído, que limita a precisão e o menor valor detectável do mensurando Limiar Maior valor de um mensurando e que não causa variação perceptível na indicação correspondente. Assim como na resolução o seu valor pode depender, por exemplo, de ruído ou atrito Sensibilidade estática Quando uma calibração estática é realizada a sensibilidade corresponde a inclinação da curva de calibração. Esta inclinação pode variar com a relação a entrada (quando a relação entre entrada e saída é não linear) e neste caso duas coisas podem acontecer: a sensibilidade estática deixa de ser um parâmetro importante (casos muito não lineares ou onde a exatidão requerida é grande) ou uma reta de calibração é fornecida e os desvios com relação a está reta são considerados erros. É interessante notar que a cuva de calibração para um elemento sensor é diferente da curva de calibração do equipamento onde ele está inserido, mesmo que após o sensor exista apenas um amplificador com ganho unitário. Isto acontece pois a saída do sensor será uma tensão, por exemplo, e a saída do equipamento é um valor correspondente a grandeza que está sendo medida. Ou seja, o equipamento faz uma dupla conversão de valores. Um sensor de pressão, por exemplo, apresenta uma sensibilidade em V/cmH2O mas antes de apresentar o valor no mostrador do equipamento este sinal em Volts deve ser novamente convertido para cmh 2O. Algumas vezes, quando se utilizam sensores ativos, a sensibilidade também pode aparecer como uma função da tensão de alimentação, ou seja, como uma dupla razão entre grandezas. Neste caso uma sensibilidade de 0 V/V/mmHg, por exemplo, significa que o sensor produzirá 0 V de tensão de saída por Volt de tensão de excitação e por mmhg de pressão aplicada. 3.. Linearidade A linearidade de um sensor é um tipo de parâmetro que expressa o quanto a sua curva característica se desvia da reta de calibração. A linearidade é uma característica típica de equipamentos ou sensores cuja relação entre entrada e saída pode ser considerada linear. Neste caso o fabricante específica uma reta de calibração para o equipamento. Segundo a IEC , entretanto, esta reta pode ser definida de três formas diferentes. Ela pode ser a reta que passa pelos pontos extremos da curva de calibração média, a reta que minimiza o erro com a curva de calibração média ou a reta que passa pela origem e minimiza o erro com a curva de calibração média. A linearidade (3.) é normalmente especificada em termos do percentual de não linearidade, relativa a medida atual, ao fundo de escala (neste caso costuma-se apresentar as letras FS full scale ou outro indicador semelhante) ou faixa dinâmica (FSS full span scale). NL (%)= Erro MÁX 00 % Norm (3.) 5

16 onde NL(%) é a não linearidade ErroMÁX é o erro máximo de saída entre o valor medido pela curva de calibração média (real) e a reta de referência, tida como a curva de calibração ideal (Figura 3.); Norm é um normalizador que pode ser a saída atual, o fundo de escala de saída ou a faixa dinâmica de saída (recomendado pela IEC ). Observe que a não linearidade é uma razão entre valores de mesma unidade e, portanto, é adimensional. Erro Máximo Saída FS Reta de Calibração FSS Curva de Calibração Média Entrada Figura 3.: Linearidade 3..2 Histerese e outras não linearidades Sensores, transdutores ou dispositivos podem apresentar diversos tipos de não linearidades. Os tipos mais comuns estão apresentados na Figura 3.2. a) b) y y c) x x d) y y e) x x y x Figura 3.2: Não linearidades mais comuns. a) Histerese; b) Saturação; c) Rompimento; d) Zona Morta; e) Bang-Bang. Entrada na abcissa e saída na ordenada. Quando a saída do dispositivo difere para um mesmo valor de entrada, dependendo se o sinal está subindo ou descendo em amplitude o dispositivo apresenta histerese (Figura 3.2a). Para a determinação ou caracterização da histerese devem ser estimadas as diferenças de saída para cada entrada (durante a subida e a descida) e, então, o maior valor é usado. O valor pode ser indicado como um percentual com relação a faixa dinâmica de saída (assim como a maioria dos erros). Normalmente encontramos histerese em sistemas magnéticos, sistemas elásticos ou outros 6

17 com perdas no armazenamento de energia, engrenagens e outros. Dispositivos onde há um valor máximo (ou mínimo) para a saída a partir do qual incrementos na entrada não acarretam em modificações na saída apresentam saturação (Figura 3.2b). É um efeito muito comum devido a limitações físicas dos componentes e ocorrem marcadamente em dispositivos magnéticos, com fontes de alimentação, ou com qualquer tipo de limitador mecânico. Um efeito dual é conhecido como rompimento (breakdown), nele a saída dispara a partir de uma determinada entrada (aumenta com elevada derivada Figura 3.2c). Isto pode estar associado a situações catastróficas de ruptura de elementos, dielétrico, por exemplo, mas pode ser intencional e útil como nos casos de diodos. Outra não linearidade muito comum é a zona morta (dead zone) que ocorre quando variações da entrada em uma determinada região, tipicamente em torno do zero, não produzem uma saída correspondente (Figura 3.2d). Dispositivos mecânicos normalmente apresentam este comportamento em função das diferenças entre o atrito estático e dinâmico, mas este efeito também pode ser visto em circuitos eletrônicos com componentes não lineares como diodos. Por último há o bang-bang (Figura 3.2e) que se caracteriza por uma variação abrupta da saída para uma variação mínima da entrada. As razões para este efeito não linear podem ser as mesmas encontradas na zona morta e por esta razão este tipo de não linearidade também é chamada de Coulomb frictional Ajustes Segundo o VIM os ajustes correspondem a um conjunto de operações efetuadas num sistema de medição, de modo que ele forneça indicações prescritas correspondentes a determinados valores duma grandeza a ser medida.. Existem vários ajustes que podem ser feitos em sistemas de medição e dentre eles podemos citar o ajuste de zero (offset) e o ajuste de ganho ou sensibilidade (Figura 3.3). O ajuste de zero é feito para tornar a saída do sistema de medição igual a zero quando a entrada for nula. Também pode ser atribuído a diferença entre o valor de saída realmente observado e aquele especificado para uma dada condição. O ajuste de ganho ou sensibilidade, por sua vez, é realizado para fazer com que a saída do dispositivo varie conforme prescrito. Estes ajustes não devem ser confundidos com calibração, que é um pré-requisito para o ajuste, e muito provavelmente, após um ajuste, o sistema deve ser recalibrado. Saída Curv a Ideal Ajuste de offset Saída Curva Real Ajuste de Sensibilidade Ajuste de offset Entrada Entrada Figura 3.3: Ajuste de zero (esquerda) e de sensibilidade (direita). 7

18 O termo offset também é comumente empregado para indicar quando a saída de um dispositivo não é zero para uma entrada nula. Isto é mais comum em sensores e transdutores do que em instrumentos Exemplo sobre calibração estática Uma tabela de calibração foi feita com três ciclos de medida onde a entrada foi gradativamente aumentada e diminuída. A tabela abaixo mostra os erros relativos obtidos pela diferença entre cada medida e seu valor de referência dividido pelo valor máximo de saída (IEC ). Determine a não repetibilidade, a histerese, a inexatidão e o erro máximo. Ciclo Ciclo 2 Ciclo 3 Média Média Entrada Erro percentual Erro percentual Erro percentual Erro percentual % Subindo Descendo Subindo Descendo Subindo Descendo Subindo Descendo Geral 0-0,04-0,05 0,06-0,05-0, ,06 0,4 0,04 0,5 0,05 0,6 0,05 0,5 0, ,3 0,23 0,08 0,26 0,09 0,26 0,0 0,25 0, , 0,24 0,09 0,25 0, 0,26 0,0 0,25 0, ,04 0,3-0,07 0,5-0,04 0,7-0,05 0,5 0, ,8-0,02-0,6 0,0-0,3 0,0-0,6 0,00-0, ,27-0,2-0,25-0, -0,23-0,08-0,25-0,0-0, ,32-0,7-0,3-0,6-0,28-0,2-0,30-0,5-0, ,27-0,7-0,26-0,5-0,22-0,3-0,25-0,5-0, ,6-0,06-0,5-0,05-0,4-0,04-0,5-0,05-0, ,09 0, 0, 0,0 0,00 Não repetibilidade (tracejado dif. máxima nas mesmas condições): 0,3-0,08 = 0,05% Histerese (pontilhado dif. máxima no mesmo ciclo): 0,5-(-0,07) = 0,22% Inexatidão (linha dupla máximo e mínimo erro): [-0,32%; 0,26%] Erro máximo (linha cheia máximo da curva média): -0,30% Linearidade (depende da reta de calibração escolhida curva média geral):. Reta que passa pelos pontos médios extremos: -0,28% (da faixa dinâmica de saída); 2. Reta que passa pela origem e minimiza os erros quadrados: 0,22% (da faixa dinâmica de saída); 3. Reta de mínimos quadrados: 0,8% (da faixa dinâmica de saída). Neste exemplo vale a pena observar que as medidas de histerese e linearidade são independentes o que torna possível a obtenção de valores de histerese menores ou maiores do que os de linearidade. As diferenças entre as duas definições podem ser vistas na Figura

19 Linearidade Saída Histerese FS FSS Curva Média Entrada Figura 3.4: Diferenças entre as forma de cálculo da histerese e da linearidade. 3.2 Características dinâmicas As características dinâmicas relacionadas de um dispositivo dizem respeito a sua resposta temporal ou resposta em frequência (resposta a excitações senoidais de diferentes frequências). Em sistemas que não apresentam elementos armazenadores de energia (capacitores, indutores, massa, elementos elásticos ) a saída muda instantaneamente com a entrada, mas quando armazenadores de energia estão presentes a saída sempre apresenta uma dinâmica temporal. A caracterização dinâmica destes elementos é realizada apresentando a eles entradas variantes no tempo. Tradicionalmente estes ensaios têm como base a resposta ao impulso, ao degrau ou a sinais senoidais de frequências distintas. As duas primeiras permitem inferir diretamente sobre questões temporais e não lineares com sinais de amplitude elevada. A terceira analisa especificamente o comportamento em frequência do sistema e deve ser realizada com amplitude baixa para evitar distorções (usualmente 20% da faixa dinâmica de saída). A forma como as entradas são produzidas e os tipos de ensaios que podem ser realizados dependem da grandeza Sistemas lineares no domínio do tempo Para sistemas lineares e invariantes no tempo, com uma excitação (entrada) e uma resposta (saída), a relação entre entrada e saída pode ser expressa por uma equação diferencial linear de coeficientes constantes, n n m m d y d y d x d x +a n +...+a n y=b0 m +b m +...+bm x n dt dt dt dt (3.2) onde y representa a saída e x a entrada do sistema. A resposta deste sistema corresponde a solução da equação diferencial que o descreve. Genericamente esta solução apresenta uma soma de exponenciais (tantas quantas a ordem do sistema ordem da equação diferencial) além de uma resposta forçada (as vezes chamada de particular) cujo formato é o mesmo da entrada. Assim n y (t )= k i e λ t +y p (t ) (3.3) i i = 9

20 onde yp é a solução particular que tem o mesmo formato da excitação x. As constantes ki são obtidas pelas condições iniciais e os expoentes λi são as raízes da equação característica. Estes sistemas podem ser de ordem zero, um, dois ou maiores. Sistemas de ordem zero correspondem a sistemas que não são descritos por equações diferenciais e, portanto, não apresentam nenhuma dinâmica temporal na resposta. Sistemas de primeira ordem apresentam equações diferenciais de ordem com apenas uma exponencial. Sistemas de segunda ordem (equações diferenciais de ordem 2) apresentam duas exponenciais que podem ter expoentes reais ou complexo conjugados, o que pode levar ao surgimento de oscilações. Sistemas de ordem maior podem existir, mas a solução será semelhante as anteriores. Atrasos na resposta também podem estar presentes e costuma ser modelados separadamente Resposta ao degrau A resposta ao degrau é uma das formas mais comuns de avaliação da dinâmica de sistemas. Degraus de entrada correspondendo a 80% da faixa dinâmica de saída devem ser aplicados mudando a saída de 0% para 90% e de 90% para 0%. Degraus menores, produzindo uma saída correspondente a 0% da faixa dinâmica de saída também devem ser ensaiados. Estes degraus podem ser aplicados em diferentes faixas cobrindo toda a operação do dispositivo. As faixas de 5% a 5%, de 45% a 55% e de 85% a 95% são as recomendadas pela IEC A IEC também recomenda que neste teste sejam anotados o tempo de estabilização (settling time) até que a saída atinja 99% do seu valor final, o tempo em que a saída permanece em zero (dead time), os tempos e amplitudes de sobrepassos (overshot), o tempo de subida entre 0% e 90% do valor final (rise time), o tempo de resposta (tempo até a primeira vez que a saída atinge 90% do seu valor final), constantes de tempo entre outros. Na Figura 3.0 são apresentados algumas das características listadas. É importante ter em mente que nem sempre estas informações estarão disponíveis e nem sempre serão apresentadas da forma estipulada. Os percentuais para tempo de estabilização, e tempo de resposta, por exemplo, mudam com frequência. Para saber exatamente o que está sendo caracterizado é necessário ler completamente os manuais dos dispositivos e se estivermos caracterizando o nosso próprio dispositivo convém fazê-lo de acordo com as normas vigentes e o padrão da área Resposta em frequência Além da análise pelo domínio do tempo os sistemas lineares também podem ser descritos pelo domínio da frequência (Figura 3.2). Isto é feito pelas transformadas de Laplace ou Fourier e, indiretamente, usando-se fasores. Neste tipo de análise é comum a apresentação de um gráfico de módulo e fase da sensibilidade em função da frequência (gráfico de resposta em frequência ou diagramas de Bode). Nos gráficos são analisados o ganho (sensibilidade) e a fase do sinal para cada frequência. Normalmente são analisadas desde frequências que permitam obter o ganho estático do sistema (frequência zero) até frequências onde a saída corresponda a 0% do sinal de entrada ou a fase apresente variação de 360º. Também devem ser marcados os pontos onde o ganho seja máximo ou reduzido para 70% do valor basal além dos pontos onde a fase atinja 45º ou 90º (IEC ). Na maioria das vezes os sensores ou transdutores apresentarão comportamentos semelhantes aos de filtros passa baixas (Figura 3.2) de primeira e segunda ordem ou de filtros passa faixa, para dispositivos que só atuam em uma determinada faixa de frequência. Um filtro passa baixas é aquele onde o ganho é maior nas frequências baixas do que nas altas. 20

21 Figura 3.5: Resposta ao degrau de cinco sistemas de segunda ordem com atraso de segundo. Figura 3.6: Resposta em frequência de cinco sistemas de segunda ordem. Detalhes na seção Exemplos de sistemas de ordem zero, um e dois Sistemas de ordem zero, um e dois serão ilustrados com exemplos elétricos, mas, por analogia, poderiam ser sistemas de qualquer natureza. 2

22 Para o sistema de ordem zero da Figura 3.7, supondo que a entrada x do sistema seja a fonte de tensão vs e a saída a tensão v sobre o resistor R2 a equação da saída pode ser obtida algebricamente por meio de (3.6). Figura 3.7: Sistema de ordem zero. i TOT = v= vs R + R 2+ R 3 (3.4) v=i TOT R 2 (3.5) vs R R +R 2 +R 3 2 (3.6) Observa-se que a saída é independente do tempo. Isto significa que, se a entrada muda, a saída muda instantaneamente, ou seja, a resposta a um degrau será um degrau e um gráfico de resposta em frequência mostrá ganho constante com fase nula para todas as frequências. Na prática os sistemas de ordem zero são apenas uma idealização da realidade, afinal todos os sistemas elétricos apresentam capacitâncias e indutâncias parasitas, os sistemas mecânicos sempre apresentam massa e atrito, ou seja, todos os sistemas sempre apresentam uma dinâmica temporal. Acontece que nos sistemas de ordem zero esta dinâmica pode ser considerada insignificante se comparada a velocidade com que as grandezas de entrada variam. Para o sistema de ordem da Figura 3.8, considerando que a tensão v é a entrada do sistema e a tensão sobre capacitor, vc, é a saída do sistema, a equação que relaciona entrada e saída (3.0) é uma equação diferencial. Figura 3.8: Sistema de primeira ordem. Transformando a fonte de tensão em série com o resistor no seu equivalente Norton e equacionando a corrente em cada componente temos i C +i R = v R (3.7) e sabendo que 22

23 dv i C =C C dt (3.8) dv v v C C + C = dt R R (3.9) dv C v C v + = dt R C R C (3.0) temos A solução de (3.0), uma equação diferencial de ordem, linear e de coeficientes constantes, é uma exponencial somada a uma constante (resposta particular). O expoente pode ser obtido da equação característica λ+ =0 R C (3.) cuja raiz é λ=-/rc. Desta forma v C =k e t R C (3.2) +k 2 onde os coeficientes k e k2 dependem, entre outros, das condições iniciais do problema. Isto significa que a saída do sistema não muda instantaneamente, ou seja, existe uma dinâmica temporal entre a entrada e a saída (3.2). Neste caso a dinâmica temporal é controlada pela exponencial. Observa-se para t=r C, 2 R C, 3 R C... a exponencial se reduz a e-, e-2, e-3... e por esta razão o produto R C é chamado de constante de tempo do circuito (τ). Toda exponencial decrescente apresenta 37% de seu valor inicial em τ, 4% em 2 τ, 5% em 3 τ, 2% em 4 τ e 0,7% em 5 τ. A Figura 3.9 mostra a resposta do circuito para uma entrada em degrau. Nesta simulação v= V e R C= s. A constante de tempo tem unidade de segundos e corresponde ao inverso da frequência natural do circuito (ω). Um circuito RC com apenas um capacitor equivalente e um resistor equivalente sempre apresenta constante de tempo da forma de um produto R C. Sistemas de primeira ordem nunca terão oscilações nem sobrepasso na resposta ao degrau. O tempo de subida (para a saída mudar de 0% para 90% do valor final ou vice-versa) pode ser facilmente calculado a partir de (3.2) t r 2,97 τ (3.3) O mesmo circuito também pode ser analisado pelo domínio da frequência, usando fasores (3.4) ou Laplace (3.7). Neste caso calcula-se a chamada função de transferência (razão entre saída e entrada) cujo módulo (3.6) corresponde ao ganho ou a sensibilidade em cada frequência. Observa-se que, tanto no domínio do tempo quando no domínio da frequência a resposta ao degrau e a função de transferência são calculadas levando-se em conta condições iniciais nulas para os elementos armazenadores de energia. H C ( j ω)= [ V C ( j ω) = V ( j ω) ] R C V ( j ω) = = j ω C V ( j ω) + j ω R C +R j ω+ j ω C R C (3.4) 23

24 H C ( j ω)= j ω C R j ω C R = + j ω C R j ω C R ω2 C 2 R 2 (3.5) Figura 3.9: Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem. H C ( j ω)= +(ω C R ) 2 [ arctan (ω C R )] (3.6) Para simplificar a notação podemos substituir j ω por S. Neste caso H C ( S )= a S +a (3.7) Com esta notação é fácil perceber que máx (H C (S ))= quando S 0. Também é possível observar que o denominador apresenta o mesmo formato e a mesma raiz da equação característica da equação diferencial de ordem, ou seja, a=/τ. Este padrão se repete para todas as funções de transferência de ordem. Nos gráficos a seguir, as linhas cheias correspondem aos módulos e as linhas pontilhadas correspondem a fase. Nas funções de transferências as raízes do denominador são chamadas de polos do sistema e, neste caso, estão relacionadas com a constante de tempo e com o rise time. Para a frequência que corresponde ao recíproco da contante de tempo (ωc=/τ) o ganho da função de transferência cai para 70,7% do seu valor original (é reduzida em 3 db com relação ao valor original em db) e a fase do sinal de saída fica 45 o atrasada com relação a senoide de entrada (Figura 3.). A maior defasagem que pode ser obtida com um sistema de ordem é 90 o e a menor é zero. Já para um sistema de segunda ordem, como o da Figura 3.0, uma equação diferencial de ordem 2 é necessária para equacionar a saída (il corrente no indutor) em função da entrada (I fonte de corrente independente). 24

25 Figura 3.0: Sistema de segunda ordem. Figura 3.: Resposta em frequência de um sistema de primeira ordem. O eixo das frequências e do ganho estão em escala logarítmica. i C i R i L= I (3.8) di v L=L L dt (3.9) d 2 i L L di L C L 2 + +i L =I R dt dt (3.20) e sabendo que 25

26 d 2iL dt 2 + di L I + i L = R C dt C L C L (3.2) Observe que a equação diferencial de ordem 2 com coeficientes constantes e invariantes no tempo (3.2) apresenta como solução duas exponenciais (3.24) somadas a uma solução particular constante como a fonte I. Os expoentes são as raízes da equação característica (3.22, 3.23) 2 S + S + =0 R C L C (3.22) ω0 S +ω20 =0 Q (3.23) cuja forma geral é S2 + e as raízes são s e s2 tal que i L (t )=k e s t +k 2 e s t +k 3 (3.24) 2 As raízes s e s2 podem ser reais ou complexas e, neste último caso, segundo a fórmula de Euler, a solução pode conter senos e cossenos amortecidos (multiplicados por exponenciais reais). Na Figura 3.2 são apresentadas as soluções para ω0= e Q=0,5 (raízes reais e iguais), Q=0,707 (raízes com parte real igual à imaginária), Q=, 2 e 0 (raízes com parte real menor que a imaginária) é um destes casos. Da equação característica saem os expoentes das exponenciais e os coeficientes k são obtidos, entre outros, pelas condições iniciais do problema. Figura 3.2: Resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem. Verde Q=0,5; azul Q=0,707; vermelho Q=; azul claro Q=2; magenta Q=0. Pelo domínio da frequência a função de transferência entre a corrente no indutor e na fonte pode ser obtida pelo simples divisor de corrente H L ( j ω)= [ ] I L ( j ω) = I ( j ω) I ( j ω) j ω L I ( j ω) + j ω C + R j ω L (3.25) 26

27 Simplificando a equação e substituindo j ω por S C L H L (S )= S 2+ S + R C C L (3.26) Mais uma vez o polinômio característico forma os polos da função de transferência e da mesma forma que no domínio do tempo ele pode ser escrito em função de ω0 e Q. A resposta em frequência pode, então, ser desenhada em função do módulo e da fase de HL(jω). Para funções de ordem maior do que 2 os polinômios formados no denominador podem ser fatorados em polinômios de ordem e 2. Figura 3.3: Resposta em frequência de sistemas de segunda ordem. Verde Q=0,5; azul Q=0,707; vermelho Q=; azul claro Q=2; magenta Q= Outras características Outras características funcionais podem ser informadas. As mais comuns são a isolação elétrica do dispositivo em condições de temperatura e umidade distintos, consumo energético, flutuação do sinal de saída (ripple), limites ajustáveis, flutuações com temperatura (drif)) ou de longo tempo, impedâncias de entrada e saída, características de dispositivos pneumáticos como 27

28 consumo de ar, consumo de gás, fluxos entre outros. Cada dispositivo deve vir com informações complementares específicas de acordo com cada aplicação. 3.4 Aspectos numéricos 3.4. Algarismos significativos Em instrumentação não são usados tantos algarismos quantos os que resultarem das contas efetuadas uma vez que o número de algarismos significativos ou o número de casas decimais está ligada a precisão e a incerteza. De um modo geral os algarismos incertos não devem ser apresentados, pois levariam a uma falsa impressão de precisão ou incerteza. Para evitar este problema, o melhor é realizar os arredondamentos adequados e entender como as incertezas se propagam nos cálculos. Antes de mais nada é necessário definir algarismos significativos e casas decimais. A forma mais fácil de entender estes conceitos é com exemplos. O número 0,0453, por exemplo, tem apenas 3 algarismos significativos mas 4 casas decimais enquanto que o número 4,350 tem 4 algarismos significativos e apenas 3 casas decimais. Ou seja, o último algarismo de um determinado valor ou medida representa uma incerteza associada a este valor ou medida. Se a medida indica 0 V é porque é mais provável que a resposta certa esteja mais próxima de 0 V do que de 00 ou 02 V. Se a medida indica 0,0 V é porque provavelmente a resposta verdadeira está mais próxima de 0,0 V do que de 00,9 ou 0, V. Entretanto, para o caso de números inteiros que terminam com zero isto pode não ser verdade. O valor pode ter sido obtido com cinco algarismos significativos ou menos. Para evitar esta confusão estes números são melhores apresentados na notação científica. Assim,,00 04 possui 3 algarismos significativos e, possui cinco algarismos significativos. Regras de arredondamento também devem ser definidas. De um modo geral os arredondamentos devem ser feitos sempre para o número mais próximo, porém quando os números terminarem em 5 devem, preferencialmente, ser arredondados para o algarismo par mais próximo. Por exemplo 2,635 deve ser arredondado para 2,64 e 7,6345 para 7,634. Para fazer adições utiliza-se um algarismo significativo a mais que no número de menor precisão. O resultado deve ser arredondado para o mesmo número de casas decimais ou algarismos significativos do número menos preciso. Por exemplo, a soma de 8,7 com 3,624 deve ser feita como 8,70 somado a 3,62 cujo resultado é 22,3. Por outro lado,02 03 somado a 5,36 resulta em 020 mas,02 03 somado a 6,36 resulta em 030. Na subtração mantém-se o mesmo número de casas decimais ou algarismos significativos do número menos preciso. Para multiplicação, divisão, radiciação e outras funções matemáticas se utilizam números com um algarismo significativo a mais que o do número com menor número de algarismos significativos. O resultado é arredondado para o número com a menor quantidade de algarismos significativos. O produto de 35,68 por 3,8 resulta em 3,4624 que deve ser arredondado e expresso como 3, pois uma das medidas só tem três algarismos significativos (note que a casa depois da vírgula pode assumir qualquer valor entre 0 e 8 (35,69 3,9=3,85 e 35,67 3,7=3,0739, então não há razão para exibir estes dígitos). Assim, se uma medida for obtida como uma média de três medidas de um mesmo peso, como por exemplo, a média de 5202 g, 5202 g e 5203 g, deve-se tomar cuidado com a apresentação do resultado. A apresentação do número 5202,3333 (o valor da média) não é muito indicada, pois todas as contas foram realizadas com apenas quatro algarismos significativos, então é melhor apresentar o resultado com quatro algarismos significativos. Para apresentar o valor da média é 28

29 importante informar que o valor foi obtido por uma média de três medidas, cada qual com quatro algarismos significativos. Diversas ferramentas estão disponíveis para cálculos levando em conta o número de algarismos significativos e arredondamentos. Um exemplo, que usa as regras apresentadas, é a Significant Figures Calculator Representação de incertezas As incertezas (assim como os erros) podem ser representadas de três formas principais, absoluta, relativa e percentual (também podem ser apresentadas como partes por milhão, ppm, ou partes por bilhão, ppb ) conforme indicado a seguir. No exemplo são apresentadas três formas de representar uma medida de 00 s com incerteza de 2 s. Observe o uso apropriado da unidade apenas para o caso da representação absoluta. Absolutas t= 00±2 s Relativas t=(00s±0,02) Percentual t= 00s±2 % Cálculo e propagação de incertezas Para o caso de medidas repetidas, onde as estimativas do mensurando podem ser feitas por processos estatísticos é possível determinar um desvio padrão desta medida. Este desvio padrão se refere a incerteza padrão da medição. Assim, uma incerteza padrão combinada pode ser obtida considerando-se a incerteza padrão individual de cada elemento que afeta a estimativa do mensurando. Esta incerteza padrão combinada pode, então, ser utilizada para estimar um intervalo onde o valor verdadeiro de um mensurando provavelmente se encontra. Isto é feito com o cálculo da incerteza de medição expandida, que é aquela cuja incerteza padrão combinada foi multiplicada por um valor constante (fator de cobertura) para aumentar o intervalo de valores prováveis para o mensurando. Estas incertezas calculadas estatisticamente com amostras repetidas formam a chamada incerteza Tipo A. Um outro tipo de incerteza, a incerteza do Tipo B, obtida por outros métodos que não os estatísticos (não pode ser obtida por medidas repetidas), também pode ser expressa na forma de desvio-padrão e, desta forma, combinada com a anterior. Por exemplo, uma medida feita com uma régua indica que um determinado objeto mede alguma coisa entre 7,3 e 7,4 cm. Como a probabilidade do mensurando assumir qualquer valor neste intervalo é razoável, podemos considerar uma distribuição uniforme de possíveis valores para o mensurando entre 7,3 e 7,4 cm. Uma distribuição uniforme no intervalo [-a; +a], por exemplo, tem desvio padrão ε= a 3 (3.27) Porém, se considerarmos que existe mais probabilidade da medida assumir um valor mais próximo do centro da escala, por exemplo, mas sem que haja indícios de que uma distribuição normal se aplique ao caso, pode-se utilizar uma distribuição triangular para o intervalo [-a; +a], neste caso o desvio padrão é dado por ε= a 6 (3.28) 29

30 Uma vez que as incertezas padrões Tipo A e Tipo B podem ser determinadas basta saber como pode ser obtida a incerteza padrão combinada. Supondo as grandezas X, X2,, Xn com seus respectivos valores numéricos estimados x, x2,, xn, e incertezas associadas εx, εx2,, εxn (cada uma destas incertezas definida como um desvio padrão). Supondo uma grandeza R que se relaciona com as grandezas Xi através de uma função R = F(X, X2,, XN). R pode ser expressa como R =r +ε (3.29) onde r corresponde a avaliação da função F e ε corresponde a incerteza combinada. Considerando que as grandezas Xi são variáveis aleatórias não correlacionadas as incertezas podem ser tratados convenientemente na forma de variâncias ou desvios padrão ou valores RMS (valor eficaz). Se houver correlação entre as grandezas as covariâncias também devem ser consideradas. Neste texto serão considerados apenas os casos não correlacionados, assim ε= [( ) ] [( ) ] [( ) ] F F F ε x + ε x ε xn X X2 XN (3.30) Para o caso particular em que F é uma soma ou uma subtração de grandezas então a incerteza absoluta pode ser obtida pela raiz quadrada da soma dos quadrados das incertezas. Por exemplo, se T =(200±4) s e T 2=(00±2) s, então T T2 = ± 4 2 = 00±4,47 s. 2 2 Para o caso particular em que F apresenta apenas produtos ou divisões então a incerteza relativa pode ser obtida pela raiz quadrada da soma dos quadrados das incertezas relativas. Por exemplo, se L3= 55± 0 6 m e T = 00±2 s, então ( (L3 /T )= ± (( /55)2 +(2/00)2) =(5,5μ m/s±2 %). 00 ) Erro máximo Nem sempre as incertezas são informadas diretamente. Muitas vezes a informação dada consiste de um erro limite. Por exemplo, em alguns instrumentos a exatidão é garantida no que concerne ao valor de fundo de escala, e no caso dos componentes eletrônicos estes são garantidos dentro de limites percentuais do valor nominal do componente. Os limites destes desvios são chamados de limites de erro. Se considerarmos uma probabilidade uniforme entre os limites de erro, este pode ser considerado como uma incerteza de medição expandida com um fator de cobertura suficientemente grande. Exemplo: Um voltímetro tem exatidão de % do valor do fundo da escala (FS) e está sendo utilizado para medir uma tensão de 30 V, na escala V. Calcule o erro limite percentual Erro limite=200 %=2V Erro % = 2 00 %=6,7 % 30 Observe que para valores relativos ao fundo de escala a exatidão absoluta é constante mas o erro percentual é variável. 30

31 Em alguns equipamentos outras formas de tolerância para os valores medidos ou erros limites podem ser empregadas, por exemplo, percentuais do valor lido somados a resolução ou percentuais do fundo de escala. Exemplo (GUM e 5..5): As especificações do fabricante para um voltímetro digital estabelecem que a exatidão na faixa de V é de V vezes a leitura mais V vezes a faixa. Considere que o multímetro está sendo usado para medir em sua faixa de V e que a média aritmética de um número de observações repetidas independentes de tensão é encontrada como sendo V =0,92857V, com uma incerteza-padrão do Tipo A de 2 µv. Qual a incerteza padrão combinada para esta medida? Erro limite= , =5μ V Supondo que a exatidão declarada fornece limites simétricos para uma correção aditiva do valor medido (com esperança igual a zero e com igual probabilidade de estar em qualquer parte dentro dos limites), então a incerteza padrão Tipo B é εtipob = 5μ V =8,7μ V 3 Uma vez que V =V +Δ V então V / V = e V / Δ V = então ε= ε2tipoa +ε2tipob = (2μ V )2+(8,7μ V )2=5μ V Erros e incertezas em instrumentos eletrônicos Uma cadeia de medição genérica para um instrumento de medição moderno é apresentado na Figura 3.4. Observe que os blocos, ligados em cascata, multiplicam sua entrada por um valor pré-determinado, permitindo que a incerteza combinada possa ser calculada pelas expressões apresentadas anteriormente. A B C D A/D F G D/A I J H E Figura 3.4: Cadeia de medição genérica. A) Mensurando; B) Sensores e Transdutores; C) Circuito de Entrada; D) Condicionador; E) Saída; F) Filtragem e conversão A/D; G) Processamento Digital; H) Saída; I) Reconstrução e filtragem; J) Saída. A Tabela 3. mostra algumas fontes de erro e incerteza presentes numa cadeia de medição como a apresentada. 3

32 Tabela 3.: Exemplos de fontes de erros em uma cadeia de medição Sistema Eletrônica analógica Conversão A/D Reconstrução D/A Fonte de Erro Descrição Qualidade do sinal Exatidão do sinal Transdutor Não linearidade Interface Terminação do circuito contatos Amplificador Erro nos componentes Filtro PB Erro na amplitude em função do ganho e fase Multiplexador Erros de transferência e inerentes ao componente Amostrador Erros na aquisição e inerentes ao componente Aperture time Incerteza na amplitude do sinal adquirido Resolução Interpolação do sinal Aliasing Faixa de passagem, ruído Filtro sen(x)/x Atenuação devido a amostragem A/D Erros de quantização D/A Erros inerentes ao componente como não linearidades Filtro sen(x)/x Atenuação devido a reconstrução Filtragem PB Erro na amplitude em função do ganho e fase Harmônicos Faixa de passagem, ruído Resolução Erro na amplitude do sinal reconstruído 32

33 4 Transdutores resistivos 4. Potenciômetro Potenciômetros são dispositivos resistivos com um contato deslizante. Normalmente, dois terminais são conectados a alimentação e uma tensão é medida entre o contato deslizante e a referência de tensão (Figura 4.). A posição do contato deslizante é alterada em decorrência da ação de alguma variável mecânica, tal como uma força ou aceleração. Este é um tipo de transdutor que apresenta grande variação de sinal uma vez que a saída pode variar de 0 até 00% da tensão de excitação. Isto não é comum, mas torna seu uso muito simples. Existem, na prática, vários tipos de potenciômetros possíveis de serem utilizados na construção deste tipo de transdutor, sendo cada tipo responsável pelas características finais do mesmo. Dentre os diversos modelos podemos citar os de deslocamento linear e rotativo (Figura 4.), de cordinha (para medida de deslocamentos), em fita (para medida de deslocamentos ou pressão), colabável (para medida de nível de líquido), com líquido condutor (para medidas de inclinações), entre outros. Além disto existem potenciômetros múltiplos (múltiplos potenciômetros controlados por um mesmo elemento deslizante) ou que implementam diversos tipos de funções não lineares. Figura 4.: Potenciômetros. Da direita para a esquerda: linear, rotativo, esquema. Neste texto nos ateremos aos potenciômetros lineares conectados a um circuito cuja impedância de entrada é RL (Figura 4.2). Considerando que a resistência entre o contato deslizante e a referência seja x Rp e 0 x a tensão de saída pode ser obtida por meio de (4.) Figura 4.2: Circuito básico de medida com potenciômetros. R L // x R p v out =v in R L // x R p +( x ) R p (4.) 33

34 mas considerando R L = R p α R p x R p α R p +x R p v out =v in α R p x R p +( x ) R p α R p +x R p (4.2) α x R 2p v out =v in α x R 2p +α ( x ) R 2p +x ( x ) R 2p (4.3) α x v out =v in α+ x ( x ) (4.4) Observa-se que a saída depende não só de x, mas também de α. Para que a saída dependa apenas de α é necessário que RL seja infinito. Neste caso v out =x v in (4.5) Se o erro relativo entre a função de transferência real e a ideal for definido como ( ) ( ) ( ) (4.6) α x x α +x ( x ) erro= x (4.7) erro= v out v in real v out v in v out v in ideal ideal então erro= x ( x ) α+x ( x ) (4.8) Derivando-se a função de erro com relação a x e igualando-a a zero, obtém-se a posição do erro máximo erro [α+x ( x )] (2 x ) x ( x ) (2 x ) = =0 x [α +x ( x )]2 (4.9) erro α (2 x )+x ( x ) (2 x ) x ( x ) (2 x ) = =0 x [α +x ( x )]2 (4.0) erro α (2 x ) = =0 x [α+ x ( x )]2 (4.) α (2 x )=0 (4.2) logo 34

35 x =0,5 (4.3) Então o maior erro, em relação ao valor ideal, ocorre quando o contato está no meio do curso, sendo que tal erro é igual a erro máx =erro x=0,5= x ( x ) α+ x ( x ) (4.4) erro máx = 0,25 α+0,25 (4.5) erro máx = + α 0,25 (4.6) +4 α (4.7) erro máx = Ou seja, o erro máximo é função de, como esperado. Supondo-se = ( R L =R p ) temos erro máx = =20 % +4 (4.8) Na figura abaixo são apresentadas as curvas de erro absoluto e relativo com relação a posição x além dos valores de vout para o caso ideal e real onde a vin=v, RL=0k e RP=0k. Figura 4.3: Saída do potenciômetro, v(out), em função da entrada x, erro absoluto e relativo. Na maioria das aplicações os potenciômetros têm comportamento de um sistema de ordem zero, mas por possuírem massa e atrito não é possível utilizá-los em aplicações de alta frequência 35

36 nem com velocidade de deslocamento muito elevada. O atrito também desgasta o material resistivo e impõe, de um modo geral, uma carga de 3 a 5 g para deslocar o contato. Problemas de autoaquecimento limitam a aplicação de tensão. Uma lista simplificada de características é apresentada na Tabela 4.. Tabela 4.: Principais características de potenciômetros lineares e rotativos Parâmetro Potenciômetro Linear Potenciômetro Rotativo Faixa 2 mm até 8 m 0º até 60 voltas Resolução 50 μm 2º até 0,2º Linearidade 0,002% FSO até 0,% FSO Velocidade máxima 0 m/s (restrições mecânicas) Frequência máxima 3 Hz (restrições mecânicas) Potência 0, W (plástico condutivo ou híbrido) até 50 W (fio) Resistência 20 Ω até 220 kω Coeficiente Térmico /ºC (fio) até /ºC (plástico condutivo) Vida útil 08 ciclos (plástico condutivo) Vantagens Fácil de usar, baixo custo, não eletrônico, alta amplitude do sinal Desvantagens Limitado em frequência, atrito e inércia, desgastes Com base em Sensors and signal conditioning, Ramon Pallàs-Areny & John G. Webster. John Wiley & Sons, Inc, Strain gauge Um strain gauge é um elemento resistivo que produz uma mudança na sua resistência elétrica em função de uma deformação mecânica (strain). São dispositivos que apresentam pequenas variações de sinal e que são normalmente utilizados como parte integrante de uma ponte de Wheatstone. As deformações as quais os strain gauges são submetidos devem ser elásticas, para não danificar o sensor. Nesta situação a tensão mecânica sobre os materiais produz uma deformação deste material que é proporcional a força aplicada e ao chamado módulo de Young. Esta é a lei de Hook aplicada aos materiais. F ΔL σ = =E ε =E A L (4.9) onde σ é a tensão mecânica, F a força, A é área, E é o módulo de Young e ε é a deformação (strain, em inglês). Assim, os strain gauges costumam ser especificados em termos da sua deformação máxima (ε) que é um adimensional. Normalmente os valores desta deformação são da ordem de με (micro strains) que corresponde a 0-6 m/m de deformação. Strain gauges podem ser imaginados como fios de diâmetro bastante reduzido e que, quando sob ação de uma força, deformam-se alterando comprimento e área de seção transversal (Figura 4.4). Esta variação dimensional se reflete em uma variação de resistência (4.20) 36

37 Figura 4.4: Deformações sofridas pelos strain gauges. R= ρ L A (4.20) R ρ L = R R A ( ) ( ) (4.2) R ρ L ρ ρ L L ρ L A = + + R ρ A R L A R A A R (4.22) L ρ ρ L ρ L A = + 2 A R A R A R (4.23) L ρ ρ L R= ρ+ L 2 A A A A (4.24) ( ) Dividindo-se todo mundo por R= ( ) ρ L A ρ ρ L R L A = ρ+ L 2 A R A A ρ L A (4.25) R ρ L A = ρ + R L A (4.26) ΔR Δρ ΔL Δ A = ρ + R L A (4.27) ( ) Consequentemente, a variação na resistência do elemento é causada por: a) mudança relativa do comprimento; b) mudança relativa na secção transversal e c) mudança relativa na resistividade. Para elementos de secção transversal circular (grande maioria), a variação relativa da área está ligada a variação de diâmetro. 37

38 Δ A π (d + Δ d )2 πd 2 = A π d 2 (4.28) Δ A d 2 +2 d Δ d + Δ d 2 d 2 = A d2 (4.29) e considerando-se Δ d 2 2 d Δ d ( d 0μ m ) Δ A 2 d Δ d = 2 A d (4.30) Δ A 2 Δ d = A d (4.3) Por outro lado a variação relativa de diâmetro está relacionada com a variação relativa de comprimento através de chamada razão de Poisson (υ). Usualmente 0<υ<0,5 sendo que para o volume se manter constante é necessário que υ=0,5 (caso da borracha e de fluidos incompressíveis). A maioria dos materiais se deforma quando sobre ação de uma força modificando o seu volume inicial. Para o ferro fundido a razão de Poisson vale 0,7, para o aço vale 0,303 e para o alumínio e o cobre vale 0,33. Então Δd ΔL = ν d L (4.32) Logo, podemos escrever a variação relativa de resistência como ΔR Δρ ΔL Δ A = ρ + R L A (4.33) Δ R Δ ρ Δ L 2 Δ d = ρ + R L d (4.34) Δ R Δ ρ Δ L 2 ν Δ L = ρ + R L L (4.35) ΔR ΔL Δρ = (+2 ν)+ ρ R L (4.36) A variação de resistividade como resultado de um estresse mecânico é chamada piezo resistividade. Ela ocorre em função da mudança na amplitude das vibrações na rede metálica. Uma extensão no material acaba por reduzir a mobilidade dos elétrons e, por conseguinte, aumentar a resistividade dos materiais. Bridgman mostrou quem, em metais, a variação relativa de resistividade é proporcional a variação relativa de volume. Assim, a contante C de proporcionalidade de Bridgman para as ligas mais comuns em strain gauges está entre,3 e,5 enquanto que para a platina C = 4,4. Reescrevendo 4.36 com a constante C ΔR ΔL ΔV = (+2 ν)+ C R L V (4.37) Δ V Δ L 2 Δd Δ L = + = ( 2 ν ) V L d L (4.38) e sabendo que podemos escrever 38

39 ΔR ΔL = [+2 ν +C (+2 ν)] R L (4.39) Agrupando-se todas as constantes em uma só, chamada fator de gauge (me ou G em alguns livros) ΔR ΔL = me R L me= (4.40) Δ R /R Δ L /L (4.4) Vários materiais podem ser usados para a confecção de strain gauge, resultando em diferentes fatores de gauge e faixas de operação. Materiais isotrópicos, por exemplo, apresentam me 2, materiais isoelásticos me 3,2, e a platina me 6. A.tabela seguinte mostra a sensibilidade para strain gauges de diferentes materiais. Tabela 4.2: Fator de gauge (sensibilidade) de diversos strain gauges Material Sensibilidade (me) Platinum (Pt 00%) 6, Platinum-Iridium (Pt 95%, Ir 5%) 5, Platinum-Tungsten (Pt 92%, W 8%) 4,0 Isoelastic (Fe 55.5%, Ni 36% Cr 8%, Mn 0.5%) * 3,6 Constantan / Advance / Copel (Ni 45%, Cu 55%) * 2, Nichrome V (Ni 80%, Cr 20%) * 2, Karma (Ni 74%, Cr 20%, Al 3%, Fe 3%) * 2,0 Armour D (Fe 70%, Cr 20%, Al 0%) * 2,0 Monel (Ni 67%, Cu 33%) *,9 Manganin (Cu 84%, Mn 2%, Ni 4%) * 0,47 Nickel (Ni 00%) -2, A Tabela 4.2 mostra que as variações de resistência ΔR/R são bastante pequenas. Normalmente obtém-se somente alguns poucos milivolts na saída de um transdutor strain gauge. Variações maiores podem ser obtidas com elementos semicondutores, como silício, que apresentam mais efeitos piezo resistivos do que de variação de dimensão. Nestes casos a mudança de resistividade com a tensão mecânica é maior do que a mudança de dimensão como ocorre nos fios metálicos. Nos semicondutores a tensão afeta principalmente o número e a mobilidade dos portadores e os efeitos piezo resistivos dependerão do tipo de material semicondutor, dos seus portadores, e da orientação cristalográfica com relação ao força aplicada. Para barras de silício tipo P com o eixo dominante na direção (,,), por exemplo, é possível obter me(,,) da ordem de 00 a 75, sendo tal valor dependente de dopagem. Uma vez que um strain gauge de fio possui, me entre 2 e 6, pode-se dizer que um strain gauge de silício é muito mais sensível. É possível observar, entretanto, que a platina possui um fator de gauge relativamente grande e, por suas características químicas, pode ser usada em ambientes corrosivos. Entretanto, a platina também é 39

40 usada como termômetro o que introduz erros por vezes inaceitáveis. Assim como a platina strain gauges semicondutores também são muito sensíveis a temperatura, na verdade, muito mais do que os strain gauges de metal. Variações de temperatura representam uma fonte de erro ambiental expressiva nos transdutores strain gauge. Em strain gauge metálicos este erro pode ser equivalente a 50 με/ºc. Tais erros são divididos em erros de sensibilidade e erros de offset. Estes erros podem ser compensados com strain gauge chamados dummy. Estes são strain gauge usados apenas para medir a temperatura e compensá-la. Uma lista com as principais características de strain gauge comerciais é apresentada na Tabela Tabela 4.3: Principais características dos strain gauges comerciais Parâmetro Metal Semicondutor Faixa 0, με até με 0,00 με até με Fator de Gage,8 até 4,5 40 até 200 Resistência Nominal (Ω) 20, 250, 350, 600,, até Tolerância 0,% até 0,35% % até 2% Potência máxima 250 mw Corrente máxima 5 ma até 25 ma se for montado sobre uma base que seja boa condutora de calor Frequência máxima 00 khz limitado pelo comprimento de onda mecânico Tamanho (mm) 0,4 até 50 (padrão entre 3 e 0) até 5 Com base em Sensors and signal conditioning, Ramon Pallàs-Areny & John G. Webster. John Wiley & Sons, Inc, 200 Do ponto de vista mecânico dois tipos de strain gauges são disponibilizados, os limitados (Figura 4.5) e os não limitados. Os primeiros são montados em estruturas mecânicas que limitam a deformação acima de um determinado valor protegendo o transdutor. Esses são os modelos comercialmente disponíveis, pois podem ser facilmente manipuláveis. Os tipos não limitados são, normalmente, mais lineares que os limitados, mas devido as dimensões são empregados apenas para montagens industriais. Normalmente são fios com dimensões capilares de difícil manipulação manual. Os strain gauges limitados são fios também de dimensões reduzidas (espessuras da ordem de 4 μm), mas são depositados sobre uma superfície que, apesar de delicada, permite a manipulação manual. A forma de montar um destes transdutores sobre uma superfície plana é mostrada na Figura 4.6. Adesivos especiais devem ser utilizados para a fixação dos transdutores, uma vez que eles não podem permitir que a base e o strain gauge tenham deformações diferentes. Estas colas podem ser adquiridas no mesmo local onde são adquiridos os transdutores. 40

41 A B D C E Figura 4.5: Alguns modelos de strain gauges limitados. Strain gauge duplo (A) e triplo (B e D) para as direções preferencias indicadas. Modelo mais comum para uma direção preferencial (C) e modelo para compressão (E). Figura 4.6: Forma de montagem de strain gauges limitados. 4.3 Detector resistivo de temperatura (RTD) RTD (resistive temperature detector) são resistências dependentes da temperatura. Normalmente estas resistências são obtidas a partir de metais ou ligas metálicas. Nestes materiais 4

42 o número de portadores não é significativamente alterado pela temperatura, mas a sua mobilidade sim, e isto se reflete em um aumento de resistência em função da temperatura. Seu coeficiente de temperatura é positivo e é capaz de operar em uma faixa de temperatura muito ampla podendo ser considerado linear em faixas estreitas. Os RTD são modelados conforme R T =R o (+α 0 (T T 0 )+β0 ( T T 0 ) + γ0 (T T 0 ) +...) 2 3 (4.42) onde R0 é a resistência de referência na temperatura T0 (normalmente 0 ), α0, β0 e γ0 são os coeficientes térmicos dos RTD que as vezes são chamados de coeficientes de temperatura. Observe que os coeficientes térmicos devem ser fornecidos para a temperatura de referência, pois são dependentes dela. Por exemplo, um RTD linear com R0=00 Ω e α0=0,00385 Ω/Ω/K para T0=0 apresenta uma sensibilidade s=r0 α=0,385 Ω/K em toda a faixa de operação, mas se a temperatura de referência fosse 25 teríamos um α25 α 25= α 0 R 0 α 0 R 0 α0 = = =0,00355 Ω/Ω/K. R 25 R 0 +R 0 α α 0 25 Assim, para calcular R(0 ) usando T0=0 usa-se α0 R ( 0 )=R 0 + R 0 α 0 (0 0)=R 0= ,00385 ( 0)=00 Ω e para calcular R(0 ) usando T0=25 usa-se α25 R ( 0 )=R 25 +R 25 α 25 (0 25)=09, ,625 0,00355 ( 25)=00 Ω. Algumas características dos RTD mais comuns estão listadas na Tabela 4.4 e seus coeficientes térmicos na Tabela 4.5. Curvas de resistência normalizada em função da temperatura para cada um destes RTD é apresentada na Figura 4.7. A Figura 4.8 exibe o formato de alguns encapsulamentos para os RTD. Os sensores propriamente ditos podem ser formados por fios enrolados ou por filme metálico. Os de filme metálico apresentam características muito semelhantes aos de fio, mas operam em temperaturas mais baixas devido ao substrato. Os encapsulamentos permitem o uso em ambiente inóspito ou líquido. Deve-se ter em mente que em função da massa e da transmissão de calor este sensor, mesmo sendo resistivo, apresenta um comportamento de primeira ou segunda ordem. Estes transdutores apresentam resposta dinâmica lenta, entre 0,5 e 5 segundos (aumenta com o encapsulamento), mas precisão de 0,0%, elevada sensibilidade, comportamento razoavelmente linear em torno de um ponto de operação, saída estável por longa faixa de tempo. Estas características permitem que os RTD sejam trocados por outros iguais quando apresentarem problemas sem mudanças significativas na curva de calibração. Tabela 4.4: Principais características dos RTD Parâmetro Platina Cobre Níquel Faixa ( ) -200 até até até 320 α (Ω/Ω/ ) 0, , ,00672 Resistividade (20ºC μω m) 0,6,673 6,844 R(0 ) 25, 50, 00, 200, 500,.000, , 00, 20 Com base em Sensors and signal conditioning, Ramon Pallàs-Areny & John G. Webster. John Wiley & Sons, Inc,

43 Tabela 4.5: Coeficientes dos principais RTD Material (faixa de operação) α (0 Ω/Ω/K) β (0 Ω/Ω/K2) Platina (0 850 ) , Níquel ( ) ,39 Cobre ( ) γ (0 Ω/Ω/K3) ,0069 R/R 0 Niquel 7 Cobre 6 5 Platina 4 3 Tungstênio oc Figura 4.7: Variações relativas de resistências dos RTD mais comuns. Measurement & Instrumentation Principles, Alan S Morris, Butterworth Heinemann, 200 Figura 4.8: Encapsulamentos de RTD. Como a resistência depende da variação da resistividade e das dimensões do material o autoaquecimento, o gradiente térmico e as deformações mecânicas são problemas que devem ser levados em conta durante o uso. O autoaquecimento pode ser controlado por meio do fator de 43

44 dissipação ou contante de dissipação térmica (δ) dos RTD que define a potência necessária para aquecer o sensor de (4.43). O fator de dissipação normalmente é informado em mw/k e para duas condições distintas, para o sensor imerso em ar ou imerso em água. Para evitar o problema de autoaquecimento normalmente são empregadas correntes menores do que 20 ma. δ= PD ΔT (4.43) Como todos os sensores o RTD também deve ser estável, mas o drif térmico costuma limitar a resolução em altas temperaturas. Mesmo assim os RTD costumam apresentar uma boa sensibilidade, alta exatidão, baixo custo (para os sensores de cobre e níquel) e elevada estabilidade (para o sensor de platina desvios de 0, /ano em ambiente industrial e 0,0025 /ano em laboratórios). Isto acaba por conferir ao RTD uma boa relação de compromisso entre sensibilidade, estabilidade e linearidade. Observa-se também que alguns materiais utilizados como RTD são empregados como strain gauges e por esta razão os RTD também serão sensíveis a deformações mecânicas que devem ser evitadas ou compensadas. E para finalizar a seção vale a pena observar que os nomes dos RTD são definidos pela sigla do material do qual o sensor é feito seguido do valor da resistência R0, por exemplo, o RTD mais comum é o PT00, ou seja, sensor de platina de 00Ω. 4.4 Termistores Termistores são resistores sensíveis à temperatura (Figura 4.9), que apresentam resistência variando com coeficiente positivo (PTC) ou negativo (NTC). Os termistores, diferente dos RTD, são formados por elementos semicondutores (óxido metálico sinterizado e coberto por epoxy ou vidro, nos casos mais comuns) onde o número de portadores de carga é alterado com a temperatura. A maioria dos PTC são utilizados em aplicações de chaveamento, pois a resistência desses elementos apresenta uma curva de resistência com inclinação ligeiramente negativa até que a temperatura alcança um valor crítico (que pode ser ajustado de fábrica). Neste momento a resistência do PTC aumenta significativamente com a temperatura (da ordem de 00% ou mais para cada ). Este comportamento é conseguido com uma dopagem muito forte dos semicondutores (cerâmicas policristalinas com titanato de bário e outros componentes) e fazem destes PTC componentes especiais para proteção de circuitos. Existem também os Silistores ou Tempistores (termômetros de resistência de silício) que são PTC com aplicações em medição de temperatura. A resistência destes elementos varia conforme (4.44) em uma faixa de -50 até +50, mas não são o foco deste texto. 2,3 ( ) R(T )=R 0 T T0 (4.44) onde R0 é a resistência na temperatura de referência T0, normalmente 298,5 K (25 ), e T é a temperatura em Kelvin Os NTC são os termistores mais comuns para medidas de temperatura, mas também podem ser empregados com base no seu autoaquecimento. Quando funcionam como um medidor de temperatura a resistência de um termistor NTC pode ser descrita aproximadamente por uma exponencial (4.45). Esta aproximação é válida para uma faixa de aproximadamente 50 44

45 ( β R(T )=R0 e ( R (T )= R 0 e T T0 ) (4.45) ) e β T (4.46) β T0 onde R0 é a resistência na temperatura de referência T0, normalmente 298,5 K (25 ), β é uma constante que depende do material de construção e T é a temperatura em Kelvin. Como β apresenta unidade de temperatura, costuma ser chamada de temperatura característica do termistor e normalmente assume valores entre K e K. Vale a pena observar que β pode ser determinado a partir do valor da resistência em duas temperaturas distintas, independentemente de R0 e T0. R 0 6 PTC Termistor Termômetro de resistência de silicio 0 3 RTD Platina 0 2 NTC Termistor oc Figura 4.9: Comparação entre diferentes tipos de sensores de temperatura. Sensors in Biomedical Applications, Fundamentals,Technology and Applications, Gárbor Harsányi, CRC Press, Tomando-se o logaritmo natural dos dois lados de (4.45) β β ln [R (T )]= + ln[ R 0 ] T T0 Chamando o recíproco da temperatura de lambda (4.47) ( ) Λ=, então T 45

46 ln [R (T )]=β Λ β Λ0 +ln [R 0 ] (4.48) que é uma função linear de Λ (β é a inclinação da curva ln[r(t)] em função de Λ). Este modelo exponencial normalmente permite medidas com erro de ±0,3 para uma faixa dinâmica de 50. Modelos mais sofisticado podem ser utilizados para melhorar as estimativas de temperatura e aumentar a faixa de atuação do transdutor. O modelo empírico de três parâmetros (4.49), com base na equação de Steinhart-Hart, por exemplo, leva o erro para ±0,0 numa faixa dinâmica de 00, e o modelo de quatro parâmetros (4.50) leva a erros para 0,0005 na faixa de 0 a 00. Este cuidado todo com a qualidade da medida, entretanto, exige recalibrações toda vez que o transdutor for trocado, pois normalmente os valores de β variam muito de transdutor para transdutor. Algumas vezes é possível adquirir transdutores que são garantidamente intercambiáveis, mas eles custam mais caro. ( R (T )=R e A+ B C + T T3 ) (4.49) 0 ( R (T )=R e B C D A T T T ) (4.50) 0 Da mesma forma que para os RTD também é possível calcular a sensibilidade relativa de um termistor. Considerando o modelo de um parâmetro (4.45) α pode ser descrito por (4.5). Supondo β=2648 em 25, obtém-se um α=0,0355 Ω/Ω/K, ou seja, 0 vezes maior do que no PT00. Algumas vezes este valor é escrito como 3,55% /K (simplificando a razão Ω/Ω). A faixa normal de sensibilidade para NTC vai de 3 até 7%/. Curvas reais de alguns NTC são apresentadas na Figura 4.0. Para os PTC modelados por 4.44 α=0,77% /K, o dobro do PT00. α= dr (T )/dt B = 2 R (T ) T (4.5) A contante de dissipação térmica (δ) dos termistores (normalmente entre 0,5 e 0 mw/ ) também é muito importante para garantir a qualidade da medida. Por exemplo, se uma medida requer um erro menor do que 0, mas o termistor apresenta δ=3 mw/ ele precisa dissipar, no máximo 0,3 mw. Esta é uma condição limite que considera o transdutor como única fonte de erro. Em uma situação real a potência terá que ser no mínimo duas ou três vezes menor. Quando o termistor opera nesta faixa considera-se que ele está numa região linear entre tensão e corrente que as vezes é chamada de região de potência nula ou modo R T (Figura 4.). Para potências mais altas o termistor entra numa região de funcionamento com autoaquecimento. Nesta região o transdutor não é usado para medida de temperatura, mas utiliza suas características para funcionar como limitador de corrente ou medidor de perda de calor. Estes costumam ser chamados de modo de queda de tensão ou variação de corrente no tempo. O modo de queda de tensão costuma ser utilizado em medidores de fluxo, nível, vácuo ou outros dispositivos que resfriam o termistor alterando a queda de tensão sobre ele. No modo de variação de corrente com o tempo o termistor pode ser usado para limitar a corrente de partida de um circuito. A medida que o tempo passa o autoaquecimento reduz sua resistência permitindo o fluxo de uma corrente de regime permanente substancialmente maior. Esta estratégia é comumente empregada em dispositivos que requerem uma partida lenta ou um aumento gradativo da corrente. Para esta aplicação é necessário conhecer além das características elétricas do transdutor, a sua capacidade térmica e seu calor específico, pois 46

47 Figura 4.0: Curvas características de NTCs comerciais (Epcos Electronic Parts and Components). Os valores de β estão anotados no gráfico. Todos os termistores tem o mesmo valor de resistências em 25 Figura 4.: Curva V I de termistores (Epcos Electronic Parts and Components). A região linear ocorre para potências muito baixas. A parte alta da curva é utilizada com o transdutor no modo de autoaquecimento. 47

48 dt P =V T I T =δ (T T a )+C dt (4.52) onde C é a capacidade térmica (produto entre massa e calor específico) e Ta é a temperatura ambiente. Esta é uma equação diferencial da temperatura cuja solução é P T =T a + [ e (δ /C ) t ] δ (4.53) V 2T =δ (T T a) RT (4.54) Em regime permanente I 2T R T = Com estas informações é possível determinar a constante de tempo térmica do termistor e a maior queda de tensão sobre ele. A Tabela 4.6 lista algumas características gerais dos termistores. Tabela 4.6: Características gerais dos termistores. Parâmetro Valores Faixa de temperatura -00 ºC até 450 ºC Resistência em 25 ºC 0,5 Ω até 00 MΩ ( kω até 0 MΩ) β K até K Máxima Temperatura 300 ºC contínuo ou 600 ºC intermitente Constante de Dissipação mw/ºc (ar) ou 8 mw/ºc (óleo) Contante de Tempo Térmica ms até 22 s Máxima Potência Dissipada mw até W Termistores podem apresentar uma razoável estabilidade com o tempo apenas em casos de pré envelhecimento. Nestes casos é possível obter variações equivalentes a 0,0ºC para uma faixa de 70ºC. Uma estabilidade intermediaria pode ser obtida cobrindo o elemento sensor com vidro mas a constante térmica ficará pior. Além disto é necessário atenção na troca de termistores para que eles apresentem características semelhantes. Se a exatidão não for importante este sensor pode ser linearizado com associação de resistores. Isto pode ser conseguido, para uma faixa limitada de temperatura, colocando-se um resistor fixo série ou em paralelo com o termistor (Figura 4.2). Embora isto acarrete uma redução na sensibilidade do dispositivo, a sensibilidade original do termistor é relativamente alta, o que ainda garante um resultado final satisfatório. Neste caso os erros obtidos estão na faixa dos 2,5%. Existem várias formas de calcular estes resistores otimizando a linearidade em torno de um ponto ou para uma faixa de temperatura. A seguir são apresentadas duas formas bastante comuns obtidas pela associação paralela entre o termistor R(T) e um resistor de valor fixo RP é dada por R= R P R T RP + RT (4.55) 48

49 Figura 4.2: Linearização de NTC com resistência em paralelo (Epcos Electronic Parts Components). Uma linearização simples em torno de uma só temperatura (a temperatura central da medida) pode ser obtida fazendo com que neste ponto a curva da resistência R tenha um ponto de inflexão. Assim R 2P dr dr = T 2 d T ( R T + R P ) dt d 2R dt 2 (4.56) (4.57) =0 T =T C β 2 T C Rp=R TC β+2 T C (4.58) Uma linearização também comum, e que envolve uma faixa de operação pode ser obtida para qualquer função não linear fazendo com que variações iguais de temperatura correspondam a variações iguais na resistência equivalente. Assim para temperaturas extremas T (mais alta) e T3 (a mais baixa) podemos escrever T T 2 =T 2 T 3 (4.59) R T R T 2=R T 2 R T 3 (4.60) R P R T R R R R R R P T2 = P T2 P T3 ( R P + R T ) ( R P +R T 2) (R P +R T 2) ( R P +R T 3) (4.6) Rp= R T 2 ( R T 3+ R T ) 2 R T 3 R T R T 3+ R T 2 R T 2 (4.62) 49

50 4.5 Outros transdutores resistivos Muitos outros transdutores resistivos estão disponíveis no comércio. Dentre os mais comuns estão os magnetorresistivos, resistores dependentes da luz (LDR), resistores sensíveis a umidade e gases, resistores sensíveis a pressão entre outros. 4.6 Eletrônica para transdutores resistivos Transdutores resistivos podem apresentar variações de resistência que vão desde 0,00% até 0.000% nos casos extremos. Como uma variação de resistência não é um sinal propriamente dito estas variações devem ser transformadas em tensão e corrente. Os circuitos que são ligados aos transdutores fornecem energia para os mesmos aquecendo-os, e isto normalmente é indesejado. Além disto todo o circuito ligado ao transdutor pode ser simplificadamente substituído por seu equivalente Thévenin de tal forma que a impedância do Thévenin interage com a resistência do transdutor afetando as tensões e correntes no circuito final. Apesar das características dinâmicas das medidas serem importantes os transdutores resistivos podem, com facilidade, ser utilizados com corrente contínua em medidas estáticas. Uma série de características e problemas estáticos relacionados as medidas e aos circuitos de medidas podem ser investigados nestes casos. Linearizações, cancelamento de interferências, ganhos elevados e habilidade para cancelar efeitos resistivos dos fios de interligação, principalmente para medidas remotas ou em ambiente onde a temperatura varie significantemente são alguns dos problemas que devem ser tratados. Para tanto é necessário conhecer os amplificadores e circuitos mais comuns para estas aplicações, bem como ter uma ideia de como funcionam os principais elementos utilizados para ler os sinais analógicos e convertê-los em digital e vice-versa. Outros circuitos não lineares ou de corrente alternada também podem ser bastante úteis, mas não serão tratados neste momento. 50

51 5 Amplificador operacional 5. Introdução Em instrumentação os sinais oriundos de sensores, transdutores ou outros dispositivos costumam ser muito baixos e não raro estão contaminados por ruído. Por esta razão costuma ser necessário passar estes sinais por circuitos condicionadores de sinal. Estes circuitos transformam o sinal de entrada adaptando-o as necessidades do próximo estágio. Os condicionadores de sinal mais simples são os amplificadores e os somadores, mas moduladores, demoduladores, retificadores, conformadores, isoladores e muitas outras operações matemáticas podem ser necessárias. Neste curso, cujo foco está nas baixas frequências, o elemento básico para tais procedimentos será o amplificador operacional (AO, AmpOp ou em inglês OA ou OpAmp). Por ter sido projetado para ser versátil e funcionar em circuitos com realimentação negativa este amplificador é construído com ganhos extremamente elevados. Tão elevados que na maioria das vezes vamos considerar que seu ganho é infinito. O erro desta suposição é, na maioria das vezes, desprezível. A Figura a seguir mostra um diagrama com realimentação negativa. O ganho de malha aberta do amplificador operacional está representado por Ad(S), vi é o sinal de entrada e vo o sinal de saída. A malha de realimentação negativa é formada pelo bloco β(s). Em circuitos práticos a realimentação é feita por resistores e capacitores. O conjunto completo forma um novo amplificador com características e nomes próprios que vão depender da rede de realimentação, como veremos mais adiante. Apesar do ganho infinito do AO a sua saída é finita e o ganho do circuito realimentado também. Isto será fundamental para o equacionamento de circuitos vi + _ Ad(S) vo β(s) Figura 5.: Malha de realimentação negativa. Considerando que cada bloco representa um ganho então v O (S )=Ad (S ) [ v i (S ) v O (S ) β(s ) ] (5.) v O (S ) Ad (S ) = v i (S ) + Ad (S ) β(s ) (5.2) Se o ganho Ad(S) (ganho diferencial ou ganho de malha aberta) for muito elevado, como no caso do AO, o ganho da malha de realimentação, β(s), é responsável pelo ganho do amplificador realimentado. lim A d (S) v O (S ) = v i (S ) β (5.3) 5

52 Observa-se que, mesmo com o ganho infinito do AO a sua saída é finita e o ganho do circuito realimentado também. Isto será fundamental para o equacionamento de circuitos envolvendo AO. Existem outras consequências importantes da realimentação negativa. As mais importantes para nós dizem respeito a faixa de frequências, a estabilidade e as impedâncias de entrada e saída. Quando o ganho de malha aberta do AO for dependente da frequência como em (5.4), por exemplo, com um polo em ωc Ad (S )= Aol S + ωc (5.4) então o ganho do amplificador realimentado é Aol v O (S ) = v i (S ) (+ ωs ) C (5.5) Aol + β S + ω C ( ) A ol v O (S ) + Aol β A ol ωc = = v i (S ) S S +(+A ol βωc ) + (+ A ol β) ωc (5.6) Observa-se que o ganho do amplificador realimentado foi reduzido a mesma quantidade que o polo foi aumentado (+Aol β). Isto significa que, para frequências maiores do que ωc, o produto ganho faixa em malha aberta ou realimentado se mantém constante quando o AO apresenta resposta em frequência com um só polo ou compensado com polo dominante em baixas frequências. Para exemplificar considere Aol=05, ωc= rad/s. Neste caso o produto ganho faixa do AO sem realimentação é Aol ωc=05 rad/s. Quando o AO é realimentado com β=0, (ganho 0 para o amplificador realimentado) a frequência do polo passa para ωc*=aol β ωc=04 rad/s, ou seja, o novo produto ganho faixa continua igual (β- ωc*=0 04=05 rad/s). A realimentação também perturba a estabilidade do sistema como um todo. Se o produto Ad(S) β(s) na equação (5.2) apresenta módulo unitário e fase de 80o, por exemplo, o circuito oscila. Se ganho for ainda maior em módulo o circuito torna-se instável. Na prática seria necessário um sistema de ordem maior do que dois para levar a oscilação ou instabilidade, mas como os AO práticos apresentam vários polos isto pode ocorrer mesmo com realimentações puramente resistivas, basta que o ganho de realimentação (β) seja elevado. A realimentação também altera as impedâncias de entrada e saída do sistema. Dependendo de como é feita a realimentação essas impedâncias podem aumentar ou diminuir com relação aquelas encontradas no AO em malha aberta. 5.2 Símbolo e Modelo Os símbolos mais comumente utilizados para representar um AO estão na Figura 5.2. A versão mais comum é aquela sem alimentação (±Vcc), mas não devemos esquecer que todo 52

53 amplificador operacional precisa de duas fontes de alimentação, como mostrado no símbolo completo. Uma fonte de alimentação é positiva e a outra costuma ser negativa (neste caso o segundo terminal de cada fonte é ligado ao nó terra ). Quando a segunda alimentação tem, em módulo, o mesmo valor da primeira diz-se que a alimentação é simétrica, caso contrário assimétrica. Para os casos de alimentação assimétrica devemos consultar o manual do AO para saber detalhes de como operá-lo sem problemas. Um outro aspecto importante das alimentações é que elas limitam a saída do AO e, normalmente, as entradas do circuito. Figura 5.2: Símbolos do amplificador operacional. A esquerda representação simplificada, a direita com os fios de alimentação. O modelo do AO ideal é apresentado na Figura 5.3. Observe que a impedância de entrada do amplificador é infinita (impedância entre cada entrada e o terra e entre as entradas) e a impedância de saída (impedância entre a saída e o terra) é zero. A diferença de potencial entre as duas entradas controla a tensão na saída do amplificador. Esta diferença de potencial é multiplicada pelo ganho diferencial ou de malha aberta. Figura 5.3: Modelo ideal do amplificador operacional. A é o ganho diferencial de malha aberta. Quando se fala em impedância de entrada e saída de um amplificador estamos implicitamente calculando a impedância do equivalente Thevenin das entradas ou da saída. Vale lembrar que o Thevenin é calculado para cada par de fios, ou seja, de cada entrada para o terra ou da saída para o terra. Se o ganho diferencial (Ad ou Aol) é infinito, e o AO está ligado com realimentação negativa, então as tensões nas duas entradas do AO são iguais, pois, como explicado anteriormente, uma malha de realimentação negativa, onde o ganho direto tende a infinito, apresenta saída finita e dependente do ganho de realimentação. Esta relação é válida enquanto o AO estiver trabalhando na região linear (sem a saturação que ocorre próxima das tensões de alimentação). Em outras palavras, se considerarmos o ganho Aol infinito (condição ideal) a diferença de potencial entre as entradas obrigatoriamente será nula (condição ideal) para que a saída seja finita pois v o =A ol (v + v - ). O terra é o ponto do circuito a partir do qual são medidas as diferenças de potencial para as entradas e saídas do AO. Neste ponto também são ligadas as duas fontes de alimentação. O terra é a referência para medidas de tensão. 53

54 Outras características muito importantes de um amplificador operacional ideal são apresentadas na Tabela 5.. Nela estão listadas várias características estáticas (de corrente contínua) e dinâmicas. Tabela 5.: Características de amplificadores operacionais ideais Característica Símbolo Valor Ideal Valor Real* Notas Ganho diferencial Ad Aol 05 Amplifica a diferença entre as tensões de entrada Ganho de modo comum Acm 0 Amplifica a tensão comum as duas entradas Rejeição de modo comum CMRR 05 Atenua a tensão comum as duas entradas Impedâncias diferencial Rid MΩ Resistência entre as duas entradas Impedância de modo comum Ricm MΩ Resistência de cada entrada para o terra Impedância de saída Ro 0 Ω Resistência de saída Slew-rate SR V/μs Velocidade com que a saída pode variar Settling time ST 0 μs Tempo de estabilização Largura de banda BW MHz Faixa de frequência Corrente polarização Ib 0 na Corrente em cada entrada Corrente de offset Ios 0 na Desigualdade entre as correntes de entrada Tensão de offset Vos 0 mv Diferença de tensão na entrada, necessária para que a saída seja nula quando as entradas forem nulas Ruído elétrico VN e IN 0 μv Ruído adicionado ao sinal de saída Variação de fase ϕ 0 Entre o sinal de entrada e de saída *Os valores reais são aproximações para a ordem de grandeza mais comum. As características ideais de um AO nunca são alcançadas na prática, mas os erros decorrentes de assumirmos estes valores ideais é pequeno. Desta forma é comum utilizarmos estas características para simplificar a análise de circuitos com AO, como será mostrado nas seções subsequentes, entretanto, quando circuitos são usados para a interface com sensores e transdutores algumas destas características reais podem se tornar importantes. 54

55 5.3 Amplificador inversor A Figura 5.4 mostra o circuito básico de um amplificador inversor com AO. Figura 5.4: Amplificador inversor. Considerando que o ganho Ad do AO não é infinito e sabendo que v o =Ad (v + -v - ) (5.7) v +=0 (5.8) vo = v Ad (5.9) v - v i v - v o + =0 R R2 (5.0) v i R 2 +v o R R + R 2 (5.) e então Equacionando o nó da entrada v -, temos que v -= logo v o v i R 2+v o R = Ad R + R 2 vo = vi (5.2) R2. R + R 2 R + Ad (5.3) Se Ad tende a infinito (AO ideal), então vo R = 2 vi R (5.4) 55

56 Observe que se o ganho do AO tende a infinito, o ganho do amplificador inversor é determinado apenas pela malha de realimentação. Convém notar, ainda, que a influência do Ad não infinito é tanto menor quanto menor for o ganho do amplificador inversor (Tabela 5.2). Considerando o amplificador inversor com ganho ideal N teremos vo = vi N R Ad N R Ad N = = R + N R R ( Ad + N +) Ad + N + R+ Ad (5.5) Tabela 5.2: Erro na estimativa do ganho do amplificador inversor considerando o ganho diferencial não infinito Ganho ideal (N) Ganho do AO (Ad) Ganho real Erro (%) ,002% ,0% ,9-0,0% ,09-0,99% ,8-9,09% ,9-0,990% Se considerarmos o AO como ideal, o equacionamento do ganho fica muito facilitado pelo uso de duas considerações:. Não há corrente circulando nas entradas do AO; 2. A diferença de potencial entre as entradas do AO é nula. Assim, equacionando o nó da entrada v v v i v v o + =0 R R2 (5.6) vo R = 2 vi R (5.7) - - e sabendo que v - =0, então Além do ganho vale a pena observar as impedâncias de entrada e de saída do amplificador inversor. Observe que a saída do AO é a saída do circuito, então, da mesma forma que o AO, o circuito também apresenta impedância de saída nula. Já na entrada, entretanto, existe uma corrente não nula que flui pela resistência R. i R = vi R (5.8) Esta corrente caracteriza uma impedância de entrada igual a R e isto pode fazer com que tanto um circuito que é ligado na entrada do amplificador quanto o próprio amplificador interfiram no funcionamento um no outro. A Figura 5.5, por exemplo, ilustra bem este caso. O 56

57 circuito ligado antes do amplificador inversor apresenta resistência de saída Rth que está em série com R. Figura 5.5: Influência da impedância de saída e entrada em estágios subsequentes. Com esta montagem o ganho do amplificador inversor é alterado para vo R2 = vi R + Rth (5.9) Observa-se que a tensão na saída do circuito ligado ao inversor também foi alterada. Quando não estava conectado, o circuito apresentava saída vx=vth, porém, depois de interligado ao amplificador inversor, apresenta a saída R2 v x =Vth Rth +R 2 (5.20) Como visto, o circuito conectado antes do amplificador inversor altera o funcionamento do amplificador que, por sua vez, altera o funcionamento do circuito ligado a ele. Isto ocorre porque a impedância de entrada do amplificador inversor não é infinita e porque a impedância de saída do circuito que está ligado a ele não é nula. Assim, para que amplificadores de tensão se comportem como blocos em um diagrama, ou seja, de forma independente, é necessário que eles tenham impedância de saída nula e impedância de entrada infinita. O projeto que envolve circuitos com estas características pode considerar cada circuito de forma independente e isto facilita o projeto, além de torná-lo mais flexível. Uma outra boa razão para adotar esta estratégia de projeto é que nem sempre dispomos de informações completas sobre a impedância de entrada ou saída de circuitos ou equipamentos que não foram projetados por nós. Isto significa que, mesmo com a informação de que a impedância de saída de um circuito é de 50 Ω, por exemplo, nada garante que isto seja verdade para qualquer corrente de saída ou para qualquer frequência, então a melhor estratégia e fazer um projeto que não dependa desta resistência. 5.4 Amplificador não-inversor A Figura 5.6 mostra o desenho básico de um amplificador não inversor. Se considerarmos que o ganho do AO não é infinito, então 57

58 Figura 5.6: Amplificador não inversor. + v =v i (5.2) R v - =v o R +R 2 (5.22) e e como v + v- = vo Ad (5.23) então R v v + v o = o R + R 2 Ad (5.24) vo (R+ R 2) Ad = v i R + R2 + R Ad (5.25) vo = vi R + R2 R +R R + 2 Ad (5.26) Se Ad tende a infinito, então v o R + R2 = vi R (5.27) Supondo que o AO seja ideal, a solução do problema é encontrada fazendo-se a tensão na entrada negativa igual à tensão na entrada positiva. Equacionando a entrada negativa temos v i 0 vi v o + =0 R R2 (5.28) v o R + R2 = vi R (5.29) 58

59 Mais uma vez o ganho do amplificador realimentado, quando Ad tende a infinito, é igual aquele calculado considerando que as duas entradas do AO tem o mesmo valor. Podemos notar, também, que nesta configuração o menor ganho é o unitário, que pode ser obtido se R= (circuito aberto) ou R2=0 (curto circuito). Neste caso o circuito do amplificador não inversor é chamado de buffer. O buffer possui ganho unitário e, assim como o amplificador não inversor, pode ser utilizado para isolar estágios amplificadores. Isolar, aqui, é usado para indicar que os circuitos anterior ou posterior não afetam nem são afetados pelo amplificador. Isto se deve novamente aos equivalentes Thevenin. No caso do amplificador não inversor a impedância de saída é zero (o que é ótimo), e a impedância de entrada é infinita (o que também é ótimo). 5.5 Amplificador somador inversor A Figura 5.7 mostra a topologia do amplificador somador inversor básico. Figura 5.7: Amplificador somador inversor. Como podemos observar este amplificador apresenta várias fontes de entrada e, portanto, pode ser equacionado utilizando o princípio da superposição de fontes. Aqui levaremos em conta que o AO possui características ideais de funcionamento, assim, a saída será dada pela equação ( v o = R 4 v v2 v3 + + R R2 R3 ) (5.30) Se R=R2=R3=R, então v o = R4 (v + v + v ) R 2 3 (5.3) Observe que, assim como o amplificador inversor, o amplificador somador não possui impedância de entrada infinita. As resistências R, R2 e R3 correspondem respectivamente as impedâncias das entradas, 2 e Amplificador diferencial ou subtrator A Figura 5.8 mostra a topologia do amplificador diferencial ou subtrator básico. O cálculo da tensão de saída pode ser feito facilmente por superposição, uma vez que existem duas fontes atuando sobre o circuito. Quando v2 é zero a entrada v é aplicada a um amplificador inversor. Quando v é zero a entrada v2 passa por um divisor de tensão e é aplicada a um amplificador não inversor. 59

60 Figura 5.8: Amplificador diferencial ou subtrator. v o = v R2 R 2 R + R 2 + v2 R R + R2 R vo = (5.32) R2 ( v v ) R 2 (5.33) O amplificador subtrator amplifica a diferença entre duas tensões. Idealmente aquilo que as duas tensões têm em comum não é amplificado. Na prática isto não acontece, pois as duas resistências R e as duas resistências R2 não são idênticas e assim cada entrada é amplificada de forma um pouco diferente. A Figura 5.9 mostra um amplificador subtrator com quatro resistências diferentes, uma fonte comum as duas entradas e outra fonte produzindo uma tensão diferencial. Figura 5.9: Amplificador diferencial com entrada de modo comum e diferencial. Explodindo2 as fontes, vcm conecta-se apenas a R3 e vcm+vd conecta-se a R. Assim, considerando apenas a entrada vcm v o =v cm 2 R4 R2 + R R3 + R4 R (5.34) Em alguns textos chama-se deslocamento de fontes 60

61 e para a entrada formada por vcm+vd R2 ( v v ) R cm d (5.35) R R4 R2 R3 R v cm 2 ( v d ) R (R3 +R4 ) R (5.36) v o = Somando as duas equações [ vo= ] Observe que as duas entradas do amplificador apresentam ganhos diferentes e que só há uma forma de cancelar a tensão de modo comum, fazendo R R3 = R2 R 4 (5.37) e neste caso particular v o= R2 v R d (5.38) Observe que a influência de vcm é nula se a razão entre as resistências R e R2 for exatamente igual à razão entre as resistências R3 e R4. Como na prática isso não acontece é possível dividir o ganho do amplificador em dois ganhos distintos, o ganho diferencial ( Ad) e o ganho de modo comum (Acm). Desta forma, o subtrator é classificado quanto a sua habilidade de amplificar a diferença entre os sinais aplicados a suas entradas, e rejeitar a parcela de sinal comum as duas entradas. Como o ganho de modo comum costuma ser muito baixo podemos usar a chamada rejeição de modo comum, ou CMRR que pode ser expressa linearmente (5.39) ou em db (5.40) CMRR= Ad Acm CMRR=20 log (5.39) ( ) Ad Acm (5.40) e para este cálculo considera-se Ad= Acm= CMRR R = vo vd (5.4) vo v cm (5.42) Ad R R 4 + R 2 R R 2 R 4 = Acm 2 R R 4 R 2 R 3 (5.43) Para o caso em que as fontes se apresentam como na Figura 5.8 a tensão de modo comum é calculada como a média entre v e v2 enquanto que a tensão diferencial é calculada como a diferença entre elas. A equação (5.43) pode ser reescrita rearranjando-se os termos para evidenciar o CMRR do subtrator em função da falta de casamento entre as resistências. O resultado é 6

62 apresentado em (5.44) e a dedução está em Precision Matched Resistors Automatically Improve Differential Amplifier CMRR Here s How, da Linear Technology. CMRRR G+ ΔR 4 R (5.44) onde G é o ganho do amplificador de instrumentação e ΔR/R corresponde a tolerância dos resistores (metade do valor informado pelos manuais para o casamento entre as resistências). A Tabela 5.3 mostra como o CMRR do circuito pode mudar com relação a tolerância dos resistores. Observe que para resistores com tolerância de até 0,% o CMRR do subtrator é relativamente pequeno. A solução para este problema é integrar os resistores ou todo o circuito. Exemplos destes circuitos integrados são o AMP03, o AD628, AD629 da Analog Devices, e os INA49 e INA46 da Texas Instruments que apresentam CMRR próximos a 00 db. Tabela 5.3: CMRR do subtrator de ganho diferencial unitário em função da tolerância dos resistores Tolerância dos Resistores (%) 5 2 0, Acm subtrator (ganho ) 0, 0,04 0,02 0,002 CMRRsubtrator (ganho ) 0x (20dB) 25x (27dB) 50x (33dB) 500x (54dB) A CMRR do circuito completo, levando em conta a influência da CMRR do amplificador pode ser obtida por (5.45) cuja dedução é apresentada passo a passo em Precision Matched Resistors Automatically Improve Differential Amplifier CMRR Here s How, da Linear Technology CMRR = + CMRR +CMRR AO 4 (CMRR R +CMRR AO ) CMRR R +CMRR AO (5.45) R Observe que a própria impedância da fonte pode causar um desbalanço nos resistores e diminuir a CMRR da configuração. Por esta razão é desejável uma topologia onde a impedância de entrada seja extremamente elevada. A construção integrada deste amplificador também minimiza os erros entre as resistências e propicia um CMRR maior. Exemplo: Calcular o CMRR para um amplificador diferencial cujas relações de resistências são: R2=00 R, e R4=0 R3. R R4 R2 R3 R v cm 2 ( v d ) R (R3 + R4 ) R (5.46) 0 R R3 00 R R3 v cm +00 v d R (R3 +0 R3) (5.47) v +00 v d 02 cm (5.48) [ vo = [ vo = ] ] v o= CMRR= Ad 00 = = db Acm /02 (5.49) que também poderia ser obtido por (5.43) ou, usando a aproximação da equação

63 CMRR 00 + = db 4 0, Conversores tensão corrente Conversores tensão corrente são muito úteis para a implementação de fontes de corrente controladas por tensão. A topologia mais conhecida é a Howland, mostrada na Figura 5.0 e discutida no artigo A Comprehensive Study of the Howland Current Pump da Texas Instruments. Observe que a principal característica destes circuitos conversores tensão corrente, ou fontes de corrente, é que a corrente sobre a carga não depende da carga. Figura 5.0: Conversor Tensão-Corrente tipo Howland No circuito da esquerda, se retirarmos o resistor R, conectado a entrada vin, e o resistor RL, o equivalente Thévenin do circuito restante é uma resistência negativa de valor -R. Substituindo o circuito pelo seu equivalente Thévenin e a fonte vin em série com a resistência R pelo seu equivalente Norton, é fácil perceber que a corrente na carga, de cima para baixo, é igual a i RL= vin R (5.50) Para o circuito da direita a corrente na carga, de cima para baixo, é igual a i RL= vin R (5.5) Nesta fonte, assim como no amplificador diferencial, o casamento perfeito de impedâncias é fundamental para o correto funcionamento do circuito, só assim é possível conseguir o equivalente de valor -R. A vantagem da fonte é que ela permite uma carga ligada ao terra, ou uma carga flutuante, se duas fontes forem ligadas uma de cada lado da carga. A qualidade da fonte decai com a frequência em virtude do comportamento não ideal dos resistores e do AO. A impedância de saída de uma fonte deste tipo está na casa dos kω Outras topologias Além das fontes Howland muitas outras configurações podem ser utilizadas como fontes de corrente ou conversores tensão corrente. Um amplificador inversor ou um não inversor podem funcionar como fontes de corrente se a carga estiver na realimentação do operacional. Neste caso é necessário que a carga não precise estar ligada ao terra. As características não ideais do AO também limitam o uso desta carga nas altas frequências. 63

64 Alterações nestas fontes (Howland, inversor e não inversor) são comuns. Uma modificação que resulta num fonte unipolar (corrente apenas numa direção) pode ser obtida com um transistor ligado na realimentação do amplificador não inversor (base na saída do AO e emissor na entrada negativa). Esta é uma boa solução para fontes de corrente elevada, mas a corrente é unipolar. Uma outra variante comum é a fonte de corrente Howland modificada que permite o ajuste da corrente com a alteração de apenas resistor. Figura 5.: Fonte Howland modificada. Levando em conta que as tensões nas duas entradas do AO são iguais (v+=v-), a tensão na saída do operacional é vo e a tensão sobre a carga é vrl, então R (v v ) v O =v 2 R (5.52) R2 (v 2 v ) R (5.53) + + v RL=v + + ( ) ( ) v O =v + + R2 R v 2 R R (5.54) v RL=v + + R2 R v 2 2 R R (5.55) considerando que R R2 ou um buffer seja colocado para a realimentação de vrl, então i RL = v O v RL R [( ) (5.56) ( ) R R R R i RL = v v 2 v v 2 2 R R R R R i RL = ] (5.57) R 2 (v 2 v ) R R (5.58) Exemplo: Dado o circuito abaixo, calcule sua função de transferência i L= f ( vi). Considere os AO ideais. a) Estabeleça valores para os resistores R, R 3 e R4 de forma que o 64

65 circuito forneça uma corrente máxima i Lmáx = ma para uma carga 0 Ω R L 0 k Ω quando v i = 0 V. Considere R =R 2 =00 k Ω e V CC =±2 V. Considere v i =0V. Análise do circuito: A 2 forma um amplificador de ganho unitário (buffer); A3 forma um subtrator junto com R3 e R4; A : fornece a corrente de saída e é realimentado pelo subtrator através de R e R2. Análise das realimentações: A recebe realimentação negativa (RN) através da entrada não inversora de A3 e realimentação positiva (RP) através de A 2 e da entrada inversora de A3. Como o ganho dos dois caminhos do subtrator (entradas inversora e não-inversora) são iguais em módulo, a RN é mais forte, porque a RP ainda passa pelo divisor resistivo R-RL. Como resultado disto, o circuito possui realimentação negativa, o que permite o uso das técnicas estudadas. Função de transferência: R v i R2 +R 4 R i L R3, logo v -A = =0 R +R 2 i L= R 2 R 3 v R R 4 R i a) Sendo i Lmáx =ma e R Lmáx =0 k Ω então v Limáx =0 V (tensão máxima na carga) R= v Omáx v Limáx, onde v Omáx é a máxima tensão de saída do AO. i Lmáx Como Vcc=±2 V, podemos limitar, com segurança, v Omáx = V. R= V 0 V = k Ω ma 65

66 Como i L= então R 2 R 3 v (a corrente independe de RL) R R 4 R i R4 R v 00 k ( 0) = 3 i = =0 R3 Ri R i O 00 k k m assim podemos escolher, por exemplo, R 4 =00 k Ω e R 3 =0 k Ω. 5.8 Considerações práticas O amplificador operacional real é bem diferente do ideal. Seu ganho diferencial (Ad) é da ordem de 05 ou 06 vezes. Os melhores CMRR estão próximos de 00 db. As impedâncias de entrada diferencial (Rid) e de modo comum (Ricm) são da ordem de alguns MΩ e, como consequência, as correntes nas entradas do AO (Ib) são da ordem de μa ou na e não são iguais. Além disto a saída não é zero quando as duas entradas estão aterradas. Isso adiciona um efeito de offset (Vos) no AO. Para finalizar, a impedância de saída (Ro) não é nula. Um modelo mais completo do AO, levando em conta todas estas características reais, é apresentado na Figura 5.2. Neste modelo foram consideradas apenas características estáticas (de corrente contínua). Características dinâmicas também devem ser consideradas em algumas aplicações. De um modo geral todas estas características (estáticas e dinâmicas) se tornam importantes em problemas de alto desempenho e nestes casos vale a pena consultar um especialista (um engenheiro eletrônico). Figura 5.2: Modelo de corrente contínua para o amplificador operacional. Adicionalmente devemos levar em conta que os circuitos eletrônicos, de um modo geral, trabalham com tensões da ordem de alguns Volts (de 3,3 V até uns 5 V mais ou menos) e que estas tensões podem ser positivas ou negativas. As potências que os AO conseguem fornecer não costumam ultrapassar alguns mw e, portanto, as correntes ficam limitadas a ma. Com esta combinação de valores as resistências estão na faixa de alguns kω (muito baixas elas produzem correntes elevadas, muito altas elas interferem nas impedâncias de entrada dos AO). O segredo é usar valores que permitam as aproximações por modelos ideais e que cada circuito possa ser projetado de forma independente, não afetando ou sendo afetado pelos circuitos do entorno. Aproveitar toda a faixa de entrada ou saída de um equipamento ou sensor é, em teoria, a melhor forma de utilizá-lo, mas nem sempre isso é possível ou desejável na prática devido as 66

67 saturações e aos erros de ganho e offset. Por exemplo, um AO comum satura quando sua saída está a aproximadamente V da tensão de alimentação (exceção para os AO rail-to-rail onde este valor cai para centenas de mv), então é melhor não fazer o projeto para utilizar toda a faixa da tensão de alimentação. Se desejamos interligar equipamentos e o projeto é feito para o máximo aproveitamento das faixas de operação erros nos ganhos ou offsets podem saturar estes equipamentos. Por outro lado, equipamentos e sensores foram feitos para funcionarem próximos de seus valores nominais, então, utilizar uma faixa muito pequena do dispositivo não é recomendado. Use o bom senso, tente usar o máximo possível da faixa de operação, mas sempre deixe uma folga. Se você tiver que escolher entre ter que trabalhar numa faixa menor do que os limites ou maior que os limites opte pela faixa menor. O sinal pode não ficar tão bom, mas, com certeza, você não vai queimar nada nem vai sofrer com saturações. Se tiver que distribuir um sinal em uma faixa de valores, procure, de um modo geral, distribuir o sinal no centro da faixa. Algumas vezes, entretanto, é comum ver projetos que aproveitam apenas metade da faixa para evitar de usar amplificadores somadores. Neste caso você está economizando nos amplificadores e penalizando a qualidade do sinal. Se mesmo assim a qualidade do sinal for aceitável então não há problemas. Também vale a pena lembrar que quase todos os sinais apresentam valor zero para entrada zero, então, quando lemos que um sinal pode varia de 0 a 20 mv, por exemplo, provavelmente esta é uma informação sobre os valores máximos deste sinal e não sobre a faixa de valores. A resposta correta vai depender do tipo de sinal e você terá que pesquisar. Muitas vezes, também, os sinais serão simétricos em torno do zero, como no caso do EEG e EMG, mas as informações são dadas apenas para a faixa positiva de valores. Portanto você deve conhecer o sinal com o qual está trabalhando. Da mesma forma, se um equipamento diz que sua saída pode variar em uma determinada faixa de valores, isto não quer dizer que todos os sinais que saírem destes equipamento ocuparão toda esta faixa. Pode ser que os sinais medidos fiquem distantes do máximo para a faixa que o equipamento está sendo usado, mas se for possível ajustar esta amplitude use este recurso a seu favor. A mesma coisa vale para a entrada de outros dispositivos. Nem sempre você conseguirá produzir sinais que ocupam toda a faixa de entrada de um conversor AD (dispositivo que converte os sinais analógicos para sinais digitais), por exemplo. 67

68 6 Circuitos especiais 6. Amplificador de instrumentação Em instrumentação é muito comum a medida de sinais de forma diferencial (diferença entre dois potenciais), como no caso das medidas em ponte de resistores e biopotenciais. Esta necessidade faz do amplificador subtrator um ótimo candidato para esta tarefa. Entretanto, este amplificador não apresenta impedância de entrada infinita o que pode ser um problema na maioria das aplicações de instrumentação. Para resolver este problema, foi criado o amplificador de instrumentação (InAmp) cujo símbolo é apresentado na Figura 6. e o diagrama esquemático na Figura 6.2. Neste circuito, um amplificador não inversor e colocado em cada entrada do amplificador subtrator conferindo a montagem uma característica de amplificador subtrator com elevada impedância de entrada. Esta topologia apresenta alta rejeição a tensões de modo comum, ganho elevado, ganho ajustável apenas com um resistor, impedância de entrada (diferencial e de modo comum) elevada em ambas as entradas. Nesta configuração o primeiro estágio é responsável pelo ganho e o segundo estágio é responsável pelo CMRR e para que este valor seja elevado o amplificador de instrumentação é comercializado em um único integrado. Figura 6.: Símbolo do amplificador de instrumentação. A entrada REF corresponde a referência (normalmente o terra) e as entradas R servem para a colocação da resistência de ganho. Figura 6.2: Amplificador de instrumentação com três amplificadores operacionais. A entrada de referência corresponde ao terminal aterrado de R2. A entrada positivas corresponde a v2 e a negativa a v. 68

69 Circuitos integrados com amplificadores de instrumentação alcançam CMRR maiores do que 00 db (CMRR > 05), mas este valor costuma decair com a frequência. Exemplos clássicos de amplificadores de instrumentação integrado são o AD620, AD822 da Analog Devices, o INA8 e o INA03 da Texas Instruments. O circuito pode ser resolvido por superposição. Supondo v2 aterrada, o potencial na entrada negativa do AO de baixo é zero, logo v O=v R R3 R v O2= v (6.) R3 R (6.2) Supondo v aterrada, o potencial na entrada negativa do AO de cima é zero, logo v O2=v 2 R R3 R v O = v 2 (6.3) R3 R (6.4) Como a saída do segundo estágio já foi calculada anteriormente e vale R2 v v R 2 (6.5) vo= R 2 R 2 R3 v 2 v R R (6.6) v o= R2 2 R3 + ( v 2 v ) R R v 0= então ( ) (6.7) Uma versão de amplificador de instrumentação com dois AO é apresentada na Figura 6.3. A maior vantagem deste amplificador reside no uso de apenas dois AO, mas esta também é sua maior desvantagem. Por apresentar caminhos diferentes para os sinais amplificados positiva e negativamente o sinal sofre diferentes atrasos e deslocamentos de fase nos dois caminhos. Como resultado o CMRR para sinais alternados é reduzido com relação ao amplificador de instrumentação de três AO. Assim como no amplificador subtrator tradicional, para que este circuito funcione apropriadamente é necessário que R/R2=R4/R3 o que significa que o CMRR também será dependente do perfeito casamento de valores entre os resistores. Para contornar este problema e o baixo CMRR em sinais alternados, este circuito pode ser encontrado integrado e, neste caso, suas características são ajustadas de fábrica para um desempenho superior. Exemplos deste circuito integrado são o AD627. O circuito com resistor RG permite o ajuste do ganho com a mudança de apenas um resistor evitando que o CMRR seja afetado. v O = v 2 v R4 2 R 4 R3 RG (6.8) 69

70 Figura 6.3: Amplificador de instrumentação com dois operacionais. ou sem o resistor RG ( ) v O =(v 2 v ) + R4 R3 (6.9) 6.2 Amplificador com realimentação ativa Uma outra topologia disponível é a do amplificador para recepção diferencial de sinais de alta frequência (Figura 6.4). Diferente dos outros amplificadores de instrumentação estes amplificadores utilizam uma topologia de realimentação ativa. Internamente este amplificador apresenta dois pares de entradas diferenciais sendo que usualmente uma delas é usada para a realimentação (dai o nome realimentação ativa). Uma das vantagens deste amplificador é que seu CMRR permanece elevado mesmo para sinais de frequência muito alta (alguns MHz) ao contrário dos amplificadores de instrumentação tradicionais onde o CMRR cai por volta de 00 a 0 khz, dependendo do ganho e do amplificador. A função de transferência deste amplificador é V O =Ad [(V V 2) (V 3 V 4 )] (6.0) A configuração clássica para uso deste amplificador é apresentada na Figura 6.5 e apresenta função de transferência igual à do amplificador não inversor. Figura 6.4: Amplificador operacional de recepção. 70

71 Figura 6.5: Configuração clássica do amplificador de instrumentação para recepção. Exemplos deste amplificador são o AD829 e AD830 da Analog Devices e podem ser utilizados em conjunto com os amplificadores operacionais diferenciais completos. 6.3 Amplificador diferencial completo Amplificadores operacionais diferenciais completos são aqueles onde tanto a entrada quanto a saída são diferenciais (Figura 6.6). Estes dispositivos apresentam elevados valores de CMRR, provem baixa distorção harmônica e são aplicados na transmissão de dados a longa distância, entradas de conversores AD ou sempre que forem necessárias saídas complementares. O circuito típico para este tipo de amplificador é apresentado na Figura 6.7. Se R4/R3=R6/R5 a função de transferência é a mesma do amplificador subtrator porém com as saídas complementares. Figura 6.6: Amplificador operacional completamente diferencial. Figura 6.7: Amplificador subtrator. 7

72 Outra configuração bastante comum é aquela que transforma um sinal simples em um sinal diferencial (R4=, R3=0 e v-=0). Exemplos destes amplificadores são o ADA4940 e ADA83 da Analog Devices e o LTC992 da Linear Technology LMH6550 da Texas Instruments. 6.4 Amplificador operacional de transcondutância (OTA) Este amplificador é muito comum em microeletrônica mas existem poucos integrados discretos disponibilizando funções de OTA. Como o próprio nome sugere este amplificador transforma a diferença entre as tensões de entrada em uma corrente de saída. Isto confere características bastante interessantes a este operacional que, por exemplo, pode ter sua saída ligada a saída de outro operacional do mesmo tipo sem problema de curto circuito, simular o comportamento de resistência, criar filtros e acionar cargas capacitivas. Os modelos discretos apresentam uma terceira entrada, chamada de corrente de polarização, capaz de ajustar o ganho do amplificador. A função de transferência deste operacional é dado pela equação (6.) e alguns de seus símbolos são apresentados na Figura 6.8. O OTA discretos mais clássico foi o CA3080 cujo circuito interno é apresentado na Figura 6.9. i O =gm ( v v ) (6.) gm=k I B (6.2) + - onde gm é o ganho do OTA, K é uma constante que depende do modelo e IB é a corrente de polarização. Figura 6.8: Símbolo do amplificador de transcondutância (OTA). Figura 6.9: Circuito interno do CA

73 Na Figura 6.0 são apresentados alguns circuitos empregando OTA. Há circuitos que multiplicam ou emulam impedâncias, ligadas ao nó terra ou flutuantes, somadores e diferenciadores. Observa-se a pouca presença de resistências para a polarização o que também facilita seu uso em filtros. Figura 6.0: Alguns circuitos com OTA. As principais aplicações para este tipo de amplificador são o controle automático de ganho, os multiplicadores e divisores de tensão, circuitos moduladores e filtros. Apesar disto este tipo de amplificador pode ser utilizado em praticamente todos os casos onde um operacional comum também é utilizado. Isto, entretanto, não consiste em nenhuma vantagem pois as características do OTA não o auxiliam nestas tarefas mais comuns. Como exemplos de OTA podemos citar o clássico CA3080, o LM30700 e o mais recente o CA3280. Alguns OTA práticos sofrem limitações e 73

74 problemas de polarização que dificultam seu uso, sendo importante a inclusão de componentes que teoricamente não seriam necessários. Normalmente os problemas dizem respeito a não linearidades do par diferencial de entrada. Como os OTA não precisam trabalhar realimentados a diferença de tensão entre as entradas não é zero, mas o par diferencial de entrada só tem comportamento linear para valores de tensão de alguns milivolts. Circuitos com diodos e resistores são utilizados, externa ou internamente para expandir a linearidade dos amplificadores. Uma coletânea de circuitos de filtros utilizando OTA foi publicada no artigo Active Filter Design Using OTA: A Tutorial. 6.5 Amplificador isolador Em muitos sistemas o ponto de medida deve ser ter isolação galvânica (impedância infinita para corrente contínua) com relação ao restante do circuito amplificador. Nestes casos devemos utilizar técnicas de isolação entre a etapa de potência e a etapa de medição. Esta isolação pode ser obtida por intermédio de amplificadores isoladores. Estes amplificadores obtém a isolação com transformadores, com capacitores ou com opto acopladores. A relação de ganho varia de amplificador para amplificador mas o símbolo é comum a todos e pode ser visto na Figura 6.. Figura 6.: Símbolo do amplificador isolador. As principais aplicações para este tipo de amplificador encontram-se na área médica, na quebra de laços de terra e na diminuição dos efeitos causados por elevadas tensões de modo comum. Exemplos de amplificadores isoladores são o AD25 e o AD20 (com transformadores) da Analog Devices, o ISO24 e o ISO22 (com capacitores) da Texas Instruments e o HCPL-7850, HCPL-785 da Avago. Outros integrados clássicos são o IS003 e o ISO00 da Burr-Brown (ambos obsoletos e não recomendados para novos projetos). Os diagramas de blocos para estes amplificadores são apresentados nas figuras 6.2 e 6.3. Figura 6.2: Diagrama de blocos do AD25. 74

75 Os fabricantes fornecem duas tensões de isolação, uma para tensões continuamente aplicadas e outra para tensões aplicadas por um curto período de tempo. A primeira tensão é menor do que a segunda e ambas podem variar em função da frequência e temperatura. A impedância de barreira situa-se em torno de 02 Ω. Note que alguns destes amplificadores apresentam transformadores e portanto não são um simples circuito integrado. Muitas vezes estes circuitos são modelos híbridos ou construídos com componentes discretos e encapsulados em um único invólucro. Observe também que os amplificadores isoladores necessitam de fontes de alimentação independentes para o lado isolado. Isto significa, inclusive, dois terras diferentes e não conectados. Estes amplificadores estão caindo em desuso e estão sendo substituídos por isoladores digitais, mais fáceis de serem produzidos. Leia mais em Move Over Iso Amp Make The Switch To Digital Isolation. Figura 6.3: Diagrama de blocos do amplificador IS024. Com os novos isoladores cada vez mais simples e com menos recursos se torna necessário investir também em fontes de alimentação isoladas. Exemplos de conversores DC/DC são os E_T e F_T da Mornsun, com isolação de Vdc em encapsulamento SMD, os AY_D e BY_D, da mesma fabricante com isolação de até Vdc, o 722 da Texas com isolação de Vdc ou o ADUM6000 da Analog Devices com isolação de Vdc. 6.6 Amplificador chopper e auto-zero Os amplificadores chopper foram desenvolvidos a muito tempo (no fim dos anos 40, início dos anos 50), e não são um tipo especial de amplificador, mas uma técnica de amplificação cujo objetivo é minimizar características indesejáveis de CC. O amplificador chopper utiliza técnicas de CA para desacoplar as baixas frequências devido a Vos e Ib. A melhora mais notável se dá no drif com a temperatura de Vos e Ios. O amplificador chopper pode introduzir um fator de redução de 50 vezes nestes drif.. A Figura 6.4 mostra um esquema simplificado de um amplificador chopper. 75

76 Figura 6.4: Diagrama esquemático de um amplificador chopper. Na Figura 6.4 cada chave funciona como um modulador ou demodulador, uma vez que o sinal em sua saída é equivalente ao produto do sinal de entrada por uma onda quadrada. Observe que este é um sistema amostrado e como em todo sistema amostrado o espectro de frequências do sinal de entrada é copiado para frequências maiores. Como o sinal de modulação é uma onda quadrada o sinal de entrada é copiado em torno dos harmônicos ímpares da portadora. Após a chave, na entrada do amplificador (Vy) são somados ao sinal amostrado todos os ruídos e offsets que serão amplificados. Após a segunda chave o sinal está sincronamente demodulado ( Vo) e retorna ao seu espectro original com cópias em torno dos harmônicos pares da portadora. Os offsets são removidos pelo capacitor de saída. O espectro do ruído, por outro lado, será copiado em torno dos harmônicos ímpares da portadora. Agora, um filtro passa baixas reconstrói o sinal original na saída do amplificador chopper (Vout), filtrado todas as cópias espectrais de frequência elevadas. Como este é um sistema amostrado o sinal de entrada (Vin) deve ter frequência bem menor que a de chaveamento. Esta, por sua vez, é da ordem de centenas a milhares de Hz na maioria dos sistemas. Como exemplo de amplificador chopper estabilizado podemos citar o LTC052 com Vos < 5 μv e drif de 50 nv/. Observe que os valores de offset e drif são tão baixos que podem ser necessários cuidados especiais na montagem do circuito. O efeito termopar causado por contatos de metais diferentes pode produzir variações de tensão da ordem de 200 nv/, quatro vezes mais que drif do LTC052. Assim, é interessante minimizar o número de chaves, soquetes, conectores e outros potenciais contatos problemáticos. Eletrostática e campos eletromagnéticos também podem ser fontes de problemas. O uso de transformadores, por exemplo, podem gerar alguns microvolts de tensão em trilhas de circuito impresso. 76

77 Os amplificadores chopper, na forma como apresentado, estão em desuso e sua produção tem sido descontinuada. Novos amplificadores chamados de auto-zero (CAZ ou AZA) ou chopper estabilizados estão em produção. Diferente do chopper tradicional os sinais são amplificados por um canal CC, e um circuito adicional com chaveamento (chopper) é usado para amostrar e subtrair o offset e reduzir drifs. Estas características estendem a faixa de frequência do amplificador. Exemplos de modernos amplificadores de auto-zero são o AD857, TLC2654, OPA333. Para saber mais sobre estes amplificadores leia To Chop or Auto-Zero: That Is the Question, da Analog Devices ou Auto-Zero Amplifiers Ease the Design of High-Precision Circuits, da Texas Instruments. 6.7 Amplificador de ganho programável (PGA) Amplificadores com ganhos pré estabelecidos e que podem ser selecionados digitalmente. O tipo mais simples, apresentado na Figura 6.5, apresenta entradas digitais cuja lógica combinacional é capaz de selecionar um entre diversos ganhos possíveis (4 no caso do PGA03). Alguns circuitos mais sofisticados, como o MAX9939 apresentam uma interface serial (do tipo SPI) que permite programar diversos parâmetros do amplificador. Neste caso os ganhos podem ser programados entre 0,2 V/V e 57 V/V além de permitir a compensação de offset e oferecer recurso de shutdown para minimizar consumo. Outros recursos comuns, internos aos PGA são os multiplexadores (MUX) e seleção de ganhos binários ou para osciloscópio (x, x2, x5, ). Também estão disponíveis circuitos para ganho variável, ajustados analogicamente (VGA) como o AD8338. Figura 6.5: Exemplo de Amplificador de Ganho Programável PGA Potenciômetro digital Os potenciômetros digitais, também conhecidos como digital POT, RDAC, ou digipot, são resistências ligadas em escada (ladder) e associadas a chaves. A abertura e fechamento de chaves altera a associação de resistências simulando o comportamento de um potenciômetro. Eles são uma alternativa para os circuitos PGA ou VGA e podem ser utilizados para produzir ajustes automáticos em circuitos de instrumentação. O modelo apresentado na Figura 6.6 pode ter seu potenciômetro ajustado inúmeras vezes até ser definitivamente programado pela queima de um fusível, como se fosse um potenciômetro mecânico com eixo colado após ajustes. A programação é feita por comunicação serial no padrão I2C. 77

78 Figura 6.6: Potenciômetro digital. 6.9 Conversores AD e DA Conversores analógico para digital (AD ou ADC) e digital para analógico (DA ou DAC) são muito comuns na interface entre os mundos analógicos e digitais. Estes componentes serão estudados em detalhes no fim deste curso e informações adicionais podem ser obtidas em The Data Convertion Handbook, da Analog Devices. Basicamente estes componentes recebem sinais analógicos e os convertem para digital e vice-versa (Figura 6.7) aplicando um fator de conversão determinado, normalmente por tensões de referência que devem ser fornecidas aos conversores. Estes circuitos normalmente operam com valores digitais positivos, em complemento de dois, complemento de um, bit sinal, código de Gray entre outros. As saídas e as entradas analógicas podem ser em tensão ou corrente. Os fatores de escala envolvidos nesta conversão normalmente fazem com que os máximos analógicos e digitais correspondam aos valores das tensões de referência ou uma fração delas. VREF +FS (...) MSB Entradas Digitais N - Bits N - bits DAC Saída Analógica 0 ou -FS ( ) LSB VREF +FS (...) MSB Entrada Analógica Saídas Dititais N - bits N - bits ADC 0 ou -FS ( ) LSB Figura 6.7: Representação esquemática de conversores AD e DA. 78

79 Considerando um conversor operando com tensões positivas entre 0 e 0 V e diferentes resoluções, a Tabela 6. mostra a resolução em bits, Volts, %FS e em partes por milhão (ppm) ou db (20 log x). A resolução desses conversores está associada a um ruído de quantização, uma vez que a há uma diferença entre o valor real e o valor que pode ser representado pelo número finito de bits dos conversores. Este erro pode ser considerado incerteza ou ruído. Uma forma simples de entender como isto ocorre é através do gráfico de erro para sinais quantizados. As Figuras 6.8 e 6.9 mostram sinais analógicos que foram convertidos para digital por um mesmo ADC. Na primeira figura um sinal senoidal típico amostrado com uma frequência baixa apresenta erro com amplitude limitada e igual à resolução do ADC. Uma vez que o sinal é bem-comportado e está sendo amostrado lentamente o gráfico do erro parece determinístico e não lembra ruído, mas o mesmo não ocorre para a segunda figura. Tabela 6.: Resolução de conversores AD e DA Resolução (bits) Combinações 2N Resolução (0VFS) ppm (FS) %FS db (FS) 2 4 2,5 V mv , mv 5.625, , mv , ,77 mv 977 0, ,44 mv 244 0, μv 6 0, μv 5 0, μv 4 0, ,54 μv 0, ,38 μv 0,24 0, nv 0,06 0, Figura 6.8: Conversão analógico/digital de um sinal senoidal puro. Verde é o sinal real, vermelho é o sinal quantificado e azul é o erro entre o real e o quantificado. 79

80 Figura 6.9: Conversão analógico/digital de um sinal senoidal complexo. Verde é o sinal real, vermelho é o sinal quantificado e azul é o erro entre o real e o quantificado. Nela o sinal é aleatório e a frequência de amostragem é maior, mas a amplitude do sinal analógico e a quantidade de bits usados na conversão são os mesmos. Da mesma forma que na figura anterior o erro continua limitado em amplitude e equivalente a resolução do AD. O formato do erro, entretanto, não parecer determinístico e por esta razão é tratado como um erro ou uma incerteza. Um ruído analógico pode, então, ser tratado como uma limitação para a resolução de sistemas analógicos, idealmente infinita. Também é comum usar o termo razão sinal ruído para comparar o ruído de diferentes fontes sobre um determinado sinal. Esta razão nada mais é do que a razão entre a energia do sinal e energia do ruído. A energia normalmente é estimada pelo domínio da frequência, pelo valor RMS de um sinal ou ruído ao longo do tempo ou, simplificadamente, pela amplitude do sinal e do ruído. Dado que todos estes termos se confundem também é comum ver o ruído ou incerteza, mesmo que analógica, ser apresentada na forma de bits equivalentes. 6.0 Referências de tensão e corrente Normalmente os circuitos eletrônicos necessitam de fontes de alimentação para funcionarem corretamente. Estas fontes, em esquemáticos, tem sempre o mesmo símbolo, mas podem ter funções diferentes e requerer especificações distintas. Fontes tradicionais usadas para alimentar circuitos podem ser ruidosas e apresentarem drif elevado com tempo e temperatura. Estas características normalmente não são problemáticas pois os AO e outros circuitos têm imunidade a estas variações (PSRR, por exemplo). Por outro lado é fácil entender que alguns circuitos críticos têm o seu desempenho dependente diretamente da qualidade da fonte. Transdutores resistivos, por exemplo, precisam de fontes bem estáveis para que a tensão sobre eles possa ser usada como sinal. Se estes transdutores utilizarem as mesmas fontes de tensão que alimentam o restante do circuito o sinal, com certeza, será mais ruidoso e apresentará mais tendências do que se uma fonte específica para este fim for projetada. Por essa razão existem fontes de referência que costumam ser muito precisas e com drif muito pequeno. Estas fontes não são feitas para dissiparem muita potência nem para alimentarem circuitos inteiros. A Tabela 6.2 mostra alguns destes integrados e suas características principais. Uma lista de referências fabricadas pela Linear Technology pode ser obtida no seu application note AN42 Voltage Reference Circuit Collection. 80

81 Tabela 6.2: Circuitos de referência de tensão. Parâmetro AD58L LM399A LT02A MAX67C REF0A REF02C Saída (V/mA) 0/0 6,95/0 0/0 0/0 0/20 0/0 Drift c/ Tempo (ppm/000h) Drift Térmico (ppm/k) 5 0,6 2 8,5 2,5 Regulação (V) (ppm/vmáx) Regulação (I) (ppm/mamáx) Ruído (μvpp) (0,-0 Hz) Com base em Sensors and signal conditioning, Ramon Pallàs-Areny & John G. Webster. John Wiley & Sons, Inc, 200 8

82 7 Circuitos condicionadores para transdutores resistivos 7. Medidas de resistência Resistências podem ser medidas de duas formas básicas, por métodos de deflexão ou de zero. Os métodos de zero costumam ser mais exatos, porém mais lentos. Alguns problemas relativos as medidas, entretanto, são comuns aos dois métodos e serão apresentados, neste texto, uma única vez. Neste capítulo os conceitos serão apresentados em um contexto mas podem e devem ser estendidos para todos os casos. Os métodos de medida por deflexão são simples, pois necessitam apena que uma corrente ou tensão seja aplicada ao transdutor. A variação de resistência, então, se traduz também numa variação de corrente ou tensão dependendo de como se faz a medida. Para estes casos é necessário que as fontes sejam muito estáveis e precisas. Assim, mesmo para as fontes de corrente as referências de tensão serão importantes. Eventuais erros de exatidão podem ser compensados pois irão se refletir em erros de tendência. Resistências dos fios e terminais podem ser compensadas facilmente empregando-se uma medida com quatro fios, excitação por corrente e medida de tensão (Figura 7., esquerda). Medidas diferenciais também são comuns, pois as vezes as resistências variam pouco o que se traduz em um sinal com offset muito elevado. Nas medidas diferenciais o offset pode ser removido por comparação com resistências dummy, que apresentam a mesma resistência do transdutor e, muitas vezes, variações idênticas com a temperatura ou outras grandezas que não são de interesse (Figura 7., direita). Uma variação deste esquema pode ser feita com apenas uma fonte de corrente e medidas diferenciais de tensão sobre cada resistência. Neste caso a saída pode ser obtida pela subtração ou razão das tensões. A subtração pode ser realizada com um amplificador diferencial enquanto que a razão pode ser implementada com circuitos divisores ou um conversor AD cujo valor máximo corresponda a uma tensão de referência. Figura 7.: Algumas formas comuns de medida de resistência. A esquerda o método com quatro fios e a direita uma medida diferencial. Em ambos os métodos as medidas de tensão são feitas entre os pontos A e B. Para qualquer caso também vale a pena lembrar que o autoaquecimento, se não for necessário para a medida, deve ser evitado. Se o circuito for alimentado por fonte de tensão a potência máxima ocorre quando a resistência do transdutor for igual à resistência do equivalente Thévenin. Se a alimentação for realizada por fonte de corrente a máxima potência ocorre quando a resistência for máxima. A máxima potência, seja para não danificar o transdutor seja para evitar o autoaquecimento, normalmente é uma informação usada apenas para determinar um dos limites 82

83 da resistência do equivalente Thévenin. Outras equações devem ser encontradas para determinar o valor final dos resistores ou equivalentes. Normalmente estas informações são obtidas pelo equacionamento literal do problema, e por informações adicionais de como o circuito deve funcionar (faixa de saída, sensibilidade e outros). 7.2 Circuitos em ponte de Wheatstone Vários transdutores como os RTDs e os strain gauges apresentam pequenas variações de resistência com relação a variável de interesse, e normalmente são utilizados em uma montagem chamada ponte de Wheatstone (criada por S. H. Christie em 833 e aprimorada por C Wheatstone em 843). Os sensores são colocados nos braços da ponte, que pode ser alimentada com fonte de tensão ou corrente conforme indicado na Figura 7.2. Na ponte, uma ou mais impedâncias mudam seu valor proporcionalmente a grandeza que se deseja medir. Isto provoca um desequilíbrio nas tensões da ponte que pode ser detectado por um amplificador. Eventualmente este amplificador também pode ser responsável por linearizar ou filtrar o sinal captado da ponte. Figura 7.2: Pontes de Wheatstone alimentadas com fontes de tensão ou corrente. Apesar das duas formas serem possíveis a mais comum é aquela com alimentação em tensão. Nela, considerando que Av é o ganho do amplificador e Vcc é o valor da fonte de alimentação, a tensão na saída do amplificador será ( v 0 = Av Vcc R2 R3 R + R2 R 3 +R4 ) (7.) enquanto que, para o circuito alimentado com fonte de corrente, o sinal na saída do amplificador é dado por R3 R4 R R 2 v O =Av I R2 R3 R R 2 R 3 R 4 R R2 R3 R 4 (7.2) 83

84 Em ambos os casos o amplificador foi considerado ideal, ou seja, com impedância de entrada infinita. Isto nem sempre é verdade, e, assim como no caso apresentado para o circuito com potenciômetro, se a impedância de entrada do amplificador não for infinita um erro sistemático será adicionado a saída do circuito. A análise completa do problema, considerando a impedância de entrada do amplificador, pode ser feita por meio de equivalentes Thévenin vistos a partir de cada entrada do amplificador (Figura 7.3). Figura 7.3: Modelo de ponte de Wheatstone ligado a um amplificador com impedância de entrada ZL. R3 R 2 + R3 (7.3) R 2 R3 R 2 + R3 (7.4) R4 R +R 4 (7.5) v TH =v Z TH = v TH 2=v Z TH 2= R R4 R + R4 (7.6) o que resulta no modelo da Figura 7.4 Figura 7.4: Equivalentes de Thevenen da ponte de Wheatstone. 84

85 ( ( v TH =v TH v TH 2=v R3 R4 R 2+ R3 R + R4 RTH =RTH + RTH 2= R 2 R3 R R 4 + R 2 + R 3 R + R 4 ) ) (7.7) (7.8) Com as equações apresentadas fica evidente que a relação entre a tensão de saída da ponte e a variação de resistência dos elementos sensores pode ser bastante complexa. O uso mais simples da ponte inclui apenas um elemento sensor. Supondo que Z 3= R0 (+ Δ) e que k= R R2 = R 4 R0 (7.9) então a tensão de Thévenin pode ser simplificada ( v TH =v k Δ (k +) (k ++Δ) ) (7.0) Desta forma fica evidente que a sensibilidade da ponte depende da relação entre as resistências e que não é linear com relação a entrada (Δ). A sensibilidade da ponte pode ser calculada como S 0= dv TH d (Δ R 0) = Δ=0 v k R0 (k +)2 (7.) cujo máximo é obtido com k=. Neste caso v TH =v Δ 2 ( 2+Δ) (7.2) o que significa que a saída não é linear com relação as variações de resistência, mas para aplicações menos exigentes e com Δ 2 v TH v Δ 4 (7.3) Este limite para Δ pode ser conseguido com certa facilidade quando usamos strain gauges, mas isto pode não ocorrer quando os sensores forem RTD, por exemplo. Neste caso pode ser mais interessante reduzir a sensibilidade da ponte alterando a relação entre as resistências. Isto também torna a ponte mais linear. A resistência de Thévenin também pode ser recalculada considerando que todos os elementos da ponte tem o mesmo valor inicial R=R2=R 4=R0 =R RTH = R R (+Δ) R R + R+ R ( + Δ) R+ R (7.4) R (+ Δ) R + 2+Δ 2 (7.5) RTH = RTH =R 2 2 (7.6) 85

86 ou seja, não é constante e varia de forma não linear com relação a Δ. Mais uma vez, para aplicações menos exigentes e com Δ RTH =R (7.7) Observe que tanto a tensão quanto a resistência de Thévenin variam em função das variações de R3, e que RTH é aproximadamente igual as demais resistências empregadas na ponte. Isto quer dizer que o uso de sensores com impedância baixa é desejado, pois os erros relativos oriundos destas variações e da impedância de entrada do amplificador serão baixos. Outras possibilidades de montagem da ponte estão listadas na Tabela 7.. Tabela 7.: Configurações possíveis para ponte de Wheatstone R R2 R3 R4 vth/v vth/ir0 R0 R0 R0 (+Δ) R0 Δ 2( 2+ Δ) Δ (4 +Δ) R0 (+Δ) R0 R0 (+Δ) R0 Δ (2+Δ) Δ 2 R0 R0 R0 (+Δ) R0 ( Δ) 2Δ 2 (4 +Δ ) Δ 2 R0 R0 ( Δ) R0 (+Δ) R0 Δ 2 Δ 2 R0 ( Δ) R0 R0 (+Δ) R0 Δ2 4 Δ2 Δ2 4 R0 (+Δ) R0 ( Δ) R0 (+Δ) R0 ( Δ) Δ Δ A alimentação em corrente também apresenta um caso não linear, onde apenas uma resistência da ponte varia. Mesmo nesta situação este tipo de alimentação pode ser vantajosa em casos de alimentação remota, pois sofre menos influência da resistência dos fios e, portanto, favorece o uso de cabos mais baratos e com menos fios (como será visto mais adiantes) além de ser mais imune a interferências externas Medições de resistência em ponte de Wheatstone Para entender o problema da medida de resistência pode se utilizar um exemplo numérico. O RTD mais comum é o PT 00, um sensor de platina com resistência de 00 Ω. Ele tem coeficiente térmico (TC) aproximado de 0,385%/. Então para medir Ω é necessário discriminar variações de resistência de 0,385 Ω. Um outro exemplo recai sobre os strain gauges, eles podem variar % de seu valor para o fundo de escala. Isto pode significar variação máxima de 3,5 Ω numa medida de força. Para medidas com resolução de 0 bits seria necessário detectar variações de resistência de aproximadamente 0,0035 Ω. Normalmente variações de resistência desta ordem de grandeza são medidas com o uso de uma ponte de Wheatstone. A saída da ponte costuma ser de alguns mv quando a alimentação é da ordem de 0 V, o que leva a sensibilidades do conjunto de mv/v até 0 mv/v. Mesmo com a sensibilidade das pontes dependendo da tensão de alimentação esta não pode ser aumentada indistintamente, pois leva a aquecimento dos sensores, e se este problema for diminuído ao máximo, com a redução dos valores para fonte, a sensibilidade também fica muito 86

87 diminuída. Além disto fontes de alimentação para a ponte devem ser muito estáveis, pois variações na tensão de alimentação produzem variação na sensibilidade da ponte. Para resolver este problema pode se utilizar fontes de referência para alimentar as pontes. Existem fontes de referência muito mais precisas do que as fontes de alimentação como por exemplo o AD589 (,2%), o REF95 (0,2%) e o AD588 (0,0%) da Analog Devices. Uma alternativa para o uso de fontes de referência é a medida na qual a tensão da fonte de alimentação é utilizada para corrigir o ganho do canal de medição. Na Figura 7.5 a fonte de alimentação da ponte é usada como referência para o máximo valor de conversão do ADC. Com este arranjo o conversor se adapta as variações da fonte produzindo uma medida menos sensível as variações da fonte. Figura 7.5: Medida com ponte de Wheatstone e correção contra variações na tensão de alimentação. Com relação ao amplificador, normalmente utiliza-se o amplificador de instrumentação (Figura 7.6), seja ele com dois ou três amplificadores operacionais. O amplificador de instrumentação apresenta elevada impedância de entrada, elevado CMRR e, de preferência, baixo ruído, offset e drif (alta estabilidade térmica). Figura 7.6: Circuito classico de amplificação para pontes de Wheatstone. Apesar de todos estes cuidados se a ponte for não linear a saída do circuito será não linear. Isto não afeta a exatidão da medida, mas dificulta a leitura do sinal e as não linearidades devem ser corrigidas de alguma outra forma. Para analisar este efeito podemos lançar mão de um exemplo numérico. Considerando o circuito da Figura 7.6 alimentado com VB=0 V e com resistências de R=00 Ω na ponte, então 87

88 VB Δ R/ R v o real = Av 4 +Δ R /2 R ( ) (7.8) V ΔR v o ideal =Av B 4 R ( ) (7.9) Quando ΔR=0,% (0, Ω) a tensão de saída da ponte será vo=2,49875 mv e o erro Erro= 2, ,49875 =0,05 % 2, (7.20) Quando ΔR=% (,0 Ω) a tensão de saída da ponte será vo=24,8756 mv e o erro Erro= 25, ,8756 =0,5 % 25,00000 (7.2) Assim sendo se percebe que a ponte apresenta uma linearidade de ΔR/2, independente do sensor colocado nela ser ou não linear. Como visto em (7.0) a não linearidade pode ser alterada modificando-se a razão entre as resistências, mas neste caso a sensibilidade fica reduzida. O problema da linearidade deve, então, ser resolvido de outra forma. Para linearizar esta ponte podem ser utilizados alguns circuitos com amplificadores operacionais, tomando cuidado para que estes AO sejam escolhidos em função do seu alto ganho, baixo offset, baixo ruído e alta estabilidade térmica. Amplificadores como os AD708, OP277, OP23 e INA333 podem ser utilizados para esta função. Nas Figuras 7.7, 7.8 e 7.9 são apresentadas algumas montagens que linearizam a saída da ponte mesmo quando há apenas um elemento sensor. Figura 7.7: Circuito de linearização de ponte de Wheatstone. Observe que no circuito da Figura 7.7 a ponte foi empregada como os resistores de dois amplificadores sendo o segundo um somador não inversor com ganho tal que V o= ( ) VB Δ R R + 2 R R2 (7.22) Os circuitos da Figura 7.8 também podem ser utilizados para linearizar pontes com um ou dois elementos variando, conforme indicado, e alimentação em fonte de tensão. A desvantagem destes circuitos é que as pontes precisam ser abertas, o que nem sempre é possível, pois algumas vezes a ponte é comprada lacrada. 88

89 Figura 7.8: Circuitos de linearização com abertura da ponte de Wheatstone. Quando apenas um elemento varia (Figura 7.8 a esquerda) ( ) V o = V B ΔR 2 R (7.23) Quando há dois elementos variando (Figura 7.8 a direita) ( ) V o = V B ΔR R (7.24) Figura 7.9: Circuito de linearização da ponte de Wheatstone com realimentação da saída. ( Vcc * Δ R/ R v o =Av 4 +Δ R /2 R ) (7.25) e ( Vcc *=Vcc v o R5 R6 ) (7.26) logo 89

90 vo + ) ( )( ) v R ΔR Av ΔR = Vcc+ o 5 2R 4 R6 R (7.27) v o Δ R Av Δ R v o R 5 Av Vcc Δ R = 2R 4 R R6 4 R (7.28) Av R5 2 (7.29) Av Vcc Δ R 4 R (7.30) ( v o + se R6= então vo = Instrumentação para medidas remotas Para medidas remotas, onde a ponte está distante do circuito de excitação e captação, é possível empregar técnicas que compensam os erros introduzidos pelos longos fios. Os métodos mais conhecidos são os de extensões de três fios para a interconexão de um único elemento que varia ou de seis fios para interconectar toda a ponte. O esquema da Figura 7.0 ilustra o problema. Neste exemplo o elemento sensor esta distante 30 metros do resto da ponte e a interconexão é feita por fios AWG 30, de cobre, com um total de RFIO=0,5 25 e TC=0,385%/. A resistência dos fios tira a ponte do equilíbrio, o que pode ser compensado com uma resistência RCOR=2 Ω, entretanto variações de temperatura levam novamente a ponte ao desequilíbrio. Figura 7.0: Medida em ponte de Wheatstone com elemento sensor distante. Supondo VB=0 V, R=350 Ω, ΔR=% para o fundo de escala, e RFIO=0,904 35, então a saída da ponte varia na faixa de 0 até 23,45 mv para 25 e de 5,44 até 28,83 mv para 35. Isto significa um erro de offset de +23%FS (5,44/23,45) e um erro de linearidade de -0,26%FS ((28,835,44)/23,45). A correção para este problema pode ser feita não com o resistor de correção ( RCOR) mas com três fios que ligam a ponte ao sensor (Figura 7.). Supondo as mesmas condições do 90

91 problema anterior, então a saída da ponte varia na faixa de 0 até 24,5 mv para 25 e de 0 até 24,3 mv para a faixa de 35. Figura 7.: Medida em ponte de Wheatstone com elemento sensor distante e compensação com três fios. Observa-se agora, um erro de offset nulo e um erro de sensibilidade de apenas 0,08%FS. Isto ocorre pois a ponte ficou balanceada com a resistência dos fios que levam ao sensor e que variam com a temperatura, mantendo a ponte permanentemente em equilíbrio. Caso toda a ponte esteja distante pode se adotar o uso de seis fios para interconectá-la (Figura 7.2). Neste caso o maior problema é manter a alimentação da ponte o mais constante possível. A resistência dos fios, entretanto, varia com a temperatura, o que se traduz em variações na tensão de alimentação da ponte. Figura 7.2: Medida em ponte de Wheatstone realizada com 6 fios. 9

92 O circuito apresentado na Figura 7.2 mostra como a alimentação sobre a ponte pode ser mantida constante independente da impedância dos fios. Este sistema de medida com seis fios é, algumas vezes, chamado de ponte de Kelvin. Apesar do efeito dos fios ter sido removido ainda é importante manter a estabilidade da fonte de alimentação da ponte. A outra forma de evitar problemas com os longos fios de interconexão é utilizar fonte de corrente para a alimentação da ponte. Em qualquer um dos casos é importante atentar para a corrente de saída requerida dos amplificadores operacionais. Com alimentação de 0 V e resistências de 350 Ω a corrente na saída dos operacionais é da ordem de 30 ma o que pode ser um problema Problemas com offset Outro problema que deve ser evitado é o do efeito termopar (diferença de tensão que surge quando dois metais diferentes são unidos e mantidos em temperaturas diferentes) entre os fios que conectam a ponte aos circuitos de captação de sinais. Em uma ponte onde a saída máxima é de 20 mv erros menores do que 20 μv no offset são necessários para uma exatidão de 0,%. O efeito de termopar ocorre entre fios de diferentes materiais como a solda e o cobre (aproximadamente 2 μv/ ) ou Kovar (material utilizado em alguns terminais de circuitos integrados) e o cobre (aproximadamente 35 μv/ ) ou entre cobre e terminais de borneiras, conectores, chaves Este problema só pode ser evitado mantendo as conexões que formam os termopares na mesma temperatura, o que significa conexões próximas e sem barreiras entre elas. Para minimizar problemas com offset e drif (causados por efeito termopar ou introduzidos pelo próprio amplificador) a escolha dos amplificadores pode ajudar. Os operacionais OP77 e OP77 apresentam baixo offset, drif,, IB e ruído. Alternativamente podem ser empregados integrados com arquitetura chopper estabilizadas como o ADA4528, o AD8629 ou o AD8630, OPA335 e INA326. Também podem ser empregadas excitações alternadas com ondas quadradas ou senoidais. No caso da excitação com onda quadrada (Figura 7.3) a polaridade da fonte VOS, que representa o offset do amplificador e dos efeitos de termopar, não é afetado pela inversão da polaridade da fonte, então a subtração das medias realizadas com a duas polaridades elimina esta tensão de offset. O tratamento matemático pode ser feito com amostradores analógicos e subtratores ou digitalmente após a conversão de um AD. V A V B =(V O + V OS ) ( V O +V OS )=2 V O (7.3) onde VO é a tensão na saída da ponte. Figura 7.3: Técnica de redução de offset com inversão da polaridade da fonte de alimentação. 92

93 A Figura 7.4 mostra uma forma prática de inverter a polaridade na tensão de alimentação da ponte. Esta inversão de polaridade pode ser feita por uma ponte H (um DRV8832 por exemplo) ou por circuitos especialmente desenvolvidos para este condicionamento como o AD7730. Figura 7.4: Inversão de polaridade da fonte usando ponte H de transistores. O AD7730 (Figura 7.5) é um circuito integrado específico para medidas em ponte de Wheatstone e está preparado, entre outras coisas, para medidas com seis fios e apresenta internamente circuitos digitais para compensação de offset e conversão AD. Seu uso requer programação feita por uma interface digital SPI. Exemplos de interligação do AD7730 são apresentados na Figura. Figura 7.5: Diagrama interno do circuito AD7730, usado para medias em ponte de Wheatstone. 93

94 Figura 7.6: Exemplos de interligação do AD7730. Outros integrados também podem ser utilizados para o condicionamento de sinais como o PGA309 ou o XTR0. O PGA309, assim como o AD7730, apresenta vários recursos que podem ser programados para que se obtenham os melhores resultados em cada aplicação. Internamente o circuito está preparado para linearizar pontes com saída não linear, realizar compensação de temperatura, detectar falhas e reduzir efeitos de offset. Mesmo com todos estes recursos a saída do integrado é analógica e em tensão (Figura 7.7). Já o XTR0 é um circuito clássico, que alimenta a ponte com fonte de corrente e transmite os dados da medida também na forma de corrente (uma técnica muito utilizada na indústria). A saída do XTR0 usa o padrão industrial de 4 a 20 ma sendo que a corrente de offset serve para determinar se a linha de transmissão está intacta ou partida e serve para alimentar o circuito. No caso do XTR0 apenas dois fios são usados para alimentar tanto o XTR0 quanto a ponte e para transmitir informações a longa distância sobre a media. Um outro circuito nestes mesmos moldes é o XTR0 que pode funcionar nos padrões de 0 a 20 ma, de 4 a 20 ma, de 5 a 25 ma, mas usa dois fios para transmissão de dados mais os fios de alimentação (necessárias para o padrão de 0 a 20 ma). Uma aplicação típica do XTR0 é mostrada na Figura

95 Figura 7.7: Diagrama em blocos e conexões típicas do PGA309. Figura 7.8: Conexões típicas do integrado XTR0. 95

96 8 Interferência, blindagem e aterramento Neste capítulo são apresentados, modelos de acoplamentos capacitivos e indutivos para a propagação de perturbações e interferências, e técnicas de guarda, blindagem aterramento e isolação para evitar esta propagação. Este capítulo tem como base os livros Op Amp Applications Handbook (capítulo Hardware and Housekeeping Techniques, de Walt Jung), Op Amp for Everyone (capítulo Circuit Board Layout Techniques, de Mancini Ron), o clássico Noise Reduction Techniques in Electronic Systems de Henry W. Ott, e as transparências Interferências de Carlos Reis. 8. Formas de propagação Circuitos eletrônicos são susceptíveis a ruído de três formas principais: o ruído pode ser recebido com o sinal que se deseja tratar, o ruído pode ser gerado internamente no circuito ou ele se deve a uma interferência externa, devido a fatos naturais como raios ou a fontes artificiais como circuitos chaveados, motores, fontes de potência entre outros. Para a análise completa do problema é necessário o uso das leis de Maxwell, porém é possível simplificar a análise do problema em muitos casos empregando componentes R, L e C para modelar a forma como a interferência se propaga. Esta aproximação é válida se considerarmos que todo o campo elétrico está dentro dos capacitores, os campos magnéticos estão concentrados nos indutores e as dimensões do circuito são muito menores que as dos comprimentos de onda em análise. Com esta aproximação é possível determinar as formas de propagação para os ruídos e interferências. Elas podem, então, ocorrer por acoplamento resistivo, indutivo ou capacitivo. O acoplamento resistivo ocorre quando circuitos ruidosos e não ruidosos estão interconectados por resistências comuns aos dois circuitos. Na verdade este não é um problema meramente resistivo, pois as interconexões comuns aos dois circuitos são, na verdade, uma impedância complexa. O acoplamento capacitivo ocorre sempre que existirem dois condutores com campo elétrico entre eles ao passo que o acoplamento indutivo existe sempre que indutâncias mútuas e espiras estiverem presentes nos circuitos. Esta análise nem sempre resulta em valores numéricos confiáveis, mas a compreensão dos fenômenos envolvidos pode ser mais facilmente alcançada, ou seja, apresenta bons resultados qualitativos e as técnicas de análise de circuitos podem ser utilizadas livremente. Alguns exemplos ajudam a entender melhor o que está acontecendo em cada caso. Supondo um fio terra (retorno de corrente) comum para as fontes, condicionadores de sinal e circuitos digitais conforme mostrado na Figura 8.. Esta é uma situação comum, porém não ideal, pois devido a impedância de fios e trilhas nem todos os pontos de terra (ou de alimentação) apresentam o mesmo potencial. Isto ocorre porque circula, pelo retorno, não apenas a corrente do sensor e do condicionador de sinais, mas também a corrente de outros sistemas (fontes, circuitos chaveados, sistemas digitais, motores entre outros). Estas correntes podem ser elevadas e de alta frequência o que significa que fios e trilhas, modelados como resistores e indutores, apresentam, na prática, potenciais diferentes em diferentes pontos do circuito. Assim, o ruído pode se propagar para o circuito de captação e condicionamento de sinais onde a informação apresenta amplitude muitas vezes menor do que a do ruído gerado. De um modo geral este ruído pode ser diminuído reduzindo a impedância das trilhas de terra e alimentação e usando terras distintos para circuitos de sinal e circuitos ruidosos. 96

97 Figura 8.: Forma de propagação de ruído por acoplamento resistivo. As correntes que circulam pelos fios de alimentação produzem queda de tensão nas impedâncias dos fios. O acoplamento entre os cabos também pode ocorrer por meio de indutâncias mútuas parasitas como mostrado na Figura 8.2. A corrente que circula da fonte V para a carga R3 passa por um fio que apresenta acoplamento indutivo com um fio próximo. Neste outro fio surge uma diferença de potencial proporcional a M di/dt. Isto ocorre principalmente quando circulam correntes elevadas por cabos próximos, como em transformadores, motores, ventiladores e outros. Este também é um efeito que pode surgir em circuitos digitais uma vez que a derivada da corrente necessária para os chaveamentos rápidos pode ser expressiva. De um modo geral os efeitos deste acoplamento podem ser reduzidos com a separação dos fios e diminuição dos seus comprimentos, o que reduz a indutância mútua M, e aumento da impedância da fonte e da carga, o que reduz a corrente e, portanto, a tensão induzida no outro condutor. Figura 8.2: Forma de propagação de ruído por indutância mútua entre fios próximos. Uma corrente entre V e R3 induz ruído em um fio que interliga R e R2. Lfio, Lfio2 e M são indutâncias parasitas. O acoplamento magnético também pode estar presente se grandes espiras se formarem no circuito. Isto aumenta a área de captação e requer campos magnéticos menores para o mesmo nível de ruído. Algumas vezes estes laços são formados por longos fios ou trilhas, mas alguns laços são formados por arranjos como os mostrados na Figura 8.3, onde um condutor conduz o sinal e o outro, normalmente oculto, costuma ser o fio terra. Variações de campo atravessando essas espiras produzem tensões de ruído em série com os laços. Minimizar esses laços, tranças estes fios, afastar 97

98 os laços das fontes de ruído e orientar os cabos de forma apropriada são formas de minimizar os efeitos deste tipo de acoplamento magnético. Figura 8.3: Forma de propagação de ruído por formação de laços (espiras) que envolvem variações de campo magnético. As setas pequenas indicam a corrente de sinal, a área hachurada marca o laço e as setas em zigue-zague representam o campo que atravessa a espira. Finalmente o acoplamento também se dá por efeito capacitivo quando dois fios estiverem separados entre si, mas com um campo elétrico entre eles (Figura 8.4). Este acoplamento parasita (C e C2) pode formar um divisor de tensão propagando ruídos. O uso de malhas aterradas (blindagem) pode evitar este divisor de tensão mas se a malha não envolver completamente o cabo o divisor capacitivo continuará existindo. Acoplamentos capacitivos ocorrem principalmente em sistemas de alta impedância, logo, a redução da impedância do sistema (R na Figura 8.4) reduz a propagação de interferência por acoplamento capacitivo (tensão de ruído sobre R). Por outro lado fios e peças metálicas não aterradas podem se tornar uma entrada para este tipo de interferência. Este acoplamento pode ser reduzido com a diminuição do comprimento de fios e trilhas, uso de trilha central aterrada em lado (ou 2 lados se a frequência for elevada) e redução da impedância de carga. Figura 8.4: Forma de propagação de ruído por acoplamento capacitivo. Uma fonte V produz ruído sobre uma carga R em um fio distante e não interconectado. C e C2 correspondem as capacitâncias parasitas do circuito. Nas próximas seções serão apresentadas as formas mais comuns para minimizar estes problemas com aterramento, cabeamento e blindagem. Apesar de não estar explícito, sempre que se analisam acoplamentos capacitivos, indutivos e laços de terra é importante levar em conta as impedâncias da fonte de sinal e cabos. Costuma-se utilizar resistências concentradas para os cabos, junto as fontes, e uma resistência muito menor para malhas em acoplamentos indutivos. 98

99 8.2 Aterramento A impedância dos fios utilizados para a distribuição de alimentações e terras provoca quedas de tensões que podem ser significativas. Para se entender os efeitos causados por diferentes aterramentos e a ordem de grandeza do problema um exemplo numérico é útil. Uma trilha de circuito impresso de cobre, por exemplo, com resistividade ρ=,72 μωcm e espessura de 0,0035 cm, apresenta uma resistência de 0,49 mω para cada mm de largura e mm de comprimento. Esta resistividade, aparentemente pequena, pode influenciar em medidas cuja exatidão é alta. Uma trilha de circuito impresso com 5 cm de comprimento e 0,3 mm de largura apresenta resistência de 0,082 Ω. Se ela for ligada em série com um resistor de 5 kω as duas resistências formam um divisor de tensão de aproximadamente 0,082/ Este erro, de aproximadamente 0,006%, é da ordem de grandeza do erro de quantização de um conversor AD de 6 bits. Para evitar este problema da queda de tensão pode se utilizar uma estratégia semelhante a utilizada nas pontes de Wheatstone (Figura 7.2) com fios sense e realimentação da tensão. Esta estratégia, entretanto, só funciona para uma carga. Ademais este problema da resistência não leva em conta a resistência entre os diferentes pontos de terra nem da corrente que flui por ele. Um outro exemplo do livro Op Amp Applications Handbook é mostrado na Figura 8.5. Nela um amplificador chopper estabilizado (AD855) com tensão de offset da ordem de μv amplifica um sinal V, e a saída é medida entre vo e G2. A corrente de polarização do amplificador, ao passar pela resistência de terra (RGND), produz um erro de offset maior que o do amplificador. Se este mesmo segmento de trilha entre G e G2 for percorrido por outras correntes o erro será ainda maior. Uma mudança de layout na placa conectando R2 diretamente a G2 poderia resolver o problema. Uma alternativa seria modificar a configuração do amplificador de não inversor para subtrator. Desta forma as diferenças de tensões entre G e G2 seriam atenuadas como tensões de modo comum. Mais uma vez, está é uma solução pontual que só resolve o problema deste amplificador. Assim, uma solução geral para minimizar os problemas referentes as impedâncias entre diferentes pontos de terra costuma ser implementada separando os fios terras dos circuitos ruidosos e não ruidosos. Normalmente esta solução é relatada apenas para o fio terra, pois é nele que se concentram as correntes e estes problemas, mas o mesmo ocorre com as alimentações. Figura 8.5: Problemas de aterramentos em circuitos de precisão. O erro causado por Rgnd e a corrente de polarização do AD855 é maior que a tensão de offset do integrado. Existem basicamente três tipos diferentes de aterramento (Figura 8.6): um aterramento série, um aterramento em estrela, feito em um único ponto, ou um aterramento com plano de 99

100 terra. No caso do aterramento em série uma única trilha é usada para coletar as correntes de terra de todo o circuito. Assim os ruídos gerados por circuitos digitais, fontes de potência, chaveamento e outros se propagam para os demais circuitos. Este caso deve ser evitado. Na ligação em estrela os ruídos gerados não são propagados para os demais circuitos. No caso do plano de terra, uma forma mista entre as anteriores, se consegue uma redução das impedâncias que é aconselhada para circuitos com frequências acima de 0 MHz. Em circuitos mistos, com secções ruidosas, digitais e analógicos é possível manter os pontos de terra separados e interconectá-los em um único ponto ou suprir diferentes caminhos para a interconexão final diretamente na fonte de alimentação. Isto evita que a corrente dos circuitos ruidosos interfiram nos circuitos de pequenos sinais ou analógicos. Figura 8.6: Tipos de aterramento. De cima para baixo: em série, em estrela e com plano de terra. 00

101 Atenção especial, porém, deve ser dada para circuitos integrados que apresentam dois terras, um analógico e outro digital. Isso é comum em conversores AD e DA pois internamente eles possuem ambos os circuitos. De forma aparentemente estranha a recomendação dos fabricantes é que os dois pinos sejam ligados juntos, o mais próximo possível do encapsulamento. No caso dos AD os fabricantes recomendam que estes pinos sejam ligados ao terra analógico da placa. A imunidade a ruído do sinal analógico só é contaminado pelas correntes digitais do AD quer circulam por fora do AD e retornam pelo terra analógico. Neste caso é importante reduzir as correntes digitais na saída do conversor ligando-o a circuitos de baixo consumo como registradores CMOS, por exemplo. Para melhorar ainda mais o desempenho é possível isolar a alimentação do restante do circuito com um pequeno resistor em série com a fonte e um capacitor de 00 nf em paralelo com o AD (Figura 8.7). Neste arranjo as correntes digitais ficam confinadas e supridas pelo capacitor (que deve ficar muito próximo da alimentação do integrado). Figura 8.7: Terra em sistemas mistos como em conversores AD. Os planos de terra são alternativas muito usadas em placas de circuito impresso. Se bem utilizados eles minimizam a impedância de retorno (quando a área do plano de terra é elevada e não existem estrangulamentos) e área de laços que captam interferência por acoplamento indutivo (Figura 8.8). Assim, boas práticas recomendam que se evite a concentração de conexões cortando um plano terra, que se mantenha pelo menos 75% de área para o plano. De um modo geral o uso do plano de terra é vantajoso e, em placas multicamadas, planos para as demais alimentações também são recomendados (é da alimentação que saem todas as correntes que retornam pelo terra). Adicionalmente podem ser implementados diferentes planos de terra atendendo a sinais ruidosos e não ruidosos que depois devem ser interligados como numa ligação estrela. Isso também pode ser feito entre placas que se unem a um barramento comum ou que formam painéis ou gabinetes. A Figura 8.9 mostra dois destes casos. No exemplo correto o retorno usado pelos circuitos está diretamente conectado ao terra principal enquanto que no outro o terra é conectado ao gabinete, um dos lugares mais ruidosos que se pode encontrar num equipamento. Adicionalmente a todos os problemas mencionados, em frequências muito altas o efeito skin domina a condução (a condução ocorre na superfície). Uma aproximação para o cobre é que a profundidade do efeito skin é de 6,6/ f cm. A resistência skin é de 0,26 f μω para cada mm de largura e mm de comprimento da trilha (esta fórmula não é válida se a profundidade for maior que a espessura da trilha). O efeito skin, então, passa a ser importante quando a profundidade for 0

102 menor que 50% da espessura do condutor. Em trilhas de circuito impresso isto deve começar a fazer diferença em 2 MHz. Em altas frequências (VHF ou mais) também é necessário considerar que as trilhas podem se comportar como linhas de transmissão. Nestes casos até o material da placa deve ser escolhido. Sinal Sinal Sinal Área Área Plano de Terra Terra Plano de Terra Figura 8.8: Efeitos do plano de terra sobre a redução de área em laços. Rack Painel Correto Painel Rack 2 Errado Terra eletrônico Terra da rede Figura 8.9: Interligação de terras em painéis e gabinetes Laços de terra Laços de terra são um problema comum entre circuitos distintos separados por uma distância grande e alimentados pela rede ou em circuitos analógicos com baixa tensão de entrada. Ao se interconectar terras que estão em potenciais distintos se formam os chamados laços de terra, ou seja, um laço por onde circulam correntes de ruído e interferência (Figura 8.0). Quanto menor for a razão entre o sinal e o ruído mais importante será quebrar estes laços. Isto pode ser feito com o correto aterramento dos cabos, usando amplificadores isoladores, choques de modo comum (choque ou balun Figura 8.), anéis de ferrite nos cabos (ferrite beads Figura 8.2), caixas blindadas e flutuantes e circuitos balanceados (equilibrando as correntes de modo comum Figura 8.3). Se o acoplamento dos dois circuitos for feito de forma diferencial é possível usar par trançado e cabos blindados. 02

103 Observa-se que a isolação com transformador impede a transmissão de sinais de corrente contínua, apresentam resposta limitada em frequência, são grandes e caros. Se múltiplos sinais são conectados seria necessário múltiplos transformadores. Se o acoplamento capacitivo entre primário e secundário for elevado a redução da interferência pode não ser tão elevada. Nestes casos transformadores com enrolamentos blindados podem ser empregados (reduzem o acoplamento capacitivo). O uso do choque de modo comum, por outro lado, permite a interconexão de vários sinais, não bloqueia a corrente contínua e não afeta os sinais de modo diferencial. Figura 8.0: Laços de terra e formas de quebrá-lo. Com transformador isolador, isolação óptica e choque de modo comum. 03

104 Figura 8.: Choque de modo comum. Figura 8.2: Anéis de ferrite. Figura 8.3: Acoplamento entre circuitos com entrada e saída balanceadas. O uso de acopladores óticos permite a isolação completa mesmo com tensões diferenciais elevadas entre os terras, mas seu uso apresenta melhor resultado quando o sinal é transmitido digitalmente uma vez que sua linearidade não é boa. Circuitos balanceados também são uma alternativa viável uma vez que as correntes de modo comum podem produzir tensões facilmente eliminadas por amplificadores diferenciais. 04

105 8.3 Cabeamento 8.3. Acoplamento capacitivo Nesta seção são apresentadas algumas formas de reduzir a propagação de interferências e propagações de ruído lembrando sempre que as considerações feitas aqui devem ser utilizadas com cautela e conscientemente. Mesmo que algumas considerações aqui apresentadas sejam regras gerais elas não devem ser utilizadas aleatoriamente. Os conceitos apresentados são mais importantes que as regras e cada caso deve ser analisado antes que se decida por uma ou outra estratégia, pois em alguns casos especiais a aplicação das regras gerais pode não ter efeito ou pode piorar os problemas existentes. Quando o acoplamento é capacitivo a blindagem, então, é obtida envolvendo um ou mais condutores de forma a impedir que a interferência penetre neste condutor. A Figura 8.4 mostra isto com um cabo coaxial. Figura 8.4: Uso de cabo coaxial para redução de interferência por acoplamento capacitivo. Observe, nesse exemplo, que a malha do cabo coaxial não está aterrada (chave aberta) e o ruído propagado pela fonte V sobre uma carga R é resultado do divisor de tensão entre os capacitores C, C3 e C2 (de alguns pf até centenas de pf) e a própria carga. Por outro lado se a malha for aterrada (chave fechada) este divisor é quebrado evitando que a fonte V contamine a carga R. É claro que para que isso aconteça é necessário que a blindagem envolva todo o cabo o que nem sempre acontece nas extremidades. Além do mais o divisor de tensão depende de resistores (fonte e fios) e capacitores o que resulta em uma resposta em frequência não plana, do tipo passa altas para o ruído, cujo valor máximo ocorre para valores de resistência muito maiores que as reatâncias capacitivas do divisor. De um modo geral, reduzir o comprimento dos fios e cabos, usar malhas aterradas de um só lado (dos 2 lados em casos de alta frequência), reduzir o valor das cargas e os pontos metálicos não aterrados reduz os efeitos de acoplamento capacitivo Acoplamento indutivo Todo o fio é uma indutância e em altas frequências a reatância indutiva destes fios pode ser não desprezível. As fórmulas apresentadas em 8. e 8.2 servem apenas para fios cilíndricos e trilhas retangulares de circuito impresso, mas dão uma boa ideia dos valores envolvidos. Assim, cm de fio com diâmetro de 0,5 mm, em 0 MHz pode ter uma impedância de 0,46 Ω (7,26 nh). Trilhas de circuito impresso com cm de comprimento, 0,25 mm de largura e 0,038 mm de espessura tem resistência de 9 mω/cm e indutância de 9,59 nh/cm o que resulta em reatâncias indutivas da ordem de 2 Ω para uma frequência de 50 MHz. Estas impedâncias se somam as 05

106 resistências das trilhas criando uma impedância elevada em altas frequências que pode estragar um aterramento. L WIRE =0,0002 l ln ( ) 2 l 0,75[μ H ] r (8.) onde l é o comprimento do fio (mm) e r o seu raio (mm). [ L TRILHA =0,0002 l ln ( ) ] 2 l w +h + 0, ,5 [μ H ] w +h l (8.2) onde l é o comprimento, w é a largura e h é a espessura da trilha. Laços e indutâncias mútuas (Figura 8.5) também são formas importantes pelas quais o ruído se propaga ou pode ser evitado. Figura 8.5: Formas de aterramento de malha em cabos coaxiais. As duas figuras de cima apresentam laços grandes enquanto que as duas de baixo laços pequeno. As áreas de laço formadas por estas trilhas podem favorecer o surgimento de tensões de ruído induzidas nos condutores por campos magnéticos externos que as atravessam. Este 06

107 mecanismo pode ser entendido se considerarmos que por laços maiores passam mais linhas de campo o que leva a uma tensão de ruído induzido maior. Minimizar os laços minimiza o acoplamento entre os sistemas. Muitas vezes isto significa alterar o layout de circuitos impressos cabos, gabinetes, posicionamento dos componentes entre outros. Uma forma de reduzir estes laços também pode ser obtida por meio de cabos coaxiais (Figura 8.5). No primeiro caso (A), sem o cabo coaxial, um grande laço se forma captando interferência. Em (B), com a malha aterrada de um só lado, a corrente flui pelo caminho original mantendo um grande área de laço. No caso (C) a corrente de retorno fluiu pela malha reduzindo a área de laço. Por outro lado, se no caso (C) a corrente fluir parte pela malha parte pelo caminho original os efeitos da malha serão reduzidos. Observe que os efeitos obtidos não se devem a blindagem magnética mas a redução dos laços que captam interferências externas e é frequência dependente. Para o caso de irradiação, os circuitos (C) (D) também são os que menos geram ruído. Nestes casos o que ocorre é que a malha é percorrida por uma corrente em intensidade semelhante à do condutor interno (mas com direção oposta). O acoplamento magnético entre os dois condutores faz com que a corrente flua pela malha e não pelo terra. Desta forma as correntes em sentidos opostos geram campos que se anulam e o cabo coaxial se comporta como um choque de RF, mas se houver um desequilíbrio entre as correntes este efeito fica reduzido e o circuito passa a gerar mais ruído. O equilíbrio entre as correntes, no caso B, ocorre em frequências acima da frequência de corte da malha. Para baixas frequências os efeitos são limitados pois parte da corrente circula pelo terra e não pela malha. Assim, para baixas frequências é melhor aterrar apenas um lado da malha. Nos casos em que a carga não é aterrada (D) o aterramento de um só lado da malha produz resultados excelentes (a corrente do cabo central e da malha é a mesma) tanto no que diz respeito a captação de ruído quando na geração dele ao passo que o aterramento em ambos os lados pode produzir a circulação de corrente pela malha induzindo tensão de ruído no amplificador. Figura 8.6: Aterramento de malha em dois pontos gerando uma corrente por ela e uma tensão de ruído para o amplificador. A seguir são apresentados os resultados de testes feitos com diversas configurações de cabos coaxiais e cabos trançados com relação ao ruído ou atenuado em cada uma. Um sinal de 50 khz e 0,6 A foi aplicado a uma bobina de 0 espiras com 23 cm de diâmetro. Foram avaliados 2 cabos, cada um formando 3 espiras de 7,8 cm de diâmetro, colocados envoltos no campo magnético da primeira espira. O ruído foi medido sobre o resistor de MΩ. O resistor de 00 Ω representa a fonte. Apesar dos ensaios enfatizarem a interferência por acoplamento magnético, campos elétricos também estavam presentes. Por esta razão estes resultados não podem ser generalizados indistintamente mas mostram tendências. 07

108 Figura 8.7: Efeitos de blindagem e aterramento em cabos. 08

109 Normalmente a blindagem está associada ao uso de cabos coaxiais com malha externa (até 00 MHz), mas este não é um requisito fundamental nem garante a eficiência. Por exemplo, se os cabos coaxiais não forem terminados com uma conexão de 360 para evitar acoplamentos capacitivos onde a malha não protege o condutor interno o efeito da blindagem fica reduzido. Da mesma forma, pares trançados (até 00 khz) podem ser utilizados com bom resultado caso as voltas sejam menores do que /20 da distância até a fonte de interferência ou menores do que /8 da frequência máxima do sinal que está sendo transmitido. Cabos flat também podem ser utilizados para transmissão de dados até 50 MHz. Acima disto o cross-talk pode produzir, por efeito capacitivo, interferência nos cabos laterais. Nesses casos o uso de terras intercalados (terra-sinal-terra-sinal ou terra-sinal-sinal-terra) pode ajudar a melhorar a qualidade do sinal. Alguns cabos flat também apresentam uma malha abaixo ou em tono dos fios, mas para máximo efeito toda esta malha deve ser ligada a uma conexão plana de terra. A Figura 8.8 mostra exemplos de cabo coaxial e seus conectores, cabo flat, e pares trançados com blindagem. Figura 8.8: Cabos coaxiais e seus conectores macho e fêmea, cabos flat e pares trançados com blindagem. De um modo geral devemos reduzir os laços e separar cabos em grupos de fios: ) fios de alimentação CA, retorno CA, aterramento de chassi; 2) fios de alimentação CC, retorno CC, e referência; 3) sinais digitais e retornos; 4) sinais analógicos e retornos. Para reduzir radiação manter pequenas as áreas, usar frequência mais baixa possível, tempos de chaveamento não menor do que o necessário e baixas correntes. Manter os cabos de sinais longe de aberturas, cabos CA e CC, transformadores, motores, solenoides. Par trançados funcionam bem até 00 khz, cabos coaxiais até 00 MHz e gias de onda para frequências acima de GHz. Também podemos considerar que cabos longos se transformam em linhas de transmissão. Em altas frequências (quando o comprimento dos cabos é maior do que /20 do comprimento de onda que por eles passam) aterrar a malha em apenas um lado (como tem sido recomendado) as capacitâncias parasitas podem fechar um laço de terra. Nestes casos pode ser melhor aterrar dos dois lados da malha para reduzir a diferença de potencial entre estes pontos. 09

110 8.3.3 Ruídos em circuitos de alta frequência Em circuitos de alta frequência as impedâncias das trilhas, principalmente devido as reatâncias indutivas e capacitivas, criam efeitos indesejados em diferentes partes do circuito. O principal efeito indutivo ocorre nas linhas de alimentação enquanto que os efeitos capacitivos fazem o acoplamento entre linhas. A indutância das linhas de alimentação causam problemas semelhantes aos do aterramento e se propagam pela variação da alimentação de cada circuito (Figura 8.9). A solução para este problema passa pelo uso de capacitores de desacoplamento que suprem localmente as correntes necessárias a cada integrado e adição de resistores de baixo valor que reduzem a seletividade do circuito LC (Figura 8.20). A redução da seletividade também pode ser usada localmente para evitar rings em saídas digitais (Figura 8.9). Figura 8.9: Propagação de ruído em sistemas chaveados. Os chaveamentos rápidos que demandam correntes elevadas propagam variações na tensão de alimentação (queda de tensão sobre XL) para o restante do circuito. Os capacitores de desacoplamentos que minimizam este efeito só funcionam se estiverem realmente perto da alimentação dos integrados (Figura 8.20). c c Desacoplamento ruim Desacoplamento bom Figura 8.20: Propagação de ruído pela fonte de alimentação em circuitos chaveados. Amplificadores operacionais têm uma capacidade limitada de filtrar variações de tensões nas alimentações. Este parâmetro é conhecido como PSRR (power supply ratio rejection) e é função 0

111 da frequência. Em corrente contínua este valor é bastante elevado, da ordem de 20 db, mas ele decresce rapidamente com a frequência podendo até se tornar negativo, ou seja, as variações rápidas na tensão de alimentação passam a ser amplificadas. Em alguns casos extremos o AO pode oscilar. Normalmente são recomendados dois capacitores de desacoplamento. Um capacitor eletrolítico ou de tântalo de uns 0 μf que apresenta impedância muito baixa nas baixas frequências e um capacitor cerâmico da ordem de 00 nf que funciona melhor em altas frequências. O capacitor eletrolítico normalmente é colocado próximo da fonte e o capacitor cerâmico próximo do integrado. 8.4 Gabinetes A última opção para para reduzir interferências é a blindagem de gabinetes, caixas e salas. Blindagens deste tipo são caras e devem ser evitadas com planejamento dos circuitos antecipadamente. Isolar circuitos de potência, transformadores, afastar cabos, reduzir laços e todas as dicas anteriores devem ser aplicadas antes. Para evitar interferências por acoplamento capacitivo manter o circuito longe de alta-tensão e cargas elevadas. Para evitar interferências por acoplamento indutivo manter o circuito longe de alta corrente e evitar cargas baixas. Procure fazer um bom projeto para ter uma solução de baixo custo e minimizar os problemas de interferência. A blindagem de objetos e lugares ocorre por absorção e perdas ou por reflexão. Quando uma onda eletromagnética atravessa um meio a amplitude dela decai exponencialmente. A profundidade para que a amplitude caia a 63% do valor inicial é chamada de skin depth e é dependente da frequência, do material e de seu coeficiente de atenuação. Bons materiais são mumetal e aço, mas alumínio e cobre também oferecem proteção, porém em menor intensidade. Para que exista reflexão, por outro lado, é necessário uma diferença de impedância entre os meios. Para campos elétricos a reflexão ocorre na primeira superfície enquanto que os campos magnéticos são refletidos na segunda superfície. Isto requer materiais mais grossos para atenuar campos magnéticos. As Figuras 8.2 e 8.22 mostram formas de obter esta blindagem em caixas e gabinetes. Observa-se que a blindagem sempre tenta vedar todas as frestas com partes metálicas ou guias de onda, evitando que a interferência entre ou saia do gabinete. Figura 8.2: Tampas, emendas e furos em caixas blindadas.

112 Figura 8.22: Cantos e aberturas em caixas blindadas. Recursos como caixas metálicas, caixas plásticas com carga condutiva, encaixes condutores, tampas de ventilação, vidros e LCD condutivos devem ser empregados sempre que necessários, impedindo que campos elétricos entrem ou saiam da caixa. O tamanho das aberturas também deve ser avaliado para que impeçam a onda de entrar na caixa (dimensões das aberturas proporcionais aos comprimentos de onda, servindo como um guia de onda). Conexão dos cabos e filtros de linha também devem ser avaliados. 8.5 Peças Para comprar capacitores e filtros e Para comprar ferrites em 2

113 9 Transdutores reativos Assim como os resistores, capacitores e indutores também podem ser utilizados como sensores ou transdutores. Por serem ativos requerem uma fonte de excitação externa, normalmente uma fonte de corrente alternada. O sinal de saída também costuma ser um sinal alternado e os circuitos de condicionamento de sinal normalmente requerem alguma forma de demodulação. Como a excitação é alternada a faixa de frequência dos sinais de interesse fica limitada a uns 0% da frequência de excitação. 9. Transdutores capacitivos Os transdutores capacitivos são formados por elementos condutores separados por um dielétrico. Nos casos mais simples estes condutores são placas paralelas cuja capacitância depende tanto das características geométricas dos condutores quanto das propriedades elétricas do isolante(9.). C d =ε0 εr A d (9.) onde ε0 =8, é a permissividade do ar, εr é a permissividade relativa do material, A é área das placas e d é a distância entre as placas. Sendo assim, qualquer arranjo que modifique A, d, ou εr pode ser transformado em um transdutor capacitivo. Um número expressivo de arranjos pode ser utilizado na construção de transdutores capacitivos. Alguns exemplos podem ser vistos na Figura 9.. Figura 9.: Alguns arranjos possíveis para transdutores capacitivos. As variações de área são produzidas pelo deslocamento relativo entre as placas. Um dos primeiros transdutores capacitivos foi um microfone, cuja base de funcionamento é a variação da distância d. A variação de características de dielétricos também é muito comum e bastante empregada em medidores de umidade, por exemplo, pois a permissividade relativa do ar é de aproximadamente enquanto que para a água a permissividade relativa pode variar de 88 (a 0 ) até 55,33 (a 00 ). Como visto, não apenas mudanças de materiais alteram a permissividade 3

114 relativa dos materiais, a temperatura também altera a permissividade dos materiais, e para os ferroelétricos está alteração é proporcional ao recíproco da temperatura (9.2) ε= k T T C (9.2) onde k é uma constante, T é a temperatura e TC é a temperatura Curie. Sensores capacitivos sofrem com diversos problemas. O dielétrico pode apresentar variação de condutividade com a temperatura ou umidade, alterando a impedância do capacitor mesmo sem alterações de capacitância. Este problema só pode ser contornado com a escolha apropriada do dielétrico para a aplicação desejada. Ainda do ponto de vista construtivo, os efeitos de borda produzem dispersão do campo elétrico. Esta dispersão frequentemente é compensada com um anel de guarda ligado a um potencial fixo que mantém o campo confinado. Interferências por acoplamento capacitivo também são um problema, mas podem ser reduzidas utilizando-se as técnicas estudadas anteriormente. Cabos longos adicionam capacitâncias parasitas reduzindo a sensibilidade e faixa de frequência do sensor. A variação no posicionamento dos cabos produz variação de capacitância que pode ser confundida com a uma variação no mensurando. A frequência de excitação do sensor também é importante. Normalmente as capacitâncias estão na faixa de a 500 pf de tal forma que em baixas frequências a impedância é muito elevada e em altas frequências as capacitâncias parasitas ajudam a reduzir significativamente a impedância do sensor. Frequências de excitação da ordem de 0 khz são as mais comuns, mas, dependendo do caso, é possível a excitação com frequências tão altas quanto 0 ou 00 MHz.. Apesar destes problemas os sensores capacitivos podem apresentar muitas vantagens sobre os resistivos. Os efeitos de drif com o tempo e temperatura (se o dielétrico for o ar) são bastante reduzidos o que os torna muito estáveis e reprodutíveis. Mesmo se o dielétrico sofrer alterações com a temperatura elas costumam ser muito menores do que nos condutores. Para sensores de deslocamento não há atrito entre peças. Estes transdutores também não apresentam contato mecânico nem histerese. Como medidas de elevada resolução são possíveis (medidas de deslocamento da ordem de 0-2 m) muitos destes transdutores têm sido fabricados em circuitos integrados como, por exemplo, os acelerômetros e sensores de pressão usados em celulares e dispositivos sensíveis ao toque. Além das aplicações como medidores de umidade também são muito comuns os sensores de proximidade e deslocamento (para faixas menores que mm a resolução pode ser subnanométrica), sensores de pressão (em conjunto com diafragmas), como nos microfones, ou sensores de ou força (em conjunto com elementos elásticos). Aplicações menos comuns empregam variações no dielétrico para medidas de espessura, nível, produtos químicos, ou temperatura. 9.. Variações dimensionais Normalmente as variações dimensionais dos sensores capacitivos estão restritas as variações de área ou de distância ente as placas. Estas variações podem tornar o sensor linear ou não dependendo de como se faz a medida (impedância ou admitância). A avaliação rápida destas eventuais não linearidades e da sensibilidade obtida com cada arranjo é interessante para a otimização do desempenho de cada transdutor e pode ser feita expandindo a função de sensibilidade por séries de Taylor. Supondo, por exemplo, um sensor de espessura capacitivo, com gap variável entre suas placas e o elemento dielétrico conforme apresentado na Figura 9.2. Observa-se neste arranjo que existem dois capacitores conectados em série, um com dielétrico fixo (ld) e outro com gap variável (lg) 4

115 Figura 9.2: Transdutor capacitivo de gap variável. A capacitância do gap é dada por C g= A ε0 lg (9.3) e a capacitância do dielétrico pode ser escrita como ε ε C d =A R 0 ld (9.4) Uma vez que as duas capacitâncias estão em série a capacitância equivalente é calculada como C= + Cd C g (9.5) A εr ε0 A ε 0 ld lg C= A εr ε0 A ε0 + ld lg (9.6) A 2 ε R ε20 l d l g C= A ε0 (ε R l g +l d ) l d l g (9.7) C= A ε 0 l l g + εd R (9.8) Considerando que o gap sofre pequenas variações em torno de um ponto central de repouso l g =l g 0 +Δ l g C= (9.9) A ε0 (9.0) l l g 0+ Δ l g + εd R 5

116 Esta é a equação da capacitância em função de variações do tamanho do gap. Para representar melhor este transdutor podemos calcular a variação relativa de capacitância com relação a capacitância de repouso (semelhante ao que foi feito com o strain gauge). Esta razão define uma sensibilidade relativa, adimensional, dc Δ C C C 0 C = = = C0 C0 C0 C0 (9.) No presente exemplo C 0= b x 0+c (9.2) onde b=a ε0, c =l d / K e x 0=l g 0, então b dc C x +c = = C0 C0 b x 0 +c (9.3) dc x 0+c = C 0 x +c (9.4) Como o gap varia entorno de um ponto central x =x 0 +dx x 0+ c dc = C 0 x 0+dx + c (9.5) que pode ser reescrita como dc = C0 Como dx + x 0+c (9.6) = A +A , então +A 2 dc dx dx = + C0 x 0 +c (x 0 +c )2 dc = C0 dx dx + 2 x0 x0 c c + + x0 x0 ( ) ( ) (9.7) 2 ( ) ( ) (9.8) que é da forma 2 ( ) ( ) dc dx dx =α +α 2 C0 x0 x0 (9.9) Por comparação encontramos 6

117 α = e α2 = ( ) c + x0 2 ( ) c + x0 (9.20) Fazendo as substituições de b, c e x dc = C0 ( ( ) 2 ( ) dl dl g g + 2 lg 0 lg 0 l ld + d + εr l g 0 ε R l g 0 ) ( ) (9.2) onde α = ( l + d εr l g 0 e α2= ) ( l + d ε R l g 0 2 ) (9.22) Uma medida de não linearidade pode ser obtida pela relação αα = 2 ( + ld εr l g 0 ) (9.23) Observa-se que todas as coisas que reduzem a não linearidade também reduzem a sensibilidade relativa, ou seja, para este arranjo não é possível otimizar a não linearidade do transdutor escolhendo um valor específico de capacitância. Observa-se porém, que o dielétrico, apesar de reduzir a sensibilidade relativa reduz também a não linearidade do transdutor. A variação de capacitância com relação a variação do gap também pode ser avaliada da mesma forma. C= A εr ε0 l g εr +l d (9.24) εr ε0 A ε2r ε0 A dc = ε = 2 R dl g l 2d ( l d +ε R l g ) ( [ ε l + R g ld 2 ) (9.25) ( ) ] 2 C l l dc 0 εr 2 εr g +3 εr g... dl g ld ld ld (9.26) 9..2 Capacitores diferenciais Medidas diferencias também são usadas com frequência. Na Figura 9. (no centro, em cima) é apresentado uma montagem com um capacitor diferencial. Considerando que no repouso lg0=lg=lg2 a tensão sobre cada capacitor será não linear com relação ao deslocamento do terminal central porém a diferença entre as tensões será linear com relação ao deslocamento. Neste exemplo a sensibilidade é independente da frequência de excitação e bem maior do que seria possível obter com um arranjo de um só capacitor. 7

118 XC V =V FONTE XC + XC 2 (9.27) XC 2 V 2 =V FONTE XC + XC 2 (9.28) XC = εr ε0 A l g 0+ Δ l g (9.29) XC 2= εr ε0 A l g 0 Δ l g (9.30) l g 0+ Δ l g V =V FONTE 2 l g 0 (9.3) l g 0 Δ l g V 2 =V FONTE 2 l g 0 (9.32) Δl V V 2=V FONTE g lg0 (9.33) 9.2 Transdutor Indutivo Os indutores são formados por espiras condutoras e podem estar associados a elementos ferromagnéticos ou outras bobinas que modificam o comportamento global do indutor. Esta versatilidade permite muitos arranjos para os transdutores indutivos. Neste texto serão apresentados transdutores que funcionam por alteração da relutância magnética ou por indutância mútua Transdutores de relutância variável A indutância pode ser expressa como ϕ L =N i (9.34) onde N corresponde ao número de espiras, ϕ é o fluxo magnético e i é a corrente. O fluxo magnético, por sua vez, se relaciona com a força magnetomotriz e a relutância magnética tal que ϕ= Fmm N i = ℜ ℜ (9.35) de forma muito semelhante a lei de Ohm. Observe que é possível fazer uma analogia entre a Fmm e a tensão elétrica, ϕ e a corrente elétrica e ℜ e resistência elétrica. Esta analogia é válida inclusive para o cálculo da relutância equivalente quando o caminho do fluxo inclui elementos com diferentes características magnéticas. Para bobinas circulares cujo comprimento é bem maior que a área, a relutância magnética equivale a l ℜ= μ 0 μ R A (9.36) 8

119 onde μ 0=4 π 0 7 H/m é a permeabilidade magnética do vácuo, μr é a permeabilidade magnética relativa do meio, l é o comprimento da bobina e A a área de secção reta. Assim, para uma bobina linear, μ 0 μ r N 2 A L= l (9.37) e qualquer alteração na permeabilidade magnética, no número de espiras, na área ou no comprimento pode ser usada para transformar o indutor num sensor (Figura 9.3). Sensores que alteram o número de espiras funcionam de forma muito semelhante aos potenciômetros ou, mais especificamente, os autotransformadores. Os sensores de relutância variável atuam sobre A, l ou μ sendo as duas últimas as mais comuns. Assim como acontece com os sensores capacitivos os sensores indutivos também apresentam alguns problemas que devem ser levados em conta. Campos magnéticos externos influenciam nas medidas e podem alterar o valor da indutância do sensor. Nestes casos talvez seja necessária uma blindagem especial para o sensor. A permeabilidade magnética não é constante com relação a intensidade de corrente elétrica e saturações e histerese são os principais problemas. Além disto perdas por correntes parasitas nos núcleos podem ser um problema e, neste caso devem ser reduzidas ao máximo. Estas características normalmente limitam a tensão máxima de alimentação destes sensores a uns 5 V quando os núcleos são ferromagnéticos e as frequências de excitação a uns 20 khz (os sensores com núcleo ferromagnético apresentam indutâncias da ordem de a 00 mh). Núcleos de ar podem ser utilizados minimizando estes efeitos, mas a sensibilidade do dispositivo fica reduzida e o caminho magnético é menos definido e o dispositivo fica mais sensível ao entorno. A relação entre a indutância e a relutância magnética também não é constante se o fluxo não for uniforme. Os principais problemas costumam ocorrer nas bordas do dispositivo. Por razões óbvias a faixa de temperatura está limitada pela temperatura de Curie de material ferromagnético (temperatura acima da qual o material perde suas características magnéticas). Devido a forma como são construídos os indutores são muito artesanais e volumosos e não é fácil encontrar sensores indutivos miniaturizados. Figura 9.3: Sensores indutivos de relutância variável. 9

120 Como vantagens os sensores indutivos são muito pouco sensíveis a variações de umidade e outros contaminantes como poeira e fuligem, não apresenta atrito e são muito sensíveis. Da mesma forma que nos sensores anteriores, medidas diferenciais costumam ser menos sensíveis a campos externos, temperatura, variações na tensão de alimentação e frequência da fonte. As principais aplicações para este tipo de sensor são as medidas de deslocamento e posição e sensores de proximidade para objetos metálicos (principalmente em ambientes sujos e úmidos), mas podem fazer parte de uma gama maior de transdutores para medida de pressão, força, nível, contagem de carros e outros. Uma aplicação típica consiste no detector de proximidade. Supondo o arranjo da Figura 9.4, com transdutor de relutância variável, núcleo ferromagnético de comprimento total lm, tamanho do gap lg, áreas Am e Ag para o núcleo e o gap e permeabilidade magnética μ M =μ R μ 0 Figura 9.4: Transdutor indutivo de gap variável. Pode ser demonstrado que neste caso a indutância do transdutor é dada por: L= μ0 Ag N 2 Ag lm lg + Am μ R ( (9.38) ) que tem forma L 0= b x 0+c (9.39) onde b=μ 0 Ag N 2, c =( Ag lm) (Am μ R ) e x 0=l g 0. Desta forma, assim como no exemplo do sensor capacitivo, é possível calcular uma sensibilidade relativa para este sensor e avaliar sua sensibilidade e sua não linearidade empregando expansão por séries de Taylor. Como o formato das equações é o mesmo é possível aproveitar os cálculos anteriores tal que dl = L0 e como dx + x 0 +c (9.40) = A +A , então +A 20

121 dl = L0 dx dx + 2 x0 x0 c c + + x0 x0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) (9.4) Assim como ocorre com transdutores capacitivos, o uso de cabos com elevada capacitância também afeta a sensibilidade dos transdutores indutivos. Considere inicialmente o modelo para um indutor real da Figura 9.5, onde R modela as perdas resistivas do fio, as perdas de corrente de fuga pelo núcleo e também as perdas de histerese e C modela a capacitância parasita associada ao enrolamento e cabos. Figura 9.5: Modelo de indutor real. Como todo circuito RLC o indutor real é regido por uma equação diferencial de segunda ordem tal que a frequência de ressonância é ω0 =(L C ) / 2 e o fator de qualidade Q=ω 0 L R. Sendo assim, no circuito RLC proposto, a resistência R pode ser escrita em função de Q R= ω L Q (9.42) Analisando a impedância do circuito equivalente para o indutor real temos que Z L =( R+ X L )// X C ( ) ( ) (9.43) ω L + j ω L Q j ω C Z L= ω L + j ω L + Q j ω C (9.44) ω L + j ω L Q j ω C Z L= ω L + j ω L Q ω C ( (9.45) ) 2

122 ( Z L= j ω C ) ω L + j ω L Q ω L ω2 L C + j Q ω C ( (9.46) ) j ω C ω L ω C Z L= + j ω L 2 Q ω L C + ( ω2 L C ) Q ( ) Supondo que Q (R é baixo), então Q e ω L + j ω L 2 Q ω L C (9.48) ω L j ω L + 2 Q ( ω L C ) ( ω2 L C ) (9.49) ( Z L= Z L= (ω 2 L C ) ( ω2 L C ) (9.47) ) Se a capacitância parasita fosse desconsiderada (C=0), então Z L= ω L + j ω L Q (9.50) Comparando-se as duas expressões de ZL podemos concluir que a capacitância parasita diminui o fator de qualidade, uma vez que Q EFETIVO =Q ( ω2 L C ) (9.5) Esta expressão vale até que ω=(l C ) /2 e nestas condições Q efetivo <Q. Além disso, há, também, um efeito de aumento da indutância efetiva, uma vez que esta pode ser entendida como L EFETIVO =L EQ = L ( ω2 L C ) (9.52) Derivando-se esta última expressão temos L EQ ω 2 L C L (ω2 C ) = L ( ω2 L C )2 (9.53) L EQ = 2 L ( ω L C )2 (9.54) L ( ω2 L C )2 (9.55) L EQ = de onde 22

123 L L EQ ( ω2 L C )2 = L EQ L ( ω2 L C ) (9.56) L EQ L = L EQ L ( ω 2 L C ) (9.57) Tal expressão indica que na construção de um transdutor de indutância variável, a capacitância parasita tende a aumentar a sensibilidade do transdutor (em relação ao caso ideal). Os efeitos anteriormente mencionados, de capacitância parasita do enrolamento, podem ser somadas aos efeitos das capacitâncias parasitas associadas aos cabos coaxiais ligados aos transdutores. Por esta razão, cuidado especial deve ser tomada na escolha do cabo coaxial a ser utilizado para interligar este tipo de transdutor Transdutores de indutância mútua O transdutor indutivo baseado em indutância mútua mais conhecido é o chamado Linear Variable Differential Transformers (LVDT). O LVDT é um transformador com acoplamento magnético variável produzido pelo movimento de um núcleo ferromagnético colocado entre os enrolamentos (Figura 9.6). Na configuração tradicional o LVDT conta com um enrolamento primário por onde o transdutor é energizado e dois enrolamentos secundários por onde se obtém um sinal proporcional ao deslocamento do núcleo. Normalmente os secundários são ligados em série com polaridades opostas de modo a zerar a saída na situação de deslocamento mecânico nulo do núcleo. Figura 9.6: Linear Variable Differential Transformers (LVDT). A tensão de saída é proporcional a diferença entre as indutâncias mútuas do primário para cada uma das bobinas do secundário, da tensão e da frequência de excitação e da carga. As resistências dos enrolamentos também influenciam na resposta em frequência do sistema de tal forma que o LVDT apresenta comportamento semelhante a um filtro passa faixa. Por esta razão a escolha da frequência de excitação otimiza a sensibilidade e reduz o deslocamento de fase entre a corrente de excitação e a corrente do secundário. Variações de temperatura resultam em variações nas resistências dos enrolamentos o que acarreta alterações de sensibilidade e na frequência ótima de excitação. A excitação com fonte de corrente torna o transdutor mais imune a variações de temperatura. Os efeitos não lineares começam a ser sentido com deslocamentos acima de 30% do máximo, mas LVDT especiais são construídos permitindo deslocamentos de até 80% do máximo. Os erros de offset costumam ser menores do que %, problemas de distorção harmônica por saturação do núcleo podem ser mantidos tão baixos quando o desejado, mas se isto não for possível uma filtragem passa baixas para o terceiro harmônico frequentemente resolve o 23

124 problema. Uma resolução de 0,% é facilmente obtida, o sistema não tem atrito e o tempo médio de falhas de alguns dispositivos chegam a ser de centenas de anos. Além disto os LVDT oferecem isolamento elétrico entre o mensurando o circuito evitando a formação de laços de terra. LVDT também são famosos pela repetibilidade, especialmente do zero (o que os torna ótimo para esta finalidade), elevada sensibilidade e linearidade (usualmente melhor do que 0,05%). Os LVDT são usados para medidas de deslocamentos de centenas de μm até vários cm, podendo obter resoluções de 0, μm. São comuns as excitações de até 24 V e frequências de excitação de 50 até 20 khz Outros transdutores indutivos Outros transdutores indutivos comuns são os sensores de corrente de Foucaut (eddy current) ou correntes parasitas (relutância variável), os synchros, resolvers, e os inductosyn (indutância mútua) além dos magnetoelásticos, magnetoestritivo. Os sensores de corrente de Foucaut ou parasita induzem uma corrente em um material condutor próximo. Esta corrente gera um campo magnético que tende a cancelar o campo que gerou a corrente, reduzindo a indutância do sensor. Estes sensores são utilizados para medidas de proximidade. Os synchros e os resolvers são transformadores rotativos, semelhantes a motores, onde a amplitude da tensão de saída é proporcional ao ângulo de rotação do rotor. Nos synchros são usados bobinas com ângulos de 20 o enquanto que no resolver as bobinas são defasadas 90o fisicamente. O inductosyn, por outro lado, consiste de duas bobinas planas (com formato de onda quadrada) estampadas em superfícies que deslizam uma sobre a outra. No caso linear são utilizados os nomes estator e régua para designar as partes móveis e fixas. No caso do dos synchros e resolvers são empregados os nomes tradicionais estator e rotor. Os sensores magnetoelásticos modificam sua permeabilidade magnética em função de uma tensão mecânica, os magnetoestritivos têm como base a deformação (mudança de dimensão) de um material ferromagnético quando submetido a um campo magnético. 24

125 0 Comparadores Comparadores são usados para discriminar se um determinado sinal analógico é maior ou menor que um sinal de referência. A saída do comparador é, portanto, digital. Eles podem ser construídos com AO ou com integrados específicos conhecidos como comparadores de tensão. A solução empregando AO é comum, mas de desempenho significativamente pior que aquela usando comparadores. Mesmo assim, é bastante comum ver este tipo de erro, muitas vezes porque o circuito tem disponível um AO que não foi usado. Para estes casos e possível usar integrados mistos como os LM392, TLV2302 e TLV2702 da Texas Instruments, o LTC54 da Linear Technology. Os comparadores são construídos especialmente para realizar esta função gerando em sua saída um sinal com características digitais. O símbolo do comparador é o mesmo do AO, os estágios de entrada e intermediários são construídos da mesma forma, mas o estágio de saída é projetado para trabalhar saturado ou cortado, muito parecido com uma porta lógica. Eles não possuem compensação de frequência, não apresentam boas características de offset, drif,, ruído, enfim, eles não são feitos para funcionar como amplificador. Por outro lado apresentam baixo tempo de propagação, baixo rise e fall time, a tensão de saída chega muito próxima a tensão de alimentação, tem as entradas protegidas contra elevada diferença de tensão, apresentam baixo consumo e melhor estabilidade. Mais detalhes podem ser encontrados no Using Op Amps as Comparators da Analog Devices e no Op Amp and Comparators Don t Confuse Them! da Texas Instruments. 0. Símbolo O símbolo mais comumente utilizado para representar um comparador é apresentado na Figura 0.. Figura 0.: Símbolo do comparador. 0.2 Características Apesar de possuir o mesmo símbolo do amplificador operacional, e ser tratado da mesma forma, para cálculo, os comparadores possuem uma série de características práticas que visam a melhora no desempenho do AO como comparador. Em contrapartida, muitos dos circuitos internos presentes nos AOs são retirados para baratear o custo de produção e o estágio de saída é modificado para otimizar o comportamento de comparador. Normalmente os comparadores possuem ganho menor que um amplificador operacional e a sua linearidade não é garantida, principalmente no estágio de saída, projetado para funcionar em saturação. Os comparadores não possuem compensação em frequência e apresentam piores características de corrente contínua. A corrente de polarização IB e o VOS são muito maiores que os de um AO. Características como drif e CMR também são muito piores. Os projetistas, entretanto, 25

126 implementam melhoras nas características de slew-rate, settling time e delay indicando diretamente rise time e fall time. Diferente do AO, que é projetado para funcionar com realimentação negativa, em região linear, e tensões iguais nas entradas inversora e não inversora, o comparador é feito para trabalhar em malha aberta ou com realimentação positiva. Assim, sua saída é digital no sentido de que pode operar em apenas dois níveis estáveis de tensão. Por esta razão, muitas vezes os comparadores estão prontos para interfacear com circuitos digitais e de potência e não raro apresentam alimentações diferentes para o estágio de saída, que também pode estar em coletor ou dreno aberto (open collector ou open drain). Um exemplo de comparador com tensões de saída diferentes das tensões de alimentação do comparador é o clássico LM3 (Figura 0.2), onde um transistor está conectado a saída do comparador. Neste transistor tanto o emissor quanto o coletor não estão conectados o que permite escolher livremente a alimentação deste estágio inclusive com tensões maiores do que a máxima permitida para alimentar o integrado. Nos casos de coletor ou dreno aberto é necessário o uso de um resistor de pull-up calculado de acordo com as características do circuito que se deseja montar (velocidade, consumo, capacidade de fornecer corrente, tensão de saída...). Figura 0.2: Alimentações do LM3 para interface com circuitos TTL. Como os comparadores foram projetados para não usar realimentação negativa a máxima tensão diferencial de entrada (Vd) torna-se um parâmetro importante no projeto. Para evitar problemas por excesso de tensão diferencial, o circuito de proteção apresentado na Figura 0.3 pode ser adotado, caso não esteja implementado no integrado. Em alguns comparadores, entretanto, a entrada pode chegar até a tensão de alimentação. Figura 0.3: Circuito de proteção contra excessiva tensão diferencial. De um modo geral, então, AO podem ser empregados como comparadores se as características de corrente contínua forem muito importantes, se os sinais de entrada forem lentos 26

127 e se o atraso entre entrada e saída for de pouca importância. Se as características temporais, por outro lado, forem mais importantes, então o uso de comparadores é fundamental. Uma boa discussão sobre estas questões pode ser lida em Amplifiers as comparators? da Analog Devices. A Tabela 0. mostra uma comparação entre as características de amplificadores operacionais e de circuitos comparadores de tesão. Repare nas diferenças elevadas entre os valores encontrados para cada um dos componentes. Tabela 0.: Comparação entre características de um LM74 e alguns comparadores LM74 LM339 LM3 LM39 LM36 Av (V/mV) IB (ma) VOS (mv) SR (V/ s) 0, ST (ns) IS (ma) - 2 7,5 2,5 25 Is é corrente de alimentação. 0.3 Configurações típicas 0.3. Detetor por cruzamento de zero A configuração mais simples de um comparador consiste em utilizar uma tensão de comparação em uma de suas entradas e a tensão a ser comparada na outra, conforme pode ser visto na Figura 0.4. Figura 0.4: Comparador simples. O circuito da Figura 0.4 consiste de um comparador em malha aberta. Desta forma, uma pequena diferença de tensão entre as entradas já é suficiente para saturar o comparador com a tensão positiva ou negativa de alimentação. Este tipo de comparador pode ser utilizado para detectar a passagem de um sinal por qualquer valor de tensão basta alterar a fonte usada para a comparação. Nestes casos o gráfico de saída, apresentado na Figura 0.5, desloca-se para a direita ou esquerda de acordo com a tensão aplicada. Note que para representar o funcionamento do circuito foi utilizado um gráfico onde é desenha a saída em função da entrada. O gráfico da Figura 0.5, representa uma simulação com uma entrada senoidal de frequência igual a 0 Hz no circuito comparador de tensão do tipo detetor de passagem por zero. Observe que, como as características dinâmicas do comparador não são ideais, a curva real apresenta atrasos e inclinações. Se a derivada da tensão de entrada diminuir o comportamento do 27

128 comparador se aproxima do ideal. Isto pode ser um problema quando se trabalha com frequências elevadas. Neste caso devemos escolher um comparador rápido. Figura 0.5: Simulação de um comparador por cruzamento de zero (comparador simples com tensão de comparação 0 V) Limitação da tensão de saída Algumas vezes deseja-se que a tensão na saída do comparador não seja a tensão de alimentação. Muitos comparadores, como dito, apresentam estágios de saída com alimentação diferente que permite adequar facilmente os níveis de tensão necessários na saída do comparador. Se o comparador estiver sendo realizado com um AO, entretanto, este recurso não está disponível. Nestes casos, um pouco mais complexos que o anterior, é necessário que o comparador tenha realimentação negativa em algumas situações. Como se este fator complicador da análise não fosse suficiente, a realimentação normalmente não é implementada com componentes lineares tendo sua parcela modificada como uma chave (existe ou não existe realimentação) ou progressivamente de forma a manter constante certos parâmetros (como se fosse um regulador de tensão). Este é o caso típico do circuito mostrado na Figura 0.6. Figura 0.6: Comparador com limitador de amplitude. Como podemos ver (Figura 0.7), este circuito é um detector de passagem por zero (a fonte ligada na entrada não inversora é zero) com uma realimentação negativa formada por um diodo 28

129 zener. Ora, sempre que o zener estiver conduzindo mudará sua resistência interna para que a tensão sobre ele fique constante (polarizado direta ou reversamente). Isto faz com que a tensão na entrada negativa fique igual à tensão na entrada positiva (realimentação negativa). Como a tensão na entrada positiva é zero, então a tensão de saída corresponde a tensão sobre o zener. Figura 0.7: Simulação: Vz=4,7 V, R= kω Detetor de nível com limitação de tensão de saída. O detector de nível com limitação de tensão não pode ser implementado modificando-se a tensão de comparação aplicada a entrada positiva, pois se isto altera a tensão de saída (soma da tensão sobre o zener com a tensão de comparação). Uma alternativa para este problema consiste em adicionar um somador com resistores na entrada negativa (Figura 0.8). Desta forma é possível mudar o valor da tensão de comparação sem alterar a tensão da saída. Figura 0.8: Comparador de nível com limitador de saída. Este detector funciona basicamente como o anterior porém, agora, a tensão de comparação se deve não apenas a uma tensão mas a um somatório de tensões. O resultado deste somatório é que mudará a saída do comparador (Figura 0.9). O equacionamento do problema pode ser feito 29

130 em função das correntes. O ponto de comparação ocorre quando as correntes por R e R2 são iguais. Dependendo de qual corrente for maior, o zener estará direta ou reversamente polarizado. Figura 0.9: Simulação: Vz=4,7 V, R=R2= kω, Vref=2 V Comparador de janela Um exemplo bastante interessante do uso de comparadores com saída em coletor aberto é mostrado na Figura 0.0. Ele consiste de um comparador em janela, ou seja, um comparador que cria uma janela de tensão onde a saída do comparador assume um determinado valor. Neste circuito a comparação não é feita com apenas um nível lógico mas com dois. Se a entrada estiver entre estes dois níveis lógicos, então a saída será a tensão de alimentação positiva. Note que a saída de ambos os comparadores são ligadas a um só ponto, isto se deve justamente ao fato da saída de cada comparador estar em coletor aberto. Figura 0.0: Comparador em janela e um gráfico (em função do tempo) demonstrando seu funcionamento. 30

131 Com este tipo de saída (coletor aberto), o comparador só pode fornecer a tensão de alimentação negativa pois não possui o circuito que o liga com alimentação positiva. Isto deve ser feito externamente. Então se um comparador deve fornecer um valor positivo de tensão de saída, isto só ocorre através do resistor externo (o transistor de saída do comparador está cortado). O outro comparador pode estar com sua saída em nível baixo que não haverá problemas de curto circuito por causa do resistor externo que limita a corrente pelo comparador. Como podemos ver esta configuração com as saídas dos comparadores ligadas juntas funciona como uma porta lógica OR e por tanto esta configuração é conhecida como wired OR Comparador de declividade Diferente dos demais circuitos comparadores, o comparador de declividade não compara níveis de tensão, mas sim a derivada do sinal de entrada, ou seja, a sua declividade. O circuito é apresentado na Figura 0.. O ponto de comparação pode ser calculado da mesma forma que para o comparador de nível com limitação de tensão de saída, ou seja, igualando as correntes em C e R. Figura 0.: Comparador de declividade. Figura 0.2: Simulação com Vz=4,7 V, Vref=2 V, C=47 nf, R= kω, Freq=000 Hz. i R =i C (0.) 3

132 v REF dv i =C R dt (0.2) dv i v REF = dt R C (0.3) Se a corrente ic < ir o diodo zener está polarizado diretamente, neste caso a tensão de saída é aproximadamente igual 0,7 V. Se ic > ir2 então o zener está polarizado reversamente e a tensão de saída corresponde a tensão de zener. A aplicação mais comum para este circuito é como trigger em osciloscópios analógicos Comparador com histerese O comparador de nível, ou comparador simples, mostrado no início deste capítulo, pode oscilar quando o sinal está próximo do nível de comparação. Isto ocorre porque o ruído adicionado ao sinal faz com que o comparador seja acionado várias vezes. Para evitar este tipo de problema foram criados os circuitos comparadores com histerese. A histerese nada mais é do que a mudança automática do nível de comparação logo após uma comparação bem-sucedida, criando uma região, ao redor do ponto de comparação, onde o ruído existente sobre o sinal não consegue afetar a saída do comparador. Para isso são criados dois níveis diferentes de comparação, comutados entre si automaticamente, para que o ruído não interfira na comparação. Quando o nível mais baixo do limiar de comparação está ativo, por exemplo, o nível mais alto esta desligado. Se um sinal vencer este nível mais baixo de comparação, então o nível de comparação é modificado para o nível mais alto impedindo que o ruído comute o comparador novamente. Alguns comparadores já possuem histerese internamente, mas, caso necessário, esta característica pode ser facilmente implementada com uma malha de realimentação positiva (Figura 0.3). O comparador de nível, agora imune a ruído, fornece informação com uma pequena defasagem com relação ao sinal real, mas com muito menos problemas de ruído (Figura 0.4). Figura 0.3: Comparador com histerese. Para que o nível de comparação seja alterado automaticamente ele é escolhido em função da tensão de saída. Para o circuito da Figura 0.3 os níveis de comparação são P = Vcc R 2 (R + R 2 ) (0.4) P 2= Vcc R 2 (R + R 2 ) (0.5) e o gráfico da histerese correspondente pode ser visto na Figura

133 Figura 0.4: Simulação dos comparadores de nível com e sem histerese na presença de ruído: v(o) é a saída do comparador com histerese com R=3 R2, e v(o2) é a saída do comparador simples. Figura 0.5: Saída do comparador com histerese em função do sinal de entrada. Simulação com R=3 R2. 33

134 Retificadores de precisão e detectores de pico Um circuito retificador convencional, construído com diodos, como mostrado na Figura., produz uma queda de tensão na onda retificada devido à tensão de polarização do diodo no sentido direto. Para sinais muito pequenos (menores que a queda de tensão direta do diodo) a retificação se torna impossível. Além disto o diodo não tem um comportamento linear mesmo na região de condução. Então, mesmo que o sinal tenha amplitude suficiente para fazer o diodo conduzir, haverá uma distorção no sinal de saída. Figura.: Retificador de meia onda convencional. Para resolver este tipo de problema foram criados circuitos retificadores ativos, a base de amplificadores operacionais. A vantagem destes circuitos é que todas as deficiências do diodo são compensadas pelo AO sendo possível montar um circuito com características bem próximas da ideal. Para mais detalhes de cálculo e escolha dos componentes leia Op Amp Rectifiers, Peak Detectors and Clamps da Microchip.. Retificador de ½ onda O retificador de meia onda inversor é apresentado na Figura.2. Para um sinal negativo na entrada (vi) o diodo conectado entre a saída do circuito e a saída do AO (D2) está diretamente polarizado, fechando a malha de realimentação negativa através do resistor. A queda de tensão sobre o diodo, o que inclui todas as suas não linearidades, é compensada na saída do AO. Para tensões de entrada de valores positivos o diodo que está diretamente polarizado é aquele que realimenta o AO (D) de forma a transformá-lo em um buffer. Neste caso como o outro diodo (D2) está cortado, a saída do circuito é nula. Para reduzir problemas com as correntes de polarização do operacional é possível inserir um resistor na entrada positiva com valor R/2. As formas de onda na saída do circuito e na saída do AO são apresentadas na Figura.3. Figura.2: Retificador de meia onda, inversor, de precisão. 34

135 Figura.3: Formas de onda do retificador de meia onda de precisão. A entrada é senoidal, a saída do AO apresenta degraus e a saída do circuito apresenta apenas a entrada retificada. Como o AO demora para sair da saturação e possui um slew rate finito, o tempo de descida ou subida no semiciclo negativo é maior que zero. Colocando o diodo de realimentação (D) o operacional não estará saturado em -VCC durante o semiciclo positivo da onda de entrada e portanto será muito mais rápido para acompanhar o sinal vi..2 Retificador de onda completa Três exemplos de retificadores de onda completa são apresentados na sequência. No primeiro circuito (Figura.4) um retificador de meia onda inversor é conectado na entrada de um somador inversor. Quando a entrada do circuito é negativa o somador soma a tensão de entrada com o dobro da tensão na saída do retificador. Como resultado a saída tem a mesma amplitude e a mesma polaridade da tensão de entrada. Quando a entrada do circuito é positiva, o retificador de meia onda fornece saída nula e o sinal de entrada é amplificado uma vez pelo somador. Como resultado a saída inverte de polaridade. As formas de onda na entrada e saída do circuito são apresentadas na Figura.5. Figura.4: Retificador de onda completa, inversor, de precisão. 35

136 Figura.5: Formas de onda para o retificador de onda completa, inversor, de precisão. No segundo exemplo (Figura.6) o retificador de meia onda é novamente utilizado. Quando a entrada é positiva, a saída do retificador é nula e o circuito de buffer, em baixo, realimentado pelo resistor R e D4, é responsável por fazer com que a saída seja positiva. Quando a tensão de entrada é negativa a saída do retificador é positiva e está conectada diretamente sobre a saída. A saída do buffer, em baixo, está aberta e a resistência R impede que a tensão negativa em sua entrada inversora se propague para a saída do circuito. Como resultado a saída do retificador é positiva. As formas de onda de entrada e saída são apresentadas na Figura.7. Figura.6: Retificador de onda completa, não inversor, de precisão. 36

137 Figura.7: Formas de onda para os retificador de onda completa, não inversores, de precisão. O terceiro exemplo, mostrado na Figura.8 utiliza o retificador de meia onda conectado a entrada de um amplificador subtrator. Este circuito apresenta como característica favorável o fato de apresentar elevada impedância de entrada. Para tensões de entrada negativas o retificador de meia onda e o sinal de entrada aparece multiplicado por dois no anodo de D6. Nesta situação o segundo amplificador multiplica esta tensão por -2 e a entrada vi por 3. O resultado é que o sinal de entrada aparece invertido na saída do segundo operacional ( vo= 2 2 vi +3 vi ). Quando a entrada é positiva a tensão no catodo de D5 é uma cópia da tensão de entrada e neste caso a saída é positiva e com a mesma amplitude da entrada ( vo= vi +2 vi ). Figura.8: Retificador de onda completa, não inversor, de precisão..3 Detetor de pico O detetor de pico é um circuito bem simples que pode ser implementado conforme mostrado na Figura.9. Neste circuito, sempre que a tensão de entrada for maior que a tensão sobre o capacitor, o diodo conduz e o capacitor se carrega com o valor presente na entrada. São dois os inconvenientes desta configuração: ) a queda de tensão no diodo (impede o uso com sinais de baixa amplitude) e 2) o fato de não haver como reinicializar o circuito com uma tensão baixa no capacitor. 37

138 Figura.9: Circuito do detetor de pico e gráfico exemplificando seu funcionamento. Para solucionar o primeiro problema podemos usar detetores de pico ativos como os mostrados na Figura.0. O detetor ativo emprega dois amplificadores operacionais, um para substituir o diodo e outro para evitar que a carga descarregue o capacitor. O segundo AO deve ter baixa corrente de polarização e as duas realimentações ajudam a compensar perdas e acumulo de erros. O resistor R e o diodo D servem para reduzir as correntes de fuga que podem descarregar C. Quando D2 está cortado R traz para o anodo de D a tensão vo (igual a vc), mantendo o diodo D com tensão nula sobre ele, porém cortado e sem corrente de fuga. Para o segundo problema podemos usar uma chave analógica para descarregar o capacitor quando desejarmos ou um resistor em paralelo com o capacitor, o que confere um efeito de memória ou filtro ao detetor. Figura.0: Circuito do detetor de pico ativo: Topologia básica e prática respectivamente..4 Sobre a escolha dos diodos Tanto para os retificadores quanto para os detetores de pico a escolha dos diodos é importante. Todo o diodo apresenta características não lineares e capacitâncias parasitas que interagem com o restante do circuito e limitam a frequência de operação do mesmo. Efeitos estranhos devido a distorção harmônica podem ocorrer principalmente em altas frequências. Para a maioria das aplicações diodos de sinal como o N448 é suficiente. Quando o offset e a corrente de leakage tornarem-se importantes é possível construir um diodo curto-circuitando dreno e fonte de transistores FET como o 2N47A. Em aplicações onde a velocidade é mais importante talvez seja necessário recorrer a diodos rápidos como o Schottky. 38

139 2 Integradores e derivadores 2. Integrador O circuito do amplificador integrador é mostrado na figura abaixo. O capacitor é utilizado para integrar corrente e o resistor é utilizado para transformar a tensão de entrada em corrente. Desta forma a saída do circuito será proporcional a integral da tensão de entrada. Figura 2.: Circuito integrador básico. Resolvendo o problema pelo domínio do tempo i= vi v R i dt C (2.2) (v i v )dt R C (2.3) v i (t ) dt R C (2.4) v v o= v v o= (2.) como v =0. v o (t )= Resolvendo o problema pelo domínio da frequência C S vo (S ) = vi (S ) R v i (S ) R C S (2.6) v i (t ) dt R C (2.7) v o (S )= v o (t )= (2.5) Exemplo: Qual a forma de onda na saída de um integrador com R=0 k e C=0, F quando a excitação deste circuito é uma onda quadrada com período de ms (supor que a onda 39

140 inicie em -5 V por 0,25 ms, mude para 5 V por 0,5 ms, retorne a -5 V por 0,5 ms e assim por diante). Neste exemplo o sinal de entrada vi é constante em determinados intervalos de tempo. Dentro de cada intervalo, a expressão da saída vo é vo= vi vi vi dt = (t final t inicial )= Δ t R C R C R C Para o primeiro intervalo, com Dt=0,25 ms vomáx=,25 V. Para os intervalos subsequentes, com Dt=0,5 ms, vomáx=2,5v. O gráfico a seguir mostra as formas de onda. 2.. Integrador prático Se levarmos em consideração IB e VOS do AO o amplificador integrador pode ser modelado como mostra a Figura abaixo. Figura 2.2: Circuito integrador básico. Vos é a tensão de offset e IB a corrente de polarização. v o = v i dt + v OS dt + I B dt +V OS R C R C C (2.8) Teoricamente o ganho do integrador para frequência zero tende a infinito. Desta forma os efeitos de IB e VOS impedem que a integração seja feita por longos períodos de tempo, pois nestas condições o AO satura. Podemos minimizar este problema usando AO com entrada FET, que 40

141 reduzem a corrente IB. Uma alternativa é apresentada no circuito abaixo. A inserção de R2 diminui o ganho DC do integrador para vo R = 2 vi R (2.9) Isto reduz sensivelmente a contribuição final de Vos na saída do integrador de para vo(v OS )= R2 V R OS (2.0) Figura 2.3: Circuito integrador com perdas. Para minimizar os erros com IB neste novo circuito podemos usar as técnicas já estudadas inserindo um resistor entre terra e a entrada não inversora do AO R3= assim ficamos com erro reduzido a R2 R (2.) I dt C OS Altenativamente podemos equacionar o circuito pelo domínio frequência // R 2 vo C S R = = 2 vi R R R 2 C S + (2.2) Como podemos ver no desenho abaixo, o integrador com R2 só possui comportamento semelhante ao do integrador ideal para frequências acima de (R2 C)- rad/s. A diferença entre a reta do integrador puro e com R2 deve-se apenas a diferença de ganhos nas curvas desenhadas. Se aumentarmos o ganho do integrador puro, sua curva subirá até coincidir com a reta inclinada do circuito integrador com R2. Isto significa que esta é a região de integração, antes disso este circuito apresenta apenas características de ganho. Para termos um a precisão de pelo menos 5% a frequência de operação do circuito é dada por: 4

142 f operação = 3 2 π R 2 C (2.3) Figura 2.4: Curvas de resposta em frequência do integrador puro e do integrador com perdas. Quando a frequência de operação aumenta, aumenta também a precisão do circuito, pois a reatância de C diminui e a influência de R2 no circuito também. Uma aplicação muito comum para o integrador com perdas consiste no cálculo do valor médio da tensão de entrada. A média da tensão na saída do integrador com perdas corresponde a média da tensão de entrada multiplicada pelo ganho CC do circuito. Exemplo: O circuito da figura a seguir foi simulado com excitação de frequências 200 Hz e 2 khz, ambas com formato senoidal de amplitude unitária e V de offset. Qual a tensão de saída para cada uma destas exitações? O ganho do circuito para DC (valor médio) Av = Av = v o R = v i R3 v o 500 = =0 v i 50 A frequência de corte do polo do integrador com perdas é p = = = =200 rad/s R C 500 k 0,0μ F 0,005 p = 200 =3,8 Hz 2 π 42

143 Como as duas frequências de excitação estão bem acima da frequência de corte do integrador o circuito funciona como um integrador com perdas. v o =Av v i Tempo de estabilização 5 t =5 τ=5 = =0,025 s p 200 Ripple para 200 Hz: vo R = 2 vi R R 2 C S + s =256 rad/s vo =,37 V p =2,74 V pp vi Ripple para Hz: vo R2 = vi R R 2 C S + s =20560 rad/s vo =0,5V pico =0,30 V pp vi 2.2 Derivador O circuito do derivador é apresentado na Figura 2.5. A corrente no capacitor é determinada pela variação de tensão sobre ele. Esta corrente, ao passar por R produz na saída do circuito uma tensão proporcional a derivada da tensão de entrada. Pelo domínio do tempo temos que dv i C =C C dt (2.4) 43

144 v C =v i (2.5) dv i C =C i dt (2.6) v o = R i C (2.7) dv v o = R C i dt (2.8) Figura 2.5: Circuito derivador. Pelo domínio da frequência a solução seria v o (S ) R = v i (S ) C S (2.9) v o (S )= R C v i (S ) S (2.20) dv v o = R C i dt (2.2) Exemplo: Desenhe a forma de onda de saída de um derivador com R=0 k e C=0, F. Considere a entrada uma onda triangular com período de ms, inciando em zero, subindo até,25 V em 0,25 ms e descendo até -,25 V em mais 0,5 ms. 44

145 dv V V inicial v o = R C i = R C final dt t final t inicial ( ) Para um Dt=0,25 ms e um Dv=,25 V, vo= 5 V. Para Dt=0,5 ms e um Dv=2,5 V, vo=+5 V Derivador prático Teoricamente, em altas frequências o ganho do derivador tende a. Isto torna o derivador muito sujeito a ruídos e problemas de estabilidade. Na prática, este circuito sem polos é impossível de ser realizado, pois o capacitor e o AO ideal não existem. Mesmo assim, com os polos que o capacitor e o AO real inserem no circuito, a faixa de operação deste circuito continua sendo muito ampla e os problemas de ruído e instabilidade não desaparecem. Os derivadores práticos utilizam um limitador de ganho em altas frequências como mostrado na Figura 2.6. Figura 2.6: Resposta em frequência do AO e dos derivadores ideal e prático. Esta redução de ganho em altas frequências pode ser obtida pela inserção de um resistor R2 ao circuito original, tal como indicado na Figura 2.7. Figura 2.7: Derivador prático. O ganho em altas frequências pode ser calculado da seguinte maneira v o R 2 = v i R2 (2.22) ω p=r 2 C (2.23) Altenativamente podemos equacionar o circuito pelo domínio frequência vo R C S R S = = R = vi R 2 C S + R2 +R 2 S+ C S R 2 C (2.24) 45

146 3 Conversor logarítmico e antilogarítmico 3. Introdução A tensão VBE do transistor bipolar de silício é uma função logarítmica da corrente de coletor, para correntes na faixa de valores que vão desde poucos pico amperes até poucos miliamperes. Essa característica do transistor é utilizada na construção de conversores logarítmicos e antilogarítmicos, que possibilitam executar muitas funções úteis, tais como: ) operações matemáticas (multiplicação, divisão, raiz quadrada ); 2) transmissão de informação; 3) compressão e descompressão de sinais analógicos (a operação logaritmo reduz valores elevados e amplifica os pequenos permitindo o máximo aproveitamento da faixa de amplitudes, por exemplo, um conversor analógico digital de 2 bits precedido de um amplificador logaritmo apresenta uma faixa dinâmica equivalente à de um conversor de 20 bits, porém não linear); 4) medidores de intensidade (sonora, luminosa ) e absorção luminosa. Os modelos de conversores logarítmicos que serão apresentados utilizam transistores. Na maioria dos exemplos os transistores precisam ser perfeitamente casados. Isto pode ser obtido com arrays de transistores integrados como o LM394 ou o LM3046. Alternativamente estão disponíveis circuitos que implementam um conversor deste tipo e que requerem apenas alguns resistores e capacitores externos. Exemplos são o LOG02, LOG2, LOG Modelo de Ebers Moll do transístor NPN Quando se trabalha com pequenos sinais se utiliza um modelo linear do transistor conhecido como modelo de pequenos sinais, ou modelo pi ou modelo pi-híbrido, porém quando se trabalha com sinais elevados ou quando a linearização não é desejada, é mais conveniente utilizar o modelo de Ebers Moll (Figura 3.) de forma que fiquem explícitas as relações não lineares entre correntes e tensão. Figura 3.: Modelo de Ebers Moll do TJB NPN. As equações do modelo de Ebers Moll, considerando a tensão térmica V T =K T q, são I C =αf I ED I CD I ED=I ES ( e V BE /V T (3.) ) (3.2) 46

147 I CD =I CS ( e V I C =αf I ES ( e V BE /VT BC /V T ) ) I CS ( e V (3.3) CB /V T ) (3.4) I E =I ED α R I CD I E =I ES ( e V BE /VT (3.5) ) α R I CS ( e V CB /VT ) (3.6) onde IES e ICS são correntes reversas de saturação (da ordem de 0 - A); αf é o ganho direto (da ordem de 0,99 a 0,999); αr é o ganho reverso (da ordem de 0,0 a 0,00); m é uma constante empírica (depende do tipo de transistor: Ge= e Si=2); K é a constante de Boltzman (, J/K); T é temperatura absoluta (Kelvin); q é a carga do elétron (, C) 3.3 Conversor logarítmico Com as relações exponenciais entre as tensões e as correntes dos transistores é possível implementar um conversor logarítmico. A Figura 3.2 mostra o circuito básico para implementação do amplificador logarítmico. Para seu perfeito funcionamento é necessário que vi>0, mas para se obter melhores resultados 00 IB<IC<0 ma. Com o uso do transistor na realimentação a aproximação do modelo de Ebers Moll é válida por umas 9 decadas Figura 3.2: Circuito básico para o amplificador logarítmico. ic = vi =α F I ES ( e V Ri BE /V T ) I CS ( e V CB /VT ) (3.7) vi =α F I ES ( e vo /V ) I CS ( e 0 ) Ri (3.8) vi vo / V =α F I ES e Ri (3.9) T que pode ser aproximado para T pois q V BE, ,7 = =27, 07 m K T, (3.0) e e V / V >>. Esta aproximação implica em erros que podem ser estimados facilmente. Por exemplo, para VBE=00 mv o erro é de +2,% e para VBE=200 mv o erro é de +0,04%. BE T 47

148 Isolando vo na equação 3.9, obtêm-se v o = V T ln ( vi R i α F I ES v o = k ln ) (3.) () vi k2 (3.2) onde k =V T e k 2 =R i α F I ES. Esta relação logarítmica entre a corrente de coletor e a tensão de saída é válida por 9 décadas da corrente IC. Na prática, entretanto, a topologia apresentada na Figura 3.2 é muito suscetível a variações de temperatura, e uma faixa de variação de IC muito menor é conseguida. Mesmo após todas as compensações possíveis (Figura 3.3) apenas 6 décadas costumam ser viáveis para esta aplicação. Na equação 3. as dependências com a temperatura são: V T= K T q 3 I ES =B T e (3.3) V G / V T (3.4) onde VG é uma tensão dependente da tensão de gap do transistor (o chamado potencial de BandGoy da ordem de, V) e B é uma constante dependente dos níveis de dopagem e da geometria utilizada na confecção do transistor. Desta forma, para uma corrente de emissor constante, IES dobra a cada 0 Kelvin, ou seja, para uma variação de temperatura de 00 IES aumenta.000 vezes. Por esta razão este circuito simples não costuma ser usado. No circuito da Figura 3.3, o transistor Q3 injeta uma corrente IREF na base de Q2. D, D2, Cc e Rc são utilizados apenas para proteção dos transistores e compensação em frequência. Figura 3.3: Circuito amplificador logarítmico com compensação térmica. R(T) é um RTD. Neste circuito V C 2=V BE 2 V BE e I C 2 I REF (considerando que o hfe de Q2 seja elevado e, portanto, IB2=0), então i C 2 α F 2 I ES 2 e V BE 2 /V T (3.5) e 48

149 V BE 2 =V T 2 ln ( I REF α F 2 I ES 2 ) (3.6) como V BE = v o v o = V T ln ( vi R i α F I ES ) (3.7) então V C 2= V T 2 ln ( ) ( vi I REF +V T 2 ln R i α F I ES α F 2 I ES 2 ) (3.8) Se os transistores forem iguais e estiverem próximos, então é possível considerar que T =T 2 =T, α F =α F 2 =α F, I ES =I ES 2=I ES. Desta forma a equação 3.8se reduz a [( V C 2 = V T ln ) ( )] ( ) ( ) vi I REF ln R i α F I ES α F I ES (3.9) vi α I F ES R i α F I ES I REF (3.20) vi R i I REF (3.2) ) (3.22) V C 2= V T ln V C 2 = V T ln ( v o =v o 2 = + R V C 2 R (T ) Desta forma o erro devido a IES fica eliminado e o erro devido a T é compensado no amplificador de saída que tem o ganho variável com a temperatura. Os valores de R2 e R(T) podem ser escolhidos de tal forma que a temperatura seja compensada em uma ampla faixa de valores (normalmente entre -25 e +00 ). R(T) normalmente é um RTD com variação de a ppm/k. Erros de % ou menos são obtidos para uma faixa dinâmica de 6 décadas na corrente IC. Várias outras topologias são possíveis. Uma solução simples emprega dois amplificadores logarítmicos (Figura 3.2) ligados a um amplificador subtrator. Este processo também elimina os erros devidos as variações IES. A compensação de temperatura pode ser feita nos resistores de entrada do subtrator, usando RTD com o mesmo coeficiente térmico usado no exemplo anterior. Com esta topologia é possível usar a segunda entrada com uma corrente de referência ou como outro sinal. Se um segundo sinal for utilizado o circuito calcula o logaritmo da razão entre os dois sinais. Qualquer que seja a solução será sempre necessário usar transistores casados e na mesma temperatura do resistor de compensação. O melhor desempenho costuma ser obtido com circuitos integrados, mas resultados bastante satisfatórios podem ser obtidos com amplificadores operacionais e transistores integrados. A resposta em frequência fica limitada aos ganhos, a faixa de tensão de entrada, ao transistor, ao amplificador operacional e outras. Para o cálculo do logaritmo em outra base basta ajustar o ganho da configuração. O uso de transistores PNP não é comum, pois suas características construtivas são piores o que leva a erros maiores. 49

150 3.4 Conversor Antilogarítmico A operação inversa do logaritmo também é possível de ser implementada. O circuito básico é apresentado na Figura 3.4. Para o perfeito funcionamento do circuito a tensão de entrada deve ser menor do que zero. Para que seja garantida a característica logarítmica do transistor devem ser respeitadas as mesmas diretrizes mencionadas para os amplificadores logarítmicos. Figura 3.4: Circuito básico do amplificador exponencial ou antilogarítmico. ic = i C =α F I ES ( e V BE /VT vo R (3.23) ) I ES ( e V CB /V T ) (3.24) i C =α F I ES ( e vi /V ) I ES ( e 0 ) (3.25) T vo =α F I ES ( e vi /V R ) (3.26) v o =R α F I ES e vi /V (3.27) T T Novamente a saída é dependente da temperatura e circuitos especiais de compensação devem ser implementados. Mais uma vez dois transistores são necessários para cancelar os efeitos de IES e um RTD pode ser utilizados para cancelar os efeitos de VT. Figura 3.5: Circuito do amplificador exponencial ou antilogarítmico com compensação térmica. v i R 2 =v BE v BE 2 R + R 2 (3.28) 50

151 Considerando que V CB 0 para os dois transistores, iguais e na mesma temperatura, então [( ) ( v i R 2 v 0 /R 0 V REF /R 3 = V T ln ln R + R 2 α F 2 I ES 2 α F I ES ( v i R 2 R v = V T ln 3 0 R +R 2 R 0 V REF ( R V v 0 = 0 REF e R3 R2 vi R + R 2 V T )] (3.29) ) (3.30) ) (3.3) 5

152 4 Outras operações com circuitos analógicos 4. Multiplicação Os multiplicadores são circuitos capazes de multiplicar duas ou mais entradas. Estes circuitos estão sendo substituídos, com vantagens, por implementações digitais com circuitos dedicados ou processadores de sinais. Apesar disto é comum encontrar multiplicadores analógicos como parte de outros circuitos como os PLL e demoduladores ou na forma discreta em aplicações de frequências elevadas, controle de ganho, amplificadores com ganho controlado por tensão, osciladores com frequência controlada por tensão entre outros. Alguns exemplos comerciais de multiplicadores são o AD834 e o AD633 da Analog Devices e o MPY634 da Texas Instruments. O multiplicador analógico ideal tem impedância de entrada infinita, impedância de saída nula e responde a todas as frequências indistintamente. O símbolo do multiplicador ideal é apresentado na Figura 4. e sua função de transferência na equação 4.. Figura 4.: Símbolo do multiplicador ideal. v o= x y k (4.) Os multiplicadores reais são alimentados, normalmente, por tensões de ±5 V e valores típicos para x e y estão na faixa de ±0 V. O valor de k é escolhido de forma a não saturar a saída do multiplicador. Normalmente k=0 (4.2) o que permite o produto dos maiores valore de x e y simultaneamente sem saturar o multiplicador. k= x MAX y MAX = 0 0=0 (4.2) O multiplicador real também apresenta uma série de erros que são causados por offsets e não linearidades (). (x +x OS ) (y +y OS ) v o =(+k E ) +v OS +h (x,y ) 0 (4.3) onde: ke é o erro de ganho; h(x,y) são não linearidades (termos como x2, y2, x2y, xy2, ); xos e yos correspondem a tensão de offset das entradas (multiplicadores reais apresentam uma saída diferente de zero quando ao menos uma das entradas está em zero volts. Este valor na saída é chamado de feed through); vos é a tensão de offset na saída quando x=y=0. Desenvolvendo-se a equação e desprezando alguns termos, temos v o= x y k E x y x y OS y x OS v os +h (x, y ) (4.4) a última parcela desta fórmula, representa não linearidades. Este termo pode ser quantizado se deixarmos uma das entradas do multiplicador fixa e variarmos a tensão na outra entrada. Se levantarmos a curva vo versus vi não teremos uma reta (resposta do multiplicador ideal). Uma 52

153 análise da equação 4.4 revela que, mesmo com os offsets e erros na variável k, a saída deveria ser uma reta. Esta distorção é função de uma série de outros fatores que dependem do método utilizado para a multiplicação e são agregados neste fator único. Além dos problemas com offset os multiplicadores reais apresentam uma série de limitações CA como, settling time diferente de zero, slew rate finito, frequência de corte finita, xos e yos em função da frequência, não linearidade em função da frequência entre outros. 4.. Multiplicador por transcondutância variável O multiplicador de transcondutância variável pode ser implementado com OTAs ou com transistores utilizando as características favoráveis do par diferencial. Circuitos muito simples, entretanto, como o da Figura 4.2, apresentam problemas com variações de IE devido a tensão vy. Estas variações causam uma grande excursão da tensão de modo comum de vo. No exemplo, a tensão VBE do transistor da entrada vy foi desconsiderada, mas isso nem sempre pode ser feito. O circuito multiplicador integrado mais comum é uma evolução do multiplicador apresentado e emprega a chamada célula de Gilbert, onde mais de um par diferencial com acoplamento cruzado são utilizados para melhorar o desempenho do multiplicador. Um bom material sobre o assunto pode ser encontrado com facilidade no manual do já obsoleto MPY00 da Burr Brown e no Tutorial Analog Multipliers da Analog Devices. Figura 4.2: Multiplicador usando par diferencial. Para o par diferencial, a tensão de saída corresponde a v o =gm R L v x (4.5) IE R v VT L x (4.6) v o= vy R v R E V T L x (4.7) v o= RL v v R E V T x y (4.8) v o= onde VT é a tensão térmica. 53

154 4..2 Multiplicador com conversor logarítmico Amplificadores logarítmicos combinados com circuitos antilogarítmicos, são uma alternativa para a multiplicação de duas variáveis. O circuito da Figura 4.3 mostra como isso pode ser realizado. Figura 4.3: Circuito multiplicador com amplificador logarítmico. V BE =v = V T ln ( ( ( ( V BE 2=v v 2=V T 2 ln V BE 3=v 3 = V T 3 ln V BE 4 =v 3 v 2 =V T 4 ln v x /R x I ES ) ) ) ) (4.9) v y / Ry I ES 2 v z /R z I ES 3 (4.0) (4.) v o /R o I ES 4 (4.2) Subtraindo-se 4.9 de 4. e considerando que todos os transistores estão na mesma temperatura v 3 v = V T 3 ln ( ) ( ) ( ) v z /R z v /R +V T ln x x I ES 3 I ES v 3 v =V T ln (4.3) v x /R x v z /R z (4.4) Subtraindo-se 4.0 de 4.2 e considerando que todos os transistores estão na mesma temperatura 54

155 ( ) ( ) ( ) v o /R o v /R V T 2 ln y y I ES 4 I ES 2 (4.5) v o /R o v y /R y (4.6) v x / Rx v /R = o o v z / Rz v y /R y ( )( ) (4.7) v x v y R o R z v z R x R y (4.8) v 3 v =V T 4 ln v 3 v =V T ln Igualando 4.4 e 4.6 v o= Se todas as resistências têm o mesmo valor e vz=0 V então v o= v x v y 0 (4.9) O multiplicador logarítmico, entretanto, só multiplica sinais do terceiro quadrante (as duas entradas devem ser negativas). Para obter um multiplicador de 4 quadrantes a partir do multiplicador logarítmico apresentado, podemos utilizar o circuito da Figura 4.4. Figura 4.4: Multiplicador logarítmico de quatro quadrantes. x =0 v x (4.20) y =0 v y (4.2) v v x y = (00 0 v x 0 v y +v x v y )= x y + 0 v x v y (4.22) A saída do multiplicador é Último estágio do circuito é um somador que adiciona 0V, vx e vy a saída do multiplicador, de forma que 55

156 v o= v x v y 0 (4.23) 4.2 Divisão Um divisor analógico pode ser obtido a partir de um multiplicador conforme apresentado no circuito da Figura 4.5. Figura 4.5: Circuito divisor. v x v o v 0 = y R R (4.24) v x v o = v y 0 (4.25) v v o = 0 y vx (4.26) 4.2. Raiz quadrada Um extrator de raiz quadrada pode ser implementado a partir do circuito multiplicador conforme apresentado na Figura 4.6. Figura 4.6: Circuitos para o cálculo da raiz quadrada. Para o circuito da esquerda, a tensão de entrada deve ser negativa pois v 2o v x = 0 R R (4.27) v 2o = 0 v x (4.28) v o = 0 v x (4.29) 56

157 Para o circuito da direita, que funciona com tensões de entrada positivas v v o =0 x vo (4.30) v o = 0 v x (4.3) Circuito conversor RMS-DC Um conversor dito explícito de valor RMS para DC pode ser obtido pelo circuito da Figura 4.7 superior. Para o circuito da Figura 4.7 inferior o conversor é dito implícito. Figura 4.7: Circuitos para o cálculo de valor eficaz. Para o conversor explícito T v orms = v 2x (t ) dt T 0 (4.32) v2 x dt R C vo (4.33) Para o conversor implícito v orms = Para o funcionamento do circuito acima é necessário que o AO esteja funcionando como um integrador. Se isto acontecer a tensão eficaz, que é a tensão de saída deste circuito, é um valor constante e pode ser retirada da integral. v 2o = v 2X dt v 2x dt v 2O = R C R C v o= (4.34) v 2x dt R C (4.35) 57

158 5 Geradores de função 5. Introdução Geradores de função são circuitos capazes de gerar formas de onda de tensão (normalmente) em formatos variados e com baixa amplitude e potência. As formas de onda mais comuns, disponíveis em quase todos os geradores são a senoidal, a triangular e a retangular. Minimamente cada uma destas formas de onda tem aplicação na verificação de resposta em frequência, linearidade e resposta transitória respectivamente. Além destas, também são comuns os pulsos, rampas, salvas (burst) e composição de funções. Em instrumentação estas formas de onda encontram várias outras aplicações como a excitação de sensores, o sincronismo de sinais, disparo de eventos e outros. Existem integrados prontos para geradores de função. Exemplos são o MAX038, o ICL8038 e o XR2206. Estes integrados estão todos obsoletos. Um dos poucos circuitos que sobraram para esta função foi o NTE864. Novos circuitos para estas funções utilizam técnicas digitais para a geração de formas de onda assim como o AD5932 e o AD Osciladores harmônicos Os osciladores harmônicos são circuitos lineares que produzem senoides com baixa distorção harmônica. Para que eles funcionem é necessário que os polos da função de transferência estejam sobre o eixo jω. Quando isto acontece a solução para a equação diferencial que rege o circuito apresenta como solução uma senoide não amortecida. A teoria de sistemas lineares diz que um sistema realimentado pode oscilar e a condição fundamental para que isto ocorra é que o ganho de malha seja igual a - 80o, ou seja, haja uma rotação de fase de 360o. Os osciladores mais comuns nesta categoria são os de deslocamento de fase, Hartley e Colpitts que apresentam um giro completo de fase ou aqueles formados por sistemas com avanço e atraso de fase como os osciladores em ponte de Wien e Sallen-Key. Quando tentamos variar a frequência de oscilação de um oscilador harmônico o ganho de malha frequentemente é afetado, e como consequência ele pode parar de oscilar ou distorcer o sinal gerado. Para corrigir este problema é possível empregar um controle automático de ganho (CAG). O CAG pode ser construído com circuitos a base de diodos para alterar o ganho do amplificador em função da amplitude da onda ou com circuitos onde uma tensão pode ser controlada por outra, como nos multiplicadores ou OTA. 5.3 Osciladores não harmônicos Osciladores não harmônicos são aqueles onde técnicas não lineares são empregadas para produzir uma oscilação. Os modelos apresentados neste capítulo empregam comparadores e integradores para gerar ondas quadradas e triangulares como apresentado no diagrama de blocos da Figura 5.. A saída de um comparador com histerese é entrada para um circuito integrador, responsável por alterar a tensão de entrada do comparador, fazendo-o trocar de estado. Para produzir sinais senoidais a saída triangular é distorcida por circuitos conformadores. A distorção harmônica total é maior que no caso dos geradores harmônicos, mas o controle da forma de onda (amplitude e frequência) é bem mais simples. Outras alternativas apresentadas são os PLL lineares e os sintetizadores digitais. 58

159 Figura 5.: Diagrama esquemático de um oscilador não harmônico Gerador de onda retangular Um dos geradores de onda retangular mais simples é apresentado na Figura 5.2. A saída de um comparador com histerese é usada para carregar um capacitor e disparar o comparador para o seu outro estado estável. Figura 5.2: Gerador de onda quadrada. Figura 5.3: Formas de onda do gerador de onda quadrada da Figura 5.2. Para este exemplo foram usados os seguintes valores de componentes: R=0 kω, C=0, uf, R=5 kω, R2=0 kω, Vcc=5 V. VH e VL são as tensões de comparação. Vom é a tensão máxima de saída. 59

160 Para calcular a frequência de oscilação do circuito basta determinar o tempo necessário até que o capacitor se carregue com cada uma das tensões de comparação. O integrador deste circuito apresenta perdas e a onda obtida sobre o capacitor não é perfeitamente triangular. Quando menor for a histerese mais triangular será a onda sobre o capacitor. V H =V OM R R + R 2 (5.) R V LH = V OM R +R 2 (5.2) v C (t )=v 0 + ( v v 0 ) ( e t / τ ) (5.3) Como onde τ é a constante de tempo, vo a tensão inicial e v a tensão final no capacitor (supondo que ele pudesse se carregar eternamente). Então, o tempo para carregar o capacitor com vf é T = τ ln ( ) v v F v v0 (5.4) Aplicando isto ao problema e considerando o início da oscilação com a menor tensão sobre o capacitor, podemos calcular o tempo de carga do capacitor (T) v =V OM (5.5) R R +R 2 (5.6) R v F =V OM R +R 2 (5.7) v 0 = V OM ( ) R R +R 2 T = τ ln R + R +R 2 ( ( T = τ ln R2 2 R + R 2 T =τ ln 2 R + R2 (5.8) ) (5.9) ) (5.0) e como o tempo de descarga (T2) é igual, pois o sistema é simétrico T =2 R C ln ( ) 2 R + R2 (5.) 60

161 5.3.2 Gerador de onda triangular Um gerador de onda triangular com a mesma topologia apresentada anteriormente pode ser obtido se o integrador for melhorado, conforme apresentado na Figura 5.4. Figura 5.4: Gerador de ondas quadrada e triangular. Figura 5.5: Formas de onda do gerador de ondas quadrada e triangular da Figura 5.4. Esta simulação foi realizada com os seguintes valores de componentes: Ra=Rb=0 kω, Da=Db=N448, C=0, uf, R=5 kω, R2=0 kω, Rz= kω, Vz=6,2 V. VH e VL são os níveis de comparação. O cálculo do circuito continua sendo realizado da mesma forma. É necessário determinar as equações de carga e descarga do capacitor e as tensões de comparação. As equações podem ser escritas para cada trecho da onda triangular separadamente. v otri (t )= v oqua t +v otri (t 0 ) R a,b C (5.2) A saída do comparador se altera quando v+=0, e como v += v oqua R +v otri R 2 R +R 2 (5.3) 6

162 então a comparação ocorre quando R v otri = v oqua R2 (5.4) v oqua =v Z +0,7 (5.5) onde Assim, levando em conta que o capacitor inicia o ciclo carregado com seu menor valor, a equação 5.2 pode ser reescrita para encontrarmos o tempo de carga do capacitor (T) R R +v oqua =v oqua T v oqua R2 R a C R2 (5.6) e o tempo para a carga do capacitor é T = 2 R R C R2 a (5.7) Considerando que R=Ra=Rb, então T=T2 e o período total da onda (T) é calculado como T= 4 R R C R2 (5.8) Algumas alterações simples podem ser feitas neste circuito permitindo o controle de diversos parâmetros da onda. Alterações em Ra ou Rb alteram o duty cycle e a frequência da onda. Para alterar apenas a frequência, sem modificar o duty cycle, é possível usar o circuito da Figura 5.6. Figura 5.6: Controle da frequência do gerador de ondas quadrada e triangular. Considerando que R PR (ou usando um buffer para isolar os estágios) v oqua ' =x v oqua (5.9) onde 0 x, então o tempo de carga do capacitor pode ser recalculado como R R +v oqua =x v oqua T v oqua R2 R C R2 T = (5.20) 2 R R C R2 x (5.2) 62

163 Desta forma o período total depende do recíproco de x T = 4 R R C R 2 x (5.22) Um OTA ou um multiplicador também podem ser utilizados para controlar a frequência do oscilador em função de uma corrente ou tensão de entrada. Neste caso o circuito transforma-se num oscilador controlado por tensão ou VCO. A Figura 5.7 mostra um exemplo com OTA. Figura 5.7: Gerador de ondas quadrada e triangular usando OTA. O equacionamento do problema é muito semelhante ao anterior porém a corrente integrada pelo capacitor depende da tensão na entrada e da transcondutância do OTA. A transcondutância pode ser controlada pela corrente de polarização IB. O integrado CA3086, por exemplo, permite variar a transcondutância linearmente ao longo de 3 décadas (.000 vezes) pela simples alteração do valor de IB. Isto permite fazer um VCO de 0 Hz até 0 khz sem nenhuma outra alteração no circuito Gerador de rampa ou dente de serra Rampas podem ser geradas com o uso de uma chave controlada por tensão (transistor) para curto-circuitar o capacitor do integrador toda vez que a tensão de comparação for atingida. Este curto circuito faz com que o tempo de descarga seja quase zero. Um exemplo pode ser visto na Figura 5.8. Figura 5.8: Gerador de onda dente de serra. 63

164 Figura 5.9: Formas de onda do gerador de onda dente de serra. Para esta simulação foram usados os seguintes valores para os componentes: R=5 kω, R2=0 kω, Vref2=6 V, Vref=- V, R=0 kω, C=0, uf, VCC=0 V, ChaveOn=200 Ω, ChaveOff= MΩ. Neste exemplo a chave fecha quando a tensão da onda quadrada é negativa. v subida =v REF t R C v descida=v REF 2 e (5.23) t /( R chon C ) (5.24) Uma outra possibilidade é mostrada na Figura 5.0. Note que este circuito também apresenta uma chave para descarregar rapidamente o capacitor e um comparador para o acionamento da mesma. Figura 5.0: Gerador de onda dente de serra com um só amplificador operacional. Neste exemplo o comparador apresenta saída em coletor aberto, a chave fecha com controle em zero e R4 muito maior do que R3, R2 e R. I v subida = t C (5.25) 64

165 R3 v MAX =V R + R 2+ R 3 v MIN =V (5.26) ( R 2 // R 3) R 4 + ( R 2 // R 3 ) R3 t / R v descida=v e ( R + R 2+ R 3 (5.27) C ) (5.28) chon 5.4 Gerador de onda senoidal por conformação de triangular Além dos geradores harmônicos uma forma simples de se obter uma onda senoidal é através da conformação de uma onda triangular. Três alternativas para fazer isto são a utilização da característica logarítmica de um par diferencial ou de circuitos com ganho variável (construídos com diodos atuando como chave) e o uso funções matemáticas e de expansão em séries. Filtros não costuma ser utilizados para esta tarefa pois não é fácil sintonizar um passa faixas em diferentes frequências modificando-se apenas um componente. Ademais, um gerador em ponte de Wien é tão complexo quanto um filtro passa faixas. Estas e outras alternativas são bem exploradas no Application Note AN263 - Sine Wave Generation Techniques da National Semiconductor Conformação usando par diferencial O amplificador diferencial com transistores não pode ser considerado linear se o sinal aplicado a sua entrada for de grande amplitude, ou seja, muito maior do que 25 mv. A Figura 5. mostra um par diferencial e a sua curva de tensão de saída versus entrada para tensões de entrada até ±00 mv. Figura 5.: Característica logarítmica de par diferencial. Nestes casos a corrente de emissor deve ser aproximada por [ ( R i E = i o tanh 20 v i 40 i E R E + B β 2 )] (5.29) onde RB representa eventuais impedâncias da base. 65

166 Considerando que as séries de Taylor para o seno e para a tangente hiperbólica são muito semelhantes x 3 x5 Taylor [ sen (x ) ] =x ! 5! Taylor [ tanh (x ) ] =x (5.30) x 3 2 x (5.3) essa característica não linear do par diferencial pode ser utilizada para transformar uma onda triangular em uma aproximação para a senoide. Esta abordagem permite valores de tensão de entrada da ordem de 200 mvpp com distorção harmônica total (THD) de a 0,%. Com circuito da Figura 5.2 obtém-se 0,6% de distorção com o ajuste dos potenciômetros. O de 0 kω é utilizado para ajuste de simetria e o de 5 kω para ajustar o formato da onda senoidal. Figura 5.2: Circuito conformador de onda triangular em senoidal usando par diferencial Conformador com diodos Um conformador com diodos pode ser construído de forma a chavear resistores que modificam a relação entre entrada e saída do conformador a cada novo chaveamento (Figura 5.3). O circuito comporta-se como se diferentes ganhos fossem aplicados ao sinal de entrada dependendo da sua amplitude. Se a entrada é uma onda triangular ganhos cada vez menores são aplicados a medida que a tensão de entrada aumenta (Figura 5.4). No exemplo da Figura 5.3, onde V, V2, V3 e V4 são tensões positivas, os diodos D, D2, D3 e D4 estão normalmente cortados. A medida que vi aumenta estes diodos gradativamente entram em condução criando um divisor resistivo. Este divisor resistivo atenua a transferência do sinal de entrada para a saída. Observando a Figura 5.4 observa-se que a medida que os diodos entram em condução a inclinação da curva vo contra vi diminui. A curva da Figura 5.4 deve ser construída de forma a transformar uma reta (vi) numa aproximação de senoide (vo). 66

167 Figura 5.3: Conformador com diodos. A partir do desenho da tensão de entrada (triangular) e de saída (senoide) marcam-se os pontos utilizados para aproximar a senoide por segmentos de reta. O processo é aproximado e iterativo. Quando o erro se tornar grande um novo segmento deve ser utilizado. Uma vez determinados os valores das ordenadas ou das abcissas calculam-se os valores faltantes, ou determina-se tudo no processo. Por exemplo, para uma onda triangular com tensão entre 0 e 9V é possível criar ¼ de senoide com as tensões de saída estipuladas em 3,0, 4,2, 5,2, 5,8 e 6,0 V. Usando a equação 5.32 podemos calcular os valores de vi correspondentes. Se os pontos de quebra tivessem sido determinados a partir da entrada então a equação 5.33 pode ser usada para determinar as tensões de saída correspondentes. Figura 5.4: Conformação de onda triangular para senoidal. v ix v omax sen ( ) ( ) v ox =v omax sen v ox (5.32) v omax v ix (5.33) v omax Os valores para as fontes de tensão devem ser obtidas a partir de vox descontando-se as quedas de tensão sobre os diodos. Considerando-se uma queda de 0,6 V sobre os diodos as fontes deveriam assumir os seguintes valores: V=2,4 V, V2=3,6 V, V3=4,6 V, V4=5,2 V e V5=5,4 V. A 67

168 implementação prática das fontes pode ser realizada com o divisor de tensão apresentado na Figura 5.5. Figura 5.5: Conformador com diodos para transformar onda triangular em senoidal. Neste circuito R RF (para que os resistores das fontes não interfiram nas associações de resistores do conformador). Alternativamente podem ser utilizados buffers para isolar as fontes do circuito do conformador. A tensão de 0 V, em ambos os casos deve ser bem regulada. Uma vez determinados os valores de tensão de entrada e saída para os pontos de quebra (pontos de condução dos diodos) determinam-se os resistores. De maneira geral, quando os diodos conduzem anexam mais um resistor ao circuito, transformando-o no equivalente da Figura 5.6 onde Ra=R e Rb é o paralelo dos resistores que estiverem conduzindo no momento (R, R2, R3 e R4). Figura 5.6: Circuito equivalente do conformador quando um diodo está conduzindo. Δv i R =+ a Δ vo Rb (5.34) Δv i = Δ vo (5.35) Δv i v i 2 v i Δ vi R = =,67 ; =+ ; R =6 R Δ v o v o 2 v o Δ vo R (5.36) Para o primeiro segmento de reta Para o segundo segmento de reta Para o terceiro segmento de reta Δv i v i 3 v i 2 Δ vi R = =,6 ; =+ ; R // R 2 =,67 R ; R 2=2,3 R Δ v o v o 3 v o 2 Δ vo R // R 2 (5.37) Para o quarto segmento de reta 68

169 Δv i v i 4 v i 3 Δ vi R = =2,5 ; =+ ; R // R 2 // R 3=0,667 R ; R 3=, R Δ v o v o 4 v o 3 Δ vo R // R 2 // R 3 (5.38) Para o quinto segmento de reta Δv i v i 5 v i 4 Δ vi R = =7,5 ; =+ ; R // R 2 // R 3 // R 4 =0,54 R ; R 4=0,2 R Δ v o v o 5 v o 4 Δ vo R // R 2 // R 3 // R 4 (5.39) O circuito completo pode ser visto na Figura 5.7 e as tensões de entrada e saída na Figura 5.8, que também mostra uma tensão senoidal pura para referência (o desenho mais arredondado). Se as fontes de referência forem ideais ou forem isoladas com buffers a tensão de saída ficará ainda melhor. Figura 5.7: Conformador completo de onda triangular em senoidal usando diodos Figura 5.8: Onda triangular, senoidal e senoidal obtida a partir da conformação de onda triangular. Este circuito serve apenas para conformar o semiciclo positivo da senoide. Para obter a senoide completa é necessário duplicar o circuito para o semiciclo negativo. 69

170 5.4.3 Conformador por série de Taylor Uma função do tipo sen(x) pode ser expandida em uma série de potências como a série de Taylor. Cada elemento da série pode ser implementado eletronicamente resultando em uma boa aproximação para a senoide. A expansão de Taylor para o seno é x 3 x5 Taylor [ sen (x ) ] =x ! 5! (5.40) que pode ser truncada nos dois primeiros termos com erro de aproximadamente 0,6%. Esta função pode ser implementada com multiplicadores como na Figura sen( x ) x x3 6 (5.4) Figura 5.9: Conformador de triangular para seno usando multiplicadores e expansão por série de Taylor. A aproximação pode ser melhorada utilizando-se métodos de cálculo numérico. Uma aproximação melhor para a série truncada, com erro da ordem de 0,23%, é apresentada em sen( x ) x x 2,827 6,28 (5.42) Esta função precisa ser manipulada para que possa ser implementada com os circuitos apresentados. Uma solução é mostrada em 5.43 cuja implementação em diagrama de blocos é mostrada na Figura sen( x ) x x 2,827 2,827 ln(x ) =x 0,5924 e 6,28 (5.43) Figura 5.20: Conformador de onda triangular para senoidal usando expansão em séries. Os circuitos mostrados aqui valem apenas para sinais positivos. Para contornar o problema o circuito deve ser aumentado com o uso de retificadores e amplificadores inversores. 70

171 5.5 Geração de senoides por síntese digital direta (DDS) Hoje em dia uma das melhores maneiras de produzir um sinal senoidal de frequência variável emprega circuitos conhecidos como Direct Digital Synthesis (DDS). No DDS os valores de amplitude do sinal senoidal são gravados em memória (conversor fase amplitude na Figura 5.2) que é endereçada por um contador (acumulador de fase na Figura 5.2). No caso da Figura 5.2 o contador implementado é incrementado de acordo com a palavra de controle, assim é possível controlar a frequência do sinal senoidal ajustando tanto a palavra de controle como o clock do circuito. Em circuitos como este se obtém com certa facilidade frequências entre Hz e 20 MHz com incrementos de 0,004 Hz e THD menores do que 0,0%. Um filtro passa baixas pode ser utilizado para melhorar a qualidade da senoide reconstruída. O cuidado com filtro passa baixas nestes casos é que ele deve ter frequência de corte variável. Caso isto não aconteça a amplitude do sinal senoidal diminui a medida que a frequência aumenta. Um bom texto sobre DDS é o A Technical Tutorial on Digital Signal Synthesis da Analog Devices. Figura 5.2: Diagrama em blocos de um DDS. 7

172 6 Circuitos condicionadores para sensores reativos 6. Circuitos de medida Para a leitura e condicionamento de sensores reativos é necessário ao menos uma excitação de corrente alternada, sem a qual os capacitores se comportariam como circuito aberto e os indutores como curto circuito. Se o sistema incluir conversores AD também é necessário converter os sinais modulados de corrente alternada em sinais de corrente contínua, o que requer demodulação, valor médio retificado, valor RMS ou medida de valor de pico. Alternativamente também é possível converter os valores de capacitância ou indutância em frequência ou largura de pulso. As técnicas empregadas para o condicionamento de sinais de corrente contínua, descritos no Capítulo 7, também são válidos para os sensores reativos, ou seja, utilizam-se medidas tetrapolares, diferenciais e em ponte e todos os cuidados com cabos, temperatura, modo comum, escolha dos componentes, estabilidade das referências continuam válidas. Ressalta-se que os grandes problemas associados com os sensores capacitivos e indutivos são os valores das impedâncias, e as capacitâncias parasitas dos cabos de interligação. Os indutores tendem a apresentar impedâncias muito baixas e capacitores impedâncias muito elevadas. As capacitâncias dos cabos associam-se com os sensores alterando a sensibilidade dos mesmos. 6.. Circuitos em ponte Circuitos em ponte, para medidas de nulo, similares a ponte de Wheatstone, estão disponíveis para medidas de capacitores e indutores, mas não são discutidas aqui, por serem métodos muito lentos e normalmente empregados em laboratórios para medidas de grande exatidão. Estas são técnicas bem antigas, que requerem a alteração no valor dos componentes para a obtenção do equilíbrio da ponte e geralmente não são utilizadas em processos automáticos. Para medidas de capacitância podemos citar as pontes de razão de resistências, capacitores em paralelo, Schering e De Sauty (Figura 6.). Com exceção da De Sauty, utilizada para medidas de variação de capacitância, todas as demais estimam o capacitor como uma associação RC série ou paralela. Para medidas de indutância existem as pontes de indutâncias paralelas, Maxwell, Hay, Owen (Figura 6.) e Anderson. As pontes para medidas de indutância apresentadas estimam o indutor como um circuito LC série ou paralelo. Finalizando a lista existem pontes para medidas de indutância mútua como as pontes de Heaviside (Figura 6.) e Heydweiller. Esta não é uma lista completa, mas dá uma ideia da variedade e especificidade dos circuitos em ponte. Mesmo não sendo utilizadas para medidas de nulo circuitos em ponte continuam apresentando características interessantes que os tornam uma alternativa de boa qualidade para interfacear sensores capacitivos e indutivos. Com uma excitação em corrente alternada uma ponte de capacitores, indutores ou resistores torna-se uma generalização da ponte de Wheatstone onde cada braço da ponte é formado por uma impedância. Os mesmos arranjos podem ser feitos com as mesmas sensibilidades, linearidades vantagens e desvantagens. Sensores indutivos apresentam indutâncias da ordem de a 00 mh e para evitar impedâncias muito baixas emprega-se excitações com frequências de alguns khz até alguns MHz. Por isso, para medidas de variação de indutância a ponte pode ser formada por indutores e resistores (Figura 6.2). Os indutores normalmente apresentam uma impedância baixa e um fator de mérito razoavelmente elevado (baixa resistência) e os resistores uma resistência média. Assim, pequenas variações de resistência no indutor tornam-se insignificantes, o que permite o uso dos resistores sem incorrer em erros significativos. A ponte também poderia ser formada por quatro indutores iguais, mas esta não é uma situação comum. 72

173 Figura 6.: Algumas pontes para medidas de capacitância, indutância e indutância mútua. As capacitâncias ou indutâncias sob medida são representadas pelos valores Cx e Lx em associação com Rx. Vs é uma fonte senoidal. Os elementos variáveis representam os componentes usados para ajustar o equilíbrio da ponte. 73

174 Figura 6.2: Circuitos em ponte para medidas de sensores diferenciais reativos. Cp são capacitâncias parasitas. Sensores indutivos também sofrem com a capacitância dos cabos, como visto no Capítulo 9 e quando a seletividade do sensor não for elevada (a resistência é significativa) o sinal resultante não está defasado 90o e a medida de fase pode se tornar importante. Para as pontes capacitivas é possível usar resistores, principalmente se os sensores apresentarem impedâncias baixas (capacitâncias elevadas), mantendo a ponte equilibrada com impedâncias semelhantes entre os capacitores e os resistores. Se as impedâncias capacitivas forem muito elevadas os valores das resistências podem ser da mesma ordem de grandeza das de outras impedâncias parasitas ou indesejadas. Nestes casos pode-se lançar mão do uso de quatro sensores capacitivos ou de transformadores. O uso dos transformadores com o terminal central aterrado também reduz o efeito das capacitâncias parasitas do sensor para o terra (Figura 6.2) e não requer amplificação diferencial. A capacitância parasita entre terminais pode ser reduzida com blindagem dos mesmos. Estas pontes são chamadas de Blumlein ou pontes com transformadores, mas não funcionam bem para frequências muito altas devido as saturações e perdas no núcleo. Frequências até 20 khz são comuns, mas é possível chegar a 00 khz ou mais com algum esforço. A escolha do núcleo é fundamental para o trabalho nestas frequências elevadas. Por outro lado o uso de transformadores permite a isolação galvânica da medida, quebrando laços de terra. Sensores capacitivos costumam apresentar capacitância menor do que 500 pf o que requer frequência de excitação que muitas vezes está entre 0 khz e 00 MHz para que as reatâncias tenham um valor razoável. O uso de frequências elevadas, entretanto, torna o projeto mais difícil. A banda de passagem e capacitância de entrada dos amplificadores, o efeito de linha de transmissão, e outros efeitos parasitas ou indesejados são apenas uma amostra dos problemas existentes. Por esta razão, as vezes é preferível trabalhar com frequências mais baixas e aceitar que a impedância destes sensores é alta. Independente da frequência de excitação isto é particularmente verdade para corrente contínua e para a frequência da rede elétrica. Para corrente contínua a impedância muito elevada destes sensores requer resistências adicionais no circuito para polarização dos AO que, por sua vez, precisam apresentar impedância de entrada muito elevada. O uso de cabos blindados para reduzir o acoplamento de interferência é comum, mas isto adiciona capacitâncias elevadas em paralelo com o sensor reduzindo a sensibilidade do mesmo e aumenta sua não linearidade. Uma alternativa comum é a conexão da eletrônica de condicionamento muito próxima do sensor usando cabos curtos e algumas vezes uma blindagem ativa Circuitos para sensor simples ou diferencial Para sensores capacitivos simples é possível empregar o circuito da Figura 6.3, onde Cx é o elemento sensor e Cp são as capacitâncias parasitas, mas Cp e Cp3 não influenciam nas medidas 74

175 (estão com tensão zero ou em paralelo com fontes de tensão). O resistor R evita que o ganho seja infinito para corrente contínua e deve ser escolhido de forma que sua resistência seja muito maior que a impedância de Cx na frequência de operação do circuito. Escolhendo R 0 vezes maior que impedância de Cx obtemos um erro de 0,5% no ganho e 6º na fase. O circuito da esquerda é conhecido como amplificador de carga, pois pequenas variações de carga em Cx são amplificadas por C (o resistor não deve ter influência no ganho). Neste circuito a capacitância Cp2 tem menos influência sobre a tensão de saída pois a tensão sobre ele é igual à de Cp. O circuito da direita apresenta saída linear para variações de distância entre as placas do sensor capacitivo e o da esquerda para variações de área ou permissividade. Os dois circuitos podem ser ampliados para funcionar com uma topologia de amplificador subtrator o que se assemelha a uma ponte aberta, assim como na Figura 7.8, e também apresenta características de cancelamento de ruído. Figura 6.3: Circuito de condicionamento para sensores capacitivos simples. Cp são capacitâncias parasitas, C o sensor. Amplificadores não inversores normalmente não são empregados pois as capacitâncias parasita para terra degradam a impedância de entrada dos amplificadores. Capacitâncias da ordem de 3 pf, comuns entre terminais de um componente, em MHz apresentam impedância da ordem de 50 kω. Soquetes para os integrados, disposição das trilhas em uma placa de circuito impresso, e cabos reduzem ainda mais esta impedância. Nos circuitos inversores a impedância de entrada não é degradada pelas capacitâncias parasitas, mas a faixa de passagem pode ficar comprometida. Resistores de alguns MΩ que apresentam capacitância entre terminais de pf podem reduzir a banda de passagem a algumas centenas de khz. O aumento da capacitância de entrada de amplificadores inversores também podem levar a oscilações (devido a realimentação a saída do AO deve ser capaz de carregar rapidamente estes capacitores). Assim, a banda de passagem pode ficar limitada não apenas pelo slew rate e pelo produto ganho faixa, mas também pela capacitância. De um modo geral a maior frequência de trabalho para um AO pode ser estimada como f MAX = SR 2 π V MAX (6.) Para medidas diferenciais, de distância entre placas, pode ser utilizado um simples divisor de tensão ou o circuito da Figura 6.4 para obtenção de uma relação linear entre tensão de saída e distância. Considerando que a tensão va é aquela entre os capacitores C, C2 e C3, então 75

176 Figura 6.4: Circuito para medidas de capacitâncias diferenciais. j ω C ( v a v i )+ j ω C 3 v a + j ω C 2 ( v a ( v i ))=0 (6.2) C C2 v a=v i C +C 2 +C 3 (6.3) C C2 C3 v o =v i C +C 2+C 3 C 4 (6.4) 6.2 Blindagem Sensores capacitivos costumam ter impedância tão elevada que as capacitâncias parasitas e do ambiente tem influência significativa no desempenho do sensor. Como estas capacitâncias mudam com o movimento relativo do sensor eles costumam ser blindados, ou seja, envoltos em uma caixa metálica lacrada que se conecta a um dos terminais do sensor (Figura 6.5). Assim, a capacitância do outro terminal para a blindagem é constante. Esta estratégia funciona bem se o terminal conectado a blindagem for aterrado, caso contrário a capacitância parasita para o terra pode afetar a medida. Um sistema de dupla blindagem, com uma segunda caixa não conectada a nenhum terminal pode ser utilizado para os casos onde nenhum terminal do sensor é aterrado. A segunda caixa é aterrada de forma que tanto a capacitância para a blindagem quanto a capacitância para o terra são mantidas constantes, afetando apenas a sensibilidade do sensor (o mensurando só afeta a capacitância do sensor que é apenas uma parcela da capacitância total). Uma alternativa para reduzir o efeito destas capacitâncias é aumentar o potencial das caixas para um valor próximo ao do condutor, assim a tensão sobre as capacitâncias parasitas é nula e o efeito delas também. Esta técnica se chama blindagem ativa e requer um amplificador adicional para elevar o potencial da blindagem. A Figura 6.6 mostra como isto é feito em cabos coaxiais. O modelo para análise leva em conta as impedâncias de entrada do amplificador (diferenciais e de modo comum) e seu ganho finito. Considerando-se as impedâncias de modo comum iguais, observa-se que a impedância de entrada do circuito com blindagem ativa continua dependendo da capacitância de cabos (ZCp) porém agora a impedância é multiplicada pelo ganho de malha aberta do amplificador operacional (6.8). ( v a v s v o + =0 Z s Z Cp Z d Z C Z s Z Cp Z d ) ( ) (6.5) v o =Ad ( v a v o ) is = (6.6) vs va Zs (6.7) 76

177 vs =( A d +) ( Z d // Z Cp // Z C ) is (6.8) Figura 6.5: Capacitor com uma e duas blindagens (caixas com linhas tracejadas). Cx é o sensor. Cs são as capacitâncias para as blindagens e Cg as capacitâncias para o terra. Figura 6.6: Blindagem ativa de cabos. Acima e a esquerda blindagem passiva, a direita blindagem ativa, abaixo modelo para blindagem ativa. Vs e Zs são o equivalente Thévenin do sensor e sua alimentação, Cp é a capacitância de cabo. Zd é a impedância diferencial de entrada do amplificador e Zc e Zc são as impedâncias de modo comum das entradas negativa e positiva do amplificador operacional. O resultado da blindagem ativa depende diretamente do ganho de malha aberta do AO e da sua banda de passagem, quanto maiores menor serão os efeitos da capacitância parasita dos cabos. A impedância de saída do AO associada a capacitância parasita na entrada negativa do AO produz um filtro que atrasa a realimentação negativa do buffer. Com isto a realimentação positiva para a blindagem pode oscilar. Para evitar este problema é comum realimentar apenas uma fração de vo para a blindagem (um divisor de tensão e um outro buffer costumam resolver o problema). 77

178 6.3 Demoduladores Demoduladores são circuitos que vão transformar os sinais alternados da excitação (ωp), e que foram modulados em amplitude pelo sensor, no sinal original de baixa frequência (Figura 6.7). Para que tudo funcione de forma correta a maior frequência não desprezível do sinal de entrada (ωm) deve ser menor que a frequência da portadora, ou seja, da excitação. Na prática, para se obter um sinal com baixo ripple ao final do processo, ωp deve ser umas 0 vezes ou mais o valor de ωm. Se for importante a informação de fase então a demodulação deve ser síncrona caso contrário circuitos que calculam o valor médio retificado, RMS ou valor de pico podem ser usados. Com a demodulação síncrona é possível obter a fase do sinal, que pode indicar o sentido do mensurando, como no caso do LVTD. O processo de demodulação consiste basicamente da multiplicação do sinal modulado por um sinal sincronizado com a excitação. Circuitos que fazem isto são, por exemplo, o AD598 e AD698 da Analog Devices (Figura 6.8) e o 552 da Signetics. Os dois circuitos da Analog Devices apresentam um oscilador para alimentar o transdutor, um demodulador para detectar a envoltória do sinal de saída e um filtro para suavizar o sinal de saída. O AD598 apresenta também uma estratégia de demodulação que emprega a medida da subtração e da soma das tensões no sensor diferencial. Esta estratégia torna a demodulação mais insensível a variações de temperatura, corrente e frequência de excitação. Os demoduladores também podem ser construídos com componentes discretos. Neste caso a estabilidade e baixa distorção do sinal de excitação são importantes. Para esta tarefa podem ser utilizados osciladores com DDS ou circuitos específicos para interface com sensores reativos como o AD2S99 da Analog Devices ou o 4423, da Burr Brown, e os SWR200 e SWR300 da Thaler que geram senos e cossenos em frequências selecionáveis. A demodulação propriamente dita pode ser realizada por qualquer circuito multiplicador e um filtro passa baixas para o cálculo do valor médio do sinal. Para simplificar a etapa de multiplicação é muito comum transformar o sinal senoidal do oscilador em uma onda quadrada. Desta forma o sinal modulado é multiplicado por + ou por -, o que pode ser implementado por chaves que comutam circuitos de ganho, ou por circuitos retificadores de precisão onde os diodos que fazem a retificação são substituídos por chaves. Desta forma a pseudo retificação é feita no semiciclo positivo ou negativo. Um exemplo deste demodulador empregando chaves é o AD630 da Analog Devices. Modulador Demodulador t t ωm t ωp ω ω ωm Sinal 2ωp ω Sinal t t Oscilador ωp ω ωp ω Figura 6.7: Modulação e demodulação de sinais. 78

179 Figura 6.8: Circuitos integrados para condicionamento de sinais de LVDT. Para os casos onde se deseja medir o ângulo de fase de uma impedância é possível usar demoduladores em quadratura (Figura 6.9). Neles o oscilador do demodulador deve estar em fase ou 90º defasado do oscilador que excita os sensores. O sinal obtido na saída do d emodulador corresponde, então, ao sinal em fase e quadratura ou parte real e imaginária de uma impedância. Alternativamente é possível empregar um circuito série de uma impedância desconhecida com uma resistência conhecida. A tensão sobre as duas impedâncias é medida. Uma serve como referência de corrente a outra de tensão. A demodulação, neste caso pode ser feita digitalmente. Figura 6.9: Diagrama em blocos de um demodulador em quadratura. 79

180 7 Transdutores autogeradores 7. Transdutores termoelétricos Em 822 Seebeck descobriu que dois metais diferentes conectados em um circuito com as junções em temperaturas diferentes (Figura 7.), é percorrido por uma corrente elétrica. Se o circuito for aberto uma diferença de potencial aparece entre os terminais. A força eletromotriz de Seebeck, responsável pela corrente circulante depende dos tipos dos metais envolvidos e é aproximadamente proporcional a diferença de temperatura entre as duas junções. O coeficiente Seebeck SAB define que a diferença de potencial em função da temperatura dependa da diferença de potencial termoelétrico (SA e SB) tal que S AB= dv AB =S A S B dt (7.) Material A i T2 T T2>T Material B Figura 7.: Efeito Seebeck. Peltier, em 834, demonstrou o efeito inverso, introduzindo uma bateria no circuito composto por dois metais diferentes e observando que o calor era absorvido em uma das junções e irradiado na outra (Figura 7.2). Invertendo-se a polaridade da bateria invertem-se as junções que absorvem e irradiam calor. Tal efeito é a base da refrigeração Termoelétrica e é empregado em coolers de microprocessadores e geladeiras automotivas, por exemplo. O coeficiente de Peltier (πab) é definido como a variação de calor (Q) gerado na junção para cada unidade de carga fluindo por ela (7.2). dqp=π AB I dt (7.2) Relacionando os efeitos Seebeck e Peltier pode ser mostrado que πab(t)=t (SB SA). Material A Calor Absorvido +V- Calor Liberado Material B Figura 7.2: Efeito Peltier. 80

181 Entre 847 e 854, William Thomson descobriu que um condutor, que atravessa um gradiente de temperatura, ao ser percorrido por corrente elétrica pode aquecer ou esfriar e que este efeito era proporcional a corrente elétrica passando pelo fio. O aumento ou redução da temperatura dependem do sentido dos fluxos de calor e corrente. Quando estão em sentido oposto o calor é absorvido. O fluxo de calor por unidade de volume (q) em um condutor de resistividade ρ que sofre um gradiente de temperatura dt/dx por onde passa uma corrente com densidade J é dt q=j 2 ρ J σ dx (7.3) Os efeitos Seebeck, Peltier e Thomson são reversíveis e se a corrente circulando pelos condutores metálicos for nula ou muito baixa o efeito Joule nos fios pode ser desconsiderado. Os três efeitos se complementam e formam as bases da termoeletricidade. Assim a forma mais simples de usar estes efeitos para medida de temperatura consiste no termopar, um arranjo onde dois metais homogêneos e diferentes apresentam uma ou duas junções (Figura 7.3) T2 + V - T + T V - T2 Figura 7.3: Uso simples de um termopar. A relação entre tensão nos terminais do termopar e diferença de temperatura entre as junções não é linear e pode ser aproximada por (7.4) onde α e γ são constantes associadas ao tipo de termopar e as temperaturas T2 e T são absolutas (K). V =α ( T 2 T ) + γ (T 22 T 2 ) (7.4) Normalmente o valor de γ não é tão elevado, de modo que para uma boa faixa de temperatura o comportamento pode ser descrito como praticamente linear. A sensibilidade do termopar, para uma dada temperatura T2 é dada por (7.5) S= V =α+2 γ T 2 T 2 (7.5) Para a escolha dos materiais que formam os termopares comerciais considera-se que o valor de γ deve ser baixo, os metais devem ser resistentes a oxidação, mesmo em altas temperaturas e devem ter baixa variação de resistividade com a temperatura. Isto limita as possibilidades de metais ou ligas. A escolha do tipo de termopar deve ser feita em função da faixa de uso, da linearidade e do ambiente (agressivo ou não). De um modo geral os termopares apresentam uma boa estabilidade temporal, confiabilidade, são mais exatos do que os RTD para baixas temperaturas. O pequeno tamanho permite respostas temporais rápidas, da ordem de mili segundos, não sofrem com autoaquecimento e podem ter fios longos sem maiores problemas. Os tipos de termopares são dependentes das ligas metálicas usadas para sua fabricação, onde normalmente o primeiro elemento do par corresponde ao elemento positivo. Observa-se que existem diferentes normas com código de cores diferentes para termopares iguais e isto causa 8

182 alguns problemas. A melhor maneira de se referir aos termopares é pelo seu nome (letra) ou pelos materiais dos quais é feito. Sua caracterização normalmente é feita com tabelas de diferenças de temperatura e correspondentes valores de tensão. Normalmente a temperatura de referência T corresponde a 0. Para os pontos não tabelados é necessário interpolar. Alguns fabricantes fornecem os valores de α e γ e, as vezes, de outros coeficientes para polinômios de maior grau. Na Tabela 7. são apresentados alguns termopares com seus respectivos coeficientes α e na Figura 7.4 os códigos de cores para as diferentes normas. Tabela 7.: Características de alguns termopares. Faixa ( ) Sensibilidade (μv/ ) Erro Platina 30% Rodio/ Platina 6% Rodio [0,.800] 3 0,5% E Cromel/Constantan [-200,.000] 63 ±,7 ou 0,5% J* Ferro/Constantan [-200, 900] 53 ±2,2 ou 0,75% K* Cromel/Alumel [-200,.300] 4 ±2,2 ou 0,75% N Nirosil/Nisil [-200/.300] 28 R Platina/Platina 3% [0.400] 6 ±,5 ou 0,25% S Platina/Platina 0% [0 400] 6 ±,5 ou 0,25% T* Cobre/Constantan [-200, 400] 43 ± ou 0,75% Nome Material B Os tipos mais comuns são J, K e T Como os termopares são medidores de temperatura diferencial é necessário definir ou medir a temperatura de referência. Isto pode ser feito colocando-se uma das junções em uma temperatura conhecida (por exemplo, gelo) ou medindo a temperatura de junta fria com outro medidor de temperatura. A princípio isto pode não fazer sentido, mas os termopares podem ser utilizados para medidas de temperaturas elevadas que não seriam possíveis com outros medidores. Os circuitos mais simples para a medição podem ser vistos na Figura 7.5. A tensão do transdutor é aquela estabelecida somente entre os metais contidos entre a região quente ( T2) e a região que define a temperatura de referência T (normalmente o banho ou a posição onde o sensor de junta fria é colocado). A partir daí dois condutores de cobre levam tal tensão para o voltímetro (que é considerado estar na temperatura ambiente). Nesta condição a tensão medida pelo voltímetro é proporcional a diferença de temperatura T2-T. Para medidas distantes estão disponíveis extensões. Estas extensões são fabricadas com os mesmos materiais dos termopares e devem ser ligadas respeitando-se a polaridade dos mesmos, ou seja, materiais iguais devem ser ligados juntos. Também estão disponíveis conectores específicos para placas de circuito impresso e gabinetes. Algumas vezes os termopares são conectados em série (sempre entre as mesmas temperaturas de junta fria e quente) para aumentar a sensibilidade do transdutor, ou em paralelo, (com a mesma temperatura de junta fria, mas em diferentes temperaturas de junta quente) o que permite a medida de uma temperatura média de junta quente. Nestes casos os termopares devem 82

183 ser iguais e com a mesma resistência. Para a maioria das aplicações, entretanto, o modelo do termopar é apenas uma fonte de tensão controlada por temperatura. Figura 7.4: Nome, composição, código de cores e erro de alguns termopares. T2 T T 0 ºC Tamb Tamb Figura 7.5: Formas de utilização de termopares. 7.2 Transdutores Piezoelétricos Outro tipo bastante utilizado de transdutor passivo é o transdutor piezoelétrico, que produz um sinal elétrico de saída quando excitado mecanicamente. Além disto, estes transdutores são recíprocos o que significa que se for aplicada ao transdutor uma certa tensão elétrica eles são capazes de produzir uma vibração mecânica. Devido a esta característica, tais transdutores podem ser utilizados como microfones, acelerômetros, sensores de pressão, sensores ultrassônicos e outros. 83

184 A piezoeletricidade é um fenômeno associado a geração de cargas elétricas na superfície de um material quando a ele é aplicada uma certa tensão mecânica capaz de deformá-lo, ou a correspondente mudança da forma do material quando uma certa tensão elétrica é aplicada em algumas de suas superfícies (Figura 7.6). Os primeiros materiais piezoelétricos estudados foram o quartzo, a turmalina e os sais de Rochelle. Os materiais piezoelétricos são sempre materiais anisotrópicos, boa parte apresenta estrutura cristalina, mas os materiais sintéticos são cerâmicas como o titanato de bário, o titanato de zircônio e o titanato zirconato de chumbo ou PZT, e alguns polímeros como o polivinilo de flúor ou PVDF. A piezoeletricidade é, então, uma maneira de converter energia mecânica em energia elétrica, e vice-versa. Em capacitores comuns o dielétrico obedece a lei de Hook (7.6), em termos mecânicos, que relaciona deformação (S) com tensão (T) por meio da constante de elasticidade ou módulo de Young (Y0), e quando uma tensão é aplicada às suas placas estabelece um campo elétrico (E) cujo deslocamento elétrico (D) é (7.7) T Y0 (7.6) D =ε E (7.7) S= Em materiais piezoelétricos, por sua vez, há uma contribuição na deformação mecânica gerada pelo campo elétrico, assim como uma contribuição na densidade de fluxo gerado pela tensão mecânica. Estas interações ocorrem por meio da constante piezoelétrica (dp) tal que S= T +dp E Y0 (7.8) D =ε E +dp T (7.9) Figura 7.6: Estrutura cristalina de um sensor piezoelétrico e seu comportamento quando deformado em duas direções. Umas das formas mais simples de modelar um transdutor piezoelétrico é considerar que ele é primariamente um capacitor com dielétrico polarizável e que se deforma. Assim, este sensor apresenta uma parte elétrica equivalente a um capacitor e uma parte mecânica que se movimenta. A parte mecânica pode ser modelada como um sistema massa mola amortecedor cujo análogo 84

185 elétrico é um circuito RLC série. Desta forma um sensor piezoelétrico pode ser primeiramente modelado como o circuito da Figura 7.7. Figura 7.7: Modelo equivalente de um sensor piezoelétrico. Z AB= ( // R M + + j ω L M j ω C E j ω C M ( R M + j ω L M Z AB= ( R M + j ω L M Z AB= C 2E ω C M ) (7.0) ) (7.) C ω2 L M C E + E + j ω R M C E CM 2 ω L M C E CE ω3 L 2M C E + ω R 2 C E 2 ω C M CM ω C M ) (7.2) 2 C E 2 ω L M C 2E ω L M C E + +ω R M C E +ω4 L 2M C 2E 2 CM CM CM 2 que apresenta duas ressonâncias, uma série (dependente de CM e LM) e outra paralela (dependente de CE, CM e LM). Para determinar as ressonâncias basta igualar a parte imaginária de ZAB à zero ω2 L M C 2M C M ω4 L 2M C 2M C E +2 ω2 L M C M C E C E ω 2 R M C M C E =0 (7.3) considerando que a resistência RM é baixa a solução para a equação biquadrática é ω2a = + L M C M L M C E (7.4) L M C M (7.5) ω2r = cuja curva em frequência pode ser vista na Figura 7.8. Observa-se que para baixas e altas frequências o sensor piezoelétrico se comporta como um capacitor e para frequências intermediárias apresenta duas ressonâncias. Para a maioria das aplicações o sensor será usado nas frequências abaixo da ressonância, mas para osciladores e aplicações em ultrassom, por exemplo, deseja-se justamente a ressonância. Mesmo com um comportamento predominantemente capacitivo, em baixas frequências, as perdas não são nulas e o sensor acaba se descarregando e não sendo utilizado em corrente contínua. As características do sensor são dependentes da temperatura e desaparecem acima da temperatura de Curie de cada material (que está na ordem de 50 a 700 ). Como a impedância do sensor normalmente é muito alta (baixo valor de capacitância e elevada resistência de perdas) costuma ser necessário o uso de 85

186 amplificadores especiais como os eletrômetros ou amplificadores de carga. Sensores piezoelétricos, entretanto, costumam ser muito sensíveis (chegam a ser.000 vezes mais sensíveis do que um strain gauge), são de baixo custo, dimensões reduzidas, respondem em frequências elevadas e podem ser construído de forma a responder a estímulos em direções bem definidas o que os torna interessantes para medidas de vibração, força e pressão. Figura 7.8: Resposta em frequência de um sensor piezoelétrico. Como sensor, atuando em baixas frequências, e comportamento majoritariamente capacitivo (C), pode-se considerar que há uma geração de cargas (q) proporciona a aplicação de uma força (F) tal que q=dp F (7.6) onde dp é a constante piezoelétrica (C/N), e V= q C (7.7) O modelo que representa este comportamento corresponde a uma fonte de corrente (interação mecânica) em paralelo com um capacitor. As perdas do capacitor são representadas por um resistor de valor elevado em paralelo (Figura 7.9). No modelo com fonte de corrente ela é calcula como a derivada da carga, o que não é comum em eletrônica e frequentemente causa confusão naqueles que não estão acostumados. Uma alternativa mais intuitiva, do ponto de vista matemático, transforma o modelo Norton no Thevenin com uma fonte de tensão em série com o capacitor. 86

187 Figura 7.9: Modelo de sensor piezoelétrico. 7.3 Transdutores fotovoltaicos Junções semicondutoras de materiais tipo P e tipo N apresentam uma região de recombinação de cargas, devido a difusão de portadores, onde os elétrons livres do material N migram para o material P e lacunas do material P passam a existir em abundância no material N. Estes íons negativos na região P e positivos na região N criam um campo elétrico que se opõe a difusão. Desta forma a junção alcança um equilíbrio dinâmico e cessam as migrações de portadores, ou seja, de corrente na junção. O efeito fotovoltaico consiste no aparecimento de uma diferença de potencial na junção quando esta é exposta a radiação eletromagnética com energia superior à da barreira de potencial, o que ioniza a região de depleção criando novos pares de portadores. Esta tensão de circuito aberto ou, alternativamente, a corrente de curto circuito do dispositivo aumentam com o aumento da intensidade de radiação até uma saturação. Para que o efeito fotovoltaico exista é necessário que exista uma barreira de potencial. Além dos semicondutores existem outras formas de criar esta barreira mas os semicondutores são, sem dúvida, a forma mais comum. Dependendo do comprimento de onda são utilizados materiais diferentes e, algumas vezes, camadas extras de semicondutores não dopados são empregadas para melhorar o desempenho do sensor. Filtros e lentes óticos também são empregados. Os sensores fotovoltaicos são mais lineares, mais rápidos e apresentam menos ruído do que os fotocondutores, mas para cargas de impedância alta a linearidade diminui e o tempo de resposta aumenta. Fotodiodos funcionam pelo mesmo princípio das células fotovoltaicas, mas são modificados internamente e otimizados para trabalhar com polarização reversa da ordem de 5 a 30 V, normalmente. Isto alarga a região de depleção e permite uma resposta mais rápida do sensor, uma vez que os portadores criados na região de depleção são acelerados e rapidamente coletados nos terminais. Fotodiodos especiais, de avalanche, são ainda mais sensíveis, mas frequentemente requerem ajustes individuais de polarização. Atuando desta maneira, com uma polarização reversa sobre o diodo, formalmente o sensor deixa de ser fotovoltaico e passa a ser fotocondutivo. Na Tabela 7.2 são apresentadas as principais diferenças entre os dois modos de operação. O modelo de um fotodiodo é apresentado na Figura 7.0. O resistor Rsh representa a impedância CC do fotodiodo podendo variar de centenas de kω até centenas de GΩ. Esta resistência diminui pela metade a cada aumento de 0 na temperatura do diodo. Cj é a capacitância da junção que assume valores da ordem de 50 pf para diodos de pequena área até 300 pf para diodos de área grande. Assim, a impedância do fotodiodo varia com a frequência sendo determinada pela resistência em baixas frequências e pela sua capacitância em frequências elevadas. A corrente de curto circuito gerada por um fotodiodo, no modo fotovoltaico, pode ser muito pequena mas pode variar significativamente em função da intensidade de luz sobre o 87

188 fotodiodo sendo linear numa faixa de 6 a 9 décadas de intensidade de luz. A Tabela 7.3 apresenta valores para o diodo SD , cuja sensibilidade é de aproximadamente 0,03 μa/fc (fc significa foot-candles ou pé candela) tem área de 0,2 mm2, Cj=50p F, Rsh= 25 e máxima corrente de saída linear de 40 μa. Tabela 7.2: Diferenças entre os modos fotovoltaico e fotocondutivo Fotovoltaico Fotocondutivo Sem polarização do diodo Com polarização reversa do diodo Sem corrente de escuro Com corrente de escuro Linear Não linear Baixo ruído (Térmico) Alto ruído (Térmico + Shot) Aplicações de precisão Aplicações que requerem velocidade Figura 7.0: Modelo de um fotodiodo. A fonte de corrente inclui a corrente de sinal e de ruído. No modo fotocondutivo I corresponde a corrente de sinal e ruído subtraída da corrente de escuro. Tabela 7.3: Correntes de curto circuito para o fotodiodo sd (Sensor signal conditioning, Analog Devices) Sensação Luminosa Iluminação Corrente de curto circuito Luz do sol.000 fc 30 μa Nublado 00 fc 3 μa Crepúsculo fc 0,03 μa Lua cheia 0, fc 3000 pa Noite clara 0,00 fc 30 pa 88

189 8 Ruído e incertezas Ruído elétrico é todo o tipo de perturbação que se sobrepõe a uma informação elétrica. Para evitar confusão, a partir deste momento, a palavra sinal passa a representar a informação útil ao passo que a palavra ruído será utilizada para referenciar qualquer tipo de perturbação elétrica sobre um determinado sinal. O ruído elétrico nos operacionais se deve ao ruído inerente a cada dispositivos que o compõe (transistores, resistores, etc.). Existem várias formas de ruído elétrico sendo que cada uma destas formas está associada a algum evento físico ou a alguma característica de confecção do componente. A seguir, são listados os principais tipos de ruído, suas fontes e seus efeitos e sua representação. A Texas Instruments tem dois bons textos sobre o assunto, o Op Amp Noise Theory and Applications e o Noise Analysis In Operational Amplifier Circuits. 8. Ruído térmico Este ruído é causado pela agitação térmica dos elétrons em uma resistência. O ruído térmico é constante ao longo de todo o espectro de frequências e no osciloscópio apresenta um formato semelhante ao da Figura 8.. Por conter todas as frequências este ruído também é chamado de ruído branco. A tensão eficaz gerada pelo ruído térmico pode ser calculada com a equação 8.. VT RMS = 4 k T B R (8.) onde k é a constante de Boltzman (, J/K), T é a temperatura em Kelvin, B é a banda passante em Hz e R é a resistência em Ω. Figura 8.: Aparência do ruído térmico. 8.2 Shot noise Este ruído está associado com uma corrente fluindo através de uma barreira de potencial. Isto significa que ele é formado pela flutuação instantânea de corrente elétrica, causada pela emissão aleatória de elétrons e lacunas. Schottky, em 98, mostrou que este ruído tem densidade de potência constante com a frequência e que pode ser estimado conforme (8.2). I SN RMS = 2 q I CC B (8.2) onde q é a carga do elétron (,6 0-9 C), ICC é a corrente média em Ampere e B é a banda passante em Hz. 8.3 Ruído de contato Também conhecido por Excess Noise, Flicker Noise, ruído /f e ruído de baixa frequência, o ruído de contato é causado, dentre outras coisas, pela variação da condutividade devido ao contato 89

190 imperfeito entre dois materiais (por exemplo, silício e alumínio). Este tipo de ruído aparece sempre que existe junções entre materiais de qualquer tipo, como em semicondutores, chaves e pontos de solda, e está sempre associado a passagem de corrente elétrica. A equação 8.3 mostra a intensidade da corrente que modela este ruído. If RMS = K M I CC B (8.3) f onde KM é uma constante que depende do material, ICC é a corrente média em Amperes, B é banda passante em Hz e f é a frequência. Nota-se que o ruído de contato aumenta com a diminuição da frequência o que pode torná-lo preponderante nesta região, porém, se a corrente for mantida baixa o ruído térmico pode ser tornar dominante. A Figura 8.2 mostra a aparência deste ruído no osciloscópio. Para dois resistores de kω, um de carbono e outro de fio, o ruído térmico é o mesmo e proporcional a resistência. Porém, com a passagem de corrente elétrica o resistor de carbono apresenta mais ruído que o resistor de fio devido a variação de condutividade no contato imperfeito do resistor. Figura 8.2: Aparência do ruído /f no osciloscópio. 8.4 Soma de ruídos Várias são as fontes de ruído e todas podem estar presentes ao mesmo tempo em um mesmo circuito. Quando isto ocorre e os ruídos não são correlacionados, ou seja, são independentes, a soma das fontes de ruído produz uma potência total que é igual a soma da potência de cada fonte, de acordo com a equação 8.4. Em outras palavras o ruído RMS total é obtido pela raiz quadrada da soma dos quadrados dos demais ruídos RMS (8.5). Isto acontece porque o valor RMS de um ruído de média zero corresponde ao desvio padrão da sua distribuição de probabilidade (Figura 8.3) e ruído nada mais é do que uma incerteza. Algumas vezes, entretanto, é mais fácil obter o valor pico a pico do ruído. Nestes casos, é comum dividir este valor por 6 para se obter uma informação RMS de corrente ou tensão (Figura 8.3). Figura 8.3: Relação entre ruído de pico a pico e RMS. 90

191 P Tot =P + P P n (8.4) V Tot ( RMS )= V 2 RMS +V 22 RMS +...+V 2nRMS (8.5) 8.5 Espectro de ruído Para outros dispositivos ou amplificadores um gráfico de ruído equivalente pode ser construído com auxílio de filtros passa faixa sintonizados ou de processamento digital de sinais. A representação do ruído sempre é feita no domínio da frequência. A curva de tensão e corrente de ruído para um AO típico é mostrada na Figura 8.4. Nota-se as unidades nv/ Hz e pa/ Hz para cada frequência específica. Se desejarmos conhecer o ruído para uma faixa de frequências basta integrar este ruído na faixa de frequência desejada. Observe também que há um ruído /f preponderante para as baixas frequências, mas que fica praticamente constante a partir da chamada frequência de corte. Quando a faixa de interesse não inclui a frequência de corte, ou é três décadas maior que ela, o efeito deste ruído de baixa frequência pode ser desprezado. Quando esta faixa for importante a integral pode ser calculada como V N (RMS )=V Nplano f NC ln ( ) f Máx +( f Máx f f Min Min (8.6) ) onde fmáx e fmin são as frequências máximas e mínimas da faixa de interesse, VNplano a tensão de ruído na faixa plana, e fnc a frequência de corte do ruído /f. Se fnc não for dada ou não puder ser obtida pelo gráfico ela pode ser calculada como f NC (V = 2 N ( f ) f = fx V Nplano fx 2 V ) (8.7) 2 Nplano onde VN(f) é uma tensão de ruído na região /f para uma frequência fx. Figura 8.4: Corrente e tensão de ruído para um AO típico (National, AN 04, May 974). 9

192 Na faixa plana a integral apresentada corresponde a um retângulo, mas como os filtros destas bandas de frequência não são ideais, é necessário aplicar uma correção aos valores calculados. Para filtros de primeira ordem é necessário multiplicar o resultado por,57. Para filtros de segunda, terceira e quarta ordem os multiplicadores são,,,05 e,025 respectivamente. Exemplo: Calcular o ruído total equivalente na entrada de um amplificador cujo espectro de ruído é apresentado na Figura 8.4 e que esteja operando na faixa de 0 Hz até 0 khz. [(0 nv / Hz ) (9,5 nv / Hz ) ] 0 2 f NC 2 (9,5 nv / Hz ) 2 V N (RMS )=9,5 nv / Hz 330 ln ( =330 Hz ) ( )=,35μ V 0 Exemplo: Mostrar que a integral do ruído branco (vn) numa banda determinada por um filtro passa baixas de primeira ordem é equivalente a integral de um retângulo nesta mesma banda multiplicada por,57. v Ntot = f2 v N 2 f v Ntot =v N RMS 0 2 df + j 2 π f R C df 2 + ( 2 π f R C ) v Ntot =v N [ tan ( 2 π f %R C ) ] 0 2 ( 2 π R C ) v Ntot =v N [ tan ( 2 π f %R C ) ] 0 2 ( 2 π R C ) RMS RMS v Ntot =v N RMS π 2 ( 2 π R C ) 2 onde vnrms é o ruído em V/ Hz e a banda de integração corresponde a frequência de corte do filtro multiplicada por, Equivalente Elétrico Todos os ruídos apresentados podem ser modelados por fontes de tensão ou corrente associadas ao elemento gerador de ruído. Um resistor, por exemplo, será representado por uma associação série entre o resistor e uma fonte de ruído térmico. Para os circuitos mais complexos e amplificadores operacionais as tensões e correntes de ruído são inseridas nas entradas do circuito, como as fontes de tensão de offset e correntes de polarização dos AO. A Figura 8.5 mostra estes modelos para um amplificador operacional. 92

193 Figura 8.5: Modelo do AO com fontes de ruído. 8.7 Razão sinal ruído e figura de ruído Para avaliação da qualidade de um sinal também se utiliza a chamada razão sinal ruído (SNR), definida conforme equação 8.8. Quanto maior a razão SNR melhor a qualidade do sinal. SNR=20 log ( v Sinal v Ruído RMS RMS ) (8.8) Já a figura de ruído corresponde a razão entre as SNR na entrada do amplificador (como se ele não existisse) e na sua saída. Note que para esta medida é importante que os valores da impedância da fonte de entrada (o gerador de sinais) sejam consideradas. NF =0 log NF =0 log NF =0 log ( ) SNR in SNR out (8.9) ( Sinal in Ruídoout Sinal out Ruído in ) (8.0) ( Sinal in Av V 2NA ) (8.) Sinal in Av V 2NS onde Av é o ganho de tensão do amplificador, VNA é a tensão de ruído total na entrada do amplificador, VNS é a tensão de ruído da fonte. NF =0 log NF =0 log ( ( ) V 2NA (8.2) V 2NS v 2T +v 2N +i 2N R S V 2NS ) (8.3) Exemplo: Para o amplificador cuja tensão e corrente de ruído são apresentadas na Figura 8.4, supondo que ele está conectado a um gerador com impedância de 2 kω (National Semiconductor, Application Note 04, May 974). a) Calcular o ruído equivalente total na entrada do amplificador operando a khz (por unidade de frequência); b) Calcular o ruído equivalente total na entrada do amplificador operando entre khz e 0 khz; c) Calcular a relação sinal ruído na entrada do amplificador, supondo que o sinal do gerador possui apenas 4 mvrms. 93

194 a) No resistor da fonte (para Hz de banda): V T = 4 k T R B=5,7 nv/ Hz Da Figura 8.4 vem que v N khz =9,5nV / Hz i N khz =0,68 pa/ Hz V TN = v 2N +v 2T +i 2n R 2S =,6 nv / Hz b) V TN =,6[nV / Hz] 0 khz khz=,μ V RMS c) SNR=20 log ( ) VS =7 db V TN 8.8 Tabela de erros Como a análise realizada neste capítulo sempre trata de tensões e correntes muito pequenas nem sempre é fácil ter uma noção clara da ordem de grandeza dos erros que estão sendo discutidos. Em sistemas digitais, a resolução de equipamentos é sempre mais facilmente compreendida pois a medida é quantizada em um número finito de possibilidades. Nesta secção é calculado o erro total em um sistema de aquisição de sinais com medida em ponte e o resultado é comparado com a resolução equivalente de um AD, de forma que fique mais simples de se entender as preocupações apresentadas anteriormente. O problema original está em In-Amp Bridge Circuit Error Budget Analysis e consiste em determinar os erros (ou incertezas) de uma circuito composto por uma ponte de Wheatstone ligada ao amplificador de instrumentação AD620B. A saída amplificador é conectada a um conversor AD e deseja-se saber qual a resolução do conversor para que a saída fique estável. Figura 8.6: Circuito de medida em ponte. 94

195 Neste exemplo a impedância equivalente da ponte é de 350 Ω com saída máxima de 00 mv e excitação de 0 V. O ganho do amplificador de instrumentação foi programado para ser de 00 vezes (para produzir um sinal de saída de 0 V). As especificações do AD620 para 25 são vos=55 μv, ios=0,5 na, erro de ganho igual a 0,5%, não linearidade de 40 ppm, ruído de 0, até 0 Hz de 280 nvpp e CMR=20 db em 60 Hz. Com estes dados é possível montar uma tabela de erros e incertezas (Tabela 8.) Tabela 8.: Tabela de erros para o amplificador de instrumentação ligado na ponte de Wheatstone Parâmetro Cálculo Contribuição Compensar vos 55 V / 00 mv 550 ppm sim ios (350 Ω 0,5 na) / 00 mv,8 ppm sim Erro de ganho 0,5%.500 ppm sim Erro de CMR 20 db: ( ppm 5 V) / 00 mv 50 ppm sim Ruído (0, até 0 Hz) 280 nv / 00 mv 2,8 ppm não Erro de linearidade 40 ppm 40 ppm não Erro total (pior caso) 9 bits exatidão 2.45 ppm (tudo) Erro total (melhor caso) 4 bits exatidão 42 ppm (linearidade+ruído) Observa-se que foi calculado o erro de CMR para o sinal de modo comum em CC (obtido na ponte alimentada com 0 V). Este erro resulta em um offset na saída do amplificador. Não foi calculado quanto pode resultar de ruído de 60 Hz devido ao CMR do amplificador. Observa-se também que todos os erros de offset ou ganho podem ser compensados mas os erros relativos a ruído e não linearidade do amplificador não. Assim, todos os erros que podem ser compensados são usados para a estimativa do pior caso, mas não do melhor. A soma das incertezas foi feita de forma direta considerando-se apenas a sua contribuição relativa. Esta é uma forma simples que superestima os erros e pode ser considerada como uma estimativa do erro limite. 95

196 9 Componentes Passivos Neste capítulo são apresentadas as características reais de resistores, capacitores e indutores e como eles podem influenciar no desempenho de circuitos. O texto apresentado aqui tem como base os exemplos e descrições contidas em Hardware and Housekeeping Techniques da Analog Devices e são apresentados os problemas mais comuns envolvendo o uso de resistores e indutores e capacitores. O livro Linear Circuit Design Handbook da Analog Devices também apresenta as mesmas informações.. 9. Resistores e potenciômetros Resistores e potenciômetros podem ser feitos, entre outros, de compósitos de carbono, filmes de carbono, metal, filme metálico e fios (indutivos e não indutivos). A Tabela 9. mostra uma comparação entre alguns tipos. Bons textos sobre resistores, falando sobre suas características e parâmetros pode ser obtido na Vishay e são o Resistors 0, How to select resistors e o How to select resistors for precision applications. Tabela 9.: Comparação entre tipos de resistores (Linear Circuit Design Handbook, 2008) 96

197 9.. Efeitos térmicos Resistores reais são sensíveis a variação de temperatura o que pode alterar ganhos e aumentar a propagação de erros. Os efeitos destas variações podem ser facilmente percebidos com o uso de exemplos simples, como a escolha de resistores para um amplificador não inversor de ganho 00. G=+ R R2 (9.) onde R=9,9 kω, ¼ W com TC=25 ppm/ e R2=00 Ω, ¼ W com TC=50 ppm/. Neste exemplo, uma variação de 0 leva a erros da ordem de 250 ppm/ (dez vezes a diferença entre os TC). Observe que isto é equivalente a LSB em um conversor de 2 bits. O uso de resistores com TC iguais não significa que este problema está resolvido uma vez que alguns resistores, como os de compósito de carbono, podem ter coeficientes térmicos bem elevados com TC=.500 ppm/ ou mais. Nestes casos qualquer pequena diferença nos TC pode ser significativa e mesmo uma variação de % nestes TC resulta em uma diferença de 5 ppm/. O autoaquecimento também pode ser um problema. Para o mesmo ganho do exemplo anterior, considerando que os dois TC são iguais a 25 ppm/, quando a saída chegar a 0 V a dissipação em R é de 9,9 mw e a de R2 é de 0, mw. Se a resistência térmica destes resistores é de 25 /W, então R aquece,24 e R2 aquece 0,025. Isto resulta em uma diferença de 3 ppm no ganho, o que pode levar a um erro de ½ LSB num AD de 4 bits. Este autoaquecimento pode causar efeitos de não linearidades ainda piores se o ganho for elevado. Neste caso o melhor a fazer é dividir o ganho em mais de um estágio e usar resistores com resistência térmica menor (resistores de maior potência). Para o caso de resistores de pequeno valor (<0 Ω) o vilão pode ser a resistência de trilhas, fios e interconexões, que passam a ter valor não desprezível. Ademais, o TC do cobre, por exemplo, é de aproximadamente 3900 ppm/, e mesmo que o resistor utilizado tenha TC baixo, o TC do cobre adicionando resistência ao circuito faz com que o TC equivalente seja muito maior do que o do resistor. Para piorar ainda mais as coisas o TC dos resistores e o próprio valor das resistências pode mudar após vários ciclos de calor e frio. O valor dos resistores também pode mudar com a tensão aplicada por razões completamente diferentes do autoaquecimento Elementos parasitas Resistores apresentam capacitâncias e indutâncias parasitas que podem ser pronunciadas em altas frequências (Figura 9.). Estes elementos parasitas são expressos em termos de erro percentual da impedância com relação a resistência em CC. Os resistores de fios são aqueles que apresentam os maiores erros. Mesmo para os resistores ditos não indutivos pode ser encontrada indutância de 20 μh para valores menores que 0 kω, e 5 pf para resistores com mais de 0 kω. Estas características levam ao surgimento de oscilações e aumento no tempo de estabilização para respostas ao degrau, ou seja, alterações dinâmicas associadas a resposta em frequência. Efeitos termoelétricos também podem ser importantes. Resistores de fio enrolado podem gerar 2 μv/, este número sobe para 20 μv/ em resistores de filme metálico comuns, ou 400 μv/ para resistores de carbono. Mesmo assim isto não costuma ser um problema muito grande pois as tensões de cada terminal tendem a se cancelar se a temperatura nos terminais for a mesma. Isto, entretanto, nem sempre acontece e vai depender da forma e local onde os componentes estão conectados. Por exemplo, componentes deitados sobre a placa tendem a apresentar a mesma 97

198 temperatura em ambos os terminais, mas isto pode não ser verdadeiro caso os resistores sejam colocadas na vertical como na Figura 9.2. Figura 9.: Modelo de resistor de filmes finos para frequências acima de 0, GHz. Os componentes R, L e C representam o resistor enquanto que LG e CG representam as interconexões. Figura 9.2: Efeitos termoelétricos e distribuição de calor nos terminais de resistores Falhas, variação com o tempo e ruído Resistores podem queimar e abrir (filme de carbono) ou queimar e curto-circuitar (filme metálico). Os resistores podem mudar com o tempo (ppm/ano) sendo necessário realizar ciclos de aquecimento até a estabilização (resistores de metal filme precisam de 4 a horas para estabilizar). O ruido gerado pelos resistores não necessariamente é o mesmo uma vez que alguns resistores também apresentam ruído /f. Os resistores menos ruidosos são os de filme de carbono, metal filme e fios Potenciômetros Quanto ao uso de potenciômetros e trim-pots estes podem se danificar com poeira, solventes, umidade e uso, além de adicionarem ruído de contato ao circuito. De um modo geral o uso destes componentes deve ser evitado ou minimizado e seu uso pode ser substituído por potenciômetros digitais ou arranjos com conversores DA. Estas soluções evitam os problemas mecânicos e permitem o ajuste automático dos componentes em circuitos realimentados. Alguns autores recomendam que o uso de potenciômetros seja usado com infinito cuidado e ajustado em faixa infinitesimal para evitar infinita frustração. 9.2 Indutores Indutores não são componentes comuns em circuitos eletrônicos nem em instrumentação pois, na prática, estão longe de se comportar como seu modelo ideal e não são fáceis de fabricar com dimensões reduzidas e estáveis (de um modo geral só são comercializadas indutâncias estáveis e pequenas com valores de alguns nh até alguns μh). Mesmo assim os indutores são componentes importantes em fontes de alimentação, filtros (incluindo filtro contra EMI), bobinas 98

199 choke, casamento de impedância e osciladores. Para caracterizar bem os indutores atuais, pontuando as diferentes tecnologias e nomenclaturas empregadas, a Vishay disponibiliza dois bons textos, o Inductors 0, e o Inductor and Magnetic Product Terminology. Para se obter indutâncias maiores em um espaço menor é comum o uso de núcleos magnéticos de ferro, ferrite, cerâmicas, mumetal, permalloy entre outros, porém estes materiais podem saturam, tornando o indutor um elemento não linear. Adicionalmente a temperatura também apresenta efeitos sobre os núcleos alterando as suas propriedades. As espiras dos indutores se comportam como placas condutoras paralelas, conferindo ao indutor características capacitivas. Como consequência o indutor real pode oscilar e apresenta como um dos parâmetros de manual uma frequência de ressonância. Completando o cenário, os fios que formam o indutor apresentam resistência não nula, nem sempre desprezível, e que, por efeito skin, pode variar com a frequência. Indutores nunca terão impedância (paralela) elevada (MΩ) pois a resistência da bobina e a capacitância parasita vão limitar estes valores. Desta forma o Q dos indutores nunca é muito alto e vai limitar o Q de circuitos sintonizados a valores em torno de 00, enquanto ressonadores cerâmicos podem chegar a.000 e cristais a ou mais. Esta limitação na seletividade, entretanto, não é necessariamente ruim. Núcleos e braçadeiras de ferrite (ferrite beads) usados para filtros, por exemplo, apresentam baixo Q e por isso podem atuar eliminando interferências em uma ampla banda de frequências. 9.3 Capacitores Capacitores reais são produzidos com os mais variados dielétricos e, por isso, apresentam características distintas tanto no que diz respeito ao valor da capacitância, a faixa de frequência em que podem ser utilizados, a tensão de funcionamento e outros. Assim, capacitores reais estão longe do ideal. A Figura 9.3 apresenta um modelo equivalente para capacitores, e a Tabela 9.2 mostra uma comparação entre capacitores de diferentes dielétricos. Outras tabelas comparativas podem ser obtidas nas páginas dos fabricantes como a AVX e a HolyStone. Na Figura 9.3 C é o capacitor, Rp modela as perdas, ESR é a resistência de terminais e placas, ESL modela a indutância de terminais e placas, RDA-CDA modela a absorção dielétrica (DA). Figura 9.3: Modelo de um capacitor real. C é o capacitor, Rp são perdas no dielétrico, R DA e CDA representam a absorção dielétrica (efeitos de polarização do dielétrico), ESR e ESL a resistência e a indutância de terminais e placas. 99

200 Tabela 9.2: Comparação entre capacitores (Linear Circuit Design Handbook, 2008) 9.3. Absorção Dielétrica A absorção dielétrica está associada a polarização do dielétrico. Capacitores que ficam muito tempo carregados polarizam o dielétrico. Isto causa uma espécie de histerese ou efeito memória no capacitor. Considerando que o modelo apresentado (Figura 9.3) está correto e que o capacitor está carregado, parte da carga é armazenada em C e parte em CDA. Mesmo depois de curto-circuitar os terminais do capacitor e esperar que a tensão em seus terminais caia a zero não é possível garantir que a tensão sobre CDA será nula (há uma constante de tempo associada a esta descarga). Isto significa que, ao abrir os terminais do capacitor, uma tensão residual pode aparecer em seus terminais. O efeito pode ser visualizado na Figura

201 Figura 9.4: Efeitos da absorção dielétrica em capacitores. Este problema pode ser importante em integradores e comparadores além de ser responsável pelo surgimento de offset ou não linearidades em conversores tensão frequência. Também podem resultar em erros na tensão armazenada em amostradores (sample and hold) quando há troca de canais com tensões muito diferentes, filtros e sistemas de controle (elevada constante de tempo vários ms ou mais). A solução para este problema passa pelo uso de capacitores de boa qualidade (deve se evitar o uso de capacitores cujo fabricante não informa a DA) ou sistemas realimentados com autozero. Na Tabela 9.3 são apresentados valores de DA típicos para alguns capacitores. Tabela 9.3: Absorção dielétrica para alguns tipos de capacitores. Material do dielétrico Absorção Dielétrica Teflon, poliestireno, polipropileno 0,02% Cerâmica 0,2% - 0,6% Mica, vidro 5% Eletrolítico, tântalo 0% Um erro de 0,2% representa um erro de ½ LSB em conversores AD de 8 bits Elementos parasitas (Rp, ESR e ESL) Todos os elementos parasitas dos capacitores são informados pelos fabricantes. As perdas que são modeladas pela resistência Rp costumam ser informadas pelo nome IR (insulation resistance). Normalmente esta resistência é dependente da tensão de alimentação e pode ser informada tanto como um valor de resistência quanto como uma contante de tempo (produto Rp C). Estes valores podem variar de s para capacitores eletrolíticos até milhões de segundos para capacitores de teflon, poliestireno e polipropileno. Isto significa que mesmo desconectado o capacitor carregado pode descarregar em poucos segundos ou vários dias. Na Tabela 9.4 são apresentadas as constantes de tempos típicas para alguns capacitores. A indutância e a resistência de terminais e placas (ESL e RSL), por outro lado, afetam diretamente o comportamento da resposta em frequência do capacitor. Assim, capacitores com diferentes dielétricos e processos de fabricação serão recomendados para diferentes faixas de frequência. Na Figura 9.5 observa-se o comportamento em frequência de dois capacitores produzidos por processos diferentes. Para baixas frequências os capacitores se comportam como tal, mas para altas frequências o capacitor se comporta como um indutor e para uma frequência intermediaria apresenta ressonância série com impedância limitada ao valor de RSL. 20

202 Tabela 9.4: Constante de tempo para alguns tipos de capacitores. Material do dielétrico Constante de Tempo Eletrolítico s Cerâmica 00 s Vidro.000 s Teflon e poliestireno e polipropileno s Figura 9.5: Resposta em frequências para dois tipos diferentes de capacitores. É este comportamento que restringe o uso de capacitores para frequências elevadas. De um modo geral, capacitores eletrolíticos, de tântalo ou construídos com placas e dielétricos enrolados apresentam ESL elevada e limitação maior de frequência. Por está razão é comum ver circuitos onde um pequeno capacitor ( 00 nf) é colocado em paralelo com grandes capacitores eletrolíticos ou de tântalo ( 0 μf). Este pequeno capacitor tem função apenas em frequências elevadas, evitando que o circuito apresente característica marcadamente indutiva. Na Figura 9.6 são apresentadas as faixas de uso para diferentes tipos de capacitor. Todos estes elementos parasitas (ESR, ESL e Rp) são apresentados de forma conjunto por meio de um parâmetro conhecido como fator de dissipação (DF). O DF é definido pela razão entre resistências e reatâncias, ou seja, é um parâmetro que mede a ineficiência do capacitor relacionando a energia perdida com a energia armazenada. Como uma aproximação Q /DF Tolerância Adicionalmente, a obtenção de capacitores de precisão não é fácil. Sob demanda é possível encontrar capacitores com tolerância de 0,5 ou % (cerâmica NP0, alguns filmes finos) mas valores comuns estão entre 5 e 0%. A temperatura e a frequência também influenciam a capacitância, a DF e a DA. Coeficientes térmicos da ordem de 30 ppm/ (cerâmica NP0) e de 00 a 200 ppm/ são comuns (poliestireno e polipropileno). A faixa de operação também varia muito. Alguns capacitores de filmes finos funcionam até 85 enquanto que os de teflon funcionam até

203 Figura 9.6: Faixa de utilização de diferentes tipos de capacitores. 203

204 20 Condicionamento para sensores autogeradores Sensores autogeradores são bem diferente dos sensores resistivos ou reativos que basicamente requerem medidas de impedância. Estes sensores têm características muito variadas que vão desde o caso onde o sensor é basicamente uma fonte de tensão com baixa impedância de saída e operam em baixas frequências, até os casos onde os sensores apresentam impedância de saída bastante elevada e requerem amplificadores de banda larga. Neste capítulo são apresentadas algumas características importantes para o condicionamento de sinais destes sensores empregando exemplos numéricos para ajudar a esclarecer aspectos importantes. Basicamente é dada atenção as questões de offset e drif, importante para os sensores termoelétricos, e as questões relativas aos eletrômetros, amplificadores especiais com impedância de entrada que podem chegar a alguns TΩ e apresentam correntes de polarização inferiores a pa. Os eletrômetros são importantes para sensores de alta impedância, mas o nome pode ser usado para determinar um tipo de AO ou uma configuração de amplificação de tensão. 20. Offset e drift em amplificadores operacionais Idealmente a saída de um amplificador é zero quando a sua entrada também é zero, mas isto não acontece na prática devido as inúmeras fontes de erro ou simplificações que são feitas para o modelo ideal do amplificador. A Figura 20. mostra um amplificador inversor com suas fontes de tensão de offset e correntes de polarização. Considerando, também, que o AO apresenta resposta em frequência equivalente a um polo simples, então [ v o= ( ) ( )] R2 R2 R2 v in + + v os +i BN R 2 i BP R 3 + R R R + Ad β (20.) onde R representa a soma da resistência de entrada do amplificador com a resistência da fonte, β=r/(r+r2), Ad=Ad0 ωa/(s+ωa). Figura 20.: Amplificador não inversor e fontes de erro. Em baixas frequências o ganho do amplificador é tão grande que a parcela fora dos colchetes pode ser desconsiderada, porém, em altas frequências ela limita a banda de passagem do 204

205 AO. Se as fontes que representam as correntes de polarização estivessem representando correntes de ruído então quanto maior o ganho maior seria o ruído na saída do amplificador. A resistência R3, que a primeira vista não tem nenhuma utilidade, se for escolhida de tal forma que R3=R//R2 reduz os erros, na saída do AO, devido as correntes de polarização. [ v o= ( ) ] R2 R v in v os +i os R R + Ad β (20.2) onde ios é a diferença entre as correntes de polarização. Para o amplificador não inversor valem as mesmas considerações. Neste caso os resistores R e R2 devem ser escolhidos para minimizar os efeitos das correntes de polarização (Rfonte=R//R2 ). Alternativamente é possível adicionar um resistor onde está a fonte de vos com valor Rx=Rfonte-R//R2). Isto é feito para balancear a impedância vista pelo AO em cada entrada e reduzir o efeito das correntes de polarização. Em aplicações de alta frequência ou banda larga pode ser interessante usar capacitores em paralelo com estes resistores para filtrar o ruído térmico. Para reduzir os efeitos de ios e vos é necessário escolher apropriadamente o amplificador operacional. Via de regra amplificadores com tecnologia bipolar na entrada apresentam tensões de offset e drif menores, amplificadores com entrada FET tem as menores correntes de polarização e offset, e amplificadores com entrada CMOS tem baixa corrente de polarização, mas drif elevado, principalmente em altas temperaturas. Correntes de polarização e tensões de offset dependem da tensão de alimentação e tensões de modo comum. Amplificadores bipolares comuns apresentam correntes de offset que podem ser 0 vezes menores que as correntes de polarização, mas amplificadores ajustados de fábrica para apresentarem correntes de polarização pequena podem apresentar correntes de offset da mesma ordem de grandeza. Alguns amplificadores apresentam terminais para compensar o offset. Muitas vezes esta compensação leva a um aumento no drif da ordem de 3 ou 4 μv/ em operacionais com entrada bipolar, então o manual deve ser lido antes que este recurso seja utilizado. Se o drif piorar com este ajuste de offset pode ser necessário usar circuitos externos para cancelar tal offset, o que leva a circuitos somadores de tensão com o uso de potenciômetros. Amplificadores de baixo drif podem ser obtidos com amplificadores monolíticos especiais ou com amplificadores chopper ou de autozero (ser seção 6.6). Contatos de metais diferentes em diferentes temperaturas devem ser evitados. Sensores com sinais de baixa tensão devem ser soldados diretamente nas placas evitando ruídos de contato ou termoelétricos Eletrômetros, amplificadores de trans impedância e de carga Sensores de elevada impedância requerem o uso de condicionadores de sinais especiais chamados eletrômetros. Estes são circuitos apropriados para sinais em corrente ou sensores de alta impedância, como sensores piezoelétricos (acelerômetros, hidrofones, ), medidores de umidade, ph, sensores químicos, detectores de fumaça, CCD e outros. Dependendo da fonte podem ser empregados amplificadores de trans condutância (conversores de corrente em tensão), amplificadores de carga ou amplificadores de tensão. Exemplos destes amplificadores são apresentados nas próximas seções e focam em um ou outro sensor específico, mas as considerações podem ser generalizadas para os demais sensores com características semelhantes. 205

206 20.2. Amplificador para fotodiodo no modo fotovoltaico Nesta seção é apresentado um amplificador de transcondutância para sensores de alta impedância de saída. São discutidos aspectos de ganho, faixa de passagem, ruído, técnicas de blindagem, compensação em frequência e escolha dos componentes. Todos os assuntos são abordados em um exemplo prático com valores numéricos apresentado no texto Sensor signal conditioning da Analog Devices. Um fotodiodo ligado a um amplificador operacional no modo fotovoltaico é apresentado na Figura Para este circuito, considera-se que o diodo seja o SD , cuja impedância pode ser modelada por um circuito RC paralelo com Rsh= 25 e Cj=50 pf. Deseja-se amplificar correntes de 30 pa até 0 na (iluminação de de 0,00 fc até 0,3 fc seção 7.3). Para correntes de entrada tão baixas o ganho deve ser muito elevado. O maior valor prático de resistência para o amplificador é de.000 MΩ. Isto faz a tensão de saída variar entre 30 mv e 0 V o que corresponde a uma variação de 60 db com apenas um estágio de ganho. Figura 20.2: Amplificador para fotodiodo no modo fotovoltaico e seu modelo equivalente. O resistor elevado, entretanto traz alguns problemas. O primeiro é a quantidade significativa de ruído térmico. Esta, entretanto, é uma configuração que não pode ser evitada. Caso o ganho total seja dividido em dois estágios, dividindo o resistor de realimentação por dois, o ganho fica dividido linearmente mas o ruído térmico diminui de apenas 2. A divisão do ganho em dois estágios é, portanto, pior que o uso deste resistor de valor elevado. Dividir este resistor em dois ligados em série resultaria no mesmo ruído térmico e usando uma malha de realimentação em T com resistores de menor valor resultaria (geralmente) em um ganho maior para o ruído devido a configuração da malha. Por estas razões a configuração apresentada costuma ser a configuração indicada na maioria das vezes. A escolha do operacional também deve ser criteriosa. Bons amplificadores bipolares como o OP07 apresentam VOS muito baixo, mas as correntes de polarização são muito maiores que as correntes do fotodiodo. O OP07, por exemplo, tem VOS=0 μv e IB=4.000 pa! Mesmo um OP97 (superbeta com compensação de IB) tem IB=00 pa. Ainda é um valor elevado, mas a corrente de polarização é insensível a variações de temperatura, enquanto nos amplificadores FET IB dobra para cada 0. Então, em função das correntes de entrada muito baixas devemos escolher um amplificador operacional adequado para este condicionador. A Tabela 20. apresenta alguns possíveis amplificadores JFET, o que é uma boa escolha se a temperatura não variar muito durante a medida. Os amplificadores AD são BiFET de canal P com entrada JFET e transistores bipolares para as demais etapas de amplificação. O OPA é de tecnologia Difet. Estes amplificadores apresentam correntes de entrada muito baixa o que é necessário para o projeto, mas, mesmo assim, seu uso requer atenção especial. 206

207 Para entender o que significa uma corrente de alguns pa basta estudar as correntes em uma PCB (placa de circuito impresso). A isolação entre duas trilhas paralelas de 2,54 cm de comprimento, afastadas de 2,7 mm em uma placa limpa de epóxi e vidro, é de aproximadamente 0 Ω a 25. Se 5 V forem aplicados a estas duas trilhas circula pela placa uma corrente de 50 pa. Por esta razão é necessário dedicar muita atenção a montagem deste circuito. A placa de circuito impresso deve ser de boa qualidade (vidro e epóxi) sem resíduos, limpa, selada contra umidade. Cabos e conexões até o sensor devem ser curtos e de baixa capacitância ou elas devem ser modeladas com o sensor. A resistência de interconexão deve ser elevada, feita com blocos maciços de teflon, ou as trilhas da PCB, que levam às entradas inversora e não inversora, devem ser protegidas com um circuito de guarda (Figura 20.3) permanecendo distantes das tensões de alimentação e ajuste de offset. Tabela 20.: Comparação entre amplificadores para o condicionador de sinais AO VOS MÁX TC VOS típico IB Máx Ruído 0-0 Hz Encapsulamento AD549K 250 μv 5 μv/ 00 fa 4 μvpp TO99 AD795K 250 μv 3 μv/ pa 2,5 μvpp TO99 e DIP AD795JR 500 μv 3 μv/ 3 pa μvpp SOIC AD μv 2 μv/ 0 pa 2 μvpp SOIC e DIP OPA μv 0 μv/ 00 fa 4 μvpp TO99 Figura 20.3: Conexão direta entre terminais do sensor e do amplificador e circuitos de guarda. Package N é um encapsulamento DIP e package R é um encapsulamento SOIC. O encapsulamento circular é o TO99 selado com vidro. 207

208 O circuito de guarda evita que correntes de fuga fluam pela PCB em direção as entradas inversora e não inversora contaminando a medida. A guarda é um pouco mais difícil de ser feita em encapsulamento SOIC, mas, mesmo assim, é possível obter resultados razoáveis com o layout apresentado (Figura 20.3). Para o integrado escolhido (AD795JR) os pinos, 5 e 8 não são conectados, mas podem ser utilizados para ajudar a criar o circuito de guarda. Mesmo assim na configuração não inversora o circuito de guarda envolve a tensão de alimentação e os resultados da guarda podem não ser satisfatórios. Se isto ocorrer é possível usar outros integrados, como o AD549K, que tem encapsulamento TO99. O TO99 permite que o circuito de guarda seja feito em torno dos pinos de entrada envolvendo-os completamente. Outra opção é o uso de isolador e conexão direta entre o sensor e os terminais do amplificador (Figura 20.3). Este isolador é obrigatório para amplificadores onde a ordem de grandeza de IB é de fa. O isolador deve ser de teflon sem uso, limpo e sólido. Para minimizar ainda mais as correntes de fuga todo o circuito pode ser blindado com metal aterrado para evitar a contaminação com sinais parasitas. No que diz respeito ao circuito, o resistor de realimentação deve ser especial (filmes finos, cerâmica ou vidro como isolante) com baixa tolerância (% ou menos) e coeficiente térmico (TC 50 ppm/ ). Se for utilizado um capacitor em paralelo com este resistor, para filtrar altas frequências, este capacitor deve ter baixas perdas no dielétrico (teflon, polipropileno ou poliestireno, por exemplo). A tensão de offset e as correntes de polarização podem ter um efeito importante na saída do amplificador para fotodiodo no modo fotovoltaico. Os efeitos destas fontes e as características não ideais do fotodiodo são apresentadas na Figura O fotodiodo utilizado para o exemplo é o mesmo (SD , Cj=50 pf e Rsh= GΩ). Figura 20.4: Influência da tensão de offset e correntes de polarização no amplificador para fotodiodo no modo fotovoltaico. Com uma variação de temperatura de 70 há uma alteração grande da tensão devido a IB, na saída do AO e nos valores de Rsh com consequente variação do ganho. Isto ocorre pois para um AO com entrada FET a corrente de polarização IB dobra para cada 0, e para o fotodiodo a resistência Rsh cai a metade para cada aumento de 0 na temperatura. Isto significa que se Rsh=.000 MΩ em 25 ele será de 43 MΩ em 70. O ganho para VOS, que é de 2 em 25 (+ R/Rsh) passa para 24 em 70. A tensão de saída devido a IB (R IB), passa de 3 mv para 72 mv. A compensação de IB com um resistor RX=Rsh//R (da entrada positiva para o terra) poderia ser feita, mas como Rsh varia com a temperatura, esta compensação não tem efeito. Além do mais a tensão sobre RX polariza o fotodiodo no modo fotovoltaico aumentando a não linearidade do 208

209 sensor. A presença de RX também introduz mais uma parcela de ruído térmico no sistema. Por todas estas razões este resistor normalmente não é utilizado neste circuito. Os erros devidos a VOS e IB são apresentados na Tabela Observa-se que os erros mais importantes se devem especificamente a IB, principalmente para temperaturas acima da temperatura ambiente. Tabela 20.2: Erros de offset para o amplificador com AD795K VOS 0,325 mv 0,250 mv 0,325 mv 0,385 mv Ganho (ruído), VOS Saída 0,358 mv 0,500 mv 2,28 mv 9,24 mv IB 0,2 pa,0 pa 6,0 pa 24 pa VIB 0,2 mv mv 6,0 mv 24 mv Erro Total 0,558 mv,50 mv 8,28 mv 33,24 mv Efeitos termoelétricos devem ser minimizados para este amplificador pois os valores de tensão gerados podem inviabilizar a medida. Um termopar formado pela interconexão de fios de cobre com Kovar (utilizado nos terminais dos encapsulamentos TO99) pode gerar tensões de aproximadamente 35 μv/ e termopares formados pela junção de cobre com solda pode gerar tensões de até 3 μv/. Nestes casos é necessário assegurar que os pontos de formação de termopares mantenham-se a mesma temperatura. Devido as elevadas impedâncias e baixa amplitude do sinal, é importante analisar a contribuição do ruído na medida e avaliar a SNR na saída do amplificador. No circuito, além da fonte de sinal existem as fontes de ruído térmico e do operacional (Figura 20.5). Figura 20.5: Fontes de ruído no amplificador para fotodiodo no modo fotovoltaico. O ruído de tensão do AO é amplificado com ganho GVN. 209

210 R R C S + G VN =+ Rsh Rsh Cj S + ( G VN = + )( τ D S + R Rsh τ S + (20.3) ) (20.4) onde τ D= Rsh R ( Cj +C ) Rsh +R (20.5) (20.6) τ=r C Para um circuito onde Rsh=.000 MΩ, R=.000 MΩ, Cj=50 pf, C=0 pf e o GB (produto ganho faixa) do amplificador é de MHz, o ganho do ruído em baixas frequências é 2, e em altas frequências é 6. O zero se localiza em 5,3 Hz e o polo em 6 Hz. A frequência de corte superior (fcl), limitada pelo ganho do amplificador, é de 67 khz. O capacitor C ajuda a estabilizar o circuito e reduz o ganho do ruído em altas frequências (Figura 20.6). Figura 20.6: Ganho em malha aberta do AO e para a tensão de ruído do AO. Para determinar a densidade de ruído na saída do AO em função do ruído que ele introduz no circuito é necessário utilizar as curvas de densidades de ruído do amplificador (Figura 20.7, a esquerda) e multiplicá-la pelo ganho GVN (Figura 20.8). V VN =V N G VN ( V IN =I N R R C S + (20.7) ) (20.8) 20

211 O efeito das demais fontes também deve ser calculado. A amplitude total de ruído na saída do amplificador pode ser estimada somando-se os efeitos de cada fonte em separado. Vale lembrar que a soma é feita com a raiz quadrado da soma dos quadrados (valor RMS de ruídos independentes). A tensão de ruído térmico dos resistores é de 4 μv/ Hz. Figura 20.7: Densidade de ruído para o AD795JR Figura 20.8: Contribuição de cada fonte de ruído na tensão de saída. ( )( V VTR = ( )( V VTRsh = V TR R =V TR R R C S + R C S + ) ( ) (20.9) V TRsh V Rsh R Rsh Cj S + = TRsh R Rsh Rsh Cj S + Rsh R C S + Rsh R C S + )( ) ( ) ( ) 2 (20.0)

212 ( ) R Rsh R C S + V Sinal = I Rsh Cj S + Rsh Rsh Cj S + ( ( V Sinal = I ) ) ( )( ) (20.) ( Rsh R Rsh Cj S + = I R Rsh Cj S + Rsh R C S + R C S + ) (20.2) A influência de cada componente sobre o ruído total na saída do amplificador é apresentada na Tabela As densidades de ruído foram integradas considerando que todas foram filtradas por um passa baixas de primeira ordem na frequência de corte (R C)-. Isto é verdade para todas as fontes de ruído com exceção de VN e IN. O ruído /f tem influência predominante até 2 Hz, mas, aceitando um pequeno erro de estimativa, pode ser considerado constante, pois a integração é feita até 67 khz. IN, por outro lado, aumenta para frequências acima de 50 khz, mas como o amplificador limita sua banda a (R C)- o erro desta aproximação também é pequeno. Assim, cada integral foi feita por retângulos, considerando o ruído constante na banda de passagem para cada fonte de ruído, e multiplicando o resultado por,57. A análise da Tabela 20.3 revela que a maior influência no ruído total de saída é do AO e se deve a ampla faixa de frequência para a qual ele é amplificado (muito maior que a frequência com que o sinal é amplificado). Mesmo assim este ruído é da mesma ordem de grandeza dos ruídos térmicos de cada resistor. Se o ruído do amplificador for reduzido a zero, o ruído na saída do operacional fica em torno de 28,5 μvrms. Isto é o que acontece se, após o amplificador, for introduzido um filtro passa baixas de primeira ordem (em 20 Hz). Se, por outro lado, a banda de passagem do sinal for reduzida (modificando o polo formado por R e C) pode-se conseguir o mesmo efeito de redução de ruído, porém as custas de uma redução significativa na banda de passagem. O aumento da banda, por outro lado, só pode ser conseguido com redução de C, mas valores abaixo de ou 2 pf estarão na mesma ordem de grandeza das capacitâncias parasitas. Tabela 20.3: Contribuição das fontes de ruído sobre a tensão de saída do condicionador Fonte de ruído Ruído na saída Integração (BW) Valor VN VN GVN,57 fcl 24,6 μvrms IN IN R2,57 (Banda do Sinal) 3 μvrms VTRsh VTRsh (R2/R),57 (Banda do Sinal) 20 μvrms VTR VTR,57 (Banda do Sinal) 20 μvrms Total 37,6 μvrms Para este circuito a faixa dinâmica ou razão sinal ruído é de 20 log(0v/37,6μv)=08 db. Outro bom texto sobre este tipo de amplificador e sua análise de ruído pode ser encontrado em Noise Analysis of FET Transimpedance Amplifiers da Burr Brown Condicionador para fotodiodo operando no modo fotocondutivo Fotodiodos utilizados em circuitos de alta velocidade devem preferencialmente operar no modo fotocondutivo (Figura 20.9). Neste modo as características do amplificador ficam significativamente diferentes das características obtidos no modo fotovoltaico. O diodo de alta 22

213 velocidade HP (um diodo PIN) cuja área também é de 0,2mm 2, apresenta Cj=4 0 V de polarização reversa, RSH=00 25 e corrente de escuro de V polarização reversa e máxima corrente de saída linear de 00 μa. Comparando com o modo fotovoltaico espera-se uma banda de passagem muito maior, a corrente no diodo é muito maior, a capacitância Cj é muito menor e a resistência RSH é muito maior, pois o diodo está polarizado reversamente. Isto impõe outras restrições ao circuito do condicionador de sinais. Figura 20.9: Amplificador para fotodiodo no modo fotocondutivo. A primeira coisa a observar é que apesar da polarização, do ponto de vista de sinal este amplificador é idêntico ao anterior, e todas as equações e gráficos apresentados antes continuam sendo válidas. Ajustes devem ser feitos apenas para os valores dos componentes, mas algumas considerações podem ser feitas por comparação com o modo fotovoltaico. Como a corrente é bem maior a resistência R é bem menor. A capacitância Cj é da ordem de grandeza da capacitância de entrada do AO e, por isso, as duas devem ser computadas juntas. A resistência Rsh é muito maior que R e na maioria das aplicações pode desconsiderada. A banda de frequências deve ser aumentada com a redução de R e C. O valor de R fica limitado pelo ganho requerido do circuito e o valor de C deve ser escolhido de forma a maximizar a banda, mas deve manter o circuito estável. Assim, as constantes de tempo 20.5 e 20.6 podem ser aproximados por τd=r Cj (considerando C bem menor do que Cj) e τ=r C. Figura 20.0: Ganhos de malha aberta e de ruído do amplificador operacional. A escolha do capacitor C pode ser feita na média geométrica entre fd e fu (frequência do zero definido por τd e a frequência de ganho unitário do AO). Esta escolha mantém o circuito estável com margem de ganho aproximada de 45º. 23

214 f = f f U C= (20.3) Cj 2 π R f u (20.4) A escolha do amplificador deve prever entrada FET (por causa das baixas correntes do sensor), capacitância de entrada (Cin) baixa (para não piorar a resposta do sensor) e frequência de ganho unitário elevada (GB ou fu). Uma boa figura de mérito é a razão entre GB e Cin. Na Tabela 20.4 são apresentados alguns possíveis amplificadores para esta tarefa. O AD823 apresenta a menor razão GB/Cin e se configura numa boa escolha. Tabela 20.4: Amplificador operacionais para o circuito de condicionamento do fotodiodo no modo fotocondutivo. AO GB (MHz) Cin (pf) GB/Cin IB (pa) VN (nv/ Hz) AD823 6,8 8,9 3 6 AD , AD ,5 2, AD OP42 0 6, AD745* ,9 AD795 8 AD ,8 0,7 2 3 ADA ,4 6, *AD745 é estável para ganho maior que 5 (normalmente este é o caso uma vez que o ganho de ruído em altas frequências é determinado por +Cj/C e, normalmente, Cj>4 C). Para compensar a corrente de escuro, é possível utilizar outro diodo com as mesmas características, porém ligado a entrada não inversora. A Figura 20. ilustra esta solução. Figura 20.: Circuito para compensação de corrente de escuro. 24

215 Considerando que se deseje um fundo de escala de 0 V para uma corrente de 00 μa, então R=00 kω. O AD823 possui fu=6 MHz e Cin=,8 pf que somada a capacitância de 4 pf do fotodiodo resulta numa capacitância Cj equivalente de 5 pf. Com estes valores fd=274 khz, C=0,76 pf e f=2, MHz. Capacitores cerâmicos variáveis podem ser utilizados para o ajuste final de C. Capacitores ligados em T também podem ser utilizados. O resistor R pode ser substituído por 3 resistores de filme de 33,3 kω, para reduzir capacitâncias parasitas. Para simetria do circuito R2 deve ser adicionado com o mesmo valor de R. O capacitor C2 filtra ruídos em R2, mas deve ter baixas perdas (polipropileno, por exemplo) Amplificadores de Carga Amplificadores de carga são aqueles onde a impedância de entrada é capacitiva e oferece impedância extremamente elevada para baixas frequências. Sua configuração básica consiste de um amplificador não inversor com um só capacitor de realimentação, responsável pelo ganho. Para polarizar o amplificador é necessário o uso de resistores em paralelo com o capacitor de ganho, mas o resistor tem apenas limita o ganho em CC e limita a banda de atuação do amplificador. A configuração final é muito semelhante à do amplificador de transcondutância, mas os componentes são calculados com outro enfoque. O nome, amplificador de carga, vem do fato de que variações de carga na entrada são transformadas em tensão na saída do operacional. Seu uso é comum com sensores capacitivos e piezoelétricos. Na Figura 20.2 é apresentado o esquema básico de um amplificador de carga, considerando a fonte de sinal, o cabo e o resistor de polarização da realimentação. Figura 20.2: Amplificador de carga. A fonte de corrente Cs e Rs representam a fonte. Cc e Rc são o cabo. Para o amplificador de carga ideal, com a fonte de corrente em paralelo com o capacitor Cs, e o amplificador contendo apenas o capacitor C a tensão de saída é C S q v o = ( q S ) = Cs S C Cs S (20.5) Como a tensão depende apenas da carga e do capacitor de realimentação ela se torna insensível a capacitância do cabo e da entrada do amplificador. As limitações começa a ocorre apenas em altas frequências quando o ganho do amplificador deixa de ser muito alto ou quando C é muito baixo e o ganho da configuração fica muito elevado. O capacitor C deve ter baixas perdas e alta estabilidade. 25

216 Levando em conta as demais impedâncias observa-se que o circuito apresenta um comportamento passa altas que impede seu uso em CC. Como os valores de R costumam ser muito elevados e os de C muito baixos a frequência de corte frequentemente é muito baixa (bem menor que Hz). Isto permite medidas em frequências bem baixas, mas não CC. Filtros passa altas com frequências de corte tão baixa, porém, são muito lentos para se recurarem de eventuais saturações. ( ) R RS R C S + R S v o = (q C ) = q R S C S S + RS R C S + R S C S S + (20.6) vo R S = q R C S + (20.7) ( ) Para sensores de quartzo, a resistência de fuga do capacitor C fica entre 0 GΩ e 0 TΩ, com capacitâncias entre 0 pf e 00 nf. Para sensores cerâmicos as capacitâncias variam entre 0 pf e nf e a resistência de fuga varia de 00 MΩ até 0 GΩ. Por esta razão é comum o uso de um resistor R que ajuda na polarização do amplificador. O circuito tem banda limitada basicamente pelo AO. O aumento do capacitor C reduz a banda. ( ) q v o = C j f + fh (20.8) O uso de uma resistência série entre a fonte e a entrada inversora ajuda na estabilidade do circuito, e adiciona um polo de altas frequências tornando o circuito mais independente do AO. Ele também protege o AO contra correntes elevadas que possam surgir em virtude de altastensões. Este resistor costuma ter valores entre kω e 0 kω. 26

217 2 Filtros seletores de frequência 2. Introdução Todos os sinais podem ser representados por um gráfico no domínio do tempo (função do tempo) ou por um gráfico no domínio da frequência (função da frequência). Quando se fala em frequência se fala dos infinitos cossenos que somados com amplitude, fase e frequência apropriados são capazes reproduzir o sinal original. Este é o conceito por detrás da série e transformada de Fourier e também de Laplace. Nesta representação, um seno ou um cosseno são desenhados pelos gráficos de amplitude e fase em função da frequência (a frequência do seno ou do cosseno). O desenho, portanto, corresponde a uma raia espectral indicando o módulo (amplitude) e outra indicando a fase deste sinal na frequência deste seno ou cosseno. Para sinais mais complexos, como ondas quadradas, triangulares e outras, uma soma de infinitos cossenos são necessários. Cada sinal possui uma representação única que o distingue dos demais. Sinais ainda mais complexos, não periódicos, como sinais de EEG, ECG ou EMG, por exemplo, também podem ser decompostos por somas de senos e cossenos. Assim como para as ondas periódicas, normalmente estes sinais apresentam amplitudes menores para as frequências maiores. Também os ruídos podem ser decompostos por soma de senos e cossenos. Um ruído brando, por exemplo, assim como um impulso, possui todas as infinitas frequências com a mesma amplitude. A diferença entre eles está apenas no gráfico da fase. O termo ruído branco é uma alusão a luz branca que é composta de todos os comprimentos de onda do espectro visível. Outros ruídos coloridos também existem, em função da faixa de frequência que eles ocupam. Sinais reais são uma mistura (soma) de informações com ruídos, offsets e drifs. Uma análise em frequência destes sinais contaminados provavelmente mostrará amplitudes elevadas para a frequência zero (offset) e próximas (drifs) além das frequências que compõe o sinal e o ruído. Apesar de varições locais da amplitude a tendência mais comum é que as amplitudes decaiam com a frequência até a amplitude do ruído. Para lidar com estes sinais existem os filtros seletores de frequência. Estes filtros são circuitos que amplificam de forma diferente sinais de diferentes frequências. Estes filtros estão presentes em quase todos os circuitos, nem que seja para minimizar ruídos de alta frequência, retirar o nível CC de sinais, selecionar uma faixa de frequências de interesse, retirar a interferência de 60 Hz ou para evitar o aliasing em sinais amostrados (processamento digital de sinais). Hoje em dia muitos programas de computador estão disponíveis para auxiliar no projeto de filtros. Alguns, como o MATLAB (ou OCTAVE), permitem o cálculo dos polinômios (aproximações) para diferentes graus e frequências de corte, bem como o desenho da resposta em frequência destes filtros. Outros, como o FilterCAD, da Linear Technology, o FilterPRO ou o Webench Filter Design, da Texas Instruments, o Filter Wizard da Analog Devices, o FilterLAB da Microchip, o Mr. Filter ou o Op Amp Filter Design permitem o projeto de filtros com amplificadores operacionais (AO). Mesmo assim, a especificação dos filtros continua sendo uma escolha do projetista e não há sofware que defina o melhor filtro para cada aplicação. Conhecer os tipos de filtro, as formas de especificar e implementar um filtro, os desenhos de módulo e fase, assim como a aplicação de cada filtro é o alvo deste capítulo. 27

218 2.2 Unidades e nomenclatura O estudo clássico dos filtros passa pela análise de suas funções de transferência. Nestes circuitos as funções de transferência serão frações com polinômios no numerador e denominador. Estas funções de transferência podem ser funções de ganho ou funções de atenuação (perdas). Quando o módulo da função de ganho for maior que a unidade () a saída do filtro é maior que sua entrada. Quando o módulo da função de ganho for menor que a unidade () a saída do filtro é menor que sua entrada. Do ponto de vista da atenuação ocorre exatamente o oposto, uma vez que a atenuação pode ser escrita como uma função do ganho, tal que Atenuação= Ganho (2.) A escolha pelo termo atenuação se deve ao fato de que os primeiros filtros apresentavam ganho máximo igual à unidade () e, portanto, era mais sensato falar em atenuação. Além disto a função de atenuação da maioria dos filtros era polinomial, o que tornava a análise da atenuação mais simples (o ganho era uma constante dividida por um polinômio e a atenuação era um polinômio dividido por uma constante). Neste capítulo serão abordados principalmente os filtros polinomiais. Para as amplitudes o mais comum é o uso do db, pois facilita a análise de funções de transferências e seu desenho no diagrama de bode. Quando se converte de ganho para atenuação e vice versa basta trocar o sinal da grandeza que está em db. 2.3 Funções de ª e 2ª ordens A Tabela 2. mostra as funções de ganho que podem ser obtidas com os fatores de primeira e segunda ordem. Na tabela observa-se nomes relacionados as frequências que são amplificadas ou atenuadas. Os quatro principais tipos são o passa baixa (PB), o passa alta (PA), o passa faixa (PF) e o rejeita faixa (RF ou notch, no seu caso mais conhecido). Filtros de ordem mais elevada são formados pela ligação em cascata de filtros de primeira e segunda ordem, mas o projeto deve ser feito todo de uma só vez. Ligar vários filtros iguais, em cascata e com a mesma frequência de corte, por exemplo, faz com que a atenuação na frequência de corte seja diferente da atenuação especificada para um só filtro (em db as atenuações de cada filtro se somam). Por esta razão foi preciso desenvolver uma metodologia para o projeto de filtros de qualquer ordem. Esta metodologia passa pelo desenho do gabarito de cada filtro. A partir deste gabarito determina-se a ordem dos filtros necessária para atender os requisitos de cada projeto. 2.4 Gabaritos Os filtros seletores de frequência cujas funções de transferência de primeira e segunda ordem foram apresentados na Tabela 2. são calculados a partir de gabaritos padronizados. (Figura 2.). Costuma ser especificado, no projeto, a atenuação mínima (para região de frequências a atenuar região de atenuação), atenuação máxima (para região de frequências que não devem ser atenuadas região de passagem), frequências que delimitam a região de passagem (banda ou faixa de passagem) e frequências que delimitam a região de atenuação (banda ou faixa de atenuação). Estas especificações podem ser utilizadas diretamente por programas de computador para o cálculo dos filtros (funções de transferência ou projeto dos circuitos), mas para o projeto auxiliado por tabelas e gráficos os filtros devem ser convertidos em um filtro passa baixa normalizado. Caso o filtro não seja um passa baixa também é necessário uma transformação em frequência. Esta metodologia foi desenvolvida para facilitar o projeto antes dos computadores 28

219 terem se tornado populares. A normalização leva em conta a relação entre as frequências limites da banda e passagem e rejeição bem como a diferença de atenuação entre elas. Estas relações permitem o projeto de um filtro passa baixa normalizado (frequência de corte unitária) cujas soluções são tabeladas. A partir deste filtro e de desnormalizações apropriadas é possível projetar qualquer um dos demais filtros. Tabela 2.: Funções de primeira e segunda ordem Tipo de filtro Função de transferência Integrador K S Passa baixa ª ordem K σ0 S +σ 0 Passa alta ª ordem K S S +σ 0 Passa baixa de 2ª ordem ω 20 K 2 ω0 S + S +ω20 Q 2 Passa alta de 2ª ordem K S ω S + S +ω0 Q Passa faixa (2ª ordem) ω0 S Q K 2 ω0 2 S + S +ω0 Q Rejeita faixa (2ª ordem) S +ω 0 K ω S 2+ 0 S +ω20 Q 2 2 Funções de maior ordem são obtidas pelo produto destas funções. Nesta normalização a frequência limite da banda de passagem é ω p=, a frequência limite da banda de rejeição é ω s, a atenuação permitida na banda de passagem é Amáx e a mínima atenuação exigida para a banda de rejeição Amin. Uma vez determinado o gabarito do filtro e do filtro normalizado escolhe-se a aproximação (o tipo de polinômio que se pretende empregar). Para filtros com ordem maior do que 2 cada aproximação apresenta características distintas pois aloca os polos em locais diferentes. Esta alocação de polos confere a aproximação características especiais de amplitude, fase e resposta temporal. Só depois da escolha da aproximação o filtro pode ser implementado em circuito e normalmente isto é feito em secções de primeira e segunda ordem ligadas em cascata. A exceção são os filtros que já vem prontos em circuitos integrados. 29

220 (A) (D) Amin Amin Amáx Amáx wp ws (B) Amin Amin Amáx Amáx ws wp w w3 w3 w (C) w4 w2 w2 w4 Figura 2.: Gabaritos dos filtros seletores em termos de atenuação. (A) passa baixa, (B) passa alta, (C) passa faixa, (D) rejeita faixa 2.5 Normalização e desnormalização em frequência 2.5. Transformação passa baixa para passa baixa normalizado O filtro passa baixas é aquele que atenua as altas frequências (em comparação com as frequências baixas) e, por isso, é muitas vezes utilizado para remover ou minimizar os efeitos de ruído de alta frequência, assim como para produzir os filtros anti aliasing. Observando um sinal no domínio do tempo percebe-se que ele apresenta componentes de alta frequência quando há variações rápidas do sinal, como em transições abruptas ou em variações aleatórias. O gabarito para o passa baixas é apresentado na Figura 2.2. Amin Amáx wp ws Figura 2.2: Gabarito de um filtro passa baixa. Para normalizar ω p= (2.2) ω ω s=ω s (2.3) p 220

221 Para desnormalizar basta substituir S por S ωp na equação do filtro passa-baixa normalizado ou fatorar o filtro em seções de primeira e segunda ordem e substituir σ0 ou ω0 por ωp. +) em um passa baixas com frequência de Exemplo : Desnormalizar o filtro T(S)= (S corte ωp. Solução : Substituir S por S ωp em T ( S )= T ( S)= S + ωp =. S/ω p + S +ω p Solução 2: Sabendo que um filtro passa baixa de primeira ordem tem função de transferência T(S)=σ0 (S+σ0) basta substituir σ0 por ωp. ωp T (S)= S+ω p 2 Exemplo 2: Desnormalizar o filtro T(S)= (S +0,707 S +) em um passa baixa com frequência de corte ωp. Solução: Na função de transferência do passa baixa normalizado Q- =0,707. A função de transferência de um filtro passa baixa de segunda ordem é T(S)=ω02 (S2+ω0 Q- S+ω02). Substituindo os valores de Q e fazendo ω0=ωp resulta em ω 2p T (S)= 2 S +0,707 ω p S+ω 2p Transformação passa alta para passa baixa normalizado O filtro passa altas é aquele onde as baixas frequências são mais atenuados que as altas frequências. Por esta razão este tipo de filtro é muito utilizado para a remoção de níveis de CC, offsets e drifs. Como visto na Tabela 2., estes filtros apresentam a parcela S no numerador, o que garante ganho 0 para ω=0 independentemente da ordem do filtro. Se um sinal não possui componentes de CC e apresenta algum offset, este offset pode ser removido com um filtro passa altas. Se o sinal possui componentes de CC e offset, este offset não pode ser removido com um filtro passa baixas, caso contrário a componente CC do sinal será eliminada. Nestes casos é necessário eliminar o offset com um somador ou subtrator. O gabarito para um passa altas padrão é apresentado na Figura 2.3. Para normalizar ω p= (2.4) ω ω s=ω p (2.5) s 22

222 Amin Amáx ws wp Figura 2.3: Gabarito de um filtro passa alta. Para desnormalizar basta substituir S por ωp S na equação do filtro passa baixa normalizado ou fatorar o filtro em seções de primeira e segunda ordem e substituir σ0 ou ω0 por ωp. +) Exemplo : Desnormalizar o filtro T(S)= (S +) temos Solução : Substituir S por ωp S em T(S)= (S T (S)= S = ω p /S+ S +ω p Solução 2: Sabendo que este filtro é um passa alta de primeira ordem ele tem equação T(S)=σ0 (S+σ0). Substituindo σ0 por ωp temos T (S )= S S +ω p 2 Exemplo 2: Desnormalizar o filtro T(S)= (S +0,707 SS+). Solução: Como o filtro é um passa alta de segunda ordem T(S)=S2 (S2+ω0 Q- S+ω02), então Q =0,707 e ω0 deve ser substituído por ωp. Assim, - T (S)= S2 S2 +0,707 ω p S+ω 2p Transformação passa faixa para passa baixa normalizado O filtro passa faixa é aquele onde as frequências centrais (uma faixa de frequência) é menos atenuada do que as frequências baixas ou altas. Este filtro normalmente é empregado para selecionar apenas uma faixa das componentes em frequência do sinal, como ocorre quando desejamos estudar apenas as ondas β de um sinal de EEG, por exemplo. Quando desejamos selecionar uma faixa de frequências muito grande, tipicamente bem maior que uma década, este filtro é implementado como um filtro passa altas em cascata com um filtro passa baixas. Um exemplo deste tipo de implementação ocorre quando filtramos um sinal de ECG, com um filtro passa altas em 0,04 Hz para remover níveis CC e drifss, enquanto que um filtro passa baixas em 00 Hz pode ser utilizado para remover ruídos de alta frequência. O gabarito clássico do filtro passa altas é apresentado na Figura

223 Amin Amáx w3 w w2 w4 Figura 2.4: Gabarito de um filtro passa faixa. Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amín e Amáx sejam iguais nas bandas de rejeição e passagem e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição ω0 = ω ω2= ω 3 ω4, com banda de passagem entre ω e ω2. Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo (2.6) ω p= ω ω ω s=ω 4 ω3 2 (2.7) Para desnormalizar basta substituir S por (S2+ω02) (B S) na equação do filtro passa baixas normalizado. Nesta equação B=ω2-ω=ω0 Q. +) Exemplo : Desnormalizar o filtro T(S)= (S Solução: Substituir S por (S2+ω02) (B S) e B=ω0 Q ωp S BS Q T ( S)= 2 2 = 2 = S + ωp S +BS+ ω2p S 2+ ω p S+ ω2p + Q BS Exemplo 2: Devemos captar sinais na faixa de 300 Hz a 3,4 khz. Uma interferência de 60 Hz está presente no sistema prejudicando o experimento. Deseja-se projetar um filtro passa faixa tal que esta interferência seja atenuada em 5 vezes. Desenhe o gabarito do filtro desejado e do passa baixas normalizado. Amin Atenuação Atenuação Amáx wp ws w3 w w2 w4 Solução: ω=300 Hz, ω2=3,4 khz, ω3=60 Hz, ω4=(ω ω2 ) ω3 = 7 khz, 223

224 ωp= rad/s, ωs= (ω4 ω3) (ω ω2)=5,46 rad/s. Amáx=3 db, Amín = 20 log(5) db Transformação rejeita faixa para passa baixa normalizado O filtro rejeita faixa é aquele que atenua mais a faixa central de frequências do que as baixas ou altas frequências. Este tipo de filtro não é muito comum com exceção do seu caso particular o filtro notch. O filtro notch é um rejeita faixa muito seletivo, ou seja, com elevado Q. Em outras palavras o filtro notch é aquele em que a faixa de frequências atenuadas é muito estreita e a atenuação é muito grande. Este tipo de filtro é muito comum para retirar interferência de 60 Hz oriunda da rede elétrica. Apesar da sua aplicação corriqueira e eficiente, o filtro notch distorce muito a fase do sinal e por esta razão deve ser utilizado com cautela. Como já foi dito, modificações de fase alteram o formato do sinal, o que pode ser inaceitável caso a interpretação do sinal dependa do seu formato. Amin Amáx w w3 w4 w2 Figura 2.5: Gabarito de um filtro rejeita faixa. Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amin e Amáx sejam iguais nas bandas de passagem e rejeição e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição ω0 = ω ω2= ω 3 ω4, com banda de passagem entre ω e ω2 Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo (2.8) ω p= ω ω ω s=ω 2 ω 4 (2.9) 3 Para desnormalizar basta substituir S por (B S) (S2+ω02) na equação do filtro passa baixas normalizado. Nesta equação B=ω2-ω=ω0 Q. +) Exemplo : Desnormalizar o filtro T(S)= (S Solução: Substituir S por (B S) (S2+ω02) e B=ω0 Q 2 T (S)= S + ωp S +ω = 2 = 2 ω p 2 2 p B S + S +BS+ ω p S + Q S+ ω p 2 2 S + ωp Exemplo 2: Projetar um filtro capaz de eliminar a frequência de 60 Hz, mantendo o ganho aproximadamente unitário para DC e 2 khz. Fazer o projeto para uma banda de rejeição de ±0 Hz. 224

225 +) Solução : É possível usar um filtro de segunda ordem, então T(S)= (S A desnormalização é feita substituindo S por (B S) (S2+ω02) onde B=ω2-ω=20 Hz e ω0=2 π 60 Hz, logo S = T ( s)= (2 π 20)2 s2 +(2 π 60)2 s 2+(2 π 60)2 s 2 +( 2 π 20 s)+(2 π 60)2 Solução 2: A função do filtro rejeita faixa de segunda ordem T(S)=(S2+ω02) (S2+ω0 Q- S+ω02) sendo que, neste caso, B=ω2-ω=20 Hz e ω0=2 π 60 Hz. Logo T (s)= s 2+ω20 = 2 s2 +B s+ω0 é s2 +(2 π 60)2 s2 +(2 π 20 s)+(2 π 60)2 2.6 Escolha das frequências e atenuações A determinação das frequências que definem as bandas de passagem e atenuação, assim como as atenuações máxima e mínima corresponde a parte mais subjetiva do projeto de filtros. Normalmente não há uma resposta única para cada problema e a determinação de todos estes parâmetros vai depender do que cada projetista julga necessário ou razoável. Apesar disto existem muitas respostas erradas para um mesmo problema. Saber o que pode e o que não pode ser feito é fundamental e, por essa razão, existem alguns balizadores que auxiliam na escolha e tomada de decisão. A primeira coisa para a qual devemos atentar é o fato de que filtros não possuem apenas duas bandas, a de passagem e a de rejeição, e sim três, o que inclui uma região de transição. Isto significa que os sinais fora da banda de passagem são atenuados em diferentes níveis dependendo da sua frequência. Com isso em mente é mais fácil aceitar que nem a frequência de corte será perfeitamente definida. É necessário escolher sempre os piores casos. A frequência de corte é, no mínimo, aquela que deixa a banda do sinal passar, isto é claro, o problema é definir exatamente quem é a banda de passagem. Mesmo para sinais que estão bem estudados e relatados na literatura, como o EMG, por exemplo, a banda de passagem depende do tipo de eletrodo e do músculo que está sendo investigado. Um sinal vindo de uma célula de carga, por outro lado, nem sempre é um sinal bem caracterizado na literatura. Nestes momentos é difícil ser preciso ou exato na determinação da frequência de corte. Para piorar ainda mais as coisas suponha que você meça este sinal e estime sua composição espectral usando técnicas de processamento de sinais. Você descobrirá que todos os sinais possuem infinitas componentes de frequência com amplitude não nula, principalmente se o seu gráfico estiver em db (isto fica muito visível), então não é possível usar isto como critério. O que ocorre, na verdade, é que em algum momento o nível de ruído se confunde com o nível das componentes mais altas do sinal. O que devemos estabelecer é a partir de onde as componentes de frequência tem amplitudes irrelevantes ou que se confundam com o ruído. Depois disto devemos definir qual maior atenuação que aceitaremos na banda de passagem. Conservadoramente adotase o critério de meia potência (onde a potência do sinal cai pela metade) o que equivale ao ponto de -3dB. Neste ponto as componentes de frequência já estão sendo multiplicadas por 0,707 (há uma atenuação de 30% no sinal). Quando as componentes de frequência que compõe o sinal já tem baixa amplitude na frequência de corte, este critério pode ser adotado sem muitos problemas, caso contrário talvez seja mais interessante aumentar a faixa de passagem ou reduzir a atenuação máxima aceita. Erros de fase também devem ser levados em conta. 225

226 Tão difícil quanto a escolha da frequência de corte e sua atenuação máxima é a definição de onde inicia a banda de atenuação e qual a atenuação mínima desejada para esta frequência. Em alguns poucos casos, como para o filtro notch, estes valores são bem determinados. Para o restante é necessário alguma ponderação. O segundo caso mais simples é o caso do filtro anti aliasing, já que a amplitude do sinal na metade da frequência de amostragem deve, ao menos, atender a algum critério de razão sinal ruído (e o AD disponível ajuda a definir um ruído aceitável para a instrumentação). Para os demais casos é possível, também, adotar critérios de razão sinal ruído. A razão sinal ruído (SNR) é formalmente definida para sinais com aparência aleatória e média zero. Nestes casos a SNR é definida como a razão entre a potência do sinal e a potência do ruído. Novamente aqui é difícil definir qual é a potência do ruído e qual é a potência do sinal uma vez que os dois estão misturados. A razão entre valores RMS (valor eficaz) também é usada para a mesma definição e sofre dos mesmos problemas. Como estas estimativas são complexas e requerem processamento de sinais nós, nesta disciplina, usaremos a amplitude dos sinais quando a informação de potência ou valor RMS não estiverem disponíveis. Complicando ainda mais as coisas a SNR pode ser calculada para toda a faixa de frequências ou para bandas mais estreitas (caso da potência), ou para trechos específicos do sinal (caso das amplitudes). Por exemplo, num sinal de ECG pode ser que as ondas P e T tenham amplitude muito menor do que o complexo QRS, neste caso um ruído com valor fixo de amplitude, pode parecer pequeno no complexo QRS e grande quando estiver nas ondas P e T. Exemplo : Minimizar o efeito de uma interferência de 60 Hz e tensão eficaz de V sobre um sinal com banda passante até 0 Hz e amplitude de 0, V. Admite-se % de atenuação máxima do sinal na banda passante. Deseja-se uma relação sinal ruído de 00 vezes. Solução: Filtro passa baixas (a opção mais simples) Ganho Mínimo na Banda Passante: 20 log (00% %)= db Diferença de amplitude entre Sinal e Ruído: 20 log(0, )= 20 db Relação sinal ruído de 00 vezes: 20 log(00)=40 db Amáx= db Amin=40 db+20 db+ db=6 db Frequência de corte 0 Hz, frequência da banda de atenuação 60 Hz 2.7 Aproximações Uma vez que os gabaritos tenham sido determinados é necessário encontrar um polinômio que atenda as especificações do projeto. Existem vários tipos de funções de transferência, algumas são polinomiais (Butterworth, Chebyshev I e Bessel) outras não polinomiais (Cauer e Chebyshev II). Nos filtros não polinomiais, zeros sobre o eixo jω ajudam a obter uma atenuação mais rápida na banda e transição, mas pioram as características de fase e de resposta temporal. Os filtros polinomiais são aqueles em que o passa baixa normalizado apresenta ganho definido por uma constante no numerador e um polinômio no denominador (apenas um polinômio de atenuação). A seguir são apresentados alguns polinômios que podem ser empregados para o projeto de filtros e algumas características de cada um destes polinômios. Nem todos são comuns, mas todos podem ser utilizados para este fim. Ao final são apresentadas os principais critérios empregados para a escolha das aproximações, uma tabela com os principais filtros e indicações sobre os mais comuns. 226

227 Bessel BS Função monotônica na banda passante; Quanto maior o grau do filtro mais linear a fase na banda de passagem; Pior resposta em magnitude dentre os listados aqui; Não preserva característica de fase quando se fazem desnormalizações em frequência; Ordem muito alta, característica de fase muita boa. Gauss GS Monotônico na banda de passagem; Melhor resposta temporal (overshoot e atraso ao degrau) dentre os filtros polinomiais, para um dado grau e Amáx; Semelhante ao filtro de Bessel; Ordem muito alta, característica de fase muito boa. Multiplicidade n Monotônico na banda de passagem; Polos reais; Ótimas características temporais (menor tempo de atraso e sem overshoot) e de fase; Pobre característica de atenuação; Ordem muito alta, característica de fase muito boa. Butterworth BT Função monotônica mais planas possível; Ordem alta, característica de fase boa. Halpern HA Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante é o de corte mais abrupto dado um grau e Amáx; Ordem média, característica de fase média. Legendre LG Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante apresenta a maior inclinação na característica de magnitude em torno da frequência limite da banda de passagem; Ordem média característica de fase média. Chebyshev (I) CB Equiripple na banda passante, função monotônica na atenuação; Corte mais abrupto entre os polinomiais, para um dado grau e Amáx; A fase, entretanto, vai piorando a medida que o grau aumenta; 227

228 Ordem baixa, característica de fase ruim. Chebyshev (II) Inverso CI (filtro não polinomial) Monotônica na banda passante, portanto melhor característica de fase; Equiripple na banda de rejeição; Não polinomial, apresenta zeros sobre o eixo jω; Ordem baixa, característica de fase boa. Cauer ou Elíptico CE (filtro não polinomial) Equiripple na banda de passagem e de atenuação; Menor ordem zeros sobre o eixo jω ajudam; Característica de fase pior que Chebyshev Inverso; Ordem muito baixa. Transicionais FT Melhor conjunto de características temporal, fase, e atenuação. Pelo exposto acima, observa-se que, via de regra, melhores características de fase estão associadas a melhores características temporais. Assim, os principais critérios (os mais comuns) de escolha para estas aproximações são: Ordem do filtro (Cauer, Chebyshev, Halpern, Legendre...); Dificuldade de implementação (Cauer e Chebyshev II); Sensibilidade desvio na magnitude e fase; Regularidade na curva de resposta (Butterworth); Resposta temporal (Gauss, Bessel); Característica de fase (Bessel e Gauss para PB, Multiplicidade n e Transicional... se for utilizado um equalizador); Uma síntese das principais características para os filtros mais comuns são listadas na Tabela 2.2. Tabela 2.2: Principais características das aproximações mais comuns Polinômios Faixa de Passagem Faixa de Rejeição Fase Grau do Filtro Butterworth Máxima planura Monotônico Boa Médio+ Chebyshev I Ondulado Monotônico Regular Médio Chebyshev II Monotônico Ondulado Regular Médio Bessel Plano Monotônico Ótima Grande Elíptico (Cauer) Ondulado Ondulado Ruim Pequeno 228

229 Exemplos de gráficos de resposta em frequência e resposta temporal para os filtros Bessel, Butterworth e Chebysehev de oitava ordem, são apresentados na Figura 2.6. Figura 2.6: Curvas de magnitude e resposta temporal (resposta ao degrau e ao impulso) de filtros passa baixas de oitava ordem. 2.8 Cálculo das aproximações As aproximações apresentadas anteriormente configuram algumas das possíveis aproximações empregadas para os filtros. Existe um grande número de funções que satisfazem os requisitos de um dado gabarito sendo que algumas são obtidas por métodos de otimização puramente numéricos e outras por funções analíticas consagradas. Antes de apresentar a solução para o cálculo de alguns filtros considere que a função de atenuação H(ω) possa ser escrita como H (ω) 2=+ K (ω) 2 (2.0) A(ω)=0 log ( + K (ω) 2 ) (2.) onde K(ω) é a função característica 229

230 Definindo ε como a máxima distorção (variação de ganho ou atenuação em alguns casos ε é o ripple na banda de passagem) na banda de passagem da função característica K(ω), tem-se K (ω p)=ε (2.2) A (ω p)= A máx=0 log ( +ε2 ) (2.3) [ Amáx 0 ε= 0 2 ] (2.4) com Amáx em db 2.8. Para aproximação de Butterworth A aproximação de Butterworth é uma das mais simples e foi a primeira a ser sistematizada K (ω)=ε ωω p ( ) [ n ω H (ω) = +ε ω p 2 (2.5) 2 n ( ) [ ω A (ω) 0 log +ε2 ω p ] 2 2 n ( ) (2.6) ] (2.7) A normalização de funções Butterworth pode ser feita para a frequência ωp e, diferente de outras aproximações também para a atenuação ε com auxílio da equação n ω=ε ω ωp (2.8) ( ) ou seja ω=ε n ω ω (2.9) ( ) p assim A(ω )=0 log(+ω 2 n) [db], solução normalizada para ωp= e ε=. A determinação do grau do polinômio pode ser obtida Amin A(ω s)=0 log [ +ε2 ω s2 n ] log n [ (00, Amin ) (00, Amáx ) (2.20) ] (2.2) 2 log ωs onde Amáx e Amin estão em db; ω s é calculado de quatro formas diferentes dependendo do tipo de filtro que se esteja calculando (veja normalização dos filtros PB, PA, PF e RF). A determinação da função de Butterworth pode ser obtida H (ω) =+ K (ω) 2 2 (2.22) H (S ) H ( S )=+ K (S ) K ( S ) (2.23) 230

231 H(S ) H(-S )=+(-S2 n), solução normalizada para ωp= e ε=, H(S ) apresenta todas as raízes sobre o círculo de raio unitário. H (S )=H 0+ H S + H 2 S H n S n (2.24) para construir o polinômio cos H k= [( k ) π 2 n ] (2.25) ( ) k π sen 2 n para obter as raízes S k =e ( j π 2 2 k+ n n ) (2.26) onde k =, 2,... Para desnormalizar a atenuação máxima basta substituir S por n ε (S ) no filtro passa baixa normalizado. Para desnormalizar em frequência bast a substituir S por S ωp Exemplo : Calcule o filtro Butterworth com ωp=0 khz, ωs=5 khz, Amáx= db, Amin=25 db Diagrama de Bode Exemplo: w p=0khz (Amáx=dB), w s=5khz (Amin=25dB) 0 Magnitude (db) To: Y() Fase (graus); Freqüência (rad/seg) Resposta do exemplo. No MATLAB: [b a]=butter(9,2*pi*00000,'low','s'); bode(b,a); 23

232 [ ε= 0 log n com ( ω s= [ Amáx 0 2 ] ( 00, Amin ) ( 00, Amáx ) = 0,5088 ] 2 log ω s = 8,76 (usar 9) ) k=, S k = 0.736± i, S 2 +0,3472 S + k=2, S k = ± i, S 2 + S + k=3, S k = ± i, S 2 +,532 S + k=4, S k = ± i, S 2 +,8794 S + k=5, S k =, S H (S )=( S +) ( S +,8749 S + ) (S +,532 S +) ( S + S +) ( S +0,3472 S +) ) e a desnormalização pode ser feita substituindo S por n ε (S ωp), ou seja T(S)= H(S S=S, ou, utilizando as formas padrões de primeira e segunda ordem do filtro passa baixa. T ( S )= ω0 ω02 ω02 2 x (S +ω 0) (S +,8794 ω0 S +ω 20) (S 2 +,532 ω 0 S +ω02) ω 20 ω20 (S 2 +ω0 S + ω20 ) ( S 2+ 0,3472 ω 0 S +ω20 ) onde ωp=ωp n ε=6, rad/s. Exemplo 2: Projetar um filtro Butterworth passa altas, com ordem não menor do que três e que atenda as seguintes especificações: ganho máximo da banda de passagem igual a 0dB; ganho mínimo na banda de passagem igual a -3 db; ganho máximo na banda de atenuação igual a -20 db; frequência de passagem de 0 khz; frequência de atenuação de 5 khz. ωp= rad/s, ωs=(0/5) rad/s. Amáx=3 db, Amín=20 db [ Amáx 0 ε= 0 log n [ 2 ] ] 00, Amin 00, Amáx 3,3 2 log ω S S k =e ( j π 2 2 k+ n n ) 232

233 S,2 = 0, j0,9239 (S2 +0,7654 S+) S3,4 = 0, j0,3827 (S2 +,8478 S+) S2 S2 T ( S )= 2 S +0,7654 ω0 S +ω 20 S 2 +,84878 ω 0 S +ω02 onde ω0=2 π Hz Outras aproximações Existem algoritmos para o cálculo de cada uma das aproximações. Alguns são deduzidos de forma analítica, como no caso do Butterworth, enquanto outros são obtidos por programas de computador e soluções iterativas ou numéricas. O processo de cálculos dos filtros é sempre complicado e por esta razão usaremos sempre soluções tabeladas e programas de computador que fazem este cálculo. Isto, entretanto, não nos exime da responsabilidade de especificar o filtro e definir a aproximação que será usada. Para estimar o grau do filtro é muito comum o uso de gráficos e para a determinação dos polinômios costuma se utilizar tabelas. Em programas como o MATLAB ou o OCTAVE, por exemplo, existem funções específicas que estimam a ordem de filtros (buttord, chebord, cheb2ord e ellipord) ou calculam seus coeficientes (besself, butter, cheby, cheby2, ellip). Outros programas, como o Filter Wizard da Analog Devices, fazem o projeto da parte eletrônica com base nas informações dos gabaritos de ganho ou atenuação. Na sequência são apresentadas as soluções tabeladas para alguns filtros e exemplos de gráficos utilizados para a determinação do grau dos filtros Gráficos de resposta normalizados Para determinar o grau de um filtro, sem usar as equações deste filtro, é muito comum o uso de gráficos como o apresentado na Figura 2.7. Nela estão as respostas de filtros passa baixa normalizados Butterworth, Chebyshev com ripple de db e Bessel, de graus 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0. Para determinar o grau apropriado basta desenhar sobre estes gráficos as atenuações máximas e mínimas e a frequência de início da banda de rejeição Soluções tabeladas Apesar de existirem algoritmos para o cálculo dos filtros é muito comum encontrarmos tabelas com os polinômios normalizados. A seguir são apresentados algumas tabelas com os polinômios mais comuns. Nelas a função de transferência é separada em seções de primeira e segunda ordem. Estão indicados os graus dos filtros (N), o valor de ω e Q de cada seção. Para os filtros de grau ímpar, uma das seções é de primeira ordem e não apresenta Q. Neste caso ω corresponde a σ nas soluções padronizadas. 233

234 Figura 2.7: Curvas para filtros passa baixas normalizado Butterworth, Chebyshev e Bessel. 234

235 Tabela 2.3: Parâmetros para filtros de Butterworth (3dB de ganho na frequência de corte) N ω Q ω2 Q2 ω3 Q3 2, , ,00000,00000, ,00000,30656, ,5496 5,00000,6803, ,00000,9385 7, ,00000 ω4 Q4 0,68034, , ,70707, , ,24698, ,80938, ,554958, ,5629, ,899977, ,60345, ,50599 *Ganho unitário Tabela 2.4: Parâmetros para filtros de Bessel (desvio de fase de N / 4 rad na frequência de corte) N ω Q ω2 Q2 ω3 Q3 2, , , , , , , , , , , , ,09270,0233 7,0034 8,0046 ω4 Q4 0, , , ,695 0,9204 0,5038,2626 0, , , , , , , , ,9250 0, , ,50599 ω4 Q4 Tabela 2.5: Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 0,5 db na faixa de passagem) N ω Q ω2 Q2 ω3 Q3 2,2334 0, ,06885,7069 0, ,0327 2, , ,705 5,0774 4, ,690483,778 0, ,045 6,5283 0,7682,8038 0, , , ,848 0, , ,503863,0955 0, ,00595,5308 0, , ,598874,6068 0, ,

236 Tabela 2.6: Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de db na faixa de passagem) N ω Q ω2 Q2 ω3 Q3 2 0,8623 0, ,906 2,073 0, ,9433 3,5594 0,509 0, ,964 5,5559 0, ,9726 8, , ,9842 ω4 Q4 0,749 0,2800-0,7273 2,3462 0,346 0,7608 0,8982 0,7946 3,558 0,479,297 0,209-4,239 0,8395 4,2657 0,5762,9560 0,266 0,7530 Exemplo : Calcule o filtro passa baixa, Chebyshev, com n=5, ωp=0 khz, ωs=5 khz, Amáx= db, Amin=25 db Diagrama de Bode Exemplo: w p=0khz (Amáx=dB), w s=5khz (Amin=25dB) Magnitude (db) Fase (graus); Freqüência (rad/seg) Resposta do exemplo. No MATLAB: [b a]=cheby(5,,2*pi*00000,'low','s'); bode(b,a); Solução, direto da tabela T (S)= 0,2283 ω 5p ( S + 0,2895 ω p ) ( S 2+ 0,4684 ω p S +0,4293 ω2p) ( S 2 +0,790 ω p S +0,9883 ω2p) 236

237 onde ω p =2 π 0 4 Exemplo 2: Projete um filtro que atenda as seguintes especificações: Tenha ganho de -db nas frequências de.000 e Hz; Tenha ganho de aproximadamente 2 db na frequência de Hz; Atenue 20 db em 8 khz; Tenha ganho nulo em DC. Solução: Encontrar o gabarito do filtro: Filtro passa faixas com f=.000 Hz, f2= Hz, f4= Hz. Este filtro é um passa faixa onde f3 não foi informada. Então podemos ajustá-la de forma a deixar o filtro simétrico. f0=(f f2)0,5=2236 Hz f3=(f2 f) f4=625 Hz. Este filtro apresenta ganho de 2 db, mas os gabaritos de filtros normalizados são para ganho de 0 db. A forma de resolver isto é com um amplificador após o filtro, assim, o ganho pode ser implementado no final pois ele não influencia no formato da curva, porém, devemos ter atenção. Se o ganho deve ser de +2 db na faixa de passagem e de - db em f, há uma variação permitida de 3 db na faixa de passagem! Então, podemos alterar o ganho para 0 db e a Amáx para 3 db. Após o projeto, inserimos um ganho de 2 db para ajustar os valores do projeto. K=0 db Amáx=3 db Amín=20 db Determinar o passa baixa normalizado equivalente ωp= rad/s ωs=(ω4 ω3) (ω2 ω)=,84 rad/s Determinar a aproximação Como não há especificações que impeçam o uso de qualquer aproximação, podemos usar um Butterworth. 237

238 Observa-se pelo gráfico que um filtro Butterworth de quarta ordem é necessário. Pela tabela determinamos o polinômio. T ( S )= ( S + S +) ( S + S +), ,5496 Aplicar a desnormalização adequada em T(SS) S =(S 2+ ω20 )/(ω2 ω ) S=(S )/( 2 π 4000 S). Exemplo 3: Um filtro deve atender, aproximadamente, as seguintes especificações: Atenuação de 35 db na frequência de.000 Hz; Atenuação de 3 db na frequência de Hz; A oscilação máxima na banda de passagem não deve ultrapassar 3 db; O filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na banda de passagem. Escolher entre as aproximações de Butterworth e Chebyshev. Identifique o tipo de filtro, desenhe o seu gabarito e identifique os pontos do gráfico. Amin=35 db, fs=3.500 Hz Amáx=3 db, fp=.000 Hz É um filtro passa altas. Se o ripple máximo é 3 db e a máxima atenuação na banda de passagem é 3 db então a menor atenuação da banda de passagem é 0 db. Assim, o ganho na banda de passagem é 0 db. Se o filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na banda de passagem, e só podemos escolher entre Butterworth e Chebyshev, devemos escolher Butterworth. Projetar o filtro Pelo gráfico a seguir o grau do filtro é 4 e pela tabela T PB ( S )= 2 S + 0,7653 S + S +,8477 S