DETERMINAÇÃO DE UMA REGIÃO DE CONSISTÊNCIA PARA A SIMULAÇÃO DA INTERAÇÃO FLUIDO-PARTÍCULA EM UMA CAVIDADE DE TAMPA MÓVEL

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1 DETERMINAÇÃO DE UMA REGIÃO DE CONSISTÊNCIA PARA A SIMULAÇÃO DA INTERAÇÃO FLUIDO-PARTÍCULA EM UMA CAVIDADE DE TAMPA MÓVEL Carlos Felipe Mendes Alves cfelipema@gmail.com LAMEMO-PEC/COPPE/UFRJ Ilha do Fundão, Cidade Universitária, Centro de Tecnologia, Anexo ao bloco H, Cep: , Rio de Janeiro - RJ (Brasil) Juliana Vianna Valerio Marcello Goulart Teixeira juvianna@dcc.ufrj.br marcellogt@dcc.ufrj.br PPGI-DCC/IM/UFRJ Ilha do Fundão, Cidade Universitária, CCMN/NCE, Bloco E, Cep: , Rio de Janeiro - RJ (Brasil) Luciano Petrucci Mesquita lucianopetrucci@poli.ufrj.br DEM/UFRJ Ilha do Fundão, Cidade Universitária, Centro de Tecnologia, Bloco G, Cep: , Rio de Janeiro - RJ (Brasil)

2 Resumo. Escoamentos com partículas em suspensão são freqüentemente encontrados na natureza e nas indústrias, como por exemplo, em processos de sedimentação e de revestimento, no fluxo sanguíneo, nas tempestades de areia, nas indústrias petroquímicas e farmacêuticas, dentre outros. O Método dos Elementos Finitos é utilizado para descrever o movimento de um fluido newtoniano incompressível e o Método dos Elementos Discretos para simular o movimento das partículas. O principal objetivo deste trabalho é simular numericamente escoamentos com partículas em suspensão e realizar um estudo da relação entre os coeficientes de rigidez e as dimensões das partículas utilizadas na simulação, determinando uma região que é denominada de região de consistência. O acoplamento dessas duas metodologias na interação fluido-partícula é modelado e exemplificado no escoamento em uma cavidade bidimensional de tampa móvel. Considera-se que as partículas não influenciam o escoamento. O escoamento encontra-se em regime permanente e o movimento das partículas é determinado em cada passo de tempo, sob influência do escoamento e das interações partícula-partícula e partícula-parede. Apesar de ter sido utilizado em vários problemas granulares assim como em simulações de partículas em suspensão, o Método dos Elementos Discretos depende de constantes numéricas para descrever os choques entre partículas e de partículas com as fronteiras, de forma que o processo físico seja simulado corretamente. Faz-se necessário encontrar uma região de consistência devido à sensibilidade das constantes em relação aos parâmetros do problema. Para determiná-la, utiliza-se uma relação obtida entre os conjuntos de coeficientes de rigidez e as dimensões das partículas. É usado um critério de consistência física do problema que consiste em determinar a velocidade e deslocamento máximos permitidos a uma partícula durante a simulação. Os resultados preliminares são promissores e a principal contribuição deste trabalho é determinar a região de consistência do método que torna possível definir, para um conjunto de valores de coeficientes de rigidez, o tamanho máximo e mínimo adequados para a partícula e vice-versa. Palavras Chave: Interação fluido-partícula, Simulação numérica, Mecânica dos fluidos, Método dos elementos discretos, Método dos elementos finitos

3 1 INTRODUÇÃO Escoamentos com partículas em suspensão são muito encontrados na natureza e nas indústrias, como por exemplo, em processos de sedimentação e de revestimento, no fluxo sanguíneo, nas tempestades de areia, nas indústrias petroquímicas, farmacêuticas, dentre outros. O principal objetivo deste trabalho é simular escoamentos com partículas em suspensão e realizar um estudo sobre a relação que existe entre os coeficientes de rigidez e as dimensões das partículas utilizadas na simulação, determinando uma região que é denominada de região de consistência. O Método dos Elementos Finitos (MEF) é utilizado para simular o movimento de um fluido newtoniano incompressível e o Método dos Elementos Discretos (MED) para simular o movimento das partículas. Realiza-se o acoplamento dessas duas metodologias na interação fluido-partícula e a modelagem é feita para uma cavidade bidimensional de tampa móvel. Considera-se que as partículas não influenciam o escoamento, ou seja, a quantidade de partículas, suas dimensões e sua densidade são tais que o fluido altera o movimento das partículas, mas as partículas não alteram o padrão do escoamento. O escoamento encontra-se em regime permanente e o movimento das partículas é determinado em cada passo de tempo, sob influência do escoamento e das interações partícula-partícula e partículaparede. Para encontrar a região de consistência, relação obtida empiricamente entre os conjuntos de coeficientes de rigidez e as dimensões das partículas, é usado um critério de consistência física do problema que consiste em relacionar a velocidade máxima e o deslocamento máximo permitido que uma partícula possa atingir durante a simulação. Os resultados preliminares são promissores e verifica-se uma relação quadrática entre os coeficientes de rigidez e os raios máximo e mínimo das partículas. A principal contribuição deste trabalho é a determinação da região de consistência do método que torna possível determinar para um conjunto de valores de coeficientes de rigidez o tamanho máximo e mínimo adequado para a partícula e vice-versa, de tal maneira que a simualação númerica represente bem a física do problema. 2 AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO PARA UM FLUIDO O sistema de equações que governam escoamentos de fluidos newtonianos incompressíveis é composto pela equação da quantidade de movimento (ou momento), conhecida por equação de Navier-Stokes, e pela equação de conservação de massa (ou continuidade). Para fluidos incompressíveis em regime permanente o sistema é dado por: ρ u u = p + µ 2 u, u = 0, (1) condições de contorno apropriadas. Onde as variáveis do problema são o campo de velocidade u e o campo de pressão p, sendo µ a viscosidade, ρ a densidade (massa específica) do fluido e o operador ( ) é o divergente. A equação de Navier-Stokes é não linear (termo u u) e de segunda ordem (termo 2 u). Os campos de velocidade u e pressão p são obtidos pela resolução do sistema formado pelas Eq. (1).

4 2.1 Discretização da equação do movimento A discretização das Eq. (1) é realizada utilizando o método de Galerkin / elementos finitos com o objetivo de determinar o campo de velocidade e pressão. Usando o método de Galerkin, as mesmas funções peso usadas nas equações de quantidade de movimento e continuidade são utilizadas para expandir o campo de velocidade e pressão, respectivamente. Foram usados polinômios lagrangeanos biquadráticos para os campos de velocidade e polinômios lineares descontínuos para a pressão (Babuška (1973) e Brezzi (1974)). Em seguida calcula-se o resíduo ponderado de cada componente das equações de momento e da equação da continuidade. A escolha do polinômio biquadrático para a velocidade e linear descontínuo para a pressão faz com que, no elemento, cada componente da velocidade possua 9 graus de liberdade e o campo de pressão é representado por 3 graus de liberdade, totalizando 21 graus de liberdade por elemento. Por fim, substitui-se as expansões para o campo de velocidade e pressão nas equações dos resíduos ponderados, obtendo um sistema não linear. A resolução do sistema não linear é realizada pelo método de Newton (Alves (2012), Carvalho e Valerio (2012) e Alves et al. (2011)). 3 MÉTODO DOS ELEMENTOS DISCRETOS O Método dos Elementos Discretos (MED) é um método utilizado para simular o movimento de partículas de diversos tipos de materiais em um meio discretizado. A partir do entendimento das propriedades mecânicas microscópicas das partículas e o comportamento da interação entre elas, o MED permite avaliar de maneira macroscópica o comportamento físico e mecânico do modelo estudado. O diferencial do método está em considerar o meio analisado como um conjunto de partículas com propriedades mecânicas particulares e geometrias definidas. O mais usual é trabalhar com um conjunto de discos ou esferas. Na formulação clássica do MED, cada elemento é considerado rígido e permite-se que haja uma sobreposição entre as partículas, desde que sua ordem de magnitude seja pequena em relação ao tamanho das mesmas (Poshel e Schwager, 2004). O algoritmo de solução do MED deve apresentar uma rotina de processos, dentre os quais a detecção de colisão entre os elementos, o cálculo das forças resultantes dessas colisões e o cálculo posterior da velocidade resultante. Depois de estabelecidas essas etapas e as condições iniciais, o movimento dos elementos pode ser simulado. 3.1 O movimento das partículas O movimento de cada partícula individual é regido pelas leis da conservação do momento linear a segunda lei de movimento de Newton expressa, para a partícula i, por m i v i t = F B,i + N i j F P,ij + F W,i + F F,i, onde, m i e v i são a massa e a velocidade, respectivamente, da partícula i e t é o tempo. F B,i é a força total de corpo agindo sobre a partícula i; F P,ij é a força que age sobre a partícula i por sua interação

5 com as partículas vizinhas j, onde N i é o número total de partículas vizinhas; F W,i é a força agindo na partícula i por sua interação com os limites (paredes) do domínio do fluxo e, finalmente, F F,i é a força agindo sobre a partícula i devido à interação com o fluido. 4 INTERAÇÃO FLUIDO PARTÍCULA A simulação entre a interação fluido-partícula é realizada por meio da resolução do sistema formado pelas equações de Navier-Stokes e continuidade pelo método dos elementos finitos e o deslocamento das partículas pelo método dos elementos discretos, como descrito anteriormente. Para isso são considerados um número relativamente pequeno de partículas dispersas e de raio muito menor que a dimensão do domínio do fluido, de modo que possa ser desconsiderada a influência das partículas sobre o escoamento (Apostolou e Hrymak, 2008). O acoplamento entre o escoamento e as partículas é realizado da seguinte maneira: primeiro determina-se o campo de velocidade e pressão do fluido. Como resultado é gerado um vetor solução que contém a velocidade do fluido nas direções x e y nos nós de cada elemento finito. Na segunda parte da simulação o vetor gerado no passo anterior é usado como arquivo de entrada para o programa que simula o movimento das partículas. Com as coordenadas das partículas identificase em qual elemento finito a partícula se encontra e calcula-se a velocidade da partícula de acordo com a velocidade nos nós do elemento finito a que ela pertence. O cálculo dessas velocidades é realizado usando as mesmas funções peso utilizadas para expandir o campo de velocidade e pressão. Por fim determina-se o deslocamento das partículas considerando, além das forças de corpo, as forças de colisão partícula-partícula e partícula-parede, as forças hidrodinâmicas partícula-partícula e partícula-parede e a força coloidal devido à aproximação entre as partículas imersas no fluido com outras partículas e também com a parede. Esta interação é feita desconsiderando qualquer tipo de influência da partícula no escoamento, uma vez que o fluido encontra-se em estado permanente, não sendo necessário calcular a velocidade do fluido em cada passo de tempo. As forças implementadas neste trabalho encontram-se em: Apostolou e Hrymak (2008), Di Renzo e Di Maio (2005), Kim e Karrila (1991), Israelachvili (1991), Walton e Braun (1986) e Suzuki et al. (1969). O código do programa foi dividido em duas partes, uma que simula o movimento do fluido e outra que simula o movimento das partículas. Ambas as partes foram implementadas em MATLAB. O tempo de processamento é de aproximadamente 25 minutos para os exemplos mencionados no trabalho em uma máquina com as seguintes configurações: Processador Intel Core 2 Duo E GHz e Memória de 4.0 GB. A Fig. (1) esquematiza o algoritmo implementado.

6 Figura 1: Algoritmo de Interação Fluido-Partícula. 5 CÁLCULO PARA O TESTE DE PARADA Uma das maiores dificuldades para a realização deste trabalho foi a obtenção dos valores dos parâmetros utilizados para a realização da simulação. Destes, podemos destacar o coeficiente de restituição, que depende dos valores dos coeficientes de rigidez, utilizados para calcular a componente da força normal de colisão entre partículas e entre a partícula e a parede. Para a componente normal da força de colisão entre as partículas i e j (F C,n,ij ), Walton e Braun (1986) propuseram carga e descarga elástica, com coeficientes de rigidez diferentes, K n,1 para "carregar"e K n,2 para "descarregar": δ n,ij K n,1 δ n,ij n ij se 0 F C,n,ij = t δ n,ij (2) K n,2 δ n,ij n ij se < 0 t onde n ij é o vetor unitário que une os centros das partículas com direção de i para j e δ n,ij é a sobreposição entre as duas partículas na direção de n ij. A componente normal da força de colisão entre a partícula e a parede, similar a Eq. (2), é dado por (Walton e Braun, 1986) δ iw K n,w1 δ iw n w se 0 F C,n,iw = t δ (3) iw K n,w2 δ iw n w se < 0 t onde n w é o vetor normal à parede e que aponta para o fluido, δ iw é a sobreposição da partícula com a parede, K n,w1 e K n,w2 são os coeficientes de rigidez normal de aproximação e afastamento entre a partícula e a parede, respectivamente. O coeficiente de restituição (e), que depende dos valores dos coeficientes de rigidez (K), utilizado nas simulações deste trabalho é obtido por (Apostolou e Hrymak (2008), Mishra e Murty

7 (2001) e Walton e Braun (1986)): K n,1 K n,w1 e = = = 0.8. (4) K n,2 K n,w2 A primeira análise dos valores usados para o coeficiente de rigidez foi feita de forma visual, ou seja, o coeficiente era calibrado seguindo uma determinada relação (Poshel e Schwager (2004), Mishra e Murty (2001), Tsuji et al. (1993), Dobry e Ng (1989) e Walton e Braun (1986)) mantendo sempre e = 0.8 (Apostolou e Hrymak, 2008) e, após isto, realizava-se uma análise dos vídeos gerados. Pensando numa análise mais consistente acrescentamos um teste de parada no programa. Este teste mede o deslocamento máximo que a partícula pode realizar durante a simulação, parando o processo caso o deslocamento da partícula seja superior ao máximo permitido. Com este critério de parada é possível calibrar o coeficiente de restituição de forma que as partículas não ultrapassem essa distância limite. Como o passo de tempo adotado na simulação é de t = s (Mishra e Murty, 2001) e a velocidade máxima da partícula é v = 0.07 m/s, é possível calcular o deslocamento máximo da partícula em cada passo de tempo. O deslocamento máximo é dado por: s = v t = m. 6 DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES DE RESTITUIÇÃO Conforme mencionado na Seção (5) uma das maiores dificuldades para a realização deste trabalho foi a obtenção dos valores adequados para os coeficientes de rigidez que satisfizessem o critério de parada. Uma outra dificuldade na definição dos valores dos coeficiente de rigidez reside no fato deles serem dependentes tanto do diâmetro das partículas quanto da própria geometria do problema. Dessa forma, os valores apresentados em Apostolou e Hrymak (2008) não foram satisfatórios para as simulações realizadas. Fez-se então necessário, determinar valores apropriados a este trabalho de maneira a tornar as simulações fisicamente consistentes. Mantendo-se fixo as características do escoamento do fluido (geometria, velocidade da tampa móvel, propriedades físicas etc), realizou-se um estudo da relação entre coeficientes de rigidez e K n,1 K n,w1 raio das partículas, mantendo-se o coeficiente de restituição e = = = 0.8 e o K n,2 K n,w2 critério de consistência física da simulação, Seção (5). Assim, foi obtido um conjunto de valores para os coeficientes de rigidez e do raio das partículas, obtendo-se uma região de consistência. Esta região de consistência foi obtida da seguinte forma: mantendo-se fixo os valores dos coeficientes de aproximação K n,1 e de afastamento K n,2 entre as partículas e também os coeficientes de aproximação e de afastamento K n,w1 e K n,w2 entre as partículas e a parede, variou-se o valor do raio das partículas, com uma precisão de 10 4 µm, com o objetivo de determinar um intervalo de valores consistentes para o raio das partículas; em seguida, variou-se os valores dos coeficientes de

8 rigidez em 10%, mantendo o valor e = 0.8 e repetiu-se o processo para determinação do intervalo de consistência para o raio das partículas. 7 RESULTADOS Para as simulações da interação fluido-partícula as dimensões da geometria do fluido são de um aplicador usado na indústria de revestimento (Apostolou e Hrymak, 2008): L x = m de comprimento e L y = m de largura. Os valores dos parâmetros considerados são: densidade do fluido ρ = 1000 kg/m 3, viscosidade µ = Pa s e a velocidade de entrada e de saída do fluido v = 0.07 m/s, no caso da cavidade com tampa móvel a velocidade da tampa é, também, v = 0.07 m/s. Foi utilizada uma malha de elementos, totalizando 1701 nós e 4602 graus de liberdade. Em relação à partícula, os parâmetros utilizados estão na Tabela (1). Tabela 1: Características da partícula. Parâmetros Nomenclatura Valor Densidade da partícula ρ p 1051 kg/m 3 Coeficiente de Poisson ν 0.33 Coeficiente de restituição e 0.8 Constante de Hamaker Λ ij J Comprimento de onda λ 100 nm A Fig. (2) apresenta a região de consistência obtida para o caso da simulação de partículas suspensas em uma cavidade de tampa móvel. Ao eixo x estão associados os conjuntos de valores dos coeficientes de rigidez, como pode ser visto na Tabela (2). Ao eixo y está associado o valor do raio das partículas ( 10 7 ). As linhas contínuas na Fig. (2) foram obtidas por ajuste de curva de grau 2 para o limite superior e inferior, respectivamente, dados por e y = x x , y = x x A importância do resultado apresentado na Fig. (2) reside no fato de facilitar a escolha desses parâmetros de forma a manter a consistência da simulação. Para um dado conjunto de valores de coeficientes de rigidez, obtém-se de forma direta os valores viáveis para o raio das partículas. Por outro lado, dados dois valores de raio de partículas, o conjunto de valores dos coeficienters de rigidez a ser adotado deve ser escolhido entre aqueles que são viáveis para os dois valores do raio, conforme pode ser visto na Fig. (3). Em alguns casos, não é possivel determinar coeficientes que satisfaçam aos valores de raio dados, Fig. (4).

9 Figura 2: Região de consistência. Tabela 2: Conjuntos de coeficientes Intervalos dos raios. Ceficientes de rigidez Intervalos dos raios ( 10 7 ) Conjuntos de coeficientes K n,1 K n,2 K n,w1 K n,w2 R min R max R

10 Figura 3: Região de consistência para duas partículas com raios R 1 = e R 2 = Figura 4: Ausência da região de consistência para duas partículas com raios R 1 = e R 2 = Vale dizer que um conjunto de valores não deve, necessariamente, pertencer a região de consistência para que a simulação apresente resultados coerentes fisicamente, uma vez que não há garantia de que as partículas irão colidir entre si ou com as paredes em uma dada simulação. Porém, de posse da região acima é possível evitar a perda de tempo em processos de tentativa e erro para obtencão dos valores desses parâmetros.

11 8 CONCLUSÕES E TRABALHOS FUTUROS A região de consistência é inerente ao uso de métodos numéricos para a determinação do movimento das partículas, dependendo diretamente dos parâmetros do método utilizado, não estando definida no âmbito de experimentos físicos reais. Assim, a determinação da região de consistência mostra-se de grande importância em simulações numéricas do problema estudado. Neste trabalho foi determinada uma região de consistência para a simulação numérica de partículas suspenas em uma cavidade de tampa móvel utilizando o método dos elementos finitos para a determinação do campo de velocidades do fluido e o método dos elementos discretos para a determinação do deslocamento das partículas. Sugere-se, para trabalhos futuros, o estudo da região de consistência para outros valores do coeficiente de restituição, parâmetros do fluido e das partículas, passo de tempo, velocidade da tampa e outras geometrias para o problema. Este estudo pode levar a determinação de funções para os valores máximo e mínimo do raio das partículas cujas variáveis sejam os coeficientes de rigidez e os parâmetros acima citados, em particular a velocidade máxima do fluido, que é definida pela velocidade da tampa móvel. AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) e a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) pelo suporte financeiro fundamental para a realização desta pesquisa. Referências C.F.M. Alves. Análise computacional da interação fluido-partícula. Dissertação de Mestrado, Instituto de Matemática, Programa de Pós-Graduação em Informática, UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, July C.F.M. Alves, M.G. Teixeira e J.V. Valerio. Interação fluido-partícula. In Iberian Latin American Congress on Computational Methods in Engineering, pages , Ouro Preto - MG, Brasil, November K. Apostolou e A.N. Hrymak. Discrete element simulation of liquid-particle flows. Computers and Chemical Engineering, 32: , Ivo Babuška. The finite element method with penalty. 27(122): , April ISSN (print), (electronic). F. Brezzi. On the existence, uniqueness, and approximation of saddle-point problems arising from lagrangian multipliers. RAIRO Anal.Numer., 2: , January M. S. Carvalho e J.V. Valerio. Introdução ao Método de Elementos Finitos, volume I. SBMAC, 2012.

12 A. Di Renzo e F.P. Di Maio. An improved integral non-linear model for the contact of particles in distinct element simulations. Chemical Engineering Sciense, 60: , R. Dobry e T. T. Ng. Proceedings of the 1st international conference on discrete element modeling. Colorado, J.N. Israelachvili. Intermolecular and surface faces S. Kim e S.J. Karrila. Microhydrodynamics: Principles and sekected applications B. K. Mishra e C. V. R. Murty. On the determination of contact parameters for realistic dem simulations of ball mills. Powder Technology, 115: , T. Poshel e T. Schwager. Computational Granular Dynamics. Springer, Berlin, Germany, A. Suzuki, N.F.H. Ho e W. Higughi. Predictions of the particle size distribution changes in emulsions and suspensions by digital computation. Journal of Colloid and Interface Sciense, 29, Y. Tsuji, T. Kawaguchi e T. Tanaka. In Powder Technol., O.R. Walton e R. Braun. Viscosity, granular-temperature, and stress calculations for shearing assmblies of inelastic, frictional disks. Journal of Rheology, 30, 1986.