Renato Cardoso Mesquita Departamento de Engenharia Elétrica UFMG

Transcrição

1 Renato Cardoso Mesquita Departamento de Engenharia Elétrica UFMG

2 Problemas eletromagnéticos modelagem básica; Métodos numéricos baseados em malhas; Introdução aos métodos sem malha. Nossos principais trabalhos na área. Conclusões

3 Equações de Maxwell: xe xh B t J D t. D. B 0

4 Exemplo 1: Eletrostática Sem variação no tempo, só estamos interessados no campo elétrico: xe 0. D xh J. B 0 Aplicação: micromotor eletrostático

5 As equações ficam: xe 0 Relação entre D e E: D E. D Permissividade elétrica

6 Se ==> xe 0 E V Potencial escalar elétrico!

7 Equação diferencial:. V Equação de Poisson não é constante Geralmente é descontínuo

8 Condição de contorno de Dirichlet; V V o em g Condição de contorno de Neumann: V D n em n Condições de interface (descontinuidade) 1 n V1 2 2 V n em h

9 1 n V1 2 2 V n em V V o. V V n D n

10 Equações de Maxwell: xe B t xh J D t. D. B 0 Exemplo de aplicação: radar

11 xe B B H t xh D D E t xe H t xh E t

12 t H xe t E xh t E xh 2 2 t E t H x t E xe x Definir Condições de contorno; Interface entre materiais descontínuos;...

13 Parte-se das equações de Maxwell; Consideram-se as condições específicas do problema; EDPs do problema Condições de contorno Condições de interface (meios com descontinuidade nas características físicas)

14 Métodos analíticos: Só funcionam para problemas muito simples (geometria simples, materiais lineares,...) Métodos numéricos Baseados em malha: Elementos finitos (FEM) elementos nodais e de aresta; Diferenças finitas (FDM) domínio do tempo - FDTD; Finite Integration Technique (FIT) ; Elementos de contorno (BEM); Método dos momentos (MoM); Sem malha Métodos sem malha (MM).

15 Boa parte dos métodos numéricos utilizados (incluindo a maioria dos métodos sem malha) é baseada no método de Galerkin. (S) Forma forte Forma fraca (W) Métodos numéricos: fornecem funções de base para o método de Galerkin Discretização pelo método de Galerkin Forma Matricial (G) (M)

16 (S) Dados e, determinar a função V: -> que satisfaça:. V V V 0 em g V D n em h n V1 V em n n k Dirichlet Neumann Interface

17 Seja S o espaço das funções admissíveis e U o espaço das funções de teste: S = { V V H 1 (), V(x,y) = V 0, (x,y) g } U = {w wh 1 (), w(x,y) = 0, (x,y) g } H 1, espaço de funções com derivada primeira com quadrado integrável Produto interno em H 1 : V, w Vwd

18 Montamos o resíduo para a equação a ser resolvida no domínio:. V R. V Efetuamos o produto interno com uma função de teste, wu. Forçamos a ortogonalidade do resultado, w U:. V wd 0 wu R, w

19 (W) Dados, V 0 e D n, determinar V S, tal que w. Vd w d h wd d n wu Interpretação fundamental: ortogonalidade do resíduo em relação ao espaço das funções de teste. V wd 0 wu R, w

20 Construir uma aproximação de dimensão finita para os espaços S e U S h e U h, onde S h S, U h U Se u h S h e w h U h, então: V h (x,y) = V 0,(x,y) g w h (x, y) = 0, (x,y) g S g U d g y x V S V h n h h h h,,, 1 U c y x w U w n h h h,, 1 (a não ser por g h, S h e U h são compostos pela mesmas funções)

21 Reescrever a forma fraca em termos de V h e w h : (G) Dados, V 0 e D n (como em W), determinar V h = y h +g h, onde g h S h e y h U h, tal que: h h h h n h h h h U w d g w D d w d w d y w h.. U d y n h, 1

22 O método de Galerkin, como apresentado, é também conhecido como método de Bubnov- Galerkin; Se as funções de base de S h fossem diferentes das de U h, teríamos o método de Petrov-Galerkin. As funções de S h precisam satisfazer explicitamente as condições de contorno de Dirichlet! A escolha das funções de base não é arbitrária.

23 Interpretação fundamental: Resíduo ortogonal ao espaço de aproximação R h h h h. V w d 0 w U h h, w S V h V S h R h Para que o método funcione, a escolha das funções deve ser feita de modo que S h aproxime S de forma consistente. Como escolher estas funções de maneira sistemática é a questão fundamental que os métodos numéricos tentam responder

24 Como determinar as funções de base ( ) necessárias para construir as funções de U h e S h? No método de elementos finitos, isto é simples: Criam-se funções chapéu, N A, associadas a cada nó A da malha. As funções são iguais a 1 naquele nó e 0 nos demais (propriedade do delta de Kronecker, ij ). Na nomeclatura do MEF estas funções são denominadas funções de forma. N 3 (x,y) 1 3 etc

25 Função de forma

26 Possuem suporte compacto: só são diferentes de zero em uma pequena parcela do domínio; Formam uma partição da unidade: n i1 Satisfazem o delta de Kronecker: N i (x j ) = ij É fácil impor condições de contorno de Dirichlet (ou seja, é fácil gerar funções que pertençam a S h. Satisfazem a condição de reprodução de um campo n linear: N ( x) x x, i1 i N i x Possuem consistência de ordem 1 (conseguem reproduzir polinômios de primeira ordem). i ( x) 1,

27 Gera-se a aproximação da solução usando as funções de forma geradas na malha de elementos finitos: V h x, y d AN A Substituindo as expressões das aproximações na forma de Galerkin, obtém-se o sistema matricial, (M) [K][d] = [f] n A1 K AB N A. N B d f A N d N D d K A A n B g h AB g B

28 Observações: 1- K é simétrica, positiva definida e esparsa 2- O processo de cálculo das matrizes e vetores pode ser efetuado elemento por elemento

29 Partição (cobertura) do domínio; Define a conectividade entre os nós.

30 Estruturada: adaptação mais difícil à geometria Não estruturada: adapta-se mais facilmente à geometria

31

32 São mais complexas de serem geradas. Malhas de baixa qualidade (triângulos ou tetraedros distorcidos, muito distantes dos equiláteros) podem gerar grandes erros na solução. Gerar uma malha 3D de qualidade para o método de elementos finitos, para geometrias arbitrárias ainda é um dos grandes problemas na aplicação do método de elementos finitos.

33 Obter as funções de forma para o método de Galerkin sem usar uma malha. Usam apenas nós (pontos) espalhados sobre o domínio

34 Eliminar a malha pode gerar métodos mais simples para problemas muito complexos: Geometrias 3D complexas; Implementação de adaptatividade; Problemas envolvendo movimento e geometria variável: Máquinas elétricas; Otimização de forma e problemas inversos.

35 No caso dos métodos sem malha, a determinação das funções de forma não é tão simples. É desejável que elas satisfaçam as mesmas condições do MEF: Suporte compacto (se não satisfizerem, o sistema de equações obtido não será esparso); Partição da unidade (se não satisfizerem, não serão capazes de reproduzir um termo constante da solução); Condição de reprodução de campo linear, ou seja, tenham, no mínimo, consistência de ordem 1 Delta de Kronecker (nem sempre satisfazem neste caso, teremos dificuldades de impor condições de contorno de Dirichlet); Possam ser obtidas a partir de uma distribuição arbitrária de nós ; O algoritmo para sua obtenção seja computacionalmente eficiente;

36 Várias estratégias foram desenvolvidas. Já testamos: Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH) Reproducing Kernel Particle Method (RKPM) Moving Least Squares (MLS) Point Interpolation Method (PIM) Radial Point Interpolation Method (RPIM) Radial PIM com reprodução polinomial (RPIMp) Funções de Shepard....

37 Desenvolvidos originalmente por matemáticos para ajuste de superfícies e regressão de dados. O método é um dos mais utilizados atualmente para a construção de funções de forma de métodos sem malha. Principais características: A função de aproximação gerada é contínua e suave em todo o domínio; O método é capaz de gerar uma aproximação com a ordem de consistência que se desejar.

38 Seja u(x) uma função definida em um domínio Ω. Sua aproximação em um ponto x é u h (x). Aproximação por MLS: a(x) : Note que a(x) varia com x! p(x) é o vetor de funções de base normalmente monômios de baixa ordem é possível enriquecer a base com outras funções.

39 O vetor de coeficientes a(x) é determinado usando os valores de u(x) em um conjunto de nós incluídos no domínio de suporte de x. O domínio de suporte de x determina o número de nós (n) que são usados localmente para aproximar o valor de u(x) no ponto x.

40 Dado o conjunto dos n valores da função sendo aproximada nos n nós do domínio de suporte: u 1, u 2,,u n, em x 1, x 2,,x n Pode-se calcular o valor da função aproximada nestes nós: Um funcional de resíduos ponderados é construído utilizando os valores aproximados da função e os parâmetros nodais : u I = u(x I ),

41 Funcional: Exemplo de funções peso

42 No MLS, em um ponto arbitrário x, a(x) minimiza o resíduo ponderado. A condição de minimização requer que: Mas Portanto: A é a matriz de momentos (ponderada).

43 Onde: Resolvendo o sistema:

44 Mas: Portanto: Mas, como: Obtem-se as funções de forma para o MLS:

45 O requisito n>>m geralmente evita a singularidade da matriz de momentos ponderados, de maneira que A 1 exista.

46 Exemplos de função de forma obtidas por MLS: OBS: não satisfazem o delta de Kronecker, mas formam uma partição da unidade! Suas derivadas de primeira ordem:

47 A consistência da aproximação MLS depende da ordem do polinômio completo utilizado (p(x)). Se a ordem é k, as funções de forma do MLS possuem consistência C k. Propriedade importante: qualquer função que apareça na base do MLS é reproduzida exatamente Se soubermos a priori algo sobre o comportamento da solução, este comportamento poderá ser incluído na aproximação, pela simples adição dele à base do MLS (desde que se garanta que a matriz A continuará inversível)

48 De posse das funções de forma geradas pelo MLS, substitui-las na forma fraca. Obtém-se sistema matricial semelhante ao do MEF: Ku=f K. d AB A B f A N Ad N ADnd K g AB B B g h Obs: necessário integrar em todo domínio Gerar uma malha de integração; EFG não é um método totalmente sem malha.

49 Usa uma estratégia diferente da do MLS; Número de nós no domínio de suporte igual ao número de monômios usados na base; Vantagem: Satisfaz delta de Kronecker imposição de condições de contorno facilitada; Desvantagens: Existem distribuições de nós em que não se consegue determinar as funções de forma (matriz singular) usar funções de base radial ao invés de polinômios RPIM e RPIMp ; Descontinuidades das funções de forma (difícil usar uma forma fraca global);

50 Se as funções de forma não são contínuas, melhor usar formas fracas locais; Os domínios onde as formas fracas são satisfeitas são superpostos e cobrem o domínio global Para isso, utiliza-se uma formulação do tipo Petrov-Galerkin; Funções de teste diferentes das funções de forma; Funções de teste escolhidas de maneira a simplificar e facilitar a formulação; Grande flexibilidade para escolha tanto das funções de forma quanto das funções de teste;

51 Domínios das funções de forma podem ser distintos dos das funções de teste Integração local método verdadeiramente sem malha. Meshless Local Petrov-Galerkin - MLPG

52 Método sem malha, segue construção semelhante ao do método de elementos finitos Porém utiliza uma estratégia diferente para obter as funções de forma, onde não se usa uma malha. As funções são computacionalmente mais complicadas; Algumas não satisfazem as condições do delta de Kronecker. Diversas maneiras de obter as funções de forma (MLS, PIM, RPIM, RPIMp, SPH, RKPM, Shepard, ).

53 O método ainda está em sua infância. Problemas / questões: imposição de condições de contorno; melhoria de desempenho computacional; quais as melhores formulações para problemas específicos em eletromagnetismo (baixas e altas freqüências / domínio do tempo )? etc. Apresentaremos algumas das soluções geradas em nosso grupo de pesquisa na UFMG.

54 Y(cm) 0.5 Distribuição de Nós Nó X(cm) Viana, Simone A. ; Mesquita, R.C.. Moving least square reproducing kernel method for electromagnetic field computation. IEEE Transactions on Magnetics, New York, v. 35, n. 3, p , 1999.

55 EFG PARREIRA, Guilherme F. ; FONSECA, Alexandre R.; LISBOA, Adriano C. ; SILVA, Elson José da ; MESQUITA, R. C.. Efficient Algorithms and Data Structures for Element-free Galerkin Method. IEEE Transactions on Magnetics, New York, v. 42, n. 4, p , 2006.

56 Fonseca, Alexandre R. ; Viana, Simone A. ; Silva, Elson J. ; Mesquita, R.C.. Imposing boundary conditions in the Meshless local Petrov Galerkin method. IET Science Measurement & Technology, v. 2, p. 387, m Nodes that influence the node m shape-function. Nodes that influence the node j shape-function. MLPG j Inner nodes Boundary nodes 1 l m n i j k i j k l m n j m

57 Guimarães, Frederico G. ; Saldanha, Rodney R. ; Mesquita, Renato C. ; Lowther, David A. ; Ramirez, Jaime A.. A Meshless Method for Electromagnetic Field Computation Based on the Multiquadric Technique. IEEE Transactions on Magnetics, v. 43, p , 2007.

58 EFG com interpolating moving least squares Coppoli, Eduardo H. R. ; MESQUITA, R. C. ; Silva, Renato S. Periodic Boundary Conditions in Element Free Galerkin Method. COMPEL The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, vol. 28, p , 2009 E.H.R. Coppoli, R. C. Mesquita, R. S. Silva - Field-Circuit Coupling With Element-Free Galerkin Method, 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation CEFC (Chicago, maio 2010).

59 SPEM Update Electric Field Thread 1 Initialize nodes Update Electric Field Thread 2 Update Electric Field Thread N K MLPG f Join Threads i Update Magnetic Field Thread 1 Update Magnetic Field Thread 2 Update Magnetic Field Thread N j Join Threads FONSECA, Alexandre R. ; MENDES, Miguel L. ; Mesquita, Renato C. ; SILVA, Elson J. da. Mesh Free Parallel Programming for Electromagnetic Problems. Journal of Microwaves, Optoelectronics and Electromagnetic Applications, vol. 8, p. 101S-113S, 2009.

60 Alexandre R. Fonseca, Bruno C. Corrêa, Elson J. Silva and Renato C. Mesquita - Improving the Mixed Formulation for Meshless Local Petrov Galerkin Method, IEEE Transactions on Magnetics (2010), v. 46, p , 2010.

61 Nicomedes, Williams L. ; MOREIRA, Fernando José da Silva ; MESQUITA, R. C.. Electromagnetic Scattering Problem Solving by an Integral Meshless-Based Approach. Aceito para publicação no COMPEL Journal of Computations and Mathematics in Electrical Engineering, Nicomedes, Williams L. ; MESQUITA, R.C., Moreira, Fernando J. S. - 2D Scattering Integral Field Equation Solution through an IMLS Meshless- Based Approach, IEEE Transactions on Magnetics, 2010, v. 46, p , 2010

62 Case Iris RPIMP 2D (GHz) FEM 3D (GHz) 1 a/ a/ a/ a/ E - electric field [V/m] Frequency [Hz] Bruno C. Corrêa, Elson J. Silva, Alexandre R. Fonseca, Diogo B. Oliveira & Renato C. Mesquita - Meshless Local Petrov-Galerkin in Solving Microwave Guide Problems, 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation CEFC (Chicago, EUA, maio 2010)

63 Ainda não publicado (trabalho do aluno Williams Nicomedes)

64 2009 SBMO/IEEE MTT International Microwave & Optoelectronics Conference (IMOC 2009 novembro, 2009): Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita and Fernando J. S. Moreira - A Local Boundary Integral Equation (LBIE) Method in 2D Electromagnetic Wave Scattering, and a Meshless Discretization Approach (p ). Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita and Fernando J. S. Moreira - The Unimoment Method and a Meshless Local Boundary Integral Equation (LBIE) Approach in 2D Electromagnetic Wave Scattering (p ).

65 Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita, Fernando J. S. Moreira - A Meshless Local Boundary Integral Equation Method for Three Dimensional Scalar Problems. 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation CEFC (Chicago, EUA, maio 2010). Aceito para publicação no IEEE Transactions on Magnetics.

66 PARREIRA, Guilherme Fonseca ; SILVA, Elson José da ; FONSECA, Alexandre Ramos ; MESQUITA, R. C.. The Element-free Galerkin Method in 3-Dimensional Electromagnetic Problems. IEEE Transactions on Magnetics, v. 42, n. 4, p , 2006.

67 Luciano C. A. Pimenta, Miguel L. Mendes, Renato C. Mesquita, and Guilherme A. S. Pereira, Fluids in Electrostatic Fields: An Analogy for Multi-Robot Control, IEEE Transactions on Magnetics, v. 43, Luciano C. A. Pimenta ; Nathan Michael ; MESQUITA, R. C. ; Guilherme A. S. Pereira ; Vijay Kumar. Control of Swarms Based on Hydrodynamic Models. IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2008.

68 Naísses Z. Lima; Renato C. Mesquita; Marcos L. Assis Jr., Framework for meshless methods using generic programming, 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation CEFC (Chicago, EUA, maio 2010)

69 Métodos sem malha são alternativa interessante aos métodos baseados em malhas; Há muito ainda para desenvolver: Gerar implementações ainda mais eficientes; Investigar as formulações mais adequadas para os diversos tipos de problemas eletromagnéticos; Novos tipos de funções de interpolação: Por exemplo, seria possível desenvolver o equivalente aos elementos de aresta (funções de interpolação vetoriais) sem uma malha? Estamos trabalhando ativamente nessas questões!

70 Ao mesmo tempo, há muitas questões matemáticas em aberto: Vários dos métodos ainda não têm estimativas teóricas de convergência; Existem algumas técnicas que desenvolvemos que não temos certeza se funcionariam corretamente em todas situações; É um campo vasto de pesquisa para Engenheiros, Matemáticos, Físicos,...