UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA. Aritmética e Frações no Egito Antigo

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA Aritmética e Frações no Egito Antigo Aluna: Tuanny Barbosa da Silva - R.A Orientador: Prof. João C. V. Sampaio Disciplina: Trabalho de Conclusão de Curso Curso: Licenciatura em Matemática Coordenadores: Prof a. Vera Lúcia Carbone Prof a. Karina Schiabel Silva Prof. Sadao Massago São Carlos, 3 de julho de 2013.

2 ARITMÉTICA E FRAÇÕES NO EGITO ANTIGO Monografia apresentada na disciplina de Trabalho de Conclusão de Curso, coordenada pelos Professores do Departamento de Matemática: Vera Lúcia Carbone, Karina Schiabel Silva e Sadao Massago. Aluna: Tuanny Barbosa da Silva R.A Orientador: Prof. João C. V. Sampaio São Carlos, 3 de julho de 2013.

3 Dedicatória Dedico este trabalho à mulher que me inspiro todos os dias e que sempre acreditou em mim: minha mãe Márcia.

4 Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus por me dar a cada dia a força para terminar meu sonho. Agradeço imensamente à minha mãe Márcia e aos meus irmãos Montana e Oberdan por esses 5 anos de apoio, confiança e amor que possibilitaram meus estudos. Às amigas Letícia, Marina e Mônica pelas conversas, pelas risadas, pelos aprendizados e pela época de convivência diária. Às amigas Adriana, Gabriela, Kaline e Lais, agradeço pela amizade, pela paciência e a companhia diária nestes últimos anos. Aos meus amigos de curso Ana Claudia e Paulo pelos momentos de estudo na BCo e pelo apoio ao longo do curso. À amiga Jessica por me mostrar que trabalhar com dedicação e com amor aos alunos é o melhor caminho. Agradeço também ao meu professor e orientador João Sampaio pela oportunidade deste trabalho. Por fim, gostaria de deixar meus sinceros agradecimentos a todos que não tem seus nomes aqui, mas que fizeram parte da minha jornada.

5 O aprendizado fornece-nos conhecimento. A vida oferece-nos a prática. Unamos a sabedoria com o amor, na atividade de cada dia, e descobriremos a divindade que palpita dentro de nós, glorificando a Terra que aguarda nosso concurso eficiente, pelo equilíbrio e compreensão. Alexandre - No livro Missionários da Luz.

6 Resumo O presente trabalho tem como objetivo analisar a matemática egípcia em um estudo que compreende a aritmética e as frações no Egito Antigo. No primeiro capítulo, buscamos explicitar o surgimento do sistema de numeração, começando pelo contexto histórico e dando continuidade com a aritmética usada. No segundo capítulo estudaremos o conceito de frações na antiga civilização egípcia. E no último capítulo apresentaremos os problemas do Papiro Rhind relacionados a frações. Assim, buscamos compreender neste trabalho como o ensino da aritmética egípcia facilita o aprendizado da aritmética para alunos do ensino fundamental, bem como para o professor ao expor esse conteúdo em sala de aula.

7 Sumário 1 Introdução Matemática Egípcia Notação Numérica Operações Aritméticas Adição de inteiros Multiplicação de inteiros Divisões de inteiros, de quocientes inteiros Frações Frações egípcias ou unitárias O algoritmo de Sylvester A conjectura de Erdös-Straus Problemas de partilha no papiro Rhind Números auxiliares vermelhos A tabela 2/n Problemas do Papiro Rhind 24 Referências Bibliográficas 38 v

8 Capítulo 1 Introdução No decorrer deste trabalho conheceremos a aritmética egípcia e estudaremos como as frações egípcias eram representadas. No último capítulo, apresentaremos os problemas do Papiro Rhind relacionados a frações. Constatamos ao longo do trabalho que as fontes para estudo da civilização egípcia são escassas e fragmentadas. Mas são de grande importância para o aprendizado do aluno e enriquecimento do repertório do professor. Assim, de acordo com o PCN (1998, p. 42), A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento. [7] 1.1 Matemática Egípcia Os primeiros números foram escritos em monumentos de pedra, argilas, calendários e pedras tumulares, porém a maioria do nosso conhecimento de matemática egípcia vem de escritos sobre papiros. Papiro é um material primitivo de escrita parecido com o papel, feito de um junco aquático chamado papu, que cresce ao longo do rio Nilo. 6

9 7 Os textos matemáticos egípcios mais antigos contêm principalmente problemas de ordem prática, tais como calcular a capacidade de um celeiro, o número de blocos necessários para a construção de um armazém ou o estoque de grãos necessários para a preparação de certa quantidade de pão e de cerveja. Contudo, as sociedades encontravam-se muito avançadas, fortemente urbanizadas e em plena expansão populacional, motivando assim o desenvolvimento das cidades e o aperfeiçoamento das técnicas de administração da vida comum. Necessitavam também de meios para acompanhar o que era produzido, quanto era devido de impostos e assim por diante. Lidar com esses problemas de subsistência era tarefa específica dos escribas. Eles eram, em geral, funcionários públicos profissionais que sabiam escrever e resolver problemas matemáticos simples. A maior fonte de informação sobre a matemática egípcia é o papiro Rhind, datado de cerca de a.c. O nome é uma homenagem ao arqueólogo escocês A. Henry Rhind, que o comprou, por volta de 1 858, em Luxor, no Egito. Este documento também é chamado de papiro de Ahmes, por causa do escriba egípcio que o copiou, e encontra-se no Museu Britânico. O papiro contém, de um lado, extensas tabelas que eram usadas como ajuda para cálculos e, do outro, uma coleção de problemas práticos, provavelmente usados para o treinamento de escribas, onde descrevem os métodos de multiplicação e divisão dos egípcios; o uso que faziam das frações unitárias; seu emprego da regra de falsa posição; sua solução para o problema da determinação da área do círculo e muitas aplicações da matemática. Ao todo são trabalhados 87 problemas, em escrita hierática. Existem outros quatro escritos egípcios menores, de alguma importância: o papiro de Moscou, o papiro de Kahun, o papiro de Berlim e o rolo de couro. Há muitos pequenos fragmentos e papiros comerciais espalhados pelo mundo, mas eles fornecem apenas uma ligeira informação sobre a matemática egípcia. Porém, estudaremos somente o Papiro Rhind e seus problemas relacionados a aritmética e a frações. 1.2 Notação Numérica Os egípcios desenvolveram uma escrita e um sistema de numeração por volta de a.c. Os antigos egípcios empregavam um sistema decimal. Diferente do nosso sistema, o sistema egípcio era aditivo, não posicional. Os numerais egípcios, em escrita hieroglífica, eram:

10 8 Figura 1.1. Fragmento do papiro Rhind. Depositado no Museu Britânico Londres. Fonte: (um), 2 (dez), W (cem), 4 (mil), 5 (dez mil), 6 (cem mil), 7 (milhão) O número 1 era representado por uma barra vertical e os números consecutivos de 2 a 9 eram obtidos pela soma de um número correspondente de barras. Os próximos números são múltiplos de dez e, por esta razão, dizemos que o sistema é decimal. O número dez é uma alça; cem, uma espiral; mil, a flor de lótus; dez mil, um dedo, cem mil, um sapo e um milhão, um deus com as mãos levantadas. [8] No sistema aditivo egípcio, os números maiores exigiam cadeias de símbolos bastante longas, observe a Figura 1.2, à página 9. Por exemplo, o número que escreveríamos como , os egípcios escreveriam, em numerais hieroglíficos, do seguinte modo:

11 WWWW22 A invenção dos hieróglifos durou muitos anos e quase todos foram tirados da fauna e da flora do Nilo. Os instrumentos e utensílios que utilizavam para a escrita eram usados no Egito pelo menos desde o início do quarto milênio a.c. Os pictogramas e as formas de desenhos variam consideravelmente de um sistema para outro. Os egípcios desenvolveram três formas de escrita, exemplificadas na Figura 1.3. A mais antiga era conhecida como hieroglífica usada pelos sacerdotes em monumentos, murais e tumbas. Desta, deriva uma forma cursiva de hieróglifos, usada nos papiros, chamada hierática, forma de escrita encontrada no papiro Rhind. Era uma maneira mais rápida e mais conveniente de transmitir uma mensagem, gravar um acordo, ou fazer um cálculo com números do que usando o desenho detalhado de hieróglifos pictográficos. Da hierática, mais tarde, resultou a escrita demótica, que foi adotada para usos gerais. Figura 1.2. Inscrição em mural egípcio, contendo numerais hieroglíficos. Fonte:

12 10 Figura 1.3. Exemplo da evolução da escrita egípcia antiga ao longo dos séculos. Fonte: Operações Aritméticas Adição de inteiros A operação aritmética fundamental do Egito Antigo era a adição, e as operações de multiplicação e divisão eram efetuadas no tempo de Ahmes por sucessivas duplicações. Apesar do caráter muito rudimentar de sua notação hieroglífica, os egípcios aprenderam há muito tempo a fazer operações aritméticas por meio de seus algarismos. A adição e a subtração não apresentam nenhuma dificuldade: para a primeira, por exemplo, basta justapor ou superpor as representações dos números a somar, em seguida reunir (mentalmente) os números idênticos, substituindo a cada vez dez signos de uma categoria pelo algoritmo da classe decimal imediatamente superior. Para somar os números e 1 696, por exemplo, superpõem-se inicialmente as representações dos números correspondentes. Agrupam-se em seguida as barras verticais, as alças, as espiras e as folhas de lótus. Em seguida, substituem-se dez barras por uma alça, dez alças por uma espiral, e dez espirais por uma flor de lótus, chegando, após as reduções, ao resultado da operação:

13 = WWWW WWW WWW WWW 4 22 WW WW Multiplicação de inteiros O método de multiplicação egípcia era muito diferente da nossa. Os egípcios usavam duas operações para multiplicar: a duplicação e a adição. Para calcular 6 8, por exemplo, eles fundamentavam o cálculo da seguinte forma: 2 8 = = 2 (2 8) = 32 Adicionando à esquerda dá: (2 + 4) 8 ou 6 8 e à direita: = 48. Assim, 6 8 = 48 O problema 32 do Papiro Rhind mostra o procedimento real usado pelos egípcios para calcular Vejamos (leitura da direita para a esquerda): / / 22 22W Esse hieróglifo corresponde ao seguinte (leitura da esquerda para a direita): /4 48 / De cima para baixo, vemos os resultados de 1 12, 2 12, 4 12 e 8 12, que foram obtidos através de duplicações. Os traços inclinados encontrados na terceira

14 12 e na quarta linha indicam que apenas estas linhas devem ser adicionadas para obter o produto desejado. O símbolo na parte inferior do cálculo em hieróglifos representa um rolo de papiro e significa: resultado é o seguinte. Portanto, dessa multiplicação temos = (4 + 8) 12 = = 144 Através de uma exceção, os egípcios às vezes multiplicavam um número diretamente por 10 em vez de adicionar o dobro do número e oito vezes o número. Isto foi feito facilmente em sua notação, eles apenas substituíam por 2, 2por W, e assim por diante. Outras abordagens para a multiplicação também foram usadas. Por exemplo, para multiplicar por 5, os egípcios ocasionalmente iniciavam pela multiplicação por 10 e, em seguida, dividiam por 2. Vejamos o Problema 6 do Papiro Kahun, calcular 16 16: / 1 16 / / 5 80 Assim, = ( ) 16 = = 256 Exemplo 1.1 Calcular

15 13 Na coluna da direita, os egípcios inscrevem o multiplicando 15 e na frente, na coluna da esquerda, o número 1. Depois dobram sucessivamente cada um dos números. Mas, como o multiplicador 84 não aparece desta vez na coluna da esquerda, ele prossegue a duplicação até obter a maior potência de 2 contida neste multiplicador. Na coluna da esquerda, os egípcios parariam no número 64, pois a duplicação seguinte daria 128, que seria superior ao multiplicador 84. Em seguida, nesta mesma coluna procura os números cuja soma seja igual a 84 e marca com um pequeno traço inclinado esses números (isto é, 64, 16 e 4): / / / Analisando a coluna da esquerda, constatamos que ela é composta por números que são potências de 2. A pergunta que surge é: Será que o método de dobrar e adicionar sempre tem sucesso? A resposta é sim, somente se escrevermos sempre o multiplicador como uma soma de potências de 2. Contudo, sabemos que Todo número positivo pode ser escrito como soma de potências inteiras de 2, distintas entre si, de uma maneira única. Ou seja, se n N, então existe k, número natural tal que, n = k a i 2 i = a a a a k 2 k i=0 sendo cada um dos dígitos a 0, a 1,..., a k igual a 0 ou 1. Vamos ilustrar usando o exemplo anterior, multiplicar 15 por 84, sendo 84 o multiplicador. Este número, 84, será escrito como uma soma de potências de 2. As primeiras nove potências de 2 são: 2 0 = = = = = = = = = 256

16 14 Agora escrevemos 84 como uma soma de potências de 2: 84 = Mas 20 = Assim, 84 = , ou 84 = Prosseguindo com a multiplicação de 84 por 15, isto é, somando os números marcados com o traço no formato egípcio, obtemos o seguinte resultado: = ( ) 15. = (2 6 15) + (2 4 15) + (2 2 15) = = Divisões de inteiros, de quocientes inteiros Vejamos agora como os egípcios efetuavam divisões de inteiros, quando os quocientes fossem inteiros. Eles transformavam o problema de dividir a por b em achar um número x tal que b vezes x é igual a a. Assim, dividir a por b significava, para eles, por quanto devo multiplicar b para obter a, ou ainda, quantos b s cabem em a? Exemplo 1.2 Calcular 45 9 Para resolver esse problema pensaremos como os egípcios: calcular 9 até obter 45. Começamos multiplicando 9, como se segue: / /4 36 total 45 Disto segue-se que (1 + 4) 9 = 45 ou 45 9 = 5. Aqui, o escriba egípcio faria a seguinte pergunta: quantas vezes 9 cabe em 45, ou de quantos 9 s eu preciso para formar 45? Portanto, para a multiplicação e a divisão os egípcios geralmente faziam duplicações sucessivas, ou seja, uma série de multiplicações ou divisões por 2.

17 Capítulo 2 Frações 2.1 Frações egípcias ou unitárias Para representar frações os egípcios usavam um conceito que, para nós equivale às frações unitárias, ou seja, frações da forma 1, com n 2. n Os egípcios representavam as frações escrevendo os números inteiros com uma forma que nos lembra uma elipse, por cima do inteiro, significando partes. Por exemplo, 1 seria escrito com a elipse sobre cinco barras verticais: r. A fração r seria representada por W 22 Eles criaram símbolos especiais para algumas frações. W 22 A fração 1 era representada por M. A fração 2 podia ser representada por r 2 3 s, e também por r. Na elaboração de problemas, os egípcios muitas vezes encontravam resultados que não eram expressos como frações unitárias. Nesse caso, escreviam-nas como uma soma de diferentes frações unitárias. Por exemplo, os egípcios não possuíam representação para 4 7. Então, eles procuravam decompô-la como soma de duas frações unitárias, escrevendo-a como E para escrever as frações 1 2 e 1 14, os egípcios escreviam M e r 2. A fração 4 7 era então representada na forma M r 2, ou seja, por justaposição dos símbolos representando as frações 1/2 e 1/14. Podemos representar qualquer fração unitária como uma soma de duas frações unitárias distintas, isto é, 1 a = 1 a a(a + 1) (2.1) sendo a um inteiro positivo. Se a é ímpar, a igualdade 2.1, nos fornece a importante decomposição 2 a = 1 (a + 1)/2 + 1 a(a + 1)/2 15 (2.2)

18 16 sobre a qual retomaremos adiante. Veremos também que podemos decompor qualquer fração ordinária, isto é, da forma a/b, com a e b inteiros positivos, e a < b, como soma de duas ou mais frações unitárias distintas. A escrita de uma fração qualquer como soma de frações unitárias distintas deu origem a vários problemas, alguns deles muito difíceis. Apresentaremos a seguir dois deles: o Algoritmo de Sylvester e a Conjectura de Erdös e Straus. Figura 2.1. Numerais hieroglíficos fracionários em parede de templo em Edfu, Egito. Fonte: Egyptian numerals 2.JPG 2.2 O algoritmo de Sylvester Em 1 880, o matemático inglês J. J. Sylvester ( ) demonstrou que toda fração ordinária a, isto é, com a e b inteiros positivos e a < b, pode ser escrita b como soma de um número finito de frações unitárias distintas entre si. O algoritmo consiste em, primeiramente, achar a maior fração unitária que seja menor que a fração dada; subtrair essa fração unitária da fração dada; e, em seguida, achar a maior fração unitária menor que a diferença obtida anteriormente. Por fim, deve-se subtrair de novo, e continuar o processo até chegar a uma fração unitária como resultado da subtração. Vejamos a demonstração do algoritmo. Considere a maior fração unitária 1 tal que 1 a. Isto é equivalente a dizer n n b que 1 n a b < 1 n 1

19 17 Se a = 1, tomamos n = b, e nada mais temos a fazer. Se não, a b = 1 ( a n + b 1 n = 1 n + an b bn ) Ocorre que, nas condições anteriores temos an b < a, pois 1 n a b < 1 n 1 a b 1 n 1 < 0 a(n 1) b < 0 b(n 1) an a b < 0 Então, an b < a Assim, percebemos que a nova fração ordinária obtida através do algoritmo tem numerador menor que a. Iteramos o algoritmo, agora aplicando-o à fração an b, procurando então a maior fração unitária 1 bn m que 1 < an b. m bn Mas a pergunta que surge é: unitárias iguais, isto é, obter 1 m = 1 n? an b que cabe em, isto é, tal bn não podemos obter uma soma de frações A resposta é não. Pois, an b nb < 1 n Sabemos que an b < a e a < b. Então, an b < b. Logo, an b nb < b nb = 1 n Assim, conclui-se que o algoritmo de Sylvester sempre termina em um número finito de passos, pois a sequência de numeradores, dos varios passos iterativos, é decrescente, e que cada nova fração unitária obtida é menor que as anteriores, o que as torna distintas entre si. Exemplo 2.1 Expressar em frações unitárias. Usando o Algoritmo de Sylvester, é necessário primeiramente encontrar a maior fração com numerador 1 menor que

20 18 1 < 13 n 20 desigualdade se verifica. 20 < 13n. Assim, n = 2 é o menor natural para o qual a Subtraindo 1 2 da fração inicialmente dada, temos: 1 m < = < 3m; a escolha neste caso deve ser m = 7. Como = é unitária, então = = A conjectura de Erdös-Straus Em 1 948, os matemáticos Paul Erdös e Ernst Straus conjecturaram que, qualquer que seja o número natural n > 5, existem números naturais a, b e c, distintos entre si, tais que 4 n = 1 a + 1 b + 1 c Pela Teoria dos Números, o conjunto N, dos números naturais, fica subdividido em quatro classes de naturais, cada uma das classes contendo todos os naturais que deixam um mesmo resto quando divididos por 4. São elas: 4m, 4m + 1, n = 4m + 2, 4m + 3. Utilizaremos aqui as equações 2.1 e 2.2, que estão na página 15. Para n = 4m, podemos escrevê-la como 4 n = 4 4m = 1 m = 1 m m(m + 1) 1 = m (m + 1)(m + 2) + 1 m(m + 1) Para n = 4m + 2, temos 4 n = 4 4m + 2 = 2 2m + 1 = 1 m (m + 1)(2m + 1) 1 = m (m + 1)(m + 2) + 1 (m + 1)(2m + 1)

21 é, Agora se n = 4m + 3, podemos observar que m + 4 cabe em 4 4m + 3, isto 4 4m + 4 < 4. Assim, imitando o algoritmo de Sylvester, obtemos: 4m n = 4 4m + 3 = 1 m = = = ( 4 4m ) m m m m + 4 (4m + 3) (4m + 3)(m + 1) (4m + 3)(m + 1) 1 (m + 2) + 1 (m + 1)(m + 2) + 1 (4m + 3)(m + 1) Mas, até o presente momento o caso n = 4m + 1 permanece sem resposta. Obtivemos assim apenas resultados parciais da Conjectura de Erdös-Straus. 4 Apenas para citar um exemplo, se m = 4, então = 4. O algoritmo de 4m+1 17 Sylvester nos dará 4 = É um caso em que os denominadores, das sucessivas frações que aparecem no algoritmo, sempre decrescem em uma unidade apenas. Mas 4 = , não se tratando de um contra-exemplo à conjectura Notamos também que a fórmula para 2/a, da equação 2.2, nos dá outra decomposição de 4 como soma de quatro frações unitárias distintas: 4 = 2 2 = ( ) = = Problemas de partilha no papiro Rhind Sabemos que no Papiro Rhind os primeiros problemas propostos e resolvidos eram de ordem prática. A maioria dos problemas se davam em dividir um certo número de pães por um certo número de pessoas e eles efetuavam essas divisões por meio de partilhas. O problema a seguir mostra como os egípcios realizavam essas partilhas. Exemplo 2.2 Repartir 4 pães para 5 pessoas. Chama a atenção, nos primeiros problemas propostos e resolvidos do papiro, o modo como os egípcios resolviam problemas de dividir um certo número de pães por um certo número de pessoas. Por exemplo, para dividir 4 pães para 5 pessoas, nós diremos que cabe, a cada uma, 4/5 de um pão, e isto poderia implicar, de certa forma, em cortar

22 20 todos os pães em 5 partes e distribuir 4 partes a cada pessoa. Mesmo que não cortemos todos os pães em 5 partes, algumas pessoas receberão pães quase inteiros, em pedaços correspondentes a 4, e outras irão receber pedaços menores. Como os 5 egípcios faziam para resolver este problema? A resposta é encontrada nos primeiros problemas do Papiro Rhind. E de certa forma explica a preferência egípcia usar frações unitárias na solução da partilha. Primeiramente, eles cortariam os 4 pães ao meio, e distribuiriam 1/2 pão a cada pessoa (1 o diagrama da Figura 2.2). Depois, tendo restado 3 metades, eles as dividiriam ao meio e distribuiriam cinco metades de metades, ou seja 1/4 de pão a cada pessoa (2 o diagrama). Finalmente, o quarto de pão restante seria dividido em 5 fatias, cabendo portanto mais 1/20 de pão a cada pessoa (3 o diagrama). Isso nos dá finalmente 4 = , ou seja, a cada uma caberia M r de pão. r 22 Figura 2.2. Diagramas da partilha de 4 pães para 5 homens, segundo procedimento egípcio. O resultado deste problema de partilha nos dá a decomposição da fração 4/5 em frações unitárias, a mesma que obteríamos se aplicássemos o algoritmo de Sylvester. Mas a coincidência de resultados nem sempre ocorre. Podemos verificar que, por exemplo, na partilha de 5 pães para 7 homens, segundo o método de divisão solidária egípcio, caberia a cada um , um resultado bem desajeitado, que os egípcios contornavam com o uso da fração 2/3 pois 5 = Se aplicarmos o algoritmo de Sylvester, obteremos a decomposição 5 = Ainda temos a decomposição 5 = , não prevista por nenhum dos algoritmos. A fim de acompanhar os antigos processos egípcios com mais facilidade, vamos usar uma nova notação para frações unitárias. A fração 1 12, por exemplo, será representada por 12, e, em geral, 1 n para n. A fração 2 3 será escrita por 3. Observe que 42 3 = 3 e que 3 dividido por 2 é igual a 3.

23 Números auxiliares vermelhos Para os egípcios a subtração se dava de forma diferente. Quando os escribas queriam calcular 1 (15 3 5) eles pensavam: O que será necessário para (15 3 5) completar 1 unidade? Os problemas 21, 22 e 23 do Papiro Rhind são dessa natureza. O escriba mostra como usar um número auxiliar vermelho para lidar com várias frações, que equivale ao nosso mínimo denominador comum. Esses números foram escritos em vermelho para torná-los imediatamente visíveis, por isso foram assim denominados. Vejamos o exemplo 2.3. Exemplo 2.3 Como completa 1 Escolhemos o 15 como o número auxiliar vermelho e procurando simplificar, aplicamos: 15 de 15 é igual a 1, 5 de 15 é igual a 3, 3 de 15 é igual a 5. Então, temos que (15 de 15) + (5 de 15) + (3 de 15) é 9. Como 15, o número vermelho, supera 9 em 6 unidade, temos que calcular o número de partes de 15 que dá um total de 6, isto é, dividir 6 por 15: / 3 5 / 15 1 soma 6. A resposta é Portanto, (15 5 3) + (15 3) = 1. À primeira vista, este método é completamente ininteligível. Para sabermos o que realmente aconteceu, vamos resolver este problema usando a nossa aritmética moderna. Afirmamos o problema como completar a soma para 1 unidade, podemos, então, alterar as frações 3 ao mesmo denominador: = = 9 15

24 22 Ainda precisamos de 6 6. Como os egípcios não tinham um símbolo para, eles tinham que encontrar um conjunto de frações unitárias, cuja soma dá 6. Ou 15 seja, eles dividiam 6 por 15. Os problemas 21, 22 e 23 do Papiro Rhind serão resolvidos no capítulo A tabela 2/n Os escribas egípcios dispunham de muitas tabelas, e usavam livremente os resultados que já conheciam, por serem frequentemente utilizados em problemas. No papiro Rhind encontramos uma tabela de decomposição de frações do tipo 2 n em frações unitárias, com n ímpar de 3 a 101. O equivalente a 2 é dado como ; e é escrito como Sugeriu-se que alguns dos itens na tabela para 2/n eram obtidos usando o equivalente da fórmula ou da fórmula 2 n = 1 (n + 1)/2 + 1 n(n + 1)/2 2 pq = 1 p(p + q)/2 + 1 q(p + q)/2 tendo em vista que se n é ímpar, ou se p e q são ímpares distintos, teremos frações unitárias distintas no segundo membro de ambas as igualdades. Porém, nenhum desses processos fornece a combinação para 2/15 que aparece na tabela. Recentemente foi sugerido que a escolha na maior parte dos casos era ditada pela preferência dos egípcios pelas frações derivadas das frações naturais 1/2, 1/3 e 2/3 por sucessivas divisões ao meio. Descrevemos a seguir o conteúdo da Tabela 2/n do papiro Rhind: Tabela 2.1. Decomposições de 2/n em frações unitárias, do papiro Rhind. 2 3 = = = = = = = = = =

25 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

26 Capítulo 3 Problemas do Papiro Rhind O papiro Rhind é nossa maior fonte de informação sobre a matemática egípcia. O papiro contém, de um lado, extensas tabelas para 2/n, com n ímpar de 3 a 101 e para n/10, com n de 1 a 9, que eram usadas como ajuda para os cálculos, e, do outro lado, uma coleção de 87 problemas. Estudaremos a seguir os 23 primeiros problemas do papiro, que são aqueles que tratam da aritmética egípcia. Os outros 64 problemas tratam sobre geometria, equações elementares, matemática recreativa, dentre outras aplicações matemáticas. Problemas 1 a 6 Dividir 1, 2, 6, 7, 8 e 9 pães entre 10 homens. Para resolver esse problema o escriba possuía duas formas. A primeira era realizando divisões simples e a outra era efetuando a decomposição do número de pães. Realizaremos os dois métodos. Abaixo descrevemos as divisões simples, dos problemas de divisões de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 pães, para 10 homens. 24

27 : 1 10 / 10 / : 1 10 / 10 / 1 / 5 / : 1 10 / 2 / : 1 10 / 3 / 6 3 / 30 / : 1 10 / 3 / 6 3 / 5 / 2 / 30 / : / 5 / : / 3 / 3 3 / 15 / : 1 10 / 2 / 5 / 10 / : 1 10 / 3 / 6 3 / 10 / 1 / 30 /

28 26 Depois de efetuadas as divisões simples de 1 a 10 pães entre 10 homens, obtemos assim as respostas dos problemas 1 a 6 do papiro Rhind. Se dividirmos 1 pão entre 10 homens, cada homem receberá igualmente 10 de pão. Se dividirmos 2 pães entre 10 homens, cada um receberá igualmente 5 de pão. Se tivermos 6 pães divididos entre 10 homens, cada um receberá igualmente (2 10) de pão. Se tivermos 7 pães divididos entre 10 homens, cada um receberá igualmente (3 30) de pão. Com 8 pães divididos entre 10 homens, cada um receberá igualmente ( ) de pão. E com 9 pães divididos entre 10 homens, cada um receberá igualmente (3 5 30) de pão. Mas esse resultado poderia ter sido construído de outra forma. Considere a divisão de 1, 2 e 5 por 10: 1 10 = = = 2 A partir dessas entradas, o escriba poderia imediatamente obter 3 10 a partir de (1 + 2) 10, adquirindo assim sua terceira entrada De modo semelhante, uma vez que 6 10 é (1 + 5) 10, a sexta entrada é O escriba poderia também ter encontrado 6 10 dobrando 3 10, mas provavelmente o rejeitou por ser menos simples. No entanto, realizando a duplicação temos a decomposição em frações unitárias: 2 (3 10) = 2 (5 10) = (2 5) + (2 10) = (3 15) 5 onde 3 15 vem a partir da tabela 2/n. Assim, o escriba teria obtido a útil igualdade = A quarta entrada poderia vir de ou de 2 2, mas em cada caso o escriba teria 5 5, o que não é aceitável, pois possuiria duas frações iguais. Mas desde que dois quintos pode ser expresso como 2 5, ele só tinha que olhar na tabela 2/n para encontrar o quociente O escriba tinha disponíveis várias alternativas de obtenção de quocientes de 7, 8 e 9. Assim, ele poderia ter encontrado 7 10, considerando (1 + 6) 10 = 10 (2 10) = 2 5 (2 + 5) 10 = 5 2 (3 + 4) 10 = (5 10) (3 15) =

29 27 Mas o escriba não queria nenhum desses, pois agora ele poderia incluir a sua importante fração 3, o que não era possível para os dividendos anteriores. O mesmo acontece para 8 10: (1 + 7) 10 = 10? =? (2 + 6) 10 = 5 (2 10) = (3 + 5) 10 = (5 10) 2 = (4 + 4) 10 = (3 10) (3 10) = (3 3) (15 15) = O escriba escolheu para 8 10 o último valor, provavelmente devido à presença do 3. Falta agora a divisão de 7 e 9. Nestes dois últimos poderia ter sido facilmente encontrados a partir 9 10 = (8 + 1) 10, adicionando 10 a ( ) para dar E a partir dai 7 10 = (8 1) 10, subtraindo 10 de para dar Portanto, obtemos assim a resposta do Problema 1. receberá igualmente: Assim, cada homem 1 10 = = = = = = Podemos, também, retirar dessa solução a tabela n/10, com n entre 1 e 9 do Papiro Rhind: 1 10 = = = = = = = = = 2

30 28 Problemas 7 a 20 A multiplicação de (1 2 4) e (1 3 3) por diversos multiplicadores que contêm frações unitárias. Nestes 14 problemas, os números (1 2 4) e (1 3 3) são utilizados como multiplicadores para uma sucessão de multiplicandos que foram escolhidos de modo a dar origem a certas igualdades susceptíveis de utilização nos problemas posteriores do papiro. Podemos considerar também esses problemas como exemplos de multiplicações simples de expressões fracionárias. As seguintes multiplicações foram realizadas pelo escriba: vezes 7 (Problema 11) 14 (Problema 12) 28 (Problema 14) 2 14 (Problema 9) 4 28 (Problema 7, 10) (Problema 13) (Problema 15) vezes 2 (Problema 16) 3 (Problema 17) 4 (Problema 8) 6 (Problema 18) 12 (Problema 19) 24 (Problema 20) Agora faremos as resoluções desses 14 problemas. Problema 7: (1 2 4) (4 28). Realizando a multiplicação simples, temos / / /

31 29 Assim, (1 2 4) (4 28) = = 2 (3.1) Para chegarmos a resposta (3.1) usamos o número auxiliar 112 e achamos 4 28 de 112 = de 112 = de 112 = Somando as quantidades correspondentes obtemos 56. Logo, = 2. Problema 8: (1 3 3) 4. Realizando direto a multiplicação simples temos: (1 3 3) 4 = = 2 (3.2) O resultado (3.2) foi obtido a partir da utilização do número auxiliar 12 e calculando: 4 de 12 = 3 6 de 12 = 2 12 de 12 = 1 Seguindo o mesmo procedimento do Problema 7, somando as quantidades correspondentes obtemos 6. Então, calculando 6 12 obtemos 2. Problema 9: (1 2 4) (2 14). Realizando a multiplicação,

32 30 Então, (1 2 4) (2 14) = = 1 (3.3) Tomando o número 56 como número auxiliar, obtém-se: 2 14 de 56 = de 56 = de 56 = Chegamos no resultado (3.3) somando as quantidades correspondentes, isto é, = 56. Portanto, = 1 Problema 10: De acordo com [6] os problemas 7 e 10 são idênticos. Ambos tratam de: (1 2 4) (4 28) = = 2 Já nos problemas 11 e 12 não há complicações. Ahmes utilizou simplesmente a duplicação na multiplicação. Vejamos: Problema 11: (1 2 4) 7 = = 4 (3.4) Problema 12: (1 2 4) 14 = = 8 (3.5) Problema 13: (1 2 4) (16 112)

33 31 Efetuando a multiplicação, temos / / / Então, (1 2 4) (16 112) = = 8 (3.6) Assim, Para encontrarmos (3.6), tomemos o número 448 como o número auxiliar de 448 = de 448 = de 448 = Somando as quantidades correspondentes obtemos = 8, ou seja, Agora calculemos / 8 56 Problema 14: (1 2 4) 28 = = 16 (3.7) Então, Para encontrarmos o resultado (3.7), tomemos como o número auxiliar o de 112 é 4 56 de 112 é de 112 é 1

34 32 Somando as quantidades correspondentes obtemos 7. Logo, calculando temos 16 Problema 15: (1 2 4) (32 224). Realizando a multiplicação temos, / / / Então, (1 2 4) (32 224) = = 16 (3.8) achamos Para chegarmos ao resultado (3.8) usamos como o número auxiliar o 896 e de 896 é de 896 é de 896 é Somando as quantidades correspondentes obtemos 56. Agora calculemos / 16 / 56 Assim, = 16. Problema 16: (1 3 3) 2 = = 1 (3.9)

35 33 Problema 17: (1 3 3) 3 = = 3 (6 18) 9 (3.10) = 3 (3.11) Efetuada a multiplicação por 3, os egípcios encontravam 2 num dos quocientes. Mas, para continuar os cálculos eles procuravam na tabela 2/n a 9 representação de 2 9 como soma de frações unitária. Em (3.10) observamos essa subs tituição. E para chegar ao resultado (3.11), os egípcios tomavam como número auxiliar o 18. Assim, 3 de 18 = 6 6 de 18 = 3 9 de 18 = 2 18 de 18 = 1 Somando as quantidades correspondentes obtemos 12. Assim, calculando teremos 3. Problema 18: (1 3 3) 6 = = 3 (3.12) Problema 19: (1 3 3) 12 = = 6 (3.13) Problema 20: (1 3 3) 24 = = 12 (3.14)

36 34 Problemas 21 a 23 Exemplos de subtração 1 (3 15), 1 (3 30) e 3 ( ). Como visto anteriormente, a subtração egípcia se dava através do método dos números vermelhos. No Problema 21 podemos transformar o enunciado 1 (3 15) em qual a quantidade que falta a (3 15) para obtermos uma unidade? Ahmes toma o número 15 como o número vermelho. Procurando a simplificação, aplica-se: 3 de 15 é igual a de 15 é igual a 1 Assim, temos que 3 de 15 mais 15 de 15 é 11. Como 15, o número vermelho, supera 11 em quatro unidades temos que calcular o número de partes de 15 que dá um total de 4, ou seja, dividir 4 por / 5 3 / A quantidade que falta é No Problema 22, Ahmes aplicou o mesmo raciocínio. Procurou a quantidade que falta a 3 30 para obter 1 unidade. Neste caso é tomado o número 30 como número vermelho. Então, 3 30 de 30 é 21. Como 30 supera 21 em 9 unidades devemos determinar o número de partes de 30 que dá um total de 9, isto é, devemos dividir 9 por 30. Seguindo o procedimento habitual para a divisão obtém-se:

37 / 10 3 / Portanto, 10 5 é a solução procurada. Já no Problema 23 temos que encontar a quantidade que falta para ( ) obter 3. Neste caso, Ahmes seleciona 45 como o número vermelho e aplica a mesma teoria anterior: 4 de 45 é de 45 é de 45 é de 45 é de 45 é 1 3 de 45 é 30 Somando agora as quantidades correspondentes ao enunciado obtemos ( ) = , isto é, faltam para chegar a 30 (o valor correspondente a 3 com o número vermelho 45). Agora devemos descobrir quantas partes de 45 são 6 + 8, que é a mesma coisa que dividir por / /

38 36 Portanto, ( ) + (9 40) = 3. Terminamos assim a apresentação dos 23 primeiros problemas do Papiro Rhind. Embora os cálculos estejam diretos, imaginamos que o escriba não chegou a essas conclusões tão facilmente, e possivelmente precisou de muitas operações intermediárias que não são reproduzidas no papiro.

39 Conclusão A História da Matemática contribui para a construção e evolução dos conceitos permitindo aos alunos conhecerem os obstáculos enfrentados pelo homem na produção e sistematização desse conhecimento, levando também ao professor uma melhor compreensão e aceitação das dificuldades enfrentadas pelos alunos, ajudando assim, a pensar em estratégias mais adequadas para favorecer a aprendizagem de conceitos e procedimentos matemáticos. Contudo, percebemos que apresentar o contexto histórico do antigo Egito antes da iniciação do tema Frações possa a vir contribuir para que o aluno tenha uma maior compreensão do tema. E elaborar atividades com frações egípcias contribuem para que os alunos desenvolvam habilidades de cálculo mental com frações. Concluímos que a aritmética e as frações egípcias são instigantes, curiosas e ricas de significados. A primeira vantagem que os alunos podem adquirir com o método egípcio é a possível realização da multiplicação através da duplicação do multiplicando, sem precisar recorrerem a tabuadas. O mesmo ocorre para a divisão, pode realizá-la efetuando a duplicação do dividendo. Constatamos também que na realização da divisão egípcia há uma maior praticidade, isto é, o modo como os egípcios resolviam problemas de dividir um certo número de pães por um certo número de pessoas é mais compreensível para os alunos. Além disso, o uso de frações unitárias permite uma maior facilidade na comparação de quantidades. De maneira geral, contextualizar o tema Frações do ponto de vista histórico, além de auxiliar no aprendizado dos alunos, também possibilita ao professor o enriquecimento e aprimoramento de seu repertório. 37

40 Referências Bibliográficas [1] BERLINGHOFF, W. P.; GOUVÊA, F. Q.. A Matemática através dos tempos: um guia fácil e prático para professores e entusiastas. Trad.: Elza Gomide, Helena Castro. São Paulo: Edgard Blucher, [2] BOYER, C. B. História da matemática. Trad.: Elza Gomide. São Paulo: Edgard Blucher, ed., p. 496 [3] BUNT, L. N. H; JONES, P. S.; BEDIENT, J. D. The historical roots of elementary mathematics. New York: Dover Publications, INC, [4] CORRÊA, F. J. S. A.; ALMEIDA, A. C.. Papiro de Rhind e as frações unitárias. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, v.35, p , [5] EVES, H.. Introdução à História da Matemática. Trad.: Domingues H. H.; Campinas, SP: Editora: Editora da Unicamp, [6] GILLINGS, R.J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover Publications, Inc, New York, [7] PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. Brasília: MEC / SEF, p. [8] ROQUE, T.; PITOMBEIRA, J. B.. Tópicos de História da Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática [9] SMITH, D.E.. History of Mathematics. New York: Dover, 1951, v.2, p