PROPRIEDADES DAS DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS DE CROVELLI, GUMBEL TIPO I E GAMA BETA TIPO II, COM UMA APLICAÇÃO A DADOS DE PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA

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1 ANA PAULA COELHO MADEIRA SILVA PROPRIEDADES DAS DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS DE CROVELLI, GUMBEL TIPO I E GAMA BETA TIPO II, COM UMA APLICAÇÃO A DADOS DE PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA LAVRAS-MG 211

2 ANA PAULA COELHO MADEIRA SILVA PROPRIEDADES DAS DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS DE CROVELLI, GUMBEL TIPO I E GAMA BETA TIPO II, COM UMA APLICAÇÃO A DADOS DE PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA Tese apresentada à Universidade Federal de Lavras, como parte das exigências do Programa de Pós- Graduação em Estatística e Experimentação Agropecuária, área de concentração em Estatística e Experimentação Agropecuária, para a obtenção do título de Doutor. Orientador Dr. Lucas Monteiro Chaves LAVRAS-MG 211

3 Ficha Catalográfica Preparada pela Divisão de Processos Técnicos da Biblioteca da UFLA Silva, Ana Paula Coelho Madeira. Propriedades das distribuições bivariadas de Crovelli, Gumbel tipo I e gama beta tipo II, com uma aplicação a dados de precipitação pluviométrica / Ana Paula Coelho Madeira Silva. Lavras : UFLA, p. : il. Tese (doutorado) Universidade Federal de Lavras, 211. Orientador: Lucas Monteiro Chaves. Bibliografia. 1. Gama bivariada de Crovelli. 2. Exponencial bivariada Gumbel tipo I. 3. Distribuição bivariada Gama beta II. 4. Combinação de variáveis aleatórias. I. Universidade Federal de Lavras. II. Título. CDD

4 ANA PAULA COELHO MADEIRA SILVA PROPRIEDADES DAS DISTRIBUIÇÕES BIVARIADAS DE CROVELLI, GUMBEL TIPO I E GAMA BETA TIPO II, COM UMA APLICAÇÃO A DADOS DE PRECIPITAÇÃO PLUVIOMÉTRICA Tese apresentada à Universidade Federal de Lavras, como parte das exigências do Programa de Pós- Graduação em Estatística e Experimentação Agropecuária, área de concentração em Estatística e Experimentação Agropecuária, para a obtenção do título de Doutor. APROVADA em 31 de Agosto de 211. Dr. Denismar Alves Nogueira Dr. Fabyano Fonseca e Silva Dr. João Domingos Scalon Dr. Renato Ribeiro de Lima UNIFAL UFV UFLA UFLA Dr. Lucas Monteiro Chaves Orientador LAVRAS-MG 211

5 A Deus, luz da minha vida, Aos meus amados pais, Sebastião (in memoriam) e Marlene, Aos meus queridos irmãos, Luiz Gustavo, Luiza e Antônio César, Ao meu esposo, Valdevino Júnior e minha amada filha Ana Luiza, Dedico.

6 AGRADECIMENTOS A Deus, razão de tudo o que somos e fazemos. À Universidade Federal de Lavras (UFLA), em especial ao Departamento de Ciências exatas (DEX), berço de grandes profissionais que contribuíram imensamente em minha formação. À Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais (FAPEMIG) e à Coordenação e Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), pelo apoio financeiro. Ao meu orientador, Dr. Lucas Monteiro Chaves, pela oportunidade, valiosos ensinamentos e convivência amiga. Aos professores, Devanil e Fredy pelo apoio, incentivo e contribuições. A todos os funcionários do DEX, pelos serviços prestados, em especial à Josi, Selminha e Edila. Ao membros da banca examinadora, pelas críticas e sugestões que tanto contribuíram para o engrandecimento deste trabalho. Ao meu pai que embora não esteja mais presente, sinto sempre a sua presença e felicidade na realização deste sonho. À minha mãe pelo exemplo de vida, força, incentivo e dedicação. Aos meus queridos irmãos, Luiz Gustavo, Luiza e Antônio César pela amizade, carinho e incentivo. Ao meu amado esposo, pelo amor, incentivo, apoio incondicional, companheirismo e suporte emocional, além dos sacrifícios e concessões. À minha linda filha, Ana Luiza, sentido de minha vida, motivo de minhas alegrias, obrigada por seu amor. Aos amigos, Ana Lúcia, Augusto, Edcarlos, Leandro, Moysés, Paulo, Tania, Fernanda, Adriana, Luzia, Danielle, pelo companheirismo, amizade e momentos de alegria. Ao amigo Jailson, pelas longas horas de estudo e amizade. Enfim, a todos que contribuíram, direta ou indiretamente, meus eternos agradecimentos. Ana Paula Coelho Madeira Silva

7 RESUMO Diferentes distribuições bivariadas de probabilidade têm sido propostas para estudar o comportamento conjunto de duas grandezas aleatórias de interesse, bem como combinações dessas, como soma, produto e quociente. Em particular tal abordagem têm sido amplamente utilizada em hidrologia, em que as grandezas de interesse são X período de chuva e Y período contíguos sem ocorrência de chuva. Neste trabalho, são deduzidas e apresentadas algumas propriedades dos modelos gama bivariado de Crovelli e exponencial bivariado Gumbel tipo I bem como as propriedades da soma produto e quociente, ainda não descritas na literatura especializada. Também é apresentada uma nova distribuição bivariada denominada gama beta tipo II. Como aplicação, são realizados ajustes dessas distribuições a dados de precipitação pluviométrica. Os resultados obtidos indicam a viabilidade dos modelos gama bivariado de Crovelli e gama beta tipo II. Palavras-chave: Gama bivariada de Crovelli, Exponencial bivariada Gumbel tipo I, Distribuição bivariada Gama beta II, combinação de variáveis aleatórias, precipitação pluviométrica

8 ABSTRACT One can find a lot of bivariate probability distributions when studying the pooled behavior of two random variables, as well as their sum, product or difference. In particular, such approach had been extensively used in hydrology, where the target variables are the run period and the inter consecutive runs period. In this work we deduce properties for the Crovelli bivariate gamma model and the Gumbel Type I bivariate exponential model, as well as their sum, product and difference. Those properties are not described in specialized literature. We also introduce a new bivariate distribution, which we called gamma beta II. As an application, we fitted these three distributions to rain precipitation data. The results show acceptable behavior of those models. Keywords: Crovelli s bivariate gamma; Gumbel s type I bivariate exponential; Gama beta II bivariate distribution; random variables combination; rain precipitation

9 LISTA DE FIGURAS Figura 1 Seca na Amazônia, 21 - A pior dos últimos cem anos Figura 2 Enchente em Itajaí - Santa Catarina Figura 3 Distribuição beta tipo II Figura 4 Representação da propriedade (i) Figura 5 Representação da propriedade (ii) Figura 6 Precipitação mensal de julho a dezembro de Figura 7 Precipitação mensal do ano Figura 8 Precipitação mensal janeiro a julho de Figura 9 Região de integração Figura 1 Superfície Crovelli, α 2, 5; β 1, Figura 11 Gráfico da fdp de U X + Y Figura 12 Gráfico da fdp de P XY Figura 13 Gráfico da fdp de Q X/(X + Y ) Figura 14 Superfície Gumbel tipo I,, Figura 15 Gráfico da distribuição de U X + Y Figura 16 Gráfico da distribuição de P XY Figura 17 Gráfico da distribuição de Q X/(X + Y ) Figura 18 Superfície gama beta II Figura 19 Distribuição ajustada para X e Y, modelo Gumbel Figura 2 Gráfico de probabilidade observada versus probabilidade esperada para X e Y, modelo Gumbel Figura 21 Distribuição ajustada para X considerando os modelos Crovelli (a) e Gama beta tipo II (b) Figura 22 Gráfico de probabilidade observada versus probabilidade esperada para X considerando os modelos Crovelli (a) e Gama beta tipo II (b) Figura 23 Distribuição ajustada para Y considerando os modelos Crovelli (a) e Gama beta tipo II (b) Figura 24 Gráfico de probabilidade observada versus probabilidade esperada para Y considerando os modelos Crovelli (a) e Gama beta tipo II (b) Figura 25 Distribuição ajustada para U considerando os modelos Crovelli (a) e Gama beta tipo II (b) Figura 26 Gráfico de probabilidade observada versus probabilidade esperada para U considerando os modelos Crovelli (a) e Gama beta tipo II (b)

10 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Categorias do Índice de Severidade de Seca de Palmer Tabela 2 Categorias do Índice Padronizado de Precipitação Tabela 3 Estatísticas descritivas Tabela 4 Estimativas dos parâmetros dos modelos Tabela 5 Distribuição do número de dias com precipitação Tabela 6 Distribuição do número de dias sem precipitação Tabela 7 Distribuição do período climático Tabela 8 Dados diários de precipitação pluviométrica - Passo Fundo RS. 113

11 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO REFERENCIAL TEÓRICO Dias secos e dias chuvosos Índices para a quantificação hídrica Funções especiais Distribuição beta do tipo II Modelos de probabilidade univariados Modelos de probabilidade bivariados no estudo de processos hidrológicos Distribuição gama bivariada de Mckay Distribuição gama bivariada de Kibble Distribuição gama bivariada de Izawa Distribuição gama bivariada de Moran Distribuição gama bivariada de Cherian Distribuição gama bivariada de Smith, Aldelfang e Tubbs Distribuição gama bivariada de Loáiciga e Leipnik Distribuição gama bivariada de Crovelli Distribuição exponencial bivariada Gumbel tipo I Construindo distribuições bivariadas Transformação de variáveis Método da transformação marginal Variáveis em comum e técnicas de redução trivariada Mistura de distribuições Cópulas METODOLOGIA Modelos Implementação computacional Dados reais Estimação Ajuste RESULTADOS E DISCUSSÃO Distribuição Gama Bivariada de Crovelli Distribuições condicionais, covariância e correlação Funções Densidades de Probabilidade Funções de Distribuição Acumulada

12 4.1.4 Quantis Momentos Distribuição Bivariada Gumbel tipo I Funções Densidades de Probabilidade Momentos Distribuição Bivariada Gama Beta II Funções Densidade de Probabilidade Momentos Estimação Aplicação Conclusão REFERÊNCIAS ANEXOS

13 13 APRESENTAÇÃO Esta tese faz parte da Linha de Pesquisa Teoria de Métodos Estatísticos, do Grupo de Pesquisa em Planejamento e Análise de Experimentos, do Departamento de Ciências Exatas (DEX), da Universidade Federal de Lavras (UFLA), cadastrado e certificado na base de grupos de pesquisa do CNPq. Está inserida no projeto Seguro Agrícola: Modelagem Estatística e Precificação, do Programa Nacional de Cooperação Acadêmica (PROCAD/CAPES), que envolve as seguintes instituições federais de ensino superior: ESALQ/USP, IME/USP, UFLA e UFMG.

14 14 1 INTRODUÇÃO Alguns dos principais desafios que o mundo, em particular o Brasil, deverá enfrentar nas próximas décadas estão relacionados com o aproveitamento e controle dos recursos hídricos. A importância dos recursos hídricos em qualquer processo de desenvolvimento sócio-econômico é inquestionável pois a água, além de cumprir o seu papel natural de abastecimento para a satisfação das necessidades humanas, animais, vegetais e produtivas, serve indevidamente como veículo para os despejos de efluentes urbanos, industriais, agrícolas e extractivos. Em se tratando de recursos hídricos, a precipitação é de fundamental interesse. A precipitação pluviométrica é um dos elementos do clima que apresenta alta variabilidade temporal e espacial, e sua ocorrência em excessos, ou em déficit, geralmente causam prejuízos à produção agrícola bem como transtornos à população em geral. A insuficiência de precipitação pluviométrica ocasiona o fenômeno climático conhecido como seca. A seca afeta grandes regiões durante meses ou anos, tendo um impacto sobre a produção de alimentos, reduzindo a expectativa de vida e o desempenho econômico de grandes regiões. Ela se manifesta com intensidades diferentes, dependendo do índice de precipitações pluviométricas. O déficit ou o excesso de chuva numa determinada região compromete a atividade agrícola, pois as plantações são susceptíveis a fenômenos climáticos adversos, como tromba d água, ventos fortes, granizo, geada, chuvas excessivas, seca e inundação. Desse modo, essa atividade torna-se de alto risco e o seguro agrícola surge como um mecanismo para reduzir o risco de produção no agronegócio. Para quantificar o risco associado à atividade agrícola é necessário entender e prever adequadamente a ocorrência de fenômenos climáticos adversos, em particular a seca. Portanto é necessário o uso de metodologias matemáticas, estatísticas e computacionais para modelar esse fenômeno. Existem em todas as partes do mundo, um esforço institucional e pessoal muito grande no sentido de quantificar, bem como prever a ocorrência de chuvas, ou ocorrência de secas, nos mais variados locais. Diferentes índices de quantificação hídrica são encontrados na literatura. Esses

15 15 índices são baseados na equação do balanço hídrico e têm por objetivo detectar o início e o fim de um período chuvoso e/ou o início e o fim de um período de seca. Com base nas informações geradas por esses índices, vários modelos probabilísticos univariados têm sido utilizados para descrever o comportamento das variáveis X: período de chuva (ou seca ) e Y : período sem ocorrência de chuva (ou seca). Dentre os modelos mais utilizados destaca-se a distribuição gama. Muitos estudos apontam que essa distribuição modela com sucesso as variáveis X e Y. Os modelos univariados explicam o comportamento marginal das variáveis X e Y, não levando em conta a correlação, que de fato existe, entre essas variáveis. Neste contexto, é necessário o uso de modelos bivariados que contemplem essa correlação. Os trabalhos desenvolvidos por Izawa (1965) impulsionaram o uso da distribuição gama bivariada na análise de processos hidrológicos. Considerando que X e Y se distribuem segundo um modelo bivariado, funções dessas variáveis aleatórias, expressas por U X + Y, P XY e Q X/(X + Y ), têm um significado físico importante de modo que diferentes autores têm trabalhado no sentido de caracterizar essas distribuições e aplicá-las em diferentes áreas do conhecimento, em particular em hidrologia (NADARAJAH, 28; NADARAJAH; KOTZ, 26). Diante do exposto, o presente trabalho tem como objetivo apresentar algumas propriedades dos modelos bivariados gama de Crovelli e exponencial Gumbel tipo I bem como deduzir a distribuição exata das variáveis U X + Y, P XY e Q X sob esses modelos. Além disso, propõe-se um novo modelo, ainda X + Y não estudado na literatura especializada, denominado modelo bivariado gama beta tipo II. Este modelo corresponde a uma variação da distribuição gama bivariada de Arnould, (BALAKRISHNAN; LAI, 29). Uma aplicação desses modelos é apresentada, utilizando-se dados de precipitação pluviométrica do município de Passo Fundo, RS.

16 16 2 REFERENCIAL TEÓRICO 2.1 Dias secos e dias chuvosos A precipitação pluviométrica (ou chuva) é um dos elementos meteorológicos que exerce mais influência sobre as condições ambientais. Além do seu efeito direto sobre o balanço hídrico, ela influência indiretamente outras variáveis, como a temperatura do ar e do solo, a umidade do ar e a radiação solar, que são fatores básicos para o crescimento e desenvolvimento dos seres vivos. O balanço hídrico de Thornthwaite e Mather (1955) é um instrumento agrometeorológico útil e prático para caracterizar o fator umidade do clima, que considera duas curvas, uma associada à marcha da precipitação mensal e outra relacionada à evapotranspiração potencial, equivalendo à precipitação ideal no período, num cenário em que não há sobra nem falta de água no solo para uso das plantas. Uma das preocupações quanto às chuvas é a intensidade e a frequência de suas ocorrências, como também sua ocorrência em excessos ou em déficit. O excesso de precipitação pluviométrica em uma determinada região gera transtornos à população em geral, deixando as pessoas desalojadas, desabrigadas e enfermas, causando prejuízo à produção agrícola e em outros setores da economia. As chuvas de alta intensidade e elevada freqüência que atingiram determinados estados no Brasil neste ano deixaram muitos municípios em situação crítica. Em particular as chuvas ocorridas na região serrana do Rio de Janeiro em janeiro de 211, trouxeram enchentes, deslizamentos de terra ocasionando muitas mortes e grandes prejuízos para a população. O déficit de precipitação pluviométrica ocasiona o fenômeno seca. A seca é causada pela insuficiência de precipitação pluviométrica numa determinada região por um período prolongado de tempo, geralmente por uma temporada ou mais. É um complexo processo físico e social de amplo impacto. Ela afeta vastas regiões durante meses ou anos, tendo um impacto sobre a produção de alimentos, reduzindo a expectativa de vida e o desempenho econômico de grandes regiões ou de países inteiros. No Brasil, a seca atinge principalmente a região Nordeste, entre outras regiões,

17 17 gerando dificuldades sociais para as pessoas que habitam a região. As consequências mais evidentes das grandes secas são a fome, a desnutrição, a miséria e a migração para os centros urbanos (êxodo rural). As Figuras 1 e 2 ilustram cenários antagônicos causados pelo déficit e pelo excesso de precipitação pluviométrica. Figura 1 Seca na Amazônia, 21 - A pior dos últimos cem anos Figura 2 Enchente em Itajaí - Santa Catarina 21 Embora seja tema de muitos estudos, não existe, segundo Mckee, Doesken e Kleist (1993) uma definição de seca válida para qualquer região, em qualquer época e ainda adequada a todas as ramificações das sociedades humanas. No entanto, todos os estudos relacionam as secas com situações de escassez de água, resultado de precipitação insuficiente, evapotranspiração elevada e exploração irregular dos recursos hídricos. Segundo Wilhite e Glantz(1987, citados por BLAIN, 25), pesquisadores, políticos, agricultores, ou cidadãos comuns, têm percepções diferentes do fenômeno

18 18 seca. Até mesmo dentro de cada um desses grupos, há diferenças significativas no entendimento dessa anomalia climática. Um meteorologista, ou um sociólogo, por exemplo, vêem a seca como problemas distintos. O primeiro está preocupado com a previsão ou explicação das causas dessa anomalia ou ainda em descrever a magnitude do déficit de precipitação ocorrido, ao passo que o segundo está mais interessado nos efeitos dessa deficiência nas pessoas ou nas instituições. Segundo Heim Júnior (22) o grande número de setores afetados pela seca, sua diversidade geográfica, sua distribuição temporal e a demanda provocada pela ação humana tornam difícil o desenvolvimento de uma definição universal desse evento. Tal confusão na definição desse fenômeno natural, pode resultar em uma falta de entendimento das reais implicações sociais de uma seca, tornando ineficazes as medidas de combate a essa anomalia climática. Palmer (1965) considera seca como o intervalo de tempo, geralmente da ordem de meses ou até mesmo de anos, durante o qual a precipitação diminui consideravelmente em relação ao valor climatologicamente esperado ou apropriado. Tal fenômeno pode ocorrer tanto em áreas úmidas ou áridas. As definições de seca atualmente mais aceitas pelas comunidades meteorológicas internacionais são: um déficit prolongado de precipitação, um déficit de precipitação que resulta em uma baixa disponibilidade hídrica para a atividade que a requer, ou ainda um período anormal seco, suficientemente longo para que a falta de precipitação cause um desequilíbrio hidrológico Índices para a quantificação hídrica Um fenômeno de difícil modelagem estatística é o estudo do tempo de períodos de chuva e períodos de seca em uma determinada região. Devido à complexidade desse fenômeno natural, nenhum índice em particular, tem sido capaz de representar de forma perfeita a intensidade, a severidade e os impactos da seca nos diferentes segmentos da atividade humana. Uma situação de seca pode ser quantificada por diferentes índices meteorológicos, os quais permitem determinar a intensidade, a duração e a frequência com que essa anomalia ocorre. Os índices de quantificação hídrica assimilam vários anos

19 19 de variáveis meteorológicas como: precipitação, temperatura do ar, evapotranspiração, escoamento superficial (runoff), umidade do solo, entre outras variáveis, buscando combiná-las a fim de determinar o início de um período de seca (FER- NANDES, 29). Dentre os diferentes índices existentes na literatura destacam-se o Índice de Severidade de Seca de Palmer (Palmer Drought Severity Index - PDSI) e o Índice Padronizado de Precipitação (Standardized Precipitation Index - SPI). Ambos quantificam as condições hídricas de uma área, em relação a uma condição hídrica esperada em uma determinada região. O Índice de Severidade de Seca de Palmer, foi desenvolvido por Palmer (1965), o qual considera que o total de precipitação pluviométrica requerido para manter uma área sob condições de economia estável é dependente da média dos elementos meteorológicos e das condições hídricas dos meses precedentes e do atual para a área em questão em um determinado período. O PDSI tem como base de sua metodologia parâmetros do Balanço Hídrico climático de Thorntwaite e Mather (1955). O índice acusa uma seca quando a precipitação pluviométrica de uma região diminui consideravelmente em relação ao que seria climatologicamente esperado. Palmer considerou 11 categorias de classificação de eventos, como é demonstrado na Tabela 1: Tabela 1 Categorias do Índice de Severidade de Seca de Palmer. PSDI Categoria 4, Extremamente úmido 3, a 3,99 Muito úmido 2, a 2,99 Moderadamente únido 1, a 1,99 Ligeiramente úmido,5 a,99 Úmido incipiente -,49 a,49 Próximo do normal -,99 a -,5 Seca incipiente -1,99 a -1, Ligeiramente seco -2,99 a -2, Moderadamente seco -3,99 a -3, Muito seco 4, Extremamente seco Fonte: Palmer (1965, p. 28)

20 2 O PDSI tem sido amplamente utilizado pelo Departamento de Agricultura dos EUA para determinar medidas de assistência à seca. Uma restrição desse índice é que ele fornece melhores resultados quando se trabalha com áreas de topografia uniforme. Outro índice de quantificação hídrica é o Índice Padronizado de Precipitação, desenvolvido por Mckee, Doesken e Kleist (1993). O SPI quantifica o déficit ou o excesso de precipitação em diferentes escalas de tempo. Essa característica torna o SPI uma valiosa ferramenta para todos os estudos de disponibilidade hídrica, sejam eles de curta ou longa duração. O cálculo do SPI para qualquer local é baseado em séries longas da precipitação. Com base nesse índice, o evento seca começa quando o SPI torna-se negativo e atinge o valor de 1 e termina quando este volta a apresentar valores positivos. Dentro de sua escala, magnitudes menores ou iguais a 2 indicam seca extrema, e maiores ou iguais a 2, umidade extrema, como pode ser visualizado na Tabela 2. Tabela 2 Categorias do Índice Padronizado de Precipitação. SPI Categoria 2, Extremante úmido 1,5 a 1,99 Severamente úmido 1, a 1,49 Moderadamente únido,1 a,99 Umidade incipiente -,99 a, Seca incipiente -1,49 a -1, Moderadamente seco -1,99 a -1,5 Severamente seco 2, Extremamente seco Fonte: Blain (25) No Brasil, existe na literatura algumas adaptações dos índices PSDI e SPI a determinados estados. Em particular, Blain (25) estuda uma adaptação dos índices PSDI e SPI ao estado de São Paulo concluindo que os mesmos devem ser utilizados em decisões governamentais de planos de combate aos efeitos do fenômeno natural seca.

21 Funções especiais Uma função especial é uma função matemática particular, que por sua importância no campo da análise matemática, análise funcional, Física, Engenharia, Estatística e em outras áreas do conhecimento, possui nomes e designações mais ou menos estabelecidas. Elas são funções tabeladas, da mesma forma que o seno trigonométrico, por exemplo, e muitos softwares já apresentam rotinas para seu cálculo. No desenvolvimento do texto serão utilizadas diferentes funções especiais que são listadas na sequência. a) Função Gama A função gama (completa), denotada por Γ( ), é definida como: Γ (α) t α 1 e t dt, α >. (2.1) Usando integração por partes em (2.1), tem-se a seguinte relação de recorrência: Γ (α + 1) αγ(α). (2.2) Se α é um inteiro positivo, n 1, 2, 3..., então Γ (n) (n 1) Γ (n 1) (n 1) (n 2) Γ (n 1) (n 1) (n 2)... 1 (n 1)! (2.3) a função gama reduz à função fatorial. Utilizando a relação de recorrência (2.2), obtém-se (α) n Γ (α + n), n 1, 2, 3... Γ (α)

22 22 em que (α) n α (α + 1)... (α + n 1) denota o fatorial ascendente. A derivada do logaritmo da função gama é denominada função digama ou função psi, e é definida como segue ψ (α) d [ln Γ (α)]. (2.4) dα A função gama (completa) é um caso particular da função gama incompleta, γ (α, x), e da função gama incompleta complementar, Γ (α, x), definidas por: γ (α, x) x t α 1 e t dt, (2.5) Assim, Γ (α, x) t α 1 e t dt. (2.6) x Γ(α) γ (α, ) e Γ(α) Γ (α, ) Segue de (2.5) e (2.6), que Γ (α) γ (α, x) + Γ (α, x). b) Função Beta A função beta, denotada por B (, ), é definida por 1 B (α, β) t α 1 (1 t) β 1 dt, α >, β >. (2.7) Tomando z 1 t como a variável de integração, obtém-se B (α, β) (1 z) α 1 z β 1 ( dz) 1

23 23 B (α, β) 1 z β 1 (1 z) α 1 dz B (β, α) isto é, a função beta é simétrica, B (α, β) B (β, α). t Considere u (1 t), du 1 dt. Quando t, u e (1 t) 2 quando t 1,u +. Desse modo, a função beta pode ser escrita da forma: B (α, β) 1 t α 1 (1 t) β 1 dt u α 1 ( u ( ) u α 1 ( ) 1 β+1 du 1 + u 1 + u ) α+β du. (2.8) Outra forma de representar a função beta é expressá-la em termos da função gama, B (α, β) Γ (α) Γ (β) Γ (α + β) α >, β >. (2.9) Qualquer uma das três expressões dadas em (2.7), (2.8) ou (2.9), pode ser usada para definir ou avaliar a função beta. Uma generalização da função beta é dada pela função beta incompleta, denotada por B x (α, β), e definida como x B x (α, β) t α 1 (1 t) β 1 dt. (2.1) Note que a função beta incompleta se reduz à função beta quando x 1. c) Função de Bessel As funções de Bessel são definidas como soluções da equação diferencial

24 24 x 2 d2 y dx 2 + x dy dx + ( x 2 n 2) y. A função de Bessel modificada do tipo I de ordem υ e argumento x, denotada por I υ (x), é definida como I υ (x) x υ 2 υ Γ (υ + 1) k 1 (υ + 1) k k! ( ) x 2 k, (2.11) onde (e) k e(e + 1)... (e + k 1) denota o fatorial ascendente. por: A função de Bessel modificada do tipo III é a função K υ (x) definida 4 k υ (x) πx υ 2 υ Γ ( υ + 1 ) 2 1 ( t 2 1 ) υ 1/2 exp ( xt) dt. (2.12) A função de Bessel modificada do tipo III é também referida como função de Bessel do tipo II ou função Macdonald. d) Função hipergeométrica confluente A função hipergeométrica confluente do tipo I, com argumento x e parâmetros a e b, denotada por 1 F 1 (a; b; x), é um caso especial da classe das funções hipergeométricas, p F q. A função têm a seguinte representação em série de potências: 1F 1 (a; b; x) 1 + a b a (a + 1) x 2 x + b (b + 1) 2! +... (a) k x k (b) k k k! (2.13) A representação em integral definida é dada por: 1F 1 (a; b; x) Γ (b) 1 t a 1 (1 t) b a 1 exp ( xt) dt, (2.14) Γ (b a) Γ (a) com < a < b e b, 1, 2,....

25 25 A função hipergeométrica confluente é também conhecida como função de Kummer tipo I. Assim, é comum encontrar outras notações para essa função, a saber: 1 F 1 (a; b; x) Φ (a, b; x) M (a, b; x). Outra função pertencente à classe das funções hipergeométricas é a função de Kummer do tipo II, ou função tricomi, definida por: Ψ (a, b; x) 1 Γ(a) em que a > e x >. U (a, b; x) para referenciar a função (2.15). Casos especiais incluem: t a 1 (t + 1) b a 1 exp ( xt) dt, (2.15) É comum encontrar na literatura a notação (i) Quando os dois parâmetros são iguais a função de Kummer se reduz a uma função exponencial, M (a, a; x) exp (x); (ii) Se o parâmetro do numerador é igual a, a função de Kummer é igual a 1, M (, b; x) 1; (iii) A função gama incompleta é um caso particular da função de Kummer, γ (a, x) xa M (a, a + 1; x); a (iv) Γ (a, x) x a exp ( x) Ψ (1, a + 1; x). e) Função cilíndrica parabólica A função cilíndrica parabólica de argumento x e ordem υ <, denotada por D υ (x), é a função definida por: D υ (x) 2υ/2 exp ( x 2 /4 ) Γ ( υ/2) ( t (1+υ/2) (1 + t) υ/2 1/2 x 2 ) t exp dt. 2 (2.16) As propriedades dessas funções especiais podem ser vistas em Beals e Wong (21), Oldham, Myland e Spanier (29) e Prudnikov e Marichev (1998).

26 26 Serão ainda utilizados os importantes lemas: Lema 2.1 (Equação , PRUDNIKOV; MARICHEV, 1998, volume 1). Se a >, a x α 1 (a x) β 1 exp ( px) dx B (α, β) a α+β 1 1F 1 (α; α + β; ap). Lema 2.2 (Equação , PRUDNIKOV; MARICHEV, 1998, volume 1). Se α > e β >, x α 1 exp ( rx 2 qx ) ( ) ( ) q dx Γ(α)(2r) α/2 2 q exp D α. 8r 2r Lema 2.3 (Equação , PRUDNIKOV; MARICHEV, 1998, volume 1). Se q >, ( x α 1 exp rx q ) ( q ) α/2 dx 2 Kα (2 rq). x r 2.3 Distribuição beta do tipo II A partir da expressão (2.8) defini-se a função densidade de probabilidade, fdp, beta do tipo II da seguinte forma: Definição 2.1 Uma variável aleatória X tem distribuição beta tipo II, denotada por BII (p, q, λ), se tem função densidade de probabilidade da forma: f X (x) λq B (p, q) xp 1 (λ + x) (p+q) (2.17) em que x > e p, q, λ > (BALAKRISHNAN; LAI, 29). O n-ésimo momento de X é dado por:

27 27 E [X n ] x n f X (x) dx x n λ q B (p, q) xp 1 (λ + x) (p+q) dx E [X n ] λq B (p, q) λq B (p + n, q n) λ q n B (p, q) x (p+n) 1 (λ + x) (p+q) dx λ q n B (p + n, q n) x(p+n) 1 (λ + x) (p+q) dx n B (p + n, q n) λ. (2.18) B (p, q) Em particular, a média e a variância são: B (p + 1, q 1) E [X] λ B (p, q) λ Γ (p + 1) Γ (q 1) Γ (p + q) λ p Γ (p) Γ (q 1) Γ (p) (q 1) Γ (q 1) Γ (p + q) Γ (p) Γ (q) λp (q 1) ; (2.19) V ar [X] E [ X 2] {E [X]} 2 2 B (p + 2, q 2) λ B (p, q) λ2 Γ (p + 2) Γ (q 2) Γ (p + q) [ λp (q 1) ] 2 Γ (p + q) Γ (p) Γ (q) [ λp (q 1) ] 2

28 28 [ V ar [X] λ2 p (p + 1) (q 1) (q 2) λp (q 1) λ2 p (p + q 1) (q 1) 2 (q 2). (2.2) A Figura 3 ilustra a forma da fdp beta do tipo II, para λ 5, 5, p 3 e q, 9. ] 2 Figura 3 Distribuição beta tipo II 2.4 Modelos de probabilidade univariados Os dados de chuva tanto do ponto de vista de sua ocorrência quanto da sua quantidade podem ser analisados pela obtenção das freqüências observadas dos seus registros históricos ou através da elaboração de um modelo teórico (ASSIS; VILLA-NOVA, 1994). A precipitação pluviométrica em um determinado local pode ser prevista em termos probabilísticos, mediante modelos teóricos de distribuição, ajustados a uma série de dados. Os modelos gerados, após a comprovação da aderência dos dados à distribuição teórica, podem fornecer informações úteis para o planejamento de muitas atividades.

29 29 Vários estudos de modelagem envolvendo dados de chuva estão disponíveis na literatura. Nestes trabalhos consideram - se os eventos: sequências de dias sem chuvas, sequências de dias com chuvas. Diferentes modelos univariados, discretos e contínuos, têm sido utilizados para descrever o comportamento desses dados e grande parte desses estudos apontam a distribuição gama, como o meio probabilístico mais confiável na determinação de totais mensais de precipitação. Assis e Villa Nova (1994) utilizaram as distribuições binomial negativa truncada e gama para a modelagem das probabilidades de sequências de dias sem chuva ou com chuva, na cidade de Piracicaba, SP. Os autores concluíram que a ocorrência de dias com chuva e sem chuva podem ser modelados pela distribuição binomial negativa truncada e quantidade de chuva nos dias com chuva foi ajustada adequadamente pela distribuição gama. Morais et al. (21) consideraram que a distribuição gama é indicada para o dimensionamento de sistemas de irrigação suplementar, em Lavras-MG, realçando a boa aderência dos dados de precipitação à distribuição gama incompleta. Catalunha et al. (21) analisaram o ajuste das distribuições de probabilidade exponencial, gama, log-normal (com dois e três parâmetros), normal e Weibull para os dados de precipitação diária e total no estado de Minas Gerais. Beijo, Muniz e Castro Neto (25) estudaram o tempo de retorno das precipitações máximas em Lavras - MG considerando a distribuição de valores extremos tipo I. Sampaio et al. (26) apresentam um estudo da estimativa e da distribuição da precipitação mensal provável para o Estado do Paraná. As séries foram ajustadas através das distribuições gama e log-normal. Os resultados obtidos mostraram que a distribuição gama ajustou-se mais adequadamente às condições pluviométricas do Estado, para o período e estações consideradas. Utilizando a distribuição gama, Weibull, normal, exponencial e log-normal, Silva et al. (27) verificaram que as distribuições gama e Weibull foram as que melhor descreveram a variação da probabilidade de ocorrência de precipitação diária, durante os meses do ano, em Santa Maria, RS. Embora sejam obtidos bons resultados com o uso de modelos univariados, esses modelos baseiam-se na pressuposição de que os eventos sejam independentes,

30 3 fato que não ocorre na prática. Se X representa o período de chuva e Y representa o período sem ocorrência de chuva, claramente X e Y estão correlacionados. Portanto é necessário o uso de um modelo bivariado para explicar o comportamento de X e Y que contemple a possível correlação existente entre esses dois eventos. 2.5 Modelos de probabilidade bivariados no estudo de processos hidrológicos Motivados pelo crescente uso na análise de dados não normais, vários tipos de distribuições bivariadas têm sido propostas na literatura: exponencial bivariado, gama bivariado, pareto bivariado, entre outros (BALAKRISHNAN; LAI, 29). No entanto, muitos desses modelos têm permanecido principalmente na forma de desenvolvimento teórico e raramente têm sido empregadas na análise de frequência hidrológica. Trabalhos pioneiros como o de Izawa (1965), fizeram com que as distribuições gama bivariadas fossem aplicadas no estudos de processos hidrológicos. Atualmente, esse modelo é um dos mais utilizados nessa área (YUE, 21). Considerando que X e Y se distribuem segundo um modelo bivariado f(, ), funções dessas variáveis aleatórias, expressas por U X + Y, P XY e Q X/(X + Y ) são importantes no estudo de determinados fenômenos hidrológicos (NADARAJAH, 25; NADARAJAH; GUPTA, 26c). Em particular, Se X representa a duração da seca e Y a duração do período sem ocorrência de seca, U X + Y denota o período climático, ou seja o tempo entre a ocorrência do próximo evento seca, e Q X/(X + Y ) a proporção do período de seca; Se X representa a duração da seca e Y representa a intensidade da seca, a variável aleatória P XY denotará a magnitude da seca; Se X denota a intensidade da chuva e Y denota a duração de chuva então P XY fornece a distribuição da quantidade de precipitação, ou seja, o volume de chuva nesse período.

31 31 Shiau, Feng e Nadarajah (27), apresentam um modelo gama bivariado construído a partir de cópulas para estudar a correlação entre as variáveis duração e intensidade da seca. Os resultados obtidos foram aplicados a dados de secas ocorridas em Yellow River no Norte da China. Nas subseções que se seguem são apresentados alguns modelos bivariados que têm sido aplicados em estudos de processos hidrológicos Distribuição gama bivariada de Mckay Uma variável aleatória (X, Y ) tem distribuição gama bivariada de Mckay se sua fdp conjunta é da forma: f (x, y) com a, p, q > e < x < y. a p+q Γ (p) Γ (q) xp 1 (y x) q 1 exp ( ay), (2.21) Sob esse modelo, as distribuições marginais de X e Y são dadas por: f (x) + x f (x, y) dy a p+q Γ (p) Γ (q) xp 1 a p+q Γ (p) Γ (q) xp 1 + x + x + a p+q Γ (p) Γ (q) xp 1 exp ( ax) a p+q a p+q Γ (p) Γ (q) xp 1 (y x) q 1 exp ( ay) dy (y x) q 1 exp ( ay) dy t q 1 exp ( at ax) dt + Γ (p) Γ (q) xp 1 exp ( ax) Γ (q) a q a p Γ (p) xp 1 exp ( ax). t q 1 exp ( at) dt

32 32 A marginal de Y é da forma: f (y) y f (x, y) dx ap+q exp ( ay) Γ (p) Γ (q) Usando o lema (2.1) segue que: Assim, y y y a p+q Γ (p) Γ (q) xp 1 (y x) q 1 exp ( ay) dx x p 1 (y x) q 1 dx. x p 1 (y x) q 1 dx B (p, q) y p+q 1 1F 1 (p; p + q; ). f (y) ap+q exp ( ay) B (p, q) y p+q 1 Γ (p) Γ (q) a p+q Γ (p) Γ (q) Γ (p) Γ (q) Γ (p + q) yp+q 1 exp ( ay) a p+q Γ (p + q) yp+q 1 exp ( ay). Portanto, a distribuição gama bivariada de Mckay possui marginais gama com parâmetros de forma p e p + q e mesmo parâmetro de escala a. Embora a distribuição tenha sido construída sob a hipótese de < x < y, Clarke (198), utiliza esse modelo em estudos de fenômenos hidrológicos, supondo que vazões, X, e precipitação, Y, têm distribuição gama bivariada, incorporando restrições físicas nas duas variáveis. Gupta e Nadarajah (26) deduzem as distribuições exatas das variáveis U X + Y, P XY e Q X/(X + Y ), quando é assumido que X e Y têm distribuição conjunta gama bivariada de Mckay.

33 Distribuição gama bivariada de Kibble A distribuição gama bivariada de Kibble apresenta fdp conjunta dada por: f (x, y) f α (x) f α (y) Γ (α) { } ( ) 1 ρ exp ρ (x + y) 2 xyρ (xyρ) (α 1)/2 I α 1 1 ρ 1 ρ (2.22) com x, y, ρ < 1, f α (t) 1 Γ (α) tα 1 exp ( t) e I α ( ) denota a função de Bessel de primeiro tipo e ordem ν. O parâmetro ρ é o coeficiente de correlação de Pearson. As distribuições marginais são gama com o mesmo parâmetro de forma α Distribuição gama bivariada de Izawa O modelo gama bivariado de Izawa é construído a partir de marginais gama com diferentes parâmetros de escala e forma. A fdp conjunta é definida como: ( ) (xy) (α1 1)/2 x (α 1 α 2 ) exp x+y 1 η f (x, y) Γ (α 1 ) Γ (α 1 α 2 ) (1 η) η (α 1 1)/2 1 (1 t) (α1 1)/2 t (α 1 α 2 1) exp ( ( ηxt )I α1 1 η em que α 1 α 2, η ρ α 1 /α 2, ρ < 1 e η < 1. 2 ) ηxy (1 t) dt 1 η Quando α 1 α 2 α a distribuição se reduz à distribuição de Kibble. (2.23) Distribuição gama bivariada de Moran Uma variável aleatória (X, Y ) tem distribuição conjunta gama bivariada de Moran se sua fdp conjunta é dada por

34 34 f (x, y) { } 1 (1 ρ 2 ) f (x) g (y) exp (ρx ) 2 2ρx y + (ρy ) 2 2 (1 ρ 2 ) (2.24) com x, y, x Φ 1 (F (x)), y Φ 1 (G (y)) e Φ é a função de distribuição da normal padrão. F é a distribuição marginal gama com parâmetro de forma α 1 e escala λ 1 e G é a outra marginal com distribuição gama com parâmetro de forma α 2 e parâmetro de escala λ Distribuição gama bivariada de Cherian Uma variável aleatória (X, Y ) tem distribuição gama bivariada de Cherian se sua fdp conjunta é dada por: f (x, y) exp [ (x + y)] Γ ( 1 ) Γ ( 2 ) Γ ( 3 ) em que x, y >, 1, 2, 3 >. min(x,y) (x z) 1 1 (y z) 2 1 z 3 1 exp (z) dz, (2.25) As distribuições marginais de X e Y são gama com parâmetros de forma α e α , respectivamente. Nadarajah e Gupta (26a) estudam o comportamento de dados de seca do Estado de Nebraska considerando a distribuição gama bivariada de Cherian Distribuição gama bivariada de Smith, Aldelfang e Tubbs A distribuição gama bivariada de Smith apresenta fdp conjunta da forma: f (x, y) xγ 1 1 y γ 2 1 exp [(x + y) / (1 η)] (1 η) γ 1 Γ (γ 1 ) Γ (γ 2 γ 1 ) k a k I γ2+k 1 ( 2 2ηxy 1 η ), (2.26)

35 35 onde a k (νy)k Γ (γ 2 γ 1 + k) (1 η) γ 2 1 k! (νxy) (γ, 2+k 1)/2 η é o parâmetro de dependência satisfazendo < η < 1, η ρ γ 2 /γ 1 e ρ é o coeficiente de correlação linear entre X e Y. Yue (21) estuda a aplicabilidade desta distribuição na análise de frequência das variáveis hidrológicas duração e volume. Yue, Ouarda e Bobee (21), apresentam uma revisão dos modelos (2.23), (2.24) e (2.26) apontando as vantagens e desvantagens de cada modelo no estudo de precipitação. Os parâmetros dos modelos são estimados a partir das distribuições marginais pelo método dos momentos. Usando dados reais de inundação os autores concluem que os modelos estudados são adequados para descrever características de inundação positivamente correlacionadas, como pico de cheias e inundações ou volume e duração da inundação Distribuição gama bivariada de Loáiciga e Leipnik Outra generalização da distribuição gama bivariada de Kibble com diferentes parâmetros de forma e escala foi introduzido por Loáiciga e Leipnik (25). A fdp conjunta é da forma f (x, y) n n n k j com x, y >, λ i λ i 1, λ i α i (n + γ) e ) A nkj x λ 1 +k n y λ 2 +j n exp ( xb1 yb2, (2.27) A nkj ( 1) n+k+j β n (n!) 2 b k+λ b j+λ Γ (λ 1 ) Γ (λ 2 ) ( γ n ) ( λ 1 n k ) ( λ 2 n j ), γα j e b j, j 1, 2, são os parâmetros de forma e escala, respectivamente, das distribuições marginais de X e Y, com α 1, α 2 ; γ é um parâmetro de forma, positivo, da distribuição conjunta. O modelo (2.27) foi proposto com o objetivo de analisar a qualidade da água,

36 36 através da correlação entre coliformes e estreptococos fecais. Considerando que X e Y se distribuem segundo esse modelo, os autores obtém um bom ajuste para a distribuição de probabilidade de X/Y para os dados de qualidade da água coletados de Las Palmas Creek, Santa Barbara, Califórnia. Nadarajah e Kotz (27) deduzem as distribuições da soma e do produto quando X e Y têm distribuição conjunta expressa pelo modelo de Loaiciga e Leipnik. Outros modelos bivariados, como exponencial e Pareto, também têm sido aplicados a estudos de hidrologia. Em particular, (a) Nadarajah e Gupta (26b) utilizam a distribuição exponencial bivariada de Friday e Patil para descrever a duração de períodos de seca e o período sem secas ocorridas no estado de Nebraska, USA; (b) Nadarajah e Kotz (26), deduzem a distribuição exata das variáveis U X + Y, P XY e Q X/(X + Y ) quando (X, Y ) seguem o modelo exponencial bivariado de Downton; (c) Nadarajah (28) deduz a distribuição da soma, produto e quociente sob a pressuposição que (X, Y ) são distribuídos segundo o modelo Pareto bivariado. Os resultados obtidos são aplicados a dados de seca do estado de Nebraska, USA Distribuição gama bivariada de Crovelli Dentre os diferentes modelos gama bivariados existentes na literatura, um modelo simples e flexível é o modelo de Crovelli, (ver BALAKRISHNAN; LAI, 29) cuja função densidade de probabilidade conjunta é dada a seguir: αβ exp ( βy) [1 exp ( αx)] se αx βy f (x, y) αβ exp ( αx) [1 exp ( βy)] se βy αx (2.28) sendo que x >, y >, α > e β >. Apesar de ter sido apresentado na década de 7, o modelo não tem sido estudado, suas propriedades não têm

37 37 sido trabalhadas e, na literatura especializada, encontra-se apenas referência à sua existência. Neste trabalho são apresentadas algumas propriedades desse modelo e deduzidas distribuições das variáveis U X + Y, P XY e Q X/(X + Y ) e seus respectivos momentos, quando (X, Y ) se distribuem segundo o modelo gama bivariado de Crovelli Distribuição exponencial bivariada Gumbel tipo I Outro modelo bivariado que apresenta alguns estudos em aberto é o modelo exponencial bivariado Gumbel tipo I cuja função densidade de probabilidade conjunta é dada a seguir: f(x, y) [(1 + x) (1 + y) ] exp [ (x + y + xy)], (2.29) em que x, y e 1. As densidades marginais de X e de Y têm distribuição exponencial. Balakrishnan e Lai (29) apresentam algumas propriedades e aplicações desse modelo. Neste trabalho são deduzidas importantes propriedades da distribuição exponencial bivariada Gumbel tipo I. 2.6 Construindo distribuições bivariadas Diferentes métodos de obtenção de distribuições bivariadas são encontrados na literatura. Nas seções a seguir são apresentados alguns desses métodos Transformação de variáveis Seja (X, Y ) um vetor aleatório com função densidade de probabilidade conjunta f(x, y). Seja G uma função G : R 2 R 2 injetiva com dois componentes G(x, y) (u, v), Mood, Graybill e Boes (1974). Cada um desses componentes é

38 38 função das variáveis aleatórias (X, Y ), tal que: U g 1 (X, Y ) e V g 2 (X, Y ) e g 1 e g 2 devem possuir derivadas parciais em relação a x e a y. O objetivo é determinar a função densidade de probabilidade conjunta de (U, V ) a partir da densidade conjunta de (X, Y ). Como G tem inversa, pode-se escrever: x g 1 1 (u, v), y g 1 2 (u, v). Desse modo, a densidade conjunta de (U, V ) é dada por: f (u, v) J f X,Y [ g 1 1 (u, v), g 1 2 (u, v) ], (2.3) em que J representa o valor absoluto do determinante Jacobiano dado por: J g 1 1 (u, v) u g 1 2 (u, v) u g 1 1 (u, v) v g 1 2 (u, v) v Esse método será muito utilizado nas seções posteriores para o cálculo das densidades de U X + Y, P XY e Q X/(X + Y ) quando (X, Y ) têm distribuição conjunta f(, ). Um exemplo de uma distribuição obtida por esse método é a distribuição gama bivariada de Mckay. Para isso, suponha X e Y as variáveis aleatórias independentes, com distribuição beta de parâmetros a e b e distribuição gama com parâmetro de forma a + b e parâmetro de escala α, respectivamente. Assim, X Beta (a, b) f X (x). 1 B (a, b) xa 1 (1 x) b 1, (2.31)

39 39 Y Gama (a + b, α) f Y (y) αa+b Γ (a + b) ya+b 1 exp ( αy),(2.32) em que, < x < 1, y >, a >, b > e α >. por: assim, Da independência de X e Y segue que a distribuição conjunta f(x, y) é dada f (x, y) f (x) f (y) 1 B (a, b) xa 1 (1 x) b 1 αa+b Γ (a + b) ya+b 1 exp ( αy) Γ (a + b) Γ (a) Γ (b) xa 1 (1 x) b 1 α a+b Γ (a + b) ya+b 1 exp ( αy) α a+b Γ (a) Γ (b) xa 1 (1 x) b 1 y a+b 1 exp ( αy). (2.33) Considere as variáveis aleatórias definidas por: U XY e V Y. Temos y v e x u v. O Jacobiano da transformação é dado por: J x u y u x v y v 1 v u v v. Desse modo, a fdp conjunta de (U, V ) é dada por: f (u, v) 1 v αa+b ( u ) a 1 ( 1 u ) b 1 v a+b 1 exp ( αv) Γ (a) Γ (b) v v 1 v αa+b Γ (a) Γ (b) ua 1 v 1 a (v u) b 1 v 1 b v a+b 1 exp ( αv) α a+b Γ (a) Γ (b) ua 1 (v u) b 1 exp ( αv), (2.34) para u v e v >. A fdp (2.34) corresponde à distribuição gama bivariada de

40 4 Mckay, modelo (2.21) Método da transformação marginal O método da transformação é uma técnica de mudança de variáveis onde a transformação é feita nas distribuições marginais. Ou seja, partindo de uma função de distribuição bivariada F (x, y), com densidade f (x, y), aplicamos transformações monótonas nas densidades marginais X X e Y Y, de modo que a nova distribuição F (x, y ) tenha a mesma estrutura bivariada que a distribuição original e com marginais diferentes, Balakrishnan e Lai (29). Considere a seguinte transformação: (x, y) (f (x), g (y)), f e g são funções monótonas crescentes. Tem-se que: z 1 f (x) x f 1 (z 1 ), z 2 g (y) y g 1 (z 2 ). O Jacobiano da transformação é dado por: J f 1 (z 1 ) z 1 f 1 (z 1 ) z 2 g 1 (z 2 ) z 1 g 1 (z 2 ) z 2. (2.35) Desse modo, a distribuição conjunta de (Z 1, Z 2 ) é da forma: ( f (z 1, z 2 ) J f X,Y f 1 (z 1 ), g 1 (z 2 ) ) ( f 1) (z1 ) (g 1) ( (z2 ) f X,Y f 1 (z 1 ), g 1 (z 2 ) ). (2.36) As densidades marginais de Z 1 e Z 2 são obtidas por integração de (2.36). Assim: + f (z 1 ) f Z1,Z 2 (z 1, z 2 ) dz 2

41 41 f (z 1 ) + ( f 1 ) (z1 ) (g 1) (z2 ) f X,Y ( f 1 (z 1 ), g 1 (z 2 ) ) dz 2. Considere w g 1 (z 2 ), então, dw ( g 1) (z2 ). Portanto, f (z 1 ) ( f 1) (z1 ) + f X,Y ( f 1 (z 1 ), w ) dw ( f 1) ( (z1 ) f X f 1 (z 1 ) ), que é a densidade da variável f(x). No caso univariado, um exemplo familiar é a transformação da distribuição normal na distribuição lognormal. Se X N ( µ, σ 2) e Y exp (X), então Y LN ( µ, σ 2) Variáveis em comum e técnicas de redução trivariada Os termos "redução trivariada" ou "variáveis em comum" são utilizados para técnicas de construção de pares de variáveis aleatórias a partir da combinação de três ou mais variáveis. A idéia é criar um par de variáveis dependentes de três ou mais variáveis aleatórias. Em muitos casos, essas variáveis iniciais são independentes, mas ocasionalmente podem ser dependentes (BALAKRISHNAN; LAI, 29). Sejam X i (i 1,..., 3) variáveis aleatórias independentes com função de distribuição F i (x i ; λ i ). As funções de distribuição são frequentemente assumidas ser da mesma família, porém isso não é uma condição necessária para aplicação do método, os parâmetros λ i podem ser diferentes. Suponha que exista uma função T, T : R 3 R 2, tal que: { X T 1 (X 1, X 2, X 3 ) Y T 2 (X 1, X 2, X 3 )

42 42 Então diz-se que X e Y têm distribuição bivariada gerada por uma redução trivariada. Uma definição restrita, porém muito utilizada, é: { X X 1 + X 3 Y X 2 + X 3 (2.37) em que X 1, X 2 e X 3 são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d). A distribuição normal bivariada pode ser obtida a partir do modelo aditivo, em (2.37), considerando os X i com distribuição normal. Outro modelo bivariado que pode ser obtido por esse método é a distribuição gama bivariada de Cherian. Sejam Z 1, Z 2 e Z 3 variáveis aleatórias i.i.d com distribuição gama cuja função densidade de probabilidade é dada por: f (z i ) 1 Γ ( i ) z i 1 i exp ( z i ), z i >, i > (i 1, 2, 3). Como os Z i são independentes, por hipótese, a função densidade de probabilidade conjunta de (Z 1, Z 2, Z 3 ) é dada pelo produto das distribuições marginais, ou seja, f (z 1, z 2, z 3 ) f (z 1 ) f (z 2 ) f (z 3 ) exp [ (z 1 + z 2 + z 3 )] z z z (2.38) Γ ( 1 ) Γ ( 2 ) Γ ( 3 ) Considere as variáveis X e Y definidas por: { X Z 1 + Z 3 Z 1 X Z 3 Y Z 2 + Z 3 Z 2 Y Z 3 De (2.38), tem-se que a fdp conjunta de (X, Y, Z 3 ) é: f (x, y, z 3 ) exp [ (x z 3 + y z 3 + z 3 )] Γ ( 1 ) Γ ( 2 ) Γ ( 3 ) (x z 3 ) 1 1 (y z 3 ) 3 1 z 3 1 3