Inuência do bloco da DCT

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1 Inuência do bloco da DCT Ricardo Duarte e Miguel Guedes 4 de Novembro de 2003 Conteúdo 1 Introdução 2 2 Algoritmo e implementação 3 3 Resultados Imagem "Autumn"(256x256) Imagem "Baboon"(512x512) Imagem "Lena"(512x512) Imagem "Pontos"(imagem 64x64) Imagem "Gradiente"(imagem 64x64) Imagem "Movie27"(imagem 320x192) Discussão 27 5 Conclusão 29 1

2 1 Introdução Podemos dizer que imagens grácas são a chave principal para a maior parte de aplicacões informáticas, jogos, ns educacionais, marketing, gracal design, webdesign são alguns exemplos. No entanto imagens de qualidade são elementos que comportam grandes quantidades de informação. Perto de 1970 foi quando começaram a ser feitos estudos sobre as possibilidades de compressão das imagens grácas. No entanto as primeiras tecnicas focaram-se principalmente em manter a qualidade original. Tais metodos incluiam estudos estatisticos e dicionários de compressão. Como era de esperar metodos como estes dicilmente se poderiam adaptar a imagens fotogracas que contêm continuidade de tonalidades, sendo muito dicil efectuar estimativas sobre as probabilidades de ocorrências de cores. Por volta de 1980 foram efectuadas pesquisas sobre compressão de imagem com perdas que vieram trazer novas possibilidades que visavam explorar a capacidade precepção limitada olho humano. Tais algoritmos baseavam-se na realização de pequenas modicações na imagem induzidas na perda de informação. Assim surgiu a compressão JPEG (Joint Photograc Experts Group), escrita por membros do CCITT e da ISO, e com ela o uso generalizado da transformada discreta de cossenos (DCT). A dct pretence á mesma classe de operações matemáticas que a FFT, e consiste basicamente na conversão de um sinal, uma imagem no nosso caso, representado espacialmente para uma representação nas suas frequencias. Neste caso será gerada uma matriz da mesma dimensão que o bloco que irá conter para o seu canto superior esquerdo coecientes das frequências mais baixas, incluindo o DC, e o canto inferior direito as mais altas. Dependendo do número de detalhes na imagem original, o coecientes de altas frequencias serão maiores ou menores. Na generalidade de imagens naturais os coecientes tornam-se bastante menores á medida que nos aproximamos das altas frequências. Isto quer dizer que a maior parte da energia da transformada se encontra concentrada num dado numero de coecientes do bloco. Adicionando isto ao facto de todos os coecientes da DCT estarem descorrelacionados podemos dizer que a DCT possui caracteristicas soberbas para quem quer reduzir o tamanho ocupado pela imagem sem inuêncir demasiado a qualidade da imagem. Recentemente tem se dado atenção ao uso de blocos variaveis, cujo tamanho varia com a estatistica da imagem. O trabalho consiste em estudar a inuência do tamanho de bloco utilizado para efectuar a transformada DCT de uma dada imagem. Sabendo que os blocos da DCT irão sofrer uma quantização que resultará numa perda parte dos seus coecientes, interessa efectuar um estudo que permita conhecer o comportamento da imagem quando aplicada uma transformada DCT de diferentes tamanhos, cando a conhecer tambem em que aspectos é mais vantagoso e devantajoso utilizar tamanhos diferentes. 2

3 2 Algoritmo e implementação Por forma a estudar a inuência do tamanho do bloco DCT na qualidade da imagem recuperada foi criado um programa numa plataforma Matlab. Como o programa do ano passado não nos satisfez, reimplementamos a quase totalidade deste, sendo agora possivel aplicar matrizes de quanticação de tamanho variavel, que são obtidas por interpolação das matrizes basicas (Jpeg e mpeg). É também, e agora, possivel escolher o metodo de interpolação, ver gracos de energia cumulativa, distribuição de energia da dct, medidas de ganhos em zeros e aplicação de uma matriz computada, tendo por base um algoritmo simples. O programa agora usa as componentes de luminancia e crominancias (em vez de rgb). O programa tambem guarda os resultados obtidos, no directorio 'resultados'. O algoritmo de aplicação da dct, usando blocos variaveis é o seguinte: 1. Ler a imagem para uma variavel matlab 2. Aumentar ou diminuir o tamanho da matriz de quantização, por forma a esta car do tamanho do bloco escolhido 3. Se a imagem for a preto e branco: (a) Dividir a imagem em blocos de AxA, sendo A o tamanho do bloco desejado (b) * - Obtenção da imagem compactada (c) Calcular a DCT de cada bloco (d) Dividir cada termo da DCT pelo valor na mesma posição na matriz de quantização, e arredondar o resultado da divisão para o inteiro mais proximo (e) * - Obtenção da imagem reconstruida com base na imagem compactada (f) Multiplicação de cada valor do bloco pelo valor correspondente na matriz de quantização (g) Realizar a dct inversa (IDCT) 4. Se a imagem for a cores: (a) Passar a imagem de RGB para YCbCr (Luminancia e crominancia) (b) Obter uma matriz para cada componente da imagem (c) Se for matriz jpeg, fazer resize à matriz de quantização para crominancias (d) Dividir cada matriz em blocos de AxA, sendo A o tamanho do bloco desejado (e) * - Obtenção da imagem compactada 3

4 (f) Calcular a DCT de cada bloco, e em todas as componentes (g) Dividir cada termo da DCT pelo valor na mesma posição na matriz de quantização, e arredondar o resultado da divisão para o inteiro mais proximo. Se for jpeg, a matriz de quantização, pela qual é dividida a imagem original, é diferente para as crominancias e para as luminancias. (h) * - Obtenção da imagem reconstruida com base na imagem compactada (i) Multiplicação de cada valor do bloco pelo valor correspondente na matriz de quantização (j) Realizar a dct inversa (IDCT) (k) Juntar as diversas matrizes de componentes (Y-Cb-Cr) numa só imagem 5. Computar gráco de energia cumulativa com base no seguinte algoritmo: (a) Se a imagem for a cores, calcular energia cumulativa apenas na luminacia. (b) Por cada bloco de AxA: i. Calcular a energia contida em pequenas partes do bloco, como indicado na imagem: ii. Somar a energia contida em cada numero de coecientes, dos varios blocos. O algoritmo para criação de matrizes de quantização é o seguinte: para todo o i de 1 até tamanho x da matriz desejada para todo o j de 1 até tamanho y da matriz desejada matriz_de_quantização(i,j) = (1+((1+i+j)*q)); q é factor de qualidade 4

5 Figura 1: Aspecto do ambiente de trabalho 5

6 3 Resultados 3.1 Imagem "Autumn"(256x256) Figura 2: Imagem original Figura 3: Imagem processada (autumn) com bloco 2x2 6

7 Figura 4: Imagem processada (autumn) com bloco 4x4 Figura 5: Imagem processada (autumn) com bloco 8x8 Figura 6: Imagem processada (autumn) com bloco 16x16 7

8 Figura 7: Imagem processada (autumn) com bloco 32x32 Figura 8: Imagem processada (autumn) com bloco 64x64 8

9 Figura 9: Detalhe dos resultados obtidos (autumn) (a) Original (b) 2x2 (c) 4x4 (d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64 9

10 Figura 10: Outro detalhe dos resultados obtidos (autumn) (a) Original (b) 2x2 (c) 4x4 (d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64 Tamanho do bloco Mse Percentagem de zeros ganha 2x x x x x x Tabela 1: Medida de erro e de ganho de zeros (autumn) 10

11 3.2 Imagem "Baboon"(512x512) Figura 11: Imagem original Figura 12: Imagem processada (baboon) com bloco 2x2 11

12 Figura 13: Imagem processada (baboon) com bloco 4x4 Figura 14: Imagem processada (baboon) com bloco 8x8 Figura 15: Imagem processada (baboon) com bloco 16x16 12

13 Figura 16: Imagem processada (baboon) com bloco 32x32 Figura 17: Imagem processada (baboon) com bloco 64x64 13

14 Figura 18: Detalhe dos resultados obtidos (baboon) (a) Original (b) 2x2 (c) 4x4 (d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64 14

15 Figura 19: Outro detalhe dos resultados obtidos (baboon) (a) Original (b) 2x2 (c) 4x4 (d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64 Tamanho do bloco Mse Percentagem de zeros ganha 2x x x x x x Tabela 2: Medida de erro e de ganho de zeros (baboon) 15

16 3.3 Imagem "Lena"(512x512) Figura 20: Imagem original Figura 21: Imagem processada (lena) com bloco 2x2 16

17 Figura 22: Imagem processada (lena) com bloco 4x4 Figura 23: Imagem processada (lena) com bloco 8x8 Figura 24: Imagem processada (lena) com bloco 16x16 17

18 Figura 25: Imagem processada (lena) com bloco 32x32 18

19 Figura 26: Imagem processada (lena) com bloco 64x64 Figura 27: Detalhe dos resultados obtidos (lena) (a) Original (b) 2x2 (c) 4x4 (d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64 19

20 Figura 28: Outro detalhe dos resultados obtidos (lena) (a) Original (b) 2x2 (c) 4x4 (d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64 Tamanho do bloco Mse Percentagem de zeros ganha 2x x x x x x Tabela 3: Medida de erro e de ganho de zeros (lena) 20

21 3.4 Imagem "Pontos"(imagem 64x64) Figura 29: Resultados obtidos (pontos) (a) Original (b) 2x2 (c) 4x4 (d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64 Tamanho do bloco Mse Percentagem de zeros ganha 2x x x x x x Tabela 4: Medida de erro e de ganho de zeros (pontos) 21

22 Figura 30: Energia cumulativa (pontos) (a) 2x2 (b) 4x4 (c) 8x8 (d) 16x16 (e) 32x32 (f) 64x Imagem "Gradiente"(imagem 64x64) Tamanho do bloco Mse Percentagem de zeros ganha 2x x x x x x Tabela 5: Medida de erro e de ganho de zeros (Gradiente) 22

23 Figura 31: Resultados obtidos (Gradiente) (a) Original (b) 2x2 (c) 4x4 (d) 8x8 (e) 32x32 (f) 64x64 23

24 Figura 32: Energia cumulativa (Gradiente) (a) 2x2 (b) 4x4 (c) 8x8 (d) 16x16 (e) 32x32 (f) 64x64 24

25 3.6 Imagem "Movie27"(imagem 320x192) Figura 33: Resultados obtidos (Movie27) (a) Original (b) 2x2 (c) 8x8 (d) 64x64 25

26 Figura 34: Resultados em detalhe (Movie27) (a) Original (b) 2x2 (c) 8x8 (d) 64x64 26

27 4 Discussão Começando por fazer uma análise aos grácos de energia cumulativa, começamos por vericar que à medida que o bloco aumenta, vai havendo uma maior acumulação de energia nos primeiros coecientes (coecientes de menor frequencia). Se tivermos em conta que são estes os coecientes aos quais vai ser dada mais resolução, este resultado favorece, à partida, os blocos maiores, pois com menos informação nos coecientes de alta frequencias, menor informação será desprezada aquando da quantização. No entanto, e como veremos em detalhe, esta vantagem "teorica"não se manifesta de forma tão clara numa avaliação subjectiva da qualidade da imagem obtida. Imagem autumn Começemos pela imagem autumn. Pela tabela 1 podemos ver que existe uma clara distinção entre o MSE de 2x2 e os restantes. Enquanto que os restantes mantêm um erro mais ou menos parecido, no bloco 2x2 ele aumenta para mais que o dobro. Tendo em conta agora a qualidade da imagem atravez da análise das ampli- cações representadas na gura 10, claramente podemos dizer que o bloco de 64x64 possui a melhor qualidade e promenor. Tal factor era de esperar, pois tendo em conta os grácos de energia, vimos que no caso do bloco 64x64 encontrámos mais energia nos coecientes de baixas frequencias. É de realçar que com o bloco 2x2 a imagem encontra-se severamente degradada Isto era de esperar pois numa matriz de 4 coecientes, se depois da quantização os coecientes forem reduzidos para metade ou, como na maior parte dos casos, reduzidos ao elemento dc, teremos um bloco 2x2 que representa uma cor unica resultante de uma media dos 4 coecientes. Isto leva a um aspecto como se tivessemos reduzido a propria resolução da imagem por 2, notando-se um efeito de pixelização e a perda de detalhe em zonas com pequenas variações de cor, como no céu (gura 8). A análise anterior podia-nos levar a crer que a melhor opção de compressão seria a 64x64, no entanto, se nos reportarmos à gura 9 vemos que ocorre a formação de um granulado na zona de transição entre o ceu e a vegetação. Este fenómeno vai gradualmente tornando-se mais evidente, apartir do bloco 8x8 até ao bloco 64x64. Isto deve-se ao facto do bloco conter dentro de si duas mudanças bruscas de ambiente, o que levou á DCT a gerar coecientes de altas frequências para responder, neste caso á zona da vegetação. O problema em si ocorre porque nós eliminamos esses coecientes no processo de quanticação, resultando assim num erro de altas frequencias, correspondente ao granulado. Por causa do tamanho do bloco esse erro propaga-se para zona mais clara, o céu, onde se torna mais evidente. No caso do bloco 8x8 o efeito parece ter desaparecido, mas de facto ele está lá, só que devido ao tamanho reduzido do bloco o erro propaga-se por muito menos espaço, cando disfarçado por se encontrar junto á zona de transição dos dois ambientes. Para nalizar devemos mencionar o facto de se notarem as delimitações entre 27

28 os blocos da dct na imagem recuperada. Quanto menor o tamanho do bloco, maior o numero de blocos, sendo os blocos cada vez mais pequeno. Para nalizar queremos mencionar o facto de se notar as delimitações entre os blocos da dct. Este efeito degrada bastante a imagem, e a origem dele vem do facto de blocos pequenos possuirem poucos coecientes que permitam obter uma componente dc capaz de ser muito semelhante á dos blocos vizinho. Digamos que o bloco não possui coecientes sucientes para efectuar uma estimativa do bloco que se encontra nas suas proximidades. Obviamente que neste aspecto quanto maior for o bloco menor a intensidade deste efeito. Imagem baboon Mais uma vez podemos ver uma concentração energia nos coecientes de baixas frequências á medida que aumentamos o tamanho do bloco. Os valores do MSE são maiores que os da imagem Autumm isto porque na imagem hà uma grande variação de luminosidade por espaço. Podemos ver pelos gracos de energia que neste caso é maior a contribuição dos coecientes de mais alta frequencia, do que na imagem anterior (autumn). A quantidade de zeros segue o mesmo padrão da imagem anterior sendo no entanto menor, visto que que esta imagem trata de frequencias maiores e como tal a necessidade de frequências mais altas na sua representação. Torna-mos mais evidente a degradação da imagem á medida que diminuimos o tamanho do bloco, atravéz da inspecção da gura 18. Se nos repostarmos à gura 1819, vemos novamente o efeito de granularidade a aumentar com o tamanho do bloco, especialmente na zona do nariz. Nesta zona o bloco apanha dentro dele a muita variação do pelo e a pouca variação da cor e textura do nariz. O efeito das descontinuidades de bloco para bloco é mais evidente para blocos pequenos e é claro o aumento de resolução nas linhas da zona branca por cima da narina do babuino. Lena Em relação ao MSE entanto o erro é bastante inferior que no caso do babuino porque esta imagem tem uma variação mais homogénia. O erro é maior que na imagem autumn pelo facto de a imagem ser maior (256x256 da autumn contra 512x512 desta). Um aspecto interessante está na analise pormenorizda da imagem atravéz da gura 27. Nota-mos aqui que a imagem resultante do bloco 8x8 é bastante melhor que a resultante do bloco 64x64. Pois, de facto a granularidade está a representar uma grande perda de qualidade neste caso. Se repararmos o rosto da Lena é constituido basicamente por variações bruscas de cor, tal como na Autumm entre o céu e a vegetação, as sombras os contornos dos olhos, as sobrancelhas são mudanças de ambiente que resultam numa propagação de erro "granular"para zonas em que se torna mais evidente. No caso do bloco 8x8 o efeito não se nota tanto pois a zona de propagação do erro ca circunscrita ás 28

29 delimitações dos ambientes diferentes. A gura 27 é outro exemplo do acontecimento da granularidade. Pontos Nesta imagem podemos mais uma vez ver a grande eciência do bloco de 64x64. O MSE diminui com o aumento do tamanho do bloco á execepção de 2x2, no entanto é possivel vericar que houve realmente uma truncagem de coecientes neste caso. A quantidade de zeros tambem aumenta progressivamente á medida que aumentamos o bloco ao máximo. Esta imagem leva-nos a crer que o aumento do bloco até ao seu máximo representa um melhoramento em todos os aspectos. Para além de não ser tão notável o efeito de granulado, visto que o bloco engloba toda a imagem. Gradiente Aqui está mais uma prova de que o aumento do tamanho do bloco até ao tamanho da imagem tráz vantagens. Gradiente é uma imagem com variação de cor mas não tão bruscamente como Pontos, verica-se então um aumento drástico no numero de zeros e uma diminuição do valor do MSE quase para a unidade. Movie27 Esta imagem serve para mostra um efeito algo interessante na aplicação da DCT à imagem 32?? original que representa um jpeg comprimido por blocos de 8x8. Se virmos com atenção notamos o efeito blocking está presente, no entanto ao aplicar-mos uma DCT de tamanho superior vericamos que os blocos originais vão deixando de se notar. Chegando ao tamanho de 64x64 podemos dizer que desapareceram os blocos 8x8 da imagem original. Nesta cena com muita variação por unidade de comprimento, o efeito granular é bastante visivel, degradando em muito a qualidade da imagem. A análise anterior foi feita com uma limitação algo importante que é o facto de não existirem matrizes de quanticação publicadas para tamanhos diferentes de 8x8. O nosso metodo de interpolação poe não ser perfeito, o que pode levar a que os resultados obtidos para cada tamanho de bloco não sejam todos devidos apenas à variação do tamanho mas também à variação das caracteristicas da matriz. A experimentação com outras matrizes, algumas calculadas dinamicamente pelo programa, originou o mesmo tipo de resultados dos indicados aqui, no que diz respeito ao efeito do tamanho do bloco. 29

30 5 Conclusão Como se vê com a análise em detalhe das varias imagens, alguns dos defeitos e vantagens de um ou outro tamanho de bloco varia com a zona da imagem a que é aplicado. Se por um lado o uso de blocos de 64x64 aumenta a resolução perceptivel da imagem, por outro aparece um efeito de granularidade que é tanto mais notório quanto mais zonas de muita variação e de pouca estejam presentes num bloco. Um bloco de 8x8 resolve este efeito negativo mas aumenta a percepção de blocos na imagem e diminui a resolução de zonas com mais detalhe. O melhor compromisso de tamanho de bloco é claramente o 8x8 visto que se apresenta bons resultados em todas as zonas das imagens estudadas. O senão do efeito de blocking reduz-se quase a zero se a imagem for vista no tamanho normal num monitor de pc. No entanto, se se quer a melhor qualidade, deve-se apostar no uso de tamanhos de blocos variaveis. O tamanho do bloco deverá ser adaptado à estatistica das varias zonas da imagem. Desta forma poder-se-ia tirar partido dos pontos fortes de cada tamanho. Referências [1] H. Benoit: Digital Television, Arnold Editions, 1997, ISBN

31 Lista de Figuras 1 Aspecto do ambiente de trabalho Imagem original Imagem processada (autumn) com bloco 2x Imagem processada (autumn) com bloco 4x Imagem processada (autumn) com bloco 8x Imagem processada (autumn) com bloco 16x Imagem processada (autumn) com bloco 32x Imagem processada (autumn) com bloco 64x Detalhe dos resultados obtidos (autumn) Outro detalhe dos resultados obtidos (autumn) Imagem original Imagem processada (baboon) com bloco 2x Imagem processada (baboon) com bloco 4x Imagem processada (baboon) com bloco 8x Imagem processada (baboon) com bloco 16x Imagem processada (baboon) com bloco 32x Imagem processada (baboon) com bloco 64x Detalhe dos resultados obtidos (baboon) Outro detalhe dos resultados obtidos (baboon) Imagem original Imagem processada (lena) com bloco 2x Imagem processada (lena) com bloco 4x Imagem processada (lena) com bloco 8x Imagem processada (lena) com bloco 16x Imagem processada (lena) com bloco 32x Imagem processada (lena) com bloco 64x Detalhe dos resultados obtidos (lena) Outro detalhe dos resultados obtidos (lena) Resultados obtidos (pontos) Energia cumulativa (pontos) Resultados obtidos (Gradiente) Energia cumulativa (Gradiente) Resultados obtidos (Movie27) Resultados em detalhe (Movie27) Lista de Tabelas 1 Medida de erro e de ganho de zeros (autumn) Medida de erro e de ganho de zeros (baboon) Medida de erro e de ganho de zeros (lena) Medida de erro e de ganho de zeros (pontos) Medida de erro e de ganho de zeros (Gradiente)