Universidade Federal de Sergipe Departamento de Matemática. Imagem* Profª. Maria Andrade. *Parte desta apresentação foi do Prof. Thales Vieira.

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1 Universidade Federal de Sergipe Departamento de Matemática Imagem* Profª. Maria Andrade *Parte desta apresentação foi do Prof. Thales Vieira. 2016

2 O que é uma imagem digital? Imagem no universo físico Imagem no universo matemático Representação de uma imagem Codificação de uma imagem

3 Imagem no universo físico

4 Imagem no universo matemático f: função imagem U: suporte da imagem C: espaço de cor. Em geral f(u): conjunto de cores, ou gamute de cores da imagem Imagem como gráfico de função:

5 Imagem no universo matemático C: espaço de cor. Em geral n = 1: imagem monocromática n = 3: imagem tricromática (colorida), em geral RGB Se n = 3, podemos escrever: ou seja: imagem colorida é formada por 3 imagens monocromáticas (componentes de cor de f)

6 Representação de uma imagem Representação espacial: representação do suporte U Representação de cor: representação do espaço de cor C.

7 Representação espacial Amostragem matricial uniforme Seja Vamos considerar sempre a = c = 0 d b

8 Reticulado uniforme Representação espacial,.. Decomposição do espaço em células:, Cada célula da imagem é chamada de pixel (picture element). m é chamada resolução vertical n é chamada resolução horizontal m x n é chamada resolução espacial Para representar a imagem, é necessário obter valores de f jk em cada célula c jk.

9 Amostragem pontual Representação na célula Para cada c jk, escolhemos um ponto (x j, y k ) e atribuimos f jk = f(x j, y k ). Ex.: centro de cada célula (como calcular?) Amostragem por área Atribui-se o valor médio de f na célula:

10 Estrutura de dados da imagem 1. Matriz m x n, A = (a jk ) guardando os valores f jk, ou amostras. Cada elemento a jk é um vetor do espaço de cor: Se n = 1, a jk é um número real representando a luminância do pixel Se n = 3, a jk é um vetor do representando uma cor tricromática (RGB). 2. Comprimentos e das células. Densidade de resolução: número de pixels por unidade de medida dpi (dots per inch) ppi (pixels per inch)

11 Representação de cor Como representar os números reais do vetor de cor? Resolução de cor da imagem: Quantos bits devemos utilizar para representar cor? Quantização: processo de discretização do espaço de cor de uma imagem, ou seja, do Quantização de tons de cinza com 256 intensidades (8 bits) Quantização de tons de cinza com 16 intensidades (4 bits)

12 Problema de interpolação Reconstrução de imagens Imagem no universo matemático Representação de uma imagem Núcleo de reconstrução n-dimensional: Função e a família de funções linearmente independente. tal que é Reconstrução de f usando o núcleo :

13 Núcleos de reconstrução unidimensionais Núcleo constante, ou box, ou Núcleo de Haar: Núcleo triangular

14 Núcleos de reconstrução bidimensionais Produto de núcleos unidimensionais:

15 Reconstrução com o núcleo de Haar

16 Reconstrução com o núcleo triangular

17 Núcleo constante Núcleo triangular

18 Composição de imagens 0 (a) (b) (c) Fig Composição de imagens com redução. AND 1 Marcelo Gatas Redução do Papá Léguas para ser ser colocado na imagem são circo. ampliação Regiões associadas na imagem original e na transformada redução 3 2 Fig Regiões associadas na imagem original e na transformad 19

19 Elementos da imagem digital 1. Resolução espacial (número de pixels) 2. Número de componentes de cor (monocromática, tricromática,...) 3. Resolução de cor (8 bits, 24 bits, 32 bits...) 4. Gamute: f(u)

20 Representações das imagens digitais Dizemos que f tem suporte contínuo quando podemos calcular f em qualquer ponto de U. Caso contrário, f tem suporte discreto. Dizemos que f tem espaço de cor contínuo quando a cor é representada usando ponto flutuante. Também é comum usar um espaço de cor quantizado. Representações: 1. contínua-contínua; 2. contínua-quantizada; 3. discreta-contínua; 4. discreta-quantizada: Imagem digital.

21 Histograma de frequência Modelo estatístico: Considera a imagem como uma variável aleatória definida no reticulado. Analisa a distribuição de probabilidade associada à ocorrência de cores de cada pixel Histograma de cor: associa a cada intensidade de cor c presente na imagem, a sua frequência de ocorrência (número de pixels com a cor c).

22 Quantização de cor Processo de discretização de cor Conjunto contínuo de cores (infinito) Conjunto discreto de cores (finito) Por que quantizar? 1. Se adaptar ao espaço de cor do dispositivo gráfico de exibição; 2. Comprimir a imagem para armazenamento e transmissão.

23 Quantização de cor Considere o conjunto discreto: Quantização é representada por uma transformação sobrejetiva: Quantos bits são necessários para representar um elemento de R k? Se k = 2 m, são necessários m bits. Cada elemento p i é chamado nível de quantização. Obs.: q é também aplicada para quantizar conjuntos finitos, ou seja: Se j = 2 n e k = 2 m, então q é uma quantização de n para m bits. Seja uma imagem tricromática. Após um processo de quantização, o resultado é a imagem discreta-discreta:

24 Células e níveis de quantização Seja Para uma dada cor, temos um subconjunto onde C é o espaço de cor. A família de conjuntos C i particiona o espaço de cor C, ou seja: Cada conjunto C i é chamado célula de quantização. Se, seu erro de quantização é dado por

25 Quantização unidimensional Sejam os níveis de quantização de q. No caso unidimensional, as células de quantização são sempre intervalos c i 1 apple c apple c i, onde q(c) =q i,e1apple i apple L.

26 Quantização multidimensional Células de quantização são regiões do espaço de cor, com geometria complexa. 1.Quantização escalar Seja uma quantização unidimensional. Definimos uma quantização escalar como onde. Quando uma quantização multidimensional não é escalar, ela é vetorial.

27 Percepção e Quantização Seja monocromática, onde C é uma quantização em L níveis. Esta quantização determina uma partição do suporte da imagem em subconjuntos U i, tal que A fronteira entre os subconjuntos U i é chamada fronteira de quantização. Perceptualmente: boa quantização fronteira de quantização imperceptível

28 Geometria das células 1. Quantização uniforme Divide o espaço de cor em células congruentes (i. e., intervalos de mesmo tamanho) Toma o centro de cada célula como valor de quantização. Exemplo: quantização escalar células: intervalos (c i-1, c i ] de mesmo comprimento; valor de quantização:

29 Geometria das células 1. Quantização não-uniforme ou adaptativa Objetivo: obter mais células em regiões do espaço de cor mais usadas pelos pixels da imagem, diminuindo a diferença entre a imagem original e quantizada. Diretamente relacionada com o histograma de frequência

30 Classificação dos métodos de quantização Valores de quantização vs. células de quantização 1. Métodos de seleção direta: Determinam-se os valores de quantização q 1,, q k, e a partir destes calcula-se as células de quantização: c 2 C i, q(c) =q i, d(c, q i ) apple d(c, q j ), 1 apple j apple N,j 6= i. 2. Métodos de subdivisão espacial: Determinam-se as células de quantização C i, e a partir destas calcula-se os valores de quantização q i. 3. Métodos híbridos: Determinam-se independentemente valores de quantização e células de quantização.

31 Algoritmo de populosidade Quantização por seleção direta Seleciona como valores de quantização as cores mais frequentes do histograma de frequência Ignora totalmente cores em regiões de baixa densidade do espaço de cor: pode excluir highlights.

32 Algoritmo do corte mediano Quantização por subdivisão espacial Objetivo: gerar uma imagem quantizada com histograma equalizado Algoritmo: Seja K o número de níveis de quantização e o volume mínimo contendo o espaço de cor. 1.Corte o lado mais comprido na mediana das coordenadas dos pontos 2.Continue cortando as sub-regiões até obter as K células de quantização.

33 Dithering Tipo de quantização em dois níveis Essencial para exibição de imagens em certos tipos de dispositivos de saída gráfica Objetivo: exibir imagens monocromáticas mantendo a informação dos tons intermediários quantizando em dois níveis. Motivação: o olho integra vizinhanças de luz, percebendo uma intensidade média das regiões.

34 Dithering Quantização com limiar constante A partir de um limiar de intensidades L 0, usa-se a regra: Se f(x,y) L 0, quantiza-se para 1 Senão, quantiza-se para 0. Quantização com limiar aleatório O limiar varia aleatoriamente (chamaremos de variável aleatória X), e usa-se a regra: Se f(x,y) X, quantiza-se para 1 Senão, quantiza-se para 0.

35 Codificação de imagens 1. Cabeçalho: a) Resolução espacial da imagem (m linhas, n colunas); b) Número de componentes do pixel; c) Número de bits de quantização por componente; 2. Matriz com os m n pixels.

36 Composição de imagens 0 (a) (b) (c) Fig Composição de imagens com redução. AND 1 Marcelo Gatas Redução do Papá Léguas para ser ser colocado na imagem são circo. ampliação Regiões associadas na imagem original e na transformada redução 3 2 Fig Regiões associadas na imagem original e na transformad 37

37 Amostragem - A etapa de amostragem corresponde a definir uma cor para cada retângulo correspondente a um pixel. 64x54 amostragem Marcelo Gatas Imagem de tons contínuos Imagem amostrada quantização 5*55, 1*55, 1*20, 1*22,. Imagem amostrada, quantizada e codificada codificação 64x54-16 cores Imagem amostrada e quantizada Amostragem, quantização e codificação. 12

38 Interpolação 38

39 Interpolação Denomina-se interpolação o método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de um conjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos. amostragem pontual interpolação linear Interpolação de cores no triângulo

40 Interpolação Linear Método de interpolação que se utiliza de uma função linear p(x) (um polinômio de primeiro grau) para representar, por aproximação, uma suposta função f(x) que originalmente representaria as imagens de um intervalo descontínuo (ou degenerado) contido no domínio de f(x). A interpolação linear entre dois pontos (xa, ya) e (xb, yb) pode ser deduzida usando-se proporcionalidade: Daí: y y 0 x x 0 = y 1 y 0 x 1 x 0 y = y 0 +(y 1 y 0 ) x x 0 em um ponto (x, y). x 1 x 0

41 Coordenadas baricêntricas no triângulo As coordenadas baricêntricas definem uma forma de representação de um ponto P no plano em função dos vértices P1, P2 e P3 do triângulo, de modo que a soma das coordenadas baricêntricas deste ponto seja igual a um, ou seja: P3 P = u P 1 + v P 2 + w P 3, u + v + w =1, onde u,v,w são as coordenadas baricêntricas de P relativas ao triângulo P1P2P3. P Interpretação por área de triângulos u = area(pp 2P 3 ) area(p 1 P 2 P 3 ) v = area(p 1PP 3 ) area(p 1 P 2 P 3 ) w = area(p 1P 2 P ) area(p 1 P 2 P 3 ) onde P1 area(p 1 P 2 P 3 )= 1 2 k ~ P 1P 2 ~ P 1P 3k P2

42 Coordenadas baricêntricas no triângulo Seja P = u P 1 + v P 2 + w P 3. Sejam conhecidos f(p 1 ),f(p 2 ),f(p 3 ). Temos: f(p )=u f(p 1 )+v f(p 2 )+w f(p 3 ). P3 P P1 P2

43 Interpolação Bilinear Extensão da interpolação linear para interpolar funções de duas variáveis em uma grade regular. A idéia-chave é a realização da interpolação linear, primeiro em uma direção, e depois novamente na outra direção. Suponha que queremos encontrar o valor da função desconhecida f no ponto P = (x, y). Supõe-se que sabemos o valor de f em quatro pontos Q11 = (x1, y1), Q12 = (x1, y2), Q21 = (x2, y1) e Q22= (x2, y2). 1 - Interpolação linear na direção x: f(r 1 ) (x 2 x) (x 2 x 1 ) f(q 11)+ (x x 1) (x 2 x 1 ) f(q 21) f(r 2 ) (x 2 x) (x 2 x 1 ) f(q 12)+ (x x 1) (x 2 x 1 ) f(q 22) onde R1 = (x,y1), e R2 = (x,y2). 2 - Interpolação linear na direção y: f(p ) (y2 y) (y 2 y 1 ) f(r 1)+ (y y 1) (y 2 y 1 ) f(r 2).

44 Interpolação Bilinear f(r 1 ) (x 2 x) (x 2 x 1 ) f(q 11)+ (x x 1) (x 2 x 1 ) f(q 21) f(r 2 ) (x 2 x) (x 2 x 1 ) f(q 12)+ (x x 1) (x 2 x 1 ) f(q 22) f(p ) (y2 y) (y 2 y 1 ) f(r 1)+ (y y 1) (y 2 y 1 ) f(r 2). ou seja: f(x, y) f(q 11 ) (x 2 x 1 )(y 2 y 1 ) (x 2 x)(y2 y) f(q 21 ) (x 2 x 1 )(y 2 y 1 ) (x x 1)(y2 y) f(q 12 ) (x 2 x 1 )(y 2 y 1 ) (x 2 x)(y y 1 ) f(q 22 ) (x 2 x 1 )(y 2 y 1 ) (x x 1)(y y 1 )