ALGORITMO DO MÍNIMO CORTE PARA ACELERAÇÃO DE PROJETOS

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1 ALGORITMO DO MÍNIMO CORTE PARA ACELERAÇÃO DE PROJETOS José Luiz Contador Departamento de Produção/ FEG/UNESP Prof. do Programa de Pós-graduação em Administração da UNINOVE Abstract A problem of great interesting in project management arises when we desire to speed up its execution time and, to achieve that, we try to identify those activities which must have their duration modified in order to increase the probability of reduction that time. With this objective, we present the minimum-cut algorithm which searches, at each iteration, to identify the set of activities that, once sped up, reduces the duration of all project paths with a duration longer than the project desired time for conclusion of the project. The target of the algorithm is to modify the duration of the minor set of activities in order to perform the project according to their desired completion time. Key words: Project Management; PERT-CPM; Decision Under Uncertainty. Introdução O prazo de execução de um projeto é, em muitas circunstâncias, um fator decisivo para sua viabilização, quer seja em empreendimento relacionados com a iniciativa privada, onde o fator tempo imprime maior competitividade frente aos concorrentes, quer seja em empreendimentos relacionados com objetivos governamentais, onde, em muitas circunstâncias, sua conclusão mais cedo torna-se vital. A questão da redução do prazo de execução de projetos recebeu grande atenção da literatura quando relacionada ao seu custo de execução, através do problema conhecido por balanceamento entre duração e custo do projeto (time-cost trade-off problem- vide Phillips e Dessouy, 977, Tufeci, 98, Contador e Yanasse989). Nesse problema, considera-se que a função tempo versus custo direto das atividades do projeto possui comportamento determinístico, e busca-se determinar quais delas devem ter sua duração alterada de forma a reduzir a acelerar o projeto, com um mínimo custo direto adicional. Outro problema de grande interesse no gerenciamento de projetos surge quando se deseja executá-lo com prazo inferior àquele que se obtém da rede PERT com as atividades no seu tempo esperado. Para isso, busca-se identificar quais atividades devem ter sua duração alterada de forma a reduzir o esforço gerencial ou maximizar as chance de sucesso. A esse tipo de problema denominaremos análise estratégica do projeto para redução do seu prazo de execução. Esse tipo de problema não tem recebido a devida atenção da literatura e, ao que parece, nunca chegou a receber um tratamento formal para sua solução. Os trabalhos sobre gerenciamento de projetos envolvendo a técnica PERT têm explorado muito timidamente a análise estratégica do projeto. Essa análise tem se limitado à avaliação da probabilidade se cumprir prazos de conclusão, enfocando apenas o caminho crítico do projeto, ou à avaliação da programação das atividades de forma a cumprir um dado ENEGEP 00 ABEPRO

2 objetivo, como nivelar recurso ou não exceder o montante disponível de um determinado recurso. A técnica PERT de planejamento e controle de projetos permite análises estratégicas bastante interessantes, como aquela aqui apresentada. Para tratar o problema da análise estratégica do projeto para redução do seu prazo de execução, Contador (00) apresentou o Algoritmo da Máxima Probabilidade. Por esse algoritmo determina-se, a cada iteração, aquele conjunto de atividades que possui maior probabilidade conjunta de funcionarem com uma unidade de tempo a menos e que, uma vez aceleradas, reduzem a duração de todos os caminhos do projeto que excedem seu prazo desejado de conclusão. O método baseia-se na distribuição de probabilidades da duração das atividades Contador (00) apresentou duas inconveniências do método por ele proposto. A primeira vinha do fato de que a caracterização das atividades é feita com base naquela alocação de recursos inicialmente definida para sua realização, o que origina as estimativas de tempo utilizadas ao longo da aplicação inteira do algoritmo. Ou seja, a caracterização inicial da duração das atividades permanece fixa até o final do algoritmo. Essa alocação inicial de recursos poderia ser convenientemente alterada, ao longo da aplicação do algoritmo, para facilitar a aceleração das atividades. Do ponto de vista gerencial, a decisão orientada pela função densidade de probabilidade da atividade nem sempre coincide com aquela orientada pelo sentimento do gerente do projeto. O método apresentado não permitia essa interação com o planejador. O segundo inconveniente do algoritmo da máxima probabilidade vinha do fato de exigir que se procedesse a uma enumeração completa para identificar, a cada iteração, aqueles possíveis conjuntos de atividades que, uma vez aceleradas, reduziriam a duração de todos os caminhos do projeto que excedem o prazo desejado de conclusão. Com o objetivo de suprir esses dois inconvenientes, apresenta-se neste trabalho o Algoritmo da Mínimo Corte. O Algoritmo parte das atividades no seu tempo esperado e utiliza o conceito de mínimo corte para identificar, a cada iteração, o conjunto com menor número de atividades que, uma vez modificada, aceleram todos os caminhos do projeto com duração acima da desejada. Com isto, um menor número de atividades é deslocada da sua duração esperada, propiciando então maior chance de sucesso à aceleração do projeto.. Algoritmo do Mínimo Corte. O Algoritmo do Mínimo Corte permite uma avaliação direta, pelo gerente do projeto, sobre a possibilidade de se acelerar uma atividade, inclusive possibilitando ao gerente definir, no bojo desta análise, a estratégia a ser adotada para essa aceleração, como por exemplo, a utilização de recursos adicionais. A aplicação do método inicia-se a partir da programação do projeto com base no tempo esperado das atividades. Se a correspondente duração esperada do projeto for insatisfatória, identifica-se todos os caminhos do projeto que possuem duração superior ao prazo desejado de conclusão e analisa-se cada uma das atividades desses caminhos, dividindo-as em dois grupos: (a) grupo das atividades que, a partir de ações gerenciais pré determinadas, possuem boas chances de funcionar com duração menor e; (b) grupo das atividades que apresentam dificuldade de serem aceleradas. Cria-se, então, uma rede de fluxo composta apenas pelas atividades dos caminhos a serem acelerados. Atribui-se aos arcos dessa rede limitantes inferior e superior para o fluxo, definidos de forma apropriada para, através da identificação do mínimo corte, determinar-se as atividades mais convenientes a serem aceleradas. Essas atividades são então aceleradas de uma unidade de tempo. Repete-se este procedimento até que a duração desejada do projeto seja atingida. ENEGEP 00 ABEPRO

3 Definição : Seja T* o prazo de conclusão desejado do projeto. O indice de criticidade de uma atividade (i, j) pertencente ao projeto, denotado por I i,j, é dado pelo número de caminhos com duração maior que T* que passam pela atividade (i, j). Para implantar o método do mínimo corte, suge-se aplicar os passos do algoritmo a seguir exposto. Inicialização Construa a rede G(N, A) do projeto, defina a unidade de tempo (dia, semana, 0 etc.) e faça =, t ij, = t ij, para todo (i, j) A; onde t ij é inteiro mais próximo de t ij,, que é a duração esperada da atividade (i, j). Passo. Identificação dos caminhos a serem acelerados Com t ij t = ij, para todo (i, j) A, identifique todos os caminhos Ph do projeto, j=,,..., H, que possuem duração maior do que o seu prazo desejado de conclusão, T*, aplicando, por exemplo, o Algoritmo da folga mínima para determinação do caminho K-crítico em Redes PERT (Contador, 998). Passo. Análise gerencial das atividades Analise cada uma das atividades (i, j) P h, h =,,... H, e as classifique em dois grupos, A e A, conforme segue: (i, j) A se há confiança em realizá-la com duração t ij = ( t ij = t ij -); e (i, j) A, caso contrário. Passo 3. Construção da rede de fluxo. Construa a rede de fluxo, G( N f, A f ), formada pelas atividades (i, j) pertencentes a cada um dos caminhos P h e atribua limitantes de fluxo [ a ij, b ij ] às atividades conforme segue: a ij = 0, para toda atividade (i, j) A A ; b ij = ( H - I ij ), se (i, j) A ; ou b ij =, se (i, j) A onde; H é o número de caminhos a serem acelerados na iteração ;e I ij é o índice de criticidade da atividade (i, j) na iteração. Passo 4. Identificação das atividades a serem aceleradas Determine o máximo fluxo, ( F max ), na rede de fluxo G( Nf, Af ). Se ( F max ) =, pare. Segundo a avaliação realizada, não há possibilidade de acelerar o projeto para uma duração menor que T -. Caso contrário, ( F max ) = H. Localize então o mínimo corte ( X, X ) na rede G( Nf, Af ), onde X é o conjunto de nós que contém o vértice e X é o conjunto de nós que contém o vértice final, n, da rede. Siga para o passo 5. Passo 5. Novas durações das atividades Localize o conjunto J das atividades pertencentes ao mínimo corte ( X, X ) na rede de fluxo e faça: ENEGEP 00 ABEPRO 3

4 ij, ij, ij, tij, ij, ij, t t t = t, para todo (i, j) A, tal que i X e j X = +, para todo (i, j) A, tal que j X e i X = t, para todo (i, j) A, tal que (i, j) ( X, X ). Passo 6. Teste de parada Com os valores de t ij,, determine a nova duração T do projeto. Se T = T *, pare e adote as durações t ij, como meta na execução do projeto. Caso contrário, siga para o passo 7. Passo 7. Nova iteração faça = + e retorne ao passo. No passo do algoritmo, o gerente do projeto deve avaliar quais atividades dos caminhos que precisam ser acelerados apresentam maior facilidade de aceleração, estabelecendo nesta análise as ações necessárias. Permitindo assim, uma interação do algoritmo com o planejador. Os passos 3 e 4 do algoritmo tendem a localizar o menor conjunto de atividades que, ao terem sua duração alterada, aceleram conjuntamente todos caminhos do projeto que estão com duração superior ao prazo de conclusão desejado (são os H caminhos P h do projeto). Ao se fazer (b ij = H - I ij ), está-se atribuindo o menor limitante superior de fluxo ao arco correspondente à atividade do projeto com maior índice de criticidade. Isto força com que ela esteja presente no mínimo corte da rede de fluxo. Assim, a tendência é escolher o menor número de atividades que, ao serem aceleradas, reduzem a duração de todos os caminhos P h. O objetivo é deslocar o menor número de atividades da sua duração esperada, o reduz o esforço gerencial e maximiza a chance de sucesso. Se o fluxo máximo na rede de fluxo, calculado no Passo 4 do algoritmo, resultar ilimitado, isto significa que todas as atividades de pelo menos um dos caminhos P h, não são passíveis de aceleração, segundo a análise gerencial e, portanto, não há confiança sobre a possibilidade de se acelerar o projeto aquém do valor T -. Observe-se que é possível um determinado caminho P h atravessar o corte ( X, X ) mais de uma vez. Neste caso, haverá um número s de atividades saindo do corte (são as atividades (i, j) tais que i X e j X ) e um número e = (s-) de atividades entrando no corte ( X, X ) (são as atividades (i, j) tais que j X e i X ). Neste caso, todas as atividades que saem do corte são aceleradas e, todas as atividades que entram no corte, têm sua duração aumentada.. A pergunta cabível, neste caso, é: porque retardar a duração de atividade quando o propósito é acelerar o projeto? Existem ao menos duas razões para proceder conforme proposto. Primeiro, que todos os caminhos P h do projeto estarão sendo acelerados de uma única unidade de tempo, que é o objetivo de cada iteração e, depois, que, ao retardar a duração de uma atividade, o esforço gerencial necessário à condução do projeto estará sendo aliviando e sem prejudicar o objetivo de acelerá-lo. Exemplo. Considere o projeto representado pela rede da Figura e os dados da Tabela. Os valores de (to), (tp) e (tmp) referem-se às durações otimista, pessimista e mais ENEGEP 00 ABEPRO 4

5 provável, respectivamente, de cada atividade. Considere que se deseja executar o projeto em unidades de tempo. Figura. Rede para desenvolvimento do Exemplo. ARCO (, ) (, 3) (,4) (, 4) (3, 4) (, 5) (3, 5) (4, 5) ATIVID A B C D E F G H to tp tmp t ij 8,7 8,83 8,67,67 9,67,7 5,7 5,67 t ij Tabela. Dados para desenvolvimento do Exemplo 0 Solução. Inicialmente, todas as atividades do projeto estão com duração t ij, projeto apresenta 5 caminhos, dados pelas seguintes seqüências de atividades: (AF), (ADG), (BG), (CEG), (CH), com as durações respectivamente iguais a 9, 5, 4, 4 e 5 unidades de tempo. Iteração (=) Os caminhos que devem ter sua duração aceleradas são: P = (ADG), P = (CEG) e P 3 = (CH). A Tabela (a) exibe as atividades do projeto, que foram rebatizadas com letras (α), com as durações antes e depois da aplicação da iteração = e, para as atividades dos caminhos P h, h =,, 3, fornece os respectivos valores do índice de criticidade e dos limitantes do fluxo nos arcos correspondentes. Todas as atividades de P h foram consideradas passíveis de serem aceleradas nesta iteração. A Figura (a) representa a rede de fluxo para a iteração =, exibindo o corte X = {,, 4} e X = {3, 5}, que contém as atividades C, E e G. Como as atividades C e G saem do corte, faz-se t C = 9 = 8, t G = 5 = 4 e, como a atividades E entra no corte, faz-se t E 0 = t ij. O = 0 + =. Para as demais atividades α {C, E, G}, faz-se tα = tα. Com isso, as durações dos caminhos (ADG), (CEG) e (CH) passam para 4, 3 e 4 unidades de tempo, respectivamente. ENEGEP 00 ABEPRO 5

6 (i, j) / α 0 t ij, I ij a ij b ij [, ] t ij, (, ) / A 8 [0, ] 8 (, 4) / B (, 3) / C 9 [0, ] 8 (, 4) / D [0, ] (3, 4) / E 0 [0, ] (, 5) / F 0 (4, 5) / G 5 [0, ] 4 (3, 5) / H 6 [0, ] 6 Figura (a). Rede de Fluxo para a iteração = Tabela (a). Evolução da método na iteração = Iteração (=) Os caminhos que devem ter sua duração aceleradas nesta iteração são os mesmos da iteração anterior. A Tabela (b) exibe, para esta iteração, as mesmas informações da Tabela (a). Considerou-se que a atividade G não deve sofrer mais nenhuma aceleração. A Figura (b) representa a rede de fluxo para a iteração =, exibindo o corte X = {} e X = {, 3, 4, 5}, que contém as atividades A e C. Como ambas as atividades saem do corte, faz-se t A = 8 = 7 e t C = 8 = 7. Para as demais atividades α {A, C}, faz-se tα = tα. Com isso, as durações dos caminhos (ADG), (CEG) e (CH) passam para 3, e 3 unidades de tempo, respectivamente. (i, j) / α t ij, I ij a ij b ij [, ] t ij, (, ) / A 8 [0, ] 7 (, 4) / B (, 3) / C 8 [0, ] 7 (, 4) / D [0, ] (3, 4) / E [0, ] 0 (, 5) / F 0 (4, 5) / G 4 [0, ] 4 (3, 5) / H 6 [0, ] 6 Figura (b). Rede de Fluxo para a iteração = Tabela (b). Evolução da método na iteração = Iteração 3 (=3) Os caminhos que devem ter sua duração aceleradas nesta iteração são ainda, os mesmos das iterações anteriores. Considerou-se que a atividade A não deve sofrer mais nenhuma aceleração. A Figura (c) representa a rede de fluxo para a iteração =3, exibindo o corte X 3 = {, } e X 3 = {3, 4, 5}, que contém as atividades C e D, ambas saindo do corte. Assim, faz-se t 3 3 C = 7 = 6, t D = = e as demais atividades mantêm a mesma duração da iteração anterior. Com isso, a duração dos caminhos (ADG), (CEG) e (CH) passa para, e unidades de tempo, respectivamente, tendo o caminho (CEG) alcançado a duração desejada. ENEGEP 00 ABEPRO 6

7 (i, j) / α 3 t ij, I ij 3 a ij 3 b ij [, ] 3 t ij, (, ) / A 7 [0, ] 7 (, 4) / B (, 3) / C 7 0 [0, ] 6 (, 4) / D [0, ] (3, 4) / E 0 [0, ] 0 (, 5) / F 0 (4, 5) / G 4 [0, ] 4 (3, 5) / H 6 [0, ] 6 Figura (c). Rede de Fluxo para a iteração = 3 Tabela (c). Evolução da método na iteração = 3 Iterações 4 (=4) Os caminhos que devem ter sua duração acelerada nesta iteração são P 4 = (ADG) e P 4 = (CH). Considerou-se que a atividade C não deve sofrer mais nenhuma aceleração. A Figura (d) representa a rede de fluxo para a iteração =4, exibindo o corte X 4 = {,, 3} e X 4 = {4, 5}, que contém as atividades D e H, ambas saindo do corte. Assim, faz-se 4 4 t D = = 0, t H = 6 = 5 e as demais atividades mantêm a mesma duração da iteração anterior. Com isso, todos os caminhos do projeto ficam com duração menor ou igual ao seu prazo desejado de conclusão. Está, portanto, definida a estratégia para realizar o projeto em unidades de tempo, a qual corresponde a conduzir as atividades do projeto de forma a realizá-la com a duração t 4 ij,, para todo (i, j) A, cujos valores estão reapresentados na Tabela 3. (i, j) / α 3 4 t ij, I ij 4 4 [ a ij, b ij ] 4 t ij, (, ) / A 7 [0, ] 7 (, 4) / B (, 3) / C 6 0 [0, ] 6 (, 4) / D [0, ] 0 (3, 4) / E 0 [0, ] 0 (, 5) / F 0 (4, 5) / G 4 [0, ] 4 (3, 5) / H 6 [0, ] 5 Figura (d). Rede de Fluxo para a iteração = 4 Tabela (d). Evolução da método na iteração = 4 Caminhos P h Atividades Atividades ADG CEG CH A B C D E F G H do corte Durações (T[P h ]) Durações ( t ij, ) ( J ) {C, D} {G, H} {C, D} {A, H} Tabela 3. Evolução do Método de solução ENEGEP 00 ABEPRO 7

8 Referências Bibliográficas CONTADOR, J. L. Algoritmo da máxima probabilidade para aceleração de projetos. Anais do 0 Encontro Nacional de Engenharia de Produção. Salvador, Ba, outubro de 00. CONTADOR, J. L. Algoritmo da folga mínima para determinação do caminho K-crítico em redes PERT. Anais do 8 0 Encontro Nacional de Engenharia de Produção. Níterói, RJ, setembro de 998. CONTADOR, J. L. SENNE, E. L. F. Avaliação de risco no prazo de conclusão de projetos. Anais do 7 0 Encontro Nacional de Engenharia de Produção. Gramado, RS, outubro de 997. CONTADOR J. L. e YANASSE, H. H. Um procedimento para acelerar o número de iterações do algoritmo de preservação do fluxo para o problema CPM. Anais do o Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, Fortaleza, PE, outubro de 989. DAVIS, E. W. Project scheduling under resource constraints historical review and categorization of procedures. AIIE Transactions, novembro 973. ICMELI, O. Project scheduling problems: a survey. International Journal of Opertions & Production Management, Vol 3, No., 993. MODER, J.; DAVIS, E. W. e PHILLIPS, C. Project Management with CPM and PERT. New Yor: Van Nostrand Reinhold, 983. PHILLIPS J. R., e DESSOUKY, M. I. Solving the project time-cost trade-off problem using the minimal cut concept. Mamagement Science, vol 4, n o 4, dezembro de 977. TUFEKCI, S. A flow-preserving algorithm for the time-cost trade-off problem. IEE Tansactions, junho de 98. ENEGEP 00 ABEPRO 8