Aula 3 Equação do Radar. Capítulo 4 - Battan

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1 Aula 3 Equação do Radar Capítulo 4 - Battan

2 Hipóteses Assumidas O transmissor (antena) irradia a energia EM de forma isotrópica (todas as direções); A energia EM que retorna ao radar é proveniente de partículas esféricas de água ou gelo Lembrete: otência é energia por unidade de tempo

3 A energia EM será espalhada em todas as direções igualmente Radiação Incidente sobre a gota gota Radiação espalhada isotropicamente pela gota Antena Mas a gota é muito pequena quando comparada com o,logo ela recebe energia de todas as direções

4 ara saber quanto de energia chega sobre a gota, precisamos calcular primeiramente o fluxo de EM que é irradiado pelo radar através da densidade de potência transmitida (S). No nosso caso, temos que a densidade é definida pela razão entre a otência Transmitida ( T ) pela área da superfície esférica que circunda o radar a um distância r. S T 4 r r distância do radar

5 Entretanto sabemos que os radares meteorológicos não irradiam energia em todas as direções, mas em ângulos sólidos pois utilizam antenas que concentram energia em feixes. (Antenas parabólicas) Logo, temos a concentração de energia ao longo de um feixe de radiação. Em geral os radares meteorológicos utilizam antenas parabólicas

6 Neste sentido temos que definir o Ganho da antena (G) como sendo a razão entre a potência por unidade de área ao longo do eixo do feixe do radar pela otência irradiada isotropicamente. (Valores típicos variam entre 0 a 45 db, ou seja, 100 a 36000: 1) 80% da potência G 10 log D k G ganho sobre um a fonte isotrópica (db) K é um fator de eficiência que pode variar entre 0,5 a 0,6 D é o diâmetro da antena em metros é o comprimento de onda em metros

7 Logo se tivermos um alvo a uma distância r do radar com uma seção transversal A T, temos que a otência Interceptada ( ) pode ser expressa como: AT A T T 4 r GA T Área interceptada Radar TR Antena

8 Agora assumimos que o alvo não absorve nenhuma energia e ele reirradia isotropicamente toda a energia recebida. Esta energia espalhada chegará até a antena do radar. Assim definimos a seção transversal efetiva (A e ) da antena receptora como: A e = A p Onde A p é a área física da antena e é a eficiência da antena.

9 A partir de considerações teóricas para antenas circulares e parabólicas, temos que a área efetiva (Ae), o ganho (G) e a área da antena (Ap) podem se relacionar da seguinte forma. G 8 A A e G 4 3 Note que para um fixo, um refletor grande produz um ganho maior. or outro lado, temos que para aumentar o Ganho de uma antena, basta diminuir o. Combinando as duas equações acima temos: A e A 3

10 ortanto inserindo as características da antena, a otência Recebida ( R ) pelo radar é dada por: R A T e GA T 4 r 4 r I II III S T AT I - distância II área interceptada III área recebida

11 Como a área efetiva da antena (A e ) pode ser expressa em função do ganho da antena (G) e do comprimento de onda do radar (.), temos: 4 G A e Assim, re-escrevendo a equação do radar, temos: r A G r G GA r r A GA r T T T T e T T R T T R A G r

12 Anteriormente, havíamos assumido que o alvo tinha uma seção transversal A T que espalhava isotropicamente. No entanto não existem alvos meteorológicos que espalham isotropicamente, pois a potência re-irradiada pelo alvo depende de uma relação entre o tamanho da partícula interceptada pela onda EM e o da onda incidente (espalhamento frontal Mie por exemplo). Dessa maneira, temos que definir a seção transversal de retroespalhamento () como a seção transversal de um espalhador isotrópico que retornaria a mesma potência para o radar como o alvo atual. Em geral temos que > A T

13 Uma definição alternativa para : A área a qual, quando multiplicada pela otência Incidente ( I ) dá a potência total irradiada por uma fonte isotrópica que irradia a mesma potência na direção contrária (retro) que um espalhador atual r r S r T I Área x Densidade

14 Então para um espalhamento simples temos: R 64 T 3 r 4 G A T T ( 4 ) 3 r 4 G I esta equação pode ser aplicada para alvos isolados como a Lua, Avião ou uma gota de chuva por exemplo. Na verdade podemos usar esta equação para calibrar um radar uma vez que conhecemos as dimensões do Sol e da Lua e são fáceis de localizar no espaço.

15 Além disso, temos que lembrar que o feixe do radar ilumina um volume no espaço (descrito pelos pulsos). Entretanto o volume iluminado tem diversos alvos (gotas de chuva) que estão espalhando a energia individualmente. Assim, dentro de um volume iluminado temos a contribuição individual de diversas seções transversais de retro-espalhamento ( I ), que retornam energia ao mesmo tempo para o radar. Dessa maneira: Volume iluminado

16 Como as partículas se movimentam (gravidade e correntes ascendentes e descendentes), temos que a potência refletida pode variar no tempo. Entretanto após um período da ordem 0,01 segundos o espalhamento aleatório destas partículas se torna independente. Dessa maneira, temos que fazer uma média da potência recebida sobre um número grande de alvos, assim a otência de retorno fica: R 4 T 3 r 4 G n. Tempos t 0 I onde a somatória é sobre o volume iluminado (V m ) que espalha de volta a energia para o radar. Obs: ntempos é definido como o número de amostras em cada radial.

17 Se as partículas estão distribuídas uniformemente dentro do volume iluminado Vm, podemos normalizar a potência recebida pelo volume amostrado. Logo Vm é dado por V m r r h h onde r = distância do alvo, = largura do feixe da antena (radianos)(1- graus) h = comprimento do pulso em metros (c/) = duração do pulso (tipicamente 1 s)

18 ortanto a seção transversal total de retro-espalhamento é o retroespalhamento por unidade de volume vezes Vm. Sendo assim, podemos definir a refletividade do radar () como = I, que tem unidades de {cm /m 3 } ou cm -1. volume I T R n t I T R m n t I T R h G r G r h r r V G r

19 or outro lado, quando esta equação do radar foi utilizada sobre alvos conhecidos observou-se grandes desvios. Verificou-se mais tarde que estas variações eram devidas aos lóbulos da antena (principal e secundários). robert-jones (196) constatou que a otência por unidade de área podia ser representada por um função gaussiana e assim a equação do radar pode ser re-escrita como: R ( ln T )51 r G h volume I Efeito do lóbulo da antena

20 Intensidade da Radiação(dB) Φ A largura do feixe da antena θ, é definida como ½ da potência = 3 db fora do centro ou 10log ou uma largura de 6 db adrão do feixe 0 θ -10 θ -0 Lóbulo principal Ângulo for a do eixo A largura do feixe da antena também é função do comprimento de onda e do tamanho da antena D θ = 1.7 λ / D (radianos) θ = 73 λ / D (graus) onde é o comprimento de onda em cm e D o diâmetro da antena em cm.

21 A seguir temos que analisar como a EM interage com os hidrometeoros

22 Retro-Espalhamento de pequenas esferas de água e gelo Quando uma onda EM plana polarizada passa sobre um gota esférica, esta onda induzirá uma oscilação de dipolo elétrico (polarizam) e magnético na gota, uma vez que a água é um dielétrico. Sendo que a energia incidente será repartida da seguinte forma: a) uma fração será absorvida pela gota na forma de calor e a outra b) será re-irradiada na forma de espalhamento com o mesmo comprimento de onda da onda (energia) incidente.

23 Dipólos Dipolos são induzidos como cargas livres e os momentos de dipolo associados com cada molécula ficam alinhados com o campo elétrico incidente. As cargas do dipolo oscilam na mesma frequência do campo elétrico incidente. A oscilação destas cargas produz um campo EM que é espalhado pelo alvo. (Lembrem-se da da definição de uma antena de dipolo transmissor)

24 Re-escrevendo o espalhamento de uma onda plana a partir da teoria Mie, temos que a seção transversal de retro-espalhamento de uma gota esférica pode ser expressa por: a ( n 1 1) n ( n 1)( a n b n ) onde a raio da gota e = a/ parâmetro de tamanho (perímetro/comprimento de onda) a n coeficiente de espalhamento induzido pelo dipolo, quadrupolo, etc., magnético b n coeficiente de espalhamento induzido pelo dipolo, quadrupolo, etc., elétrico.

25 os valores de a n e b n podem ser expressos em termos de funções esféricas de Bessel e Hankel com argumentos e m. m é o índice de refração complexo n índice de refração m = n ik k coeficiente de absorção

26 Interpretação Fisica de a n e b n O termo b n representa o espalhamento de cargas de dipolo que foram induzidos pelo campo elétrico incidente. O termo a n representa o espalhamento pelo dipólo, quadrupólo (e etc) induzido pelo campo magnético. Na região das microondas estes dipolos de carga estão associados com o momento de dipolo permanente da molécula de água. Estes dipólos e quadrupolos podem ser visto como: Obs. Dipolos, quadrupolos e etc, são resultados da polarização da radiação incidente em materiais dielétricos

27 Logo a partir da representação do espalhamento, é possível analisar a relação entre a secção transversal de Retro-Espalhamento e o tamanho da artícula para averiguar quando o espalhamento é isotrópico ou não. a ( n 1 1) n ( n 1)( a n b n )

28 b =/a = a/ Figura 4. ilustra a seção transversal de espalhamento normalizada (/a ) para esferas de água e gelo e para um =3.1 cm (banda X)

29 b =/a Água = a/ Gelo Note que para muito pequeno, aumenta com (entre 1 e ) A diferença entre a água e o gelo deve-se à constante dielétrica, onde: Água é um espalhador mais eficiente do que o gelo, pois a água cria um dipolo mais alinhado. ara >, do gelo é maior que a da água, uma vez que a absorção da água excede a do gelo

30 O Comportamento de para grande é altamente oscilatório, pois existe um espalhamento grande na direção de propagação da onda que está associado a múltiplas reflexões da onda(espalhamento mie)

31 Transição entre o retro-espalhamento Rayleigh e Mie A questão é saber qual o valor do parâmetro de tamanho (a/) em que a aproximação Rayleigh é valida. Gunn e East (1954) examinaram esta região a partir do cálculo da razão entre a seção transversal de retro-espalhamento Mie e Rayleigh = Mie / Rayleigh. ara esferas de água a 18 o C e entre 0.9 à 10 cm temos que a aproximação Rayleigh é válida para < 0. (D < 0,07 ). Neste intervalo, irá variar mais que 0.75 do valor preciso, o que representa 1.5 db. De todas as maneiras Rayleigh subestima o valor verdadeiro de.

32 ara o gelo, entretanto, Ryde (1946), indica que a aproximacao Rayleigh para pode ser utilizada para < 0.5 (D < 0,16 ).

33 Usando a aproximação Rayleigh, ou seja, < 0. (a/) temos que o diâmetro máximo observado para diferentes radares é: Banda (cm) Freq(GHz) < D(mm) observado água ( gelo) S 10,0 3 7 (16,0) C 5,0 6 3,5 (8,0) X 3,0 10,1 (4,8) K 1,0 30 0,7 (1,6) W 0,4 75 0,5 (0,64) ortando os radares Banda S detectam todos os hidrometeoros dentro do regime de espalhamento Rayleigh, exceto as grandes pedras de gelo. Os radares com pequeno entram na região de espalhamento Mie para hidrometeoros precipitáveis, o que implica que estes radares são mais indicados para a medidas de física de nuvens.

34 A não associação da aproximação Rayleigh se deve ao fato de que existem outras contribuições de espalhamento e absorção da energia EM, ou seja, a seção transversal de retro-espalhamento ( ) é reduzida devido ao aumento do espalhamento na direção de propagação da onda, ou ainda, devido ao aumento do efeito de absorção da partícula.

35 Dessa maneira, temos que para << 1, ou seja, raio da gota muito menor que temos a aproximação Rayleigh. Assim a seção transversal de espalhamento pode ser descrita por: onde Di é o diâmetro da partícula e K o índice de refração da partícula I D i K m m 1 m m K

36 Água Termo T( o C) Comprimento de onda (cm) K Im(-K) I K???????? Gelo Termo T( o C) K x10-4 Im(-K) x x10-4

37 or outro lado, em vez de expressar como função do diâmetro gota, podemos fazer em função do quantidade de água, uma vez que estamos interessados em chuva por intervalo de tempo (mm/h). Expressando em função da massa, temos que considerar a densidade das partículas que estamos: água ~ 1 g/cm 3, gelo ~ 0.9 g/cm 3, neve ~ 0.05 g/cm 3 Lembrando que assumimos gotículas esféricas, temos que a massa pode ser expressa por: Massa Volume densidade 4 3 a 3 Logo a seção transversal de retro-espalhamento pode ser expressa como: K Massa

38 Finalmente, a otência recebida pelo retro-espalhamento de partículas esféricas pode ser expressa como: Espalhamento Rayleigh: R T G h (ln ) 3 K r volume D i 6 Espalhamento Mie R 16 T G 64 h (ln ) r 1 volume i onde o Fator Refletividade do Radar Z é volume D 6 i enquanto que a Refletividade do Radar é volume i

39 Logo se soubermos a distribuição de tamanho das partículas dentro do volume iluminado, podemos expressar Z como: ou Z 0 N Nparticula Z Volume, i 0 Sendo assim podemos expressar a otência recebida pelo radar em termos do Fator Refletividade do Radar e a constante do Radar 6 ( D ) D dd s n i D i 6 K R Cte r Z

40 Caso a aproximação Rayleigh não possa ser aplicada, temos que : R Cte K r Z e onde Ze é o fator refletividade equivalente, e pode ser expresso por: Z e 5 Usualmente, os radares meteorológicos assumem que as partículas iluminadas são água liquida, logo K = 0,93 4 K Logo: Z e 6 6 K 4 M D 3 Onde M Conteúdo de água Liquida, densidade da partícula, D diâmetro. Ze (mm 6 /m 3 ), (cm), D(cm), (cm ) e M(g/m 3 ).

41 Finalmente podemos expressar a potência do radar recebida em termos mais comuns, ou seja: Convertendo para db (10Log 10 ), temos R Cte K r Z e Log 10 Log Cte 10 Log K 0 Log r 10 Log 10 R Z e ercebam que a equação é representada pela adição ou subtração. ortanto qualquer erro de calibração eletrônica do radar, diminuição da potência transmitida, alteração da antena, ou tipo de hidrometeoro, pode ser corrigida facilmente após a Identificação.

42 Logo medindo R a uma distância r, podemos calcular Ze. Usualmente usamos Ze em termos de dbz, que é definido como: dbz e = 10Log 10 Z e. Z Cte K Log r ( dbz ) ( dbm ) 10 Log 0 e R Alvo Característica do radar distância

43 r r MDS Diagrama da otência Recebida pelo radar em função da distância e do fator refletividade do radar. Note que a medida que o alvo se distancia do radar, é necessário ter um maior Z para termos o mesmo valor de r. O que este efeito significa para Z, pois nós medimos r?

44 Como podemos inferir a recipitação? Sabemos que o fator refletividade do radar (Z) é proporcional à distribuição de tamanho de gotas vezes o D 6. ortanto se houvesse uma maneira de expressar o Conteúdo de Água Líquida (LWC) ou a Taxa de recipitação (R) em função da distribuição de tamanho de gotas, poderíamos relacionar estas grandezas com as medidas feitas pelo radar.

45 Temos que a Taxa de reciptação pode ser expressa como: Onde w é a velocidade vertical. Na superfície w = 0. Já o conteúdo de água líquida pode ser expresso como: 0 3 ) ( ) ( 6 ) / ( dd w D V D D N h m R T ) ( 6 ) / ( dd D D N m g LWC L

46 Logo a partir das relação Z-R ou Z-LWC podemos obter estes parâmetros. Mas para isso temos que ter uma idéia da distribuição de tamanho de gotas, N(D). Estas medidas de distribuição são feitas em geral a partir de medidas com disdrômetros ou coletores de partículas em aeronaves. O disdrômetro mede a distribuição de tamanho de gotas (DSD) em um intervalo de tempo a partir do impacto das gotas sobre uma superfície de 50 cm. O impacto das gotas provoca uma vibração na membrana, sendo que esta energia mecânica é então proporcional a um tamanho.

47 Medidas realizadas em 1948 (Marshall e almer) indicaram que as precipitações estratiformes seguiam uma distribuição exponencial, enquanto que mais tarde observou-se que as convectivas seguiam uma distribuição gamma e ou lognormal. De uma maneira simplificada, podemos utilizar a expressão exponencial proposta inicialmente por Marshall e almer (1948) e derivar as relações Z-R e Z-LWC. ara isso assumimos: N ( D ) N cm exp D, gotas / 0 3 (R) = 4,1R -0,1 mm -1 [R(mmh -1 )] e N 0 = 0,08 cm -4

48 N o

49 Logo Z pode ser expressa por: Z [ mm ( 7 ) 6! m ] N ( D ) D dd 0 0 N 0 exp 6 D D dd N N Mashall e almer encontraram que =f(r), na forma de (R) = 4,1R -0,1 ortanto, Z N 6! 6! 7 x 0, 1 N R ,1 R 1, 47 mm m 3 6 orém na literatura temos que a relação ZR é: Z 00 R 1, 6

50 Relação Z-R e Z-M para gotas de água e cristais de gelo e neve. Tipo Z(mm 6 /m 3 ) x M(g/m 3 ) Z(mm 6 /m 3 ) x R(mm/h) Chuva (M) M = 3,93x10-3 Z 0,55 Z = 00R 1,6 São aulo (Morales, 1991) M = 1,4 x10-3 Z 0,64 Z = 378R 1,34 Neve e agregados M = 1,7x10 - Z 0,45 Z = 150R 1,54 Granizo (molhado) M = 9,5x10-7 Z 1,0 Z = 486R 1,37 Granizo (seco) M = 5,5x10-6 Z 0,97 Nuvem M = 4,56Z 0,5 Z = 69R 1,8 Obs: para mais relações utilizar: 1) Sauvageot, H., and J. Omar, 1987: Radar Reflectivity of Cumulus Clouds. J. Atmos. Oceanic Technol., 4, 64 7, e ) Battan L.J., 1973: Radar Observation of the Atmosphere. 3) Morales, C.A.R., 1991: Distribuição de tamanho de gotas nos trópicos: Ajuste de uma função gama e suas aplicações. Dissertação de Mestrado, IAG, US.

51 Lista de Exercício 3 Entrega: 14 de Março de 019 1) Utilizando a relação M = 1,4 x10-3 Z 0,64 Onde M esta em g/m3 e Z em mm6/m3 Derive uma distribuição de tamanho de gotas N(D) do tipo exponencial, tal qual função de Marshall e almer e calcule e N 0 em função de M ou Z.

52 ) Derive as relação Z-R e Z-LWC para uma distribuição exponencial de cristais de gelo que tem os seguintes parâmetros: (R) = 5,5R -0,48 (cm -1 ) e N 0 = 3,8 x 10 - R -0,87 cm -4 3) Utilizando a relação Z-R de Marshall e almer (1948) e a de Morales (1991) calcule a diferença entre as taxas de precipitação estimada para o Z variando de 0,5,15,0,5,30,40,50,55 e 60 dbz. Comente os resultados e explique o porque das diferenças encontradas na taxa de precipitação para o mesmo valor de Z.

53 4) Utilizando a equação do radar, mostre como a potência média do radar mudaria se você estivesse observando cristais de gelo em vez de água, sendo que ambos tem o mesmo conteúdo de água liquida/gelo, potência transmitida e ganho da antena. 5) Como os resultados do exercício anterior variam em função da distância.