(LEAmb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ) Exame 2 28 de Janeiro de 2008, 9h00

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1 Computação e Programação (LEAmb, LEMat, LQ, MEBiol, MEQ) Departamento de Matemática, IST Exame 2 28 de Janeiro de 2008, 9h00 Duração: 2h30 não preencher I II III T: Curso: Número: Nome: Grupo I [3,0] Defina em Matlab uma função f que quando recebe como argumento uma matriz quadrada de números inteiros percorre essa matriz posição a posição recorrendo a dois ciclos while e devolve o par [x,y] em que x é o menor elemento da matriz que ocorre numa linha de índice par; y é o maior elemento da matriz que ocorre na diagonal principal. 1

2 Grupo II [2,0+2,0] Considere o tipo de dados abstracto saco de inteiros. Um saco de inteiros é uma colecção, eventualmente vazia, de números inteiros, na qual podem ocorrer números repetidos. Por exemplo, {2, 2, 3, 5, 7} é um saco de inteiro composto pelos números 2, 2, 3, 5, 7. Pretende-se desenvolver em F um módulo que disponibilize as operações a seguir descritas sobre este tipo de dados, escolhendo a implementação seguinte para o tipo saco de inteiros. type, public :: saco private type(elem), pointer :: p end type saco type, private :: elem integer :: x type(elem), pointer :: seg end type elem Com esta implementação, pretende-se que um saco de inteiros seja representado por uma cadeia de nós. Por exemplo, o saco anterior pode ser representado da seguinte forma: elem x 2 seg p saco As operações disponibilizadas pelo módulo são as seguintes: - vazio(): função que devolve o saco vazio; - insere(s,n): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída s um saco de inteiros e no parâmetro de entrada n um número inteiro e acrescenta esse número ao saco; - apaga(s,n): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída s um saco de inteiros e no parâmetro de entrada n um número inteiro e apaga todas as ocorrências desse número do saco; - pertence(s,n,b): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída s um saco de inteiros e no parâmetro de entrada n um número inteiro e devolve no parâmetro de saída b.true. se esse número ocorrer no saco e.false. caso contrário; - n ocorrencias(s,n,k): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída s um saco de inteiros e no parâmetro de entrada n um número inteiro e devolve no parâmetro de saída k o número de ocorrências desse número no saco; 2

3 - minimo(s,n): subrotina que recebe no parâmetro de entrada/saída s um saco de inteiros e devolve no parâmetro de saída n o menor elemento do saco. No caso do saco vazio deverá ser emitida uma mensagem de erro; - vazioq(s): função que recebe no parâmetro de entrada s um saco de inteiros e devolve.true. caso esse saco esteja vazio e.false. caso contrário. a) Desenvolva uma implementação para as operações vazio, insere e n ocorrencias. Note que no caso da subrotina insere, a inserção de um nó na lista não tem que obedecer a nenhuma ordem em particular. 3

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5 b) Desenvolva, recorrendo ao módulo acima, uma subrotina intersec(s1,s2,s3) que receba nos parâmetros de entrada/saída s1 e s2 dois sacos de inteiros e devolva no parâmetro de saída s3 o saco, sem elementos repetidos, correspondente à intersecção dos sacos s1 e s2. 5

6 Grupo III [1,5+1,5] a) Considere a seguinte função g, definida em Matlab. Descreva a funcionalidade desta função. Defina recursivamente uma função h com a mesma funcionalidade de g function y=g(a,b) y=0; while (a>=b) a=a-b; y=y+1; end 6

7 b) Define-se raiz quadrada inteira de um número inteiro positivo n como sendo o maior número inteiro positivo m menor ou igual do que a raiz quadrada de n. Por exemplo, a raiz quadrada inteira de 27 é 5 porque 5 2 = e 6 2 = 36 > 27. Um algoritmo utilizado frequentemente para aproximar a raiz quadrada inteira de um número, que a seguir se descreve, baseia-se no método de Newton. Define-se uma sucessão {x k } da seguinte forma: x 0 = n; x k+1 = (x k + n x k )/2. O método consiste em calcular valores sucessivos de x k até que x k+1 x k < 1. Implemente em F este método através de uma função intsqrt que receba como argumento um inteiro positivo n e devolva a aproximação encontrada para a raiz quadrada inteira de n. 7

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