XX SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA GRUPO IV ANÁLISE E TÉCNICAS DE SISTEMAS DE POTÊNCIA CA E CC (GAT)

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1 XX SNPTEE SEMINÁRIO NACIONAL DE PRODUÇÃO E TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Versão 1.0 XXX.YY 22 a 25 Novembro de 2009 Recife - PE GRUPO IV ANÁLISE E TÉCNICAS DE SISTEMAS DE POTÊNCIA CA E CC (GAT) APLICAÇÃO DE TRANSFORMAÇÃO QUADRÁTICA DE VARIÁVEIS NA AGREGAÇÃO DINÂMICA DE REGULADORES DE TENSÃO Eduardo J. S. Pires de Souza PUC-Rio RESUMO Se a agregação dinâmica de modelos for tratada como um problema de otimização sem restrições, constantes de tempo negativas podem ser obtidas, caracterizando modelos instáveis ou de fase não-mínima. Este trabalho avalia a transformação quadrática de variáveis na solução deste problema, aplicada em reguladores de tensão de unidades geradoras coerentes, conhecida a resposta em freqüência dos modelos individuais de cada grupo. O objetivo é o cálculo de equivalentes dinâmicos. Todos os parâmetros estimados com a transformação quadrática de variáveis são não-negativos. Resultados obtidos com o sistema New England com modelos de reguladores de tensão do Anatem são apresentados. PALAVRAS-CHAVE Equivalentes dinâmicos, geradores coerentes, agregação dinâmica, reguladores de tensão, transformação quadrática de variáveis INTRODUÇÃO A presença de vários dispositivos de controle nos atuais sistemas de energia elétrica de grande porte conduz a um elevado tempo de CPU nos estudos dinâmicos devido aos intervalos de integração muito pequenos. Uma maneira de acelerar o processo, sem perda significativa de precisão, é reduzir o tamanho do modelo do sistema por meio de equivalentes dinâmicos (1). Além desta aplicação, os estudos com simuladores em tempo real representam outra motivação para a utilização de equivalentes dinâmicos. Como a capacidade de representação de elementos no simulador é limitada, é necessária a redução do sistema original a um sistema equivalente, cujo tamanho seja compatível com sua capacidade de representação (2). A redução do sistema original a um sistema equivalente consistente pode ser obtida com a utilização de equivalentes dinâmicos baseados em coerência, cujo tamanho pode ser determinado através de índices que traduzem a qualidade da coerência dos grupos de geradores formados, e a proximidade elétrica dos geradores em cada grupo (3). Além da etapa de identificação dos geradores coerentes, a metodologia para o cálculo dos equivalentes dinâmicos apresenta as etapas de redução estática da rede e de agregação dinâmica dos modelos das unidades geradoras coerentes. Dentre essas etapas, a última é a que menos tem sido tratada, e que vem requerendo maior desenvolvimento. Departamento de Engenharia Elétrica Rua Marquês de São Vicente, 225, sala 401-L, CEP , Rio de Janeiro, RJ. Tel.: (21) , Fax: (21) , pires@ele.puc-rio.br

2 2 O objetivo deste trabalho é avaliar a transformação quadrática das variáveis na solução do problema da agregação dinâmica de modelos de reguladores de tensão (RGT), eliminando o aparecimento de constantes de tempo negativas que podem surgir ao se resolver o problema original. O bem conhecido sistema New England, com modelos de reguladores de tensão do Anatem (4), será considerado para testar a metodologia. Serão apresentadas tabelas com os parâmetros equivalentes obtidos resolvendo o problema original e com a transformação quadrática das variáveis, e diagramas de Bode (módulo e fase) para ilustrar o ajuste da resposta em freqüência dos reguladores de tensão equivalentes. Serão apresentadas também curvas de oscilação dos geradores do sistema interno para a avaliação do desempenho dinâmico do equivalente. A seção 2.0 descreve a metodologia utilizada para a agregação dinâmica de modelos de RGT, considerando a transformação quadrática das variáveis, incluindo alguns resultados. A seção 3.0 apresenta o desempenho dinâmico do equivalente. As conclusões estão na seção AGREGAÇÃO DINÂMICA Conhecidos os modelos ou a resposta em frequência de cada unidade individual, a agregação dinâmica de um grupo de unidades geradoras coerentes consiste em representar esse grupo através de uma ou mais unidades geradoras equivalentes. As unidades geradoras coerentes podem ser representadas por diferentes modelos de máquina síncrona, sistema de excitação, turbina e regulador de velocidade. Haverá, então, um modelo equivalente para cada componente da unidade geradora, ou seja, um modelo equivalente para a máquina síncrona, outro para o sistema de excitação, e assim por diante. Os parâmetros lineares de cada modelo equivalente são ajustados numericamente de modo a se obter um erro mínimo entre a função de transferência equivalente e a função de transferência agregada, que representa a soma das funções de transferência das unidades individuais de cada grupo. O erro a ser minimizado é a soma dos quadrados da magnitude dessa diferença, calculada para várias freqüências discretas (5). Nesse processo, dependendo da resposta em freqüência de cada grupo coerente, do modelo escolhido para o equivalente, e das estimativas iniciais consideradas, constantes de tempo negativas podem ser determinadas, caracterizando modelos instáveis ou de fase não-mínima. O processo de ajuste de parâmetros vem sendo resolvido utilizando-se o método de Levenberg-Marquardt (6), (7). 2.1 Transformação quadrática das variáveis A agregação dinâmica de modelos de RGT tem sido tratada como um problema de ajuste de parâmetros de modelos equivalentes, seja a partir do cálculo da resposta em freqüência dos modelos individuais (8), ou a partir da resposta em freqüência conhecida dos modelos de cada grupo de unidades geradoras coerentes (9). Neste trabalho, considera-se a transformação quadrática das variáveis para resolver o problema. Este procedimento implica em se estimar o valor da raiz quadrada das constantes de tempo. Se este valor for nãonegativo ou negativo, ao se elevar ao quadrado, as constantes de tempo serão sempre números não-negativos. Deve-se observar que as transformações de variáveis podem conduzir, dentre outras, às seguintes dificuldades (10): i) O mínimo desejado pode ser excluído; ii) O grau de não-linearidade pode ser significativamente aumentado; iii) a matriz Hessiana pode tornar-se singular ou mal-condicionada na região de interesse; iv) O problema transformado pode ter mínimos locais adicionais, assim como pontos estacionários. 2.2 Resultados A Figura 1 apresenta o bem conhecido sistema New England (39 barras, 46 linhas/transformadores e 10 geradores) considerado neste estudo. A área de interesse específico escolhida (sistema interno) está acima das barras 39, 2 e 26, definidas como barras de fronteira. O restante do sistema é o sistema externo, que deve ser substituído pelo sistema equivalente. As máquina síncronas foram representadas pelo modelo MD02 do Anatem (4). Modelos de reguladores de tensão do Anatem (4) também representam as unidades geradoras 1 a 9. O modelo MD18, considerando os parâmetros K G, K Q1 e T A nulos, representa as unidades geradoras 3 e 4, e o modelo MD01 (T m = 0) representa as outras unidades geradoras. As unidades geradoras 1, 8 e 9 do sistema interno são representadas também pelo modelo MD01 de estabilizador do Anatem (4). Os dados estão no apêndice.

3 3 Para um curto-circuito trifásico na barra 29, eliminado em 67 ms, os grupos de geradores coerentes (6,7,4) e (2,3) são formados, considerando-se o índice de qualidade da coerência q c = 0,80 e sem considerar a proximidade elétrica entre os geradores (q p = 0) (3), (11). Os grupos coerentes são constituídos pelos modelos de reguladores de tensão MD01 e MD18. O grupo coerente (6,7,4) contem dois modelos MD01 e um modelo MD18. O grupo coerente (2,3) contém um modelo de cada tipo. Os modelos MD01 e MD20 (T m = 0) do Anatem (4) foram selecionados como modelos equivalentes. Os ganhos K A desses modelos equivalentes são iguais aos valores das funções de transferência agregadas na frequência de 0,01 Hz (11). O modelo MD18, com os referidos parâmetros nulos, é similar ao modelo MD01. Por outro lado, o modelo MD20 não é similar aos modelos MD01 e MD18. Assim, por similaridade, o modelo MD01 deve ser a melhor escolha para o modelo equivalente, como será investigado na próxima seção. Para cada grupo coerente, os parâmetros de cada modelo equivalente são estimados até que sua função de transferência se ajuste à função de transferência agregada dentro de uma precisão especificada. Diagramas de Bode (módulo e fase) apresentam as funções de transferência agregadas e equivalentes FIGURA 1 Sistema New England. Tabelas 1 a 4 apresentam os parâmetros estimados dos modelos equivalentes de regulador de tensão obtidos resolvendo o problema original (valores entre parêntesis) e o problema transformado para várias estimativas iniciais. Todos os parâmetros estão em segundos. As Tabelas 1 e 2 apresentam os parâmetros estimados do modelo equivalente MD01 de regulador de tensão para os grupos coerentes (6,7,4) e (2,3), respectivamente. A excitatriz desse modelo equivalente é considerada excitada separadamente (K E = 1). Dados típicos (T A = 0,02; T E = 0,8; K F = 0,03; T F = 1,0) e pontos de partida iguais (0,01; 0,1; 0,5; ; 1,0) para todos os parâmetros são considerados como valores iniciais. Cabe observar que a solução do problema original pode conter constantes de tempo negativas mesmo se o modelo equivalente for similar aos modelos dos grupos coerentes, como verificado nas Tabelas 1 e 2 para o valor inicial 0,1. Os parâmetros estimados obtidos resolvendo os problemas original e transformado são os mesmos ou muito próximos para todos os valores iniciais exceto 0,1 na Tabela 1 (o problema original convergiu para constante de tempo negativa), e 0,01 e 0,1 na Tabela 2 (o problema original convergiu para outro mínimo local e para constante de tempo negativa, respectivamente). As diferenças entre os parâmetros muito próximos estão na faixa 0,25-3,89% com uma média de 1,04% na Tabela 1, e 0,15-1,79% com uma média de 1% na Tabela 2. As Tabelas 1 e 2 apresentam dois mínimos locais obtidos resolvendo o problema transformado. Os parâmetros estimados na Tabela 1 são T A = 0,028, T E = 1,201, K F = 0,030 e T F = 0,7726 para valores iniciais típicos, e T A = 0,230, T E = 0,230, K F = 0,030 e T F = 0,0402 ou estimativas muito próximas para os outros valores iniciais. A Tabela 2 apresenta os seguintes parâmetros estimados: T A = 0,045, T E = 1,332, K F = 0,042 e T F = 0,3062 para valores iniciais típicos, e também para os valores iniciais 0,01 e 0,1 (valores de T A e T E trocados), e T A = 0,289, T E = 0,289, K F = 0,056 e T F = 0,0618, ou estimativas muito próximas, para os outros valores iniciais. Para ambos mínimos locais nas Tabelas 1 e 2, as funções de transferência equivalentes se ajustam às agregadas de modo similar.

4 4 TABELA 1 - Parâmetros do modelo equivalente MD01 de RGT: Grupo (6,7,4). Valores Parâmetros iniciais T A T E K F T F Típicos 0,028 1,201 0,030 0,7726 (0,028) (1,201) (0,030) (0,7692) 0,01 0,230 0,230 0,030 0,0402 (0,230) (0,230) (0,030) (0,0398) 0,1 0,229 0,229 0,030 0,0384 (0,129) (0,129) (0,032) (-0,0132) 0,5 0,230 0,230 0,030 0,0400 (0,230) (0,230) (0,030) (0,0401) 0,229 0,230 0,030 0,0395 (0,230) (0,230) (0,030) (0,0398) 1,0 0,230 0,230 0,030 0,0404 (0,230) (0,230) (0,030) (0,0397) TABELA 2 - Parâmetros do modelo equivalente MD01 de RGT: Grupo (2,3). Valores Parâmetros iniciais T A T E K F T F Típicos 0,045 1,332 0,042 0,3062 (0,045) (1,330) (0,042) (0,3045) 0,01 1,331 0,045 0,042 0,3062 (0,289) (0,289) (0,057) (0,0620) 0,1 1,333 0,045 0,042 0,3063 (0,187) (0,187) (0,058) (-0,0149) 0,5 0,289 0,289 0,056 0,0618 (0,289) (0,289) (0,057) (0,0626) 0,289 0,289 0,056 0,0616 (0,289) (0,289) (0,056) (0,0620) 1,0 0,290 0,290 0,057 0,0632 (0,289) (0,289) (0,057) (0,0622) As Tabelas 3 e 4 apresentam os parâmetros estimados do modelo equivalente MD20 de regulador de tensão dos grupos coerentes (6,7,4) e (2,3), respectivamente. Dados típicos (T 1 = 2,0; T 2 = 15,0; T 3 = 1,0; T 4 = 1,0) e pontos de partida iguais para todos os parâmetros são considerados como valores iniciais. Nessas tabelas, os asteriscos indicam que o algoritmo de Levenberg-Marquardt não converge. Observa-se que a solução do problema original apresenta constantes de tempo negativas para todos os valores iniciais, exceto 0,5 e 1,0 na Tabela 3, e 1,0 na Tabela 4. Os parâmetros estimados obtidos resolvendo os problemas original e transformado são os mesmos ou muito próximos para os valores iniciais 0,5 e 1,0 na Tabela 3 e 1,0 na Tabela 4. As diferenças entre os parâmetros muito próximos são 0,13% na Tabela 3 e 0,12% na Tabela 4. As Tabelas 3 e 4 apresentam apenas um mínimo local obtido resolvendo o problema transformado. Na Tabela 3 os parâmetros estimados são T 1 = 0,037, T 2 = 0,742, T 3 = 0,037 e T 4 = 0,742, ou estimativas muito próximas, para os valores iniciais 0,5, e 1,0, e na Tabela 4 são T 1 = 0,029, T 2 = 0,845, T 3 = 0,029 e T 4 = 0,845 para o valor inicial 1,0. Observa-se nas Tabelas 3 e 4 que se o problema original converge para constantes de tempo negativas, o problema transformado diverge, exceto para o valor inicial na Tabela 3. TABELA 3 Parâmetros do modelo equivalente MD20 de RGT: Grupo (6,7,4). Valores Parâmetros iniciais T 1 T 2 T 3 T 4 Típicos (2,155) (4,437) (-0,014) (0,883) 0,01 (-0,017) (-0,324) (-0,273) (1,855) 0,1 (-0,014) (4,260) (1,996) (0,852) 0,5 0,037 0,742 0,037 0,742 (0,037) (0,742) (0,037) (0,742) 0,037 0,742 0,037 0,742 (-0,003) (1,714) (-0,003) (0,013) 1,0 0,037 0,741 0,037 0,741 (0,037) (0,742) (0,037) (0,742) TABELA 4 Parâmetros do modelo equivalente MD20 de RGT: Grupo (2,3). Valores Parâmetros iniciais T 1 T 2 T 3 T 4 Típicos (1,430) (3,645) (-0,015) (1,063) 0,01 (-0,015) (2,442) (-5,176) (-6,032) 0,1 (-0,041) (-0,099) (-0,034) (2,359) 0,5 (-0,015) (2,754) (2,685) (2,748) (-0,037) (2,348) (-0,037) (-0,097) 1,0 0,029 0,845 0,029 0,845 (0,029) (0,845) (0,029) (0,845) *, algoritmo de Levenberg-Marquardt não converge. As Figuras 2 e 3 apresentam os diagramas de Bode (módulo e fase) das funções de transferência (FTs) agregadas e equivalentes dos grupos coerentes (6,7,4) e (2,3), respectivamente. Como esperado, a função de transferência do modelo equivalente MD01 de regulador de tensão se ajusta melhor às funções de transferência agregadas que a função de transferência do modelo equivalente MD20 de regulador de tensão. O melhor desempenho no domínio da frequência conduz ao melhor desempenho no domínio do tempo, como será verificado na próxima seção.

5 5 Agregada Equiv. MD01 Equiv. MD20 Agregada Equiv. MD01 Equiv. MD Módulo (pu/pu) Módulo (pu/pu) ,01 0, ,01 0, Frequência (Hz) Frequência (Hz) Agregada Equiv. MD01 Equiv. MD20 Agregada Equiv. MD01 Equiv. MD Fase (graus) Fase (graus) ,01 0, ,01 0, Frequência (Hz) Frequência (Hz) FIGURA 2 Diagramas de Bode das FTs: Grupo (6,7,4). FIGURA 3 Diagramas de Bode das FTs: Grupo (2,3) DESEMPENHO DO EQUIVALENTE DINÂMICO Malhas REI (12) são introduzidas na solução do caso base de fluxo de carga do sistema completo para transferir os geradores coerentes de cada grupo para uma barra terminal comum (barra R) (13), (14). Com o intuito de verificar apenas os erros do equivalente devidos à etapa de agregação dinâmica, a redução da rede não foi considerada neste trabalho. Após a etapa da agregação dinâmica, o sistema externo contem duas unidades geradoras equivalentes representando os grupos coerentes (6,7,4) e (2,3), e também o gerador nãocoerente 5. Modelos equivalentes de máquina síncrona de pólos salientes e de reguladores de tensão (MD01 ou MD20) representam as unidades geradoras equivalentes. Os parâmetros equivalentes estão apresentados abaixo. DMDG MD02 (No) (CS) (Xd )(Xq )(X'd) (X"d)(Xl )(T'd) (T"d)(T"q) (No) (Ra )( H )( D )(MVA)Fr C DRGT MD01 (No) (CS) (Ka )(Ke )(Kf )(Tm )(Ta )(Te )(Tf )(Lmn)(Lmx)LS EI EI 9999 DRGT MD20 (No) (Tm )(Ka ) (T1 ) (T2 ) (T3 ) (T4 )(Lmn)(Lmx) Obs.: 2901 e 2902 correspondem aos grupos (6,7,4) e (2,3), respectivamente.

6 6 Os parâmetros dos modelos equivalentes de regulador de tensão são aqueles estimados resolvendo o problema transformado considerando como valor inicial 1,0 nas Tabelas 1 a 4. Os ganhos K A são 45,7 pu/pu para o grupo (6,7,4) e 30,2 pu/pu para o grupo (2,3). Os limites L max e L min do modelo equivalente MD01 de regulador de tensão foram considerados como sendo os maiores entre os limites dos modelos MD01 de cada grupo coerente. A saturação da excitatriz equivalente foi desprezada. Para o modelo equivalente MD20 de regulador de tensão, os limites foram arbitrariamente escolhidos 10 e 10. O modelo polinomial foi considerado para representar a dependência das cargas com a tensão no programa de estabilidade (4). O modelo da potência ativa é composto de 80% de impedância constante e 20% de potência constante. O modelo da potência reativa é composto de 100% de impedância constante. A componente de potência constante é transformada para impedância constante quando a tensão da barra cai abaixo de 50%. Figuras 4 e 5 apresentam curvas de oscilação (ângulo do gerador 9 e tensão terminal da barra 29) do sistema interno obtidas com o sistema completo (linha sólida azul) e também com o sistema equivalente (linha tracejada vermelha) para o curto-circuito trifásico aplicado na barra 29 e eliminado após 67 ms (4), (15). Sistema equivalente MD01 e sistema equivalente MD20 nas legendas dessas figuras referem-se aos sistemas equivalentes com os modelos equivalentes MD01 e MD20 de reguladores de tensão, respectivamente. Os ângulos são referidos ao gerador 10. Observa-se que o gerador 9 é o mais severamente perturbado para esta falta, e a tensão terminal corresponde à barra em falta. 110, 1,12 90, 70, 0,37 50, 0, 2, 4, 6, 8, 10, Tempo FIGURA 4 (a) - Ângulo do gerador 9: Sistema completo e sistema equivalente MD01. 0, 0, 2, 4, 6, 8, 10, Tempo FIGURA 5 (a) - Tensão terminal da barra 29: Sistema completo e sistema equivalente MD , 1,12 90, 70, 0,37 50, 0, 2, 4, 6, 8, 10, Tempo FIGURA 4 (b) - Ângulo do gerador 9: Sistema completo e sistema equivalente MD20. 0, 0, 2, 4, 6, 8, 10, Tempo FIGURA 5 (b) - Tensão terminal da barra 29: Sistema completo e sistema equivalente MD20. Como esperado, o sistema equivalente MD01 obteve um desempenho no domínio do tempo melhor que o sistema equivalente MD20. Observa-se que uma estrutura inadequada do modelo equivalente de regulador de tensão afetou de modo significativo o desempenho dinâmico do sistema equivalente CONCLUSÕES Se a agregação dinâmica de modelos for tratada como um problema de otimização sem restrições, a solução pode produzir modelos instáveis ou de fase não-mínima. Entretanto, se este problema for resolvido considerando

7 7 a transformação quadrática das variáveis, as estimativas são sempre números não-negativos, viabilizando o modelo equivalente selecionado. Embora o problema transformado seja mais não-linear que o original, o método de Levenberg-Marquardt teve sucesso na solução do problema de otimização, dependendo das estimativas iniciais. A estrutura do modelo equivalente e as estimativas iniciais dos parâmetros são importantes no problema da agregação dinâmica AGRADECIMENTOS O autor agradece a Nilo José Pereira de Macedo, M.Sc., engenheiro de Furnas Centrais Elétricas S.A., pelas sugestões valiosas durante projetos de P&D em equivalentes dinâmicos, e também ao Cepel-Centro de Pesquisas em Energia Elétrica pela utilização dos programas Anarede e Anatem APÊNDICE: DADOS DE MODELOS DO ANATEM PARA O SISTEMA NEW ENGLAND Dados do modelo MD02 de máquina síncrona Gen. no. X d X q X d X d X l T do T do T qo H S b (MVA) 1 10,0 6,90 3,10 2,83 1,50 10,2 0,05 0,10 42,0 100,0 2 29,5 28,2 6,97 4,0 3,5 6,56 0,048 0,12 30,3 100,0 3 24,95 23,7 5,31 3,70 3,04 5,70 0,048 0,11 35,8 100,0 4 26,2 25,8 4,36 3,00 2,95 5,69 0,050 0,10 28,6 100,0 5 67,0 62,0 13,2 8,90 5,40 5,40 0,045 0,09 26,0 100,0 6 25,4 24,1 5,00 3,83 2,24 7,30 0,050 0,07 34,8 100,0 7 29,5 29,2 4,90 3,80 3,22 5,66 0,040 0,06 26,4 100,0 8 29,0 28,0 5,70 3,80 2,80 6,70 0,048 0,12 24,3 100,0 9 21,06 20,5 5,70 3,80 2,98 4,79 0,030 0,09 34,5 100,0 10 2,00 1,90 0,60 0,40 0,30 7,00 0,050 0,14 500,0 100,0 Dados do modelo MD01 de regulador de tensão ( K E = 1,0 ) Gen. no. K A (pu/pu) K F T A T E T F L min L max A ex B ex 1 45,0 0,03 0,02 0,785 1,0-10,0 10,0 0,4335 0, ,0 0,057 0,05 0,730 1,15-6,5 6,5 0,3567 0, ,0 0,03 0,02 0,730 1,0-15,0 15,0 0,4430 0, ,0 0,04 0,02 1,000 1,246-10,5 10,5 0,2616 0, ,0 0,03 0,04 0,730 1,0-6,5 6,5 0,2302 0, ,0 0,02 0,02 0,746 1,0-6,5 6,5 0,4516 0, ,0 0,03 0,02 1,400 1,0-10,5 10,5 0,4321 0,4251 Dados do modelo MD18 de regulador de tensão ( K E = 1,0; K G, K Q1 e T A nulos ) Gen. no. K A (pu/pu) K I K Q2 T SE T Q T E L min L max A ex B ex 3 45,0 1,3 0,07 0,72 0,51 0,8-4,0 4,0 0,3972 0, ,0 1,2 0,04 0,70 0,55-4,0 4,0 0,3216 0,3612 Dados do modelo MD01 de estabilizador Gen. no. K T T 1 T 2 T 3 T 4 L min L max 1 52,0 1,5 0,9 0,03 1,0 0,02-1,0 1,0 8 53,0 1,6 0,7 0,02 0,8 0,01-1,0 1,0 9 51,0 1,4 0,8 0,04 0,9 0,03-1,0 1,0

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (1) MACEDO, N.J.P., PIRES DE SOUZA, E.J.S., FONSECA, F.M., ALBUQUERQUE, M.A. Dynamic performance evaluation of the interconnected Brazilian system using equivalents, IX SEPOPE, Paper SP-040, CD-ROM, Rio de Janeiro, p. 1-5, (2) PIRES DE SOUZA, E.J.S., MACEDO, N.J.P., MEIRELES, M.F., JARDIM, J.L. Aplicação de equivalentes dinâmicos baseados em coerência em estudos com simulador em tempo real de sistemas elétricos, XIV SNPTEE, Informe Técnico FL / GAT / 09, CD-ROM, Belém, p. 1-6, (3) PIRES DE SOUZA, E.J.S. Identification of coherent generators considering the electrical proximity for drastic dynamic equivalents, Electric Power Systems Research, Vol. 78, no. 7, p , (4) CEPEL, Programa Anatem, Manual do Usuário, V09-12/01, (5) GERMOND, A.J., PODMORE, R. Dynamic aggregation of generating unit models, IEEE Trans. Power Apparatus Sys., Vol. 97, p , (6) LEVENBERG, K. A method for the solution of certain nonlinear problems in least squares, Quarterly of Applied Mathematics, Vol. II, p , (7) MARQUARDT, D.W. An algorithm for least squares estimation of nonlinear parameters, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 2, p , (8) PIRES DE SOUZA, E.J.S., ARAÚJO PEDRO, M.B.D., SOUZA, F.L., FIGUEIREDO, A.B.G. Aggregation of excitation systems including PSS to calculate power system dynamic equivalents, VIII SEPOPE, Paper IP-086, CD-ROM, Brasília, p. 1-6, (9) MACEDO, N.J.P., FONSECA, F.M., PIRES DE SOUZA, E.J.S. Modelagem de reguladores de tensão equivalentes utilizando o banco de dados do programa Pacdyn, XIX SNPTEE, Informe Técnico GAT 28, CD- ROM, Rio de Janeiro, p. 1-8, (10) GILL, P.E., MURRAY, W., WRIGHT, M.H. Practical optimization, Academic Press, London, (11) PUC-RIO/FURNAS, Programa Edinco-Equivalentes dinâmicos por coerência, Manual do Usuário, Versão P03-03/04, (12) TINNEY, W.F., POWELL, W.L. The REI approach to power network equivalents, Proc. PICA Conference, p , (13) PIRES DE SOUZA, E.J.S., LEITE DA SILVA, A.M. Equivalentes dinâmicos por coerência: Uma metodologia eficiente, X SNPTEE, Informe Técnico CTBA / GOP / 19, Curitiba, p. 1-6, (14) PIRES DE SOUZA, E.J.S., LEITE DA SILVA, A.M. An efficient methodology for coherency-based dynamic equivalents, IEE Proc. C, Vol. 139, no. 5, p , (15) CEPEL, Programa Anarede, Manual do Usuário, V08-01/03, DADOS BIOGRÁFICOS Eduardo José Siqueira Pires de Souza obteve os graus de engenheiro eletricista e M.Sc. em Engenharia Elétrica da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) em 1976 e 1978, respectivamente, e o grau D.Sc. em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Rio de Janeiro (COPPE/UFRJ) em Desde 1976 é professor do Departamento de Engenharia Elétrica da PUC-Rio.