Otimização Contínua: Aspectos teóricos e computacionais

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1 Otimização Contínua: Aspectos teóricos e computacionais Ademir Alves Ribeiro Elizabeth Wegner Karas Capítulo 3 - Convexidade Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 1 / 28

2 1 Conjuntos convexos 2 Funções convexas Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 2 / 28

3 Conjunto convexo Definicao Um conjunto C R n é dito convexo quando dados x, C, o segmento [x,] = {(1 t)x +t t [0,1]} estiver inteiramente contido em C. x x Conjunto convexo Conjunto não convexo Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 3 / 28

4 Conjunto convexo Definicao Um conjunto C R n é dito convexo quando dados x, C, o segmento [x,] = {(1 t)x +t t [0,1]} estiver inteiramente contido em C. x x Conjunto convexo Conjunto não convexo Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 3 / 28

5 Conjunto convexo Definicao Um conjunto C R n é dito convexo quando dados x, C, o segmento [x,] = {(1 t)x +t t [0,1]} estiver inteiramente contido em C. x x Conjunto convexo Conjunto não convexo Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 3 / 28

6 Conjunto convexo Exemplo Sejam C i, i = 1,...,m conjuntos convexos. m\ O conjunto interseção C = C i também é convexo. i=1 Por outro lado, a união de convexos não é convexa. Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 4 / 28

7 Conjunto convexo Exemplo Sejam C i, i = 1,...,m conjuntos convexos. m\ O conjunto interseção C = C i também é convexo. i=1 Por outro lado, a união de convexos não é convexa. Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 4 / 28

8 Conjunto convexo Exemplo O conjunto solução de um sistema de equações lineares é convexo. De fato: Seja C = {x R n Ax = b}. Se Ax = b e A = b, então A ( (1 t)x +t ) = b. Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 5 / 28

9 Projeção de um ponto sobre um conjunto Lema Seja S R n um conjunto fechado não vazio. Dado z R n, existe z S tal que, para todo x S, z z z x. S proj S (z) z z = proj S (z) Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 6 / 28

10 Projeção de um ponto sobre um conjunto Lema Seja S R n um conjunto fechado não vazio. Dado z R n, existe z S tal que, para todo x S, z z z x. S z Não existe z. O conjunto não é fechado. Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 7 / 28

11 Projeção de um ponto sobre um conjunto Lema Seja S R n um conjunto fechado não vazio. Dado z R n, existe z S tal que, para todo x S, z z z x. S z O ponto projeção pode não ser único. Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 8 / 28

12 Unicidade da projeção de um ponto sobre um conjunto Lema Seja S R n um conjunto não vazio, convexo e fechado. Dado z R n, existe um único z S tal que para todo x S. z z 2 z x 2, S proj S (z) z z = proj S (z) Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 9 / 28

13 Convexidade Teorema Sejam S R n um conjunto não vazio, convexo e fechado, z R n e z = proj S (z). Então (z z) T (x z) 0, para todo x S. S proj S (z) z x Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 10 / 28

14 Convexidade Vale a recíproca Sejam S R n um conjunto não vazio, convexo e fechado e z R n. Se z S satisfaz (z z) T (x z) 0, para todo x S, então z = proj S (z). S proj S (z) z x Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 11 / 28

15 Minimização em convexos e fechados Teorema Sejam f : R n R uma função diferenciável e C R n convexo e fechado. Se x C é minimizador local de f em C, então para todo α 0. proj C ( x α f (x ) ) = x, f x C Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 12 / 28

16 Minimização em convexos e fechados Teorema Sejam f : R n R uma função diferenciável e C R n convexo e fechado. Se x C é minimizador local de f em C, então para todo α 0. proj C ( x α f (x ) ) = x, f C x Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 13 / 28

17 Função convexa Seja C R n um conjunto convexo. Uma função f : R n R é convexa em C quando, para todos x, C e t [0,1], f ( (1 t)x +t ) (1 t) f (x) +t f (). Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 14 / 28

18 Função convexa Seja C R n um conjunto convexo. Uma função f : R n R é convexa em C quando, para todos x, C e t [0,1], f ( (1 t)x +t ) (1 t) f (x) +t f (). x Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 15 / 28

19 Função convexa Seja C R n um conjunto convexo. Uma função f : R n R é convexa em C quando, para todos x, C e t [0,1], f ( (1 t)x +t ) (1 t) f (x) +t f (). x Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 16 / 28

20 Função convexa Seja C R n um conjunto convexo. Uma função f : R n R é convexa em C quando, para todos x, C e t [0,1], f ( (1 t)x +t ) (1 t) f (x) +t f (). f() f(x) x Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 17 / 28

21 Função convexa Seja C R n um conjunto convexo. Uma função f : R n R é convexa em C quando, para todos x, C e t [0,1], f ( (1 t)x +t ) (1 t) f (x) +t f (). f() f(x) x (1 t)x + t Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 18 / 28

22 Função convexa Seja C R n um conjunto convexo. Uma função f : R n R é convexa em C quando, para todos x, C e t [0,1], f ( (1 t)x +t ) (1 t) f (x) +t f (). f() f ( (1 t)x + t ) f(x) x (1 t)x + t Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 19 / 28

23 Função convexa Seja C R n um conjunto convexo. Uma função f : R n R é convexa em C quando, para todos x, C e t [0,1], f ( (1 t)x +t ) (1 t) f (x) +t f (). f() (1 t)f(x) + tf() f ( (1 t)x + t ) f(x) x (1 t)x + t Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 20 / 28

24 Função convexa Seja C R n um conjunto convexo. Uma função f : R n R é convexa em C quando, para todos x, C e t [0,1], f ( (1 t)x +t ) (1 t) f (x) +t f (). f() f ( (1 t)x+t ) (1 t)f(x)+tf() Função não convexa x f(x) (1 t)x+t Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 21 / 28

25 Função convexa Exemplos de funções convexas f : R R f (x) = x 2. f (x) = e x. Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 22 / 28

26 Função convexa Exemplos de funções convexas f : R R f (x) = x 2. f (x) = e x. Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 22 / 28

27 Função convexa Teorema Sejam C R n convexo e f : C R uma função convexa. Se x C é minimizador local de f, então x é minimizador global de f. Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 23 / 28

28 Função convexa diferenciável Teorema Sejam f : R n R uma função diferenciável e C R n convexo. A função f é convexa em C se, e somente se, para todos x, C, f () f (x) + f (x) T ( x). x Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 24 / 28

29 Função convexa diferenciável Corolário Sejam f : R n R uma função convexa, diferenciável e C R n convexo. Se f (x ) T ( x ) 0, para todo C, então x é um minimizador global de f em C. Em particular, todo ponto estacionário é minimizador global. x f C x C f Hipóteses satisfeitas Hipóteses não satisfeitas Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 25 / 28

30 Função convexa diferenciável Corolário Sejam f : R n R uma função convexa, diferenciável e C R n convexo. Se f (x ) T ( x ) 0, para todo C, então x é um minimizador global de f em C. Em particular, todo ponto estacionário é minimizador global. x f C x C f Hipóteses satisfeitas Hipóteses não satisfeitas Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 25 / 28

31 Função convexa diferenciável Corolário Sejam f : R n R uma função convexa, diferenciável e C R n convexo. Se f (x ) T ( x ) 0, para todo C, então x é um minimizador global de f em C. Em particular, todo ponto estacionário é minimizador global. x f C x C f Hipóteses satisfeitas Hipóteses não satisfeitas Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 25 / 28

32 Função convexa diferenciável Teorema Sejam f : R n R uma função convexa diferenciável e C R n convexo e fechado. Se proj C ( x f (x ) ) = x, então x C é minimizador global de f em C. Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 26 / 28

33 Função convexa de classe C 2 Teorema Sejam f : R n R uma função de classe C 2 e C R n convexo. (i) Se 2 f (x) 0, para todo x C, então f é convexa em C. (ii) Se f é convexa em C e intc /0, então 2 f (x) 0, para todo x C. Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 27 / 28

34 Principais referências D. P. Bertsekas, A. Nedić, and A. E. Ozdaglar. Convex Analsis and Optimization. Athena Scientific, Belmont, USA, J-B. Hiriart-Urrut and C. Lemarechal. Convex Analsis and Minimization Algorithms I. Springer-Verlag, New York, A. L. Peressini, F. E. Sullivan, and Jr J. J. Uhl. The Mathematics of Nonlinear Programming. Springer-Verlag, New York, 1nd edition, Ademir Alves Ribeiro, Elizabeth Wegner Karas () Otimização Contínua Capítulo 3 - Convexidade 28 / 28