Meta-heurísticas aplicadas à identificação de sistemas

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECATRÔNICA UFRN CT PEM Meta-heurísticas aplicadas à identificação de sistemas Alcemy Gabriel Vitor Severino Orientador: Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo Número de ordem PEM: M010 Natal, RN, dezembro de 2017

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECATRÔNICA UFRN CT PEM Meta-heurísticas aplicadas à identificação de sistemas Alcemy Gabriel Vitor Severino Orientador: Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica da UFRN (área de concentração: Sistemas Dinâmicos e Controle de Processos) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências. Natal, RN, dezembro de 2017

3 Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN Sistema de Bibliotecas - SISBI Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede Severino, Alcemy Gabriel Vitor. Meta-heurísticas aplicadas à identificação de sistemas / Alcemy Gabriel Vitor Severino f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica. Natal, RN, Orientador: Prof. Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo. 1. Meta-heurísticas - Dissertação. 2. Sistemas não lineares - Dissertação. 3. Identificação de sistemas - Dissertação. 4. Seleção de estruturas - Dissertação. 5. Modelo NARX - Dissertação. I. Araújo, Fábio Meneghetti Ugulino de. II. Título. RN/UF/BCZM CDU

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5 Aos meus pais, Alcivan e Marineide, e ao meu querido irmão, Gabriel.

6 Agradecimentos Em primeiro lugar agradeço a Deus por minha vida, pelas bênçãos colocadas em meu caminho, ainda que as não merecesse, e pela oportunidade de concluir este trabalho. Aos meus pais pelo opoio, paciência, compreensão e amor. Foram a educação e a confiança que eles me deram que proporcionou a força necessária para chegar onde estou e me tornar a pessoa que sou hoje. Ao meu querido irmão, Gabriel, que, com seu humor e alegria, forneceu-me momentos felizes que me ajudaram a seguir em frente. A minha amada namorada, Kyury, que, com seu amor e carinho, confortou-me e acreditou em mim mais do que eu mesmo, e sempre estava disposta a me ajudar no que fosse necessário. Ao meu orientador, Professor Dr. Fábio Meneghetti Ugulino de Araújo, que me deu a oportunidade de ser seu orientando e me guiou em minha carreira acadêmica desde a iniciação cientíntica até o mestrado. Sempre comprensível e disposto a ajudar. Aos meus queridos amigos, André Luiz, André Henrique, Andressa Jales, Artur Paulino, Brunna Vasconcelos, Danilo Ichihara, Diego Henrique, Fábio Ricardo, Frankelene Pinheiro, Gustavo Rossi, Ícaro Araújo, Jean Mário, José Kleiton, Leandro Luttiane, Mayranne Furtunato, Missilene Farias, Mário Sérgio, Pedro André, Rafael Cardoso, Sérgio Natan e Willians Mendes. Aos funcionários do Departamento de Engenharia de Computação e Automação, Amalusia Oliveira, Flávio Gameleira, Maria José e Raimundo Lima e a secretária da Coordenação de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica, Rebeca Aline. Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecatrônica, em especial aos professores, Dr. Adelardo Adelino Dantas de Medeiros, Dr. Carlos Eduardo Trabuco Dorea, Dr. Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz e Dr. Pablo Javier Alsina. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo apoio financeiro. E para todos aqueles que não foram mencionados aqui e colaboraram, direta ou indiretamente, com a conclusão desse trabalho. Muito obrigado.

7 No fim tudo dá certo, e se não deu certo é porque ainda não chegou ao fim. Fernando Sabino

8 Resumo A identificação de sistemas tem como objetivo determinar modelos matemáticos capazes de descrever suas características dinâmicas a partir de observações. Geralmente, o processo de identificação é dividido nas seguintes etapas: i) coleta de dados experimentais, ii) determinação da estrutura do modelo, iii) estimação de parâmetros e iv) validação do modelo. Neste trabalho investiga-se o problema da determinação de estruturas. A partir de técnicas de otimização conhecidas como meta-heurísticas, foi desenvolvido um algoritmo para determinação da estrutura de modelos NARX polinomiais. Diferente dos métodos tradicionais, as meta-heurísticas utilizam um conjunto de possíveis soluções e estratégias, geralmente baseadas na natureza, para encontrar a solução do caso aplicado. Dentre as técnicas estudadas estão o algoritmo genético, a otimização por enxame de partículas e o algoritmo do morcego. A metodologia proposta foi aplicada na identificação de três exemplos experimentais: um aquecedor elétrico, um conversor buck e uma válvula pneumática. Os resultados demonstram que meta-heurísticas podem ser aplicadas no problema da seleção de estruturas em modelos NARX polinomiais. Palavras-chave: Meta-heurística, Sistemas não lineares, Identificação de sistemas, Seleção de estruturas, modelo NARX.

9 Abstract System identification has the goal to determine mathematical models to describe dynamic characteristics of systems from observations. The identification process is generally divided into the following steps: i) experimental data collection, ii) determination of model structure, iii) parameter estimation and iv) model validation. In this work, the problem determining of structures is investigated. An algorithm was developed to determine the structure of polynomial NARX models using optimization techniques known as meta-heuristics. Unlike traditional methods, metaheuristics use a set of possible solutions and strategies, usually based on nature, to find the solution of the case applied. Among the techniques studied are the genetic algorithm, the particle swarm optimization, and the bat algorithm. The methodology proposed in this work was applied to identify three experimental examples: an electric heater, a buck converter and a pneumatic valve. The results demonstrate that metaheuristics can be applied to the problem of the selection of polynomial NARX model structures. Keywords: Meta-heuristics, Nonlinear systems, Systems identification, Selection of structures, NARX model.

10 Lista de Figuras 2.1 Procedimento para identificação de processos Etapas do procedimento básico de identificação Representação esquemática dos modelos ARX e ARMAX Etapas básicas do GA utilizado Etapas básicas do PSO utilizado Etapas básicas do BA utilizado Fluxograma do procedimento de identificação Termos candidatos e organização Algoritmo de identificação Processo de avaliação Diagrama de blocos da simulação do modelo Aquecedor elétrico Dados de identificação - aquecedor elétrico Saída estimada - aquecedor elétrico Saídas estimadas dos modelos encontrados pelas meta-heurísticas para o aquecedor elétrico Diferença entre a saída real e estimada - aquecedor elétrico Ampliação das curvas de erros - aquecedor elétrico Estrutura de um conversor CC-CC do tipo buck Dados de identificação - conversor CC-CC do tipo buck Saída estimada - conversor buck Saídas estimadas dos modelos encontrados pelas meta-heurísticas para o conversor buck Diferença entre a saída real e estimada - conversor buck Sistema de controle de nível Level Process Statio 3503MO Diagrama do sistema de controle de nível Dados de identificação - válvula pneumática Saída estimada - válvula pneumática Saídas estimadas dos modelos encontrados pelas meta-heurísticas para a válvula pneumática Diferença entre a saída real e estimada - válvula pneumática i

11 Lista de Quadros e Tabelas 1.1 Lista de meta-heurísticas Formas de comportamento qualitativo não linear Termos candidatos modelo ARMAX (n y = n u = 3 e n e = 2) Conversão decimal-binária e regressores selecionados Valores de x e a estrutura de seus respectivos modelos Valores dos parâmetros utilizados para cada meta-heurística Média e desvio padrão dos critérios analisados Índices de avaliação Valores dos parâmetros utilizados para cada meta-heurística Média e desvio padrão dos critérios analisados Índices de avaliação Valores dos parâmetros utilizados para cada meta-heurística Média e desvio padrão dos critérios analisados Índices de avaliação ii

12 Lista de Símbolos e Abreviaturas A t J MQ N T s Y Ψ Ψ T Ψ Ξ α e γ Média da amplitude de emissão de pulso Função custo Comprimento dos dados coletados Tempo de amostragem Vetor da resposta do sistema Matriz de regressores Matriz normal ou matriz de informação Vetor de resíduos Constantes β Vetor de números aleatórios com distribuição uniforme entre 0 e 1 ˆθ, Θ ŷ ω φ φ 1 φ 2 σ 2 erro τ d v i x i gbest pbest i Vetor de parâmetros Resposta estimada do sistema Fator de inércia Matriz das observações Grau de confiança da partícula na melhor solução encontrada pela mesma Grau de confiança da particula na melhor solução encontrada pelo enxame Variância dos resíduos Tempo morto i-ésima velocidade da partícula ou morcego i-ésima posição da partícula ou morcego Melhor solução encontrada pelo i-ésimo enxame Melhor solução encontrada pela i-ésima partícula iii

13 ε Valor aleatório entre -1 e 1 ε(k) ϕ(k) e(k) f ( ) f max f min l n θ n e n u n y q 1 Resíduos Vetor de regressores Ruído do sistema Função não linear qualquer Frequência máxima de emissão de pulso Frequência mínima de emissão de pulso Grau de não linearidade Número de parâmetros do modelo Ordem do ruído Ordem da entrada Ordem da saída Operador de atraso r 1 e r 2 Números aleatrórios entre 0 e 1 r i u(k) y(k) AIC ARMAX ARX BA ERR GA MMQ NARMAX NARX PRBS Taxa de emissão de pulso Sinal de entrada Resposta do sistema Akaike s Information Criterion AutoRegressive Moving Average with exogenous inputs AutoRegressive with exogenous inputs Bat Algorithm Error Reduction Ratio Genetic Algorithm Método de mínimos quadrados Nonlinear AutoRegressive Moving Average with exogenous inputs Nonlinear AutoRegressive with exogenous inputs Pseudo Random Binary Signal

14 PSO PWM Particle Swarm Optimization Pulse Width Modulation

15 Sumário 1 Introdução 1 2 Fundamentação Teórica Sistemas Sistemas lineares e não lineares Identificação de sistemas dinâmicos Coleta de dados experimentais Determinação do modelo Métodos paramétricos Representações discretas para métodos paramétricos.. 11 Modelo ARX Modelo ARMAX Modelo NARX Modelo NARMAX Seleção da estrutura Taxa de redução de erro Critério de informação de Akaike Estimação de parâmetros Método de mínimos quadrados Meta-heurísticas Meta-heurísticas aplicadas à seleção de estrutura Algoritmo Genético Otimização por enxame de partículas Algoritmo do morcego Validação do modelo Simulação Metodologia Descrição do algoritmo de identificação Obtenção dos dados de identificação Determinação do conjunto de termos candidatos Seleção de estrutura e estimação dos parâmetros do modelo Simulação e validação do modelo identificado vi

16 4 Estudos de caso Aquecedor elétrico Modelos obtidos Conversor buck Modelos obtidos Válvula pneumática Modelos obtidos Conclusão 50 Referências bibliograficas 51

17 Capítulo 1 Introdução A crescente necessidade por produtos de melhor qualidade e pelo emprego eficiente de recursos e matéria-prima acarreta em um perceptível aumento da complexidade dos processos de produção. Este aumento impõe maiores restrições ao processo ao mesmo tempo que demanda por sistemas mais eficazes, sendo o conhecimento da dinâmica fundamental para se alcançar um bom desempenho do conjunto. Coelho e Coelho (2015) definem o conceito de sistemas dentro da área de controle de processos como um objeto ou uma coleção de objetos que realizam certo objetivo e cujas propriedades pretende-se estudar. Os autores ainda citam alguns exemplos como: sistemas de fabricação de papel ou cerâmica, planta solar, circuito elétrico, servomecanismo de posição, sistema biológico ou econômico, manipulador robótico, reator, coluna de destilação, laminador, trocador de calor, refinaria, entres outros. Sendo possível representar a dinâmica por meio de modelos matemáticos que auxiliam no entendimento e facilitam a resolução de problemas relacionados ao processo. A representação de sistemas e fenômenos por modelos matemáticos constitui um desafio. Desde a antiguidade, o homem tem procurado maneiras de descrever sistemas matematicamente, de modo a permitir maior entendimento acerca da dinâmica observada nestes processos e, dessa forma, buscar métodos eficazes de solucionar diversos problemas existentes (AGUIRRE, 2015). O modelo de um sistema é uma equação matemática utilizada para responder a questões sobre o sistema sem a realização de experimentos (através de um modelo pode-se calcular ou decidir como o sistema comporta-se sob determinadas condições operacionais). A utilização do modelo para simulação do sistema constitui-se um procedimento de baixo custo e seguro para experimentar o sistema. Entretanto, a validade (adequação) dos resultados de simulação depende da qualidade do modelo matemático do sistema (CO- ELHO; COELHO, 2015). Geralmente, as técnicas de modelagem são divididas em dois grupos: a modelagem através das leis física que descrevem o processo, também conhecida por modelagem caixa branca, e a identificação do modelo a partir de observações do processo, chamada modelagem caixa preta. Ljung (1999) cita alguns trabalhos cujos autores descrevem os processos a partir das leis físicas, os quais são: Wellstead (1979) que promove a valorização dos métodos de modelagem de sistemas estabelecendo uma compreensão intuitiva dos sistemas de enge-

18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2 nharia; Ljung e Glad (1994) demonstram como a modelagem pela física ou por experimentos pode ser aplicada em diversas situações práticas de modelagem; Close et al. (2002) apresentam metodologias de análise e modelagem para uma variedade de sistemas dinâmicos, independente da sua origem física. As técnicas de identificação de sistemas são bastante utilizadas para determinar modelos matemáticos a partir dos dados de entrada e saída do processo. Por meio desses modelos, é possível obter uma aproximação satisfatória do comportamento dinâmico do sistema para uma determinada aplicação dentro de faixas limitadas de operação. Segundo Aguirre (2015), a identificação de sistemas é uma área do conhecimento que estuda maneiras de modelar e analisar sistemas a partir de observações, ou seja, de dados. Uma das primeiras menções à identificação de sistemas é feita por Lotfali A. Zadeh. O autor explica que identificação: (... ) é a determinação de um sistema, com base nas observações dos dados de entrada e saída, dentro de uma classe específica de sistemas no qual o sistema em teste é equivalente. (ZADEH, 1962) Vale ressaltar que necessariamente não existe um modelo que reproduza com exatidão o comportamento de um sistema, de maneira que não existe apenas um modelo para determinado sistema, mas diversos modelos possíveis (DANTAS, 2013). Graças aos significativos avanços tecnológicos e a facilidade de se coletar dados dos processos, a identificação de sistemas é utilizada nas mais diversas áreas do conhecimento humano, desde a engenharia elétrica até a medicina. Por exemplo, podemos citar os seguintes trabalhos: Arahal et al. (2008) aplicam a uma planta solar, Ling et al. (2012) utilizam em um sistema eletro-hidráulico, os autores Alsharif e Hölzel (2016) usam na área de robótica, Rattanawaorahirunkul et al. (2016) e Hahn et al. (2012) aplicam em processos químicos, Zhang et al. (2016) e Ghasemi et al. (2011) na área de telecomunicações, Contreras et al. (2012) em sistema hidráulicos, e Choo et al. (2012) em sistemas biológicos. A identificação de sistemas é constituída basicamente de quatros etapas: i) coleta de dados experimentais, ii) determinação da estrutura do modelo, iii) estimação de parâmetros e iv) validação do modelo. Nas segunda e terceira etapas existem diferentes métodos que podem ser aplicados. Para a estimação dos parâmetros do modelo, o Método de Mínimos Quadrados (MMQ) é o algoritmo mais conhecido. Geralmente, esse método possui fácil implementação e alta robustez. Entretanto, desde que não haja modificações, sua aplicação é limitada a modelo lineares nos parâmetros. Na deternimação da estrutura do modelo destacam-se o uso da função de correlação e a técnica denominada Erro Reduction Ratio (ERR), ou simplesmente taxa de redução do erro. Como exemplo, temos os trabalhos de Aguirre et al. (1998), Cassini (1999) e Rodrigues (1996). Fu e Li (2013) classificam a identificação de sistemas em métodos clássicos e métodos modernos, relacionando-os com a identificação de sistemas lineares e não-lineares, respectivamente. Os autores também explicam que os métodos clássicos são baseados principalmente nos algoritmos do MMQ, função de correlação e ERR. Já os métodos modernos se utilizam das técnicas de Redes Neurais Artificiais (RNAs), Lógica Fuzzy, Algoritmos Genéticos (GAs), entre outros.

19 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3 Para exemplificar a aplicação dos métodos modernos podemos citar: Narendra e Parthasarathy (1990) e Kosmatopoulos et al. (1995) que realizam identificação por meio de RNAs; Takagi e Sugeno (1985) e Rovatti e Guerrieri (1996) que aplicam lógica fuzzy no processo de identificação; os autores Cho e Wang (1996) combinam RNAs com lógica fuzzy, ou seja, identificação Neuro-Fuzzy. Nos últimos 40 anos, novos tipos de algoritmos de otimização surgiram. Esses algoritmos tentam combinar métodos heurísticos básicos de forma eficaz na exploração de um espaço de busca. Hoje em dia estes algoritmos são chamados de meta-heurísticas (BLUM; ROLI, 2003). O termo meta-heurística foi primeiro citado por Glover (1986), deriva da composição de duas palavras gregas, heurística que vem do verbo heuriskein que significa encontrar, enquanto o sufixo meta significa acima de, em um nível superior. Recentemente, a aplicação de meta-heurísticas tem obtido considerável sucesso como alternativa aos métodos clássicos de identificação. Por exemplo podemos citar os seguintes trabalhos: Iwasaki et al. (2005) utilizam o algoritmo genético para estimar a ordem, o ganho, os polos e os zeros de uma função de transferência responsável por representar um sistema mecatrônico; os autores Wada e Sugie (2009) identificam os valores da constante de tempo e do ganho do motor, além do comprimento e da massa do pêndulo de um crane system através da otimização por enxame de partículas; Luh e Wu (1999) realizam a seleção da estrutura de um modelo Nonlinear Auto-Regressive exogenous (NARX), bem como os seus parâmetros por meio de algoritmo genético; em Deng (2009) a identificação é feita a partir da estimação dos parâmetros e da combinação de sub-modelos utilizando otimização por enxame de partículas. Uma meta-heurística pode ser entendida como um conjunto de conceitos usados para auxiliar métodos heurísticos que serão aplicados para diferentes problemas. Em outras palavras, uma meta-heurística deve ser vista como um algoritmo de estrutura geral que pode ser aplicado para diversos problemas de otimização e que com um número relativamente baixo de modificações adequar-se a problemas mais específicos (BLUM; ROLI, 2003). As meta-heurísticas apresentam-se como uma opção aos métodos conhecidos como algoritmos exatos, que garantem encontrar a solução ótima para um determinado problema desde que não lhe sejam impostas limitação de tempo no processo de busca e, consequentemente, demandam um alto esforço computacional. Na literatura existem diversas meta-heurísticas. Podemos classificá-las em dois grupos: não-inspiradas na natureza e inspiradas na natureza, e subdividir o segundo grupo em algoritmos evolutivos, algoritmos baseados em inteligência de enxame, algoritmos baseados em fenômenos naturais e leis físicas. Todos os grupos e subgrupos podem ser caracterizados em termos de seu princípio de funcionamento, conceitos nos quais foram inspiradas, e suas estratégias de intensificação/diversificação. Estratégias de intensificação estão relacionadas com o uso da experiência acumulada durante a busca, já as estratégias de diversificação com a exploração do espaço de busca. O quadro a seguir apresenta algumas meta-heurísticas organizadas pelo ano de apresentação.

20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 4 Tabela 1.1: Lista de meta-heurísticas Ano Nome Tradução literal Genetic Algorithm (GA) (HOLLAND, 1975) Simulated Annealing (SA) (KIRKPATRICK et al., 1983) Tabu Search (TS) (GLOVER, 1986) Artificial Immune Systems (AIS) (FARMER et al., 1986) Memetic Algorithms (MA) (MOSCATO, 1989) Ant Colony Optimization (ACO) (COLORNI et al., 1991) Particle Swarm Optimization (PSO) (EBERHART et al., 1995) Differential Evolution (DE) (STORN; PRICE, 1997) Bayesian Optimization Algorithm (BOA) (PELIKAN et al., 1999) Harmony Search (HS) (GEEM et al., 2001) Bacterial Foraging Optimization (BFO) (PASSINO, 2002) Artificial Fish-Swarm Algorithm (AFSA) (LI et al., 2002) Artificial Bee Colony (ABC) (KARABOGA, 2005) Big-Bang Big-Crunch Optimization Algorithm (BB-BC) (EROL; EKSIN, 2006) Cat Swarm Optimization (CSO) (CHU; TSAI, 2007) Imperialist Competitive Algorithm (ICA) (ATASHPAZ-GARGARI; LUCAS, 2007) Biogeography-Based Optimization (BBO) (SIMON, 2008) Monkey Algorithm (MA) (ZHAO; TANG, 2008) Algoritmo Genético Recozimento Simulado Busca Tabu Sistemas Imunológicos Artificiais Algoritmos Meméticos Otimização por Colônia de Formigas Otimização por Enxame de Partículas Evolução Diferencial Algoritmo de Otimização Bayesiana Busca Harmônica Otimização por Forrageamento Bacteriano Algoritmo de Cardume Artificial de Peixes Colônia Artificial de Abelhas Algoritmo de Otimização por Big-Bang Big-Crunch Otimização por Enxame de Gatos Algoritmo Competitivo Imperialista Otimização Baseada em Biogeografia Algoritmo do Macaco

21 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Firefly Algorithm (FA) (YANG, 2009) Gravitational Search Algorithm (GSA) (RASHEDI et al., 2009) League Championship Algorithm (LCA) (KASHAN, 2009) Bat Algorithm (BA) (YANG, 2010) Cuckoo Search (CS) (YANG; DEB, 2010) Chemical-Reaction Optimization (CRO) (LAM; LI, 2010) Firework Algorithm (FA) (TAN; ZHU, 2010) Differential Search Algorithm (DSF) (CIVICIOGLU, 2012) Flower Pollination Algorithm (FPA) (YANG, 2012) Mine Blast Algorithm (MBA) (SADOLLAH et al., 2012) Black Hole Algorithm (BH) (HATAMLOU, 2013) Swine Influenza Models Based Optimization (SIMBO) (PATTNAIK et al., 2013) Spider Monkey Optimization (SMO) (BANSAL et al., 2014) Grey Wolf Optimizer (GWO) (MIRJALILI et al., 2014) Artificial Raindrop Algorithm (ARA) (JIANG et al., 2014) Whale Optimization Algorithm (WOA) (MIRJALILI; LEWIS, 2016) Algoritmo do Vaga-lume Algoritmo de Busca Gravitacional Algoritmo de Liga de Campeonato Algoritmo do Morcego Busca Cuco Otimização por Reação Química Algoritmo de Fogos de Artifício Algoritmo de Busca Diferencial Algoritmo de Polinização de Flores Algoritmo de Explosão de Minas Algoritmo do Buraco Negro Otimização Baseada em Modelos de Gripe Suína Otimização do Macaco-Aranha Otimização do Lobo Cinza Algoritmo de Gotas Artificiais de Chuva Algoritmo de Otimização da Baleia Como explicado anteriormente, as meta-heurísticas podem ser aplicadas a uma grande quantidade de problemas, desde que sejam feitas as alterações necessárias para cada caso específico. Grande parte dos trabalhos que realizam identificação de sistemas através de meta-heurísticas, na verdade, estão apenas estimando os parâmetros de um modelo cuja estrutura já é conhecida, em outras palavras, não realizam a etapa de seleção de estrutura do modelo. Isso acontece em parte devido a questões relacionadas à representação do problema, ou seja, como a meta-heurística será capaz de interpretar as possíveis estruturas de modelos para o sistema em teste.

22 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 6 Nos trabalhos de Iba et al. (1995), Rodriguez-Vazquez et al. (1997) e Patelli e Ferariu (2009) é proposta uma abordagem para identificação de sistemas através de programação genética adaptativa aplicada a busca em árvores para estruturas de modelos dinâmicos. Por meio da combinação de regressores e operadores {+, } são criadas estruturas compactas, ou modelos, capazes de representar o comportamento dinâmico do sistema a ser identificado. Geralmente, essas estruturas são apresentadas em formato de árvores ou em uma cadeia de caracteres, sendo sua conversão em modelos matemáticos realizada de modo rápido e simples. Neste trabalho, em alternativa aos métodos clássicos, que como dito anteriormente utilizam a função de correlação e ERR, foi proposto um algoritmo de identificação de sistemas dinâmicos não lineares baseado em meta-heurística para a seleção de estruturas de modelos matemáticos. O próximo capítulo apresenta conhecimentos teóricos que fundamentam o desenvolvimento deste trabalho, fornecendo maiores detalhes sobre o processo de identificação de sistemas e as meta-heurísticas usadas. No Capítulo 3 são expostos o algoritmo de identificação de sistemas não lineares baseado em meta-heurística e a metodologia utilizada no decorrer do trabalho. O Capítulo 4 descreve os estudos de casos aplicados ao algoritmo de identificação e os resultados obtidos pelas meta-heruísticas. Por fim, no Capítulo 5 são feitas algumas considerações finais, propondo melhorias para o algoritmo desenvolvido e apresentando perspectivas futuras para o trabalho.

23 Capítulo 2 Fundamentação Teórica Neste capítulo serão apresentados conceitos e definições importantes para sua compreensão. Serão abordados sistemas lineares e não lineares, assim como identificação de sistemas e sua representação por meio de modelos matemáticos. Além disso, será mostrado como as meta-heurísticas podem ser usadas na identificação de sistemas. 2.1 Sistemas Um sistema é constituído por componentes interconectados, os quais são caracterizados por sua relação terminal (entrada/saída), podendo ser parte de um equipamento ou apenas um conjunto de componentes de um equipamento que funcione de maneira integrada, com o objetivo de realizar determinada operação (LATHI, 2007; OGATA, 2003). Para representar o comportamento dinâmico do sistema, ou seja, a sua evolução temporal, podemos utilizar modelos matemáticos. Um modelo matemático de um sistema físico é um análogo matemático que representa algumas das características observadas em tal sistema (AGUIRRE, 2015) Sistemas lineares e não lineares Um sistema é linear se as propriedades de aditividade e de homogeneidade são satisfeitas. A propriedade da aditividade informa que para um sistema linear, se uma entrada x 1 é aplicada isoladamente e possui o efeito y 1, e se uma entrada distinta x 2 também é aplicada isoladamente e possui o efeito y 2, então, quando as duas entradas atuarem conjuntamente no sistema (x 1 + x 2 ), o efeito resultante será y 1 + y 2. Consequentemente, se x 1 y 1 e x 2 y 2 (2.1) então, para todo x 1 e x 2 x 1 + x 2 y 1 + y 2 (2.2) A propriedade de homogeneidade, ou escalonamento, afirma que se uma entrada é aumentada k vezes, sendo k um número real ou imaginário, o seu efeito também aumentará k vezes. Desse modo, se x y

24 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 8 então para todo k real ou imaginário kx ky (2.3) A combinação dessas duas propriedades é conhecida como propriedade de superposição, a qual é explicada como mostrado logo abaixo. Se, x 1 y 1 e x 2 y 2 então para todos os valores das constantes complexas k 1 e k 2, k 1 x 1 + k 2 x 2 k 1 y 1 + k 2 y 2 (2.4) Uma das motivações de utilizar sistemas lineares é simplificar a obtenção do modelo. Em algumas aplicações, aproximações lineares são suficientes. Porém, em determinados casos, modelos lineares acarretam em desempenho insatisfatório, portanto as representações não lineares são mais adequadas. Rigorosamente falando, os sistemas lineares não existem na prática, uma vez que todos os sistemas físicos são não lineares de alguma forma (GOLNARAGHI; KUO, 2012). Optar por modelos não lineares traz como consequência um aumento na complexidade dos métodos a serem usados. Entretanto, modelos não lineares produzem certos regimes dinâmicos que modelos lineares não conseguem representar, como ciclos limite, bifurcações, regimes quasi periódicos e caóticos, histerese e zona morta (AGUIRRE, 2015). Na seção seguinte serão apresentadas, brevemente, as etapas do processo de identificação e algumas representações matemáticas não lineares comumente usadas. 2.2 Identificação de sistemas dinâmicos Fundamentalmente, a identificação de sistemas consiste na determinação de um modelo matemático que represente os aspectos essenciais do sistema, caracterizado pela manipulação dos sinais de entrada e saída (ISERMANN; LACHMANN; LJUNG, 1985, 1999 apud COELHO; COELHO, 2015). Outra definição é dada por Aguirre (2015), que explica a identificação de sistemas como a área do conhecimento que estuda e desenvolve técnicas e algoritmos para obter (identificar) modelos de sistemas dinâmicos a partir de dados gerados pelo próprios sistema. Os modelos de processos industriais, por exemplo, podem ser obtidos por meio do tratamento de medidas (procedimento estatístico, filtragem de dados) coletadas a partir de uma realização experimental para uma utilização particular, como diagnóstico, supervisão, otimização e/ou controle. Para fins de controle de processos, não se pretende encontrar um modelo matemático exato, mas um modelo adequado para uma determinada aplicação (COELHO; COELHO, 2015). Esses modelos podem ser caracterizados, no processo físico, pela função de transferência, para sistemas lineares; e modelos polinomiais, por exemplo, para sistemas não lineares, com os polinômios não lineares sendo funções lineares nos parâmetros, o que permite a utilização dos algoritmos de estimação de parâmetros lineares para modelos

25 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 9 não lineares (AGUIRRE, 2015). Um esquema de identificação é ilustrado através de blocos pela Figura 2.1 abaixo: Figura 2.1: Procedimento para identificação de processos. Fonte: Modificado de Coelho e Coelho (2015). Geralmente, a identificação é realizada em quatro passos: coleta de dados experimentais, determinação da estrutura, estimação de parâmetros e validação do modelo (Figura 2.2) Coleta de dados experimentais A identificação de sistemas baseia-se em dados de entrada e saída medidos no sistema que se deseja modelar. Tais dados são denominados dados de identificação e são obtidos através da medição simultânea da resposta do sistema y(k) a uma excitação na entrada u(k), pré-determinada. A qualidade do modelo obtido estará diretamente relacionada com as características do sinal de excitação. O modelo só reproduzirá as características do sistema que tiverem sido adequadamente excitadas pelo sinal de entrada (CORRÊA, 1997). É necessário que o sinal de entrada u(k) consiga excitar o sistema em todas as faixas de frequências de interesse de forma a revelar as características dinâmicas e estáticas do sistema (AGUIRRE, 2015; DANTAS, 2013). Nos métodos de identificação determinísticos e estocásticos, os sinais de excitação comumente aplicados são ondas quadradas, senoides, sinais binários pseudo aleatórios (Pseudo Random Binary Signal - PRBS) e ruídos brancos ou Gaussianos (sinais aleatórios cujo espectro tem a mesma potência em todas as frequências) (CORRÊA, 1997; DANTAS, 2013). Para sistemas não-lineares, nos quais variações da amplitude do sinal de entrada podem provocar mudanças qualitativas no comportamento do mesmo, é necessário projetar um perfil de amplitudes para os sinais de teste, de forma a garantir que todas as não linearidades presentes no sistema sejam visitadas (AGUIRRE; BILLINGS, 1995 apud CORRÊA, 1997)

26 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 10 Figura 2.2: Etapas do procedimento básico de identificação. Fonte: Modificado de Dantas (2013). Outro fator importante, no caso de modelos discrestos no t, é a determinação adequada do tempo de amostragem. Sua influência afeta a seleção da estrutura, a estimação dos parâmetros e a eficácia do modelo em representar características importantes do sistema. Os dados obtidos na experimentação do sistema devem ser processados por filtros passabaixas, a fim de que o falseamento dos sinais amostrados seja evitado. O espectro de frequências de um sinal amostrado corresponde ao espectro do sinal original no intervalo 2/T s f 2/T s, onde T s é o tempo de amostragem e 2/T s é a chamada de frequência de Nyquist. As componentes de altas frequências que estejam superpostas ao sinal original irão aparecer como componentes de baixas frequências no sinal amostrado, distorcendo o espectro de frequência deste (RODRIGUES, 1996; CORRÊA, 1997). Aguirre e Billings (1995) estudaram a importância da determinação correta do tempo de amostragem e perceberam que os dados precisam ser amostrados em intervalos de tempo adequados, ou seja, pequenos o suficiente, de modo que todas as frequências de interesse sejam visitadas pelo conjunto de dados, com o cuidado para que não sejam pequenos demais, prejudicando assim, o desempenho do algoritmo de estimação de parâmetros. Além disso, algumas interações não lineares só aparecerão e serão reproduzidas se a taxa de amostragem for suficientemente alta.

27 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Determinação do modelo Há várias formas de classificar técnicas de modelagem. Uma delas agrupa os métodos em três categorias denominadas modelagem caixa branca, modelagem caixa preta e modelagem caixa cinza (AGUIRRE, 2015): Modelagem caixa branca - também conhecida como modelagem pelas leis físicas do processo ou natureza do processo, ou modelagem conceitual, requer um conhecimento a priori do sistema e das leis físicas que o caracterizam. Normalmente, os parâmetros de tais modelos possuem interpretação física; Modelagem caixa preta - há pouco ou nenhum conhecimento a priori do sistema, de forma que apenas um projeto de sinal de entrada é feito, com o objetivo de observar o comportamento da saída do sistema. Por fim, a identificação do modelo acontece pelos dados coletados da entrada e saída do processo. Os parâmetros do modelo geralmente não possuem significado físico; Modelagem caixa cinza - está localizada entre a modelagem caixa branca e modelagem caixa preta. Este tipo de modelagem utiliza informações auxiliares que os dados coletados durante a identificação não são capazes de demonstrar. A quantidade de informação auxiliar irá caracterizar a modelagem como mais clara ou mais escura. Dependendo dessa quantidade de informação prévia os parâmetros poderão ter (ou não) interpretação física Métodos paramétricos Os métodos paramétricos baseiam-se em estruturas matemáticas parametrizadas utilizadas para caracterizar o comportamento dinâmico do sistema no domínio do tempo. Os parâmetros dessas estruturas matemáticas são determinados por algoritmos de estimação a partir dos dados de entrada e saída coletados do sistema. Geralmente, os modelos mais usados na identificação de sistema são ARX, ARMAX, NARX e NARMAX, como é explicado por Aguirre (2015) Representações discretas para métodos paramétricos Existem representações matemáticas que são especialmente adequadas à identificação de sistemas usando-se algoritmos conhecidos para a estimação de parâmetros. Considere o seguinte modelo geral: A(q)y(k) = B(q) C(q) u(k) + F(q) D(q) v(k) y(k) = B(q) F(q)A(q) u(k) + C(q) D(q)A(q) v(k) y(k) = G(q)u(k) + H(q)v(k) (2.5) sendo q 1 o operador de atraso (ou retardo), de forma que y(k)q 1 = y(k 1), v(k)

28 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 12 representa um ruído branco e A(q), B(q), C(q), D(q) e F(q) são os polinômios a seguir: A(q) = 1 a 1 q 1... a ny q n y, B(q) = b 1 q b nu q n u, C(q) = 1 + c 1 q c nv q n v, D(q) = 1 + d 1 q d nd q n d, F(q) = 1 + f 1 q f n f q n f (2.6) As funções G(q) e H(q) normalmente são referidas com as funções de transferência do processo e do ruído, respectivamente. Modelo ARX O modelo autorregressivo com entradas externas (ARX do inglês AutoRegressive with exogenous inputs) pode ser obtido a partir do modelo geral (Equação 2.5), tomando-se C(q) = D(q) = F(q) = 1, sendo A(q) e B(q) polinômios arbitrários, resultando em: A(q)y(k) = B(q)u(k) + v(k) (2.7) O modelo anterior pode ser reescrito da seguinte forma: y(k) = B(q) A(q) u(k) + 1 v(k) (2.8) A(q) o que coloca em evidência as funções de transferência do sistema G(q) = B(q)/A(q) e de ruído C(q)/[D(q)A(q)] = 1/A(q), conforme pode ser visto na Figura 2.3a. Modelo ARMAX O modelo autorregressivo com média móvel e entradas exógenas (ARMAX do inglês AutoRegressive Moving Average with exogenous inputs) pode ser obtido a partir do modelo geral (Equação 2.5), tomando-se D(q) = F(q) = 1 e A(q), B(q) e C(q) polinômios arbitrários, resultando em ou, alternativamente, A(q)y(k) = B(q)u(k) +C(q)v(k) (2.9) y(k) y(k) = B(q) C(q) u(k) + A(q) A(q) v(k) = G(q)u(k) + e(k) sendo e(k) um ruído não branco, conforme pode ser constatado na Figura 2.3b. (2.10)

29 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 13 Figura 2.3: Representação esquemática dos modelos ARX e ARMAX. (a) Modelo ARX. (b) Modelo ARMAX. Fonte: Modificado de Aguirre (2015). Modelo NARX Os modelos NARX (do termo em inglês Nonlinear AutoRegressive with exogenous inputs) são modelos discretos no tempo que explicam o valor da saída y(k) em função de valores prévios dos sinais de saída e de entrada, ou seja, y(k) = f [y(k 1),...,y(k n y ),u(k τ d ),...,u(k n u )], sendo que n y e n u são as ordens de y( ) e u( ), e τ d o atraso de transporte (AGUIRRE, 2015). É uma prática comum a inclusão de termos de ruído e( ) no modelo. Aguirre (2015) alerta sobre a importante consideração que nenhum termo cujo parâmetro tenha que ser estimado pode depender de e(k). De modo que o modelo NARX é representado por (COELHO et al., 2002): y(k) = f [y(k 1),...,y(k n y ),u(k τ d ),...,u(k n u )] + e(k) (2.11) f é uma função não conhecida a priori. Modelo NARMAX O modelo NARMAX (do inglês Nonlinear AutoRegressive Moving Average with exogenous inputs), geralmente representado pela forma abaixo: y(k) = f [y(k 1),...,y(k n y ),u(k τ d ),......,u(k n u ),e(k),e(k 1),...,e(k n e )] (2.12) sendo e( ) é o ruído e n e é a ordem do ruído no modelo. f é uma função não linear qualquer, que normalmente não tem sua forma conhecida a priori, de modo que, para reconstruir a dinâmica do sistema utilizam-se aproximações. Possíveis aproximações para a função f são os modelos polinomiais e racionais. Um modelo polinomial NARMAX sem atraso puro de tempo tem a forma (AGUIRRE, 2015): y(k) = i c i n y j=1 y(k j) n u r=1 u(k r) n e q=0 e(k q) (2.13) em que a parte de média móvel (MA) é composta por todos os termos que contêm a variável de ruído e( ).

30 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 14 Os modelos racionais são constituídos pela razão entre dois polinômios, como mostrado a seguir: y(k) = i c i n y j=1 y(k j) n u r=1 u(k r) n e q=1 e(k q) 1 + i d i d y j=1 y(k j) d u r=1 u(k r) d e q=1 e(k q) (2.14) Os modelos racionais quando comparados aos modelos polinomiais podem ter um desempenho mais eficiente em modelar certos sistemas, devido a sua estrutura mais flexível. É importante observar que nas Equações 2.13 e 2.14 o produtório não se trata de um produtório convencional, no qual se realiza o produto de todos os termos, mas, nesse caso, um produtório seletivo, em que o número de termos do produto cresce gradualmente. Desse modo, é possível o modelo conter termos lineares, como y( ), u( ) e e( ), e termos não lineares. Há diversas representações além das apresentadas anteriormente, como, por exemplo, aquelas baseadas em inteligência artificial: Redes Neurais Artificiais (MARTINS et al., 2015), Neuro-Fuzzy (ARAUJO JÚNIOR, 2014; LINHARES, 2015), ANFIS Modificado (MAR- TINS, 2015). Em Pearson (1999) é realizada uma ligação entre comportamento qualitativo observado e possíveis estruturas de modelo. Esses comportamentos são listados na Tabela 2.1. Tabela 2.1: Formas de comportamento qualitativo não linear. Abreviação HARM SUB ASYM IDS SSM CHAOS HOM PHOM SL Classe de comportamento qualitativo geração harmônica a partir de entradas senoidais geração subarmônica a partir de entradas senoidais respostas assimétricas a entradas simétricas estabilidade dependente da entrada multiplicidade em estado estacionário respostas caóticas a entradas simples comportamento homogêneo não linear comportamento positivo-homogêneo não linear comportamento estático-linear não linear Pearson (1999) também afirma que todos os comportamentos apresentados na Tabela 2.1 podem ser representados pela classe do modelo NARX Seleção da estrutura A seleção da estrutura apropriada é uma etapa fundamental no processo de identificação. Tem como objetivo determinar a estrutura mais simples capaz de reproduzir as características dinâmicas de um sistema. Geralmente, ao avaliarmos o modelo de um sistema observamos a sua ordem. A necessidade de se escolher um valor adequado para a

31 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 15 ordem de um sistema pode ser apreciada verificando-se que, se a ordem usada for (muito) menor do que a ordem efetiva do sistema real, o modelo não possuirá a complexidade estrutural necessária para reproduzir a dinâmica do sistema. Por outro lado, se a ordem do modelo for muito maior do que a necessária, a estimação de parâmetros será provavelmente malcondicionada (AGUIRRE, 2015). A seleção da estrutura pode ocorrer em duas fases: 1. definição dos termos que podem compor o modelo; 2. quais termos, dentre os definidos, comporão o modelo. O número de termos para representar a dinâmica do sistema deve ser suficientemente pequeno para se evitar instabilidade numérica, provocada por sobreparametrização (AGUIRRE; BILLINGS, 1995). Outra consequência da sobreparametrização é a presença de regimes dinâmicos espúrios, ou seja, regimes dinâmicos que não fazem parte do sistema original. Por exemplo, o número de termos possíveis em modelos polinomiais cresce bastante com o aumento do grau de não linearidade l 1 e da ordem n y, n u e n e do modelo, como pode ser observada na Equação De fato, esse número pode ser determinado através da seguinte expressão (KORENBERG et al., 1988 apud CORRÊA, 1997): n θ = M + 1 M = l i=1 n i n i = n (2.15) i 1(n y + n u + n e + i 1), n 0 = 1 i onde n θ é o número de termos (de processo e de ruído) no modelo, de modo que o valor de n θ pode se tornar impraticavelmente grande para modelos polinomiais. Outro problema é a quantidade de combinações de termos possíveis, cujo o valor é igual a 2 n y+n u +n e 1. Apesar de o número de termos possíveis em modelos polinomiais ser bastante elevado, geralmente, um número pequeno dos mesmos é o suficiente para representar adequadamente a dinâmica do processo. As técnicas de seleção da estrutura de um modelo podem ser agrupadas em duas categorias principais, denominadas construtiva e eliminativa. Em algumas técnicas, a estrutura inicial do modelo é um conjunto vazio e em cada passo seguinte o termo mais importante entre todos os candidatos é anexado ao modelo. Tais técnicas podem ser chamadas de construtivas desde que construam a estrutura do modelo gradualmente a cada passo. Por outro lado, existem abordagens nas quais um modelo experimental é construído e subsequentemente os termos menos importantes do modelo são eliminados. Portanto, estas podem ser chamadas de técnicas eliminativas (AGUIRRE, 1994). No âmbito da identificação de sistemas, existem diversos procedimentos que permitem estimar a ordem de modelos dinâmicos a partir de dados medidos (AGUIRRE et al., 1998). Entre os mais usados estão a taxa de redução do erro e o critério de informação de Akaike. Estas estratégias permitem a detecção de quais parcelas do modelo são mais 1 l representa o número máximo de regressores que podem compor um agrupamento do modelo. Por exemplo, se l = 2 o modelo pode conter agrupamentos do tipo Ω y, Ω u, Ω yu, Ω y 2 e Ω u 2.

32 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 16 relevantes para serem incluídas e quais podem ser consideradas desprezíveis (DANTAS, 2013). Além desses métodos, outros algoritmos não convencionais podem ser usados, como exemplo, a aplicação de algoritmos genéticos para seleção de termos em modelos NARMAX estudada por Fonseca et al. (1993). Neste trabalho será investigada a utilização de meta-heurísticas na seleção dos termos de modelos paramétricos do tipo NARX. As meta-heurísticas escolhidas são: algoritmo genético, otimização por enxame de partículas e método do morcego. O algoritmo de seleção de estrutura baseado nas meta-heurísticas será descrito após a apresentação do método de estimação de parâmetros Taxa de redução de erro A taxa de redução do erro (Error Reduction Ratio - ERR) é um critério utilizado na detecção de estrutura de modelos polinomiais. O ERR indica a porção da variância da saída explicada pela inclusão de um novo termo no modelo, ou seja, o ERR de cada termo candidato é um número que informa a melhoria obtida na representação do sistema através da sua inclusão no modelo. Dessa forma é possível ordenar os termos candidatos de acordo com a contribuição de cada um. O algoritmo ERR gera uma lista em ordem decrescente com os termos e suas contribuições na identificação do sistema (AGUIRRE et al., 1998; RODRIGUES, 1996; CORRÊA, 1997). Entretanto, o ERR é um critério estatístico e não apresenta relações claras com aspectos dinâmicos do sistema a ser modelado. Além disso, o desempenho do ERR cai com o aumento do ruído nos dados de identificação (AGUIRRE et al., 1998) Critério de informação de Akaike O Critério de Informação de Akaike (1974) (Akaike s Information Criterion - AIC), é um dos métodos mais tradicionais, e mais utilizados, para estimar a quantidade de termos em modelos dinâmicos. De acordo com o critério de informação de Akaike, para se obter o número ótimo de termos deve-se minimizar a função de custo dada pela expressão abaixo: AIC(n θ ) = N ln[σ 2 erro(n θ )] + 2n θ (2.16) onde N é o valor do comprimento dos dados coletados, σ 2 erro é a variância dos resíduos e n θ é o número de parâmetros no modelo. A função de custo de Akaike possui duas parcelas: a primeira parte da Equação 2.16 quantifica a diminuição da variância dos resíduos resultante da inclusão do novo termo e a segunda parte representa o custo de inserir um novo termo no modelo, ou seja, estabelece um compromisso entre a qualidade do ajuste aos dados de identificação e a procura por representações parcimoniosas (DANTAS, 2013; AGUIRRE et al., 1998). O uso de AIC(n θ ) obviamente pressupõe que existe uma ordem predefinida para incluir os termos candidatos sequencialmente no modelo. No caso de modelos não lineares polinomiais, essa ordem entre os termos possíveis pode ser definida através do critério do ERR (AGUIRRE, 2015; AGUIRRE et al., 1998).

33 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Estimação de parâmetros Definida a estrutura do modelo, o passo seguinte será a estimação de seus parâmetros. Há uma gama de algoritmos usados na estimação de parâmetros de modelos matemáticos. Neste trabalho será utilizado o método de mínimos quadrados Método de mínimos quadrados Karl Friedrich Gauss desenvolveu o método de mínimos quadrados (MMQ) em 1795, para prever a trajetória de planetas e cometas a partir de observações realizadas. De acordo com Aguirre (2015), o método de mínimos quadrados é um dos mais conhecidos e mais utilizados nas mais diversas áreas de ciência e tecnologia. A partir do método, é possível estimar os parâmetros que descrevem o modelo. Definindo-se o vetor de parâmetros estimados, ˆθ, como: ˆθ 1 ˆθ 2 ˆθ = (2.17). ˆθ n A melhor previsão da saída do sistema, ŷ, é calculada multiplicando a matriz das observações, φ, pela estimativa do vetor parâmetros estimados, ˆθ, dada pela Equação 2.18: ŷ = φˆθ (2.18) Guass estabeleceu que os parâmetros estimados devem ser definidos de modo que a soma dos quadrados da diferença entre os valores observados e os calculados seja mínima. A função custo para o método de mínimos quadrados é dada por: J MQ = N i=1 ε(i) 2 (2.19) onde, ε(i) = y(i) ŷ(i), y é o valor observado da saída, ŷ é o valor estimado da saída, e N é o número de observações, ou seja, o tamanho do vetor dos dados de entrada. De acordo com Aguirre et al. (1998), a estrutura NARMAX pode ser representada como: y(k) = n θ i=1 ϕ T (k)ˆθ i + ε(k) (2.20) onde, n θ é o número de termos no modelo, o simbolo ^ sobre θ indica valores estimados, ϕ(k) é o vetor de regressores, ε(k) representa os erros de modelagem, os erros de medição, o ruído aditivo do sistema e incertezas de ordem qualquer. A Equação 2.20 pode ser também representada a partir de sua notação matricial: Y = ΨΘ + Ξ (2.21)

34 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 18 considerando que foram realizadas N medições, e que estas sejam suficientes para estimar os parâmetros, tem-se: Y = [ y(1) y(2) y(n) ] T ϕ 1 (1) ϕ 2 (1) ϕ nθ (1) ϕ 1 (2) ϕ 2 (2) ϕ nθ (2) Ψ = ϕ 1 (N) ϕ 2 (N) ϕ nθ (N) Θ = [ θ 1 θ 2 θ nθ ] T Ξ = [ ξ(1) ξ(2) ξ(n) ] T onde Ψ é a matriz de regressores, Θ o vetor de parâmetros e Ξ o vetor de resíduos. O estimador dos mínimos quadrados é uma transformação linear sobre Y (função linear das medidas) e, assim, é denominado estimador linear que minimiza a função de custo representada na Equação 2.19 (COELHO; COELHO, 2015). A equação a seguir é denominada equação normal. A sua solução, ˆθ, existe e é única desde que a matriz Ψ T Ψ, chamada de matriz normal ou matriz de informação, seja simétrica e definida positiva. Para isto, o sistema deve estar persistentemente excitado para evitar o caso de linhas comuns na matriz Ψ (colunas linearmente dependentes) (COELHO; COELHO, 2015). ˆθ = [Ψ T Ψ] 1 Ψ T Y (2.22) Meta-heurísticas As meta-heurísticas são uma classe dos métodos de otimização numérica, por isso devemos primeiro entender o que são estes métodos. Os métodos de otimização numérica são rotinas matemáticas/computacionais que consistem na busca de uma solução ótima ou um conjuntos de soluções para uma determinada função ou conjuntos de funções. Eles são separados em dois grupos: Determinísticos, baseados em gradientes ou derivadas, ou ainda em aproximações destas; Heurísticos, também conhecidos como naturais, que são aleatórios. A principal diferença entre esses grupos é que nos métodos determinísticos prevê-se todos os seus passos conhecendo um ponto de partida, ou seja, a resposta será a mesma para o mesmo ponto inicial; nos métodos heurísticos a escolha do próximo passo é feita a partir de números aleatórios, de modo que, para um mesmo ponto inicial podemos encontrar diferentes respostas finais.

35 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 19 Estes grupos se dividem em subgrupos; no caso dos métodos heurísticos eles são: de Construção; de Busca de Vizinhança; Sistemáticas; Híbridas; Meta-heurísticas. Meta-heurísticas utilizam uma combinação de escolhas aleatórias e o histórico de resultados passados encontrados pelo método para realizar buscas na vizinhança dentro do espaço de pesquisa, assim minimizando possíveis paradas em ótimos locais. É importante notar que a meta-heurística é o processo de orientação, ela norteia o calculo dos próximos possíveis movimentos. Já a heurística proporciona o processo de seleção, ou seja, possibilita determinar quais movimentos serão executados dentre os sugeridos pelo processo de orientação. De acordo com Osman e Laporte (1996), uma meta-heurística é um processo de geração iterativo que guia uma heurística subordinada, combinando, inteligentemente, conceitos diferentes para explorar os espaços de pesquisa, usando estratégias de aprendizagem para estruturar as informações, a fim de encontrar de forma eficiente soluções próximas do ideal Meta-heurísticas aplicadas à seleção de estrutura A aplicação de meta-heurísticas na seleção de estrutura de modelos matemáticos pode ser entendida como um problema de representação. Geralmente, as meta-heurísticas trabalham com números decimais, binários ou outra base qualquer. Porém, diferentes representações podem ser usadas, como cadeia de caracteres, conjunto de regras, entre outras. Neste trabalho, as bases binária e decimal foram as bases escolhidas. A partir do tipo do modelo e dos valores das ordens e do grau de não linearidade (se for o caso) é gerado o conjunto de regressores possíveis, consideramos como sendo termos candidatos a compor o modelo. Para a meta-heurística a inclusão ou não do termo será definido pelos números 0 e 1. O número 0 indica que o termo não pertence à estrutura do modelo, o número 1 informa o contrário, ou seja, o termo pertence à estrutura do modelo. Dessa forma, existirá um vetor de números binários com comprimento igual ao número de termos candidatos responsável por informar quais termos farão parte da estrutura do modelo. A meta-heurística será responsável por gerar e recalcular esse vetor binário. Como dito anteriormente, cada diferente vetor representa uma possível estrutura de modelo para o sistema que se deseja identificar. No final a técnica escolherá a estrutura mais adequada. Porém, dependendo de características operacionais da meta-heurística aplicada é necessário utilizar números inteiros positivos x, sendo necessárias as conversões decimalbinário e binário-decimal no processo da seleção de estrutura. O valor x deve pertencer ao intervalo entre o número 1 e o valor 2 n θ 1, onde n θ é o número termos candidatos. Assim, garante-se que ao converter x para a base binária o vetor resultante possar selecionar qualquer um dos regressores possíveis.

36 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 20 Vejamos o seguinte exemplo, para um sistema que se deseja identificar com modelo tipo ARMAX (l = 1) e valores de ordens igual a n y = n u = 3 e n e = 2. Obtemos o total de 8 termos candidatos, como mostra a tabela abaixo: Tabela 2.2: Termos candidatos modelo ARMAX (n y = n u = 3 e n e = 2). Regressores e(k 2) e(k 1) u(k 3) u(k 2) u(k 1) y(k 3) y(k 2) y(k 1) Nesse caso o valor máximo de x é igual a ou Se a meta-heurística informa que o número ( ) é a solução para o sistema hipotético do exemplo anterior, significa que os termos e(k 2), e(k 1), u(k 2), u(k 1), y(k 3), y(k 1) foram escolhidos para compor a estrutura do modelo. O Quadro 2.3 apresenta a conversão decimal-binária e os regressores escolhidos para o exemplo da Tabela 2.2. Já o Quadro 2.4 nos mostra a estrutura dos modelos obtidos a partir dos valores de x para o Quadro 2.3. Quadro 2.3: Conversão decimal-binária e regressores selecionados. Regressores x e(k 2) e(k 1) u(k 3) u(k 2) u(k 1) y(k 3) y(k 2) y(k 1) Quadro 2.4: Valores de x e a estrutura de seus respectivos modelos. x Modelo 29 y(k) = θ 1 y(k 1) + θ 2 y(k 3) + θ 3 u(k 1) + θ 4 u(k 2) 138 y(k) = θ 1 y(k 2) + θ 2 u(k 1) + θ 3 e(k 2) 75 y(k) = θ 1 y(k 1) + θ 2 y(k 2) + θ 3 u(k 1) + θ 4 e(k 1) 81 y(k) = θ 1 y(k 1) + θ 2 u(k 2) + θ 3 e(k 1) no qual θ i representa o valor do parâmetro associado ao regressor i do modelo. Deve-se observar que durante a execução da meta-heurística cada integrante do conjunto das possíveis soluções, ou possíveis estruturas, tem seus parâmetros estimados pelo MMQ. Logo em seguida, os parâmetros obtidos são validados e um valor de desempenho é associado à possível solução. Tanto a etapa de validação do modelo quanto de avaliação das possíveis soluções serão explicadas nas seções seguintes.

37 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 21 Algoritmo Genético Na década de 70, John Henry Holland apresentou a técnica do algoritmo genético (Genetic Algorithm - GA) (HOLLAND, 1975). Os GAs são técnicas não-determinísticas de busca, otimização e aprendizagem de máquina, que manipulam um espaço de soluções potenciais utilizando mecanismos inspirados nas teorias de seleção natural de C. Darwin e na genética de G. Mendel (COELHO; COELHO, 1999). Normalmente, os principais processos dos GAs são a representação do problema e a função de aptidão. As outras etapas, dizem respeito à população, seleção, cruzamento e mutação. Na representação, podemos usar números binários, inteiros ou reais, dependendo basicamente do problema a ser resolvido. Comumente, cada indivíduo, ou cromossomo, que representa uma possível solução, possui um tamanho constante, de modo que a representação escolhida permita que os indivíduos representem pontos no espaço de soluções potenciais do problema. A função de aptidão, também conhecida como função objetivo (problema de maximização) ou custo (problema de minimização), é a função que será otimizada. Nela encontra-se o mecanismo responsável por avaliar cada indivíduo, atribuindo um valor de aptidão (fitness) de acordo com o seu próprio desempenho e dos demais indivíduos na população. Esse valor afeta a possibilidade do indivíduo de ser selecionado para participar do processo de criação das próximas gerações. Inicialmente, a população é formada por um conjunto de soluções candidatas aleatórias, chamadas de indivíduos. O tamanho da população depende do problema. Quanto maior a população, maior será a chance de encontrar uma solução, entretanto, maior será o tempo e custo computacional necessário. Cabe ao projetista definir um valor adequado. O método de seleção do GA inspira-se no processo utilizado pela natureza, em que os indivíduos mais aptos possuem maior probabilidade de sobreviver e perpetuar seu material genético. Por meio da seleção, escolhem-se os indivíduos que passarão pelos processos de cruzamento e mutação para formação da próxima geração. Como explicado anteriormente, a probabilidade de um indivíduo ser selecionado é proporcional a sua aptidão dividida pelo somatório das aptidões dos outros indivíduos, de modo que maior será a chance de selecionar os indivíduos mais aptos. Para evitar que o indivíduo mais apto seja perdido durante a seleção, utiliza-se um método conhecido como elitismo, em que o melhor indivíduo é mantido na próxima geração, perpetuando assim, o seu material genético. Durante o cruzamento, são formados pares aleatórios de indivíduos previamente selecionados. Estes pares de indivíduos (pais) terão seus materiais genéticos manipulados para formar outros indivíduos (filhos). A mutação tem um papel importante, uma vez que através dela os indivíduos filhos sofrem pequenas alterações. Em outras palavras, a mutação permite que o GA realize uma busca mais abrangente no espaço de soluções. Outro benefício é o fato de que depois de um certo tempo o GA tenderá a gerar indivíduos semelhantes, ocasionando que fique preso em um ponto de ótimo local, de modo que a mutação pode permitir que o GA saia desse ponto e encontre o ponto ótimo global. Geralmente, utiliza-se uma taxa de mutação inspirada na natureza de 1%, que pode variar de acordo com o problema.

38 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 22 Otimização por enxame de partículas A otimização por enxame de partículas (Particle Swarm Optimization - PSO) foi inspirada na natureza, baseando-se nas características sociais de bandos de pássaros e cardumes de peixes na busca pelo ninho ou alimento. De acordo com Eberhart e Shi (2001), o PSO é semelhante ao GA, pois o sistema é inicializado com uma população de soluções candidatas aleatórias, aqui denominada enxame. Entretanto, essa população apresenta diferenças, pois para cada solução potencial se atribui uma velocidade, v i, e as potenciais soluções, chamadas de partículas, são guiadas através do espaço de soluções. Cada partícula possui uma posição, x i, dentro do espaço de busca, estando essa posição ligada com a melhor solução encontrada pela i-ésima partícula até a iteração k, pbest i. Outra variável importante na execução do algoritmo é a melhor solução global, ou seja, a melhor solução encontrada pelo i-ésimo enxame até a iteração k, gbest. O funcionamento do PSO fundamenta-se na atualização da velocidade de cada partícula por meio do pbest e gbest e, posteriormente, de sua posição (Equações 2.23 e 2.24). v k+1 i = ωv k i + r 1 φ 1 (pbest k i x k i ) + r 2 φ 2 (gbest x k i ) (2.23) x k+1 i = x k i + v k+1 i (2.24) no qual, ω é o fator de inércia, responsável por promover um balanço entre a exploração global e local. O fator de inércia está relacionado com o passo do método. Caso o seu valor seja alto demais, as partículas podem passar por boas soluções sem visitá-las; já se o seu valor for baixo demais, as partículas podem não explorar suficientemente locais que possuem boas soluções. Os termos φ 1 e φ 2 representam, respectivamente, o grau de confiança da partícula na melhor solução encontrada por ela, pbest i, e na melhor solução encontrada pelo enxame, gbest. Se os seus valores forem muito baixos, as partículas voarão por rotas mais distantes em direção da região alvo, ou se os seus valores forem muito altos, as partículas realizarão movimentos abruptos em direção a região potencial. r 1 e r 2 são números aleatórios que variam entre 0 e 1. Algoritmo do morcego O algoritmo do morcego (Bat Algorithm - BA) é inspirado na característica de ecolocalização usada por morcegos durante seus movimentos de voo. Graças a ela os morcegos possuem a capacidade de detectar presas e evitar obstáculos na total escuridão. A ecolocalização baseia-se na emissão de ondas ultrassônicas e na correspondente medição do tempo necessário para que estas ondas voltem ao ponto de origem após serem refletidas pelo alvo ou obstáculo. A amplitude e o pulso dos sons emitidos pelos morcegos variam de acordo com a estratégia de caça. O controle da diversificação e intensificação do algoritmo é realizado com a variação entre a amplitude e a taxa de emissão de pulsos de cada morcego (ANDRÉ; PARPINELLI, 2014). O BA é similar ao PSO, sendo inicialmente gerada uma população de soluções candidatas aleatórias, chamada de grupo. Além disso, para a caracterização de cada integrante, ou i-ésimo morcego desse grupo, se atribui uma velocidade, v i, e uma posição, x i. A principal diferença está na adição da frequência de emissão de pulso, f i, na representação.

39 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 23 O funcionamento do BA baseia-se na atualização da frequência, da velocidade e posteriormente da posição de cada partícula, utilizando as Equações 2.25, 2.26 e f i = f min + ( f max f min )β (2.25) v k i = v k 1 i + (x k i x ) f i (2.26) x k i = x k 1 i + v k i (2.27) no qual β [0,1] é um vetor de números aleatórios com distribuição uniforme. f min e f max são a frequência mínima e máxima, respectivamente, que cada morcego pode assumir. Graças à Equação 2.25 a frequência terá um valor aleatório dentro do intervalo uniformemente distribuído [ f min, f max ]. x é a melhor solução encontrada até a iteração atual, depois de comparar todas as soluções entre todos os morcegos. O BA pode realizar uma busca local, para isto compara-se o valor de um número aleatório rand [0,1], com o valor da taxa de emissão de pulsos, r i. Se rand > r i, então realiza-se uma nova busca em torno da melhor solução atual. Essa busca é descrita pela Equação 2.28: x new = x old + εa k (2.28) em que ε [ 1,1] é um número aleatório, enquanto A k é a média da amplitude de emissão de pulso de todos os morcegos atualizada a cada iteração. A amplitude, A i, e a taxa de emissão de pulsos, r i, são atualizadas a cada interação utilizando as Equações 2.29 e A k+1 i = αa k i (2.29) r k+1 i = r 0 i (1 exp γk ) (2.30) no qual α e γ são constantes. A escolha dos parâmetros, por exemplo, f min e f max, exige alguma experiência. Inicialmente, cada morcego pode ter diferentes valores de amplitude e taxa de emissão de pulsos, podendo isto ser conseguido por meio de inicialização aleatória (YANG, 2010). As Figuras 2.4 a 2.6 contém os fluxogramas do GA, PSO e BA usados neste trabalho.

40 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 24 Figura 2.4: Etapas básicas do GA utilizado.

41 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 25 Figura 2.5: Etapas básicas do PSO utilizado.

42 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 26 Figura 2.6: Etapas básicas do BA utilizado.

43 CAPÍTULO 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 27 O cruzamento realizado na Figura 2.4 é do tipo único, no qual um ponto de cruzamento é definido aleatoriamente. Com isso, a sequência binária desde o início do cromossomo até o ponto de cruzamento é copiada de um dos pais e o restante copiada do outro pai para formar um novo indivíduo. O elitismo é feito da forma que o melhor indivíduo da geração passada sempre estará presente na geração atual. Na mutação um gene do cromosso, que equivale a um número 0 ou 1, é selecionado e terá seu valor trocado de 0 para 1 ou de 1 para 0. Essa troca é feita de acordo com o valor prévio do gene, ou seja, o valor anterior a mutação Validação do modelo A última etapa no processo de identificação é a validação do modelo estimado. O objetivo dessa etapa é avaliar quanto o modelo é eficiente na representação da dinâmica do sistema a ser identificado. Consequentemente, algumas perguntas serão feitas neste ponto do processo, como: o modelo é suficientemente bom? Ele pode ser utilizado? Os testes realizados são compatíveis com os dados observados? O modelo obtido é capaz de caracterizar o comportamento do sistema? Aguirre (2015) explica que a questão chave é tentar determinar se um dado modelo é válido ou não. Em outras palavras, é necessário saber como o modelo será utilizado de forma a poder julgar se ele incorpora, ou não, as características requeridas. Essa necessidade advém do fato de que nenhum modelo, por definição, representará o sistema real em todos os aspectos. Portanto, ele apenas será considerado válido se incorporar aquelas características do sistema que são fundamentais para a aplicação em questão Simulação Geralmente, a comparação do modelo obtido com os dados coletados é a forma mais usada para se validar um modelo. O objetivo é observar se o modelo reproduz ao longo do tempo os dados coletados. Um cuidado básico é não utilizar o mesmo conjunto de dados de entradas na etapa de estimação dos parâmetros e na etapa de validação do modelo. A motivação para tal cuidado é simples, pois dado um modelo obtido a partir de um determinado conjunto de dados, deseja-se saber quão geral é o modelo. Portanto, na prática, o ideal é efetuar dois testes independentes ao longo dos quais o sistema é observado gerando-se, assim, dois conjuntos de dados. Um deles é usado para a estimação dos parâmetros e o outro para a validação (AGUIRRE, 2015).

44 Capítulo 3 Metodologia Neste capítulo será apresentado o algoritmo que através de meta-heurísticas realiza a seleção da estrutura de modelos matemáticos para a identificação de sistemas, assim como uma breve descrição dos processos necessários para o funcionamento do algoritmo desenvolvido. 3.1 Descrição do algoritmo de identificação A aplicação de meta-heurísticas na seleção de estrutura de modelos matemáticos segue as etapas do procedimento básico de identificação, de tal forma que o algoritmo pode ser dividido nos seguintes passos: 1. Obtenção de dados para identificação; 2. Determinação do conjunto de termos candidatos; 3. Seleção de estrutura e estimação dos parâmetros do modelo; 4. Simulação e validação do modelo identificado. O emprego da meta-heurística ocorre efetivamente apenas nos últimos dois passos. Na seleção de estrutura são aplicadas as estratégias de buscas baseadas em meta-heurística, já a estimação dos parâmetros é realizada pelo MMQ. A etapa de simulação e validação do modelo representa para a meta-heurística o processo de avaliação das soluções encontradas. A obtenção dos dados não está diretamente ligada ao desenvolvimento da meta-heurística, ao contrário do passo de determinação do conjunto de termos candidatos que é responsável por definir o tamanho do espaço de busca que a meta-heurística pode percorrer. A Figura 3.1 mostra o fluxograma do procedimento de obtenção de modelos para a identificação de sistemas baseado em meta-heurística. Logo a seguir tem-se uma descrição sucinta de cada passo do processo de aplicação da meta-heurística na identificação de modelos para sistemas dinâmicos.

45 CAPÍTULO 3. METODOLOGIA 29 Figura 3.1: Fluxograma do procedimento de identificação.

46 CAPÍTULO 3. METODOLOGIA Obtenção dos dados de identificação O processo de identificação inicia-se com a coleta dos dados obtidos a partir da resposta do sistema a uma entrada conhecida. O sinal de entrada é de fundamental importância para realizar uma boa identificação. Ele tem a responsabilidade de excitar o sistema em toda a faixa de frequência e regiões de interesse para a identificação, de modo a conseguir todas as informações de não linearidade presentes no sistema. Do mesmo modo que o sinal de excitação, outro fator importante é o tempo de amostragem, conforme descrito na Seção Há casos em que processos como filtragem digital antifalseamento, dizimação e condicionamento dos sinais medidos podem ser necessários Determinação do conjunto de termos candidatos Definido o tipo do modelo, os valores das ordens e, se for o caso, o grau de não linearidade, gera-se um conjunto de termos candidatos. Esse conjunto deve ser ordenado do termo mais simples ao mais complexo, começando da direita para a esquerda (do mesmo modo que são organizados números binários). Na Figura 3.2 temos um exemplo de aplicação do processo responsável por gerar e ordenar os termos candidatos. Figura 3.2: Termos candidatos e organização Seleção de estrutura e estimação dos parâmetros do modelo A cada termo candidato associa-se um número binário. Se o número associado for igual a 0, isso indica que o termo correspondente não pertence a estrutura do modelo, caso o número associado seja igual a 1, significa o contrário, ou seja, o termo pertence à estrutura. Consequentemente, os termos selecionados são representados por um vetor de números binários, cujo comprimento é igual ao número de termos possíveis.

47 CAPÍTULO 3. METODOLOGIA 31 Para meta-heurísticas como PSO e BA existe a possibilidade de ser utilizar números inteiros positivos, sendo necessária a conversão decimal-binário e binário-decimal no processo da seleção de estrutura, como explicado na Seção Os números devem pertencer ao intervalo entre 1 e o valor 2 n θ 1, onde n θ é o número de termos candidatos. Portanto, a meta-heurística será responsável por gerar um conjunto de vetores binários e recalculá-los, refinando a busca, afim de encontrar a estrutura do modelo mais adequada para representar o sistema. Logo após a seleção da estrutura ocorre a estimação dos parâmetros do modelo. A técnica utilizada foi o método de mínimos quadrados apresentado na Seção A quantidade de vetores ou soluções iniciais é definida anteriormente pelo operador, enquanto o número de iterações do algoritmo é determinado por um critério de parada. Esse pode ser um número fixo de repetições ou um índice de avaliação do modelo obtido. No algoritmo de identificação deste trabalho, o critério de parada considera três informações: o número de termos do melhor modelo, n θ ; o valor do critério de informação de Akaike do melhor modelo, AIC; e o número de iterações do algoritmo, k. O operador deve definir os valores máximos para cada critério. O pseucódigo contendo o critério de parada usado no algoritmo de idenficação é mostrado abaixo: Figura 3.3: Algoritmo de identificação Entrada: parâmetros do modelo e meta-heurística, n θmax, AIC max e k max Dados: dados de identificação Resultado: modelo do sistema a ser identificado 1 k = 1; 2 Inicialização do conjunto de soluções candidatas; 3 Avaliar soluções; 4 Definir o melhor modelo; 5 Atualizar n θ1 e AIC 1 ; 6 enquanto (n θk > n θmax AIC k > AIC max )&(k <= k max ) faça 7 Executar as estratégias de busca da meta-heurística; 8 Avaliar soluções; 9 Atualizar o melhor modelo; 10 Atualizar n θk e AIC k ; 11 k = k + 1; 12 fim 13 Retornar o melhor modelo encontrado; Sendo assim, o algoritmo de identificação apenas será finalizado antes de atingir o número máximo de iterações se for encontrado um modelo com um número menor ou igual ao número máximo de termos e um valor de AIC menor ou igual ao valor máximo de AIC definidos pelo operador.

48 CAPÍTULO 3. METODOLOGIA 32 A Figura 3.4 ilustra como é realizada a etapa de avaliação. Figura 3.4: Processo de avaliação.

49 CAPÍTULO 3. METODOLOGIA Simulação e validação do modelo identificado Com a estrutura definida e seus parâmetros estimados, o próximo passo é a simulação do modelo (Figura 3.5). A partir dos dados de entrada de validação obtemos a resposta estimada do sistema, que posteriormente é comparada com a resposta real para que seja calculado o valor dos resíduos. Por fim, esse valor será utilizado no passo seguinte. Figura 3.5: Diagrama de blocos da simulação do modelo. A etapa de validação tem como finalidade estipular parâmetros de comparação entre diferentes modelos obtidos, quantificando a capacidade do modelo em representar a dinâmica do sistema a ser identificado. No algoritmo, esse processo ocorre de forma simplificada. Calcula-se o valor do critério de informação de Akaike para cada estrutura selecionada pela meta-heurística e depois realiza-se uma comparação entre elas com o objetivo de encontrar o melhor valor de AIC. Desse moda, a simulação e validação do modelo simbolizam o processo de avaliação da meta-heurística, ou seja, os critérios utilizados nessas etapas representam a função custo que será otimizada pelo método. Ao fim da execução do algoritmo será demonstrado o modelo com o menor valor de AIC e espera-se que ele represente o sistema.

50 Capítulo 4 Estudos de caso Este capítulo tem como objetivo aplicar a metodologia desenvolvida no Capitulo 3. Pretende-se verificar o desempenho das meta-heurísticas investigadas na determinação da estrutura de modelos NARX. Para isso, serão estudados três exemplos práticos: um aquecedor elétrico, um conversor buck e uma válvula pneumática. Os sistemas estudados são descritos brevemente e os mesmos foram modelados em outros trabalhos, de modo a permitir a comparação do desempenho desses modelos com os encontrados pelas metaheurísticas. Todas as execuções do algoritmo de identificação foram realizadas em um computador de mesa, com um processador Intel R Core i GHz e memória RAM de 16 GB. O algoritmo foi escrito no ambiente MATLAB R e foram usadas as funções tic e toc no cálculo do tempo de execução. 4.1 Aquecedor elétrico Os dados empregados nesta seção foram coletados de uma planta piloto que consiste em um aquecedor elétrico (Figura 4.1), no qual a entrada é a tensão elétrica aplicada a um ferro de solda (p.u.) e a saída é a tensão elétrica medida nos terminais de um termopar conectado a um amplificador de instrumentação (p.u.). Figura 4.1: Aquecedor elétrico Fonte: Cassini (1999)

51 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO 35 A coleta de dados foi realizada a uma temperatura ambiente de 24 C por um período de quatro horas, com taxa de amostragem igual a 6 s, resultando em um total de 2520 pontos. Cassini (1999) determinou a taxa de amostragem para a detecção de estruturas e estimação de parâmetros com bases em testes de correlação linear e não linear. De modo que será usada a taxa de amostragem igual a 12 s. Sendo assim, os dados de identificação estão superamostrados, e baseando-se na taxa de amostragem definida anteriormente, os dados foram dizimados por um fator = 2. O sinal de entrada é do tipo PRS com média igual a 0,5 p.u., no qual 1 p.u. correspondente a 136V na tensão de entrada e a 998,51 C na temperatura do ferro de solda (CASSINI, 1999). Os dados foram divididos em dois conjuntos distintos (Figura 4.2): o primeiro será utilizado para a estimação dos parâmetros, já o segundo para a validação do modelo. Saída (p.u.) Entrada (p.u.) Saída (p.u.) Entrada (p.u.) Figura 4.2: Dados de identificação - aquecedor elétrico. Estimação Validação Amostras Fonte: Cassini (1999) - massa de dados <din3>.

52 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO 36 Segundo Cassini (1999), o emprego de valores de grau de não linearidade maiores que três e de ordens superiores a dois pode ser considerado desnecessário para o sistema aqui identificado. Desse modo a autora obteve o seguinte modelo NARX para n y = 2, n u = 2, l = 3: y(k) = 1,3307y(k 1) 0,3975y(k 2) 0,1771y 2 (k 1) +0,0896y(k 1)u(k 1) 0,600y(k 1)u(k 2) 0,0250y(k 2)u(k 1) + 0,0315u 2 (k 1) +0,0120u(k 1)u(k 2) 0,3481y 3 (k 1) (4.1) 1,043y 2 (k 1)u(k 1) + 0,5037y 2 (k 1)u(k 2) +0,8896y(k 1)y(k 2)u(k 1) + 0,4793y 3 (k 2) 0,2768y 2 (k 2)u(k 2) + 0,0046u 3 (k 1) Os termos lineares de ruídos propostos por Cassini (1999) foram usados para minimizar a polarização dos parâmetros estimados, de modo que para critérios de simulação os mesmos podem ser desprezados. Logo, não foram usados no presente trabalho. A Figura 4.3 apresenta a resposta do modelo obtido por Cassini (1999). Figura 4.3: Saída estimada - aquecedor elétrico. Saída (p.u.) y ŷ Amostras Modelos obtidos Para determinar o número de repetições mais adequado foi realizado um experimento piloto com 5 execuções do algoritmo de identificação. Cada execução continha um conjunto de 34 possíveis soluções, calculadas no decorrer de 30 iterações. O critério de parada do algoritmo foi definido n θ max = 15 e AIC max = 7, ou o número máximo de iterações. O mesmo conjunto de soluções iniciais foi usado para todas as meta-heurísticas, no qual cada integrante possuía apenas um dos 34 regressores possíveis para um modelo polinomial NARX com n y = n u = 2 e l = 3. Os valores dos parâmetros das meta-heurísticas (Tabela 4.1) foram definidos através de uma sucessão de testes e observações até que fossem julgados adequados, ou seja, foram determinados empiricamente. As velocidades inciais do PSO e BA foram definidas com valor igual a 0, o que significa que as partículas e morcegos inicialmente estavam parados, já r 0 e A 0 do BA tiveram seus valores estabelecidos em 0,1 e 2, respectivamente. Foram calculadas informações de média e desvio padrão do tempo de execução, valor do critério de informação de Akaike e número de parâmetros do modelo (Tabela 4.2).

53 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO 37 Tabela 4.1: Valores dos parâmetros utilizados para cada meta-heurística Meta-heurística Parâmetros GA t mut 7,5% ω 0,75 PSO φ 1 1,40 φ 2 1,40 f min 0,00 f max 0,10 BA α 0,20 γ 0,20 Tabela 4.2: Média e desvio padrão dos critérios analisados Modelo n θ ± σ nθ AIC ± σ AIC t exe ± σ texe (s) GA 12,6 ± 1,85 7, ± 5, ,42 ± 29,08 PSO 7,6 ± 0,49 7, ± 4, ,03 ± 94,54 BA 10,8 ± 0,98 7, ± 9, ,02 ± 80,29 Os melhores modelos encontrados pelo GA, PSO e BA entre todas as execuções do algoritmo de identificação são dados pelas Equações 4.2, 4.3 e 4.4, respectivamente. y(k) = 1,1847y(k 1) 2, y(k 2) + 3, u(k 2) 9, y 2 (k 2) + 5, u 2 (k 1) +1, y 3 (k 2) 4, u 3 (k 1) (4.2) y(k) = 1,2345y(k 1) 3, y(k 2) + 4, u(k 1) 2, y 2 (k 1) 1, y(k 2)u(k 2) +3, u 2 (k 1) + 6, u(k 1)u(k 2) +3, y 3 (k 1) (4.3) y(k) = y(k 1) 4, y(k 2) 2, u(k 1) +5, u(k 2) 3, y 2 (k 1) 2, y(k 1)u(k 2) + 2, y 2 (k 2) +2, y(k 2)u(k 1) + 4, u 2 (k 1) +1,3851y 2 (k 1)u(k 1) (4.4)

54 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO 38 As respostas da simulação dos modelos podem ser observadas na Figura 4.4. Figura 4.4: Saídas estimadas dos modelos encontrados pelas meta-heurísticas para o aquecedor elétrico Saída (p.u.) GA y ŷ Saída (p.u.) PSO y ŷ Saída (p.u.) BA y ŷ Amostras Observando a Figura 4.4 notamos que não existe uma diferença visual perceptível nas respostas obtidas pelos modelos encontrados. Sendo assim, alguns critérios de avaliação foram calculados para realizar-se uma melhor comparação. Tando os critérios quanto os valores calculados são expostos na seção seguinte. Para a resposta de cada modelo, como critério de comparação, além do critério de informação de Akaike, foram calculados o número de parâmetros do modelo e a soma dos quadrados da diferença entre os valores observados e os estimados, dado pela equação abaixo. N J erro = [y(k) ŷ(k)] 2 (4.5) k=1 no qual N é igual ao número de amostras.

55 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO 39 A Tabela 4.3 contém os valores de AIC, J erro e n θ para cada modelo avaliado. Tabela 4.3: Índices de avaliação Modelo AIC J erro n θ Cassini 7, , GA 7, , PSO 7, , BA 7, , A diferença entre a saída real y(k) e a saída estimada ŷ(k) obtidas pelos modelos é mostrada na Figura 4.5. Figura 4.5: Diferença entre a saída real e estimada - aquecedor elétrico. e(k) =y(k) ŷ(k) Cassini BA GA PSO Amostras Para possibilitar uma melhor distinção entre os erros obtidos pelos modelos do GA, PSO e BA a Figura 4.6 apresenta um ampliação das curvas contidas na Figura 4.5. Figura 4.6: Ampliação das curvas de erros - aquecedor elétrico e(k) =y(k) ŷ(k) Amostras Cassini BA GA PSO De acordo com a Tabela 4.3 e as Figuras 4.5 e 4.6, pode-se afirmar que dentre os modelos avaliados, os que foram encontrados pelas meta-heurísticas apresentam um menor nível de erro. O modelo estimado pelo PSO possui o melhor desempenho, porém as outras duas meta-heurísticas obtiveram valores de AIC e J erro muito próximos ao do PSO.

56 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO 40 Conforme a Tabela 4.2, os modelos obtidos pelo GA, PSO e BA possuem em média 13, 8 e 11 parâmetros, respectivamente. Porém, o melhor modelo encontrado pelo GA entre as 5 execuções realizadas possui 7 parâmetros, um número duas vezes menor que o modelo proposto por Cassini (1999). Entre os 7 regressores do modelo, 3 são lineares e 4 não lineares (2 quadráticos e 2 cúbicos). O melhor modelo encontrado pelo PSO possui 8 parâmetros, o que está de acordo com a média. Entre os 8 regressores, 3 são lineares e 5 não lineares (1 quadrático e 4 cúbicos). O melhor modelo encontrado pelo BA possui 10 parâmetros, o que está próximo da média. Entre os 10 regressores, 4 são lineares e 6 não lineares (5 quadráticos e 1 cúbico). 4.2 Conversor buck Nesta seção é apresentado um conversor estático CC-CC do tipo buck (Figura 4.7). Esse mesmo sistema foi modelado por diferentes autores, entre eles estão Aguirre et al. (2000), Corrêa et al. (2002), Barroso e Nepomuceno (2004), Corrêa e Aguirre (2004), Martins et al. (2009) e Barbosa (2010). Esse exemplo é muito importante pois inclui uma série de dificuldades que tornam o problema de identificação ainda mais complexo. Como os dados dinâmicos são limitados a uma faixa estreita de operação, a dinâmica do sistema não é completamente excitada e, com isso, técnicas convencionas de detecção de estrutura podem ser ineficientes (BAR- BOSA, 2010). Figura 4.7: Estrutura de um conversor CC-CC do tipo buck Fonte: Barbosa (2010) Atuando-se na porta (G) do MOSFET (IRF840), obtém-se uma tensão contínua de saída, V o a partir de uma fonte de tensão contínua, V d. Durante todo o teste a tensão da fonte é mantida constante em 24 V. O ciclo de trabalho é definido pela proporção do tempo em que a chave está ligada em relação ao período total, D = T on /T. Para variar D, utilizaram-se técnicas de modulação por largura de pulso, PWM (Pulse Width Modulation) a uma taxa de 33 khz, utilizando para tal um circuito integrado LM3524. A taxa de 33 khz resultou em um modo de operação contínuo, ou seja, a corrente através do indutor era sempre maior que zero (BARBOSA, 2010). Quando o ciclo de trabalho tende à unidade, a corrente através do indutor e V o aumentam, pois a fonte V d energiza a malha formada por ela, o capacitor e o indutor. Quando D tende a zero, V o diminui com um regime dinâmico diferente. Esse fato caracteriza um regime dinâmico não linear do sistema (BARBOSA, 2010).

57 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO 41 Os dados dinâmicos de identificação (Figura 4.8) usados para a estimação e validação do modelo são os mesmos empregados em Aguirre et al. (2000). Saída (V) Figura 4.8: Dados de identificação - conversor CC-CC do tipo buck Entrada (V) Amostras Fonte: Aguirre et al. (2000) Os dados foram dizimados por um fator de 12 para produzir os dados de trabalho. As primeiras 1000 amostras desses dados, um total de 83 ( 1000/12) amostras, foram utilizadas para a estimação dos modelos desta seção, os dados restantes foram aplicados à validação dos modelos. Aguirre et al. (2000) obtiveram o seguinte modelo para n y = 3, n u = 3, l = 3: y(k) = ,2013y(k 1) 2, y(k 2) 2, y(k 3) 6, u(k 1)u(k 3) u 3 (k 1) +8,8399u 2 (k 1)u(k 3) 9,7707u(k 1)u 2 (k 3) + 3,6636u 3 (k 3) (4.6) A Figura 4.9 apresenta a resposta do modelo obtido por Aguirre et al. (2000). Figura 4.9: Saída estimada - conversor buck. Saída (p.u.) y ŷ Amostras

58 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO Modelos obtidos Para definir o número de repetições adequado foi realizado um experimento piloto com 5 execuções do algoritmo de identificação. Cada execução continha um conjunto de 83 possíveis soluções, calculadas no decorrer de 20 iterações. O critério de parada do algoritmo foi definido n θ max = 9 e AIC max = 236 ou o número máximo de iterações. O mesmo conjunto de soluções iniciais foi usado para todas as meta-heurísticas, no qual cada integrante possuía apenas um dos 83 regressores possíveis para um modelo polinomial NARX com n y = n u = l = 3. Assim como na Seção 4.1, os parâmetros das meta-heurísticas foram determinados de forma empírica e são apresentados na Tabela 4.4. As velocidades inciais do PSO e BA foram definidas com valor igual a 0. O r 0 e A 0 do BA tiveram seus valores estabelecidos em 0,1 e 2, respectivamente. A média e desvio padrão do tempo de execução, valor do critério de informação de Akaike e número de parâmetros do modelo são mostrados na Tabela 4.5. Tabela 4.4: Valores dos parâmetros utilizados para cada meta-heurística Meta-heurística Parâmetros GA t mut 1,00% PSO BA ω 0,25 φ 1 1,40 φ 2 1,40 f min 0,00 f max 0,10 α 0,20 γ 0,20 Tabela 4.5: Média e desvio padrão dos critérios analisados Modelo n θ ± σ nθ AIC ± σ AIC t exe ± σ texe (s) GA 6,0 ± 1,22 244,70 ± 6,22 27,27 ± 5,13 PSO 8,4 ± 0,89 254,95 ± 12,80 17,61 ± 4,94 BA 8,4 ± 0,89 246,92 ± 6,75 11,62 ± 0,18 Os melhores modelos encontrados pelo GA, PSO e BA entre todas as execuções do algoritmo de identificação são dados pelas Equações 4.7, 4.8 e 4.9, respectivamente. y(k) = 4,7039y(k 1)u(k 1) + 3,5552u 2 (k 2) 1, y 2 (k 1)u(k 3) 8, y 2 (k 2)y(k 3) u(k 1)u 2 (k 2) (4.7)

59 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO 43 y(k) = 2,3935y(k 3) + 3,3170u(k 3) + 3, y(k 1)u(k 1) 1, y(k 2)y(k 3) 1,3314y(k 2)u(k 1) +4,5434y(k 2)u(k 3) 1,0238y(k 2)u 2 (k 3) +5, y 2 (k 3)u(k 1) (4.8) y(k) = 1,7934y(k 2) + 1, u(k 1) + 3, y(k 1)y(k 2) +3, y(k 1)u(k 1) + 3, y(k 2)u(k 1) 1, y(k 2)u(k 3) 6,6940u 2 (k 1) (4.9) As respostas da simulação dos modelos podem ser observadas na Figura Figura 4.10: Saídas estimadas dos modelos encontrados pelas meta-heurísticas para o conversor buck GA Saída (p.u.) Saída (p.u.) PSO y ŷ y ŷ Saída (p.u.) BA Amostras y ŷ

60 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO 44 A Tabela 4.6 contém os valores de AIC, J erro e n θ para cada modelo avaliado. Tabela 4.6: Índices de avaliação Modelo AIC J erro n θ Aguirre 235, 58 4, 30 9 GA 250, 36 3, 75 5 PSO 271, 65 2, 64 8 BA 253, 72 3, 45 7 A diferença entre a saída real y(k) e a saída estimada ŷ(k) obtida pelos modelos é mostrada na Figura Figura 4.11: Diferença entre a saída real e estimada - conversor buck. 1 0 e(k) =y(k) ŷ(k) Amostras Aguirre GA BA PSO De acordo com a Tabela 4.6 e a Figura 4.11, pode-se afirmar que dentre os modelos avaliados, os que foram encontrados pelas meta-heurísticas apresentam um menor nível de erro, sendo o modelo estimado pelo PSO o que possui o melhor desempenho. O GA e BA obtiveram modelos com valores de AIC semelhantes, maiores que o PSO e menor que o proposto por Aguirre et al. (2000), lembrando que quanto menor o valor de AIC melhor deve ser o modelo. Conforme a Tabela 4.5, os modelos obtidos pelo GA, PSO e BA possuem em média 6, 9 e 9 parâmetros, respectivamente. Porém, entre as execuções do experimento piloto o melhor modelo encontrado pelo GA possui 5 parâmetros. Todos os 5 regressores do modelo são não lineares (3 quadráticos e 2 cúbicos). O melhor modelo encontrado pelo PSO possui 8 parâmetros, o que está próximo da média. Entre os 8 regressores, 2 são lineares e 6 são não lineares (4 quadráticos e 2 cúbicos). O melhor modelo encontrado pelo BA possui 7 parâmetros, o que está próximo da média. Entre os 7 regressores, 2 são lineares e 5 não lineares (5 quadráticos). 4.3 Válvula pneumática Nesta seção é realizada a identificação de modelos para uma válvula pneumática, em destaque na Figura Ao todo, o processo é em um sistema de bombeamento de água e controle de nível.

61 CAPÍTULO 4. ESTUDOS DE CASO 45 Figura 4.12: Sistema de controle de nível Level Process Statio 3503MO. Fonte: (LAB-VOLT, 2006) Desenvolvido pela empresa canadense Lab-Volt R, a planta é composta por um reservatório que, por meio de uma bomba elétrica, permite o envio de água para um tanque cilíndrico de diâmetro uniforme. A vazão é manipulada por uma válvula de atuação pneumática (BARBOSA, 2010). O diagrama da planta é apresentado na Figura 4.13, os detalhes de ligação e dos componentes são encontrados em Lab-Volt (2006), destaque para a válvula pneumática no retângulo tracejado. Figura 4.13: Diagrama do sistema de controle de nível. Fonte: (LAB-VOLT, 2006)