Verificação de Sistemas de Tempo Real com Autômatos Temporizados: Teoria e Prática

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1 Verificação de Sistemas de Tempo Real com Autômatos Temporizados: Teoria e Prática Prof. Guilherme A. Pinto 07 de dezembro de 2006 Departamento de Ciência da Computação UnB gap@cic.unb.br 1/31

2 Roteiro Autômatos Temporizados e Verificação: Autômato Finito Autômato Temporizado Composição e Verificação usando Linguagens Alcançabilidade UPPAAL e Exemplo O que dizer para o Engenheiro? Interface e Exemplo Grau de Indecidibilidade: Universalidade Hierarquias de indecidibilidade gap@cic.unb.br 2/31

3 Autômato Finito b 2 c a a b 1 Lugares Iniciais: Q 0 = {1} a c a 4 b b 3 Alfabeto: Σ = {a, b, c} Lugares: Q = {1,2,3,4} Lugares Finais: F = {4} Transições: T Q Σ Q Aceita palavras finitas: ρ Σ ρ = ababc {1} a {2} b {2} a {3} b {3} c {4} gap@cic.unb.br 3/31

4 ω-autômato b 2 c a a b 1 Lugares Iniciais: Q 0 = {1} a c a 4 b b 3 Alfabeto: Σ = {a, b, c} Lugares: Q = {1,2,3,4} Lugares Finais: F = {4} Transições: T Q Σ Q Aceita palavras infinitas: ρ Σ ω ρ = aacbaacbaac {1} a {2} a {3} c {4} b {4} a {2} a {3} c {4} gap@cic.unb.br 4/31

5 Autômato Temporizado [Alur, Dill, 90 94] a, {x} c, x < 1, {y} 1 2 a, y > 2 x = 1 a, x < 4, {x} 4 a, x > 1, {x, y} b 3 Alfabeto: Σ = {a, b, c} Lugares: Q = {1,2, 3,4} Lugares Iniciais: Q 0 = {1} Lugares Finais: F = {4} Relógios: {x, y} Transições Aceita palavras infinitas temporizadas: ρ Σ t ρ = (c, 0.6)(a, 2.8)(a, 2.9)(b, 7) {1, {0, 0}} c {1, {0.6, 0}} a {2, {3.4, 2.8}} a {3, {0, 0}} b {4, {7, 7}} gap@cic.unb.br 5/31

6 O que dá para fazer... Tempo de resposta convergente a b a, {x} a, {x} b, x < 2 a b a b a b a b a b a b a b gap@cic.unb.br 6/31

7 O que dá para fazer... Distância estritamente decrescente a, {x} x = 1 b, {y} a, x = 1, {x} b, y < 1, {y} a a a a a a a a a a b b b b b b b b b b gap@cic.unb.br 7/31

8 Verificação usando Linguagens TREM CANCELA CONTROLE 8/31

9 Composição de Autômatos idt idg approach {x} exit in up x < 5 x > 2 y > 1 y < 2 out idc approach {z} raise lower z < 1 z = 1 exit {z} lower {y} raise {y} idg down y < 1 Sistema = Trem Controle Cancela gap@cic.unb.br 9/31

10 Propriedades in, down in, up down, in in, up up, in out, up P 1 : Safety: Se o trem está cruzando a passagem, então a cancela está fechada down x < 10 down,{x} up,x < 10 P 2 : Real-Time Liveness: A cancela sempre fica menos de 10 minutos fechada gap@cic.unb.br 10/31

11 O Problema de Verificação é: O Sistema satisfaz a propriedade P 2 sse L(Sistema) L(P 2 ) gap@cic.unb.br 11/31

12 O Problema de Verificação é: O Sistema satisfaz a propriedade P 2 sse L(Sistema) L(P 2 ) Mas isso equivale a L(Sistema) L(P 2 ) = gap@cic.unb.br 11/31

13 Propriedades de Fechamento Autômato Interseção União Complemento Aut. Finito fechado fechado fechado ω-autômato fechado fechado fechado Aut. Temporizado fechado fechado aberto Problemas de Decisão Autômato Universalidade Não-vacuidade (Validade) (Satisfatibilidade) Aut. Finito PSPACE-completo linear ω-autômato PSPACE-completo linear Aut. Temporizado Π 1 2, Π 1 1-difícil [Alur 94] PSPACE-completo gap@cic.unb.br 12/31

14 Verificação 1. Autômato = Autômato 2. Autômato = φ (Model-Checking) φ é fórmula de uma Lógica Temporal conveniente 3. Autômato = AG( ϕ) (Safety/Reachability) ϕ é fórmula sem operadores temporais Região alcançável Condições iniciais ϕ Região insegura gap@cic.unb.br 13/31

15 O que não dá para fazer... a a a a, {x} a, x = 1 Complementar isso! a, {x} b, {y} Guardar intervalos! c, 2x = 3y gap@cic.unb.br 14/31

16 Lógicas Equivalentes Autômato Lógica Monádica Lógica Temporal Aut. Finito LMSO ω-autômato ω-lmso Q-LTL Aut. Temporizado L d [Wilke 94] P-EventClockTL [Henzinger 98] gap@cic.unb.br 15/31

17 Ferramentas para Verificação Automática 1. UPPAAL ր 2. TIMES ր (Scheduling usando Aut. Temporizados) 3. KRONOS, TReX, Rabbit,... ց 4. HyTECH ց (Aut. Híbridos e alcançabilidade) 5. SPIN ր (ω-autômatos e LTL) gap@cic.unb.br 16/31

18 Exemplo em UPPAAL: Trem e Ponte 10s 10s 3 a 5s parando cruzando a ponte parado stop ր appr ր go ր gap@cic.unb.br 17/31

19 Exemplo em UPPAAL: Linguagem de Controle para LEGO [Iversen,Larsen, et.al., 2000] 18/31

20 Exemplo em UPPAAL: Linguagem de Controle para LEGO 19/31

21 Exemplo em UPPAAL: Controle de Câmbio em automóveis [Lindahl, et.al., 2001] 20/31

22 Exemplo em UPPAAL: Controle de Câmbio em automóveis 21/31

23 Exemplo em UPPAAL: Controle de Câmbio em automóveis 22/31

24 Exemplo em UPPAAL: Controle de Câmbio em automóveis 23/31

25 Grau de Indecidibilidade da Universalidade a, {x} a, x 1 a, {x} a, x 1 a, x > 1 b, {x} b, {x} a, x > 2 b b, x > 5 b, x > 5 b U ABT é indecidível, Π 1 1-difícil [Alur 94] gap@cic.unb.br 24/31

26 Parada: ( M, x) P M x sim, M pára com entrada x: ( M, x) P não ( M, x) P n( M, x, n) P gap@cic.unb.br 25/31

27 M x Parada: ( M, x) P M P sim, M pára com entrada x: ( M, x) P não ( M, x) P se e somente se n( M, x, n) P gap@cic.unb.br 25/31

28 M x Parada: ( M, x) P M P sim, M pára com entrada x: ( M, x) P não Parada paramétrico: ( M, x, n) P M x n sim, M pára com entrada x após n passos: ( M, x, n) P não ( M, x) P se e somente se n( M, x, n) P gap@cic.unb.br 25/31

29 M x Parada: ( M, x) P M P sim, M pára com entrada x: ( M, x) P não Parada paramétrico: ( M, x, n) P M x n M simula n passos de M M P sim, M pára com entrada x após n passos: ( M, x, n) P não ( M, x) P se e somente se n( M, x, n) P gap@cic.unb.br 25/31

30 M x Parada: ( M, x) P M P sim, M pára com entrada x: ( M, x) P não Parada paramétrico: ( M, x, n) P M x n M simula n passos de M M P sim, M pára com entrada x após n passos: ( M, x, n) P não ( M, x) P se e somente se n [( M, x, n) P ] gap@cic.unb.br 25/31

31 Hierarquia Aritmética Σ 0 1 n Π 0 1 n Σ 0 2 n m Π 0 2 n m. gap@cic.unb.br 26/31

32 Hierarquia Aritmética Σ 0 1 n Π 0 1 n Σ 0 2 n m Π 0 2 n m. Hierarquia Analítica Σ 1 1 f n Π 1 1 f n Σ 1 2 f g n Π 1 2 f g n. gap@cic.unb.br 26/31

33 PSPACE Co-NP P Decidível NP NP-completo gap@cic.unb.br 27/31

34 PSPACE Co-NP P Decidível NP NP-completo Σ 1 1 Σ 0 2 Σ 0 1 Decidível Aritmético Analítico Π 0 1 Π 0 2 Π 0 1 -completo Π 1 1 -completo Π 1 2 -completo Π 1 1 Π 1 2 gap@cic.unb.br 27/31

35 A Situação atual do Problema U ABT pertence a Π 1 2 Para toda palavra existe trajetória de aceitação U ABT = {z f g [ ( i j H 1 (f, i, j)) ( i j H 2 (f, g, i, j, z)) ]} U ABT é Π 1 1-difícil [Alur 94] gap@cic.unb.br 28/31

36 A Situação atual do Problema Σ 1 1 Σ 0 2 Σ 0 1 Decidível Aritmético Analítico Π 0 1 Π 0 2 Π 0 1-completo Π 1 1 Π 1 1-completo Π 1 2-completo Π 1 2 gap@cic.unb.br 29/31

37 Resumo dos Resultados ABT (Π 1 2, Π1 1 -difícil) ABT F (Π 0 1 -completo) ABT QD (Π 1 1 -completo) ABT D (PSPACE-completo) ABT MP (Π 1 1 -completo) ABT Z (Π 1 2, Π1 1 -difícil) gap@cic.unb.br 30/31

38 Intuição Complexidade da Universalidade Π 1 2 -completo?? Π 1 1 -completo PSPACEcompleto Expressividade ABTD ABTQD ABT ω-mt rec. ω-aut. gap@cic.unb.br 31/31