USO DE ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS NA CALIBRAÇÃO DE MODELOS HIDROLÓGICOS E NA OPERAÇÃO DE SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL ÁREA DE CONCENTRAÇÃO EM RECURSOS HÍDRICOS USO DE ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS NA CALIBRAÇÃO DE MODELOS HIDROLÓGICOS E NA OPERAÇÃO DE SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS FRANCISCO VENÍCIUS FERNANDES BARROS FORTALEZA CEARÁ 2007

2 ii FRANCISCO VENÍCIUS FERNANDES BARROS USO DE ALGORITMOS EVOLUCIONÁRIOS NA CALIBRAÇÃO DE MODELOS HIDROLÓGICOS E NA OPERAÇÃO DE SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS Dissertação apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Civil/Área de Concentração em Recursos Hídricos da Universidade Federal do Ceará, como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre. Orientador: Professor Eduardo Sávio Passos Rodrigues Martins FORTALEZA - CEARÁ JULHO

3 iii Esta Dissertação foi submetida como parte dos requisitos necessários à obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil/Área de Concentração em Recursos Hídricos, outorgado pela Universidade Federal do Ceará, e encontra-se à disposição dos interessados na Biblioteca de Pós-Graduação do Centro de Tecnologia da referida Universidade. A citação de qualquer trecho desta Dissertação é permitida, desde que seja feita de conformidade com as normas da ética científica. Francisco Venícius Fernandes Barros Dissertação Aprovada em: / / Examinadores: Professor Eduardo Sávio Passos Rodrigues Martins, PhD (Orientador da Dissertação) Professor Carlos de Oliveira Galvão, Dr Universidade Federal de Campina Grande Professor Walter Collischonn, Dr Universidade Federal do Rio Grande do Sul Pesquisador Dirceu Silveira Reis Junior, PhD Fundação Cearense de Meteorologia e Recursos Hídricos

4 iv A qualidade não é obtida de uma vez por todas. É uma conquista efêmera que exige atenção constante e dedicação apaixonada. Domenico De Masi

5 v Dedico este trabalho à minha família, em especial à minha avó Gondinha (in memorian), e à minha noiva Rafhaela, as pessoas mais importantes e que mais amo.

6 vi AGRADECIMENTOS A Deus, em primeiro lugar, por todas as coisas. Ao Professor Eduardo Sávio Passos Rodrigues Martins, pela amizade e orientação sempre dedicada. Ao Curso de Pós-Gradução em Recursos Hídricos, pelo ensino prestado. Ao Professor José Carlos pela ajuda e atenção dispensada durante o período no programa. À FUNCAP e FUNCEME pelo apoio financeiro. À FUNCEME, na pessoa do seu Presidente Eduardo Sávio Passos Rodrigues Martins, por todo apoio e infra-estrutura (cluster de 30 computadores) e mais recentemente por uma bolsa de pesquisa, para dar continuidade a este trabalho. Aos colegas Luiz Sérgio Vasconcelos do Nascimento, Conceição de Maria Albuquerque Alves, Dirceu Silveira Reis Junior, Glaudiney Moreira Mendonça Junior, Giovanni Brígido Bezerra Cardoso, Socorro Damasceno e Jair Barroso Lúcio do Departamento de Recursos Hídricos da FUNCEME (DEHID) pelo companheirismo durante a pesquisa. Aos colegas da turma de mestrado, pela amizade e ajuda no decorrer do curso. À COGERH, pela disponibilidade de dados utilizados nesta dissertação. À minha família, em especial à minha mãe Conceição, ao meu pai Valderi, aos meus irmãos César e Fábio, às minhas tias Euda e Zuleide e à minha prima Lúcia, pela convivência e apoio. Em especial à minha noiva Rafhaela, pelo apoio e compreensão durante a realização deste trabalho. Enfim, a todos que, direta ou indiretamente, contribuíram para a realização deste trabalho.

7 vii RESUMO A experiência tem mostrado que buscas de ótimos baseadas em apenas um objetivo, por mais cuidadosas que sejam, não conseguem determinar uma solução que modele satisfatoriamente um dado fenômeno. O uso de abordagens multiobjetivo pode ainda ser justificado pela natureza dos problemas reais, a qual requer a utilização de múltiplos objetivos, muitas vezes conflitantes. Um conceito muito utilizado neste contexto é o de dominância de Pareto, a qual possibilita comparar soluções usando múltiplos objetivos e explorar diferentes características dos dados observados. Este trabalho tem como foco a aplicação de algoritmos evolucionários baseados no acasalamento de abelhas em sua versão uni- (Honey-Bee Mating Optimization - HBMO) e multiobjetivo (Multiobjective Honey-Bee Mating Optimization - MOHBMO) na minimização de funções-teste, calibração de modelos hidrológicos e otimização da operação de sistemas de reservatórios. A versão uniobjetivo é aquela proposta por Haddad et al. (2006), enquanto a multiobjetivo é uma proposição do presente trabalho. Como algoritmos de referência da performance foram utilizados: PSO (Particle Swarm Optimization), sua versão multiobjetivo MOPSO (Multiobjective Particle Swarm), SCEM (Shuffled Complex Evolucion Metropolis) e sua versão multiobjetivo MOSCEM (Multiobjective Shuffled Complex Evolucion Metropolis). Aplicações teóricas foram realizadas pela minimização de problemas compostos por funções matemáticas encontradas na literatura. Aplicações reais de calibração de modelos hidrológicos e operações de sistemas de reservatórios tiveram como estudo de caso a calibração dos modelos HYMOD e SMAP a nível diário para 15 estações fluviométricas localizadas nos estados do Ceará e Piauí e a otimização da operação do sistema de reservatórios que compõem o sistema de abastecimento de água da Região Metropolitana de Fortaleza, respectivamente.

8 viii ABSTRACT Experience suggests that any single-objective search, no matter how carefully chosen, is not able to identify a solution capable of satisfactorily model a phenomenum of interest. Use of a multiobjective approach can yet be justified by the nature of real world problems, which in general involve multiobjectives, most of the time conflicting objectives. An approach very often used in multicriteria optimization is the concept of Pareto dominance, which allows us to compare different solutions by using different objectives and to explore different characteristics of the observed data. This dissertation employs evolutionary algorithms inspired on honey-bee mating for single (Honey-Bee Mating Optimization - HBMO) e multiobjectives (Multiobjective Honey-Bee Mating Optimization - MOHBMO) in the minimization of test functions and calibration of watershed models. The singleobjective version is the one introduced by Haddad et al. (2006), while its multiobjective version is proposed by the present work. As reference of their performance, the following algorithms were used: PSO (Particle Swarm Optimization), and its multiobjective version MOPSO (Multiobjective Particle Swarm), SCEM (Shuffled Complex Evolucion Metropolis) and its multiobjective version MOSCEM (Multiobjective Shuffled Complex Evolucion Metropolis). Well known theoretical functions were used to test the proposed algorithms. Real world applications on hydrologic model calibration employing HYMOD and SMAP models, with daily time steps, were carried out for 15 streamflow gauge stations located in the states of Ceará e Piauí. Besides, an optimization study for the operation of the reservoir system that supplies water for the Metropolitan Region of Fortaleza was also executed.

9 ix LISTA DE FIGURAS FIGURA 3.1 Ilustração do conceito de soluções ótimas de Pareto para um problema de minimização de dois objetivos (F1, F2) em um espaço de busca (Δδ) bi-paramétrico (θ1, θ2): a. espaço paramétrico; b. espaço de funções FIGURA 3.2 Fluxograma computacional do algoritmo HBMO e associação ao processo natural FIGURA 3.3 Fluxograma computacional do algoritmo que representa o processo de troca de informações (vôo de acasalamento) no algoritmo HBMO e sua associação ao processo natural FIGURA 3.4 Fluxograma computacional do algoritmo MOHBMO e a associação ao processo natural FIGURA 3.5 Fluxograma computacional do algoritmo PSO e associação ao processo natural FIGURA 3.6 Fluxograma computacional do algoritmo MOPSO e associação ao processo natural FIGURA 3.7 Fluxograma computacional do algoritmo SCEM-UA...35 FIGURA Fluxograma computacional do algoritmo SEM utilizado no algoritmo SCEM- UA FIGURA 3.9 Fluxograma computacional do algoritmo MOSCEM-UA FIGURA 3.10 Fluxograma computacional do algoritmo SEM utilizado no algoritmo MOSCEM-UA...41 FIGURA 4.1 Superfície da Função FIGURA 4.2 Superfície da Função FIGURA 4.3 Superfície da Função FIGURA 4.4 Superfície da Função FIGURA 4.5 Superfície da Função FIGURA 4.6 Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 1) FIGURA 4.7 Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 2)...47 FIGURA 4.8 Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 3)...49

10 x FIGURA 4.9 Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 4)...50 FIGURA 4.10 Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 5)...51 FIGURA 4.11 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes populações iniciais FIGURA 4.12 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes populações iniciais FIGURA 4.13 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes populações iniciais FIGURA 4.14 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes populações iniciais FIGURA 4.15 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes número de vôos de acasalamento...57 FIGURA 4.16 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes número de vôos de acasalamento...57 FIGURA 4.17 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes número de vôos de acasalamento...58 FIGURA 4.18 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes número de vôos de acasalamento...58 FIGURA 4.19 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes número de rainhas FIGURA 4.20 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes número de rainhas FIGURA 4.21 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes número de rainhas FIGURA 4.22 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes número de rainhas FIGURA 4.23 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes números de zangões..63 FIGURA 4.24 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes números de zangões..63 FIGURA 4.25 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes números de zangões..64 FIGURA 4.26 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes números de zangões..64 FIGURA 4.27 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão...65 FIGURA 4.28 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão...66 FIGURA 4.29 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão...66 FIGURA 4.30 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão...67 FIGURA 4.31 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes números de descendentes por rainha...68

11 xi FIGURA 4.32 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes números de descendentes por rainha...69 FIGURA 4.33 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes números de descendentes por rainha...69 FIGURA 4.34 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes números de descendentes por rainha...70 FIGURA 4.35 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes velocidades máxima..71 FIGURA 4.36 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes velocidades máxima..72 FIGURA 4.37 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes velocidades máxima..72 FIGURA 4.38 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes velocidades máxima..73 FIGURA 4.39 Frentes obtidas na análise de sensibilidade do parâmetro de velocidade máxima do algoritmo MOPSO...74 FIGURA 4.40 Curvas de convergência para a Função 2 (HBMO e PSO), 5 condições iniciais diferentes...76 FIGURA 4.41 Curvas de convergência para a Função 3 (HBMO e PSO), 5 condições iniciais diferentes...77 FIGURA 4.42 Curvas de convergência para a Função 4 (HBMO e PSO), 5 condições iniciais diferentes...77 FIGURA 4.43 Curvas de convergência para a Função 5 (HBMO e PSO), 5 condições iniciais diferentes...78 FIGURA 4.44 Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b. MOPSO; e, c.moscem) para o problema multiobjetivo FIGURA 4.45 Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b. MOPSO; e, c.moscem) para o problema multiobjetivo FIGURA 4.46 Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b. MOPSO; e, c.moscem) para o problema multiobjetivo FIGURA 4.47 Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b. MOPSO; e, c.moscem) para o problema multiobjetivo FIGURA 4.48 Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b. MOPSO; e c.moscem) para o problema multiobjetivo FIGURA 5.1 Representação do modelo SMAP...88 FIGURA 5.2 Representação da bacia no modelo HYMOD (adaptado de Bos & Vreng, 2006)...90 FIGURA 5.3 Representação do modelo HYMOD (adaptado de Bos & Vreng, 2006)...91

12 xii FIGURA 5.4 Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do posto Função objetivo Nash-Sutcliffe das vazões FIGURA 5.5 Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do posto Função objetivo Nash-Sutcliffe dos picos de vazões...98 FIGURA 5.6 Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do posto Função objetivo Nash-Sutcliffe das vazões FIGURA 5.7 Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do posto Função objetivo Nash-Sutcliffe dos picos de vazões FIGURA 5.8 Comparação entre calibração utilizando janelas consecutivas de 8 anos e série composta de 8 anos úmidos, posto FIGURA 5.9 Função de distribuição acumulada (cdf) para os parâmetros das soluções ótimas da análise de janelas do posto , (a) Nash-Sutcliffe das vazões e (b) Nash- Sutcliffe dos picos de vazão FIGURA 5.10 Resíduos para as soluções ótimas das 10 janelas mais úmidas de comprimento 8 anos do posto FIGURA 5.11 Vazões observadas versus vazões simuladas (Função Nash-Sutcliffe) para o posto , janela de 8 anos FIGURA 5.12 Estacionariedade dos parâmetros das soluções ótimas (Função Nash-Sutcliffe das vazões) para o posto , janelas de 8 e 12 anos FIGURA 5.13 Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto para o modelo HYMOD FIGURA 5.14 Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto para o modelo HYMOD FIGURA 5.15 Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto para o modelo SMAP FIGURA 5.16 Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto para o modelo SMAP FIGURA 5.17 Soluções ótimas identificadas pelos Algoritmos MOHBMO, MOSCEM e MOPSO utilizando as FOs 1 e 2 na calibração do modelo HYMOD para a estação : (a) conjunto de parâmetros ótimos; (b) Frentes de Pareto identificadas FIGURA 5.18 Soluções ótimas identificadas pelos Algoritmos MOHBMO, MOSCEM e MOPSO utilizando as FOs 1 e 2 na calibração do modelo SMAP para a estação : (a) conjunto de parâmetros ótimos; (b) Frentes de Pareto identificadas...126

13 xiii FIGURA 5.19 Soluções ótimas identificadas pelos Algoritmos MOHBMO, MOSCEM e MOPSO utilizando as FOs 1 e 2 na calibração do modelo SMAP para a estação : (a) conjunto de parâmetros ótimos; (b) Frentes de Pareto identificadas FIGURA 5.20 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação FIGURA 5.21 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação FIGURA 5.22 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação FIGURA 5.23 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação FIGURA 5.24 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação FIGURA 5.25 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação FIGURA 5.26 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação FIGURA 5.27 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação FIGURA Sistema de Abastecimento da Região Metropolitana de Fortaleza Canal do Trabalhador (Fonte: COGERH) FIGURA 6.2 Fluxograma do Sistema da RMF (Adaptado de LIMA, 2000) FIGURA 6.3 Curvas cota-área-volume dos reservatórios do Sistema da RMF FIGURA 6.4 Curvas dos Custos de Bombeamento das Estações Elevatórias em Função do Volume Captado...153

14 xiv FIGURA 6.5 Frentes de Pareto obtida para 10 populações iniciais distintas com avaliações das funções objetivo FIGURA 6.6 Frentes de Pareto obtida para 10 populações iniciais distintas com avaliações das funções objetivo FIGURA 6.7 Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de calibração (MOHBMO) solução de menor custo FIGURA 6.8 Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de calibração (MOPSO) solução de menor custo FIGURA 6.9 Custo Mensal da Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de calibração (MOHBMO) solução de menor custo FIGURA 6.10 Custo Mensal da Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de calibração (MOPSO) solução de menor custo FIGURA 6.11 Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de validação (MOHBMO) solução de menor custo FIGURA 6.12 Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de validação (MOPSO) solução de menor custo FIGURA 6.13 Custo Mensal da Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de validação (MOHBMO) solução de menor custo FIGURA 6.14 Custo Mensal da Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de validação (MOPSO) solução de menor custo

15 xv LISTA DE TABELAS TABELA 4.1 Valores utilizados dos parâmetros do algoritmo HBMO...52 TABELA Postos fluviométricos utilizados...94 TABELA Postos fluviométricos utilizados para análise dos dados...95 TABELA 5.3 Quadro resumo da calibração uniobjetivo e validação do modelo HYMOD (função f01) TABELA 5.4 Quadro resumo da calibração uniobjetivo e validação do modelo SMAP (função f01) TABELA 5.5 Número médio de elementos obtido nas frentes TABELA 5.6 Quadro resumo da calibração multiobjetivo e validação do modelo HYMOD TABELA 5.7 Quadro resumo da calibração multiobjetivo e validação do modelo SMAP TABELA 6.1 Características dos reservatórios da RMF TABELA 6.2 Características dos sifões Canal do Trabalhador TABELA 6.3 Características das Estações Elevatórias TABELA 6.4 Demandas em m 3 /s para os reservatórios do Sistema da RMF TABELA 6.5 Valores médios de evaporação (mm) utilizados para os reservatórios do Sistema da RMF TABELA 6.6 Regra Atual de Operação TABELA 6.7 Curvas de custo das estações elevatórias do Sistema RMF TABELA 6.8 Número médio de elementos obtido nas frentes TABELA 6.9 Quadro resumo da otimização multiobjetivo e validação da operação do sistema de reservatórios da RMF TABELA 6.10 Regra de Operação Otimizada (MOHBMO), Aracoiaba 24,1% TABELA 6.11 Regra de Operação Otimizada (MOPSO), Aracoiaba 28,2% TABELA 6.12 Custo médio mensal no período TABELA 6.13 Custo total no período TABELA 6.14 Freqüência de bombeamento TABELA 6.15 Volume médio bombeado TABELA 6.16 Número de falhas...161

16 xvi SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO Objetivos Organização dos Capítulos REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Algoritmos Evolucionários Calibração de Modelos Hidrológicos Operação de Sistemas de Reservatórios METODOLOGIA Algoritmos Evolucionários Abordagem multiobjetivo utilizando o conceito de dominância de Pareto Técnica multivariada de agrupamentos (Clustering) Técnica de seleção pela aptidão Otimização baseada no acasalamento de abelhas (HBMO e MOHBMO) Descrição do processo natural Algoritmo HBMO (Honey-bee Mating Optimization) Abordagem multiobjetivo MOHBMO (Multiobjective Honey-bee Mating Optimization) Operadores de Cruzamento (Crossover) e Mutação Otimização baseada no comportamento social de grupos (PSO e MOPSO) Descrição do processo natural Algoritmo PSO (Particle Swarm Optimization) Algoritmo MOPSO (Multiobjective Particle Swarm Optimization) Otimização baseada na busca direta (SCEM e MOSCEM) Algoritmo SCEM (Shuffled Complex Evolution Metropolis) Algoritmo MOSCEM (Multiobjective Shuffled Complex Evolution Metropolis) AVALIAÇÃO DOS ALGORITMOS COM FUNÇÕES DE TESTE As Funções e seus Mínimos Teóricos Problemas Multiobjetivos Análise de Sensibilidade de Parâmetros dos Algoritmos HBMO Velocidade Máxima do PSO Velocidade Máxima do MOSPO...73

17 xvii 4.4. Minimização uniobjetivo Minimização multiobjetivo Conclusões CALIBRAÇÃO DE MODELOS HIDROLÓGICOS Modelos hidrológicos SMAP (Soil Moisture Accounting Procedure) diário HYMOD (Hydrological Model) diário Funções Objetivo Estudo de caso Impacto da disponibilidade dos dados na modelagem hidrológica Maximização uniobjetivo Maximização multiobjetivo Conclusões OPERAÇÃO DE SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS Sistema de Abastecimento da Região Metropolitana de Fortaleza Descrição do sistema Dados utilizados Regra operacional Funções objetivo Modelo de simulação Resultados Obtidos Conclusões CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS...171

18 1 1. INTRODUÇÃO Em engenharia, mais especificamente em recursos hídricos, a necessidade de representar fenômenos naturais complexos através de modelos é de fundamental importância para o planejamento e gerenciamento dos recursos hídricos. É através de informações obtidas desses modelos que buscamos entender o processo natural e tentar avaliar a resposta do sistema a diferentes cenários, facilitando assim a tomada de decisão. Dentre as classes de modelos, podemos citar duas que são de grande importância para o planejamento e gerenciamento dos recursos hídricos, os modelos chuva-vazão e os modelos de operação de sistema de reservatórios. Esses últimos fazem uso de séries históricas correspondentes a afluências aos reservatórios, ou de séries simuladas pela primeira classe de modelos, os modelos hidrológicos, os quais são representações matemáticas bastante simplificadas do processo de transferência chuva-vazão. Com relação aos modelos chuva-vazão, para que estes representem de forma satisfatória tal processo de transferência, faz-se necessário que os parâmetros que regem o comportamento destes modelos sejam determinados adequadamente. Como muitas vezes estes parâmetros não podem ser determinados diretamente, seja pela impossibilidade de mensuração em campo, seja por suas características abstratas, os mesmos devem ser estimados indiretamente. Isto pode ser realizado através de um processo de calibração a partir do conhecimento prévio de período comum das variáveis que representam a entrada e a saída do modelo sob análise. A calibração pode ser realizada de duas maneiras: manual ou automática. O método manual consiste na tentativa e erro, no qual os parâmetros são escolhidos baseados na experiência do hidrólogo e no conhecimento da região em estudo. Após essa escolha, o mesmo é executado e então é feita uma comparação dos hidrogramas observado e simulado, de maneira subjetiva, buscando definir qual conjunto de parâmetros gera melhor resultado. Soluções desta natureza, geralmente são bastante trabalhosas e requerem muito tempo, além do pleno conhecimento dos modelos, que muitas vezes são extremamente complexos. O método de calibração automática consiste na utilização de algoritmos que realizam uma busca da solução ótima baseada em um ou mais objetivos. Muitas pesquisas foram realizadas nas ultimas décadas nesse sentido e a experiência tem mostrado que buscas de

19 2 ótimos baseados em apenas um objetivo, por mais cuidadosas que sejam, não conseguem determinar uma solução que modele satisfatoriamente o fenômeno em questão. Outro fator que encoraja a utilização de abordagem multiobjetivo é que frequentemente problemas reais requerem a utilização de múltiplos objetivos conflitantes. Para tal, pode ser utilizado o conceito de dominância de Pareto, que possibilita a comparação entre soluções com múltiplos objetivos. Seguindo a mesma linha de raciocínio, de busca de soluções ótimas, tais técnicas são também aplicadas à operação de sistemas de reservatórios para determinação de diretrizes operacionais ótimas baseadas em um ou múltiplos objetivos. Dentre os algoritmos de otimização utilizados atualmente, um grupo em particular tem sido tema de diversas pesquisas, devido sua ampla aplicabilidade em diversas áreas da ciência, comércio e engenharias, e pela facilidade com que os mesmos são implementados, são aqueles denominados algoritmos evolucionários. Uma grande vantagem dessa classe de algoritmos com relação a outras utilizadas deve-se ao fato das mesmas trabalharem com conjuntos de soluções simultaneamente. Assim, é introduzida uma perspectiva global e uma maior diversidade na busca, proporcionando assim soluções mais confiáveis. Outras vantagens podem também ser citadas, como por exemplo: não dependência da concavidade, convexidade e continuidade da função objetivo. No contexto de algoritmos de otimização evolucionários, uma linha de pesquisa tem conquistado bastante espaço nas ultimas décadas, os algoritmos baseados no comportamento social de grupos, que consistem de técnicas heurísticas de busca e solução de problemas. Dentre os algoritmos atualmente em uso, podemos citar: o PSO (Particle Swarm Optimization; Kennedy et al., 1995), posteriormente adaptado para contemplar problemas multiobjetivo, passando então a ser conhecido como MOPSO (Multiobjective Particle Swarm Optimization; Alvarez et al., 2005), e o mais recente HBMO (Honey-Bee Mating Optimization; Haddad et al., 2006), um algoritmo de otimização uniobjetivo, que se baseia no processo reprodutivo de abelhas domésticas. Além desses, pode-se ainda citar outros algoritmos evolucionários: o ACO (Ant Colony Optimization; Dorigo, 1992), que tem sua concepção inspirada no comportamento social de formigas, o BCO (Bee Colony Optimization; Chong et al., 2006) que como o HBMO tem inspiração no comportamento social de abelhas, mais precisamente no processo de busca

20 3 e coleta de néctar das flores, e vem sendo aplicado na otimização de planejamento de processos industriais e o GA (Genetic Algorithm) que tem inspiração no processo evolutivo dos seres vivos Objetivos O presente trabalho tem como objetivo geral avaliar o uso de técnicas heurísticas na calibração de modelos hidrológicos e na operação de reservatórios, em especial sob a forma de problemas multiobjetivo. Sob um enfoque mais específico, dentre os objetivos almejados tem-se: Propor uma versão multiobjetivo para o algoritmo HBMO, versão esta referida a partir de agora como MOHBMO (Multiobjective Honey-Bee Mating Optimization); Testar o algoritmo proposto com funções objetivo adequadas na calibração de modelos hidrológicos diários (SMAP e HYMOD), assim como modelos de operação de sistemas de reservatórios; Comparar a eficiência do algoritmo proposto (MOHBMO) com o também heurístico MOPSO e com o MOSCEM, assim como o correspondente HBMO com PSO e SCEM; Aplicar os algoritmos MOPSO e MOHBMO na operação de reservatórios integrantes do sistema de abastecimento da região metropolitana de Fortaleza, visando à minimização dos custos de bombeamento e do volume evaporado do sistema ao longo de cada ano Organização dos Capítulos O presente trabalho é composto por 7 (sete) capítulos, sendo este o primeiro. Aqui é apresentado em breve introdução um relato sobre o contexto no qual este trabalho se inclui bem como uma justificativa ao tema. A seguir são expostos os objetivos do trabalho. No próximo capítulo, Capítulo 2, é apresentada uma revisão bibliográfica sobre algoritmos evolucionários, calibração de modelos hidrológicos e operação de sistemas de reservatórios, com ênfase na temática abordada neste trabalho. O Capítulo 3 apresenta uma breve descrição sobre algoritmos evolucionários e técnicas de abordagem multiobjetivo aplicadas ao conceito de dominâncias de Pareto, bem como uma descrição destas. Em seguida, é apresentada uma descrição detalhada dos

21 4 algoritmos de referência (PSO, MOPSO, SCEM, MOSCEM) e do algoritmo de otimização implementado uniobjetivo HBMO e sua versão multiobjetivo aqui proposta MOHBMO. O Capítulo 4 apresenta primeiramente os problemas teóricos utilizados para avaliação comparativa dos algoritmos, tanto na análise uniobjetivo como na análise multiobjetivo. Em seguida, são apresentadas as análises de sensibilidade realizadas nos algoritmos HBMO, PSO e MOPSO. Posteriormente, são apresentados os resultados obtidos para os problemas uni e multiobjetivo, bem como uma discussão dos mesmos. Por fim, são apresentadas as conclusões referentes ao capítulo. O Capítulo 5 apresenta uma descrição detalhada dos modelos hidrológicos SMAP e HYMOD, bem como das funções objetivo utilizadas na calibração. Em seguida, é apresentado o estudo de caso no qual inclui, além de uma descrição do problema, uma análise da disponibilidade dos dados e os resultados e discussões dos mesmos, da calibração uni e multiobjetivo. Por fim, são apresentadas as conclusões referentes ao capítulo. O Capítulo 6 refere-se à otimização aplicada à operação de sistemas de reservatórios. Inicialmente, é feita uma descrição do sistema de reservatório da região metropolitana de Fortaleza, estudo de caso do presente trabalho. Em seguida, são apresentados os resultados e as discussões. Por fim, são apresentadas as conclusões referentes ao capítulo. Por último, o Capítulo 7 traz uma conclusão geral e as recomendações das aplicações expostas nos Capítulos 4, 5 e 6.

22 5 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 2.1. Algoritmos Evolucionários Dentre os algoritmos de otimização utilizados atualmente, um grupo em particular tem sido tema de diversas pesquisas, devido à sua ampla aplicabilidade em diversas áreas da ciência, comércio e engenharias, e pela facilidade com que os mesmos são implementados, são aqueles denominados algoritmos evolucionários. Uma grande vantagem dessa classe de algoritmos com relação a outras utilizadas deve-se ao fato das mesmas trabalharem com conjuntos de soluções simultaneamente. Assim, é introduzida uma perspectiva global e uma maior diversidade na busca, proporcionando assim soluções mais confiáveis. Outras vantagens podem também ser citadas, como por exemplo: não dependência da concavidade, convexidade e continuidade da função objetivo. No contexto de algoritmos de otimização evolucionários, uma linha de pesquisa tem conquistado bastante espaço nas ultimas décadas, os algoritmos baseados no processo evolutivo dos seres vivos (Algoritmos Genéticos) e aqueles baseados no comportamento social de grupos, que consistem de técnicas heurísticas de busca e solução de problemas. Entre estes algoritmos evolucionários, os algoritmos genéticos têm recebido grande atenção na literatura para solução de uma ampla variedade de problemas em ciência, engenharia, indústria e comércio. Os Algoritmos Genéticos (AGs) são uma abordagem de busca baseada em uma população inspirada no processo evolutivo dos seres vivos, em que os mais aptos sobrevivem (Goldberg, 1997). Eles têm ganho grande atenção como método de otimização na solução de problemas em hidrologia e recursos hídricos (Goldberg & Kuo, 1987; Simpson et al., 1994; Savic & Walters, 1997; Wardlaw & Sharif, 1999; Labadie, 2004; Nascimento, 2006). Distintas abordagens multiobjetivo têm sido empregadas na implementação de Algoritmos Evolucionários, a saber: ponderação de objetivos, ordenação lexicográfica, uso de sub-populações (cada uma sendo um otimizador uniobjetivo), conceito de Pareto e combinação das anteriores. As implementações em algoritmos genéticos têm seguido esta taxonomia, podendo-se aqui serem citadas as implementações mais importantes: 1. ponderação de objetivos (Das & Dennis, 1997; Jin et al., 2001); 2. Ordenação Lexicográfica; 3. Uso de várias sub-populações (VEGA Schaffer, 1985); e, 4. Conceito de

23 6 Pareto (MOGA Fonseca & Fleming, 1993; NPGA Horn & Nafpliotis, 1993; Horn et al., 1994; NSGA Srinivas & Deb, 1994; ; SPEA II Zitzler & Thiele, 2001; NSGA-II Deb et al., 2000, 2002; PAES Knowles & Corne 1999, 2000; Zitzler & Thiele, 1999; PESA Corne et al., 2000; PESA II Corne et al., 2001; MOMGA Van Veldhuizen & Lamont, 2000; MOMGA II Zydallis et al., 2001). Uma das abordagens mais utilizadas na prática em otimização multiobjetivo é a ponderação de objetivos, contudo a mesma não funciona muito bem quando a Frente de Pareto é Côncava, independentemente dos pesos (Das & Dennis, 1997). Jin et al. (2001) tratou este problema identificando pesos de tal forma que a Frente de Pareto fosse rotacionada, o que possibilitou a identificação adequada da mesma. Um outro algoritmo evolucionário, o ACO (Ant Colony Optimization), inspirado no comportamento social de formigas, é um exemplo clássico de otimização baseada no comportamento social de grupos. Proposto inicialmente por Dorigo (1992), ACOs têm sido aplicados a uma variedade de problemas clássicos de otimização combinatória (Dorigo et al., 1996; Dorigo & Gambardella, 1997) e em engenharia (Abbaspour et al., 2001; Simpson et al., 2001; Maier et al., 2003). Outros algoritmos evolucionários atualmente em uso podem ser citados: o PSO (Particle Swarm Optimization; Kennedy et al., 1995), posteriormente adaptado para contemplar problemas multiobjetivo, passando então a ser conhecido como MOPSO (Multiobjective Particle Swarm Optimization; Alvarez et al., 2005). Um outro algoritmo bem recente é o HBMO (Honey-Bee Mating Optimization; Haddad et al., 2006), um algoritmo de otimização uniobjetivo, que se baseia no processo reprodutivo de abelhas domésticas. Assim como o HBMO, outro algoritmo que também tem como inspiração o comportamento social de abelhas é o BCO (Bee Colony Optimization) (Chong et al., 2006), sendo bastante aplicado na otimização de planejamento de processos industriais. No contexto de PSOs, e seguindo a mesma taxonomia de implentação multiobjetivo utilizada para AGs, pode-se citar as seguintes implementações: 1. ponderação de objetivos (Parsopoulos & Vrahatis, 2002; Baumgartner et al., 2004); 2. Ordenação Lexicográfica (Hu & Eberhart, 2002; Hu et al., 2003); 3. Uso de várias sub-populações, cada uma sendo um otimizador uniobjetivo (Parsopoulos et al., 2004; Chow & Tsui, 2004); 4. Conceito de Pareto (Moore & Chapman, 1999; Ray & Liew, 2002; Fieldsend & Singh, 2002; Coello & Lechuga,

24 7 2002; Coello et al., 2004; Mostaghim & Teich, 2003ab, 2004; Bartz-Beielstein et al., 2003; Li, 2003; Reyes-Sierra & Coello, 2005; Alvarez-Benitez et al., 2005; Ho et al., 2005; Villalobos-Arias et al., 2005; Salazar-Lechuga & Rowe, 2005; Raquel & Naval, 2005; Zhao & Cao, 2005; Janson & Merkle, 2005); e, 5. Combinação de abordagens anteriores (Mahfouf et al., 2004; Xiao-hua et al., 2005). Existem ainda outras abordagens que fogem ao enquadramento anterior (Li, 2004; Zhang et al., 2003).Uma revisão do estado-da-arte do emprego destas abordagens no contexto do MOPSO é apresentada por Reyes-Sierra & Coello (2006) Calibração de Modelos Hidrológicos Durante as últimas décadas muitos esforços têm sido colocados no desenvolvimento de técnicas de otimização que possam fornecer soluções confiáveis para os problemas de calibração de modelos hidrológicos (Gupta et al., 1998). Uma revisão mais abrangente sobre métodos de calibração automática aplicados à modelagem hidrológica pode ser encontrada em Gupta & Sorooshian (1994). Segundo Yapo et al. (1998) quatro diretrizes de pesquisas podem ser identificadas no que engloba o tema calibração de modelos, mais precisamente na estimativa de parâmetros pelo ajuste das séries de saída dos modelos e as séries históricas, são elas: 1. Desenvolvimento de técnicas para identificação de erros nos dados; 2. Desenvolvimento de técnicas de estimativa de parâmetros; 3. Metodologia para determinação dos tipos de dados mais informativos e a quantidade apropriada; e 4. Identificação das incertezas da calibração e a translação destas para as incertezas das respostas dos modelos. Apenas os itens 2. e 3. serão citados a seguir pelo fato de este trabalho abordar apenas estas duas diretrizes. Quanto ao desenvolvimento de técnicas de estimativa de parâmetros, até meados da década de 90 tem-se a ocorrência de pesquisas focadas em métodos que se baseavam apenas em um único objetivo. Embora exista o crescente encorajamento para uma abordagem com múltiplos objetivos, podemos citar alguns trabalhos mais recentes com enfoque uniobjetivo: Haddad et al. (2006) e Cooper et al. (2007). Dentre diversos algoritmos de otimização, o algoritmo SCE (Shuffled Complex Evolution), desenvolvido por Duan et al. (1992 e 1993), obteve bastante expressividade por apresentar bons resultados nas mais diversas aplicações.

25 8 Uma análise comparativa entre o SCE-UA e o MSX (Multistart Simplex) para calibrar o modelo SAC-SMA (Sacramento Soil Moisture Accounting) foi realizada por Sorooshian et al. (1993). Primeiramente, foram realizadas análises utilizando séries sintéticas para representar condições ideais e,posteriormente, realizou-se a calibração para a série histórica da bacia do Leaf River, Collins/Mississippi. Segundo os autores, o SCE-UA mostrou-se superior nas duas análises realizadas. Com o avanço das pesquisas nesta área, observou-se que a otimização baseada em apenas um objetivo não é adequada, por não ser capaz de explorar distintas características importantes contidas nos dados utilizados nos modelos. Diante deste cenário, pesquisas começaram a ser realizadas a partir de um enfoque multiobjetivo ou multi-critério. Como pioneiros desta linha de pesquisa podemos citar Yapo et al. (1998) e Gupta et al. (1998). Uma versão multiobjetivo para o algoritmo SCE, de autoria de Duan et al. (1992 e 1993), denominado MOCOM (Multiobjective Complex Evolution) foi proposta por Yapo et al. (1998). Tal método propunha a solução de problemas de calibração pelo uso de múltiplos objetivos. Neste trabalho os autores aplicaram o MOCOM à calibração do modelo SAC- SMA, utilizando a série histórica da bacia do Leaf River, Collins/Mississippi. Segundo os autores, o mesmo se mostrou eficiente e eficaz a tal propósito. Porém, anos depois, investigações revelaram a ocorrência de adensamentos centrais nas frentes de Pareto e convergência prematura (Vrugt et al., 2003). Como solução para os problemas identificados por Vrugt et al. (2003) para o algoritmo MOCOM, este propôs uma versão multiobjetivo com base no SCEM-UA (Shuffled Complex Evolution Metropolis), uma versão modificada do algoritmo SCE pela inclusão do conceito de força do algoritmo Metropolis (Metropolis et al., 1953) de autoria de Vrugt et al. (2003), e denominou-a de MOSCEM (Multiobjective Complex Evolution Metropolis). Os autores realizaram uma análise comparativa entre o MOSCEM e o MOCOM através de três estudos de casos e concluíram que o MOSCEM mostrou-se superior em todos eles. A necessidade de uma abordagem multiobjetivo para a calibração de modelos hidrológicos, bem como uma atenção para o reconhecimento de erros estruturais e confiabilidade nos modelos, foram recomendados por Gupta et al. (1998). Pode-se citar também outros autores que recomendam uma calibração multiobjetivo para o aprimoramento dos resultados, dos quais: Collischonn & Tucci (2003), que aplicaram o

26 9 MOCOM na calibração do modelo IPH-2 (Tucci, 1998) para a bacia do rio Canoas, localizada no estado de Santa Catarina. Pode-se citar, também, outros algoritmos que sofreram adaptações, citadas no item 2.1 deste trabalho, para contemplar questões multiobjetivo de calibração de modelos. Aplicações destes algoritmos à calibração de modelos hidrológicos podem ser citadas: A utilização do algoritmo MOPSO, proposto por Alvarez et al. (2005) como versão multiobjetivo do PSO, à calibração da bacia do Rio São Francisco foi realizada por Nascimento et al. (2006). Segundo os autores, o mesmo se mostrou satisfatório na montagem da frente de Pareto para os diversos objetivos. Diversas metodologias para a manipulação de soluções da frente de Pareto podem ser encontradas na literatura. Uma técnica de seleção de soluções preferenciais que compõem a frente de Pareto foi proposta por Khu & Madsen (2005). Tal pesquisa utilizou o algoritmo multiobjetivo NSGA-II (Non-dominated Sorting Genetic Algorithm) proposto por Deb et al. (2000). Segundo os autores o método pode ser utilizado para filtrar numerosas soluções pertencentes a uma dada frente e retornar uma pequena quantidade preferível. Quanto à determinação de quais tipos de dados são mais informativos e que quantidade é mais apropriada para a utilização na calibração, alguns trabalhos merecem destaque, tais como: um levantamento sobre qual o comprimento da série histórica faz-se necessário para calibração realizado por Yapo et al. (1996). Foram utilizados o modelo chuvavazão NWSRFS-SMA e o algoritmo SCE-UA. Baseados em diversas calibrações realizadas para diferentes janelas temporais os autores concluíram que uma série de dados com aproximadamente 8 (oito) anos são requeridos para obtenção de calibrações que apresentamse insensíveis ao período calibrado;seguindo o contexto de análise de dados para calibração podemos citar: Gupta & Sorooshian (1985), Sorooshian et al. (1983) e Boughton (2007) Operação de Sistemas de Reservatórios Várias técnicas têm sido desenvolvidas para análise de sistemas de recursos hídricos, podendo estas serem classificadas em técnicas de otimização ou simulação, estáticas ou dinâmicas, e determinísticas ou estocásticas (Merwade, 2001). Nesta seção faremos uma breve revisão das técnicas de otimização, em especial focando no uso de técnicas evolucionárias na operação de reservatórios, uma das mais ricas

27 10 áreas para aplicação destas (Labadie, 2004). A revisão não pretende ser exaustiva, mas sim ilustrativa de como estas técnicas podem ser utilizadas na área de recursos hídricos. Estas técnicas, neste caso, são muito úteis na identificação de políticas operacionais ótimas para um reservatório e indispensáveis na identificação destas regras quando se tratando de sistema de reservatórios de usos múltiplos (Loucks et al., 2005). Na última década, algoritmos evolucionários e heurísticos têm ganhado espaço na área de recursos hídricos, assim como em outras áreas de engenharia. Contudo, os algoritmos mais comumente utilizados são aqueles baseados em Algoritmos Genéticos (Goldberg, 1989). Esta classe de algoritmos, os evolucionários, oferece uma alternativa aos já comumente utilizados na área de recursos hídricos, a saber: Programação Linear, Não Linear, Programação Dinâmica e suas variantes. Adicionalmente, o fácil acoplamento de algoritmos evolucionários e modelos hidrológicos, sem a necessidade de hipóteses simplificadoras e cálculo de derivadas, pode ser considerado uma vantagem destes algoritmos sobre alguns dos algoritmos mais comumente utilizados nas áreas, daqui por diante referido como clássicos. Da mesma forma, em se tratando da operação de reservatórios, medidas da performance de sistemas hídricos como resiliência (capacidade de um sistema se recuperar de uma falha) e vulnerabilidade (severidade das conseqüências da falha) são também facilmente incluídas em algoritmos evolucionários (Labadie, 2004). Algoritmos Genéticos têm sido propostos como um método promissor na resolução de problemas não convexos e não lineares em planejamento de sistemas hídricos (McKinney & Lin, 1994; Ritzel et al., 1994). Ilich (2001) aplica AG ao problema de operação de reservatório utilizando-se de um esquema iterativo no algoritmo para garantir a convergência. O autor conclui que o método pode substituir a tradicional Programação Linear, mas a necessidade de modificar o esquema iterativo introduzido no algoritmo diminui o valor da contribuição. Algoritmos Genéticos foram aplicados na identificação de políticas operacionais ótimas a um problema de quatro reservatórios por Esat & Hall (1994). O objetivo dos autores era maximizar os benefícios advindos da geração de energia, irrigação e abastecimento humano com restrições de armazenamentos e liberações para os reservatórios. Este trabalho demonstra o potencial do uso de Algoritmos Genéticos na otimização de sistemas hídricos,

28 11 assim como, sua melhor performance em relação a técnicas tradicionais, como Programação Dinâmica em termos de demanda computacional. Da mesma forma, Fhamy et al. (1994) também aplicaram Algoritmos Genéticos a um sistema de reservatórios, comparando sua performance com Programação Dinâmica, demonstrando o seu valor para otimização de sistemas mais complexos. Pode-se citar outra aplicação de AGs, tal como: na determinação da capacidade de armazenamento de um reservatório de águas pluviais, bem como, regras de operação ótimas para gerenciamento de escoamento dessas águas no estuário de St. Lucie, Flórida realizada por Otero et al. (1995). O AG foi acoplado com um modelo hidrológico diário e os resultados das regras de operação analisados utilizando-se análise de freqüência das afluências mensais médias. Nesta aplicação, Otero et al. (1995), assim como em Oliveira & Loucks (1997), buscaram a otimização dos parâmetros que representavam as estruturas das regras operacionais dos reservatórios, ao invés da identificação direta das liberações ao longo do período de otimização como em Sharif & Wardlaw (2000). Como uma alternativa a abordagens de otimização determinítiscas, Sharif & Wardlaw (2000) aplicaram AGs à otimização direta das liberações ao longo do período de operação. A demanda por processamento torna quase que inviável o uso de AGs para definição de regras operacionais ótimas de reservatórios, a não ser que se faça uso de parametrizações dessas regras como em Otero et al. (1995) e Oliveira & Loucks (1997). Oliveira & Loucks (1997), por sua vez, ampliam significativamente o trabalho de Esat & Hall (1994) e fazem considerações sobre o potencial valor de Algoritmos Genéticos na operação de reservatórios em tempo real utilizando previsão estocástica de afluências. Como contribuição mais recente nesta linha, pode-se citar: Bravo (2006), que utilizou o algoritmo SCE-UA para a otimização de regras operacionais tendo por objetivo avaliar os benefícios da previsão de afluências. Algoritmos Genéticos também têm sido utilizados de forma combinada com outras técnicas tradicionais, como em Tospornsampan et al. (2005). Os autores combinam AGs com Programação Dinâmica Diferencial Discreta visando otimizar a operação de sistemas de reservatórios múltiplos. A técnica é aplicada ao sistema Mae Klong na Tailândia. Combinando AGs e Programação Linear, Cai et al. (2001) procuraram soluções para dois problemas não lineares: 1. um modelo de operação de reservatórios não linear com equações de geração hidrelétrica não lineares e equações topológicas não lineares do

29 12 reservatório; e 2. um modelo de planejamento dinâmico de longo prazo de uma bacia com um grande número de relações não lineares. Mais recentemente, outros algoritmos evolucionátios têm sido utilizados na resolução deste tipo de problema, como é o caso do HBMO. Haddad et al. (2007) aplicou o HBMO na operação otimizada de dois problemas hipotéticos, um formado por um sistema de quatro reservatórios e outro por um sistema de dez reservatórios. O último problema foi resolvido anteriormente por Wardlaw & Sharif (1999) empregando AGs com codificação real. Este problema não é somente complicado pela dimensão do mesmo, mas também devido a várias restrições de armazenamento dependentes no tempo. No que concerne à otimização multiobjetivo poucas são as aplicações, destacando-se além de aplicações com algoritmos genéticos (entre outros, o NSGA), aquelas com algoritmos baseados no comportamento de bandos, como é o caso do MOPSO (Nascimento et al., 2007). Nascimento et al. (2007) analisa o potencial de otimização multiobjetivo de dois algoritmos, o MOPSO e o NSGA-II, aplicado ao sistema de reservatórios do rio São Francisco.

30 13 3. METODOLOGIA Esta dissertação tem como foco a aplicação de algoritmos evolucionários, baseados no acasalamento de abelhas em sua versão uni (HBMO) e multiobjetivo (MOHBMO), na calibração de modelos hidrológicos e na operação de sistemas de reservatórios. A versão uniobjetivo é aquela proposta por Haddad et al. (2006), enquanto a multiobjetivo é uma proposição do presente trabalho. Como algoritmos de referência da performance dos mesmos serão utilizados na versão uniobjetivo o PSO (Particle Swarm Optimization) e o SCEM (Shuffled Complex Evolution Metropolis), enquanto que para o problema multiobjetivo o algoritmo proposto será avaliado tendo como referência as versões multiobjetivo dos anteriores, o MOPSO (Multiobjective Particle Swarm Optimization) e o MOSCEM (Multiobjective Shuffled Complex Evolution Metropolis). Os algoritmos PSO e MOPSO baseiam-se no comportamento social de indivíduos, enquanto o SCEM e o MOSCEM baseiam-se na teoria Bayesiana, ou mais especificamente, método Monte Carlo de Cadeia de Markov (MCMC) Algoritmos Evolucionários Algoritmos evolucionários compreendem aqueles métodos de busca que têm sua inspiração em processos naturais, tais como: comportamento social de grupos de animais, reprodução de animais, entre outros. Esses algoritmos baseiam-se na seleção natural como processo de escolha de soluções com o objetivo de encontrar a solução ótima, apoiados na teoria que na natureza os mais aptos prevalecem sobre os menos aptos. Alguns algoritmos evolucionários são muito conhecidos devido a seus bons desempenhos na busca de soluções ótimas e a sua aplicabilidade em uma ampla variedade de aplicações. Entre estes, pode-se citar o ACO (Ant Colony Optimization), o GA (Genetic Algorithm) e o BCO (Bee Colony Optimization). Os algoritmos evolucionários possuem características que os tornam mais eficazes do que outros algoritmos na busca de ótimos, dentre as quais destacam-se: A capacidade de trabalhar com uma população de soluções simultaneamente, introduzindo assim uma perspectiva global e uma maior diversidade de busca. Tal característica proporciona uma grande capacidade de encontrar ótimos globais em problemas que possuem diversos ótimos locais;

31 14 Com relação às funções objetivo em análise, os algoritmos evolucionários não requerem que estas sejam côncavas, convexas ou contínuas, como alguns outros algoritmos que se baseiam no cálculo diferencial ou outro procedimento especifico; Quanto ao domínio da busca, não se faz necessário um conhecimento prévio, podendo este ser multidimensional, com ou sem restrições, lineares ou não-lineares; Do ponto de vista de processamento computacional, este se apresenta propício à paralelização. Benefício muito atrativo devido ao ganho de tempo demandado para execução pelo compartilhamento de processos em diferentes computadores Abordagem multiobjetivo utilizando o conceito de dominância de Pareto Do ponto de vista multiobjetivo, faz-se necessária a introdução de um novo conceito em substituição à simples comparação uniobjetivo de diferentes soluções, como por exemplo, o conceito de dominância de Pareto. Esta abordagem multiobjetivo é descrita abaixo e, logo em seguida, são apresentadas algumas técnicas que procuram tratar problemas decorrentes da utilização direta dos conceitos de Pareto na determinação de frente ótima para problemas multiobjetivos. Consideremos um problema de minimização multiobjetivo expresso pela seguinte equação: f1( x) f2( x) min f ( x) = M fm ( x) (3.1) em que f i (x) é a i-ésima de M funções objetivo e x é uma possível solução que satisfaz o problema. Pode-se observar da expressão acima que duas soluções distintas (u e v ) podem se relacionar da seguinte forma: Se f i ( u) < f i ( v) i = 1,..., M, então u é dita estritamente dominante de v, o que é representado pela expressão Ou, se u p v ; f ( u) f ( v) i, u é denominada fracamente dominante de v, o que é i representado pela expressão i up v.

32 15 Caso u não seja dominada por v, e v não seja dominada por u, então u e v são ditas soluções não-dominadas. Desta forma, fica claro que problemas multiobjetivo possuem mais do que uma solução como ótimo, e esse conjunto é denominado de frente ótima de Pareto ou frente verdadeira de Pareto, a qual é composta por soluções não-dominadas por qualquer possível solução. A Figura 3.1, adaptada de Vrugt et al. (2003), ilustra um conjunto de soluções e a frente ótima de Pareto dentro de um espaço de busca (Δδ) bi-paramétrico (θ 1, θ 2 ) para um problema de minimização de dois objetivos (F 1, F 2 ). FIGURA 3.1 Ilustração do conceito de soluções ótimas de Pareto para um problema de minimização de dois objetivos (F1, F2) em um espaço de busca (Δδ) bi-paramétrico (θ1, θ2): a. espaço paramétrico; b. espaço de funções. A Figura 3.1 apresenta no espaço paramétrico a localização dos mínimos das funções representados por A e B, a linha que interliga os outros pontos de mínimo que compõem a frente de Pareto e o ponto γ que representa uma solução da frente ótima. A mesma figura também apresenta os mesmos elementos no espaço de funções objetivo. Deve-se aqui ressaltar que a curva que liga A e B são perpendiculares às tangentes das isolinhas das funções Técnica multivariada de agrupamentos (Clustering) A utilização do simples conceito de dominâncias de Pareto em alguns casos pode gerar problemas, tais como o adensamento desigual das soluções na frente devido à má distribuição

33 16 destas soluções na frente, o que pode resultar em um aumento do número de soluções na frente a proporções desnecessárias, reduzindo assim a eficiência do algoritmo. Como forma de aumentar o desempenho do algoritmo, foi utilizada uma técnica multivariada conhecida por agrupamentos (Clustering) baseada no grau de semelhança das soluções, o procedimento K-Means. O seu uso proporciona ao algoritmo a possibilidade de selecionar um determinado número de soluções não-dominadas dentre as soluções da frente. Essa técnica de agrupamento (Seber, 1984; Spath, 1985) trabalha minimizando a soma dos quadrados das distâncias Euclidianas (critério de semelhança) entre os pontos dentro de cada grupo (Cluster) e o centróide deste grupo. Isto possibilita assim a seleção de soluções de regiões distribuídas na frente, mantendo assim a diversidade e evitando um adensamento crescente e desnecessário Técnica de seleção pela aptidão Em complemento ao tradicional conceito de dominâncias de Pareto, anteriormente descrito, Vrugt et al. (2003) propuseram uma versão melhorada da aptidão proposta por Zitzler & Thiele (1999) para a determinação da frente ótima de Pareto. Esta técnica, a qual se configura como uma alternativa a anterior (item 3.2.1), é descrita a seguir: Armazenam-se todas as soluções não-dominadas da população em um conjunto todas as soluções restantes em um conjunto P ; P ' e A cada solução de P ' é associada uma força r [0,1], a qual representa a razão entre i a quantidade de soluções de P que são dominadas pela solução i de da população. Para todas as soluções de P ' e o total de soluções P ' a aptidão é igual à força associada a ela; As soluções de P recebem um valor de aptidão que é dado pela soma das forças das soluções de P ' que a dominam, somada ao rank obtido pelo tradicional conceito de dominâncias de Pareto, subtraída do valor 1 (para garantir que este possua uma valor maior que qualquer solução do conjunto P ' ): f j ip j = ri + rank i= 1 Pareto 1 (3.2) em que j representa a j -ésima solução de P, r i a força da solução i de rank Pareto o rank obtido pelo tradicional conceito de dominâncias de Pareto. P ' que domina j e

34 17 Através da utilização do conceito acima descrito é possível dar preferência às soluções que estão nos extremos da frente de Pareto e penalizar aquelas que possuem muitas soluções na sua vizinhança, preservando assim a diversidade da população. Isto favorece uma distribuição mais uniforme de soluções na frente, reduzindo as chances de agrupamento e convergência prematura Otimização baseada no acasalamento de abelhas (HBMO e MOHBMO) A versão uniobjetivo do algoritmo (HBMO) proposta por Haddad et al (2006) teve como base a idéia apresentada por Abbass (2001a-e), em que o processo de acasalamento de abelhas domésticas é a fonte de inspiração para o desenvolvimento da técnica de otimização relatada. Assim, antes de detalhar o desenvolvimento do algoritmo propriamente dito, faz-se uma descrição do processo natural de acasalamento de abelhas. Existem outros algoritmos evolucionários baseados em comportamento social de abelhas, mais especificamente no processo de coleta de néctar, como o BCO (Bee Colony Optimization) empregado por Chong et al (2006) Descrição do processo natural Uma colônia de abelhas é composta de uma estrutura física, que é a colméia propriamente dita, e os indivíduos que nela vivem, quais sejam, a abelha rainha, os zangões e as operárias. Cada indivíduo na colméia realiza um trabalho especifico. No caso da rainha, esta representa o indivíduo mais importante, pois é dela que descendem todos os outros indivíduos. A rainha é a única abelha que tem o ovário totalmente desenvolvido, sendo assim capaz de fertilizar os ovos. Durante o processo de evolução da colméia, a rainha gera novos descendentes que podem ser tanto uma nova rainha, como zangões ou operárias, determinados pela forma de geração ou a alimentação a qual é exposta. As operárias são responsáveis pela manutenção da colméia, pois realizam todo o trabalho necessário para sua existência, como por exemplo, alimentação dos novos descendentes.

35 18 O processo reprodutivo das abelhas consiste do cruzamento da rainha com os zangões, que são pouco mais de uma dezena, e são os pais da colméia. Esse processo se dá inicialmente através de uma dança, onde os zangões seguem a rainha, num processo conhecido como vôo de acasalamento. É justamente durante esse vôo, que se realiza longe da colméia, que a rainha seleciona os machos que irão cruzar. A informação genética dos machos que cruzam com a rainha é armazenada sob a forma de sêmen dentro de uma bolsa interna ao corpo da rainha, conhecida como espermateca, sendo posteriormente utilizada para a fertilização dos ovos. Uma rainha cruza diversas vezes durante sua vida, já o zangão inevitavelmente vem a morrer após cruzar com a rainha, realizando assim o seu único papel na colônia que é transmitir informação genética. Dessa forma, exposta à seleção natural, a colméia evolui de maneira que os seus indivíduos estejam mais aptos e adaptados ao ambiente Algoritmo HBMO (Honey-bee Mating Optimization) Inicialmente é gerado de modo uniforme um conjunto de soluções aleatórias que representa a população inicial (colméia). Todas as soluções são então avaliadas quanto à função objetivo em questão, ficando associado um valor de aptidão igual ao valor da função objetivo para cada solução. Por ordenação, e tomando como referência os valores de aptidão das soluções, seleciona-se a solução que apresenta o melhor valor de aptidão (rainha), ou seja, menor valor da função objetivo, visto que o algoritmo consiste de um processo de minimização. As demais soluções são, então, descartadas e inicia-se o processo iterativo do algoritmo. Caso queira-se trabalhar com maximização deve-se utilizar da relação: max f ( x) = min( f ( x)) (3.3) No início de uma nova iteração, soluções semi-aleatórias (zangões, D) com certo grau de dependência da melhor solução (rainha, Q) são geradas. Tal dependência é crescente de forma linear ou quadrática (equações 3.4 e 3.5, respectivamente), variando entre a total independência (0%) e a total dependência (100%) na ultima iteração: [( i 1) / nmf] + d δ nmf D = Q / (3.4)

36 [ 1 ( δ / nmf )] + d [ δ / nmf ] D = Q (3.5) em que nmf é o número de iterações, i a iteração atual, d uma solução aleatória no espaço de busca, sendo a melhor solução (rainha) o centro. δ é dado pela seguinte expressão: δ = nmf ( i 1) (3.6) Esta dependência é função do avanço das iterações (maturidade da colméia), ou seja, da fração relativa da iteração, quanto mais se aproxima da iteração final, maior é a dependência, proporcionando assim uma convergência na busca. Duas modificações acima descritas foram realizadas no algoritmo proposto por Haddad et al. (2006) como forma de melhoramento, são elas: o parâmetro de aleatoriedade mínima do zangão, complementar à dependência máxima da rainha, como forma de manter a diversidade, e a não seleção dos primeiros zangões da população inicial, possibilitando assim zangões tão bons ou melhores que as rainhas do ponto de vista da aptidão. A dependência da rainha é obtida pelo valor complementar a 1 com base no fator de aleatoriedade mínimo caso a parcela aleatória de geração do zangão seja inferior ao valor definido por este. É então realizado um teste seletivo (vôo de acasalamento), no qual, probabilisticamente, determina-se se a melhor solução (rainha) irá receber informação (acasalar) das soluções semi-aleatórias selecionadas ou não, através da função annealing, também conhecida como probabilidade de Boltzman, sugerida por Abbass (2001a): Δ( f ) Sp( t ) prob( Q, D) = e (3.7) em que prob ( Q, D) representa a probabilidade de recebimento de informação da solução semi-aleatória selecionada (cruzamento entre o zangão D e a rainha Q), Δ ( f ) é a diferença absoluta das aptidões das soluções (rainha e zangão) e Sp (t) é a temperatura da função annealing (velocidade da rainha) no tempo t. Da função annealing fica claro que a probabilidade de recebimento de informação (acasalamento) é maior quando a temperatura (velocidade da rainha) é alta, ou seja, no início dos testes (início do vôo de acasalamento) durante o processo seletivo (vôo de acasalamento), ou quando a diferença das aptidões das soluções é pequena (aptidão do zangão é tão boa quanto à da rainha).

37 20 Para testar se haverá troca de informação (acasalamento) entre as soluções (rainha e zangão), verifica-se se a probabilidade acima é menor do que um número aleatório distribuído uniformemente entre 0 e 1. Se for, não há troca (não há acasalamento). Caso o zangão apresente aptidão melhor que a da rainha, este é automaticamente selecionado para cruzamento. Tal procedimento de aceitação automática não consta no algoritmo apresentado por Haddad et al (2006) e é utilizado aqui como forma de melhoramento do mesmo. Assim, se o resultado é sucesso a informação da solução semi-aleatória (informação genética do zangão) é selecionada e armazenada num repositório de informações (espermateca da rainha), e a temperatura (velocidade da rainha) decresce segundo as expressões: e Sp ( t + 1) = α ( t) Sp( t) (3.8) [ M m( t) ] M α ( t ) = / (3.9) nas quais Sp ( t +1) e Sp (t) são a temperatura (velocidade da rainha) em t+1 e em t, respectivamente, α (t) é um valor entre 0 e 1 obtido através da expressão acima, M é o tamanho do repositório (espermateca da rainha) e m (t) é a quantidade de soluções semialeatórias (zangões) selecionados para cruzamento. Se ocorrer fracasso, não há troca de informação (cruzamento). Para ambas as situações o número de tentativas de possível troca de informação (energia da rainha) é decrescida, conforme a expressão: E ( t + 1) = E( t) γ (3.10) em que E ( t + 1) e E (t) são as tentativas nos tempos t+1 e t, respectivamente, e γ é o decaimento das tentativas, aqui considerado unitário, a cada intervalo de tempo. Conceitualmente, a melhor solução (rainha) está apta a receber informações (acasalar) enquanto seu numero de tentativas (sua energia) não estiver próxima a zero, ou seu repositório (sua espermateca) ainda não estiver preenchido. Nota-se a partir da expressão anterior, que o valor do decaimento γ irá determinar quantos testes (transições no espaço, nos quais a cada transição existe a possibilidade de encontrar um zangão) a melhor solução (rainha) estará apta a realizar a cada processo seletivo de soluções semi-aleatórias (vôo de acasalamento). Outros fatores limitantes são a temperatura da função annealing (velocidade da rainha), que deve ser maior que zero, e a quantidade de soluções semi-aleatórias (zangões) disponíveis para teste,

38 21 visto que cada solução aleatória (zangão) somente fornece informação (acasala) uma vez, sendo descartado (morte do zangão) após isto. Posterior ao processo de troca de informações, dá-se início ao processo de geração de novas soluções (descendentes), as quais são geradas a partir de cruzamentos (crossover) entre as informações das soluções armazenadas no repositório (genes dos zangões armazenados na espermateca) e as informações da melhor solução (genes da rainha). O processo de escolha de qual informação (material genético na espermateca) será utilizada é determinado aleatoriamente, podendo o mesmo ser utilizado mais de uma vez. A geração é feita utilizando diversos operadores de cruzamento (crossover), cuja participação é determinada a partir da performance dos mesmos, avaliada pelo percentual de contribuição na geração das melhores soluções até o presente momento, sendo maior para aqueles que tiveram maior contribuição e menor em caso contrário. No presente algoritmo foram utilizados dois tipos de operadores de cruzamento, são eles: os cruzadores aritmético (Arithmetic Crossover) e o de mistura (Blend Crossover). Após a geração das novas soluções (novos descendentes), faz-se então uma tentativa de melhoramento das mesmas e da melhor solução atual (rainha) através de mutação. A mutação é realizada aleatoriamente em um determinado percentual das novas soluções (novos descendentes), e com certa probabilidade na melhor solução (rainha), aqui adotado em ambas as situações 5%. Utilizou-se o operador de mutação gradual (Creep). Realizada a mutação, a população é então avaliada com base no objetivo estipulado, sendo feito posteriormente um teste para saber se a melhor solução gerada é melhor que a melhor solução atual (rainha). Caso verdade, a melhor solução é então atualizada (uma nova rainha), caso contrário, a melhor solução (rainha) permanece a mesma. Seqüencialmente, todos os descendentes são descartados, permanecendo somente a melhor solução (rainha), dando início a uma nova iteração (iniciada pelo vôo de acasalamento até a escolha da rainha). O processo acima descrito é repetido até que o critério de término seja satisfeito, sendo aqui adotado como critério de parada o número de iterações. Como uma alternativa para prover uma busca mais detalhada, Haddad et al. (2006) sugere a utilização de várias rainhas, que são selecionadas, baseadas na aptidão, como melhores soluções. O processo descrito acima é independente para cada uma das rainhas,

39 22 sendo todos os descendentes misturados ao final de cada iteração, e, juntamente com as atuais rainhas, selecionam-se as soluções mais aptas, as quais serão as novas rainhas na próxima iteração. Visto que esta abordagem provê ao algoritmo um maior refino na busca, será adotado no decorrer deste trabalho. A Figura 3.2 apresenta o fluxograma computacional principal do processo descrito acima, mostrando em paralelo sua representação natural. A Figura 3.3 mostra o fluxograma computacional da rotina que representa o processo de tentativa de troca de informação (vôo de acasalamento) da melhor solução (rainha), que complementa a rotina apresentada na Figura 3.2, também mostrando em paralelo o processo natural representado.

40 FIGURA 3.2 Fluxograma computacional do algoritmo HBMO e associação ao processo natural. 23

41 24 FIGURA 3.3 Fluxograma computacional do algoritmo que representa o processo de troca de informações (vôo de acasalamento) no algoritmo HBMO e sua associação ao processo natural Abordagem multiobjetivo MOHBMO (Multiobjective Honey-bee Mating Optimization) Para contemplar a questão multiobjetivo algumas adaptações foram realizadas no algoritmo HBMO. Tais modificações serão descritas a seguir. Primeiramente, após a geração da população inicial (colméia) e avaliação das funções objetivo faz-se necessário a seleção das melhores soluções (rainhas), que anteriormente eram selecionadas como as soluções que apresentavam os menores valores na função objetivo, ou seja, os mais aptos. Com a

42 25 abordagem multiobjetivo outros conceitos são introduzidos em substituição à qualificação de melhor solução, são eles: soluções dominadas e não-dominadas. Essa nova conceituação é possível pela introdução do conceito de dominância de Pareto, também descrito anteriormente em detalhes. As melhores soluções (rainhas) selecionadas da população inicial são as soluções não-dominadas. Determinadas as soluções não-dominadas (rainhas), inicia-se o processo iterativo (realização dos vôos de acasalamento, geração de novas abelhas, melhoramento das rainhas e das novas gerações e seleção de novas rainhas), que se dá igualmente à abordagem uniobjetivo. Cada solução não-dominada (rainha) irá gerar um determinado número de soluções (descendentes), que juntamente irão compor a nova geração de soluções (descendentes) após cada iteração. Os critérios de geração e melhoramento das soluções (descendentes) e da melhor solução (rainha) são os mesmos utilizados na versão uniobjetivo. De posse das novas soluções (novos descendentes) geradas e das soluções nãodominadas (rainhas) da iteração anterior, atualiza-se o conjunto de soluções não-dominadas, que são denominadas de frente de Pareto. Estas novas soluções servirão de base para a geração de novas soluções na iteração seguinte. O processo é repetido até que o critério de término seja satisfeito. Freqüentemente, o número de soluções que compõem a frente de Pareto aumenta com o passo do algoritmo, de forma que considerar cada solução não-dominada como geradora (rainha) de novas soluções na próxima iteração do algoritmo, o tornaria cada vez mais lento. Neste caso, cada solução geraria uma quantidade de novas soluções (novos descendentes e zangões), escapando o controle do usuário. Como forma de aumentar o desempenho do algoritmo, utilizou-se da técnica multivariada de agrupamentos (Clustering) descrita anteriormente como método de seleção de soluções não-dominadas (rainhas) dentre as soluções da frente. A técnica de agrupamento utilizada, como já relatada, proporciona uma melhor distribuição das soluções na frente bem como aumenta o desempenho do algoritmo. A Figura 3.4 mostra a representação fluxograma computacional do algoritmo MOHBMO e a associação ao processo natural.

43 FIGURA 3.4 Fluxograma computacional do algoritmo MOHBMO e a associação ao processo natural. 26

44 Operadores de Cruzamento (Crossover) e Mutação Os operadores de cruzamento aqui utilizados são os Cruzadores de Mistura (Blend Crossover) e o Aritmético (Arithmetic Crossover). O Cruzador de Mistura realiza uma combinação linear entre duas soluções através da seguinte expressão (Lacerda e Carvalho, 1999): c = p + β ( p ) 1 (3.11) 1 2 p em que p 1 e p 2 são as soluções pai, c é o descendente gerado e β representa o espaço possível de geração do descendente com β ~ U ( ε,1 + ε ), sendo ε o parâmetro extensor do intervalo definidos pelos parâmetros de p 1 e p 2. O Cruzador Aritmético realiza uma combinação linear entre duas soluções segundo as seguintes expressões (Lacerda e Carvalho, 1999): c1 = β p1 + (1 β ) p2 c = (1 β ) p + β p (3.12) em que β é um aleatório uniformemente distribuído no intervalo de 0 a 1, isto é, β ~ U (0,1). O operador de mutação implementado no algoritmo foi o de Mutação Gradual (Creep Mutation), o qual realiza uma pequena perturbação em uma variável de decisão que compõe a solução mutada. Tal perturbação é realizada segundo a expressão: em que c = β c (3.13) i n i n i c n representa a variável de decisão i da solução n e β é o fator de mutação, sendo β ~ U (0.95,1.05) Otimização baseada no comportamento social de grupos (PSO e MOPSO) Os algoritmos aqui empregados consistem de uma versão uniobjetivo PSO, proposta inicialmente por Kennedy e Eberhart (1995), os quais buscaram inspiração no comportamento social de grupos, tais como pássaros, peixes e insetos, e uma versão multiobjetivo MOPSO proposta por Alvarez et al. (2005) Descrição do processo natural Uma população de indivíduos, por exemplo, pássaros, que se encontram dispersos no espaço, agrupam-se com o objetivo de iniciar uma busca por seu ninho ou alimento.

45 28 Esta busca é dada em função da experiência de cada indivíduo e da experiência do grupo. Inicialmente, todos levantam vôo e aglomeram-se até que um deles (a partícula) encontre uma posição que seja melhor que as posições dos demais indivíduos da população. Este indivíduo serve de guia para o grupo durante o vôo. Outro indivíduo pode vir a obter uma posição melhor que a posição do guia atual vindo a se tornar o novo guia. Esse processo conduz os indivíduos até o objetivo final, ou seja, o ninho ou alimento Algoritmo PSO (Particle Swarm Optimization) Inicialmente, um conjunto de soluções (população de indivíduos) é gerado aleatoriamente dentro do espaço de busca do problema e avaliado segundo a função objetivo em questão, sendo esse valor utilizado como aptidão da solução (indivíduo). Em seguida é feita uma busca dentre essas soluções para identificar qual possui o menor valor de aptidão, visto que se procura minimizar a função objetivo. Sendo assim, aquela que possui o menor valor de aptidão é a melhor solução (individuo), sendo esta tida como a melhor solução global (guia do bando). A concepção do algoritmo introduz o conceito de melhor individual de cada solução (partícula), que é a melhor posição já ocupada até o presente momento na evolução da busca. Logo, na primeira evolução da população inicial, ou seja, no primeiro passo, o melhor individual de cada solução é seu próprio valor inicial. 2005): As evoluções das soluções (partículas) obedecem à seguinte expressão (Alvarez et al., x = x +χ v + ε (t+ 1 ) (t) (t) ( t) n n n (3.14) em que x (t) n e (t ) x 1 n + são as n -ésimas soluções (posições da partícula) nas iterações t e t+1, respectivamente, (t) v n é o passo da solução (velocidade da partícula) n, χ é o fator que determina a magnitude do passo (valor entre 0 e 1), e (t) ε representa uma pequena perturbação estocástica, conhecida como fator de turbulência, o qual ajuda a solução (partícula) a sair de ótimos locais e contribuir na diversidade da busca. O passo da solução (velocidade da partícula) citado acima é determinado a cada interação, pela seguinte expressão:

46 29 v = w v + c r ( P x ) + c r ( G x ( t+ 1) ( t) ( t) ( t) n n 1 1 n n 2 2 n n ) (3.15) em que (t) v n e v são os passos da solução (velocidades da partícula) n nas iterações t e ( t +1) n t+1, respectivamente, w é a inércia da solução (partícula), c 1 e c 2 são constantes que controlam a influência do passo (velocidade) individual e global, e r 1 e r 2 são números aleatórios uniformemente distribuídos entre 0 e 1. Após a evolução das soluções (partículas), é feita a avaliação da função objetivo das mesmas e atualizado o valor de suas respectivas aptidões. Dentre as novas soluções é selecionada aquela que tem o menor valor de aptidão, ou seja, a melhor solução (guia do bando) do atual conjunto de soluções (bando). É realizado um teste comparativo para saber se a melhor solução gerada é melhor que a melhor solução atual. Caso seja verdade, a melhor solução global é atualizada, caso contrário, permanece com a solução atual. As melhores posições individuais de cada solução são também comparadas e atualizadas seguindo a mesma lógica. O processo acima descrito é repetido até que o critério de término seja satisfeito. A Figura 3.5 apresenta o fluxograma computacional do processo descrito acima, mostrando em paralelo o processo natural representado.

47 30 FIGURA 3.5 Fluxograma computacional do algoritmo PSO e associação ao processo natural Algoritmo MOPSO (Multiobjective Particle Swarm Optimization) Com o intuito de abranger problemas multiobjetivo, algumas modificações no algoritmo PSO foram propostas por Alvarez et al. (2005). Essas modificações são tratadas em maiores detalhes a seguir. Inicialmente, como no PSO é gerada uma população inicial de soluções (bando) aleatoriamente, e, então, avaliada segundo as diversas funções objetivo em questão.

48 31 A partir dos conceitos de dominância de Pareto, já descritos anteriormente, determinam-se quais soluções são não-dominadas na população inicial. Estas soluções são armazenadas em um repositório de soluções não-dominadas (frente de Pareto). Dentro dessa nova abordagem, cada solução (partícula) possui um melhor global, determinado pela seguinte regra: Se a solução (partícula) é dominada por soluções da frente, o melhor global para essa solução (partícula) é determinado aleatoriamente entre as soluções da frente que a dominam; Se a solução (partícula) entra na frente, o melhor global para ela é uma solução da frente determinada aleatoriamente. O melhor individual de cada solução (partícula) é determinado, seguindo as seguintes regras: Se a nova posição da solução (partícula) domina a melhor posição individual, a melhor posição individual é alterada para a nova posição; Se a nova posição da solução (partícula) não domina e nem é dominada pela melhor posição individual, então a melhor posição individual é alterada para a nova posição; Se a nova posição é dominada pela melhor posição individual, esta permanece a mesma. O processo de evolução das soluções (partículas) na busca se dá da mesma forma que no PSO. No primeiro passo no processo de busca, o melhor individual de cada solução é sua posição inicial e o melhor global segue a regra anteriormente descrita. Similarmente à abordagem uniobjetivo, o processo é repetido até que o critério de parada, previamente determinado, seja satisfeito. A Figura 3.6 apresenta o fluxograma computacional do processo descrito acima, mostrando em paralelo o processo natural representado.

49 32 FIGURA 3.6 Fluxograma computacional do algoritmo MOPSO e associação ao processo natural Otimização baseada na busca direta (SCEM e MOSCEM) Os algoritmos aqui descritos foram propostos por Vrugt et al. (2003) e consistem de uma versão uniobjetivo (SCEM), que é uma versão modificada do algoritmo de otimização global SCE-UA desenvolvido por Duan et al. (1992), e sua adaptação para contemplar problemas multiobjetivo (MOSCEM).

50 Algoritmo SCEM (Shuffled Complex Evolution Metropolis) Modelos hidrológicos geram séries resultantes de simulações com base em entradas e com comportamentos determinados por um conjunto de parâmetros. O algoritmo SCEM, apoiado na teoria Bayesiana que trata os possíveis valores de tais parâmetros como variáveis estatísticas, procura definir uma distribuição de probabilidade a posteriori a partir da função verossimilhança e uma distribuição a priori. Essa função densidade de probabilidade a posteriori captura o comportamento probabilístico dos parâmetros do modelo. O andamento do algoritmo é regido pelo objetivo de encontrar uma solução que seja o melhor conjunto de parâmetros para o modelo em questão, de maneira que uma população de soluções evolua em busca das regiões onde a chance de se observar tais parâmetros é alta. Inicialmente, é gerado um conjunto de soluções dentro do espaço de busca do problema a partir de uma distribuição a priori, e calculadas as densidades de probabilidade a posteriori para cada um dos pontos segundo o esquema de inferência Bayesiana apresentado por Thiemann et al. (2001). Em seguida, as soluções são classificadas em ordem decrescente segundo a densidade de probabilidade a posteriori, de forma que a primeira solução do conjunto corresponda à solução com maior valor de densidade de probabilidade a posteriori. São criadas, então, seqüências paralelas com iguais quantidades de soluções a partir do conjunto de soluções ordenadas, como mostra: [, 1: + 1] S k = D k n, k = 1, 2,..., q (3.16) em que D representa o conjunto das soluções ordenadas pela densidade de probabilidade a posteriori, q o número de seqüências e n o número de parâmetros. As seqüências paralelas formam os conjuntos de soluções que realizam a busca da solução ótima e tem o intuito de prover ao algoritmo a capacidade de exploração independente do espaço de busca. A utilização de grupos independentes na busca permite o algoritmo lidar com mais de uma região de atração e habilita o uso de testes heurísticos para julgar a convergência das seqüências a uma distribuição limitante.

51 34 As soluções ordenadas são divididas em conjuntos, com um determinado número de soluções cada, chamados complexos. Tais complexos têm a função de armazenar informações sobre o processo evolutivo e são selecionados como mostra: [ ( j 1) + q,1 n] C q = D q :, j = 1, 2,..., m (3.17) em que D representa o conjunto das soluções ordenadas pela probabilidade da densidade de probabilidade a posteriori, q o número do complexo e m a quantidade de soluções em cada complexo. O uso de complexos permite o agrupamento de informações sobre o espaço de busca. Essas informações são obtidas durante o processo evolutivo que é realizado em cada uma das seqüências de acordo com o algoritmo SEM (Sequence Evolution Metropolis), descrito em maiores detalhes mais a frente. Após o processo evolutivo, as soluções que formam os complexos são juntas e classificadas em ordem decrescente da probabilidade estimada com base na densidade de probabilidade a posteriori. Em seguida, as soluções são divididas em complexos, num processo de mistura que assegura a sobrevivência das seqüências pelo compartilhamento global de informação, obtida independentemente por cada seqüência paralela. O processo evolutivo das seqüências paralelas, acima descrito, é repetido até que o critério de convergência segundo Gelman & Rubin (1992) seja satisfeito. A Figura 3.7 apresenta o fluxograma computacional do processo descrito acima.

52 35 FIGURA 3.7 Fluxograma computacional do algoritmo SCEM-UA O algoritmo SEM, que compõe o processo evolutivo das seqüências, é responsável pela geração de novas soluções e realiza tal função através de uma distribuição de probabilidade normal multivariada usando informações produzidas pelo correspondente complexo, como segue: 1. Define-se a razão de verossimilhança T, o número de evoluções antes do embaralhamento dos complexos L e c n a taxa de variação; k 2. Calcula-se a média ( μ ) e a covariância ( k ) dos parâmetros do complexo 3. Calcula-se k C ; k Γ, a razão entre as densidades de probabilidade a posteriori da melhor e da pior solução do complexo k C ;

53 36 k 4. Calcula-se α, a razão entre a média das densidades de probabilidade a posteriori dos elementos do complexo últimas m soluções geradas na seqüência k C e a média das densidades de probabilidade a posteriori das k 5. Se α for menor que a razão de verossimilhança predefinida T, gera-se uma nova solução, k S ; ( t+1) θ, a partir de uma distribuição multi-normal centrada na última amostragem, (t) θ, da seqüência k S, e com estrutura de covariância c 2 k n, em que ( t+1) c n é uma taxa de variação predefinida. Senão, gera-se uma nova solução, θ, a k partir de uma distribuição multi-normal com média dos parâmetros μ e estrutura de covariância c 2 k n dos parâmetros; ( t+ 1) 6. Calcula-se a densidade de probabilidade a posteriori p( θ y) de ( t+1) θ. Se a ( t+ 1) solução gerada estiver fora do espaço de busca, p( θ y) é zero; ( t 1) ( t) 7. Calcula-se Ω = p( θ + y) / p( θ y) e gera-se um aleatório uniformemente distribuído Z no intervalo entre 0 e 1; ( t+ 1) ( t 8. Se Z Ω, aceita-se a nova solução, senão, θ = θ 9. Adiciona-se ( t+1) θ à seqüência k S ; 10. Se a solução é aceita, substitui-se o melhor membro do complexo senão, substitui-se o pior, desde que ) ; k ( t+1) C com θ, k Γ seja maior que a razão de verossimilhança ( t+ 1) predefinida T e p( θ y) seja maior que a densidade de probabilidade a posteriori do pior membro do complexo k C ; 11. Repetem-se os passos 2 a 10 L vezes, em que L é o número de evoluções antes do embaralhamento dos complexos. A Figura 3.8 apresenta o fluxograma computacional do algoritmo SEM descrito acima.

54 FIGURA Fluxograma computacional do algoritmo SEM utilizado no algoritmo SCEM- UA. 37

55 Algoritmo MOSCEM (Multiobjective Shuffled Complex Evolution Metropolis) Para contemplar problemas multiobjetivos, algumas adaptações no algoritmo SCEM foram propostas por Vrugt et al. (2003), buscando solucionar problemas encontrados na versão multiobjetivo do algoritmo SCE, o algoritmo MOCOM desenvolvido por Yapo et al. (1998). O processo de calculo do algoritmo é descrito em maiores detalhes a seguir. O algoritmo MOSCEM utiliza a mesma estratégia evolutiva que sua versão uniobjetivo SCEM, salvo pela substituição do conceito de razão de probabilidades pelo conceito de aptidão em versão modificada por Vrugt et al. (2003), como descrito anteriormente. Inicialmente, como no SCEM é gerada uma população inicial de soluções aleatoriamente, a partir de uma distribuição a priori, e, então, avaliada segundo as diversas funções objetivo em questão. Em seguida calcula-se a aptidão de cada solução baseada no conceito anteriormente exposto. As soluções são então classificadas em ordem decrescente de aptidão, sendo assim, a primeira solução a mais apta do conjunto. São criadas as seqüências paralelas e os respectivos complexos da mesma forma como no algoritmo SCEM. Iniciando em seguida o processo evolutivo, descrito em detalhes mais a frente. Após o processo evolutivo, é realizada a junção dos complexos como no SCEM para possibilitar a troca de informações e classificação em ordem decrescente de aptidão. O processo evolutivo das seqüências paralelas acima descrito é repetido iniciando na divisão dos complexos até que o critério de convergência seja satisfeito. A Figura 3.9 apresenta o fluxograma computacional do processo descrito acima. O algoritmo SEM, responsável pelo processo evolutivo das seqüências através da geração de novas soluções, segue a mesma estratégia utilizada na versão uniobjetivo, com algumas modificações, como segue: 1. Define-se o número de evoluções antes do embaralhamento dos complexos L; 2. Calcula-se a covariância ( θ ) do complexo seqüência k S ; k (t) C e faz θ ser a atual amostragem na 3. Gera-se um aleatório Z uniformemente distribuído no intervalo entre 0 e 1;

56 39 ( t+1) 4. Gera-se uma nova solução, θ, a partir de uma distribuição normal multi-variada centrada em θ (t ), da seqüência k S, e com estrutura de covariância θ. Se a solução não pertencer ao espaço de busca possível ( Θ ), repete-se a geração da nova solução, até que este critério seja satisfeito; 5. Calcula-se a aptidão ( f t+ 1) da solução k (t ) C e a atual amostragem θ ; β ft Calcula-se α = f t / f t ) (t ) amostragem θ ; ( + 1 ( t+1) ( t+ 1) ( t 7. Se α Z aceita-se θ. Senão, faça θ = θ 8. Adiciona-se ( t+1) θ ; ( t+1) θ a seqüência ( t+1) θ usando as outras soluções do complexo, onde β é um fator escalar e f t a aptidão associada à ). k S e substitui-se a pior solução do complexo k C por 9. Repetem-se os passos 2 a 8 L vezes, onde L é o número de evoluções antes do embaralhamento dos complexos. A Figura 3.10 apresenta o fluxograma computacional do processo descrito acima. Os parâmetros do algoritmo MOSCEM são dois, ambos determinados diretamente pelo usuário, são eles: Tamanho da população ( s ); Número de seqüências e complexos ( q ).

57 FIGURA 3.9 Fluxograma computacional do algoritmo MOSCEM- UA. 40

58 FIGURA 3.10 Fluxograma computacional do algoritmo SEM utilizado no algoritmo MOSCEM-UA. 41

59 42 4. AVALIAÇÃO DOS ALGORITMOS COM FUNÇÕES DE TESTE Os algoritmos de referência (PSO, MOPSO, SCEM, MOSCEM), o algoritmo de otimização implementado uniobjetivo HBMO e sua versão multiobjetivo aqui proposta MOHBMO foram testados com funções matemáticas que representam um desafio para qualquer algoritmo de otimização, aqui chamadas simplesmente de funções de teste (Deb, 1999). A dificuldade de minimização destas funções é devido às características como tendenciosidade, descontinuidade, concavidade, entre outras. As funções utilizadas são descritas a seguir, sendo algumas utilizadas apenas no caso multiobjetivo, como é o caso da Função 1. Como forma de entender o comportamento dos algoritmos frente à configuração dos seus parâmetros e buscar uma comparação na qual a eficiência destes fosse maximizada, procedeu-se previamente às aplicações testes de sensibilidade dos parâmetros dos mesmos. Posterior à análise de sensibilidade dos parâmetros dos algoritmos são apresentados as aplicações de minimização de funções e problemas compostos por funções matemáticas teóricas. Em seguida, são apresentados os resultados obtidos. E por fim, as conclusões parciais referentes às aplicações das funções teste As Funções e seus Mínimos Teóricos Função 1 A primeira função teórica utilizada representa um plano inclinado, como definido: f ( = x (4.1) 1 x1, x2 ) A Figura 4.1 mostra o comportamento da função para o domínio x, x Função 2 A função a seguir possui diversos mínimos e máximos, com o mínimo global em x = 4 e 4 1 x = 2 igual a f = 19, 6683.

60 43 sen(0.1+ ( x 4) + ( x 4) f 2 ( x1, x2 ) = 20 (4.2) ( x1 4) + ( x2 4) para 10 x 1, x2 20. A Figura 4.2 representa o comportamento da função no domínio citado. ) Função 3 FIGURA 4.1 Superfície da Função 1. FIGURA 4.2 Superfície da Função 2. A seguinte expressão representa uma função bi-modal, com um mínimo local em x = 1 e x = 0, 6 igual a =1, f, e um mínimo global em x = 1 1 e x = 0, 2 igual a 2 f = 0,7057 : f ( x, x x2 0,2 x2 0,6 2 exp 0,8 exp 0,004 0,4 ) = (4.3) x com os domínios definidos em 0,1 x 1 1 e 0 x 1 2. O comportamento da função no domínio citado é mostrado na Figura 4.3. Função 4 A expressão a seguir define a quarta função teórica utilizada: 2 x1 4 ( x1, g) = 1 1 f (4.4) g

61 44 em que x, x 1, variável x i, N N min x i= m+ i x 1 i= m+ 1 i g( x = + m+ 1,..., x N ) g min ( g max g min ) (4.5) N max N min x i= m+ i x 1 i= m+ 1 i x e x max são, respectivamente, o mínimo e o máximo valores da min i i g min e g max são, respectivamente, o mínimo e o máximo valores que a função g pode obter, e γ é o parâmetro responsável pela tendência nos valores da função. A Figura 4.4 mostra o comportamento da função para m = 1, N = 2, g 1, g 2 e γ = 0, 25, dentro do domínio referido. min = max = γ Função 5 FIGURA 4.3 Superfície da Função 3. FIGURA 4.4 Superfície da Função 4. A última função utilizada é uma função periódica definida pela seguinte expressão: α x 1 x1 f 5 ( x1, x2 ) = (1 + 10x2 ) 1 sen(2π q x1 ) (4.6) x2 1 10x2 em que o número de períodos é dado por q. Nas aplicações serão utilizados q = 4 e α = 2 no domínio x, x 1. A Figura 4.5 mostra o comportamento da função nas condições e domínio referidos.

62 45 FIGURA 4.5 Superfície da Função Problemas Multiobjetivos Problema Multiobjetivo 1 O primeiro problema corresponde à utilização das Funções 1 e 2. Obtém-se pela minimização das referidas funções, um problema multiobjetivo com frente descontínua, dividida em duas partes, ambas localizadas afastadas dos extremos do espaço de busca, com pontos residuais em x = Min f x, ) (4.7) 1( 1 x2 Min f x, ) (4.8) 2 ( 1 x2 Para o presente problema utilizamos o domínio definido em 10 x 1, x2 20. A seguir é mostrado na Figura 4.6 o comportamento das funções anteriormente citadas, bem como a frente ótima global de Pareto e sua localização dentro do domínio das funções.

63 46 (a) FO1 (b) FO2 (c) Frente de Pareto (d) Soluções no espaço paramétrico FIGURA 4.6 Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 1). Problema Multiobjetivo 2 O segundo caso compõe um problema multiobjetivo multi-modal com soluções mínimas locais e globais, proposto por Deb (1999). Assim, buscamos a minimização das Funções 1 e 3: Min f x, ) (4.9) 1( 1 x2 Min f x, ) (4.10) 3 ( 1 x2 com os domínios definidos em 0,1 x 1 1 e 0 x 1. 2

64 47 O mesmo tem a frente global em x 0, 2 2, sendo que a Função 3 possui valores bem abaixo dos pontos nas suas vizinhanças. Tal característica dificulta o encontro de tais soluções, tendendo ao encontro de uma frente local em x 0, 2 6. O presente problema avalia a capacidade do algoritmo de varrer o espaço de busca, visto que as soluções ótimas globais se encontram em um subespaço do domínio reduzido. A Figura 4.7 a seguir mostra o comportamento das funções nos domínios mencionados, bem como a frente ótima global de Pareto e sua respectiva localização no espaço de busca. (a) FO1 (b) FO3 (c) Frente de Pareto (d) Soluções no espaço paramétrico FIGURA 4.7 Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 2)

65 48 Problema Multiobjetivo 3 O problema exposto a seguir foi proposto por Deb (1999) para minimização das Funções 1 e 4, como mostra: Min f x, ) (4.11) 1( 1 x2 Min f ( x 1, ) (4.12) 4 g Na solução do referido problema será utilizado m = 1, N = 2, g 1, g 2 e γ = 0, 25, com o domínio definido em x, x min = max = O presente problema apresenta uma dificuldade em decorrência da Função 4 ser responsável por uma densidade tendendo contrariamente ao sentido da frente ótima de Pareto, tentando introduzir tendenciosidade no processo de busca e dificultar a identificação do ótimo global. A Figura 4.8 a seguir ilustra o comportamento das funções nas condições citadas anteriormente, bem como a frente de Pareto das soluções ótimas e suas respectivas localizações no espaço de busca. Problema Multiobjetivo 4 Nosso quarto problema foi proposto por Deb (1999), correspondendo à minimização das funções: para o domínio x, x Min f x, ) (4.13) 1( 1 x2 Min f x, ) (4.14) 5 ( 1 x2 As funções acima configuram um exemplo de frente de Pareto descontínua, com o número de regiões descontínuas definido pelo parâmetro q da Função 5. Na presente aplicação foram utilizados q = 4 e α = 2. A Figura 4.9 mostra o comportamento das funções no domínio referido, bem como a frente verdadeira (frente ótima global de Pareto) e sua respectiva localização no espaço de busca. Problemas com frentes descontínuas exigem do algoritmo uma manipulação das soluções de forma que seja mantida uma diversidade espacial entre as diversas partes da frente. No presente par de funções, as soluções ótimas se encontram no extremo do domínio

66 49 em x = 2 0. Desta forma, representa uma dificuldade a mais ao algoritmo, que é a busca nas fronteiras. (a) FO1 (b) FO4 (c) Frente de Pareto (d) Soluções no espaço paramétrico FIGURA 4.8 Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 3)

67 50 (a) FO1 (b) FO5 (c) Frente de Pareto (d) Soluções no espaço paramétrico FIGURA 4.9 Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 4) Problema Multiobjetivo 5 Neste problema foram minimizadas as funções 3 e 5: Min f x, ) (4.15) 3 ( 1 x2 Min f x, ) (4.16) 5 ( 1 x2 O presente problema engloba diversas dificuldades já mencionadas nos problemas anteriores, são elas: frente descontínua, ótimos em fronteiras e em reduzidos subespaços do

68 51 domínio. A Figura 4.10 a seguir mostra o comportamento das funções no referido domínio, bem como a frente ótima de Pareto e sua localização no espaço de busca. (a) FO3 (b) FO5 (c) Frente de Pareto (d) Soluções no espaço paramétrico FIGURA 4.10 Comportamento das funções (a e b), frente ótima de Pareto (c) e localização das soluções no espaço de busca (d) (Problema MO 5) 4.3. Análise de Sensibilidade de Parâmetros dos Algoritmos Nesta seção serão realizadas análises para verificar a sensibilidade dos algoritmos PSO, MOPSO e HBMO a alguns de seus parâmetros. Para o algoritmo HBMO foram

69 52 selecionados todos os parâmetros que poderiam afetar a busca. Já o PSO e o MOPSO, foi analisado apenas o parâmetro referente à velocidade máxima da partícula HBMO Visando compreender melhor o processo de busca realizada pelo algoritmo HBMO realizou-se uma análise de sensibilidade dos seus parâmetros, tendo como estudos de caso as funções teóricas anteriormente citadas. O algoritmo HBMO possui alguns parâmetros que ditam o comportamento do mesmo, existindo diversas possibilidades de combinações dos mesmos, cada um com suas peculiaridades no processo de busca. Os parâmetros avaliados na análise de sensibilidade são os seguintes: 1. Tamanho da população inicial; 2. Número de vôos de acasalamento; 3. Número de rainhas; 4. Número de zangões; 5. Fator de aleatoriedade mínimo do zangão; 6. Número de descendentes por rainha. Os demais parâmetros do algoritmo não foram analisados, tais como: 1. Número de zangões testados a cada passo no vôo de acasalamento, por ter sido utilizado neste trabalho um valor que não fosse limitante para o teste dos zangões; 2. Energia da rainha, por ter sido utilizado um valor suficientemente grande de forma que não fosse fator limitante; 3. Velocidade da rainha, considerada como um valor aleatório entre 0 e 100; e, 4. Tamanho da espermateca, adotado um valor suficientemente grande para comportar a totalidade dos zangões. A Tabela 4.1 apresenta os valores utilizados dos parâmetros quando estes não estavam sendo variados. TABELA 4.1 Valores utilizados dos parâmetros do algoritmo HBMO Parâmetro Valor Tamanho da população inicial 100 Número de Vôos de acasalamento 20 Número de rainhas 20 Número de zangões 1 Fator de aleatoriedade mínima do zangão 0,1 Número de descendentes por rainha 4 Tamanho da população inicial O primeiro parâmetro analisado foi o tamanho da população inicial, sendo este determinante da condição inicial, ou seja, a quantidade de informação disponível antes do início do processo de busca. Nota-se que quanto maior for a população inicial de soluções, maior será o conhecimento de possíveis regiões em que as soluções ótimas estão localizadas.

70 53 Com o objetivo de avaliar qual o impacto causado por este parâmetro no desenvolvimento da busca, foram realizados testes fixando os demais parâmetros (ver Tabela 4.1) para diferentes tamanhos de populações iniciais: 50, 100, 250 e 500. As populações de tamanho 500 foram geradas, e a partir destas obtidas as populações menores (n primeiros elementos da população de tamanho = 500, onde n=50, 100 e 250). Isto garante que com o aumento da população obtêm-se um ganho na informação, assegurando que as populações menores não possuam informações melhores do ponto de vista da função objetivo. Segundo as considerações acima expostas, foram geradas 10 (dez) populações iniciais diferentes e observou-se que para todas as funções, com exceção da Função 3, os mínimos globais foram apropriadamente identificados. No caso da Função 3, algumas soluções correspondiam ao seu mínimo local, fato justificado pela singularidade da função em seu mínimo global, já mencionado anteriormente como de grande dificuldade para os algoritmos. Quanto à convergência, as populações de tamanho 250 e 500, apresentaram uma convergência mais rápida que os demais. Entretanto, houveram situações onde a convergência para os demais tamanhos de população inicial se mostraram superiores as de 250 e 500. As Figuras 4.11 a 4.14 mostram a curva de convergência da função objetivo segundo o número de avaliações. Tais figuras representam uma das 10 (dez) tentativas, julgada representativa dos resultados encontrados. A Figura 4.12 mostra um caso onde algumas soluções ficaram presas no mínimo local da Função 3.

71 54 FIGURA 4.11 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes populações iniciais. FIGURA 4.12 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes populações iniciais.

72 55 FIGURA 4.13 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes populações iniciais. FIGURA 4.14 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes populações iniciais.

73 56 Número de vôos de acasalamento Como o número de vôos está relacionado com o número de avaliações, o aumento do primeiro implica no aumento do último, conforme se pode verificar na expressão N = Nmf Nq ( Nd + Nb) (4.17) em que N representa o número de avaliações da função objetivo, Nmf é o número de vôos de acasalamento, Nq é a quantidade de rainhas, Nd a quantidade de zangões para cada rainha e Nb o número de descendentes gerados por cada rainha a cada iteração. Segundo a equação 4.17 fica clara a impossibilidade de comparação direta entre soluções com diferentes números de vôos segundo um critério de convergência. Desta forma a análise será feita com base na capacidade de encontrar o ponto ótimo. Para realizar a análise de sensibilidade do algoritmo com relação à quantidade de vôos de acasalamento, foram escolhidos quatro valores para a quantidade de vôos (10, 20, 50 e 100 vôos) e realizadas 10 tentativas para cada uma delas, partindo de condições iniciais diferentes e mantendo fixos os demais parâmetros (ver Tabela 4.1). Diferente da análise de sensibilidade dos demais parâmetros do algoritmo, o número de vôos não pode ser realizado levando em conta que as quantidades menores de vôos estejam inseridas dentro das maiores. Em geral, pela observação dos valores ótimos obtidos, obteve-se uma melhoria da capacidade de encontrar o valor ótimo com o aumento da quantidade de vôos, não sendo excluídas aqui ocasiões nas quais o ótimo foi encontrado independente do número de vôos. Em contrapartida, a melhoria da busca em função do aumento do número de vôos ocasiona um aumento considerável do número de avaliações da função objetivo. As Figuras 4.15 a 4.18 mostram algumas situações ocorridas nos testes realizados. Novamente ocorreram casos nos quais foram identificados mínimos locais. Tais figuras representam uma das 10 (dez) tentativas, julgada representativa dos resultados encontrados.

74 57 FIGURA 4.15 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes número de vôos de acasalamento. FIGURA 4.16 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes número de vôos de acasalamento.

75 58 FIGURA 4.17 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes número de vôos de acasalamento. FIGURA 4.18 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes número de vôos de acasalamento.

76 59 Número de rainhas Quanto à influência do número de rainhas no desenvolvimento da busca, temos uma situação semelhante àquela apresentada pelo número de vôos. É claro que quanto maior for o número de rainhas, mais detalhada será a busca e consequentemente maiores serão as chances de encontrar o ótimo global. Por outro lado, temos o aumento do número de avaliações da função objetivo, como evidenciado na equação Visando prover certo conhecimento do comportamento da busca com diferentes números de rainhas, realizaram-se testes seguindo a mesma linha de raciocínio exposta nos testes anteriores. Utilizando número de rainhas de 10, 20, 30, 40 e 50 e fixando os demais parâmetros (ver Tabela 4.1), geraram-se 10 (dez) populações iniciais diferentes utilizadas na minimização das funções testes. Novamente, como exposto para a análise de vôos de acasalamento, pela equação 4.17 fica clara a impossibilidade de comparação direta entre soluções com diferentes números de vôos segundo um critério de convergência. Desta forma a análise somente levará em conta a capacidade de encontrar o ponto ótimo. Como resultado obteve-se o encontro dos ótimos globais das Funções 2, 4 e 5 nas diversas situações independente do número de rainhas. Já na Função 3 nota-se a melhora na busca do ótimo para as situações com maior número de rainhas, não deixando de existir casos em que um menor número de rainhas atingiu o ótimo global. As Figuras 4.19 a 4.22 apresentam alguns dos resultados obtidos das simulações citadas anteriormente para cada função. Tais figuras representam uma das 10 (dez) avaliações, julgada representativa dos resultados encontrados.

77 60 FIGURA 4.19 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes número de rainhas. FIGURA 4.20 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes número de rainhas.

78 61 FIGURA 4.21 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes número de rainhas. FIGURA 4.22 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes número de rainhas.

79 62 Número de zangões Dentre os parâmetros citados, o número de zangões é responsável pelo refino na busca devido à sua crescente dependência da rainha. Desta forma, ele provê convergência ao algoritmo e diversidade na busca, lembrando que não é apenas este parâmetro o único responsável pela diversidade. Visando um conhecimento da influência da quantidade de zangões por rainha no processo de busca, realizaram-se testes semelhantes aos realizados com relação ao número de rainhas. Utilizaram-se 10 (dez) populações diferentes para 5 (cinco) números diferentes de zangões, sendo estes: 1, 2, 6, 8 e 10 zangões por rainha e mantendo fixos os demais parâmetros (ver Tabela 4.1). Da equação 4.17 observa-se que o número de zangões influi no número de avaliações da função objetivo. Desta forma, impossibilita-se a comparação direta entre soluções com diferentes números de vôos segundo um critério de convergência. Portanto, a análise será feita com base apenas na capacidade de encontrar o ponto ótimo. Os resultados mostraram que o algoritmo conseguiu encontrar o ótimo global das Funções 2, 4 e 5 para as diversas situações expostas. Novamente, o algoritmo encontrou dificuldades em encontrar o ótimo global da Função 3, apresentando situações alternadas na efetividade de localização dos ótimos em função do número de zangões. As Figuras 4.23 a 4.26 mostram algumas das situações expostas acima. Tais figuras representam uma das 10 (dez) avaliações, julgada representativa dos resultados encontrados.

80 63 FIGURA 4.23 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes números de zangões. FIGURA 4.24 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes números de zangões.

81 64 FIGURA 4.25 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes números de zangões. FIGURA 4.26 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes números de zangões.

82 65 Fator de aleatoriedade mínima do zangão Como já mencionado anteriormente, o zangão é responsável pela convergência da busca devido à sua dependência crescente. Tentando manter um valor mínimo de diversidade nas iterações finais, introduziu-se um fator de aleatoriedade na geração dos zangões, não observado na descrição original do algoritmo (Haddad et al., 2006). Com o intuito de verificar qual valor utilizar, procedeu-se a busca utilizando fatores de aleatoriedade de 1%, 10%, 25% e 50%, para 10 (dez) condições iniciais diferentes. Os demais parâmetros foram mantidos fixos como definido na Tabela 4.1. Observou-se como resultado uma independência do fator de aleatoriedade, sendo que aqueles com fator 25% e 50% não apresentaram valores tão bons quanto os de 1% e 10%, visto que aqueles dificultavam a convergência da busca. As Figuras 4.27 a 4.30 apresentam algumas das situações observadas para a minimização das Funções 2, 3, 4 e 5. Tais figuras representam uma das 10 (dez) avaliações, julgada representativa dos resultados encontrados. FIGURA 4.27 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão.

83 66 FIGURA 4.28 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão. FIGURA 4.29 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão.

84 67 FIGURA 4.30 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes fatores de aleatoriedade mínima do zangão. Número de descendentes por rainha Observa-se do processo de busca do algoritmo que a quantidade de descendentes por rainha é uma dos parâmetros responsáveis pela diversidade. Desta forma, objetivando entender até que ponto esse parâmetro tem influência na localização do mínimo global, realizaram-se testes utilizando os seguintes números de descendentes por rainha: 2, 4, 6, 8 e 10. Fixando os demais parâmetros (ver Tabela 4.1) e partindo de 10 (dez) condições iniciais diferentes, realizaram-se testes de aplicação do algoritmo HBMO na minimização. A análise será feita com base apenas na capacidade de encontrar o ponto ótimo, devido ao fato do número de descendentes por rainha influir no número de avaliações da função objetivo. Desta forma, impossibilitando a comparação direta entre soluções segundo um critério de convergência. Como resultado observou-se que nas diversas situações o algoritmo, para a minimização das Funções 2, 4 e 5, chegou bastante próximo da solução ótima, não sendo possível determinar qual o número de descendentes fornece melhores resultados. Contudo é

85 68 claro que quanto maior o numero de descendentes, mais refinada é a busca, proporcionada pela diversidade das soluções. Quanto à minimização da Função 3, algumas das situações descritas acima não atingiram o mínimo global, ficando presas em ótimos locais. Observou-se que os melhores resultados, em termos de valor da função objetivo, estavam associados, na maioria das vezes, a valores maiores de números de descendentes, não excluindo, portanto, situações nas quais algumas destas condições alcançaram o ótimo global. As Figuras 4.31 a 4.34 apresentam algumas das situações observadas para a minimização das Funções 2, 3, 4 e 5. Tais figuras representam uma das 10 (dez) avaliações, julgada representativa dos resultados encontrados. FIGURA 4.31 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes números de descendentes por rainha.

86 69 FIGURA 4.32 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes números de descendentes por rainha. FIGURA 4.33 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes números de descendentes por rainha.

87 70 FIGURA 4.34 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes números de descendentes por rainha Velocidade Máxima do PSO Com o objetivo de entender melhor o funcionamento do algoritmo PSO e determinar uma configuração ideal dos parâmetros, da mesma forma que realizada com o algoritmo HBMO, e assim, garantir uma comparação justa entre os mesmos, realizou-se uma análise de sensibilidade dos parâmetros do PSO para o problema de minimização das funções teste. Dentre os parâmetros presentes no algoritmo PSO, apenas o parâmetro velocidade máxima da partícula foi analisado, justificado pela não associação direta com os parâmetros do algoritmo HBMO. Parâmetros como o número de iterações e o tamanho da população do algoritmo PSO são perfeitamente associados aos parâmetros número de vôos de acasalamento e número de descendentes somados aos zangões, a cada vôo do HBMO. Para tal, utilizaram-se cinco valores de velocidade máxima, são eles: 0,10, 0,25, 0,50, 0,75 e 1,00. Esses valores são relativos ao intervalo de variação dos parâmetros, sendo 0,10 referente à 10% do intervalo. Observou-se como resultado uma intercalação entre os valores ideais para adotar como passo, a depender do problema em questão. Na minimização das Funções 2, 4 e 5, não

88 71 ocorreram diferenças significativas nos resultados, porém observou-se que o passo limitado a 0,10 apresentou um ligeira melhora com relação aos demais. Para a Função 3, o valor do passo limitado a 0,5, 0,75 e 1,00 apresentou melhores resultados que os demais, tendo o algoritmo ficado preso no mínimo local para os menores passos. As Figuras 4.35 a 4.38 apresentam algumas das situações observadas para a minimização das Funções 2, 3, 4 e 5. FIGURA 4.35 Curvas de convergência da Função 2 para diferentes velocidades máxima.

89 72 FIGURA 4.36 Curvas de convergência da Função 3 para diferentes velocidades máxima. FIGURA 4.37 Curvas de convergência da Função 4 para diferentes velocidades máxima.

90 73 FIGURA 4.38 Curvas de convergência da Função 5 para diferentes velocidades máxima Velocidade Máxima do MOSPO Vista a obtenção de soluções que divergiam de soluções apresentadas na literatura para os referidos problemas multiobjetivos e pela necessidade de entender o comportamento do algoritmo MOPSO em função da limitação da velocidade máxima da partícula, procedeu-se uma análise de sensibilidade desta e seus impactos na representação da frente verdadeira de Pareto. As diferenças entre as soluções identificadas e as da literatura referem-se tanto à proximidade da frente verdadeira como ao grau de preenchimento da frente, Para tal utilizaram-se de cinco valores diferentes de velocidade máxima: 0,1, 0,25, 0,50, 0,75 e 1,0. Sendo o valor de 1,0 a representação da não limitação do passo dentro do espaço de busca, e os passos 0,1, 0,25, 0,5 e 0,75 representam a possibilidade de a partícula proferir um deslocamento de valor igual a 10%, 25%, 50% e 75% do espaço de busca, respectivamente. Assim definido, realizaram-se testes para 10 condições distintas, pela geração de diferentes populações aleatórias iniciais, mantendo a mesma configuração dos demais parâmetros e variando a velocidade máxima para os valores citados.

91 74 Observou-se, a partir dos resultados, que a velocidade 0,5 para os problemas multiobjetivo em questão apresentou melhor resultado, em termos de preenchimento da frente e proximidade com a frente verdadeira. A Figura 4.39 apresenta um dos resultados obtidos da análise da velocidade máxima para o problema de minimização multiobjetivo das Funções 1 e 2. FIGURA 4.39 Frentes obtidas na análise de sensibilidade do parâmetro de velocidade máxima do algoritmo MOPSO Minimização uniobjetivo Tendo como objetivo a comparação entre o desempenho dos algoritmos HBMO e PSO para os problemas de minimização das funções teste, diversas aplicações utilizando ambos os algoritmos foram realizadas. Partindo da consideração de que a condição inicial fora mantida a mesma para ambos os algoritmos, buscou-se avaliar a velocidade da convergência da função objetivo em função do número de avaliações e do valor ótimo obtido.

92 75 Para aplicação da minimização das funções de teste uniobjetivo foram utilizados os seguintes valores para os parâmetros do algoritmo HBMO: 1. Tamanho da população inicial = 100; 2. Número de vôos de acasalamento = 50; 3. Número de rainhas = 20; 4. Número de zangões = 1; 5. Fator de aleatoriedade mínimo do zangão = 10%; e, 6. Número de descendentes por rainha = 4. Os demais parâmetros foram utilizados como exposto anteriormente na análise de sensibilidade dos parâmetros do HBMO. Para o algoritmo PSO foram utilizados os seguintes parâmetros: 1. Tamanho da população = 100; 2. Número de iterações = 50; 3. Velocidade máxima da partícula = 1 (funções 4) e 0,1 (função 2, 3 e 5), conforme obtido dos resultados da analise de sensibilidade do referido parâmetro anteriormente citado. Os demais parâmetros do algoritmo foram utilizados como sugeridos por Nascimento et al. (2006 e 2007). Foram então realizadas 5 (cinco) avaliações partindo-se de diferentes condições iniciais e valores de parâmetros em ambos os algoritmos conforme acima mencionado. Para cada função foram apresentados os gráficos de convergência do valor da função objetivo a cada iteração para as cinco tentativas com condições iniciais diferentes, como apresentado a seguir. Função 2 Para a minimização da Função 2, mostrada na Figura 4.40, observou-se que ambos os algoritmos apresentaram convergência bastante semelhante, com valores praticamente iguais após 700 iterações. Função 3 As curvas de convergência das aplicações dos algoritmos durante a minimização da Função 4 são apresentadas na Figura Para este problema nota-se que o algoritmo PSO mostrou-se mais consistente do que o algoritmo HBMO, visto ter apresentado apenas um caso no qual não encontrou o ótimo global. Já para o algoritmo HBMO, apenas dois encontraram o ótimo global, tendo dois resultados presos no ótimo local e outro no valor intermediário. A superioridade do algoritmo PSO é justificada pelo compartilhamento da informação entre as partículas. No caso da Função 3, quando uma partícula se encontra dentro do singularidade ela atrai para si todas as demais partículas, proporcionando assim uma busca mais minuciosa nas vizinhanças do mínimo global.

93 76 Função 4 A partir da Figura 4.42 é possível visualizar as curvas de convergência das aplicações dos algoritmos durante a minimização da Função 4. Observa-se que o algoritmo PSO apresentou uma convergência bem mais lenta que o algoritmo HBMO, o qual rapidamente atingiu o ótimo global, por volta da avaliação Já o algoritmo PSO não conseguiu atingir o mínimo global. Tal fato é decorrente em grande parte da melhor busca de fronteiras realizada pelo algoritmo HBMO. Função 5 A última função avaliada tem os resultados apresentados na Figura A partir das curvas de convergências pode-se observar que o algoritmo HBMO apresentou convergência mais rápida que o algoritmo PSO, tendo ambos encontrando com facilidade o ótimo global. FIGURA 4.40 Curvas de convergência para a Função 2 (HBMO e PSO), 5 condições iniciais diferentes.

94 77 FIGURA 4.41 Curvas de convergência para a Função 3 (HBMO e PSO), 5 condições iniciais diferentes. FIGURA 4.42 Curvas de convergência para a Função 4 (HBMO e PSO), 5 condições iniciais diferentes.

95 78 FIGURA 4.43 Curvas de convergência para a Função 5 (HBMO e PSO), 5 condições iniciais diferentes Minimização multiobjetivo A avaliação comparativa dos algoritmos em problemas com múltiplos objetivos utilizou as versões multiobjetivo dos algoritmos testados no tópico anterior, ou seja: o algoritmo MOHBMO, referente ao uniobjetivo HBMO, o MOPSO, referente ao algoritmo PSO e o MOSCEM, versão multiobjetivo do algoritmo SCEM. A não utilização do algoritmo SCEM para minimização das funções teóricas é justificada pela própria natureza do algoritmo, que não trabalha com o conceito de função objetivo. Para aplicação a minimização dos problemas multiobjetivos foram utilizados os seguintes valores para os parâmetros do algoritmo MOHBMO: 1. Tamanho da população inicial = 100; 2. Número de vôos de acasalamento = 100; 3. Número de rainhas = 20; 4. Número de zangões = 1; 5. Fator de aleatoriedade mínimo do zangão = 1%; e, 6. Número de descendentes por rainha = 4. Os demais parâmetros foram utilizados como exposto anteriormente na análise de sensibilidade dos parâmetros do HBMO. Para o algoritmo MOPSO foram utilizados os seguintes parâmetros: 1. Tamanho da população = 100; 2. Número de iterações = 100; 3. Velocidade máxima da partícula = 0,5. Os

96 79 demais parâmetros do algoritmo MOPSO foram utilizados como exposto no capitulo de metodologia. No caso do algoritmo MOSCEM foram utilizados os seguintes parâmetros: 1. Tamanho da população = 100; 2. Número de complexos = 2; 3. Número de avaliações das F.O.s = Problema Multiobjetivo 1 Uma das aplicações dos algoritmos MOHBMO, MOPSO e MOSCEM ao problema multiobjetivo 1 é apresentada na Figura Observa-se que ambos os algoritmos conseguiram representar com bastante aproximação a frente de Pareto verdadeira. Contudo, nota-se um maior preenchimento da frente produzida pelo algoritmo MOHBMO, dentre as 10 (dez) avaliações realizadas. (a) (b) (c) FIGURA 4.44 Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b. MOPSO; e, c.moscem) para o problema multiobjetivo 1.

97 80 Problema Multiobjetivo 2 Dentre as 10 (dez) aplicações realizadas para a minimização do problema multiobjetivo 2 observou-se uma considerável superioridade da frente encontrada pelo algoritmo MOPSO com relação ás frentes dos algoritmos MOHBMO e MOSCEM. Tal fato pode ser justificado pela singularidade do processo evolutivo do algoritmo MOPSO. Durante a busca realizada pelo algoritmo MOPSO, o ótimo global de uma dada partícula é determinado aleatoriamente dentre partículas da frente, caso a partícula pertença à frente este aleatório é obtido entre todas as partículas da frente, caso contrário, o global é selecionado dentre as partículas que a dominam. Desta forma, associado ao formato da superfície da Função 3, que permite que uma partícula que se encontra dentro da singularidade tenha um número grande de partículas dominadas, um grande número de partículas são atraídas para a região onde se localiza a verdadeira frente de Pareto. A Figura 4.45 apresenta um dos resultados obtidos entre as 10 (dez) aplicações realizadas.

98 81 (a) (b) (c) FIGURA 4.45 Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b. MOPSO; e, c.moscem) para o problema multiobjetivo 2. Problema Multiobjetivo 3 O problema multiobjetivo 3, como dito anteriormente, pode ser considerado um grande desafio para a busca de ótimos em fronteiras, visto que seu ótimo está distribuído ao longo da fronteira do espaço de busca. Fato este notado claramente quando se visualiza um dos resultados obtidos da aplicação dos algoritmos. A Figura 4.46 apresenta um dos resultados obtidos pela aplicação dos algoritmos à minimização do problema citado. Esta configuração fora observada em todas as aplicações realizadas. Tal fato se justifica pela capacidade de busca em fronteiras do algoritmo MOHBMO frente aos algoritmos MOPSO e MOSCEM. No processo evolutivo do algoritmo MOHBMO a geração de zangões na fronteira do espaço de busca possibilita o avanço das rainhas neste sentido. Desta forma o MOHBMO se mostra mais eficaz que o MOPSO e o MOSCEM na busca de extremos.

99 82 (a) (b) (c) FIGURA 4.46 Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b. MOPSO; e, c.moscem) para o problema multiobjetivo 3. Problema Multiobjetivo 4 A Figura 4.47 apresenta um resultado da aplicação dos algoritmos MOHBMO, MOPSO e MOSCEM à minimização do problema multiobjetivo 4. Observou-se, dentre as 10 (dez) aplicações realizadas, uma ligeira superioridade do algoritmo MOHBMO em relação aos demais, no que diz respeito ao preenchimento da frente e proximidade da frente verdadeira. Os algoritmos MOPSO e MOSCEM se mostraram eficazes na representação de parte da frente verdadeira de Pareto, mas apresentaram falhas em outras. Uma justificativa para a falha da busca do algoritmo MOPSO é justamente a atração das partículas em direção aos atuais globais destas, que provoca uma menor quantidade de partículas na busca de algumas regiões.

100 83 (a) (b) (c) FIGURA 4.47 Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b. MOPSO; e, c.moscem) para o problema multiobjetivo 4. Problema Multiobjetivo 5 A Figura 4.48 apresenta um dos resultados obtidos da minimização do problema multiobjetivo 5. Observa-se que todos os algoritmos tiveram dificuldade em encontrar a parte inferior da frente verdadeira de Pareto. Fato justificado pela reduzida região do espaço de busca que este se encontra. Distingue-se também uma superioridade na representação da parte superior da frente pelo algoritmo MOHBMO frente aos demais algoritmos, em termos de preenchimento e proximidade da frente verdadeira. Dentre os três algoritmos, o MOSCEM apresentou os piores resultados para o problema em questão.

101 84 (a) (b) (c) FIGURA 4.48 Frentes de Pareto verdadeiras e obtidas pelos algoritmos: a. MOHBMO; b. MOPSO; e c.moscem) para o problema multiobjetivo Conclusões Para efeito comparativo dos algoritmos faz-se necessária a aplicação dos mesmos a problemas bem definidos e com conhecimento sobre a resolução dos mesmos. Assim a minimização de problemas matemáticos, tanto uniobjetivo como multiobjetivo, é fundamental para tal propósito. Aqui foram realizados testes com base em funções matemáticas obtidas de literatura especializa, como exposto no início deste capítulo. Quanto à minimização uniobjetivo, apenas os algoritmos HBMO e PSO foram utilizados. A não utilização do algoritmo SCEM-UA é devido à própria natureza do mesmo não utilizar o conceito de função objetivo. Os resultados demonstraram que dependendo das características das funções a serem otimizadas (presença de viés, descontinuidade, múltiplos ótimos, etc) os algoritmos analisados (HBMO e PSO) alternam em melhor performance, apresentando de modo geral resultados bem similares.

102 85 Pela análise de características dos problemas ora minimizados, observa-se a superioridade do algoritmo PSO para a minimização ou maximização de funções com singularidades. Já o algoritmo HBMO é indicado para casos de funções com tendenciosidade e ótimos em extremos do espaço de busca. Quanto à minimização multiobjetivo, utilizaram-se 5 (cinco) problemas compostos por funções matemáticas obtidos da literatura e foram apresentados no Capítulo 4. Os algoritmos MOHBMO, MOPSO e MOSCEM foram analisados exaustivamente para os referidos problemas. De modo geral o MOHBMO apresentou resultados superiores ao MOPSO e ao MOSCEM no caso de frentes fracionadas, localizadas em extremos do espaço de busca e problemas compostos por funções com tendenciosidade. A análise levou em conta o número de elementos obtidos na frente e a proximidade da frente obtida com a verdadeira frente de Pareto. Pela análise das características dos problemas otimizados, nota-se a superioridade do algoritmo MOHBMO para minimização e/ou maximização de problemas com ótimos localizados em extremos do espaço bem como frentes fracionadas. Já o algoritmo MOPSO mostra-se superior para a solução de problemas compostos por funções com singularidades. O algoritmo MOSCEM é indicado para casos com frentes fracionadas e quando se deseja obter informações acerca da incerteza das variáveis de decisão.

103 86 5. CALIBRAÇÃO DE MODELOS HIDROLÓGICOS Como já mencionado anteriormente, muitas vezes os parâmetros que representam características das bacias não podem ser determinados diretamente, seja pela impossibilidade de mensuração em campo, seja por suas características abstratas. Assim, os mesmos devem ser estimados indiretamente. Os processos de calibração de modelos consistem de técnicas de estimação indireta, na qual a utilização de dados de entrada e saída do sistema permite a identificação do modelo, ou, em outras palavras, a identificação dos parâmetros do modelo sob análise. Dentre os métodos de calibração, o mais simplista, do ponto de vista metodológico, é conhecido como método de tentativa e erro, que é bastante trabalhoso e requer muito tempo. Não é tão recente o uso de algoritmos de otimização para calibração automática de modelos hidrológicos, mas o uso de algoritmos de otimização evolucionários para este propósito já é bem mais recente e tema corrente de pesquisa. O presente trabalho avalia a utilização de algoritmos de otimização evolucionários para a calibração de modelos hidrológicos. Este capítulo apresenta primeiramente uma descrição detalhada dos modelos hidrológicos utilizados (SMAP diário, HYMOD diário) para avaliação da performance dos algoritmos de referência (PSO, MOPSO, SCEM, MOSCEM) e do algoritmo de otimização implementado nas suas versões uni- (HBMO) e multiobjetivo (MOHBMO). A versão multiobjetivo MOHBMO é uma proposição deste trabalho. Em seguida são apresentadas as funções objetivo utilizadas como medida de proximidade entre os hidrogramas observados e gerados pelos modelos hidrológicos, suas características e peculiaridades, bem como a justificativa da sua escolha. É apresentado, então, o estudo de caso que serviu de apoio para a avaliação dos algoritmos aplicados à calibração dos modelos hidrológicos citados. Por último são mostrados os resultados obtidos na calibração dos referidos modelos sob o enfoque comparativo dos algoritmos (MO)HBMO com aqueles utilizados como referência.

104 Modelos hidrológicos A modelagem de processos físicos vem sendo usada há bastante tempo como ferramenta para buscar entender o comportamento de fenômenos naturais. Uma classe desses modelos, bastante utilizada e relativamente simples, são os modelos chuva-vazão. Os modelos utilizados nesse trabalho são classificados como conceituais por representarem processos físicos e concentrados por considerarem a bacia homogênea do ponto de vista de suas características médias. Um modelo hidrológico chuva-vazão pode ser representado segundo a seguinte expressão: Q = M ( θ, I) (5.1) em que Q é a vazão da bacia, θ o conjunto de parâmetros, I as séries de entrada do modelo e M a estrutura do modelo, na qual estão inclusas todas as funções associadas. Desta forma, de posse dos dados de entrada e saída do modelo, buscamos ajustar o conjunto de parâmetros que minimizem a diferença entre os hidrogramas observados e simulados. No presente trabalho foram utilizados dois modelos hidrológicos concentrados a nível diário, bastante conhecidos e utilizados na área acadêmica, são eles: SMAP diário e HYMOD diário SMAP (Soil Moisture Accounting Procedure) diário O modelo hidrológico chuva-vazão SMAP (Soil Moisture Accounting Procedure) para o intervalo de simulação diária foi desenvolvido por Lopes et al. (1981) e tem sua estrutura relativamente simples. O modelo consiste de seis parâmetros, os quais possuem uma interpretação física, possibilitando assim uma possível determinação a partir de informações físicas/ambientais. São eles: 1. Capacidade de saturação do solo (SAT), em mm; 2. Parâmetro de recarga subterrânea (CREC), em %; 3. Abstração inicial (AI), em mm; 4. Capacidade de campo (CAPC), em %; 5. Constante de recessão do escoamento superficial (K2t), em dias; 6. Constante de recessão do escoamento básico (Kkt), em dias.

105 88 O presente modelo tem sua concepção baseada no balanço de umidade do solo, no qual três reservatórios lineares fictícios representam a superfície, o solo e o aqüífero, como ilustra a Figura 5.1. FIGURA 5.1 Representação do modelo SMAP Após um evento chuvoso, a precipitação sobre a bacia segue dois caminhos distintos, parte é transferida para o reservatório da superfície através do escoamento superficial e parte vai para o reservatório do solo através da infiltração. O escoamento superficial é dado segundo a equação do Soil Conservation Service (SCS): 2 ES = ( P AI) /( P AI + S) (5.2) em que ES representa o escoamento superficial, P é a precipitação sobre a bacia, AI refere-se à abstração inicial, a qual representa todas as perdas ocorridas antes do início do escoamento superficial, e S representa a abstração potencial, ou seja, a quantidade máxima que pode ser armazenada no solo e na superfície. A abstração potencial (S) é dada pela seguinte equação: S = SAT RSOLO (5.3) em que SAT representa a capacidade do solo, dada em mm, e RSOLO é a umidade do solo em mm.

106 89 O reservatório da superfície tem seu nível representado por RES e sofre decremento segundo uma taxa constante K2, resultando o escoamento direto (ED), como mostra: ED = RES ( 1 K 2) (5.4) com ( 1/ K 2t ) K 2 = 0,5 (5.5) e K2t sendo o parâmetro que representa a constante de recessão do escoamento superficial, em dias. Da fração restante da precipitação (P-ES) é retirada a evaporação potencial (EP), e o restante é adicionado ao reservatório do solo que tem seu nível (RSOLO) decrementado devido a perdas por evapotranspiração real (ER), segundo a expressão: ER = EP TU (5.6) na qual TU é a umidade do solo dada por TU = RSOLO / SAT. Outra saída desse reservatório é dada pela transferência para o reservatório subterrâneo, ou seja, a recarga (REC), que ocorre quando RSOLO é maior que a quantidade retida por capilaridade (CAPC x SAT), segundo a expressão: [ RSOLO CAPC SAT ] TU CREC REC = ( ) (5.7) sendo CREC o coeficiente de recarga. O reservatório subterrâneo tem seu nível (RSUB) incrementado pela transferência oriunda do reservatório do solo e decrementado pelo escoamento básico, ou escoamento subterrâneo a uma taxa constante K1, dado por: EB = RSUB ( 1 K1) (5.8) com ( 1/ Kkt ) K1 = 0,5 (5.9) e Kkt é o parâmetro que representa a constante de recessão do escoamento básico, em dias. Finalmente, a vazão gerada pelo modelo é a soma das vazões direta e básica, como mostra: Q = ( EB + ED) ÁREA/ 86,4 (5.10) na qual Q é a vazão em m³/s e ÁREA representa a área da bacia em km².

107 HYMOD (Hydrological Model) diário O modelo hidrológico chuva-vazão HYMOD para o intervalo de simulação diária, na versão utilizada no presente trabalho, foi baseado em Moore (1985) e consiste de um modelo relativamente simples, que utiliza as distribuições de probabilidade da variação espacial dos parâmetros, com base em características do processo de geração de vazão em pontos dentro da bacia, para derivar equações algébricas para a integração da vazão (Bos & Vreng, 2006). A idéia por trás do modelo é que a bacia consiste de um conjunto de pontos discretos sem interações entre os mesmos, em que cada ponto possui uma capacidade de armazenamento de água, que quando excedida gera escoamento. Uma ilustração dessa representação pode ser vista na Figura 5.2. FIGURA 5.2 Representação da bacia no modelo HYMOD (adaptado de Bos & Vreng, 2006). A função de distribuição das capacidades dos diferentes pontos da bacia é definida pela expressão: C F( C) = 1 1 C (5.11) max em que F representa probabilidade acumulada de uma certa capacidade de água armazenada em um dado ponto, Beta C max é a maior capacidade de armazenamento dentro da bacia e Beta é o grau de variabilidade na capacidade de armazenamento. Após um evento chuvoso, uma quantidade P de precipitação incidiu sobre a bacia. Essa quantidade de água segue dois caminhos distintos, parte vai para o armazenamento e a outra para o escoamento. A Figura 5.3 mostra a representação do modelo HYMOD.

108 91 FIGURA 5.3 Representação do modelo HYMOD (adaptado de Bos & Vreng, 2006) A fração que excede C max não infiltra e segue diretamente para três tanques denominados de tanques de fluxo rápido, em que a transferência entre os mesmos é ditada por uma constante RQ. A outra parcela da precipitação que excede a capacidade dos pontos em que a capacidade é menor que C max segue parte para os tanques de fluxo rápido e parte para outro tanque, denominado tanque de fluxo lento, segundo um fator Alfa. A vazão total gerada é a soma das vazões do terceiro tanque da série de tanques de fluxo rápido e do tanque de fluxo lento. Finalmente, sobre a água que fica armazenada na bacia retira-se a evaporação. Se a quantidade de água disponível em armazenamento é maior que a evaporação potencial então a evaporação real é igual à evaporação potencial, caso contrário, toda a água disponível evapora. O presente modelo possui cinco parâmetros, são eles: 1. A capacidade máxima de armazenamento da bacia ( C max ); 2. O grau de variabilidade especial da capacidade de umidade do solo (Beta); 3. O fator de distribuição do fluxo entre as duas séries de reservatórios (Alfa); 4. O tempo de residência dos reservatórios lineares rápidos (RQ); 5. O tempo de residência do reservatório linear lento (RS) Funções Objetivo Durante o processo de calibração faz-se necessária a utilização de alguma medida que possa dar uma idéia de quão bom é a representação do modelo para um determinado conjunto de parâmetros. Um indicador dessa representatividade pode ser uma medida da proximidade entre as vazões simuladas e as vazões observadas na natureza. Uma forma de avaliar a proximidade entre séries é a utilização de funções objetivo que buscam avaliar numericamente as características especificas dos hidrogramas observados e

109 92 gerados pelos modelos hidrológicos, como por exemplo, os picos, as recessões, as vazões mínimas, entre outras. Contudo, diversos estudos têm mostrado que as escolhas da função objetivo influem diretamente no comportamento do hidrograma simulado. Baseado nisto, a escolha de qual função utilizar deve levar em conta o tipo de uso futuro do modelo. E como possivelmente mais que um objetivo será almejado, uma abordagem multiobjetivo é necessária para a solução do problema. Dentre os tipos de funções objetivo frequentemente utilizados na literatura, as que se baseiam na minimização da soma dos erros quadráticos tem maior destaque e, por essa razão, serão abordadas no presente trabalho através da função proposta por Nash & Sutcliffe (1970) utilizadas por Nascimento et al. (2006). Esta função é o somatório dos erros quadráticos padronizada pela variância da série observada. Seu valor numérico representa a fração da variância da série observada explicada pelo modelo em termos de magnitude relativa da variância dos resíduos dos fluxos (Yapo et al., 1996). O valor 1,0 representa a solução ótima. A seguir são apresentadas as funções objetivo utilizadas no presente trabalho. A primeira função objetivo utilizada faz o cálculo da eficiência proposta por Nash & Sutcliffe (1970) com base nas séries de vazões observadas e simuladas, definida segundo a seguinte equação: fo = max θ 1 1 N i= 1 N obs sim ( Q Q( θ ) ) i= 1 i obs 2 ( ) obs Qi Q em que θ representa o conjunto de parâmetros calibráveis do modelo, observadas, sim Q i i 2 (5.12) obs Q i, a série de vazões, a série de vazões simuladas, N, o comprimento das séries eq médio da série de vazões observadas. obs, o valor A outra função objetivo utilizada procura minimizar as distâncias entre as vazões de pico da série observada e valores obtidos da simulação. É dada pela aplicação das séries de vazões de pico e vazões simuladas para o mesmo intervalo de tempo à função de eficiência de Nash & Sutcliffe (1970), como mostra:

110 93 fo = max θ 1 1 N i= 1 N obs sim ( Qp Qp( θ ) ) i= 1 i ( ) obs obs 2 Qp Qp i i 2 (5.13) em que obs Qp i e o comprimento das séries, sim Qp (θ ) i são as vazões de pico observadas e simuladas, respectivamente, N, Qp obs i, a média das vazões de pico observadas. Definiram-se como pico aqueles valores nos quais as vazões dos dias anterior e posterior fossem menor que este Estudo de caso Para a avaliação dos algoritmos referidos anteriormente (PSO, MOPSO, SCEM, MOSCEM, HBMO, MOHBMO), eles foram aplicados à calibração dos modelos hidrológicos citados (SMAP diário, HYMOD diário). Foram selecionadas 15 bacias de contribuição de postos fluviométricos no Estado de Ceará, postos estes utilizados nos Plano Estadual de Recursos Hídricos (PERH, 1992), Plano de Gerenciamento das Águas da Bacia do Rio Jaguaribe (COGERH, 2000a) e Plano de Gerenciamento das Águas das Bacias Metropolitanas (COGERH, 2000b). A Tabela 5.1 apresenta os postos fluviométricos utilizados e o período disponível de dados. Como critério para determinação de quais postos e quais períodos utilizar, selecionaram-se aqueles que não apresentavam qualquer influência de grandes barramentos a montante para o período selecionado.

111 94 TABELA Postos fluviométricos utilizados. Área da ID Código Nome Rio/Riacho Município Latitude Longitude Bacia (Km 2 ) Ano inicial / Ano final F.B Esperança Poti Castelo Piauí -5:13:23-41:44: , Faz.Cajazeiras Acaraú Hidrolândia -4:22:43-40:32: , Sítios Novos São Gonçalo S.G.Amarante -3:44:59-38:57:18 453, Baú Baú Pacatuba -4:07:00-38:40:00 244, Chorozinho Choró Chorozinho -4:18:00-38:29: , Cristais Pirangi Cascavel -4:29:59-38:21: , Malhada Conceição Saboeiro -6:38:44-39:57: , S.Poço Dantas Bastiões Cariús -6:33:30-39:30: , Iguatú Jaguaribe Iguatú -6:22:22-39:17: , Sítio Lapinha Salgado Missão Velha -7:12:43-39:07: , Podimirim Porcos Milagres -7:17:59-38:59: , L. Mangabeira Salgado L. Mangabeira -6:45:00-38:58: , Icó Salgado Icó -6:24:23-38:52: , Sen. Pompeu Banabuiú Sen. Pompeu -5:35:42-39:22: , Quixeramobim Quixeramobim Quixeramobim -5:12:04-39:17: , Impacto da disponibilidade dos dados na modelagem hidrológica A obtenção de bons resultados na calibração de modelos hidrológicos depende, dentre muitas variáveis, da boa representatividade dos dados de entrada do modelo, como: precipitação, evaporação e vazões observadas. Com o intuito de compreender qual a influência das séries históricas na calibração de modelos chuva-vazão procedeu-se uma análise do impacto das mesmas no que diz respeito a: comprimento da série utilizada, série composta pelos anos mais úmidos, comportamento dos parâmetros do modelo, análise de resíduos das séries de vazões observadas e calculadas e da estacionariedade dos parâmetros das soluções ótimas. Para a referida avaliação utilizaram-se 5 (cinco) postos fluviométricos dentre os 15 (quinze) disponíveis anteriormente citados e o modelo chuva-vazão HYMOD. A seleção destes levou em consideração os que apresentavam mais de 20 (vinte) anos de dados. A Tabela 5.2 mostra a lista dos postos utilizados.

112 95 TABELA Postos fluviométricos utilizados para análise dos dados. ID Código Nome Rio / Riacho Município Ano inicial / Ano final F. B Esperança Poti Castelo Piauí Faz. Cajazeiras Acaraú Hidrolândia S.Poço Dantas Bastiões Cariús Podimirim Porcos Milagres L. Mangabeira Salgado L. Mangabeira Comprimento da série A avaliação aqui realizada diz respeito ao comprimento das séries e seus impactos na calibração. Para tal procedeu-se a calibração do modelo chuva-vazão HYMOD utilizando o algoritmo de otimização MOHBMO e funções objetivo Nash-Sutcliffe das vazões e Nash- Sutcliffe para as vazões de pico. Utilizaram-se séries de comprimento 1, 4, 8 e 12 anos consecutivos em todas suas janelas temporais móveis nos postos utilizados. Por exemplo, para o posto realizaram-se 32, 29, 25 e 21 calibrações para as janelas móveis de 1, 4, 8 e 12 anos, respectivamente. Com relação ao algoritmo MOHBMO, utilizaram-se os parâmetros como segue: 1. Tamanho da população inicial = 100; 2. Número de vôos de acasalamento = 100; 3. Número de rainhas = 20; 4. Número de zangões = 1; 5. Fator de aleatoriedade mínimo do zangão = 10%; e 6. Número de descendentes por rainha = 4. Os demais parâmetros foram utilizados como exposto no capítulo 4, na seção de análise de sensibilidade dos parâmetros do HBMO. Como forma de avaliar a capacidade de representatividade das soluções obtidas na calibração procedeu-se uma verificação para a fração restante das séries para cada período de determinada janela de calibração. Como resultado obteve-se para cada período de calibração: um valor para a função objetivo Nash-Sutcliffe, um valor para a função objetivo Nash- Sutcliffe dos picos e, associados a estes, valores da função referente à verificação do restante da série. De posse dos valores das funções objetivo construiu-se para cada janela temporal, funções de distribuição acumulada (cdf). A Figura 5.4 e 5.5 apresenta as curvas de cdf para calibração e verificação do posto A cdf indica a chance de obtenção de obter valor

113 96 menor que determinado valor se um dado comprimento de dados é selecionado aleatoriamente e usado para calibração (Yapo et al., 1996). Considerando que se deseja obter a partir da análise de comprimento de séries, aquele valor que seja insensível ao período selecionado, ou seja, que represente da melhor forma possível o comportamento dos fenômenos ocorridos na bacia, busca-se identificar aquela janela temporal cuja cdf apresenta as seguintes características (Yapo et al., 1996): 1. Verticalidade que representa a insensibilidade com relação à posição da janela dentro da série histórica e, consequentemente, possibilita a escolha aleatória de qualquer janela independente de sua posição; 2. Deslocamento à direita, quanto mais deslocado à direita melhor são os resultados obtidos. Baseado nos conceitos expostos acima, pode-se observar nas Figuras 5.4 e 5.5 que o aumento do comprimento dos dados apresentou uma maior verticalidade da cdf, assim como seu deslocamento para a direita. Dessa forma podemos concluir que, para o referido posto , a utilização de séries com comprimento maior possui em média uma maior chance de apresentar bons resultados. Também se pode notar que comprimentos de 8 e 12 anos apresentaram resultados visualmente muito parecidos, sendo assim, a utilização de comprimento de 8 anos é justificada pelo não acréscimo significativo de melhora nos resultados. Dos 5 (cinco) postos utilizados também apresentaram resultados parecidos com o posto os seguintes postos: e , sendo que este último apresentou melhores resultados para a janela de 12 anos.

114 97 (a) Calibração Nash-Sutcliffe (b) Verificação Nash-Sutcliffe FIGURA 5.4 Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do posto Função objetivo Nash-Sutcliffe das vazões.

115 98 (a) Calibração Nash-Sutcliffe p/ Picos (b) Verificação Nash-Sutcliffe p/ Picos FIGURA 5.5 Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do posto Função objetivo Nash-Sutcliffe dos picos de vazões.

116 99 Dos outros dois postos, e , não se pode identificar visualmente um comprimento ideal dados para calibração. Pode-se salientar a janela de 12 anos do posto que se mostrou bem deslocada à direita e com uma boa verticalidade para a calibração em ambas as funções objetivo, mas não apresentou resultado satisfatório na verificação. As Figuras 5.6 e 5.7 apresentam as curvas de cdf para calibração e verificação do posto Observa-se nas Figuras 5.6 e 5.7 uma ligeira tendência para o deslocamento à direita com o aumento do comprimento dos dados na calibração, não ocorrendo o mesmo na verificação, o que gera a impossibilidade de seleção de qual o melhor comprimento a ser utilizado. Série composta dos anos mais úmidos Segundo Yapo et al. (1996), séries compostas por períodos mais úmidos reduzem a incerteza da estimativa dos parâmetros. Uma outra justificativa para a utilização de uma série composta de anos úmidos é que pelo lado conceitual existe uma garantia que neste período todos os processos físicos de troca de água estão ocorrendo na bacia, o que do ponto de vista de modelagem é vantajoso. Buscando avaliar se uma série composta apenas de períodos úmidos resultaria em uma melhora nos valores das funções objetivo da calibração e verificação, procedeu-se com a devida análise. Para tanto, utilizaram-se janelas de 4, 8 e 12 anos mais úmidos para compor uma série de dados. Procedeu-se então a calibração do modelo HYMOD, com a utilização do algoritmo MOHBMO, com os parâmetros ajustados da mesma forma já mostrada na análise de janelas. De forma a garantir que a busca se realizaria sob as mesmas condições, utilizaramse as mesmas populações iniciais utilizadas na análise de janelas e o mesmo gerador aleatório. Como resultado obteve-se um valor de função objetivo na calibração e um valor de função objetivo para a verificação para cada um dos comprimentos e para cada função objetivo em questão (Nash-Sutcliffe para as vazões e Nash-Sutcliffe para os picos de vazão). De posse dos resultados procedeu-se a comparação com os valores obtidos da análise de janelas. A Figura 5.8 apresenta os valores de calibração e verificação das janelas e da série composta pelos 8 anos mais úmidos do posto para ambas as funções objetivo. Os

117 100 resultados para a série composta pelos 8 anos mais úmidos são representados nesta figura por um círculo preenchido preto, enquanto os resultados das janelas temporais estão em cinza. (a) Calibração Nash-Sutcliffe (b) Verificação Nash-Sutcliffe FIGURA 5.6 Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do posto Função objetivo Nash-Sutcliffe das vazões.

118 101 (a) Calibração Nash-Sutcliffe p/ Picos (b) Verificação Nash-Sutcliffe p/ Picos FIGURA 5.7 Função de distribuição acumulada para a calibração (a) e verificação (b) do posto Função objetivo Nash-Sutcliffe dos picos de vazões.

119 102 (a) Nash-Sutcliffe (b) Nash-Sutcliffe p/ Picos FIGURA 5.8 Comparação entre calibração utilizando janelas consecutivas de 8 anos e série composta de 8 anos úmidos, posto

120 103 Da Figura 5.8 podemos observar que os valores de calibração e verificação para a série de anos úmidos mostram-se como intermediários aos valores obtidos na análise de janelas. Situações similares foram observadas para os demais postos e para os demais comprimentos. A partir das informações cruzadas entre valores de calibração e verificação para os diferentes comprimentos das séries observa-se uma tendência ao maior adensamento dos pontos à medida que o comprimento da janela é aumentado, fato que comprova o crescimento da independência dos resultados à posição da janela em relação à série total. Comportamento paramétrico Buscando verificar a existência de insensibilidade dos parâmetros das soluções ótimas obtidas nas análises de comprimento da série, montaram-se curvas de função de distribuição acumulada para cada um dos parâmetros. A análise das cdf para os parâmetros tem como objetivo a identificação de comprimentos que se mostrem o mais vertical possível, consequentemente, com reduzido intervalo de variação. A Figura 5.9 apresenta a função de distribuição acumulada dos parâmetros das soluções ótimas para os diferentes comprimentos e melhores valores das duas funções objetivos. Observou-se dentre a análise das cdf para os postos a existência de casos em que o aumento do comprimento acompanhava o acréscimo da verticalidade da curva. Porém, não foi possível observar um comprimento no qual todos os parâmetros apresentavam tais características. Verificou-se uma relação entre o parâmetro Cmax e Beta, contudo não se pode atribuir uma formulação que exclua utilização de um destes no processo de calibração.

121 (a) (b) FIGURA 5.9 Função de distribuição acumulada (cdf) para os parâmetros das soluções ótimas da análise de janelas do posto , (a) Nash-Sutcliffe das vazões e (b) Nash-Sutcliffe dos picos de vazão. 104

122 105 Análise de resíduos das séries de vazões observada e calculada Uma forma de avaliar a resposta da calibração evidenciando a influência da função objetivo utilizada é a análise dos erros em função da vazão observada. Os resíduos são obtidos pela seguinte expressão: em que e = Q sim Q obs (5.14) Q obs representa a série de vazões observadas e Q sim a série de vazões simuladas. A Figura 5.10 mostra os resíduos obtidos para as soluções ótimas das 10 janelas mais úmidas de comprimento 8 anos do posto Fica evidente a melhora na estimativa das maiores vazões quando se utiliza a função Nash-Sutcliffe para os picos de vazão. Em contrapartida, tem-se uma perda na estimativa de vazões menores. No caso da função Nash- Sutcliffe das vazões como um todo, ocorre o inverso. A faixa delimitada pelas linhas pontilhadas representa erros abaixo de 50%, enquanto a linha contínua representa erros inferiores a 30%. A Figura 5.11 mostra as vazões observadas contra as vazões simuladas para as soluções ótimas das janelas de comprimento 8 anos do posto A linha cinza representa os pontos de vazões observadas iguais a vazões simuladas. Estacionariedade dos parâmetros das soluções ótimas A análise de estacionariedade dos parâmetros das soluções ótimas para as janelas móveis busca identificar a possível relação entre os valores paramétricos e os períodos da série de dados. A Figura 5.12 apresenta o valor do parâmetro da solução ótima obtida para os comprimentos 8 e 12 anos, associando este ao ano inicial da série, para a função Nash- Sutcliffe das vazões. Da Figura 5.12 observa-se a tendência do parâmetro Alfa ao valor 1, e consequentemente uma alta variabilidade do parâmetro RS, justificada pela insignificância do reservatório lento na composição da vazão. Nota-se também a existência de uma relação parcial entre os parâmetros Cmax e Beta.

123 106 Verifica-se um pequeno decaimento do valor do parâmetro RQ ao se mover a janela, possivelmente devido a amortecimentos na vazão da bacia, podendo, entre outros fatores ser causado pela influência da pequena açudagem.

124 107 (a) Nash-Sutcliffe (b) Nash-Sutcliffe p/ os picos FIGURA 5.10 Resíduos para as soluções ótimas das 10 janelas mais úmidas de comprimento 8 anos do posto

125 FIGURA 5.11 Vazões observadas versus vazões simuladas (Função Nash-Sutcliffe) para o posto , janela de 8 anos. 108

126 FIGURA 5.11 (Cont.) - Vazões observadas versus vazões simuladas (Função Nash-Sutcliffe dos picos) para o posto , janela de 8 anos. 109

127 FIGURA 5.12 Estacionariedade dos parâmetros das soluções ótimas (Função Nash-Sutcliffe das vazões) para o posto , janelas de 8 e 12 anos. 110

128 FIGURA 5.12 (Cont.) - Estacionariedade dos parâmetros das soluções ótimas (Função Nash- Sutcliffe das vazões) para o posto , janelas de 8 e 12 anos. 111

129 112 FIGURA 5.12 (Cont.) - Estacionariedade dos parâmetros das soluções ótimas (Função Nash- Sutcliffe das vazões) para o posto , janelas de 8 e 12 anos Maximização uniobjetivo Buscando avaliar o desempenho dos algoritmos HBMO, PSO e SCEM para a calibração de modelos hidrológicos, realizaram-se diversas calibrações para os postos citados anteriormente neste capítulo no item Da mesma forma que a utilizada na comparação dos algoritmos para a minimização das funções teóricas, buscou-se avaliar a velocidade da convergência da função objetivo em função do número de avaliações e do valor final da função. Para aplicação da maximização das funções objetivo na calibração, os parâmetros dos algoritmos foram utilizados como na minimização das funções teóricas. Para o HBMO: 1. Tamanho da população inicial = 100; 2. Número de vôos de acasalamento = 50; 3. Número de rainhas = 20; 4. Número de zangões = 1; 5. Fator de aleatoriedade mínimo do zangão = 10%; e, 6. Número de descendentes por rainha = 4. Os demais parâmetros foram também utilizados como exposto na análise de sensibilidade dos parâmetros do HBMO.

130 113 Para o algoritmo PSO foram utilizados os seguintes parâmetros: 1. Tamanho da população = 100; 2. Número de iterações = 50; 3. Velocidade máxima da partícula = 0,1. Os demais parâmetros do algoritmo foram utilizados como sugeridos por Nascimento et al. (2006 e 2007). Para o algoritmo SCEM, os parâmetros utilizados foram: 1. Tamanho da população = 100; 2. Número de complexos = 2. Os demais parâmetros se relacionam com estes como exposto na descrição do algoritmo no Capitulo 4. Com relação ao período a ser utilizado na calibração, baseados nos resultados obtidos das análises das séries anteriormente realizadas, fez-se a utilização dos últimos 8 (oito) anos das séries para os postos com mais que 16 anos de dados. Para os demais casos, utilizou-se o período mais recente da série com comprimento igual à metade da disponibilidade de dados. A validação para ambos os casos, postos com mais que 16 anos e postos com menos de 16 anos, foi realizada para o restante da série, removendo-se o período de calibração. Com relação a quais parâmetros utilizar para a calibração dos modelos, para o SMAP optou-se pela calibração de apenas 3 (três) dos 6 (seis) parâmetros, são eles: SAT, K2t e AI. A não inclusão na calibração dos parâmetros KKt, CREC e CAPC é justificada por estes estarem relacionados ao escoamento subterrâneo, o qual não é observado nos hidrogramas das estações em estudo. A escolha dos parâmetros calibráveis do modelo HYMOD foi realizada com base na análise no item deste capitulo e na natureza física que os mesmos representam. Pela observação dos resultados do comportamento paramétrico e estacionariedade dos parâmetros das soluções ótimas, nota-se a tendência do parâmetro Alfa ao valor 1, o que representa a inexistência de escoamento na série de tanques lentos, fato consistente com o que foi adotado para o SMAP. O escoamento gerado pela série de tanques de fluxo lento representa o escoamento subterrâneo. O valor unitário de Alfa representa então a inexistência de escoamento subterrâneo. Consequentemente, o parâmetro RS perde a sensibilidade, visto sua não contribuição para a composição da vazão total. Baseado nisso, optou-se pela calibração de apenas 3 (três) dos 5 (cinco) parâmetros do modelo HYMOD, são eles: Cmax, Beta e RQ.

131 114 Foram então realizadas 10 (dez) avaliações, partindo-se de diferentes condições iniciais e valores de parâmetros dos algoritmos conforme acima mencionado. Para cada avaliação de cada estação foram analisados os gráficos de convergência do valor da função objetivo a cada iteração. As Tabelas 5.3 e 5.4 apresentam um resumo dos valores obtidos para calibração e validação dos postos em estudo para ambos os modelos HYMOD e SMAP. Convergência Na grande maioria dos casos o algoritmo SCEM mostrou convergência superior ao HBMO e ao PSO. As convergências do HBMO e do PSO apresentaram-se muito parecidas, alternando em superioridade, sendo que em alguns casos o HBMO mostrou leve superioridade, até mesmo que o SCEM. Existiram situações nas quais o algoritmo PSO também apresentou convergência superior ao SCEM e ao HBMO. Valor ótimo obtido Com relação à capacidade de maximização da função objetivo, todos os algoritmos apresentaram em média resultados bastante semelhantes, como se pode visualizar nas Tabelas 5.3 e 5.4. Diferenças só são observadas a partir da terceira casa decimal, não sendo de precisão suficiente para atribuir superioridade àqueles que obtiveram os melhores resultados.

132 115 TABELA 5.3 Quadro resumo da calibração uniobjetivo e validação do modelo HYMOD (função f01). Calibração Validação ID Código Período HBMO PSO SCEM HBMO PSO SCEM Período Média D. Pad. Média D. Pad. Média D. Pad. Média D. Pad. Média D. Pad. Média D. Pad

133 116 TABELA 5.4 Quadro resumo da calibração uniobjetivo e validação do modelo SMAP (função f01). Calibração Validação ID Código Período HBMO PSO SCEM HBMO PSO SCEM Período Média D. Pad. Média D. Pad. Média D. Pad. Média D. Pad. Média D. Pad. Média D. Pad

134 117 Pode-se observar das Tabelas 5.3 e 5.4 um melhor ajuste do modelo HYMOD frente ao modelo SMAP, como mostra o valor da função objetivo. Na calibração, 9 (nove) dos 15 postos apresentaram valores para a função objetivo maior para o modelo HYMOD do que para o modelo SMAP. Os demais postos apresentaram valores muito próximos, com diferenças inferiores ou próximas de 5% no valor da função objetivo, são eles: , , , , e Na validação, novamente o modelo HYMOD apresentou valores para a função objetivo superiores ao modelo SMAP, com apenas o posto tendo registrado valor próximo, com diferença em torno de 5%. Observa-se nas Tabelas 5.3 e 5.4 que valores para a função objetivo superiores a 0,5 foram registrados em 9 (nove) dos 15 postos para o modelo HYMOD, enquanto que para o modelo SMAP nenhum obteve valor acima de 0,5. Ou seja, o critério de eficiência de Nash-Sutcliffe aplicado à série de vazões diárias ficou abaixo de 0,5. Em alguns casos, ajustes na calibração apresentaram-se muito próximos para ambos os modelos, mas para a validação dos mesmos o modelo SMAP mostrou desempenho bem abaixo do apresentado pelo modelo HYMOD, como é o caso dos postos , , e Observou-se a existência de dois postos, e , que obtiveram resultados para a calibração relativamente bons para os dois modelos, com valores de função objetivo próximos ou superiores a 0,5, porém apresentaram validação muito ruim, com valores de fo1 negativos. Da análise dos hidrogramas de validação observou-se a existência de picos de vazões calculadas quando não havia registro de vazões correspondentes da série observada. Uma análise das séries é recomendada em trabalhos futuros com o intuito de prover uma explicação da causa de tal ocorrência. Um posto em particular merece destaque, o posto Este apresentou bons valores na calibração, porém na validação os valores obtidos foram próximos a zero. Um único caso dentre as 10 tentativas para o HBMO apresentou validação boa, contudo o seu respectivo valor da calibração era o pior dentre os 10. O PSO e o SCEM não apresentaram tal situação. Para o modelo HYMOD, o posto apresentou o melhor ajuste para a calibração. Para o SMAP o melhor resultado foi obtido pelo posto No caso do

135 118 modelo HYMOD, este também foi o posto a apresentar melhor valor de validação, já para o modelo SMAP, a melhor validação foi observada no posto , que apresentou o pior ajuste para a calibração do mesmo modelo. Outros postos também apresentaram para o modelo SMAP resultados para a validação próximos aos obtidos no posto , são eles: , , e Para o modelo HYMOD o posto obteve valores de calibração e validação muito próximos ao do posto Durante o período de desenvolvimento deste estudo, alguns postos fluviométricos foram descartados por ter sido observado comportamento anormal nos dados, como por exemplo: picos muito altos de vazão em dias isolados da série, alternância diária de picos de grande magnitude e registros nulos de vazões, vazões com repetição consecutivas e posteriores mudanças bruscas de seus valores voltando a permanecer constantes, entre outros. Estes e outros fatores, bastante estranhos do ponto de vista comportamental do fenômeno chuva-vazão, levam a questionamentos sobre a confiabilidade dos dados observados. Em virtude disto, preferiu-se excluir do presente estudo postos com as características acima citadas. Os hidrogramas observados e calculados para a calibração e validação do posto são apresentados na Figura 5.13 (modelo HYMOD) e para o posto são apresentados na Figura 5.15 (modelo SMAP). Estes postos apresentaram os piores ajustes para ambos os modelos, como indicado. Observa-se nestas figuras a grande dificuldade dos modelos em responder a grande variabilidade da vazão apresentada. As correspondentes ilustrações para o posto , posto que obteve o melhor resultado na calibração para o HYMOD, e para o posto , melhor resultado na calibração do SMAP, são apresentadas nas Figuras 5.14 e 5.16, respectivamente.

136 119 FIGURA 5.13 Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto para o modelo HYMOD. FIGURA 5.14 Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto para o modelo HYMOD.

137 120 FIGURA 5.15 Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto para o modelo SMAP. FIGURA 5.16 Hidrogramas observados e obtidos pela calibração e validação do posto para o modelo SMAP.

138 Maximização multiobjetivo A calibração utilizando a abordagem multiobjetivo foi realizada pela maximização das funções objetivo fo1 e fo2 aplicadas a séries de vazões observadas e simuladas. Novamente fez-se a utilização dos modelos HYMOD e SMAP, ambos de intervalo diário. Como critério de comparação para avaliar as frentes obtidas pelos algoritmos utilizouse a observação das seguintes características: 1. Uniformidade da distribuição de elementos ao longo da frente: quanto mais uniforme melhor pode ser considerada a frente; 2. Densidade de soluções na frente: quanto mais densa mais representativa é a frente; 3. Cobertura da frente para ambos os objetivos: quanto maior é o intervalo de cobertura de cada uma das funções, maiores são as possibilidades para posterior escolha da solução que se adapte a uma situação em particular; e 4. Capacidade de maximização das funções: quanto maior o valor obtido para os objetivos melhor serão as soluções que a compõem. Para a maximização multiobjetivo da calibração dos modelos hidrológicos foram utilizados os seguintes valores para os parâmetros do algoritmo MOHBMO: 1. Tamanho da população inicial = 100; 2. Número de vôos de acasalamento = 100; 3. Número de rainhas = 20; 4. Número de zangões = 1; 5. Fator de aleatoriedade mínimo do zangão = 10%; e, 6. Número de descendentes por rainha = 4. Os demais parâmetros foram utilizados como na minimização multiobjetivo das funções teóricas. No caso do algoritmo MOPSO foram utilizados os seguintes parâmetros: 1. Tamanho da população = 100; 2. Número de iterações = 100; 3. Velocidade máxima da partícula = 0,1. Os demais parâmetros do algoritmo MOPSO foram utilizados como na minimização multiobjetivo das funções teóricas. Ao contrário do observado na minimização dos problemas multiobjetivo das funções teóricas, o parâmetro de velocidade máxima da partícula do algoritmo MOPSO em 0,5 apresentou resultados inferiores quando utilizado o valor 0,1, por este motivo adotou-se tal valor na calibração dos modelos hidrológicos. No caso do algoritmo MOSCEM foram utilizados os seguintes parâmetros: 1. Tamanho da população = 100; 2. Número de complexos = 2; 3. Número de avaliações das F.O.s = Os demais parâmetros se relacionam com estes como exposto na descrição do algoritmo no Capitulo 4.

139 122 Para as aplicações de calibração multiobjetivo de modelos hidrológicos utilizaram-se as mesmas considerações feitas para a maximização uniobjetivo com relação ao período de calibração, período de validação e escolha de parâmetros calibráveis para ambos os modelos. Foram então realizadas 10 (dez) avaliações partindo de iguais condições iniciais e valores de parâmetros dos algoritmos conforme acima mencionado. Para cada estação foram analisados os critérios de avaliação anteriormente expostos. Uniformidade Todos os algoritmos apresentaram boa uniformidade de soluções ao longo da frente, com pequena tendência a adensamentos na porção central da mesma e falha nos extremos. Densidade Para a calibração do modelo HYMOD, em quase a totalidade dos postos, as frentes identificadas pelo algoritmo MOHBMO apresentaram superioridade em densidade com relação àquelas identificadas pelos algoritmos MOPSO e MOSCEM. As exceções foram os postos , , e , no qual o MOPSO obteve em média uma maior quantidade de elementos na frente. No caso do SMAP, o algoritmo MOPSO apresentou-se de maneira geral superior em densidade frente com relação ao MOHBMO e ao MOSCEM. Somente em alguns postos o MOHBMO conseguiu identificar uma frente com um maior número de soluções, são eles: e A Figura 5.18 apresenta as frentes obtidas pelos algoritmos para o posto utilizando o modelo SMAP em uma das 10 (dez) aplicações realizadas, bem como o conjunto de parâmetros ótimos que compõem estas. Nesta figura pode-se observar um dos casos citados acima, no qual o algoritmo MOHHBMO obteve uma maior densidade de soluções que os demais algoritmos. Cobertura e Maximização das funções A maximização das funções pode-se relacionar diretamente com a cobertura dos objetivos, uma vez que à medida que o valor de uma das funções objetivo aumenta a faixa de cobertura do outro objetivo é ampliada.

140 123 Das avaliações realizadas observou-se a ocorrência de casos onde o algoritmo MOHBMO obteve frentes que conseguiram maximizar a função a valores superiores aos demais algoritmos, são eles: posto para o modelo HYMOD e para o modelo SMAP. Para o posto , utilizando-se o SMAP, tanto o MOHBMO como o MOSCEM apresentaram frentes superiores em maximização com relação ao MOPSO. TABELA 5.5 Número médio de elementos obtido nas frentes. HYMOD SMAP ID Código MOHBMO MOPSO MOSCEM MOHBMO MOPSO MOSCEM As Figuras 5.17, 5.18 e 5.19 apresentam os resultados para os casos citados acima em que o algoritmo MOHBMO apresentou melhor desempenho das frentes obtidas. Estas figuras mostram: (a) o conjunto de parâmetros ótimos e (b) as Frentes de Pareto identificadas pelos algoritmos multiobjetivos utilizando as Funções Objetivo 1 e 2. Observa-se nas figuras em (a) que as partes da frente obtidas pelos algoritmos podem estar localizadas em diferentes regiões do espaço de busca. A capacidade de identificação dessas frentes evidencia a superioridade de busca do algoritmo MOHBMO frente aos demais MOPSO e MOSCEM. De modo geral o MOHBMO e o MOSCEM conseguiram identificar partes das frentes com maior facilidade que o algoritmo MOPSO. Contudo, em tais casos as frentes pelo MOHBMO apresentaram uma melhor densidade de pontos que o MOSCEM, o que não

141 124 invalida a boa capacidade do algoritmo de encontrar as partes encontradas pelo algoritmo MOHBMO. Na Figura 5.17a, nota-se visivelmente a existência de valores de Cmax e Beta referentes às soluções ótimas encontradas pelo algoritmo MOHBMO, que não constam no conjunto de soluções do MOPSO e do MOSCEM. Tais valores representam as soluções que são identificadas apenas na frente obtida pelo MOHBMO (Ver Figura 5.17b). Para calibração do modelo SMAP, duas outras estações apresentaram situações similares à exposta anteriormente, são elas: e Na Figura 5.18a é facilmente identificado a faixa dos parâmetros do SMAP que compõem as soluções da parte superior da frente, identificadas apenas pelo MOHBMO e pelo MOSCEM. Na Figura 5.18b pode-se visualizar as frentes obtidas pelos três algoritmos para a estação Observase que o algoritmo MOPSO não conseguiu identificar nenhum elemento na fração superior da frente, já o MOSCEM conseguiu obter soluções, mas todas são dominadas pelas soluções do algoritmo MOHBMO. Outro exemplo de frente fracionada é apresentado na Figura 5.19, a qual se refere à calibração multiobjetivo do modelo SMAP para a estação Nesta figura nota-se a existência de uma fração superior esquerda, mais evidente para frente dos algoritmos MOHBMO e MOSCEM. O conjunto de parâmetros que representa esta parcela da frente pode ser identificado na figura.

142 125 (a) (b) FIGURA 5.17 Soluções ótimas identificadas pelos Algoritmos MOHBMO, MOSCEM e MOPSO utilizando as FOs 1 e 2 na calibração do modelo HYMOD para a estação : (a) conjunto de parâmetros ótimos; (b) Frentes de Pareto identificadas.

143 126 (a) (b) FIGURA 5.18 Soluções ótimas identificadas pelos Algoritmos MOHBMO, MOSCEM e MOPSO utilizando as FOs 1 e 2 na calibração do modelo SMAP para a estação : (a) conjunto de parâmetros ótimos; (b) Frentes de Pareto identificadas.

144 127 (a) (b) FIGURA 5.19 Soluções ótimas identificadas pelos Algoritmos MOHBMO, MOSCEM e MOPSO utilizando as FOs 1 e 2 na calibração do modelo SMAP para a estação : (a) conjunto de parâmetros ótimos; (b) Frentes de Pareto identificadas.

145 128 As Tabelas 5.6 e 5.7 apresentam um resumo dos valores obtidos para calibração e validação dos postos em estudo para ambos os modelos HYMOD e SMAP. Pode-se observar que ocorre em muitos casos uma pequena variação dos valores da fo1 em relação aqueles encontrados na calibração uniobjetivo para a mesma função, salvo exceção a validação do modelo SMAP para os postos e , e a validação do modelo HYMOD para o posto , em que a variação foi bem maior. O posto não foi citado por apresentar variação em faixas de valores negativos. Para resultados da calibração uniobjetivo ver Tabelas 5.3 e 5.4. Para a composição das Tabelas 5.6 e 5.7 foram utilizadas as médias dos valores máximos observados para ambos os objetivos nas 10 (dez) calibrações realizadas para cada estação e modelo. A variação dos valores das funções na calibração multiobjetivo em relação a uniobjetivo (observada na função fo1) pode ser devido ao número de avaliações das funções objetivo utilizado na calibração multiobjetivo ser o dobro da utilizada na uniobjetivo. Como já mencionado, diferenças maiores só são percebidas nos postos e , e ainda assim, somente nas validações dos modelos. Tal ocorrência justifica-se pela não correspondência entre a melhor solução da calibração e a melhor solução da validação. Desta forma, soluções que são melhores para um dos objetivos na calibração podem vir a apresentar melhores resultados em relação a outro objetivo na validação. Quanto à capacidade de maximização dos algoritmos, não se observam diferenças significativas entre os três algoritmos utilizados, salvo exceção as situações já expostas anteriormente. Nos casos com frentes fracionadas, como já mencionado, o MOHBMO juntamente com o MOSCEM, mostraram-se superiores ao MOPSO, sendo que o MOHBMO apresenta uma pequena vantagem sobre o MOSCEM. As Figuras 5.20 a 5.27 apresentam os hidrogramas observados e calculados associados com as soluções que compõem a frente ótima de Pareto obtida da calibração, bem como os hidrogramas para o período de validação. Para a geração das figuras foram utilizadas as frentes identificadas pelo algoritmo MOHBMO, devido à inexistência de diferenças visíveis entre as frentes dos algoritmos para os casos apresentados. Maiores detalhes sobre as figuras serão tratados a seguir.

146 129 Para obtenção dos hidrogramas da validação utilizaram-se as soluções da frente da calibração, que são apresentados nas referidas figuras. Os valores das funções objetivo calculadas com base nas vazões do período de validação também são apresentadas nas figuras. Nas mesmas figuras são apresentadas as frentes obtidas para a calibração, utilizandose agora, o período anteriormente utilizado na validação: esta frente é mostrada para visualizar-se o que seria o conjunto de soluções que maximiza os objetivos na validação. Para associação entre a frente da calibração e os valores dos objetivos da validação selecionaramse as soluções da calibração que apresentaram melhores valores para ambos os objetivos e os seus correspondentes na validação, nas figuras tais soluções são circuladas e ligadas por linhas pontilhadas. De posse das soluções da frente de Pareto obtidas na calibração calcularam-se os hidrogramas para os períodos definidos de validação (ver Tabela 5.6 ou 5.7). Das séries de vazão obtidas calcularam-se os valores das funções objetivo. As Figuras 5.20 e 5.21 apresentam os resultados para as duas estações que obtiveram os melhores resultados na calibração do modelo HYMOD, a julgar pela média dos valores das funções fo1 e fo2, são elas: e Nota-se para o posto , que ambos os objetivos após a validação tiveram decréscimo do seu valor, mas mantiveram ainda bons resultados. Já o posto teve uma piora bastante significativa no objetivo fo1, enquanto o objetivo fo2 teve um decréscimo, mas manteve ainda um bom resultado. Pela observação do hidrograma do posto é possível notar a extrapolação da vazão observada pela vazão calculada no período de validação. Com relação o posto , os hidrogramas apresentam um bom comportamento tanto na calibração como na validação. Para o posto , os valores das funções objetivo na validação apresentam-se bastantes próximos às respectivas frentes da calibração para o período de validação. Isto comprova uma boa estacionariedade dos parâmetros do modelo. As Figuras 5.22 e 5.23 mostram as piores soluções obtidas para a calibração do modelo HYMOD, segundo o mesmo critério de média dos objetivos, são elas: e Dos hidrogramas se observa a perda dos picos da vazão observada para o posto e extrapolação das vazões na estação Novamente, dos valores das funções para a validação nota-se a existência de soluções que se apresentam dominadas, que no caso de escolha para futuras aplicações, podem vir a

147 130 servir de descarte de soluções da frente da calibração por existirem outras que apresentam melhor resposta na validação para ambos os objetivos. Para a Figura 5.22, com relação aos valores das funções para a validação, observa-se que estes apresentam melhores que os obtidos na calibração. Contudo, ainda um pouco inferior em maximização quando comparada à frente obtida pela calibração do período de validação, mas com boa aproximação desta. Situação análoga pode ser também observada na Figura 5.23, contudo apenas uma pequena parcela das soluções para a validação apresenta-se próxima à frente obtida pela calibração do período de validação. Observa-se na Figura 5.22 que parte das soluções para a validação são dominadas. Dessa forma, a seleção de soluções da frente de Pareto obtida na calibração, com intenção de utilização em futuras aplicações, deve ser realizada somente dentre as soluções que na validação se mostraram não-dominadas, segundo o conceito de Pareto aplicado a estes valores de fo1 e fo2 encontrados. Para o modelo SMAP, as estações e apresentaram os melhores resultados, com base na média dos objetivos. Já os piores foram obtidos com as estações e Os hidrogramas observados e calculados pelas soluções que compõem a frente de Pareto identificadas, juntamente com os hidrogramas observados e obtidos pela validação das soluções e seus respectivos valores das funções objetivo, são apresentados nas Figuras 5.24 a Sendo as Figuras 5.24 e 5.25 referentes aos melhores resultados e as Figuras 5.26 e 5.27 aos piores resultados. Nas Figuras 5.24 e 5.25 observam-se bons ajustes dos hidrogramas calculados aos observados para o período de calibração. Contudo, a validação se mostrou falha por apresentar vazões calculadas que extrapolaram em muito as observadas. Quanto às funções objetivo para a validação, nota-se que estas não conseguiram uma boa aproximação daqueles que maximizam os objetivos, representados pela frente para a calibração da série antes utilizada na validação. Para as Figuras 5.26 e 5.27 observa-se que o modelo não conseguiu representar satisfatoriamente as vazões observadas. Na estação observaram-se vazões

148 131 calculadas que extrapolaram em muito os valores observados. Já na estação a dificuldade do modelo é referente à grande variabilidade nas vazões. Em relação aos valores das funções objetivo, nota-se que os valores destes para a calibração mostram-se inferiores aos obtidos para a validação. Com base na frente obtida para a calibração do período de validação é possível observar que ambas as estações apresentaram bons resultados de validação.

149 TABELA 5.6 Quadro resumo da calibração multiobjetivo e validação do modelo HYMOD. Calibração Validação ID Código Período MOHBMO MOPSO MOSCEM MOHBMO MOPSO MOSCEM fo1* fo2* fo1* fo2* fo1* fo2* Período fo1* fo2* fo1* fo2* fo1* fo2* * média dos máximos observados. 132

150 TABELA 5.7 Quadro resumo da calibração multiobjetivo e validação do modelo SMAP. Calibração Validação ID Código Período MOHBMO MOPSO MOSCEM MOHBMO MOPSO MOSCEM fo1* fo2* fo1* fo2* fo1* fo2* Período fo1* fo2* fo1* fo2* fo1* fo2* * média dos máximos observados 133

151 134 (a) (b) (c) FIGURA 5.20 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação.

152 135 (a) (b) (c) FIGURA 5.21 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação.

153 136 (a) (b) (c) FIGURA 5.22 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação.

154 137 (a) (b) (c) FIGURA 5.23 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo HYMOD e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação.

155 138 (a) (b) (c) FIGURA 5.24 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação.

156 139 (a) (b) (c) FIGURA 5.25 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação.

157 140 (a) (b) (c) FIGURA 5.26 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação.

158 141 (a) (b) (c) FIGURA 5.27 Hidrogramas observados e obtidos pela (a) calibração e (b) validação do posto para o modelo SMAP e (c) frentes para o período de calibração, calibração do período de validação e funções objetivo para a validação.

159 Conclusões A aplicação dos algoritmos à calibração de modelos hidrológicos teve como estudo de caso o ajuste dos modelos HYMOD e SMAP para 15 (quinze) estações fluviométricas localizadas nos Estados do Ceará e Piauí. Primeiramente, realizaram-se análises do impacto da disponibilidade dos dados na capacidade de modelagem chuva-vazão. Em seguida, aplicaram-se os algoritmos HBMO, PSO e SCEM-UA à maximização uniobjetivo da função Nash-Sutcliffe aplicada à série de vazões observadas e simuladas. Por último, realizou-se a maximização multiobjetivo da função Nash-Sutcliffe como aplicada na maximização uniobjetivo e aplicada aos picos de vazão, tendo como referência as vazões observadas. Para a calibração multiobjetivo utilizouse o algoritmo aqui proposto MOHBMO e os de referência MOPSO e MOSCEM. Da análise do impacto da disponibilidade dos dados na modelagem hidrológica, observou-se que o uso de série de 8 anos de dados pode nos aferir uma boa confiabilidade quanto à representatividade do processo de transformação chuva-vazão. Vale lembrar que o aumento da série para 12 anos apresentou também bons resultados, porém o ganho é marginal e não se justifica a escolha deste em relação a serie de 8 anos. A comparação entre as janelas temporais consecutivas e as séries compostas pelos anos mais úmidos revelaram que estas não se apresentam melhores que as séries consecutivas, por tanto, não se justificando, assim, a sua utilização. Quanto ao comportamento paramétrico para análise das janelas, busca-se identificar para qual comprimento os parâmetros se mantém insensíveis ao período analisado. Dos resultados não se pode determinar qual comprimento era possível a observação de tal resposta nos parâmetros. Sendo necessária uma análise mais apurada com outros comprimentos e um maior número de anos das séries. Ainda com relação aos dados foi realizada análise nos resíduos das séries de vazões observadas e calculadas, desta pode-se observar claramente a influência das soluções na escolha da função objetivo. Outra análise realizada refere-se à estacionariedade dos parâmetros das soluções ótimas, desta pode-se verificar a tendência do parâmetro Alfa ao valor 1, consequentemente, insensibilidade de RS à composição da vazão da bacia e um decaimento de RQ ao longo dos

160 143 anos. Pode-se, a partir da análise da estacionariedade dos parâmetros, determinar quais parâmetros devem ser calibrados. Pelas observações dos resultados da análise realizada e relatada no Capítulo 5 pode-se verificar a importante necessidade de tal análise para o processo de calibração automática de modelos hidrológicos. Quanto à maximização uniobjetivo, os algoritmos HBMO, PSO e SCEM-UA foram analisados segundo dois critérios: convergência da função em relação ao número de avaliações da mesma e valor final obtido. No caso da convergência o algoritmo SCEM-UA apresentou superioridade superior àquela apresentada pelo algoritmo HBMO e PSO. Quanto ao valor ótimo obtido, os algoritmos apresentaram valores praticamente iguais, não sendo possível determinar um que seja superior. Porém, a utilização do algoritmo SCEM-UA é indicada para casos em que o número de avaliações é determinante. Quanto à calibração multiobjetivo, foram utilizadas as versões multiobjetivo dos algoritmos da calibração uniobjetivo, são eles: MOHBMO, MOPSO e MOSCEM. Os resultados são apresentados no item deste trabalho. A análise comparativa dos algoritmos levou em conta os critérios de uniformidade da frente, densidade e capacidade de maximização e cobertura das funções. Quanto à uniformidade, todos os algoritmos conseguiram manter uma boa distribuição de soluções nas frentes. Para a capacidade de maximização e cobertura das funções o algoritmo MOHBMO mostrou-se superior ao MOPSO e ao MOSCEM. Não excluindo um razoável desempenho do MOSCEM neste critério. Para a calibração do modelo HYMOD o algoritmo MOHBMO se mostrou mais indicado que os demais, por ter apresentado frentes mais densas e, consequentemente, mais representativas. Já para o modelo SMAP, o algoritmo MOPSO se mostrou mais favorável em termos de densidade, contudo, em algumas situações o MOHBMO conseguiu identificar partes de frentes não identificadas por este. Vale lembrar também a boa capacidade do algoritmo MOSCEM na identificação destas partes da frente encontradas pelo MOHBMO. Quanto à avaliação comparativa dos modelos HYMOD e SMAP, pode-se observar um melhor ajuste do modelo HYMOD às séries de vazões para os postos em estudo. Tal fato pode ser visto em detalhes na discussão dos resultados apresentada anteriormente no item 5.3 deste capítulo.

161 OPERAÇÃO DE SISTEMAS DE RESERVATÓRIOS Como já mencionado anteriormente, a busca de soluções ótimas no que se refere à determinação de diretrizes operacionais ótimas a sistemas de reservatórios é de fundamental importância para ao gerenciamento e planejamento da operação destes. A utilização de técnicas baseadas em múltiplos objetivos vai ao encontro da própria natureza de sistemas de reservatórios, que é o atendimento de diversos propósitos diferentes. Contudo, análises sob o enfoque uniobjetivo por vezes podem ser justificadas. Analogamente à calibração de modelos chuva-vazão, o uso de métodos matemáticos para a busca de soluções ótimas podem, também, ser utilizados na otimização da operação de reservatórios. Dentro deste contexto, os algoritmos evolucionários apresentam características que podem resultar em um bom desempenho dos mesmos quando aplicados a tal propósito. O presente trabalho avalia a utilização de algoritmos de otimização evolucionários para a operação de sistemas de reservatórios, em particular o sistema de reservatórios que compõem o sistema de abastecimento da Região Metropolitana de Fortaleza. Este capítulo apresenta primeiramente uma transcrição de partes do relatório Minimização dos Custos de Bombeamento visando à Operação Otimizada dos Reservatórios do Sistema da Região Metropolitana de Fortaleza (Funceme, 2007), no que se refere à descrição do sistema de abastecimento, dados utilizados e regra operacional. Em seguida são apresentadas as funções objetivo utilizadas para a otimização da operação, sendo a primeira destas obtida do relatório citado acima e desta forma o texto foi simplesmente transcrito. O segundo objetivo é proposto aqui e descrito em detalhes. Por último são mostrados os resultados obtidos na otimização do referido sistema sob o enfoque comparativo da performance do algoritmo de referência MOPSO e do algoritmo de otimização implementado MOHBMO.

162 Sistema de Abastecimento da Região Metropolitana de Fortaleza Descrição do sistema O sistema de abastecimento da Região Metropolitana de Fortaleza (RMF), aqui considerado, é composto por cinco reservatórios: Gavião, Pacoti e Riachão, Pacajus e Aracoiaba, sendo estes reservatórios interligados por canais e adutoras (Ver Figura 6.1). Os quatro primeiros não são interligados, mas recebem águas dos reservatórios mais ao sul via transposição de bacias, sendo apenas o Aracoiaba interligado ao Pacajus. A contribuição da Bacia do Rio Jaguaribe ao sistema da RMF é também aqui considerada através do Canal do Trabalhador, e com captação no município de Itaiçaba e barragem do mesmo nome. A Figura 6.2 apresenta o fluxograma do Sistema da RMF (LIMA, 2000). A Tabela 6.1 apresenta as características destes reservatórios e a Figura 6.3 apresenta as curvas cota-área-volume dos reservatórios desse sistema. Na operação do sistema é assumido que o Sistema Jaguaribe pode suprir 5 m 3 /s através do Canal de Trabalhador em qualquer momento. O Canal do Trabalhador, construído de forma emergencial em 1993, visa dar maior garantia ao sistema de abastecimento da Região Metropolitana de Fortaleza (RMF). As características do canal são (LIMA, 2000): 1. vazão máxima de projeto de 5 m 3 /s; 2. extensão de 102 km entre a captação, no município de Itaiçaba, e o açude Pacajus; 3. em Itaiçaba, ponto de captação, é alimentado pelos reservatórios Banabuiu, Pedra Branca e Castanhão; 4. o canal é revestido com concreto de 8 cm de espessura coberto por manta asfáltica de 4 mm de espessura; 5. o canal é trapezoidal com base 5 m, taludes 1:1,5 (V:H), declividade 1,2 cm/km e com lâmina d água inicial de 2,36 m; 6. os trechos em três sifões têm extensão de 5,36 km (Ver Tabela 6.2). No percurso da água de Itaiçaba ao açude Pacajus existe uma estação elevatória, a EE Itaiçaba, e no percurso entre os açudes Pacajus e Pacoti existem três estações elevatórias (EEB0, EEB1: Ererê, EEB2: Pacajus), sendo que a primeira só entra em operação caso o nível do reservatório Pacajus for menor do que 29,5 m. Entre os açudes Pacoti e Riachão também existe uma estação elevatória, a qual entra em operação quando o nível do reservatório Pacoti está abaixo da cota 36 m. A Tabela 6.3 apresenta as características das estações elevatórias.

163 146 TABELA 6.1 Características dos reservatórios da RMF. Açude Capacidade de Acumulação (Vol. Morto) hm 3 Bacia Hidrográfica km 2 Comentário Gavião 32,9 (29,0) 94,54 O açude Gavião barra o Rio Cocó, e está ligado ao açude Riachão através de um canal de acesso, um túnel escavado em rocha controlado por comportas e um segundo canal adutor. O túnel que capta água do Gavião para a ETA Gavião é do tipo ferradura, revestido em concreto simples, tem 1750 m de comprimento, 3,12 m de altura, declividade 0,5 m/km e vazão de projeto de 9 m 3 /s. A finalidade dos canais de acesso é encaminhar as águas do açude Riachão para o túnel e, em seguida, para o açude Gavião, não sendo limitantes para a vazão do túnel. Riachão 33,68 Pacoti 380,0 (21,74) 1077,73 Os reservatórios Pacoti e Riachão têm um vertedouro em labirinto com largura de 120 m e crista na cota 45 m. As duas barragens possuem tomada d água com galerias providas de tubos de aço de 1900 mm de diâmetro, cota de fundo 23,53 m, envolvidas em concreto armado com 0,50 m de espessura. O açude Pacoti barra o Rio Pacoti e a ligação com o reservatório Riachão é feita através de canal a céu aberto, escavado em terra e rocha, de forma irregular. O canal (eixo) tem comprimento de 1805 m e fundo na cota 30 m. O canal tem as seguintes larguras: 3 m entre as cotas 30 e 40 m; 40 m entre as cotas 40 e 43 m, e 200 m acima da cota 43 m. Pacajus 240,0 (34,71) 4.486,13 Açude Pacajus barra o Rio Choro e possui vertedouro tipo labirinto com largura de 352 m e cota de soleira 38 m. A tomada d água é uma tubulação de 900 mm, com vazão máxima de 6,13 m 3 /s e cota do eixo 24,45 m. Aracoiaba (5,66) 584,05 Fonte: COGERH/Adaptado de CARDOSO (2003). Concluido em 2002, localizado no município de Aracoiaba, é formado pelo barramento através de uma barragem de terra homogêmena do rio do mesmo nome.

164 147 TABELA 6.2 Características dos sifões Canal do Trabalhador. Sifão Material Comprimento (km) Diâmetro (m) Sifão dos Macacos Aço-ARMCO 1,6 2,5 Sifão do Umburanas Aço-ARMCO 2,86 2,5 (duplo) Sifão do Pirangi Aço 1,3 2,4 Fonte: CAGECE Companhia de Água e Esgoto do Estado do Ceará. TABELA 6.3 Características das Estações Elevatórias. Estação Elevatória Número de Bombas Potência (cv/bomba) Altura Manométrica (m) Vazão do Conjunto (m 3 /s) EB Itaiçaba 4 (1 reserva) ,0 6 EB0 6 (1 reserva) EB1 Ererê 6 (1 reserva) ,5 5 EB2 Pacajus 6 (1 reserva) ,7 5 EB Pacoti 20 (2 reservas) Fonte: COGERH Companhia de Gestão dos Recursos Hídricos Dados utilizados Os valores das demandas (m 3 /s) e evaporações (mm) utilizados neste trabalho estão apresentados nas Tabelas 6.4 e 6.5, respectivamente. As liberações máximas adotadas para os reservatórios foram de 8 m 3 /s. As séries afluentes aos reservatórios Gavião, Pacoti/Riachão, Pacajus e Aracoiaba foram as mesmas utilizadas no Plano das Bacias Metropolitanas. TABELA 6.4 Demandas em m 3 /s para os reservatórios do Sistema da RMF. Reservatório Demanda (m 3 /s) Gavião 8,0 Pacoti/Riachão 0,0 Pacajus 0,3 Aracoiaba 0,2 Fonte: COGERH Companhia de Gestão dos Recursos Hídricos.

165 148 FIGURA Sistema de Abastecimento da Região Metropolitana de Fortaleza Canal do Trabalhador (Fonte: COGERH). FIGURA 6.2 Fluxograma do Sistema da RMF (Adaptado de LIMA, 2000).

166 FIGURA 6.3 Curvas cota-área-volume dos reservatórios do Sistema da RMF. 149

167 150 TABELA 6.5 Valores médios de evaporação (mm) utilizados para os reservatórios do Sistema da RMF. Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Gav/Pac/Riachão Pacajus Fonte: INMET (1990), COGERH (2000) Regra operacional A regra de operação atualmente utilizada pela COGERH está apresentada na Tabela 6.6. Nela se pode visualizar as vazões aportadas a (Q+), e retiradas (Q-) de cada reservatório em função da faixa do Volume em que o mesmo se encontra. No caso da existência de reservatórios a montante, os valores destas vazões dependem ainda do nível dos reservatórios a montante. Por exemplo, se o sistema Pacoti/Riachão estiver entre 25 a 50% de sua capacidade máxima, o mesmo terá que receber 4,53 m 3 /s para atender a demanda para o abastecimento de Fortaleza (GAV). Esta vazão de 4,53 m 3 /s poderá vir totalmente do Pacajus, caso seu volume esteja superior a 50% de sua capacidade de acumulação, ou rateado meio a meio entre o Pacajus e o sistema formado pelo Açude Aracoiaba/Canal do Trabalhador caso o volume do Pacajus esteja na faixa intermediária (25 a 50% de sua capacidade de acumulação). Caso o volume do Pacajus esteja na faixa inferior (< 25% de sua capacidade de acumulação), este aporte virá totalmente do sistema Aracoiaba/Canal do Trabalhador. A repartição dos volumes aportados ao Pacajus entre o Açude Aracoiaba e o Canal do Trabalhador é feita da seguinte forma: 1. Se o volume do Aracoiaba encontra-se a 50% de sua capacidade, o aporte ao Pacajus vem todo do Açude Aracoiaba; 2. Caso o volume do Aracoiaba esteja entre 25 e 50% de sua capacidade, o aporte ao Pacajus é rateado meio a meio entre o Açude Aracoiaba e o Canal do Trabalhador; 3. Finalmente, se o volume do Aracoiaba estiver abaixo de 25% de sua capacidade, todo o aporte de água ao Pacajus é oriundo do Canal do Trabalhador. A otimização da atual regra do sistema levou em conta a equação de balanço hídrico mensal, considerando as afluências, evaporações, vertimentos e liberações nesta escala temporal.

168 151 TABELA 6.6 Regra Atual de Operação. Açude Pacajus >50% 25-50% <25% Faixa Q+ Q- Q+ Q- Q+ Q- Q+ Q- > 50% 0,00 GAV 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Pacoti/Riachão 25-50% 4,53 GAV 0,00 4,53 2,27 4,53 4,53 4,53 < 25% 6,00 GAV 0,00 6,00 3,00 6,00 6,00 6,00 Obs: Vazões em m 3 /s Funções objetivo Durante o processo de otimização da operação faz-se necessária a utilização de metas, que matematicamente são representadas por funções. Na busca realizada pelos algoritmos as funções servem como guia nas escolhas de soluções. Como já mencionada, a descrição referente à função objetivo Custos de Bombeamento foi transcrita do relatório Minimização dos Custos de Bombeamento visando à Operação Otimizada dos Reservatórios do Sistema da Região Metropolitana de Fortaleza (Funceme, 2007). Função f01 (Custos de Bombeamentos) O abastecimento de Fortaleza é garantido, conforme sistema aqui adotado, pelos reservatórios Gavião, Riachão/Pacoti, Pacajus, Aracoiaba e águas transpostas da Bacia do Rio Jaguaribe através do Canal do Trabalhador. Para garantir a demanda da RMF ao longo do tempo, é freqüente o uso de bombeamento para suprir eventuais déficits hídricos do reservatório mais a jusante, o Gavião. Faz-se necessária assim, a minimização dos custos de bombeamento do sistema levando-se em conta as diferentes estruturas de custos das estações elevatórias. As curvas de custos de bombeamentos das estações elevatórias apresentadas na Tabela 6.3 podem ser visualizadas na Figura 6.4. Estas curvas de custos foram simplificadas conforme a equação abaixo: C(V) = a + b.v para V < V* (6.1) em que C(.) é o custo de bombeamento (função do volume de captação), V* representa até que valor de volume de captação a equação acima é válida, e a e b são constantes específicas para estação de bombeamento também dependentes do volume de captação. A constante b varia ainda conforme o período seja seco (Mai-Nov) ou úmido (Dez-Abr). Os valores de a e b estão apresentados na Tabela 6.7.

169 152 TABELA 6.7 Curvas de custo das estações elevatórias do Sistema RMF. a b seco úmido V* (10 6 m 3 ) Estação Elevatória Itaiçaba 7468,6 0,0368 0,0333 2, ,0368 0,0333 5, ,0368 0,0333 8, ,0368 0, Estação Elevatória EB0 1231,6 0,004 0,0036 2, ,1 0,004 0,0036 5, ,7 0,004 0,0036 8, ,2 0,004 0, , ,8 0,004 0, , ,4 0,004 0, Estação Elevatória EB1 3408,6 0,0078 0,0071 4, ,1 0,0078 0,0071 8, ,0 0,0078 0, , ,0 0,0078 0, , ,0 0,0078 0, , ,0 0,0078 0, Estação Elevatória EB2 7078,4 0,0163 0,0147 4, ,0 0,0163 0,0147 8, ,0 0,0163 0, , ,0 0,0163 0, , ,0 0,0164 0, , ,0 0,0166 0, , ,0 0,0167 0, , ,0 0,0169 0, Estação Elevatória Pacoti 18948,0 0,0094 0, , ,0 0,0094 0, , ,0 0,0094 0, Fonte: COGERH. Companhia de Gestão dos Recursos Hídricos. Função f02 (Volume Total Evaporado) A outra função objetivo refere-se ao volume total evaporado do sistema. A quantificação desta pode ser obtida a partir da expressão: Ve = Nr T n= 1 t = 1 E n t n n A t + At (6.2)

170 153 em que E é a lâmina evaporada, A é a área do espelho d água, Nr o número de reservatórios e T o número de meses. FIGURA 6.4 Curvas dos Custos de Bombeamento das Estações Elevatórias em Função do Volume Captado.

171 154 FIGURA 6.4 (Cont.) Curvas dos Custos de Bombeamento das Estações Elevatórias em Função do Volume Captado Modelo de simulação Um modelo de simulação da operação de reservatórios utiliza a solução direta da equação do balanço hídrico. A equação do balanço hídrico de um reservatório pode ser representada por: A + A V 1 Qvt ( j) (6.3) t t+ 1 t+ ( i) = Vt ( i) + Qat ( i) Qd( i) Qv( i) Evt ( i) + 2 j= Ni em que V é o volume armazenado no reservatório, Qa o volume afluente ao reservatório, Qd o volume regularizado, Qv o volume vertido pelo reservatório, A a área superficial do espelho d água do reservatório, Ev a lâmina d água evaporada a partir da superfície, t o índice que representa a discretização temporal mensal, i o índice que representa os reservatórios do sistema e Ni o conjunto de reservatórios imediatamente a montante do reservatório i. As seguintes restrições devem ser satisfeitas durante a simulação da operação dos reservatórios: V i) Vt + ( i) V ( i) (6.4) min ( 1 max

172 155 Qa, Qv, Qd 0 (6.5) Como forma de representar a relação existente entre a área do espelho d água e o volume armazenado no reservatório utilizou-se a seguinte representação: β = α V (6.6) A em que α e β são coeficientes obtidos através de regressão não-linear Resultados Obtidos Analogamente à calibração de modelos hidrológicos, foram utilizados como critérios de comparação das frentes obtidas pelos algoritmos MOHBMO e MOPSO a observação das seguintes características: 1. Uniformidade da frente; 2. Densidade da frente; 3. Cobertura da frente para ambos os objetivos; e, 4. Capacidade de minimização das funções. Para a realização da otimização do sistema de reservatórios em estudo foram utilizados dois cenários referentes ao número de avaliações das funções objetivo, e avaliações. Para o algoritmo MOHBMO foram utilizados os seguintes parâmetros: 1. Tamanho da população inicial = 100; 2. Número de vôos de acasalamento = 100 e 1.000, para e avaliações das funções objetivo, respectivamente; 3. Número de rainhas = 10; 4. Número de zangões = 4; 5. Fator de aleatoriedade mínimo do zangão = 10%; e, 6. Número de descendentes por rainha = 6. Os demais parâmetros foram utilizados como na calibração de modelos hidrológicos. No caso do algoritmo MOPSO foram utilizados os seguintes parâmetros: 1. Tamanho da população = 100; 2. Número de iterações = 100 e 1.000, para e avaliações das funções objetivo, respectivamente; 3. Velocidade máxima da partícula = 0,1. Os demais parâmetros do algoritmo MOPSO foram utilizados como na calibração de modelos hidrológicos. Para as aplicações de otimização multiobjetivo aqui apresentadas, as mesmas considerações feitas para a calibração de modelos hidrológicos com a forma de geração aleatória das 10 (dez) populações inicias foram utilizadas.

173 156 Foram então realizadas 10 (dez) avaliações partindo de iguais condições iniciais e valores de parâmetros dos algoritmos conforme acima mencionado. Para cada frente obtida foram analisados os critérios anteriormente expostos. Uniformidade Ao contrário do observado na calibração, as frentes obtidas na otimização aqui realizada apresentaram poucos pontos, dificultando, portanto, uma análise sobre as uniformidades das mesmas. Densidade Com relação à densidade, como já mencionado acima, a grande maioria das frentes apresentou poucos pontos. Contudo, uma superioridade do algoritmo MOHBMO sobre o MOPSO pode ser observada quando analisado o número médio de soluções das frentes. O número médio de soluções contidas nas frentes identificadas por ambos os algoritmos é apresentado na Tabela 6.8. TABELA 6.8 Número médio de elementos obtido nas frentes Otimização Validação Otimização Validação MOHBMO MOPSO Cobertura e Minimização das funções Como já mencionado na calibração de modelos hidrológicos, a minimização das funções pode relacionar-se diretamente com a cobertura dos objetivos, uma vez que à medida que o valor de uma das funções objetivo aumenta a faixa de cobertura do outro objetivo é ampliada. Para o cenário de avaliações das funções objetivo, observou-se uma pequena superioridade do algoritmo MOPSO sobre o MOHBMO com relação à capacidade de minimização da função fo1, como pode-se observar na Tabela 6.9 e na Figura 6.5. Contudo, o MOHBMO apresentou melhores resultados que o MOPSO quando observado o objetivo fo2.

174 157 TABELA 6.9 Quadro resumo da otimização multiobjetivo e validação da operação do sistema de reservatórios da RMF Otimização Validação Otimização Validação fo1* fo2* fo1* fo2* fo1* fo2* fo1* fo2* MOHBMO MOPSO * mínimos identificados ( 10 8 ). Para o cenário de avaliações, o valor mínimo identificado para cada objetivo e o conjunto de soluções das frentes obtidas são apresentados na Tabela 6.9 e na Figura 6.6, respectivamente. Pode-se observar, no geral, um melhor desempenho do algoritmo MOHBMO na capacidade de minimização de ambos os objetivos em relação ao MOPSO. Da Tabela 6.9 nota-se que o MOHBMO conseguiu identificar para ambos os objetivos, tanto na otimização, como na validação, valores menores que aqueles obtidos pelo algoritmo MOPSO. É possível visualizar tal situação quando observado a Figura 6.6. A partir da análise das Figuras 6.5 e 6.6 nota-se que nenhum dos algoritmos conseguiu identificar uma frente bem definida. Contudo fica claro pela comparação do comportamento das soluções da análise de em relação à análise de avaliações da função objetivo que um número maior de avaliações é necessário para a melhoria da frente e possível aproximação da verdadeira frente ótima de Pareto.

175 158 FIGURA 6.5 Frentes de Pareto obtida para 10 populações iniciais distintas com avaliações das funções objetivo. FIGURA 6.6 Frentes de Pareto obtida para 10 populações iniciais distintas com avaliações das funções objetivo.

176 159 Como forma de ilustração da otimização realizada para o sistema em estudo, selecionou-se a melhor solução para o objetivo fo1 do conjunto de todas as frentes para ambos os algoritmos. As regras de operação identificadas pelos algoritmos MOHBMO e MOPSO para o as referidas soluções são apresentadas nas Tabelas 6.10 e 6.11, respectivamente. Observa-se na Figura 6.8 e na Tabela 6.11 que as duas linhas divisórias das faixas do açude Pacajus estão bastante próximas, sendo possível a exclusão da faixa central e escolha da delimitação entre as duas faixas restantes o valor de 24%. As aplicações de tais regras geraram um custo médio mensal como apresentado na Tabelas Como podemos observar o algoritmo MOHBMO apresentou desempenho superior ao MOPSO em termos econômicos. Da Tabela 6.13 pode-se obter a economia média anual tendo como referência a atual regra de operação em uso. Para o MOHBMO tal economia é de R$ ,33/ano para o período utilizado para a otimização e R$ ,00/ano para o período de validação. Já o MOPSO obteve uma economia de R$ ,66/ano para o período de otimização e um prejuízo de RS 1.200,00/ano para a validação. A Tabela 6.13 apresenta o custo total obtido pela aplicação das regras aqui identificadas como ótimas e a atual regra em uso. TABELA 6.10 Regra de Operação Otimizada (MOHBMO), Aracoiaba 24,1%. Açude Pacajus > 49% 27 49% 27% Faixa Q+ Q- Q+ Q- Q+ Q- Q+ Q- > 42% 0,01 GAV 0,45 0,01 0,74 0,01 3,34 0,01 Pacoti/Riachão 42% 5,60 GAV 1,30 5,60 5,06 5,60 5,18 5,60 Obs: Vazões em m 3 /s. TABELA 6.11 Regra de Operação Otimizada (MOPSO), Aracoiaba 28,2%. Açude Pacajus > 24,4% 23,9 24,4% 23,9% Faixa Q+ Q- Q+ Q- Q+ Q- Q+ Q- > 50% 0,03 GAV 0,29 0,03 4,15 0,03 6,17 0,03 Pacoti/Riachão 50% 5,23 GAV 2,62 5,23 4,81 5,23 5,23 5,23 Obs: Vazões em m 3 /s.

177 160 TABELA 6.12 Custo médio mensal no período. Otimização (60 anos) Validação (25 anos) MOHBMO MOPSO Regra Atual MOHBMO MOPSO Regra Atual , , , , , ,00 Obs: Valores em reais. TABELA 6.13 Custo total no período. Otimização (60 anos) Validação (25 anos) MOHBMO MOPSO Regra Atual MOHBMO MOPSO Regra Atual , , , , , ,00 As Figura 6.7 e 6.8 apresentam a operação dos reservatórios do Sistema RMF para o período utilizado na otimização ( ) para os algoritmos MOHBMO e MOPSO, respectivamente. As operações para o período de validação ( ) são apresentadas nas Figuras 6.11 e Os custos mensais de bombeamento para o período utilizado na otimização, para ambos os algoritmos, MOHBMO e MOPSO, são apresentados nas Figuras 6.9 e 6.10, respectivamente. Os custos referentes à validação são apresentados nas Figuras 6.13 e Segundo o relatório Minimização dos Custos de Bombeamento visando à Operação Otimizada dos Reservatórios do Sistema da Região Metropolitana de Fortaleza (Funceme, 2007) no qual esse estudo se baseia numa maior redução dos custos pode ser obtida pelo relaxamento da regra de operação adotada. Contudo, uma maior redução com relação aos custos pode ainda vir a ser obtida pela simples utilização de um maior número de avaliações das funções objetivo na otimização. Como já dito anteriormente a escolha de tais soluções ótimas aqui apresentadas serviram apenas como ilustração. Por ventura, uma escolha deve ser baseada não apenas nos resultados da otimização e nem tão pouco em apenas um objetivo, mas deve levar em conta a validação, pois tais soluções podem apresentar falhas neste período, e o atendimento aos diversos propósitos para os quais realizou-se a otimização. Informações sobre freqüência de bombeamento, volume médio bombeado e número de falhas nos períodos utilizados para a otimização e validação pela aplicação das regras encontradas pelos algoritmos e para a atual regra são apresentados nas Tabelas 6.14, 6.15 e 6.16, respectivamente.

178 161 TABELA 6.14 Freqüência de bombeamento. Otimização Validação EB0 EB1 EB2 EBP EBI EB0 EB1 EB2 EBP EBI MOHBMO 0,0 100,0 100,0 5,8 25,1 0,0 100,0 100,0 2,7 11,5 MOPSO 0,0 100,0 100,0 6,8 26,0 0,0 100,0 100,0 2,4 12,2 R. Atual 0,0 44,4 44,4 8,8 28,4 0,0 32,5 32,5 4,4 12,2 Obs: Valores em %. TABELA 6.15 Volume médio bombeado. Otimização Validação EB0 EB1 EB2 EBP EBI EB0 EB1 EB2 EBP EBI MOHBMO - 5,692 5,692 1,099 2,824-3,950 3,950 0,500 1,346 MOPSO - 5,827 5,827 1,098 2,809-4,332 4,332 0,460 1,290 R. Atual - 5,764 5,764 1,682 3,051-4,095 4,095 0,857 1,383 Obs: Volumes em hm 3. TABELA 6.16 Número de falhas. Otimização Validação Aracoiaba Pacajus Pacoti Gavião Aracoiaba Pacajus Pacoti Gavião MOHBMO MOPSO R. Atual

179 162 FIGURA 6.7 Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de calibração (MOHBMO) solução de menor custo. FIGURA 6.8 Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de calibração (MOPSO) solução de menor custo.

180 163 FIGURA 6.9 Custo Mensal da Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de calibração (MOHBMO) solução de menor custo. FIGURA 6.10 Custo Mensal da Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de calibração (MOPSO) solução de menor custo.

181 164 FIGURA 6.11 Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de validação (MOHBMO) solução de menor custo. FIGURA 6.12 Operação dos reservatórios do Sistema RMF durante o período de validação (MOPSO) solução de menor custo.