Introdução a PNL Mario Thadeu Leme de Barros Renato Carlos Zambon

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1 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental PHA Análise de Sistemas Ambientais Introdução a PNL Mario Thadeu Leme de Barros Renato Carlos Zambon

2 notas P1 comentários P1 e exercícios % 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% frequencia de excedencia q1 q2 q3 q4 q5 q6 35% 59% 54% 65% 36% 68% 1,5 2 1,5 2 1,5 1,5 2

3 não linearidades... seu salário é por exemplo de R$ 4.200,00... se fosse o dobro, a retenção na fonte de imposto de renda também seria o dobro? 3

4 não linearidades... você foi obrigado a reduzir o seu consumo mensal de energia em 20% em um racionamento... se fosse obrigado a reduzir -mais- 20%, a facilidade, o prejuízo ou os investimentos necessários para reduzir de 80% para 60% seriam os mesmos que de 100% para 80%? 4

5 não linearidades... você faz uma viagem de carro com velocidade média de 90 km/h... se a mesma viagem fosse feita a 120 km/h, a proporção entre a distância percorrida, o tempo da viagem, o consumo de combustível e as emissões de monóxido de carbono, óxidos de nitrogênio, aldeídos, etc. seria a mesma? 5

6 não linearidades... uma cidade lança uma carga X de resíduos líquidos em um rio... se o lançamento fosse de 2 X, o impacto nas variáveis de qualidade da água, mortalidade de peixes, proliferação de algas, etc. seria o dobro? 6

7 não linearidades... uma indústria lança ao ar um poluente A, gerando um efeito E1(A), outra indústria em outro local lança um poluente B, gerando um efeito E2(B)... se as duas fossem vizinhas, o efeito seria simplesmente E1(A) + E2(B) ou poderia haver um efeito sinérgico? 7

8 Elementos de um problema de PNL Função Objetivo max (ou min) F (x 1, x 2,... x n ) Restrições g i (x 1, x 2,... x n ) < b i h j (x 1, x 2,... x n ) = b j Variáveis de decisão: x 1, x 2,... x n Programação não linear: a função objetivo e/ou as restrições são não lineares! 8

9 restrições de igualdade... muitas vezes utilizamos restrições de igualdade para facilitar a construção de modelos (aumentando o conjunto de variáveis) exemplo: é comum na operação de reservatórios trabalhar ao mesmo tempo com volume, cota do nível d água e área, relacionadas entre si através das curvas cota-área-volume: variáveis S, H, A com H( S) a a S a S a S a S A( H) c c H c H c H c H

10 restrições de igualdade... ao invés de utilizar apenas a variável S onde for necessária a cota: a a S a S a S a S onde for necessária a área: c c a a S a S a S a S c a a S a S a S a S c a a S a S a S a S c a a S a S a S a S

11 exemplo de um problema de PNL Função Objetivo: min F (x 1, x 2 ) = (x 1-2)² + (x 2-1)² Restrições: x 1 ² - x 2 < 0 x 1 + x 2 < 2 x 1 > -1 Variáveis de decisão: x 1, x 2 neste exemplo tanto a F.O. como as restrições são não lineares... 11

12 exemplo de um problema de PNL mínimo 12

13 PL x PNL: Função Objetivo PL: a F.O. é linear, sempre no formato max/min F (x 1, x 2,... x n ) = a 1.x 1 + a 2.x a n.x n PNL: a F.O. pode não ser linear, incluindo uma combinação de funções exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, etc. 13

14 PL x PNL: Região Factível PL: a região factível formada pelas restrições é sempre um poliedro convexo PNL: se as restrições não forem lineares, a região factível pode não ser um poliedro e também pode não ser convexa! as restrições de um problema de otimização definem semiespaços, a intersecção destes semi-espaços define a região factível (espaço das soluções viáveis) 14

15 PL x PNL: Região Factível Exemplo de região factível não convexa: 15

16 PL x PNL: Solução Ótima PL: as soluções ótimas recaem sobre os vértices (pontos extremos) da região factível PNL: as soluções ótimas podem não estar nos vértices da região factível nem na fronteira, muitas vezes estão em um ponto interno da região viável 16

17 x2 PL x PNL: Solução Ótima Exemplo de solução na fronteira mas não no vértice Função Objetivo: min Z = (x 1-4)² + (x 2-6)² Restrições: x 1 < 4 x 2 < mínimo F 3.x x 2 < 18 1 x 1 > 0 0 x 2 > x1 17

18 x2 PL x PNL: Solução Ótima Exemplo de solução em ponto interno: Função Objetivo: min Z = (x 1-2)² + (x 2-3)² Restrições: x 1 < 4 x 2 < 6 3.x x 2 < 18 x 1 > 0 x 2 > mínimo x1 F 18

19 PL x PNL: Ótimos Globais e Locais PL: as soluções ótimas são sempre ótimos globais PNL: podemos encontrar um ponto de máximo ou mínimo sem ter certeza se ele é local ou global... F(x) x 19

20 PL x PNL: Gradiente PL: o gradiente da função objetivo é constante, ela cresce sempre na mesma direção e com a mesma intensidade F a1x 1 a2x2... anxn PNL: a direção e a intensidade de crescimento da função podem variar em cada ponto (x 1, x 2,... x n ) F F F F x, x,... x x x... xn x x x n 20

21 ? 21

22 PNL a PNL é bem mais abrangente na aplicação devido a não linearidade de muitos problemas exceto em casos particulares a solução pode estar em qualquer ponto da região factível (tanto na fronteira como internos) podem existir múltiplos pontos de máximos e mínimos locais e não existir certeza de que o ótimo encontrado seja global maior tempo de processamento em algoritmos específicos para PNL 22

23 PNL a expansão do uso da PNL é relativamente recente, a técnica ainda era vista com certa desconfiança ( não converge, demora, como saber se o ótimo obtido é uma boa solução ou está longe de um ótimo global, já tentei com esse tipo de problema e não funciona, os pacotes para PNL não são gratuitos, etc.) 23

24 PNL: Solução Inicial como em diversos métodos numéricos, o tempo de processamento e a qualidade da solução ou mesmo a viabilidade de encontrar uma solução podem ser muito beneficiadas se o algoritmo receber uma solução inicial na direção certa podem ser utilizados modelos de simulação ou modelos mais simplificados de otimização para criar uma solução inicial antes de aplicar a PNL 24

25 Exemplos de rotinas ou algoritmos Solver do Excel disponíveis para PNL Solver da Frontline ( várias inclusas no GAMS ( CONOPT, MINOS, SNOPT, etc. e em vários outros... podemos aplicar diferentes rotinas para o mesmo problema de PNL! 25

26 PNL: Construção de Modelos quais são as variáveis importantes envolvidas no problema? como elas se relacionam? (equacionamento conceitual ou empírico de processos físicos, químicos, biológicos, etc.) quais podem ser controladas pelo decisor? quais são os dados conhecidos, com que precisão, custo de obtenção, etc. com que nível de detalhamento o problema deve ou pode ser tratado? (espacial, temporal, aleatoriedade, etc.) quais são as restrições? qual deve ser a função objetivo? PL, PNL ou que outro tipo de modelo seria mais adequado? 26

27 Exemplo: Calibração de Modelos É muito comum o uso de funções quadráticas como medida de performance da calibração de modelos empíricos de simulação (SMAP, Curva-Chave, etc.) max E n Q obs, i Qobs Qobs, i Qcalc, i i 1 i 1 n i 1 Q 2 n 2 obs, i Q obs 2 min n 2 obs, i calc, i E Q Q i 1 27

28 Exemplo: Operação de Reservatórios no início da aula foram apresentadas as equações normalmente utilizadas para definir as relações entre cota, área e volume em reservatórios: variáveis com S, H, A H( S) a a S a S a S a S A( H) c c H c H c H c H a operação de reservatórios quando considera essas variáveis naturalmente se torna um problema não linear, envolvendo problemas de alocação de água, controle de cheias, geração de energia, etc. 28

29 não linearidades... uma usina turbinou em média 180 m³/s durante três meses se tivesse turbinado o dobro da vazão, como teriam se comportado o armazenamento, a evaporação, a potência gerada, etc.? 29

30 PL PNL F.O. e restrições lineares não lineares Região factível poliedro convexo pode não ser um poliedro... e pode não ser convexa! Solução ótima Ótimos globais e locais nos vértices da região factível garantia de ser ótimo global gradiente F constante variável abrangência qualquer ponto da região factível, inclusive internos incerteza se o ótimo é local ou global problemas lineares problemas não lineares solução inicial irrelevante sensível 30

31 Técnicas Quantitativas para Gerenciamento de Recursos Hídricos Porto e outros, Coleção da ABRH, UFRGS,

32 exercício para esta semana... 32