Queuing Modeling Applied to Admission Control of Network Traffic Flows Considering Multifractal Characteristics

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1 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 11, NO., MARCH Queuing Modeling Applied to Admission Control of Network Traffic Flows Considering Multifractal Characteristics J. W. G. Stênico, L. L. Lee and F. H. T. Vieira Abstract In this paper, we propose an analytical expression for estimating the byte loss probability at a single server queue with multifractal traffic arrivals. Initially we address the theory concerning multifractal processes, especially the Hölder exponents of the multifractal traffic traces. Next, we focus our attention on the second order statistics for multifractal traffic processes. More specifically, we assume that an exponential model is adequate for representing the variance of the traffic process under different time scale aggregation. Then, we compare the performance of the proposed approach with some other relevant approaches. In addition, based on the results of the analysis, we propose a new admission control strategy that takes into account the multifractal traffic characteristics. We compare the proposed admission control strategy with some other widely used admission control methods. The simulation results show that the proposed loss probability estimation method is accurate, and the proposed admission control strategy is robust and efficient. Keywords Multifractal Processes, Loss Probability and Control Admission. I. INTRODUÇÃO S redes de comunicação de dados vêm experimentando A um crescimento fenomenal, em termos de volume de tráfego, largura de banda, topologias, protocolos, meios de comunicação e suportando aplicações de diferentes tipos. Algumas das redes exigem rígidos critérios de desempenho em termos de vazão, perda, atraso e variação do atraso, sendo necessários modelos matemáticos de tráfego flexíveis e eficientes para descrevê-los [1][]. Tradicionalmente, os modelos de tráfego de redes de comunicação de dados baseavam-se quase exclusivamente em modelos Poissonianos ou, mais genericamente, em modelos Markovianos. Porém, após a divulgação do trabalho de Leland et al. [3], iniciou-se uma nova abordagem de modelagem de tráfego denominada modelagem fractal. Leland et al. constataram experimentalmente que o tráfego LAN Ethernet coletado no Bellcore Morristown Research and Engineering Center possuía comportamento autossimilar, apresentando alternância de períodos de surtos de tráfego em diversas escalas de tempo. J. W. G. Stênico, Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), DECOM - Departamento de Comunicações, FEEC - Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, Campinas, SP, Brasil, jeferson@decom.fee.unicamp.br L. L. Lee, Universidade Estadual de Campinas (Unicamp), DECOM - Departamento de Comunicações, FEEC - Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, Campinas, SP, Brasil, lee@decom.fee.unicamp.br F. H. T. Viera, Universidade Federal de Goiás (UFG), Goiânia, GO, Brasil, flavio@eee.ufg.br Estudos posteriores mostraram que esse comportamento em escala era impossível de ser reproduzido pelos modelos estocásticos clássicos markovianos utilizados até então. Vários tipos de tráfego de redes apresentam comportamento autossimilar, não apenas restrito às redes LAN Ethernet [4] e influenciam fortemente o desempenho das redes [5]. Processos autossimilares ou, mais genericamente, processos monofractais, mostram regularidade e comportamento invariante em escala de tempo, e normalmente dependem apenas de um único parâmetro, o parâmetro de Hurst. Devido principalmente a sua relativa simplicidade, o movimento Browniano fracionário (fractional Brownian motion - fbm), e seu processo de incrementos denominado ruído Browniano fracionário (fractional Gaussian noise - fgn), tornaram-se os mais amplamente utilizados modelos para tráfego de redes com características monofractais [6]. Pesquisas realizadas por Riedi et al. [7], seguidas posteriormente por Feldmann et al. [8] possibilitaram uma descrição mais completa do comportamento do tráfego de redes WAN (Wide Area Network). Mostrou-se que existem basicamente dois tipos de comportamento em escala de tempo para tráfego de redes WAN. Em grandes escalas de tempo (da ordem de centenas de milissegundos e maiores) o comportamento de tráfego é caracterizado pelo fenômeno da autossimilaridade, enquanto que, em pequenas escalas de tempo (da ordem de centenas de milissegundos e menores), o tráfego WAN é mais bem descrito através da análise multifractal. Os processos multifractais permitem que o comportamento em escala varie no tempo, portanto, possibilitando maior flexibilidade em descrever fenômenos irregulares locais no tempo. A análise multifractal objetiva especialmente o estudo de características diferentes das encontradas no tráfego de redes apresentando apenas comportamento autossimilar. Modelos estatísticos derivados de processos multifractais são capazes de representar de forma mais completa e precisa o real comportamento do tráfego de redes []. Embora as pesquisas sobre multifractais não seja tão recente, poucos modelos multifractais foram desenvolvidos até então. Dentre os modelos multifractais existentes, destaque deve ser dado ao Multifractal Wavelet Model (MWM), um modelo baseado na transformada wavelet que utiliza a wavelet Haar e garante que o sinal de saída seja positivo através da modelagem dos coeficientes wavelets [9], ao Modelo Adaptativo Multifractal baseado em wavelet (Adaptive Wavelet Based Multifractal Mode - AWMM), modelo este, simplifica o processo de síntese do modelo MWM, ao

2 750 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 11, NO., MARCH 013 incorporar o conhecimento dos parâmetros das funções de escala e do fator de momento de um processo multifractal [10], ao Variable Variance Gaussian Multiplier Model (VVGMM), utiliza a estimação da variância dos multiplicadores em cada estágio de uma cascata multiplicativa binomial [11], e ao movimento Browniano multifracionário (multifractional Brownian motion - mbm) [1]. Este último generaliza a definição do movimento Browniano fracionário com expoente (parâmetro de Hurst), para o caso onde não é mais uma constante, mas sim uma função dependente do tempo [6]. Com uma caracterização do tráfego mais detalhada, esperase obter melhores estimativas para, por exemplo, a probabilidade de perda de pacotes para fluxos de tráfego. A estimação da probabilidade de perda é frequentemente considerada como o primeiro passo para se dimensionar o tamanho dos buffers nos roteadores a fim de garantir os requisitos de QoS. Dimensionamento dos buffers dos roteadores e controle de admissão são exemplos típicos de ações cujos resultados dependem fortemente de uma precisa caracterização do comportamento de fila dos dados de tráfego. Neste trabalho, serão descritos alguns conceitos relacionados à teoria de multifractais. Com a fundamentação teórica sobre teoria de filas, propõem-se uma expressão analítica para a estimação de probabilidade de perda em um enlace com um servidor simples, cujo tráfego de entrada possui características multifractais. Para isso, considera-se que o processo multifractal possua uma distribuição lognormal, porém para diminuir a complexidade dos cálculos, será utilizado um modelo exponencial para aproximar a relação da variância pela escala de tempo do processo multifractal. Desta forma, torna-se possível estimar a probabilidade de perda sem a necessidade de efetuar simulações explícitas que requerem todo conjunto de dados de tráfego. E através da estimação da probabilidade perda, conclui-se o trabalho com um novo critério de controle de admissão. II. PROCESSOS MONOFRACTAIS E MULTIFRACTAIS A primeira definição de multifractais aborda o comportamento em escala dos momentos do processo. Tal definição é uma generalização da definição de processos monofractais. Definição 1 Um processo () é dito monofractal, se sua característica multiescala é descrita pela seguinte relação: d () = () (1) onde (0,1) representa o parâmetro de Hurst e denota igualdade em distribuição. A teoria de multifractais generaliza a Definição 1e examina relações multiescalas mais gerais dadas por: d () = ()() () onde () e () são processos estocásticos independentes. O fator de escalonamento () é uma variável aleatória cuja distribuição não depende de. Percebe-se que para processos monofractais, tem-se () =. Por analogia, define-se o índice generalizado como () = (), dessa forma, reescrevendo a Equação, tem-se: d () = () () (3) Em contraste a processos monofractais, o índice () é uma função de para processos multifractais, e não mais uma constante. Portanto, se comparados com processos monofractais, os processos multifractais permitem uma maior variedade de comportamentos em escala. Definição Um processo estocástico () é dito multifractal se satisfaz: ( () ) =() (),, (4) onde e são intervalos de números reais, τ(q) e c(q) são funções com o domínio. Além disso, assume-se que e possuem comprimentos não nulos, e que 0, [0,1]. A função () é chamada de função de escalonamento de processo multifractal ou função de partição. Trata-se de uma função côncava com (0) = 1 [13]. Na primeira definição, os multifractais são definidos através da propriedade de escalonamento dos momentos do processo sobre diferentes incrementos de tempo. Portanto, trata-se de uma definição global, sem atentar à heterogeneidade da variabilidade do processo no tempo. Na segunda definição, observar-se que as propriedades multifractais dos dados reais de tráfego são caracterizadas por suas correspondentes função de escala τ(q) e fator de momento c(q). Processos multifractais possuem singularidades não isoladas, ou seja, apresentam comportamento singular em quase todos os pontos. Para caracterizar estruturas singulares, é necessário quantificar precisamente a regularidade do processo em cada instante de tempo [14]. Para isso, utiliza-se de uma medida conhecida como expoente de Hölder [15], dada pela seguinte definição. Definição 3 Seja uma função (). A função () é dita pertencer ao conjunto caso exista um polinômio de grau menor que e uma constante tal que: () () <, (5) então, o expoente de Hölder pontual () de () em é dado por: () ={: }. (6) O expoente de Hölder pontual determina o comportamento da função () na vizinhança do ponto. A partir de Definição 3 pode-se deduzir que caso a função () seja limitada, mas descontínua em, então, essa função possui () igual a 0 em. Se o expoente de Hölder for () <1, então () é não diferenciável em, e () caracteriza o tipo de singularidade [15]. III. ESTIMAÇÃO DE PROBABILIDADE DE PERDA DE DADOS Na presente seção, serão utilizados alguns resultados conhecidos em teoria de filas para propor um novo método de cálculo de probabilidade de perda considerando propriedades multifractais, além de conseguir modelar qualquer outro tipo de tráfego não multifractal. A probabilidade de perda e atraso de pacotes são duas medidas de desempenho fundamentais associadas à qualidade de serviço (QoS) em redes de computadores, como redes TCP- IP e ATM. Vários estudos têm sido realizados com o intuito de

3 WILIAN DE GODOY STÊNICO et al.: QUEUING MODELING 751 caracterizar o tamanho médio da fila e a distribuição do número de pacotes no buffer [16],[17],[18],[19], conseguindo assim estabelecer limitantes para essas medidas de desempenho. O conhecimento desses limitantes permite garantir a qualidade de serviço requerida pelos fluxos de tráfego. O objetivo desta seção é a análise de fila de um servidor alimentado por tráfego multifractal, principalmente sob a luz do conceito de probabilidade de perda. A seguir, serão expostos dois métodos de cálculo de probabilidade de perda existentes na literatura, que foram usados na comparação da expressão proposta. A. para Processos com Longa- Dependência A característica de longa dependência do tráfego tem um impacto significativo no comportamento da fila [0]. Norros [0] e e O Connell [1] apresentaram limitantes inferiores de probabilidade de perda ( > ) para processos autossimilares. Entretanto, em muitos casos, esta aproximação subestima a probabilidade de perda real. O limitante inferior para ( > ) decai assintoticamente, para buffer muito grande, de acordo com uma função de Weibull. A probabilidade de cauda de ocupação da fila é muito mais pesada do que a distribuição exponencial predita por modelos de tráfego tradicional de curta dependência. A distribuição do tamanho da fila ou probabilidade de perda para processos que tem um parâmetro de escala global (0.5,1) pode ser dada, segundo [1], por: lim () ( >) = () ( + ) / (7) onde =/. A Equação (7) pode ser usada para estimar ( > ) da seguinte forma aproximadamente: ( > ) () (8) onde = ()() /, é a função taxa que representa o decaimento da cauda da função distribuição de ocupação do buffer, denota o parâmetro de Husrt e é o tamanho do buffer. B. para o Modelo Multifractal Com relação a tráfego multifractal de entrada, pode-se citar o trabalho de Ribeiro et al. [], que desenvolveram uma análise de fila multiescala para modelos multifractais baseados em cascata via um método não-assintótico, válida para qualquer tamanho de buffer. Essa aproximação nomeada de Análise de Fila Multiescala (Multiscale Queueing) incorpora as distribuições dos dados de tráfego em múltiplas resoluções temporais (não apenas as estatísticas de segunda ordem). Dessa forma, seja o processo aleatório discreto representando a carga (volume) de tráfego que entra em um servidor com buffer infinito e capacidade de serviço constante C. Considere também que represente o tamanho da fila no instante de tempo. Denota-se por, o tráfego agregado que chega entre os instantes 0 a, ou seja: (9) O processo refere-se aos dados de tráfego na escala de tempo. Modelos baseados em cascata provêem fórmulas explícitas e simples para em escalas de tempo diádicas, ou seja, =,. A análise de fila multiescala mostra que a probabilidade de perda () pode ser estimada pela seguinte equação []: () 1 [ <+ ] (10) E a análise de fila para escala crítica de tempo pode ser estimada por: () [ >] (11) onde denota a escala de tempo crítico dado por: =arg {,,} [ >] (1) C. Proposta de para o Tráfego Multifractal Esta seção faz uso de estatísticas (média, variância) do tráfego e de suas propriedades multifractais (expoente de Hölder) na derivação de uma expressão para a probabilidade de perda para tráfego de entrada em um servidor. Pode-se estimar a taxa de perda de bytes (probabilidade de perda de bytes) () em um buffer finito através da probabilidade de perda assintótica (probabilidade de cauda ou probabilidade de transbordo) ( > ) para processos multifractais de entrada. Devido à estrutura multiplicativa dos processos multifractais, a distribuição não-gaussiana desses processos é aproximadamente do tipo lognormal. Esse resultado pode ser constatado na prática principalmente para tráfego real em pequenas escalas de tempo [8],[3]. Considerando essas características do tráfego de rede, será apresentado uma proposta para o cálculo de probabilidade de perda em regime permanente. Dessa forma, define-se o processo multifractal da seguinte forma: Definição 4 Seja () a taxa de tráfego no instante t, e () = () a carga de tráfego acumulado até o instante e denota-se por () =( + ) (). A taxa média do tráfego é dada por = (). Sendo e, a média e a variância, respectivamente do processo (). Dado >0, um processo de tráfego acumulativo () é dito ser multifractal com escala de tempo, se todas as seguintes condições forem satisfeitas: i. () tem incremento estacionário com escala de tempo, isto é, (, ) =(). ii. () tem distribuição lognormal (, ) () () = 1 ) (() onde os parâmetros e são encontrados através da média e da variância do processo (). iii. e satisfaz as seguintes condições: iii.a. = onde é a taxa de entrada do tráfego; iii.b. Existe 0<() <1 e uma constante >0 tal que para qualquer {: <<+,>0} ~ () Com isso, pode-se escrever a média e a variância da distribuição lognormal, respectivamente, como: =( + ) (13)

4 75 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 11, NO., MARCH 013 Portanto =( + )[( ) 1] (14) =() +1 (15) = +1 (16) Os processos com comportamento multifractal dependem fortemente dos momentos de primeira e segunda ordem, dados por (iii.a) e (iii.b), respectivamente. Nota-se pelo item (iii.b) que a variância (momento de segunda ordem) de processos multifractais se relaciona com o expoente de Hölder (). Para simplificar os cálculos, assume-se que o expoente de Hölder de um processo apresenta uma distribuição normal (, ) na escala de tempo [4], onde e são, respectivamente, a média e a variância dos expoentes de Hölder. Assim, obtêm-se a seguinte equação para a variância do processo () em relação à escala de tempo : ~ (17) Fazendo =, tem-se =ln() /(ln ()) e / = 1/( ln() ). Então, a Equação (17) pode ser reescrita como: ~ ( ()) (()(()) (18) ( ()) A Equação (18) representa o cálculo do valor médio para variável aleatória com distribuição lognormal com parâmetros () e (()) [4]. Utilizando as Equações 13 e 14 da distribuição lognormal e considerando que = () e = (()) pode-se escrever: ~exp[ln() +(ln() ) ] = =exp [ln()( +ln() ) = () (19) Substituindo = do item iii.a da Definição 4 e a Equação (19) nas Equações 15 e 16, obtêm-se as seguintes expressões, respectivamente: = ( ) () () (0) = ( ) () () +1 (1) para efeito de simplificação considera-se =1. Dessa maneira, é possível agora apresentar a proposta para a estimação da probabilidade de perda em um servidor considerando tráfego multifractal de entrada. Proposição 1 Seja T>0, um processo de tráfego acumulativo W(t) dito ser multifractal na escala de tempo T, com incremento estacionário na escala de tempo T e apresentando distribuição lognormal L(ω, θ ). A probabilidade de perda para um servidor com taxa C e tamanho de buffer q é dada pela seguinte expressão: P rp [ln(( Ct + q) ( k λ ) aexp( + 1) ln( λt)] exp λ ln(( k λ ) aexp( + 1) = ( 1 ) dt C 0 π ln(( k λ ) aexp( + 1)( Ct + q) () Demonstração Sejam () o comprimento da fila em servidor em um tempo t; ( ) =() ( ) a carga de tráfego acumulado no período ( ) e ( ), denotando a utilização do tráfego em ( ). Em uma fila em equilíbrio tem-se: ( ) +( ) =() +( ). (3) Assumindo () =0 e () =0 em = 0 e =0, pode-se escrever o comprimento da fila () como: () =max (() (),0). (4) Seja a taxa de serviço da fila e () duração total quando os servidores estiverem inativos até o tempo. Com isso, temse que: () =( ()). (5) Sendo () =() e substituindo (5) em (4) temse: () =max (() + (),0), (6) onde () =(). Esse resultado em conjunto com a lei total de probabilidade, permite escrever a probabilidade de perda na fila como: () =(() >) =(() + () >,() >) +(() + () >,() ) (7) ou =(() >) +() <() + () (8) O primeiro termo (() >) da Equação (8) será chamado de probabilidade de perda absoluta ( ) e o segundo termo () <() + () de probabilidade oportuna ( ), no qual um processo multifractal é governado. Assumindo () estacionário, e seja =1 =1 /, usando o resultado de [5 Capítulo ], o segundo termo pode ser escrito como: () =() <() + () = () () (9) A probabilidade de perda absoluta é equivalente a: () =(() >) =(() >+) = () () (30) Então, o comportamento exato da fila é dado por: () = () () + () () (31) A primeira integral da Equação (31) pode ser escrita como: () = () () = ()() (3) () Além disso, mostra-se que a probabilidade de perda em regime permanente pode ser dada por: () = () = () () (33) Como um processo multifractal apresenta distribuição lognormal, a probabilidade de perda para processos multifractais em uma fila pode ser dada por: (()) () =1 (34) Note que as variáveis e podem ser estimadas pelas Equações (0) e (1) para séries de tráfego multifractais reais. Assim, substituindo as Equações (0) e (1) em (34), obtêm-se a seguinte equação:

5 WILIAN DE GODOY STÊNICO et al.: QUEUING MODELING 753 ( ~ ) ( ) ( ) ) ~ 1 α σ ln t k λ t t 1 ( 1 ~ ) ln( ) ( ) + ) ~ α σ t k λ t t 1 [ln ( Ct+ q) ln + ln( λt)] exp ln λ P = rp (1 ) C 0 π ln 1 ( Ct+ q) ( 1 ~ ) ln( ) ( ) + ) ~ α σ t k λ t t dt (35) Utilizando uma função exponencial da forma () para caracterizar a relação da variância dada pela Equação (19) pelo tempo, obtêm-se a expressão para a probabilidade de perda em um servidor considerando tráfego multifractal de entrada. [ln(( Ct + q) ( k λ ) aexp( + 1) ln( λt)] exp λ ln(( k λ ) aexp( + 1) P = ( 1 ) rp dt C 0 π ln(( k λ ) aexp( + 1)( Ct + q) Para comprovar a eficácia da Equação () para o cálculo de probabilidade de perda de bytes em uma conexão, simulações com várias séries de tráfego foram realizadas, cujos resultados foram comparados com os dos métodos, s [1], Multiscale Queue () e Critical Dyadic Time-Scale Queue () [], e apresentados na Seção Testes Experimentais. IV. ESQUEMA PARA O CONTROLE DE ADMISSÃO PARA TRÁFEGO MULTIFRACTAL Os critérios de admissão são as regras pelas quais os esquemas de controle de admissão aceitam ou rejeitam um fluxo. Assim, uma decisão de controle de admissão é frequentemente feita baseada em uma estimação do efeito que o novo fluxo terá em outros fluxos e a utilização da rede em questão. Os esquemas de controle de admissão (CAC- Connection Admission Control) podem ser classificados como determinísticos ou estatísticos. Esquemas determinísticos tipicamente requerem apenas simples parâmetros de tráfego, definidos através da sinalização da conexão, tais como, taxa de pico ou taxa média. Isso simplifica o processo de decisão, porém, as decisões tomadas podem tornar-se pouco precisas. Por outro lado, esquemas estatísticos tipicamente necessitam de mais parâmetros do tráfego e um modelo de tráfego explícito. Esquemas estatísticos frequentemente consideram ganhos de multiplexação, fato esse que os fazem atrativos, principalmente quando o tráfego apresenta surtos. Os mecanismos de controle de admissão de conexão possuem três componentes básicos: descritores de tráfego, critérios de admissão e processos de medida de tráfego. Os descritores de tráfego são um conjunto de parâmetros que caracterizam as fontes de tráfego. Quando o tráfego apresenta grande intensidade de surtos, a utilização da rede pode tornar-se muito baixa caso o controle de admissão esteja baseado apenas em parâmetros providos no estabelecimento da conexão. Assim, para obter maiores taxas de utilização, o controle de admissão deve monitorar a dinâmica da rede e utilizar medidas tais como carga instantânea da rede e atraso de pacotes para fazer suas decisões de admissão. Esquemas de controle de admissão baseado em medidas (MBAC) [6], são uma entidade lógica que realiza medidas da dinâmica dos dados da rede e fornece as informações obtidas aos algoritmos de controle de admissão. Isso faz com que esquemas MBAC se beneficiem da multiplexação estatística do tráfego para maximizar a utilização da rede. Para os mecanismos de controle de admissão baseados em medida tomarem decisões de admissão inteligentes, esses devem possuir um apurado conhecimento do volume de congestionamento e do volume de recursos usados na rede. Há uma variedade de mecanismos para obter essas medidas, e cada um, possui um efeito significante no comportamento dos esquemas de controle de admissão. Como observar-se em [7],[8],[9],[30],[31], vários métodos de controle de admissão são apresentados na literatura, dessa forma, na próxima seção serão listados resumidamente alguns desses modelos. Dentre eles, o método da Máxima Variância e o método de Perda Virtual que serão utilizados na comparação do método proposto. A. Controle de Admissão Baseado na Máxima Variância (MVA) Sejam [, ], o fluxo de tráfego de chegada no intervalo [, ], como: = [,]. (36) De acordo com os autores em [3], a probabilidade de perda de dados (pacotes, bytes, etc) é dada por: ( >) =( >) (37) onde é o tamanho do buffer. A abordagem MVA se baseia na observação de que, se for Gaussiano, limitantes exatos e aproximações para o lado direito da Equação (37) podem ser obtidos. Como corresponde à agregação de chegadas de um grande número de fontes, pelo Teorema do Limite Central, a hipótese de ser gaussiano é razoável em redes de alta velocidade. Para Gaussiano a Máxima Variância (MVA) normalizada, é dada por: = { } (( )). (38) Sendo Gaussiano, pode-se dizer que o instante de tempo em que a variância normalizada for máxima é o mesmo instante em que a probabilidade de perda ( >) atinge seu valor máximo. Dessa forma, um fluxo de tráfego é aceito se a estimativa da probabilidade de perda ( >) não ultrapassar um determinado valor [33]. Assim, uma aproximação utilizada para estimar a Equação (37) é: ( >) ( >) (39) B. Controle de Admissão Baseado em Probabilidade de Perda Virtual: Considera-se uma fonte [34], caracterizada pela taxa média (), e a taxa de pico (MAX). Para uma fonte de vídeo, por exemplo, existem períodos ativos e períodos ociosos, dessa forma, a probabilidade da fonte estar ativa é dada por (/), a probabilidade de estar em um estado ocioso, é dada por 1-(/), e a taxa de tráfego será constante se, (), for igual a (). Usando a taxa constante, um algoritmo de controle de

6 754 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 11, NO., MARCH 013 admissão é designado para aproximar a probabilidade de perda em um multiplexador. Com isso, a qualidade de serviço (QoS) é medida em termos da probabilidade de perda virtual. A probabilidade de perda ocorre se e somente se, a taxa de pico agregado exceder a capacidade do servidor. Para esse método de controle de admissão é utilizado apenas os paramentos () e (), do tráfego [35],[36],[37], onde, a taxa de pico agregado para uma carga com fontes ativas é definido como,.. A probabilidade de perda virtual é obtida, da razão do excesso de trafego, pela utilização do trafego (). Denotase o número de fontes multiplexadas em uma conexão por. Com isso, têm-se as seguintes equações: = (40) = (.) () (. ) (41) =. (4) onde () é a probabilidade que de fontes esteja ativa, isto é: () = 1. (43) Quando a taxa de pico agregada for menor que a capacidade do servidor, assume-se que não ocorre perda. Mesmo que a condição seja válida, devido a um curto prazo de carga flutuante causada por chegadas simultâneas de diferentes tipos de fontes, a carga de tráfego excede instantaneamente a capacidade do servidor. E por essa razão, o buffer deve ter uma capacidade infinita para prevenir a perda devido ao curto prazo de carga flutuante. C. Método de Controle de Admissão Uma vez que a estimação de parâmetros multifractais dos fluxos de tráfego requer algoritmos relativamente complexos, desenvolver um algoritmo de controle admissão que leve em consideração essas características, pode resultar em uma elevada complexidade computacional. Nesta seção, será proposta uma estratégia para o controle de admissão a partir da suposição de que a variância das séries de tráfego tem um decaimento exponencial em função do tempo, como visto anteriormente. O método consiste basicamente em calcular a probabilidade de perda de dados através da Equação (). Segue os procedimentos do algoritmo de controle de admissão. Dada uma série de tráfego qualquer, calculam-se os parâmetros estatísticos, dentre eles (média e variância); Faz-se a aproximação exponencial da relação variância dada pela Equação (19), pelo tempo, através do método de mínimos quadrados para a obtenção dos parâmetros e ; As configurações do servidor a ser utilizado (Capacidade do Servidor () e Tamanho do Buffer ()) são fixadas; Executa-se o método de Simpson para o cálculo da probabilidade de perda dada pela Equação (); Em seguida realiza-se a multiplexação da série inicial com outra série de tráfego, com a mesma quantidade de amostras, e o algoritmo é executado novamente; As multiplexações com novas séries de tráfego são feitas e o algoritmo para a probabilidade de perda é executado até que o valor seja igual a 1. Com isso, um fluxo de tráfego será aceito se a estimativa da probabilidade de perda não ultrapassar um determinado limiar desejado. Os resultados das simulações referentes ao esquema de controle de admissão proposto juntamente com os métodos MVA e Perda Virtual, são encontrados na Seção VI. V. TESTES EXPERIMENTAIS PROBABILIDADE DE PERDA Nos testes experimentais, foi empregado o método numérico de Simpson implementado em Matlab, para o cálculo de probabilidade de perda da expressão proposta (Equação ()). Para isso, utilizou-se nas simulações séries de tráfego reais TCP/IP (lblpkt_5_10, dec_pkt_1_40, lbl_pkt_5). As séries usadas neste trabalho foram retiradas de [38], sendo que a série lbl_pkt_5_10 deriva de lbl_pkt_5, porém usando a escala de 10 milissegundos para a agregação. Da mesma forma, a série dec_pkt_1_40 deriva de dec_pkt_1 com escala de agregação 40 milissegundos. Foram consideradas amostras de tráfego em escalas temporais de agregação onde as séries de tráfego apresentam características multifractais [9]. Para cada série utilizada, obtêm-se alguns dados estatísticos, tais como média, variância, além da fixação de valores para a capacidade do Servidor C, e para o tamanho do buffer (q). Um ponto que merece destaque são os valores fixados para a capacidade do servidor, na qual foram tomados de forma a ser maior do que os valores da taxa média do tráfego devido à expressão (1 /) existente na integral proposta. A Tabela I apresenta as configurações utilizadas nas simulações para o servidor de rede. TABELA I CONFIGURAÇÃO DO SISTEMA Série de Tráfego Capacidade do Servidor (Bytes/s) Tamanho do Buffer (Bytes) lbl_pkt_5_ x x 10 4 dec_pkt_1_40 1 x x 10 5 lbl_pkt_5 5.6 x x 10 5 A Tabela II apresenta os valores dos parâmetros obtidos que foram usados nas simulações. TABELA II PARÂMETROS DAS SÉRIES DE TRÁFEGO Série de Tráfego Média Variância a b lbl_pkt_5_ x dec_pkt_1_ x x lbl_pkt_ x x A Tabela III compara a probabilidade de perda estimada (em bytes) para as séries de tráfego usadas nas simulações. Foi calculada a probabilidade de perda de bytes em um simples servidor alimentado por essas séries de tráfego através dos seguintes métodos: s [1], Multiscale Queue () e Critical Dyadic Time-Scale Queue () []. Como pode-se observar na Tabela III, os resultados utilizando a equação proposta para o cálculo de probabilidade de perda, obteve uma estimativa mais precisa em relação ao outros métodos utilizado na comparação, pois seus valores estão mais próximos dos valores da simulação real, mostrando assim, a eficácia da proposta.

7 WILIAN DE GODOY STÊNICO et al.: QUEUING MODELING 755 TABELA III PROBABILIDADE DE PERDA Série de Tráfego lbl_pkt_5_10 dec_pkt_1_40 lbl_pkt_5.45x x x x x x x x x x x x x x x10-8 As Fig. 1 a 3 mostram a probabilidade de perda versus o tamanho do buffer, sendo que a abordagem proposta para estimação de probabilidade de perda é dada pela Equação (). Pode-se notar que os resultados obtidos com a equação de probabilidade de perda proposta em regime permanente, ou seja, para, obtidas para séries reais de tráfego são mais realistas do que os outros métodos usados na comparação, s [1], e []. Destaca-se também, que a equação proposta é capaz de capturar o comportamento multifractal das séries de tráfego reais no sistema de filas para um intervalo maior do tamanho de buffer. Nas Fig. 4 a 6, apresentam a probabilidade de perda em regime permanente em função da capacidade do servidor. Como pode ser observado nessas figuras, a expressão proposta para o cálculo de perdas, obtêm novamente resultados mais realistas do que as abordagens de, e Tamanho do Buffer (Bytes) x 10 4 Figura 1. versus Tamanho do Buffer para a Série de Tráfego Internet lbl_pkt_5_ Tamanho do Buffer (bytes) x 10 6 Figura. versus Tamanho do Buffer para a Série de Tráfego Internet dec_pkt_1_ Tamanho do Buffer (Bytes) x 10 5 Figura 3. versus Tamanho do Buffer para a Série de Tráfego Internet lbl_pkt_ Capacidade do Servidor (Bits/s) Figura 4. versus Capacidade do Servidor para a Série de Tráfego lbl_pkt_5_ Capacidade do Servidor (Bits/s) x 10 5 Figura 5. versus Capacidade do Servidor para a Série de Tráfego dec_pkt_1_40. Mostrou-se através de simulações que os resultados da equação proposta são continuamente mais precisos com relação à variação do tamanho do buffer e ou a capacidade do servidor, do que os métodos de e da análise de fila Multiescala. Os resultados obtidos comprovam a eficácia do método proposto baseado em processos multifractais, o que de fato provê uma descrição mais completa do cenário de rede em questão.

8 756 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 11, NO., MARCH Capacidade do Servidor (Bits/s) x 10 4 Figura 6. versus Capacidade do Servidor para a Série de Tráfego lbl_pkt_5. VI. TESTES EXPERIMENTAIS CONTROLE DE ADMISSÃO Utilizou-se nas simulações para o controle de admissão diferentes tipos de séries de tráfego, tais como tráfego TCP/IP, tráfego de vídeos, tráfego sintéticos, apresentando características monofractais e características multifractais. A análise será dividida em vários experimentos de acordo com o tipo de tráfego considerado. Para o primeiro experimento foi usado apenas à série de tráfego TCP/IP, decpkt- [38] na escala de 10ms, com amostras. Essa série de tráfego tem um comportamento que tende a ser monofractal [3]. Para o segundo experimentos foram utilizadas várias séries de tráfego TCP/IP monofractais e multifractais, dec-pkt--100, dec-pkt-3-100, dec-pkt-3-51, lbl-tcp-3, lbl-pkt-4-100, lbl-pkt , lbl-pkt-4-51, lbl-pkt-5-51, BC-pAug89-00, BCpAug89-400, todas com amostras. Os experimentos 3 e 4 foram utilizadas séries sintéticas multifractais geradas pelo FRACLAB [39], segundo o modelo fbm. As séries geradas possuem amostras. Já para o experimento 5 utilizou-se de séries de tráfego de vídeos retiradas de [40], cada série possui amostras. Para a realização das simulações foram consideradas as seguintes configurações para o servidor de rede, conforme descrito na Tabela IV. TABELA IV CONFIGURAÇÃO DO SISTEMA Série de Tráfego Capacidade do Servidor Tamanho de Buffer TCP/IP (dec_pkt_) 1.6 x x 10 4 TCP/IP(Várias séries) 5 x x 10 5 Sintético Multifractal 1 x x 10 4 Sintético fbm x x 10 4 Vídeo 3 x x 10 4 As Figuras 7, 8, 9, 10 e 11 são referentes às seguintes séries de tráfego respectivamente: TCP/IP (uma única série), TCP/IP (várias séries), Sintético Multifractal, Sintético fbm e de Vídeo. As figuras mostram a quantidade de séries agregadas versus a probabilidade de perda. Para verificar a validade do método proposto, foram realizados nos testes experimentais uma comparação com outros dois métodos existentes na literatura MVA [30] e Perda Virtual [41] e pode-se notar que os resultados obtidos pela proposta apresentam maior proximidade dos resultados de simulação com o tráfego real do que para os demais métodos, para todos os tráfegos analisados. Na Fig. 7 mostra as comparações dos métodos MVA e Perda Virtual com a abordagem proposta para a série de tráfego dec-pkt- e observa-se que o método proposto apresenta um resultado mais preciso do que as outras abordagens. Para a Fig. 8 a análise foi feita para diversas séries de tráfego TCP/IP e pode se notar que o método proposto apresenta novamente uma melhor caracterização da perda de bytes com relação às abordagens consideradas. Na Fig. 9 os resultados são mais expressivos, por modelar com certa exatidão uma série de tráfego com características multifractais. De acordo com o resultado, pode-se concluir que o método MVA não seria uma boa estratégia para essa situação. A Fig. 10 apresenta os resultados de probabilidade de perda para séries sintéticas monofractais (modelo fbm). Pela Fig. 10, observa-se que mesmo as séries geradas pelo modelo fbm serem gaussianas e o método MVA ser baseado em tráfego gaussiano, o método proposto obteve resultados mais próximos aos das simulações. E por fim, observa-se na Fig. 11 que o método proposto permanece mais preciso também para as séries de vídeo Proposta N de Séries de Tráfego Figura 7. N de Séries de Tráfego versus para uma Série de Tráfego TCP/IP (dec-pkt-) Nº de Séries de Tráfego Figura 8. N de Séries de Tráfego versus para várias Séries de Tráfego TCP/IP. MVA Perda Virtual MVA Perda Virtual

9 WILIAN DE GODOY STÊNICO et al.: QUEUING MODELING N de Séries de Tráfego Figura 9. N de Séries de Tráfego versus para uma Série de Tráfego Sintética Multifractal. Proposta N de Série de Tráfego Figura 10. N de Séries de Tráfego versus para uma Série de Tráfego Sintética fbm N de Séries de Tráfego Figura 11. N de Séries de Tráfego versus para Séries de Tráfego de Vídeo. A Tabela V resume os resultados referentes à análise da quantidade de conexões aceitas assumindo várias probabilidades de perda referentes às séries de vídeo (Aladdin, Diefirma,Diehard3, Dusk, FirstContact, Jurassic, RobinHood, Silence, Starqars4, Suzi and Strolch e Trooper) [40]. TABELA V QUANTIDADE DE SÉRIES DE TRÁFEGO ACEITAS Probabilidade de Proposta MVA Perda Virtual Perda MVA Perda Virtual Proposta MVA Perda Virtual MVA Perda Virtual A Tabela V confirma que as quantidades de conexões aceitas pelo método proposto se equivalem ou estão bem próximas da simulação real. Verificou-se pelos resultados obtidos que o esquema de controle de admissão proposto é mais preciso em diferentes situações comparado a vários métodos existentes na literatura. Dessa forma, o esquema de controle de admissão proposto pode ser empregado em diversas tecnologias de rede para garantir parâmetros de QoS requeridos aos fluxos de tráfego. VII. CONCLUSÕES FINAIS Neste trabalho, foram utilizados principalmente das propriedades multifractais do tráfego de redes para abordar uma solução para a estimação de perda e que também podem ser utilizadas na provisão de QoS nas redes de multisserviços atuais. Assumiu-se em um primeiro instante uma distribuição normal para a equação que relata a relação da variância do processo, porém devido à complexidade proporcionada pela equação, utilizou-se modelo exponencial para descrever a variância do tráfego em função da escala de tempo de agregação. Derivando assim uma equação para caracterizar as perdas existentes nos fluxos tráfego de redes. Posteriormente, através da equação proposta foi possível propor um esquema de controle de admissão, o qual pode ser aplicado a vários contextos de redes para garantir que os fluxos atendam requisitos de perda. A validação da equação proposta, assim como o esquema de controle de admissão ocorreu através de simulações com séries de tráfego reais, comparando com alguns modelos bastante conhecido na literatura. Os resultados analíticos e experimentais obtidos neste trabalho mostraram a eficiência da abordagem proposta para estimação da probabilidade de perda e a eficácia do esquema de controle de admissão, conseguindo modelar de forma mais realista e robusta o comportamento de fila em um simples servidor, o que a torna uma alternativa analítica promissora no projeto de redes. Com trabalhos futuros, pretende-se investigar, além da distribuição lognormal analisada neste trabalho, outros tipos de distribuições de cauda pesada, tais como: Pareto, Weibull, entre outras, com o intuito de analisar as possíveis relações existentes entre elas e com isso obter uma expressão geral para a probabilidade de perda para tráfego com características multifractais. Acredita-se também que através dessa investigação, será possível propor um novo modelo de tráfego multifractal. REFERENCIAS [1] F. Perlingeiro and L.L. Lee, A New Bandwidth Estimation Approach for Fractal Processes IEEE Latin America Transactions, Vol. 3, No. 5, Pages , December 005. [] J. W. G. Stênico, e L.L. Lee, A New Binomial Conservative Multiplicative Cascade Approach for Network Traffic Modeling. In: 7th IEEE International Conference on Advanced Information Networking and Applications - IEEE AINA 013,Vol. 1 Pages , Mach 5-8, 013 Barcelona, Spain. [3] W.E. Leland, M.S. Taqqu, W. Willinger, and D.V. Wilson, On The Self-Similar Nature of Ethernet Traffic (extended version). IEEE/ACM Transactions on Networking, 1994.

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Atualmente cursa Doutorado pela Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP, na área de Telecomunicação da Faculdade de Engenharia Elétrica e Computação, atuando principalmente nos seguintes temas: Tráfego de Redes, Engenharia de Tráfego e Modelagem Multifractal. Lee Luan Ling, graduou-se em Engenharia Elétrica pela Universidade de São Paulo USP em 1980, obteve o título de mestre em Engenharia Elétrica pela Universidade Estadual de Campinas em 1984 e doutorado em Engenharia Elétrica - Cornell University em Atualmente é professor titular da Universidade Estadual de Campinas. Tem experiência na área de Engenharia Elétrica, com ênfase em Sistemas de Telecomunicações, atuando principalmente nos seguintes temas: reconhecimento de padrões, biometria, caracterização e modelagem de tráfego e engenharia de tráfego. Flávio Henrique Teles Vieira, graduou-se em engenharia elétrica pela Universidade Federal de Goiás (UFG) em 000, obteve o título de mestre em engenharia elétrica e computação pela UFG em 00 e o doutorado em engenharia elétrica e computação pela Universidade Estadual de Campinas (FEEC- UNICAMP) em 006. Atualmente é professor da Escola de Engenharia Elétrica e de Computação (EEEC) da Universidade Federal de Goiás e atua nas seguintes áreas: modelagem e controle de tráfego de redes, redes sem fio e inteligência computacional.