Um estudo comparativo de processos envelope para modelagem de tráfego multifractal

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1 Um estudo comparativo de processos envelope para modelagem de tráfego multifractal César Augusto Viana Melo, Nelson Luis Saldanha da Fonseca Ý ½ Instituto de Computação Universidade Estadual de Campinas Av. Albert Einstein, Campinas SP Resumo. Neste artigo, apresenta-se uma comparação entre processos envelope para modelagem de tráfego multifractal. Processos envelope são próprios para a definição de modelos de tráfego minimalistas utéis no dimensionamento de mecanismos de controle que exigem respostas imediatas. Um extensivo processo de validação foi realizado indicando que o processo envelope que representa com maior precisão o tráfego multifractal é o definido a partir do desvio padrão do processo movimento Browniano multifractal. Abstract. This paper presents a comparative study using envelope processes which are suitable for multifractal traffic modeling. Envelope processes have been used to define minimalist traffic models. An extensive validation process was carried out. Results indicate that an envelope process based on the standard deviation of the multifractal Brownian motion process accurately models multifractal traffic. 1. Introdução Desde a publicação do trabalho seminal de Leland, Taqqu, Willinger e Wilson [Leland et al., 1994], que evidenciou a natureza fractal do tráfego de redes, modelos de tráfego que captam diversas escalas de tempo têm sido objeto de intensa pesquisa. O tráfego de natureza fractal, ou simplesmente tráfego fractal, possui duas propriedades marcantes: a autocorrelação decai lentamente com o tempo e suas estatísticas são insensíveis às escalas de tempo em que são observadas. Entre os diversos modelos de tráfego derivados para caracterização de tráfego fractal [Ma and Ji, 21][Willinger et al., 1996], o de maior destaque foi o modelo baseado no processo movimento Browniano fractal. O processo movimento Browniano fractal é caracterizado por um reduzido número de parâmetros: média, variância e parâmetro de Hurst, ou parâmetro À, que indica o grau de auto-similaridade do processo. Em processos fractais, o parâmetro de Hurst mantém-se constante nas diversas escalas de tempo. Investigações envolvendo tráfego IP (Internet Protocol) constataram a existência de uma escala de tempo limite, abaixo da qual modelos fractais não são capazes de caracterizar o tráfego com precisão [A.Erramilli et al., 2] [A.Feldman et al., 1998], o que pode ser explicado pelo fato de que o cenário no qual o tráfego IP é gerado diferencia-se, em muito, daquele onde a natureza fractal do tráfego foi constatada. O tráfego IP, apresenta as seguintes características : i) escalas de Trabalho parcialmente financiado pela FAPESP (processo / ) Ý Trabalho parcialmente financiado pela CNPq (processo 364/95- )

2 tempo de interesse fora das regiões definidas para os modelos fractais; ii) a ação de mecanismos do controle tem forte influência sobre as estatísticas dos fluxos; iii) pequena diferença entre a taxa de pico de uma fonte e capacidade do enlace e; iv) distribuições marginais do tráfego não-gaussianas. A grosso modo, pode-se diferenciar um processo fractal de um processo multifractal pela representação do grau de variabilidade. Enquanto que num processo fractal o grau de variabilidade é constante (parâmetro À), num processo multifractal este valor é uma função do tempo. Um processo multifractal que é candidato natural à modelagem de tráfego multifractal é o processo movimento Browniano multifractal (mbm). O mbm, definido em [Peltier and J.L.Vehel, 1995] e [Benassi and Roux, 1997], é uma generalização do processo movimento Browniano fractal, com o parâmetro À sendo substituído por uma função de Hölder À µ que descreve o grau de variabilidade do processo em cada instante Ø. A definição de um modelo de tráfego a partir de processos que representam com fidelidade o tráfego, impõe um alto custo computacional à derivação dos seus parâmetros inviabilizando assim, a sua utilização no dimensionamento de mecanismos de controle que exigem respostas imediatas, tais como controle de admissão e policiamento. A utilização de um modelo de tráfego minimalista, definido a partir de um processo envelope (PE), é uma abordagem alternativa capaz de gerar caracterizações do tráfego com boa precisão. Um processo envelope é um limitante superior para um processo real. Existem dois tipos de processos envelope: PE determinísticos e PE probabilísticos. A diferença entre PE determinístico e PE probabilístico reside na possibilidade de violação do limitante. Enquanto que um processo envelope determinístico considera sempre o comportamento de pior-caso do processo, os processos envelope probabilísticos permitem uma avaliação mais flexível do que a de-pior-caso, incorporando-se flexibilidade de violação do limitante expresso pela probabilidade de violação. Na realidade, esta probabilidade de violação do limitante regula a qualidade da representação desejada. A contribuição deste trabalho é o estudo da precisão de representação de um processo multifractal por três diferentes processos envelope probabilísticos derivados a partir de estatísticas do processo mbm. Estes PEs diferem pelas estatísticas utilizadas, que são: i) o segundo momento do processo mbm, ii) a variância assintótica, e iii) o limite superior do desvio padrão. Estes PEs derivados são denotados, respectivamente, por È ¾, È ¾ e È. Sendo os PEs limitantes superiores para o tráfego pretende-se investigar qual dessas estatísticas capta melhor as variações das realizações do processo mbm. Através de um extenso processo de validação que utiliza tanto dados reais quanto dados sintéticos, verificou-se que o processo È é o que melhor capta estas variações. O È foi introduzido em [Melo and Fonseca, 23] e alguns resultados mostrados em [Melo and Fonseca, 23] são reproduzidos no presente artigo. Mais especificamente, reproduz-se a caracterização do (do inglês trace) lblpkt4 e dos processos mbm sintéticos utilizando-se o È. Em [Melo and Fonseca, 23], mostra-se a aplicação do È na definição de um modelo de tráfego minimalista, usado para calcular um limitante para o instante em que o sistema alcança o seu máximo em termos de trabalho não-realizado. Neste modelo, o processo que alimenta o sistema é limitado pelo È. Os demais PEs são propostos originalmente neste artigo. O restante deste artigo está assim organizado. Na Seção 2. introduz-se uma definição

3 genérica de um processo envelope, bem como as definições dos PEs utilizados na comparação. Na Seção 3., mostra-se os resultados do processo de validação realizado. Por fim, na Seção 4., as conclusões deste trabalho são apresentadas. 2. Um PE para o acumulado das realizações de um processo mbm Um processo envelope (PE) µ de um processo X, no intervalo ¼ Ì, pode ser definido por: Ì µ Ì ¼ Üµµ Ü (1) onde éamédia do processo e µ é uma função que capta as variações do processo em relação a sua média. A expressão definida pela Equação (1) é genérica, ou seja, pode-se definir uma função que melhor capte as variações do processo. Resolvendo-se a integral em (1) tem-se que: Ì Ì µ Ì Üµ Ü (2) ¼ Note que uma avaliação da integral Ê Ì Üµ Ü pode ser obtida com o emprego da regra do trapézio. ¼ Baseado nesta definição genérica de um PE mostra-se, a seguir, a derivação dos processos envelope estudados aqui. O È ¾ é definido a partir de um limite superior para variância de um processo mbm. A covariância de um processo mbm µ, com função À µ associada, entre os instante Ø e é definida como sendo [A. Ayache and Véhel, 2]: ÓÚ Øµ Ø µ Øµ µ À Øµ À µµ Ø À Øµ À µ À Øµ À µ Ø À Øµ À µ µ com Ü Ýµ Ô ¾Ü ½µ ¾Ý ½µ Ò Üµ Ò Ýµ ¾ Ü Ý ½µ Ò Ü Ýµ ¾µ Por outro lado, sabe-se que a variância de um processo µ em um instante Ø é dada por [Papoulis, 1984]: Î Ö Øµ ¾ Øµ Øµ onde Øµ e ¾ Øµ são, respectivamente, o primeiro e o segundo momento de µ. A partir da definição da covariância de um processo mbm µ obtém-se a expressão abaixo para o segundo momento do processo:

4 ¾ Øµ ÓÚ Øµ Øµ Øµµ À Øµ À Øµµ Ø À Øµ À Øµ Ø À Øµ À Øµ Ø Ø À Øµ À Øµ µ ¾ À Øµ À ØµµØ ¾À Øµ Ø ¾À Øµ (3) Como ¾ Øµ Ú Ö Øµ, tem-se que um limite superior para a variância de um processo mbm µ num instante Ø, é dada por Î Ö Øµ Ç Ø ¾À Øµ µ Assim sendo, um PE µ para o acumulado das realizações de um mbm baseado no limitante superior da variância pode ser definido da seguinte forma: Ì µ Ê Ì ¼ Ü¾À Üµ µ Ü onde éamédia, e Ü ¾À Üµ a função µ. é o desvio padrão de µ e uma constante que expressa a probabilidade de µ ultrapassar µ. O È ¾ é definido a partir do comportamento assintótico da variância de um processo mbm. A definição apresentada a seguir para a variância assintótica de um processo mbm bem como a sua demonstração matemática encontram-se em [A. Ayache and Véhel, 2]. Seja µ um processo mbm, com função À µ associada, gerado a partir dos incrementos unitários de um processo mbm µ. Ou seja, Øµ Ø ½µ Øµ Seja Ø e dois instantes de tempo. Então, quando Ø tende para o infinito e para todo ¼, tem-se que: ½ se À Øµ À µ ½ ÓÚ Øµ Ø ¾À Øµ ½ se À Øµ À µ ½ Tomando-se igual a Ø chega-se a um limite para a variância quando Ø tende para o infinito. Ou seja, ÓÚ Øµ ¾ Øµ ½ se À Øµ ¼ Ø ¾À Øµ ½ se À Øµ ¼ Seja Ì µ o acumulado das realizações de µ no intervalo ¼ Ì. Um processo envelope Ì µ para Ì µ é dado por : Ê Ì Ü se À Øµ ¼ Ì µ Ê¼ Ì ¼ Ü¾À Üµ ½ Ü se À Øµ ¼

5 onde e são respectivamente, média e desvio padrão de µ e expressa a probabilidade de Ì µ ultrapassar Ì µ. O È é definido a partir do limitante superior do desvio padrão. Seja µ o processo mbm padrão com função À µ associada. Seja µ o processo definido pelos incrementos de µ em intervalos fixo de tamanho, ou seja, Øµ µ Øµ, onde Ø. A variância de µ é dada por: Ú Ö Øµ Ú Ö µ Øµ µ Øµµ ¾ ¾ µ ¾ Øµ µ ¾ Øµ ¾À µ ¾ À Øµ À µµ Ø À Øµ À µ À Øµ À µ Ø À Øµ À µ Ø ¾À Øµ ¾À µ ¾ À Øµ À µµ Ø À Øµ À µ À Øµ À µ À Øµ À µ Ø ¾À Øµ ¾À µ ¾ À Øµ À µµ À Øµ À µ Ø ¾À Øµ ¾ À Øµ À µ Ø À Øµ À µ ¾ À Øµ À µµ À Øµ À µ ¾À Øµ (4) para suficientemente pequeno. Um limitante superior largo para Ú Ö Øµ com tomado apropriadamente é da seguinte forma: Ú Ö Ø µ Øµ ¾À Øµ Ø ¾À Øµ Ø ½ (5) ou seja, a variância do processo mbm µ com função À µ associada (Equação (3)) é um limitante superior largo para a variância dos incrementos de µ (Equação (4)) tomando-se intervalos suficientemente pequenos. Utilizando este limitante superior, define-se um processo envelope para o acumulado dos incrementos de um processo mbm. Seja Ì µ o acumulado das realizações de processo mbm µ com média, desvio padrão e função À µ em um intervalo ¼ Ì. Um processo envelope Ì µ para Ì µ é definido, a partir da Equação (1), tomando-se Øµ Ø À Øµ onde Ø À Øµ é um limitante superior para o desvio padrão dos incrementos de µ (Equação (5)). A constante expressa a probabilidade do processo real ultrapassar o processo envelope. O processo envelope Ì µ dado por: Ì µ Ì ¼ Ü À Üµ Ü

6 Traçosdetráfego dec pkt 2 dec pkt 3 dec pkt 4 lbl pkt 4 Volume(em pacotes) 3.9 milhões 4.3 milhões 5.7 milhões 3.6 milhões Tabela 1: Medições avaliadas O processo envelope utiliza Ø ¾À Øµ como um limite superior para ¾À Øµ. Dessa forma, tornase necessário um ajuste para melhor caracterizar o processo acumulado dos incrementos de um mbm. Utilizou-se o procedimento de mínimos quadrado para a realização deste ajuste. As funções básicas definidas no procedimento de mínimos quadrado são dadas por: ½ Ñµ Ñ ¾ Ñµ Ì Ñ ¼ Üµ Ü Através da minimização da função objetivo, associada ao método de mínimos quadrado, obtém-se os parâmetros Ý s de ajuste das funções básicas e o PE Ì µ é, então, redefinido da seguinte forma: Ì µ onde Ý ½ e Ý ¾. Ê Ì ¼ Ü À Üµ Ü 3. Resultados numéricos Nos estudos realizados para comparar a precisão dos diferentes PEs utilizou-se processos mbm gerados a partir de dados sintéticos e dados reais. Neste artigo, s de dados reais são chamados de processos reais, enquanto que os s gerados a partir de dados sintéticos são chamados de processos sintéticos. Os dados reais foram obtidos de sdetráfego IP. Estes s representam o tráfego observado, num ponto principal de acesso a Internet da Digital Equipment Corporation [Mogul, 1995]. Parte dos s usado na presente pesquisa foram analisados em [A.Erramilli et al., 21]. As características das medições utilizadas são apresentadas na Tabela 1. Em [A.Erramilli et al., 21] evidencia-se uma escala de tempo limite, chamada de FBM Lower cut-off, aqui denominada por flower, na qual deve-se analisar o tráfego a partir de uma abordagem multifractal. Para o conjunto de s estudado aqui o valor da flower éde ½¾Ñ [A.Erramilli et al., 21]. Para o conjunto de s estudado [A.Feldmann et al., 1998] o valor da flower é da ordem de segundos, mostrando uma dependência desta escala com os s avaliados. A partir dos s IP descritos na Tabela 1 outros s foram gerados, tomando-se as escalas de agregação de ½¼Ñ, ¼Ñ e ¼¼Ñ. Os estudos apresentados nesta seção utilizaram os

7 s gerados pela agregação do tráfego nas escalas de ¼Ñ e ¼¼Ñ. Os resultados obtidos a partir do tráfego agregado nas escalas de ½¼Ñ e ¼Ñ são similares. As Figuras de 1 a 4 mostram os resultados dos experimentos realizados com processos reais. Os gráficos µ e µ mostram os resultados obtidos com s gerado pelo tráfego observado na escala de ¼Ñ. As curvas no gráfico µ mostram os resultados obtidos na avaliação feita para os três PEs (È ¾, È ¾ e È ). As curvas no gráfico µ mostram o resultado obtido com a avaliação do È. Os gráficos µ e µ mostram a mesma avaliação descrita anteriormente considerando a escala de ¼¼Ñ. A curva identificada nos gráficos como corresponde ao sendo avaliado. Os resultados nas Figuras de 1 a 4 mostram padrões de comportamento para os três PEs. O È ¾ comporta-se como um limitante superior largo na escala de tempo de ¼¼Ñ, e na escala de tempo de ¼Ñ ora comporta-se como um limitante superior ora como um limitante inferior. A mudança de um estado para outro ocorre em diferentes instantes de acordo com o observado. Por exemplo, para o decpkt3 a mudança ocorre no instante ¾¼¼¼¼ (Figura 2.a) enquanto que para o lblpkt4 a mudança ocorre no instante ½ ¼¼¼ (Figura 4.a). O padrão de comportamento observado para È ¾ é de um limitante inferior largo na escala de ¼Ñ, e na escala de ¼¼Ñ, oscila entre um limitante superior e um limitante inferior. A mudança de comportamento, tal como observado para o caso do È ¾, ocorre em instantes diferentes. Na avaliação do decpkt2, Figura 1.c, a mudança ocorre no instante ¼¼¼, enquanto que na avaliação do lblpkt4, Figura 4.c, a mudança ocorre no instante ¼¼. O padrão de comportamento observado para o È é de um limitante justo para os diferentes s e diferentes escalas de tempo. Identifica-se violações do È pelo processo modelado (Figuras 1.b a 4.b) mas que estão de acordo com o conceito de processo envelope probabilístico. Para as avaliações realizadas aqui definiu-se, arbitrariamente, uma probabilidade de violação de ½¼.

8 1.4e+9 1.2e+9 1e+9 8e+8 6e+8 4e+8 2 9e+8 8e+8 7e+8 6e+8 5e+8 4e+8 3e+8 2e+8 2e+8 1e x 9ms (a) Escala de tempo de 9ms x 9ms (b) Escala de tempo de 9ms 2e+9 1.8e+9 1.6e+9 1.4e+9 1.2e+9 1e+9 8e+8 6e+8 4e+8 2 9e+8 8e+8 7e+8 6e+8 5e+8 4e+8 3e+8 2e+8 2e+8 1e x 5ms (c) Escala de tempo de 5ms x 5ms (d) Escala de tempo de 5ms Figura 1: Traço decpkt2

9 1e+9 9e+8 8e+8 2 7e+8 6e+8 7e+8 6e+8 5e+8 4e+8 3e+8 5e+8 4e+8 3e+8 2e+8 2e+8 1e+8 1e x 9ms (a) Escala de tempo de 9ms x 9ms (b) Escala de tempo de 9ms 4e+9 3.5e+9 3e+9 2.5e+9 2e+9 1.5e+9 1e+9 2 7e+8 6e+8 5e+8 4e+8 3e+8 2e+8 5e+8 1e x 5ms (c) Escala de tempo de 5ms x 5ms (d) Escala de tempo de 5ms Figura 2: Traço decpkt3

10 1.4e+9 1.2e+9 2 1e+9 9e+8 8e+8 1e+9 8e+8 6e+8 4e+8 7e+8 6e+8 5e+8 4e+8 3e+8 2e+8 2e+8 1e x 9ms (a) Escala de tempo de 9ms x 9ms (b) Escala de tempo de 9ms 3e+9 2.5e+9 2 1e+9 9e+8 8e+8 2e+9 1.5e+9 1e+9 7e+8 6e+8 5e+8 4e+8 3e+8 5e+8 2e+8 1e x 5ms x 5ms (c) Escala de tempo de 5ms (d) Escala de tempo de 5ms Figura 3: Traço decpkt4

11 1.8e+8 1.6e+8 1.4e+8 1.2e+8 1e+8 8e+7 6e+7 4e+7 2e e+8 1.2e+8 1e+8 8e+7 6e+7 4e+7 2e x 9ms (a) Escala de tempo de 9ms x 9ms (b) Escala de tempo de 9ms 4.5e+8 4e+8 3.5e+8 3e+8 2.5e+8 2e+8 1.5e+8 1e+8 5e e+8 1.2e+8 1e+8 8e+7 6e+7 4e+7 2e x 5ms (c) Escala de tempo de 5ms x 5ms (d) Escala de tempo de 5ms Figura 4: Traço lblpkt4 Avaliações com processos reais derivados da agregação das medições na escala de ½¼Ñ foram também realizadas. Os resultados obtidos são similares aos apresentados para a escala de tempo de ¼Ñ. Além disso, variações significativas na precisão da representação, para as diferentes escalas de tempo em que o tráfego foi agregado não foram observadas.

12 Os resultados da modelagem de processos sintéticos são apresentados nas Figuras 5, 6 e 7. Em cada figura o gráfico µ apresenta as três curvas obtidas com a modelagem realizada utilizando os três PEs, È ¾, È ¾ eoè. O gráfico µ mostra as curvas que foram obtidas com a modelagem baseada no È ¾ enoè. O gráfico µ mostra a curva que foi obtida com a modelagem baseada no È. A curva identificada como corresponde ao processo sintético sendo avaliado. Utilizou-se o gerador de processo mbm introduzido em [Peltier and J.L.Vehel, 1995] para a obtenção de séries multifractais. Estas séries são processos mbm que apresentam média igual a zero e variância igual a hum. Para realizar a validação dos PEs redefiniu-se estes processos acrescentando-lhes uma média e uma variância ¾. Em outras palavras, a seguinte transformação foi aplicada para a realização Øµ do processo mbm Z(.): Øµ Øµ Definiu-se valores para a média e para a variância destes processos de tal forma que eles apresentem comportamento similar aos processos reais, principalmente, em termo de volume. Os processos mbm gerados tiveram as suas funções À µ definidas pelos seguintes polinômios: À Øµ Ø ¾ ¼ ¼ com Ø ¾ ¼ ½µ; À Øµ ½ Ø ¾ ½ Ø ¼ com Ø ¾ ¼ ½µ; À Øµ Ø Ø ¾ Ø ¼ ½ com Ø ¾ ¼ ½µ. (6) Na avaliação com processos sintéticos os È ¾ e È ¾ mostram-se limitantes superiores largos. Por outro lado, estes resultados corroboram o È como um limitante superior justo. As violações verificadas estão de acordo com a probabilidade especifícada, ½¼,o que ressalta a precisão do È.

13 Volume 6e+1 5e+1 4e+1 3e+1 2e+1 1e+1 2 Volume 1.8e+7 1.6e+7 1.4e+7 1.2e+7 1e+7 8e+6 6e+6 4e+6 Volume e+6 2 1e (a) Todos os PEs derivados (b) O PE baseado em ¾ (c) O PE baseado em Figura 5: Função Cúbica Volume 1e+9 8e+8 6e+8 4e+8 2 Volume 1.4e+6 1.2e+6 1e Volume e (a) Todos os PEs derivados (b) O PE baseado em ¾ (c) O PE baseado em Figura 6: Função Quadrática

14 Volume 1e+11 8e+1 6e+1 4e+1 2 Volume 1.4e+7 1.2e+7 1e+7 8e+6 6e+6 Volume e+1 2e e+6 2e (a) Todos os PEs derivados (b) O PE baseado em ¾ (c) O PE baseado em Figura 7: Função Linear 4. Conclusões Neste artigo, três diferentes processos envelope derivados a partir de diferentes estatísticas de um processo mbm foram comparados. Processos multifractal, gerados a partir de dados reais e dados sintéticos, foram utilizados para validar os processos envelope. A partir da definição genérica de um PE, diferentes estatísticas foram utilizadas para se derivar os PEs, ou seja, diferentes funções Øµ foram definidas para captar as variações em torno da média do processo. Os resultados dos experimentos mostraram que quando Øµ é a variância do processo mbm padrão o PE é um limitante superior largo. O PE derivado a partir da variância assintótica de um processo mbm mostrou-se um limitante impróprio, oscilando ora como um limitante superior largo, ora como um limitante inferior largo. O PE que utiliza o limitante do desvio padrão do mbm mostrou-se o mais preciso de todos. O comportamento de um sistema de fila alimentado por um processo mbm limitado pelo È foi estudado em [Melo and Fonseca, 23]. Os resultados obtidos na estimativa de escala de tempo de interesse deste sistema reforçam que o PE derivado, a partir do limite superior do desvio padrão, é um limitante superior justo. Mecanismos de policiamento e controle de admissão para redes diffserv baseado neste PE estão sendo atualmente investigados. Referências A. Ayache, S. C. and Véhel, J. L. (2). The covariance structure of multifractional brownian motiom, with application to longe range dependence. Preprint. A.Erramilli, O.Narayan, A.Neidhart, and I.Saniee (2). Performance impacts of multi-scaling in area TCP/IP traffic. In INFOCOM 2, pages

15 A.Erramilli, O.Narayan, A.Neidhart, and I.Saniee (21). Multi-scaling models of TCP/IP and sub-frame VBR video traffic. Journal of Communications and Networks, 3(4): A.Feldman, Gilbert, A., W.Willinger, and T.G.Kurtz (1998). Looking behind and beyond selfsimilarity: On scaling phenomena in measured wan traffic. In ACM SIGCOM. A.Feldmann, A.C.Gilbert, W.Willinger, and T.G.Kurtz (1998). The changing nature of network traffic scaling phenomena. ACM Communicatons Review, 28(2):5 29. Benassi, A. and Roux, S. J. D. (1997). Elliptic gaussian random process. Revista Matematica IBEROAMERICANA, 13(1):19 9. Leland, W., Taqqu, M., Willinger, W., and Wilson, D. (1994). On the self-similar nature of ethernet traffic (extended version). IEEE/ACM Transaction on Networking, pages Ma, S. and Ji, C. (21). Modeling heterogeneous network traffic in wavelet domain. IEEE/ACM Transactions on Networking (TON), 9(5): Melo, C. A. and Fonseca, N. (23). Um processo envelope para modelagem de trafego multifractal. In 21 o Simpósio Brasileiro de Redes de Computadores. Mogul, J. (1995). Estes traces estão disponíveis em PKT.html. Papoulis, A. (1984). Probability Random Variables, and Stochastic Process. McGraw-Hill, Inc. Peltier, R. and J.L.Vehel (1995). Multifractional brownian motion: definition and preliminary results. Technical report, INRIA. Willinger, W., Taqqu, M., and Erramilli, A. (1996). A bibliographical guide to self-similar traffic and performance modeling for modern high-speed networks.