Implementação em Paralelo da Decomposição de Benders Aplicada a Sistemas Eixo Raio

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1 Implementação em Paralelo da Decomposição de Benders Aplicada a Sistemas Eixo Raio Diana Campos Leão, Gleicy Aparecida Cabral, Raquel da Silva Cabral Departamento de Ciência da Computação Universidade Federal de Minas Gerais {dianacle,gleicy,raquelc}@dcc.ufmg.br Resumo Neste trabalho, é desenvolvida uma implementação em paralelo do método de Decomposição de Benders para o problema de localização de concentradores de alocação múltipla não-capacitados. A implementação em paralelo do método de Decomposição de Benders para o problema eixo-raio não é conhecido na literatura, entretanto os bons resultados obtidos pelo algoritmo paralelo desenvolvido revelam que a abordagem paralela é aplicável e mais eficiente. Nos experimentos realizados, o algoritmo paralelo apresentou um tempo de resposta até 70% menor que o tempo de resposta do algoritmo seqüencial. 1. Introdução Sistemas do tipo eixo-raio(hub-and-spoke systems) tornaram-se uma importante área de pesquisa da teoria de localização nas últimas décadas. Esse destaque se deve, em grande parte, ao sucesso de sua utilização em sistemas logísticos, tanto de transporte de passageiros quanto de cargas, e em redes de telecomunicações. Ao invés de servir cada par origem destino de demanda com uma conexão direta, sistemas do tipo eixo raio substituem essas conexões diretas por uma rede de concentradores (hubs). Esses concentradores permitem que o tráfego seja agrupado e transportado através de um meio de transporte compartilhado, para ser então entregue aos respectivos destinos. O compartilhamento desse meio de transporte permite que esses sistemas eixo raio usufruam dos benefícios da economia de escala, isto é, o custo por unidade transportada torna-se menor ao se aumentar o volume do tráfego através do meio de transporte. A Figura 1 ilustra a diferença entre conexões diretas entre pares origem destino (capitais brasileiras) e via sistemas eixo raio. Os problemas do tipo eixo raio envolvem a localização dos concentradores e o desenho da rede que consiste na atribuição das origens e dos destinos a cada (a) (b) Figura 1. Conexões do tipo direta (a) e eixo raio (b) entre pares origem destino. Os pontos( ) representam os pontos de demanda e os triângulos( ) os concentradores concentrador. Dependendo do problema, o número de concentradores a serem localizados, a partir de um conjunto de pontos candidatos, pode ser conhecido previamente ou pode ser também uma variável do problema a ser determinada. A atribuição dos pontos de origem e de destino a cada concentrador pode ser classificada como simples, quando cada ponto só pode ser atendido por um único concentrador, e múltipla, quando cada ponto pode interagir com mais de um concentrador. Além disso, os concentradores e as conexões entre os mesmos podem ou não ser capacitados. Em um sistema capacitado, a capacidade de concentração/divisão e o transporte de fluxo em função do volume de tráfego são limitados. O restante do trabalho está organizado como segue. A seção 2 apresenta alguns trabalhos relacionados. As seções 3 e 4 apresentam o modelo matemático e o método de Decomposição de Benders paralelo, respectivamente. Na seção 5, estão a análise de complexidade do algoritmo e o benchmarking. A seção 6 mostra uma análise dos resultados obtidos. E por fim, na

2 seção 7, são apresentadas as conclusões e indicados os possíveis trabalhos futuros. 2. Trabalhos relacionados Desde o trabalho pioneiro de O Kelly [14, 15], vários pesquisadores propuseram diferentes abordagens e modelos para os sistemas eixo raio. Discussões sobre os mais diversos tipos de problemas dentro do contexto podem ser encontradas em [5, 6, 7]. O método de Decomposição de Benders foi apresentado por Benders [2], e a partir daí vários problemas foram resolvidos utilizando este método. Geoffrion e Graves [10] aplicaram o método a sistemas de distribuição e localização de facilidades instaladas entre as fábricas e os clientes finais. A decomposição foi utilizada em problemas do tipo eixo raio no trabalho de Gilberto Miranda [11]. Neste trabalho, são solucionados problemas quadráticos de atribuição (Quadratic Assignment Problem) e problemas de localização de concentradores. Camargo [8] usa decomposição de Benders para resolver esse problema de forma seqüencial. Implementações paralelas do método de Decomposição de Benders para diversos problemas podem ser encontradas em [13, 12]. Não foram encontrados na literatura trabalhos utilizando algoritmos paralelos em aplicações do tipo eixo raio. 3. Modelo matemático O problema de localização de concentradores não capacitados com múltipla atribuição pode ser assim enunciado: dados um conjunto de pontos, as demandas de cada par origem destino e um conjunto de concentradores candidatos, o problema consiste em localizar os concentradores atribuindo os pontos de origem e destino aos mesmos, de forma que o custo total seja mínimo e que a rota entre cada par de origem destino passe por 1 ou 2 concentradores. O custo total é a composição dos custos de instalação dos concentradores e de transporte. A formulação aqui apresentada é baseada nas seguintes definições: seja N o conjunto de nós, isto é, pontos de origem e de destino; seja também K o conjunto de nós candidatos a concentradores, tal que K N. Para qualquer par de nós (i,j), i, j N, representando um ponto de origem e de destino, respectivamente, têmse w ij que consiste na demanda de fluxo do nó i para o nó j, sendo normalmente w ij w ji. Seja a k o custo de instalação de um concentrador no nó k K e c ijkm o custo unitário de transporte do nó i até o nó j através dos concentradores k e m, tal que i, j N e k, m K. O custo unitário de transporte é a composição de três segmentos do caminho do nó i até o nó j. Assim, temos que c ijkm = c ik + αc km + c mj, onde c ik e c mj são os custos unitários de transporte do nó i(j) até o nó j(i) e αc km é o custo unitário de transporte com desconto entre os concentradores k e m. O parâmetro α representa a economia de escala alcançada pelo uso dos concentradores (α 1). As variáveis de decisão do modelo são y k, que possui valor 1 se o nó k é instalado como concentrador e 0 caso contrário; e x ijkm que é o fluxo do nó i até o nó j roteado via os concentradores k e m, nessa ordem. O modelo de Skorin-Kapov et al [17] para o problema abordado neste trabalho é dado por: Min [ k K a k y k + i N ] c ijkm x ijkm j N k K m K (1) Sujeito a x ijkm w ij y m i, j N; m K (2) k K x ijkm w ij y k i, j N; k K (3) m K k K m M x ijkm = w ij i, j N (4) x ijkm 0 i, j N; k, m K (5) y k {0, 1} k K (6) A função objetivo (1) é composta por dois termos. O primeiro representa o custo de instalação dos concentradores e o segundo termo é o custo total de transporte. O conjunto de restrições (2) e (3) garantem que as demandas dos pares origem destino só são roteadas por concentradores instalados. A restrição (4) assegura que as demandas dos pares origem destino são roteadas via algum par de concentradores. Quando k = m, o roteamento só acontece via um único concentrador. Finalmente, as restrições (5) e (6) garantem não negatividade e integralidade das soluções, respectivamente. Considerando n = N, observa-se que o modelo possui n 4 variáveis de fluxo x ijkm. Comparando esse valor com o número de variáveis inteiras y k que é sempre menor ou igual a n, constata-se uma enorme diferença de magnitude, mesmo para valores pequenos de n. Além disso, como não existem restrições de capacidade, o modelo (1) (6) tem sempre soluções viáveis e, para uma dada estrutura fixa de concentradores, o modelo transforma-se em um problema de transporte [1]. O problema de transporte pode ser resolvido por um algoritmo de caminho mínimo. A união dessas duas características fez surgir a motivação para a aplicação do

3 método de Decomposição de Benders [2] que será detalhado na próxima seção. 4. Método de decomposição de Benders Decomposição de Benders [2, 9] é um método de particionamento para resolver problemas de programação linear e não linear inteira mista. Nesse método, o problema original é decomposto em dois problemas: um problema com variáveis inteiras conhecido como problema mestre e um problema linear conhecido como subproblema. O problema mestre é uma versão do problema original com um conjunto de variáveis inteiras y k e com as restrições associadas relaxadas. O subproblema é o problema original com os valores das variáveis inteiras fixadas temporariamente pelo problema mestre e tendo como incógnitas apenas as variáveis de fluxo x ijkm. Em cada iteração, uma nova restrição, conhecida como corte de Benders, é adicionada ao problema mestre. Essa nova restrição é originada do dual do subproblema. Quando a mesma solução é encontrada para o problema mestre e o subproblema, então tem-se uma solução para o problema original dado pelo conjunto de equações (1) (6) 1. Camargo [4] implementa um algoritmo seqüencial para o problema, partindo desta implementação, foi feita uma versão em paralelo. No algoritmo paralelo, os subproblemas são divididos entre os processadores, um deles ficando responsável pelo problema mestre. O Algoritmo 1 mostra o método de decomposição de Benders em paralelo, onde LI é o limite inferior, LS é o limite superior, CT é o custo de transporte calculado no subproblema, CF o custo de instalção dos concentradores calculado pelo problema mestre e QL é a quantidade de dados enviados para cada processador. Nas linhas 1 e 2 do Algoritmo 1, são feitas as inicializações das variáveis LI e QL. Somente o processo mestre executa os comandos das linhas 5 e 6. Na linha 5, o valor do limite inferior LI é atualizado. Na linha 6, o processo mestre obtém o valor CF sendo este a soma dos custos de instalação dos concentradores escolhidos na iteração atual. Todos os processos escravos executam os comandos da linha 8 e cada processo resolve os subproblemas designados a ele. CT é a soma dos custos de transporte dos fluxos roteados entre os pares ij. Se a soma de CF e CT é menor que o limite superior LS, então o valor de LS é atualizado(linha 12). 1 Uma descrição formal do método de decomposição de Benders aplicada a sistemas do tipo eixo raio pode ser encontrada em [3] Algoritmo 1 Decomposição de Benders em paralelo 1: LI 0; 2: QL N/P; {Quantidade de linhas a enviar para cada processo} 3: while LS LI do 4: if MESTRE then 5: LI Min X a k y k ; {Resolve problema mestre} k 6: CF X a k ;{onde k são os nós que são concentradores} k 7: end if (processo+1) QL X X X X 8: CT Min c ijkm x ijkm ;{Resolve i=processo QL j k m subproblema} 9: if MESTRE then 10: ls CF + CT; 11: if LS < ls then 12: LS ls; 13: end if 14: Adiciona o corte ao problema mestre; 15: end if 16: end while Na linha 14, o corte de Benders é adicionado ao problema mestre. O algoritmo termina quando LI = LS, ou seja, uma solução para o problema original foi encontrada. 5. Análise e Benchmarking A versão seqüencial do algoritmo possui complexidade de tempo O(n 4 ) e espaço O(n 2 + n) [4]. A eficiência do Algoritmo 1 depende principalmente de quatro fatores: (i) o tempo para resolver o problema mestre a cada iteração; (ii) o tempo necessário para resolver cada subproblema a cada iteração; (iii) o tempo gasto na comunicação dos processos; e (iv) o número de iterações necessárias para a convergência global do problema. Vamos considerar todos esses fatores para analisar a complexidade do Algoritmo 1. Considerando o fator (i), temos que a resolução do problema mestre tem complexidade O(n) no pior caso, pois representa o primeiro termo da função objetivo da equação 1. Considerando o fator (ii), temos que a resolução dos subproblemas, representado pelo segundo termo da função objetivo da equação 1 tem complexidade é O(n 4 ). Nesse ponto do algoritmo, é feita uma decomposição de dados entre os processadores e cada processador executa n/p iterações. Assim, a complexidade de tempo para execução dos subproblemas é O(n 4 /p). No caso (iii), o custo é log(p) para cada operação de comunicação. Dessa forma, o custo de comunicação é O(nlog(p)), onde n é o número de vezes que essas mensagens são enviadas. O fator (iv) representa a quantidade de iterações que foram necessárias para se obter a solução ótima, que denominaremos h. Assim, considerando os quatros fato-

4 res discutidos anteriormente, a complexidade de tempo do algoritmo é O(n 4 /p + nlog(p)). O Algoritmo 1 requer como entrada uma matriz com os custos de instalação dos concentradores, uma matriz com os custos de transporte e uma matriz com as demandas entre os pares ij, que possuem, respectivamente, as dimensões n, n 2 e n 2. Dessa forma, a complexidade de espaço do Algoritmo 1 é O(n 2 + n). Feita a análise de complexidade de tempo, pode-se fazer uma previsão de como será o comportamento da execução do algoritmo paralelo. Esta previsão é útil para obter uma estimativa de como é a relação entre o número de processadores utilizados e o tempo de execução [16]. Vamos considerar nesta análise as seguintes constantes: χ tempo necessário para executar uma operação, ou seja, um ciclo de Benders; λ (latência) tempo necessário para comunicar um valor de uma tarefa para outra por meio de um canal de comunicação; β (largura de banda) representa o número de itens de dados que podem ser enviados por um canal em uma unidade de tempo; e n tamanho do problema. O tempo de comunicação para um algoritmo paralelo considerando os envios de mensagem é nlog p (λ+ 4n/β) [16]. Sendo χ a média de tempo necessária para executar uma iteração de Benders, o tempo de computação esperado do programa paralelo é n 3 n/p χ e o tempo total de execução esperado é dado por: n 3 n/p χ + nlog p (λ + 4n/β) A Figura 2(a) mostra a previsão do tempo de execução e o tempo de execução real para uma instância de 18 nós, onde χ = 10 5 sec, λ = 250 µseg e β = Verifica-se que o tempo real de execução da implementação em paralelo aproximou-se consideravelmente da previsão realizada. Como o aumento do número de processadores resultará na diminuição do tempo de execução, espera-se obter bons speedups como pode ser visto no gráfico 2(b). O gráfico 2(b) mostra uma previsão do speedup pela lei de Amdahl para três instâncias de tamanhos diferentes. 6. Resultados Para a implementação do algoritmo e testes realizados, foi utilizado o seguinte cenário: Hardware: 4 máquinas AMD Athlon(tm) 64 Processor MHz com 1GB de memória, 1 máquina AMD Opteron(tm) MHz com dois processadores e uma rede fast ethernet 10/100Mbps. Tempo(s) Speedup N = 10 N = 18 N = 120 (a) Tempo real Previsão (b) Figura 2. Comparação da previsão com o tempo de execução real(a) e a o speeduppelaleideamdahl(b) Software: linguagem C(GCC 3.3.5), sistema operacional Debian 1: , LAM/MPI e GLPK LP/MPI 4.8. Instâncias: todas as instâncias de teste pertencem ao conjunto AP. Esse conjunto de dados é derivado de uma aplicação real para redes postais de entrega. Cada instância de teste possui entre 10 e 200 nós, que representam os códigos postais de distritos, e os valores associados às arestas correspondem aos volumes de fluxo (mailflow). Foram gerados 13 problemas testes com as instâncias AP. Os nomes das instâncias de teste são denotados por

5 APn.α, onde n é o número de nós na rede e α é o desconto utilizado(2 para 20%,4 para 40%,...) Instância AP100.2 Instâncias #P Tempo(s) Speedup AP , , AP , , AP , , AP , , AP , , AP , , AP , , AP , , AP , , AP , , , AP , , , AP , , , Tabela 1. Resultados obtidos para as instâncias AP. Tempo de execução e speedup. Tempo(s) Speedup (a) Instância AP100.2 Speedup real Speedup pela lei de Amdahl A Tabela 1 apresenta o tempo de execução e o speedup obtidos para a execução do Algoritmo 1. Os testes foram feitos com 1, 2 e 4 processadores. Para a instância AP100.2, o tempo de execução diminuiu consideravelmente com o aumento do número de processadores como podemos ver na Tabela 1. O tempo gasto na execução seqüencial da instância AP100.2 foi 107,40 segundos, já o tempo de execução do algoritmo paralelo, utilizando 4 processadores, foi 37,83 segundos. Obtivemos neste teste um speedup de A Figura 3(a) mostra que o tempo de execução para a instância AP100.2 diminui com o aumento do número de processadores e a Figura 3(b) mostra o speedup obtido para 1, 2 e 4 processadores e também a previsão feita pela lei de Amdhal. Analisando os resultados obtidos, verifica-se que a decomposição do problema favorece totalmente a paralelização do algoritmo, pois gasta-se mais tempo na resolução dos subproblemas. A porção seqüencial do programa é muito menor que a paralela, favorecendo a obtenção de bons speedups. (b) Figura 3. Tempo de execução do algoritmo paralelo em (a) e speedups obtidos em (b) para a instância AP Conclusões e trabalhos futuros Este trabalho abordou o problema de localização de concentradores de alocação múltipla não-capacitados. Foi apresentado o modelo matemático formulado por Skorin-Kapov [17] e utilizada uma implementação paralela do método de Decomposição de Benders para resolução do problema. Com a implementação em paralelo do método de Decomposição de Benders foi possível obter bons resultados, como pode ser visto na Tabela 1, onde o tempo de execução do algoritmo paralelo foi até 70% menor que

6 o tempo de execução do algoritmo seqüencial. Estes resultados comprovam que implementações paralelas do método de Decomposição de Benders são aplicáveis e eficientes. Analisando o algoritmo paralelo construído, concluímos que algoritmos paralelos podem ser desenvolvidos para diversos outros problemas que podem ser solucionados utilizando o método de Decomposição de Benders. Uma melhoria a ser feita no algoritmo é em relação a complexiade de espaço que não conseguimos diminuir. Além disso, deseja-se utilizar um cluster maior nos próximos experimentos com o objetivo de analisar o desempenho do algoritmo para instâncias maiores do problema. [13] S. S. Nielsen and S. A. Zenios. Scalable parallel benders decomposition for stochastic linear programming. Parallel Computing, 23(8): , [14] M. E. O Kelly. The location of interacting hub facilities. Transportation Science, 20(2):92 106, [15] M. E. O Kelly. A quadratic integer program for the location of interacting hub facilities. European Journal of Operational Research, 32: , [16] M. J. Quinn. Parallel Programming in C with MPI and OpenMP. 1st edition edition, [17] D. Skorin-Kapov, J. Skorin-Kapov, and M. O Kelly. Tight linear programming relaxations of uncapacitated p-hub median problems. European Journal of Operational Research, 94: , Referências [1] M. S. Bazaraa. Linear programing and network flows. 1st edition edition, [2] J. F. Benders. Partitioning procedures for solving mixed integer variables programming problems. Numerische Methematik, 4: , [3] R. S. Cabral. Implementação em paralelo da decomposição de benders aplicada a sistemas eixo-raio com múltipla atribuição. Master s thesis, Universidade Federal de Alagoas, [4] R. Camargo, G.S.Miranda, R. S. Cabral, and H. Luna. Projeto de implementação paralela para decomposição de benders aplicada a sistemas eixo raio com múltipla atribuição. Anais do XXXVII SBPO Simpósio Brasileiro de Pesquisa Operacional, [5] J. F. Campbell. Integer programming formulations of discrete hub location problems. European Journal of Operational Research, 72: , [6] J. F. Campbell. A survey of network hub location. Studies in Location al Analysis, 6:31 49, [7] J. F. Campbell, A. T. Ernst, and M. Krishnamoorthy. Hub Location Problems, chapter 12, pages edition, [8] R. S. de Camargo, G. M. Jr., and H. P. Luna. Benders decomposition for the uncapacitated multiple allocation hub location problem. Prepint submitted to Computers and Operations Research, [9] A. M. Geoffrion. Generalized benders decomposition. Journal of Optimization Theory and Applications, 10(4): , [10] A. M. Geoffrion and G. W. Graves. Multicomodity distribution system design by benders decomposition. Management Science, 20: , [11] G. J. Miranda. Localização de Servidores e Projeto de Redes com Custos de Interdependência e Congestionamento. PhD thesis, Universidade Federal de Minas Gerais, [12] S. A. MirHassani, C. Lucas, G. Mitra, E. Messina, and C. A. Poojari. Computational solution of capacity planning models under uncertainty. Parallel Computing, 26(5): , 2000.