ao erminante Área e em R 2 O qe é? Qais são sas propriedades? Como se calcla (Qal é a fórmla o algoritmo para o cálclo)? Para qe sere? A = matriz. P paralelogramo com arestas e. + A é a área (com sinal) do paralelogramo P. Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 44 Volme e em R 3 Matriz Diagonal A = matriz 3 3. P paralelepípedo com arestas, e. a Considere A =, com a, b >. Calcle A. b Pela definição, A é a área do retânglo com lados de tamanho a e b. Portanto, A = ab. Isto ilstra o caso geral: o erminante de ma matriz diagonal é igal ao prodto dos elementos da diagonal. A é o olme (com sinal) do paralelepípedo P. Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 44 O qe significa (A) =? (A) = em R 2 : s O qe significa (A) = em R 2? Área do paralelogramo é zero. = O qe significa (A) = em R 3? Volme do paralelepípedo é zero. = Um etor é múltiplo do otro. Um etor pertence ao plano gerado pelos otros dois. 12 4 9 3 = 3 3 = 3 3 Por qê? 1 a col = 3 2 a col Por qê? 3 a col = 1 a col Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 44 (A) = em R 3 : s Sinal do 1 3 1 1 7 1 = 1 9 1 Por qê? 3 a col = 1 a col Mantendo fixo e ariando, como aria o sinal do erminante? + + + = Por qê? 3 a col = 1 a col + 2 a col erminante positio + erminante zero erminante negatio + + + Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 44 + Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 44
Propriedade (a) Propriedade (b 1 ) (a) Se das colnas são igais o erminante é zero: paralelogramo o paralelepípedo degenerado. 2 2 = 3 3 = = (b 1 ) Se mltiplicarmos ma colna por k (constante) o erminante será mltiplicado por k: a altra (o base) será mltiplicada por k. 2 3 3, 5 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 44 Propriedade (b 1 ): Propriedade (b 2 ) 5 1 1 = 5. 1 (b 2 ) + = + + Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 44 Propriedade (b 2 ): linearidade 2 8 3 1 5 3 1 + 1 = 6 = 5 + 3 3 + 1 3 3 = = 3 + 3 = 6 Note ( qe não é erdade ) qe (A + B) = (A) + (B)! 1 1 2 + = = 4 1 1 2 1 1 + = 1 + 1 = 2. 1 1 Utilize a linearidade na primeira colna para calclar 2. 6 3 2 2 + 2 Como = = +, 6 + 6 6 2 2 + = = 6 3 + 6 3 2 + = 6 + = 6. O primeiro 3 6 3 erminante é 6 por ser matriz diagonal, o segndo é zero pois ma colna é múltipla da otra. Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 44 Propriedade (c) em R n Um fato srpreendente é: (c) o erminante da matriz identidade é 1: área de m qadrado de lado 1 = olme de m cbo de lado 1 = 1. Teorema Considere o conjnto M n n, o conjnto das matrizes qadradas n n. Existe ma única fnção : M n n R com as segintes propriedades: (a) se das colnas são igais o alor é zero; (b) é linear em cada colna; (c) na matriz identidade o alor é 1. O erminante é a fnção dada pelo teorema acima. Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 44
Comentários Propriedade Eqialente Embora completa, a definição acima não apresenta ma fórmla para calclar o erminante. Segndo Klas Jänich: Se ocê ainda acha qe a informação mais importante acerca de m objeto matemático é ma fórmla para calclar o se alor, certamente ocê compartilha o pensamento da maioria das pessoas medianamente edcadas, mas com conhecimentos apenas sperficiais de matemática. As propriedades abaixo são eqialentes: (a) Se das colnas são igais o erminante é zero. (a ) Se trocarmos das colnas o erminante troca de sinal Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 44 Proa do Proa do (continação) Proa Vamos proar para matriz 2x2. Sponha (a). Então + (colnas igais) + = Proa Por (b) (linearidade) = + + + + + + + = = + Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 44 Proa do (continação) do Proa Por (a) noamente Logo = = + =. =. Sponha (a ). Tomando =, ( ) = ( ). Portanto 2 ( ) =. Logo ( ) =. Das três propriedades básicas do erminante podemos dedzir de forma direta as segintes propriedades: 1 trocando ma colna por sa soma com m múltiplo de otra, a j a j + αa k, k j, o erminante não se altera; 2 erminante de matriz diagonal é igal ao prodto dos elementos da diagonal; 3 erminante de matriz trianglar é igal ao prodto dos elementos da diagonal; 4 erminante é zero se ma colna é combinação linear das otras. (De fato, se e somente se.) Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 44 Prodto de Matrizes Transposta de Matrizes (AB) = (A) (B) Proa Se (A), defina f A (B) = (AB)/ (A). É fácil er qe possi as propriedades da definição (f A (I) = 1, linear nas colnas, zero se colnas são igais). Logo f A (B) = (B). Corolário (A) se, e somente se, A possi inersa. (A t ) = (A). Corolário Todas as propriedades do erminante para colnas podem ser ennciadas como propriedades das linhas. Portanto, o erminante: é linear por linhas; troca de sinal qando se trocam as linhas. Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 44
s s Considere A = z 4 4. (3A) = 3 3 3 3z = 3 3 3 3z = 3 2 3 3z = 3 3 3z = 3 4 z = 3 4 (A) 3 (A)! (P 1 ) =? (I) = 1 = (PP 1 ) = (P) (P 1 ). Conclsão: (P 1 ) = 1/ (P). Considere A = 3 3. 3 + 2 = 3 + 2 = 3 + 2 = 3 (A). (PAP 1 ) = (P) (A) (P 1 ) = (P) (P 1 ) (A) = 1 (A) = (A). Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 44 Fórmla para : parte 1 Fórmla para : parte 2 a c Vamos dedzir fórmla do erminante de tilizando somente propriedades básicas. a a Como = +, linearidade na primeira b b colna implica: a c a c c = +. d a c a c = d c c Como = + d d colna implica: a c a c = d c c = b c +., linearidade na segnda a + d +. Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 44 Fórmla para : parte 3 Fórmla para : parte 4 Portanto, obtemos: colocando constantes em eidência: a c = a c 1 c 1 1 + a + ac + a 1 + ad + d 1 c 1 + bc + b 1 bd 1 1 Portanto, obtemos: a c = b d 1 1 ac ac 1 +ad +ad 1 1 1 1 +bc bc bc 1 1 1 +bd +bd 1 1 (colnas iga (identidad (troca colnas) (identidad (colnas iga Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 44 Fórmla para : Fim! Regra de Sarrs Finalmente, a c = ac + ad 1 bc 1 + bd = ad bc Podemos repetir o qe foi feito para matriz para matriz 3 3. Obtemos a fórmla conhecida, qe pode ser recordada atraés da Regra de Sarrs: a11 a 12 a 21 a 22 + a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 + + + Obseração (regra se Sarrs) A regra de Sarrs NÃO generaliza para dimensão maior qe 3: Não existe procedimento semelhante a este para matrizes 4 4. Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 31 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 32 / 44
Como calclar de forma eficiente? de cálclo de modo eficiente Existem diersas formas de cálclo do erminante. A maneira mais eficiente, tilizada nos algoritmos nméricos, é: Fazer eliminação de Gass, redzindo matriz a forma diagonal sperior (o inferior); Lear em conta a cada operação elementar o efeito sobre o erminante: troca de linhas = erminante troca de sinal; mltiplicar linha por constante = erminante é mltiplicado pela constante; sbstitir linha por combinação linear dela com otra linha = erminante não se altera. Calclar erminante da matriz resltante pelo prodto dos elementos da diagonal; 4 8 Considere a matriz A = 2 1 8. 3 6 9 3 6 9 Troqe l 1 com l 3 : A = 2 1 8. 4 8 Coloqe 3 em eidência em l 1 : A = 3 2 1 8. 4 8 Faça l 2 l 2 2l 1 : A = 3 3 2. 4 8 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 33 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 34 / 44 de cálclo de modo eficiente (continação) Matrizes em Blocos A = 3 3 2. 4 8 Faça l 3 l 3 + 4l 2 /3: A = 3 3 2. 8 + 8/3 = 32/3 Agora a matriz é trianglar: calcle prodto dos elementos da diagonal: A = 3(1)( 3)(32/3) = 96. (erminante de matrizes trianglares por blocos) A B A Sponha qe M = o o M =, com A D C D e D matrizes qadradas. Então (M) = (A) (D) Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 35 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 36 / 44 e e Seja A matriz qadrada. Qando A = b tem solção? se (A), A possi inersa e portanto existe ma única solção = A 1 b; se b = e (A), a única solção será = ; se (A) = podemos garantir qe o sistema homogêneo A = possi solção, isto é, possirá solção não-triial (solção diferente de zero). Conclímos qe: Teorema Se A é matriz qadrada, são eqialentes: 1 o sistema homogêneo A = possi solção diferente de zero; 2 A não possi inersa; 3 (A) =. Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 37 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 38 / 44 Sistema Homogêneo de TLs 1 2 Considere a matriz A =. Determine alores para λ 2 1 tais qe o sistema A = λ possa solção não-triial. Podemos reescreer o sistema introdzindo a matriz identidade I. Assim temos qe resoler A = λi o (A λi) =. Como qeremos solções não-triiais, qeremos qe o núcleo de A λi seja não-triial, qe pelo Teorema acima implica qe (A λi) =. Agora 1 λ 2 (A λi) = = (1 λ) 2 1 λ 2 4 =. Resolendo esta eqação do segndo gra em λ obtemos qe λ = 3 o λ = 1. Como definir o erminante de transformações lineares T : V V? T pode ter matrizes distintas A e B qe a represente pois depende da base escolhida para o espaço V. No entanto, A e B estão relacionadas por mdança de base P: B = PAP 1. Pela propriedade do prodto, (B) = (PAP 1 ) = (P) (A) (P 1 ) = (P) (P 1 ) (A) = (A). Logo podemos definir (T ) por (A), o erminante da matriz qe a representa nma base qalqer. Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 39 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 44
de de TL e Dada transformação linear T : V V, seja A ma matriz qe a represente. Definimos (T ) como (A). Seja T ma transformação linear de V em V. São eqialentes: (a) o núcleo de T é não-nlo; (b) T não possi inersa; (c) (T ) =. Seja T : R 2 R 2 ma transformação linear e Ω R 2 m conjnto limitado qalqer. Qal a relação entre olme de Ω e a área de T (Ω)? Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 41 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 42 / 44 Relação e Teorema Área de T (Ω) é igal a área de Ω ezes (T ). T Ω Q i T (Ω) T (Q i ) Uma aplicação deste Teorema é em cálclo de árias ariáeis. Uma fnção qalqer f : R 2 R 2 pode ser aproximada localmente por ma transformação linear. Por este resltado, a distorção local de área será dado pelo erminante desta transformação linear, o chamado jacobiano de f. Este mesmo resltado poder ser generalizado para três dimensões: Seja T : R 3 R 3 ma transformação linear e Ω R 3 m conjnto qalqer. O olme de T (Ω) é igal ao olme de Ω ezes (T ). Podemos reinterpretar a propriedade do erminante do prodto da seginte forma. Dado C = AB, composição das TLs A e B, a distorção de área (o olme) de C é igal ao prodto da distorção de A e distorção de B. Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 43 / 44 Álgebra Linear II 28/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Palo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 44 / 44