Física e Tecnologia dos Plasmas Movimento de par.culas individuais Mestrado em Engenharia Física Tecnológica Instituto Superior Técnico Instituto de Plasmas e Fusão Nuclear Vasco Guerra
As perguntas fundamentais Como estudar os plasmas? Movimento das partículas individuais Equações cinéticas Equações de fluidos
As perguntas fundamentais Movimento de uma partícula Num plasma há muitas partículas carregadas que se movem em campos eléctricos e magnéticos auto-consistentes Começamos pelo estudo do movimento em campos impostos F = m d v dt = q( E + v B)
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes I. E=0 Muitos dos plasmas na natureza e no laboratório existem na presença de campos magnéticos F = q v B F v a cinética da partícula é constante Movimento circular uniforme no plano perpendicular a B F =0 v =cte ; movimento uniforme na direcção de B
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes I. E=0 No plano perpendicular a B: B Guiding centre ion Frequência ciclotrónica: Raio de Larmor: electron ω c = q B m r L = mv q B = v ω c
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes I. E=0 Se v 0, o movimento é uma hélice
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) Carga move-se no plano xoy com um campo magnético segundo z m d v dt = q( E + v B)
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) Movimento paralelo m dv dt = qe movimento uniformemente acelerado na direcção de B, a =qe /m
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) Movimento perpendicular -A carga ao acelerar modifica o raio de Larmor! r L = v m q B -A carga não acelera indefinidamente, pois B faz rodar a partícula -o raio de Larmor é maior na parte da trajectória em que v é maior
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) B B Há uma deriva na direcção perpendicular aos campos, que se designa por deriva ExB A deriva é a E e a B A deriva é no mesmo sentido para electrões e iões positivos
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) Qual o valor da velocidade de deriva vd? -Se fizermos a média sobre vários giroperíodos, a aceleração média é... zero! -A força média deve ser nula d vd m = q( E dt + v d B) 0
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) -Fazendo o produto externo com B (e assumindo vd B) E B +( v d B) B = E B v d (B 2 ) = 0 v d = E B B 2
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) -A deriva é independente de m e q e v -Razão subjacente: num referencial movendo-se com vd o campo E é nulo! E = γ( E + v d B) [ = γ E + ( E B) = γ B 2 [ E E B 2 B 2 ] 0 B ]
Campos As perguntas fundamentais E e B uniformes II. E 0 (deriva ExB) -Qualquer força perpendicular a B provoca uma deriva v d = 1 F B q B 2 -O movimento da partícula é descrito por v = v + v d + v L vl é a velocidade correspondente ao movimento ciclotrónico de raio rl; vd é a deriva do centro-guia (ou girocentro).
As perguntas fundamentais Deriva ExB
B não uniforme I. Deriva B Uma partícula a girar num campo B não uniforme sofre uma deriva de algum modo semelhante à deriva ExB: r L = v m q B -o raio de Larmor é maior na parte da trajectória em que B é menor
B não uniforme I. Deriva B Electrões e iões têm derivas em sentidos opostos há uma corrente resultante Assumindo fracas inomogeneidades (rl B/ B ) -a correcção é uma perturbação ao movimento ciclotrónico -expandimos B em torno do centro-guia B B 0 +( r ) B 0
B não uniforme I. Deriva B -r é medido a partir do centro-guia -exprimimos a velocidade como uma correcção ao movimento ciclotrónico v v L + v d (...) -A deriva B é dada por ( vl =v ) v d = q q v 2 B B 2ω c B 2 = 1 q mv 2 2B B B B 2
B não uniforme II. Deriva de curvatura Linhas de B curvas e v 0 A partícula tenta girar numa espiral ao longo da linha do campo, mas sente uma força centrífuga F c = m v2 R c u r Rc é o raio de curvatura ur aponta para fora
B não uniforme II. Deriva de curvatura Há uma deriva v d = 1 q F c B B 2 = mv2 qb 2 u r B R c Para campos no vácuo (J=0), a deriva B é 1 2 mv 2 qb 2 u r B R c
B não uniforme II. Deriva de curvatura As derivas de curvatura e B somam-se São em sentidos opostos para cargas de sinal contrário São proporcionais à energia das partículas v d (T ot) = ( ) 1 1 2 mv2 + mv 2 u r B qb 2 R c Para uma distribuição Maxwelliana os dois termos contribuem o mesmo
B não uniforme III. Efeito de espelho Vimos derivas devidas a forças B Há também forças B responsáveis por efeitos muito importantes Momento magnético: μ=ia Para uma partícula carregado girando num campo magnético, I = q ω c 2π A = πr 2 L = π ( v ω c ) 2
B não uniforme III. Efeito de espelho µ = 1 2 mv2 B = W B Uma partícula a girar num campo magnético não uniforme sente uma força F = µ B
B não uniforme III. Efeito de espelho μ é uma constante do movimento, desde que a escala de variação espacial de B seja muito maior que o raio de Larmor Corresponde à conservação do momento angular em torno do centro-guia: l = r L mv = mv q B mv = 2m q 1 2 mv2 B 2m q µ
B não uniforme III. Efeito de espelho O mesmo resultado pode obter-se a partir da equação do movimento na direcção, escrevendo a equação do movimento e usando a conservação da energia cinética Efeito de espelho Uma carga que se desloque na direcção de campos B mais intensos é travada por uma força F = µ B, podendo ser reflectida
B não uniforme III. Efeito de espelho Conservação do momento magnético µ = 1 2 mv2 B = const. Conservação da energia U = 1 2 m (v 2 + v 2 ) = const. Quando B aumenta, v aumenta, v diminui, podendo chegar a zero a partícula é reflectida!
B não uniforme III. Efeito de espelho B Z!"#"$%&'()*'&(%)))
B não uniforme III. Efeito de espelho Para uma situação inicial, 0, o ponto de reflexão, R, é dado por 1 ( ) 2 m v 0 2 + v 0 2 = 1 2 mv2 R e por 1 2 mv2 0 B 0 = 1 2 mv2 R B R donde B 0 B R = v 2 0 v 2 0 + v2 0
B não uniforme III. Efeito de espelho As partículas podem escapar e não ser reflectidas (v 0 pequeno). Ângulo de ataque: tan ϑ = v v Ponto de reflexão: Ângulo crítico: B 0 B R = v 2 0 v 2 0 + v2 0 sin ϑ c = arcsin 1 ( = sin 2 ϑ 0 B0 B Max ) 1/2
B não uniforme III. Efeito de espelho Cone de perdas: as partículas com ângulo de ataque inferior ao ângulo crítico não são reflectidas. Razão de espelho: Bmax/Bmin
B não uniforme III. Efeito de espelho Máquina de espelho magnético
B não uniforme III. Efeito de espelho Espelhos magnéticos na natureza!
B não uniforme III. Efeito de espelho 1. Movimento ciclotrónico (Larmor); 2 Efeito de espelho; 3 Deriva de curvatura
E variável no tempo Deriva de polarização A deriva ExB é dada por vd=(exb)/b 2 Se E variar no tempo, esta velocidade também varia O centro-guia é acelerado. No referencial do centro guia sente-se uma força ( ) E B F = m d dt B 2
E variável no tempo Deriva de polarização Esta força provoca uma deriva v d = 1 q F B B 2 que se designa por deriva de polarização v d = m d qb 2 E dt
E variável no tempo Deriva de polarização Há uma corrente de polarização J = ne( v i v e )= n B 2 (M + m) d dt E Se ligarmos um campo eléctrico repentinamente [E(t=0 - )=0], a posição média do giro-centro desloca-se na direcção de E
As perguntas fundamentais Difusão por efeito das colisões As colisões entre duas partículas diferentes num campo magnético podem originar uma difusão significativa! "# B B