Processamento de Imagens Médicas Espaço de Fourier Prof. Luiz Otavio Murta Jr. Depto. de Física e Matemática FFCLRP/USP
Teorema da Amostragem quist. - O teorema da amostragem de quist diz que devemos amostrar um sinal analógico real com uma taa freqüência de amostragem de no mínimo duas vezes a sua freqüência para evitar o fenômeno de aliasing. F amostragem F sinal. - A freqüência correspondente ao dobro da máima freqüência de um sinal é denominada taa de amostragem de quist.
Aliasing". As figuras a b e c mostram amostragens corretas de três ondas senoidais. Em c não parece captar a forma de onda corretamente apesar de cada período ser amostrado mais de duas vezes. Em d a freqüência da onda senoidal analógica é maior que a freqüência de quist metade da freqüência de amostragem. Isto resulta em aliasing onde a freqüência do dado amostrado é diferente da freqüência do sinal analógico portanto o sinal não pode ser reconstruindo porque está corrompido 3
Aliasing". Sub-amostragem Quando ocorre aliasing devido a uma freqüência de amostragem muito baia o efeito pode ser descrito por uma superposição errônea do sinal analógico em freqüências acima da freqüência de quist. 4
Sinais Senoidais no Tempo Contínuo Uma oscilação harmônica é descrita matematicamente por: Este sinal é caracterizado por:. a t é periódico a t + T p = a t onde T p = /F é o período fundamental.. O aumento da freqüência F resulta no aumento da taa de oscilação dentro de um intervalo. 5
Sinais Senoidais no Tempo Discreto Um sinal senoidal em tempo discreto pode ser escrito como: n = A cosπfn + θ - < n < Uma senoide em tempo discreto é periódica somente se sua freqüência f é um número racional Eemplo: Definição: n + = n para todo n. Eemplo: cos[πf+n + θ] = cosπfn + θ Eemplo de um sinal senoidal no tempo discreto = / 6 e = / 3 6
Sinais Senoidais no Tempo Contínuo Senoides no tempo discreto onde suas freqüências são separada por um número inteiro múltiplo de são idênticas cos[ω +πn + θ] = cos [ω n+πn + θ] A taa de oscilação mais elevada de um sinal senoidal no tempo discreto é alcançada quando = ou = - ou equivalentemente f=½ ou f = -½. freqüências negativas para sinais senoidais no tempo discreto n=acos[ωn + θ] = A/.e jωn+θ + A/.e -jωn+θ A faia de freqüência é finita entre - -½ f ½. 7
Domínio do Tempo e Freqüência. Domínio do tempo Domínio da freqüência 8
Transformada de Fourier. Ilustração da decomposição de Fourier. Um sinal de pontos decomposto em + sinais cada um tendo pontos. Metade destes sinais são senos e a outra metade são co-senos. As freqüências são fias e as amplitudes são proporcionas às componentes de freqüências. 9
Transformada de Fourier. Eemplo de decomposição de Fourier. Um sinal de 6 pontos decomposto em 9 ondas seno e 9 ondas co-seno. A freqüência de cada senoide e co-senoide é fia e a amplitude é dependente da amplitude da forma de onda para a dada freqüência
Transformada de Fourier. Funções deltas impulsos unitários
Transformada de Fourier. Transformada discreta de Fourier eemplos
Domínio de Freqüências frequenc range. Homogeneidade da transformada de Fourier. Se a amplitude é mudada em um domínio é mudada também no outro domínio na mesma proporção. Em outras palavras uma mudança de escala em um domínio corresponde a uma mudança de escala no outro domínio. 3
Domínio de Freqüências frequenc range. Soma da transformada de Fourier. Somando-se dois ou mais sinais em um domínio resulta em uma soma correspondente no outro domínio. esta figura os sinais no domínio do tempo a e b são somados para produzir o sinal em c. Isto resulta na soma dos espectros. 4
Domínio de Freqüências frequenc range. f n a an coskfn bnsen kfn n n 5
Domínio de Freqüências frequenc range. Utilidades da Transformada de Fourier -Remover freqüências indesejáveis de um sinal -Certas operações são eecutadas mais facilmente e com maior rapidez no domínio da freqüência - Filtragem de freqüências indesejáveis - A transformada de Fourier pode ser aproimada por uma soma de senos e cossenos ep[± jπu] = cosπu ± j sinπu - Fu é apenas uma função ponderada para as diferentes freqüências presentes em f - Para remover certas freqüências ajuste os valores correspondentes de Fu para zero!!! 6
Domínio de Freqüências frequenc range. Como as freqüências aparecem em uma imagem? - Altas freqüências: variações rápidas e. bordas -Baias freqüências: variações lentas e. superfícies contínuas Original Filtro passa-alta Filtro passa-baia 7
Domínio de Freqüências frequenc range. Estendendo FT para duas dimensões Transformada de Fourier F Transformada inversa de Fourier F j uv f Fu v f e j uv Fu v f Fu ve dd dudv 8
Eemplo de Transformada de Fourier D F uv u v f e j dd A X e Y ju jv d e d AXY senux ux senvy e vy j uxvy 9
Eemplo de Transformada de Fourier D
Eemplo de Transformada de Fourier D
Transformada de Fourier D discreta Transformada Discreta de Fourier DFT DFT: F u f e DFT inversa: f F u e Fu é discreta: F u ju ju ; ; u...... F uu; u... ; u
3 Transformada de Fourier D discreta Estendendo a DFT para duas dimensões DFT: DFT inversa: Assuma que f seja uma imagem DFT: DFT inversa: M v M u j e f M v u F M v M u j e v u F f v u j e f v u F v u j e v u F f
Eemplo de Transformada de Fourier D Reconstrução com os primeiros coeficientes menores freqüências 4
Eemplo de Transformada de Fourier D Reconstrução com os maiores coeficientes 5
Eemplo de Transformada de Fourier D Reconstrução primeiros coeficientes 6
Eemplos de Transformada de Fourier D 7
Transformada de Fourier D discreta Propriedades DFT D: - Separabilidade - Translação - Escala - Periodicidade e Simetria Conjugada - Rotação - Convolução 8
9 Transformada de Fourier D discreta v j u j e f e v u F v F e f v j Separabilidade A FT D pode ser calculada usando FTs D apenas!! DFT: DFT inversa: Fuv pode ser epressa em forma separável: Fazendo: Temos: v u j e f v u F v u j e v u F f u j v F e v u F
Transformada de Fourier D discreta Separabilidade A DFT de uma matriz pode ser obtida através de Primeiro aplique a DFT-D em cada linha ou coluna Em seguida aplique a DFT-D em cada coluna ou linha no resultado do passo anterior a prática se você for aplicar a mesma função nos dois passos o resultado do primeiro passo deve ser transladado. O resultado final deve ser transladado novamente. ão importa a ordem da operação! 3
Transformada de Fourier D discreta Visualizando DFT D com translação e f f j u v e F u u v v F u v A transformada original Fuv pode ser deslocada para o centro da matriz quadrada multiplicando primeiro f por -+ e depois calculando a transformada de Fourier O deslocamento não afeta a magnitude da transformada 3
Transformada de Fourier D discreta Visualizando DFT - translação Componentes de baia freqüência 3
Transformada de Fourier D discreta f Fuv Ff + = Fu /v / 33
34 Transformada de Fourier D discreta Escala: v u af af f o o v u sen v u F j v u v u F F 8 8 cos
Transformada de Fourier D discreta Eibição do espectro de Fourier: translação + escala -será mostrada apenas a magnitude de Fuv transladada -a faia da magnitude de Fuv é muito grande [.56] -aplicar escala: D u v c.log F u v c é uma constante 35
Transformada de Fourier D discreta Periodicidade e Simetria Conjugada A FT e sua inversa são periódicas com período Para eibir um período inteiro é necessário mover a origem da transformada para o ponto u=/ ou em // no caso D 36
37 Transformada de Fourier D discreta u v v u r tan tan Rotação A rotação de f de Θ implica em uma rotação de Fuv de Θ Distributividade..cos v u F sen r r f f.cos.cos r r f g..cos sen F v G u g F g F f F g f F g F f F g f F
Transformada de Fourier D discreta Rotação Eemplo 38
39 Transformada de Fourier D discreta f f Valor Médio f F F f v u j e f v u F lembrando que:
Transformada de Fourier D discreta Definição Teorema da Convolução Convolução f * g f a g a da note que f * g = g * f f * g Fu Gu convolução no domínio direto significa multiplicação no domínio da freqüência f g Fu * Gu multiplicação no domínio direto significa convolução no domínio da freqüência 4
Transformada de Fourier D discreta Calculando f *g com eficiência. Calcule: Ff = Fu e Fg = Gu. Multiplique: FuGu 3. Calcule a FT inversa: F - Fu Gu = f * g Convolução discreta. A integral é substituída pela soma. A variável de integração se torna um índice 3. Os deslocamentos ocorrem segundo incrementos discretos f * g f m g m M m 4
Transformada de Fourier D discreta Eemplo Seqüências de entrada: {ff fa-}{gg gb-} Comprimento da seqüência de saída: M = A+B- 4
Filtros no domínio da freqüência Domínio da freqüência Guv = Huv Fuv Domínio espacial g = h * f 43
Filtro Passa-baia Filtros no domínio da freqüência 44
Filtro Passa-baia Ideal Filtro Passa-baias H u v se D u v se D u v D D u v são coordenadas de freqüência Duv = u +v / 45
Filtro Passa-baias 46
Filtro Passa-baias 47
Filtro Passa-baias 48
Fitro de Butterworth passa-baias H u v D u v / D n H u v [ ] D u v / D n 44 D u v / D n 49
Fitro de Butterworth passa-baias 5
Filtro Passa-altas Filtro Ideal H u v se D u v se D u v D D Filtro de Butterworth H u v D u v D / n 5
Filtro Passa-altas 5
Filtro Passa-altas 53
Filtragem homomórfica Modelo de iluminação: i iluminação; r refletância f = i r A transformada de Fourier não ajuda muito F{ f } F{ i } F{ r } Mas transformando f em z: z = ln f =ln i + ln r 54
Filtragem homomórfica É possível então separar as duas componentes: F{ z } = F{ln f } = F{ln i } + F{ln r } Então a variável Z é: Zuv = Iuv + Ruv Supondo S a solução no espaço de Fourier: Suv = HuvZuv = HuvIuv + HuvRuv 55
Filtragem homomórfica E s no espaço direto: s = F - { Suv} = F - {HuvIuv} + F - {HuvRuv} Então a iluminação: i = F - {HuvIuv} E a refletância: r = F - {HuvRuv} s = i + i 56
Filtragem homomórfica E finalmente i e r : g = ep[s] = ep[i ].ep[r ] = i r i = ep[i ] r = ep[r ] 57
Filtragem homomórfica 58
59 Geração de máscaras espaciais Equação do filtro no domínio da freqüência: Guv = Huv Fuv Filtro no domínio espacial: H é a transformada de Fourier de h: i k k i f k i h g v u j e h v u H
6 Geração de máscaras espaciais ˆ ˆ v u j e h v u H Se h é restrito a zero para valores > n e > n com > n. Máscara de convolução h de tamanho n n. O objetivo e encontrar os coeficientes h que tenha menor erro: ˆ v u H v u H e
6 Geração de máscaras espaciais ˆ v u H v u H e Ch H ˆ ˆ ˆ ˆ i H v u H Considerando o erro: A função de resposta estimada pode ser obtida como o produto da matriz de base pela função espacial:
6 Geração de máscaras espaciais k i C e v u j ˆ ˆ k h h ˆ * ˆ H H H H e ˆ H H ˆ H h C Impondo a base de funções:
Geração de máscaras espaciais Fazendo a derivada do erro quadrático igual a zero e hˆ C * Ch ˆ H Resulta no produto da matriz de base por H C * C C * H C H ˆ h * 63
Geração de máscaras espaciais 64
Restauração de imagens introdução Modelo de degradação: η f H + g 65