LISTA TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO - RESOLUÇÃO Questão 1) Uma pessoa cujos olhos estão a 1,80 m de altura em relação ao chão avista o topo de um edifício, segundo um ângulo de 30 com a horizontal. Percorrendo 80 m, no sentido de aproximação do edifício, esse ângulo passa a medir 60. Usando o valor 1,73 para a raiz quadrada de 3, podemos concluir que a altura desse edifício é de, aproximadamente, a) 59 m. b) 62 m. c) 65 m. d) 69 m. e) 71 m. Alternativa correta: E De acordo com o enunciado, temos a ilustração a seguir: Questão 2) A caçamba de um caminhão basculante tem 3 m de comprimento das direções de seu ponto mais frontal P até a de seu eixo de rotação e 1 m de altura entre os pontos P e Q. Quando na posição horizontal, isto é, quando os segmentos de retas r e s se coincidirem, a base do fundo da caçamba distará 1,2 m do solo. Ela pode girar, no máximo, α graus em torno de seu eixo de rotação, localizado em sua parte traseira inferior, conforme indicado na figura.
Dado cos α = 0,8, a altura, em metros, atingida pelo ponto P, em relação ao solo, quando o ângulo de giro α for máximo, é a) 4,8. b) 5,0. c) 3,8. d) 4,4. e) 4,0. Alternativa correta: C De acordo com a figura do enunciado, podemos ter o esquema abaixo
I) sen 2 α + cos 2 a = 1 sen 2 a + (0,8) 2 = 1 II) QSN III) QPM IV) H = 0,8 + 1,8 + 1,2 =
Questão 3) Uma prova ecológica, misturando atletismo e montanhismo, foi realizada na comemoração do aniversário de uma cidade. Os atletas iniciaram a prova de corrida até o pé de um penhasco que deveria ser escalado. O primeiro atleta que chegasse ao topo do penhasco seria o vencedor. Durante a prova, um dos atletas está correndo na planície que antecede a subida do penhasco com velocidade de 350 m/min. Em determinado ponto, avista o cume do penhasco sob um ângulo de 30º com a horizontal e, após correr durante 4 minutos, o avista sob um ângulo de 45º com a horizontal. Aproximando e sabendo que a altura do atleta é de 1,80 metro, pode-se concluir que, em metros, a altura do penhasco a ser escalado é, aproximadamente, igual a a) 2 022. b) 1 690. c) 1 890. d) 2 400. e) 2 280. Alternativa correta: C I. 350 metros em 1 minuto, então teremos 1400 m em 4 minutos. II. DCB é isósceles. III. DCA
Questão 4) A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica, a carga é presa a uma roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas diferentes. A tirolesa também é utilizada como prática esportiva, sendo considerado um esporte radical. Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de maneira que as alturas das extremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca de 52m e 8m, cada uma, em relação ao nível do solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é de 80. Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg 10 = 0,176, pode-se afirmar que a distância horizontal percorrida, em metros, ao final do percurso, é aproximadamente igual a a) 250. b) 252. c) 254. d) 256. e) 258. Alternativa correta: A Questão 5)
Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo a é dado por: a) b) c) d) e) Alternativa correta: B Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura.
Como AB é tangente à esfera, segue que OB AB. Além disso, = h + R e = R. Então: R = h sen α + R sen α R R sen α = h sen α R(1 sen α) = h sen α Logo: Questão 6) Duas avenidas retilíneas, r e s, cruzam-se segundo um ângulo de 30. Um posto de gasolina A, situado na avenida s a 400 m do ponto de encontro das avenidas, encontra-se a que distância da avenida r? a) 300 m b) 250 m c) 150 m d) 100 m e) 200 m Alternativa correta: E
I: Cruzamento Como o IAA' corresponde à metade de um triângulo equilátero de lado 400 m, encontramos d = 200 m. Questão 7) Considere o ângulo segundo o qual um observador vê uma torre. Esse ângulo duplica quando ele se aproxima 160 m e quadruplica quando ele se aproxima mais 100 m, como mostra o esquema a seguir. A altura da torre, em metros, equivale a a) 94. b) 96. c) 98. d) 100. e) 102. Alternativa correta: B
h = 96 m Questão 8) Um engenheiro deseja calcular a altura de um edifício. Para isso, afasta-se 24 m da base do edifício e visualiza o seu topo sob um ângulo de 30º, conforme ilustração na figura a seguir. Sabendo-se que sen 30º = e cos 30º =, pode-se afirmar que a altura do edifício é
a) b) c) d) e) Alternativa correta: B Diante da ilustração, tem-se:. Questão 9) Em parques infantis é comum encontrar um brinquedo chamado escorregador que é constituído de uma superfície plana inclinada e lisa (rampa), por onde as crianças deslizam, e de uma escada que dá acesso à rampa. No parque de uma certa praça, há um escorregador apoiado em um piso plano e horizontal, cuja escada tem 2 m de comprimento e forma um ângulo de 45º com o piso; e a rampa forma um ângulo de 30º com o piso, conforme ilustrado na figura a seguir. De acordo com essas informações, é correto afirmar que o comprimento (L) da rampa é de a) b)
c) d) e) Alternativa correta: B x 2 + x 2 = 2 2 Questão 10) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto K, mediu o ângulo visual θ fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto T, de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto, sob um ângulo visual 2θ. Observe a ilustração:
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo θ = 15º e, ao chegar ao ponto T, verificou que o barco havia percorrido a distância = 4 000 m. Com base nesses dados, e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto P será a) 3 000 m. b) 2 000 m. c) 2 000 m. d) 2 000 m. e) 4 000 m. Alternativa correta: B sen 30º = D = 2 000 m Questão 11) Uma empresa de iluminação necessita esticar um cabo de energia provisório do topo de um edifício, cujo formato é um retângulo, a um determinado ponto do solo distante a 6 metros, como ilustra a figura a seguir. O comprimento desse cabo de energia, em metros, será de
a) 28. b) 14. c) 12. d) 10. e) 8. Alternativa correta: D Questão 12) Um balão atmosférico, lançado em Baum (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: http:/avww.correiodobmsil.com.br. Acesso em: 02 mero 2010
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vá na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8 km b) 1,9 km c) 3,1 km d) 3,7 km e) 5,5 km Alternativa correta: C Questão 13) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa
situação: Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30º e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2 000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será a) 1 000 m. b) 1 000 3 m. c) 2 000 m. d) 2 000 m. e) 2 000 3 m. Alternativa correta: B De acordo com o exposto, veja a ilustração: ΔABP é isósceles AB = BP. Como a menor distância de um ponto a uma reta é representada pela perpendicular que liga o ponto à reta, então basta determinar o valor de d na figura acima. Logo, sen 60 = = 3/2 x = 1 000 3 m
Questão 14) Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo de 30 na direção do seu cume, como indicado na figura. Depois de navegar mais 2 km em direção à montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de 45. Então, usando quilômetros, é: = 1,73, o valor que mais se aproxima da altura dessa montanha, em a) 2,1 b) 2,2 c) 2,5 d) 2,7 e) 3,0 Alternativa correta: D
Questão 15) Há muitas histórias escritas sobre o mais antigo matemático grego que conhecemos, Tales de Mileto. Não sabemos se elas são verdadeiras, porque foram escritas centenas de anos após sua morte. Uma delas fala do método usado por ele para medir a distância de um navio no mar, em relação a um ponto na praia. Uma das versões diz que Tales colocou uma vara na posição horizontal sobre a ponta de um pequeno penhasco, de forma que sua extremidade coincidisse com a imagem do barco. Conhecendo sua altura (h), o comprimento da vara (c) e altura do penhasco (d), ele calculou a distância x em relação ao barco. A medida x encontrada por Tales corresponde a: a) b) c) d)
e) Alternativa correta: D Dada a figura, Questão 16) Durante seu treinamento, um atleta percorre metade de uma pista circular de raio R, conforme figura a seguir. A sua largada foi dada na posição representada pela letra L, a chegada está representada pela letra C e a letra A representa o atleta. O segmento LC é um diâmetro da circunferência e o centro da circunferência está representado pela letra F. Sabemos que, em qualquer posição que o atleta esteja na pista, os segmentos LA e AC são perpendiculares. Seja θ o ângulo que o segmento AF faz com segmento FC.
Quantos graus mede o ângulo θ quando o segmento AC medir R durante a corrida? a) 15 graus b) 30 graus c) 60 graus d) 90 graus e) 120 graus Alternativa correta: C No instante em que AC = R, o triângulo AFC será equilátero. Logo, o ângulo θ medirá 60º. Questão 17) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves e Guiomar observaram um monumento de arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante 1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60, conforme mostra a figura:
Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130 cm, a altura do monumento, em metros, é aproximadamente a) 6,86. b) 6,10. c) 5,24. d) 3,34. e) 2,16. Alternativa correta: D Admitindo que 1,20m seja a distância do teodolito ao eixo vertical do monumento, temos: Sendo x a altura do monumento, temos: x - 1,30 = 1,20 Logo, x é aproximadamente 1,30 + 2,04, ou seja, x = 3,34 m. Questão 18)
Um observador, em posições diferentes, mede duas vezeso ângulo sob o qual ele observa o ponto mais alto de um prédio, encontrando 30º e 60º. Entre uma medida e outra, ele caminha 20 metros em direção ao prédio. Com relação à altura do prédio, desprezando a altura doobservador, assinale a alternativa correta. a) Está entre 14 e 16 metros. b) Está entre 15 e 18 metros. c) É maior que 20 metros. d) É menor que 15 metros. e) Está entre 10 e 12 metros. Alternativa correta: B Diante do enunciado, tem-se: Questão 19) As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas em uma avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15º com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Essas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de 15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa, na avenida, um espaço a) menor que 100 m 2. b) entre 100 m 2 e 300 m 2. c) entre 300 m 2 e 500 m 2. d) entre 500 m 2 e 700 m 2. e) maior que 700 m 2. Alternativa correta: E I. Observe a figura abaixo II. Se o prisma é quadrangular, então a área da base é x 2. Ab = (29,64) 2 Ab = 878,53 m 2 Questão 20) Duas naves espaciais, A e B, situam-se à distância de 30 km uma da outra. Pretende-se calcular a distância entre dois meteoros M e N, fazendo medidas de ângulos, a partir das naves, como
ilustrado na figura seguinte. Encontre a distância, em km, entre M e N, indicando o inteiro mais próximo deste valor. Dado: a) 36 km b) 40 km c) 46 km d) 50 km e) 56 km Alternativa correta: C Do triângulo ABM, obtém-se:
No triângulo ABN, tem-se: No trapézio ABNM, tem-se: Questão 21) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com caçapas em A, B, C e D. O ponto P localizado em AB representa a posição de uma bola de bilhar, sendo e. Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do ângulo PTB igual 60º. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a caçapa D.
Nas condições descritas e adotando próxima a largura do tampo da mesa, em metros, é de a) 2,42. b) 2,08. c) 2,28. d) 2,00. e) 2,56. Alternativa correta: A Vamos supor que PTB DTC. Assim, do triângulo PTB Vem Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos: Em consequência, segue que o resultado pedido é: Questão 22)
Um ciclista sobe, em linha reta, uma rampa com inclinaçãode 3 graus a uma velocidade constante de 4 metros por segundo. A altura do topo da rampa em relação ao ponto de O tempo, em minutos, que o ciclista levou para percorrer completamente a rampa é (Use a aproximação sen 3º = 0,05) a) 2,5. b) 7,5. c) 10. d) 15. e) 30. Alternativa correta: A Segundo o enunciado, temos: Como a velocidade do ciclista é de 4 metros por segundo, o tempo gasto, em segundos, para percorrer a rampa é igual a 2,5 minutos. Questão 23) Uma criança mantém uma pipa presa a um fio esticado de 90 m de comprimento, que vai perdendo altura, até que fica preso no alto de um poste de 10 m, formando com a horizontal um ângulo de 30. A pipa atinge o solo, ficando com a linha esticada, conforme a figura a seguir.
Desprezando-se a altura da criança, a distância final entre a criança e a pipa, é igual a a) 90 m. b) c) 80 m. d) e) Alternativa correta: B De acordo com o exposto, encontramos: I) II) Questão 24)
Uma escada, representada na figura pelo segmento, mede u.c. e está apoiada no ponto C de uma parede, fazendo, com o solo plano, um ângulo α tal que tg(α) = 2. Uma pessoa que subiu dessa escada está a uma altura, em relação ao solo, igual, em u.c., a: a) b) c) d) e) Alternativa correta: C
Questão 25) A diagonal d de um paralelepípedo reto-retângulo mede. Sabendo que o comprimento, a largura e a altura desse paralelepípedo têm medidas proporcionais aos números 3, 4 e 5, respectivamente, então as dimensões desse paralelepípedo são a) 3 cm, 4 cm e 5 cm. b) 6 cm, 8 cm e 10 cm. c) 9 cm, 12 cm e 15 cm. d) 12 cm, 16 cm e 20 cm. e) 15 cm, 20 cm e 25 cm. Alternativa correta: C
Se o comprimento, a largura e a altura são proporcionais a 3, 4 e 5, então o comprimento é da forma 3x, a largura 4x e a altura 5x. Logo: Portanto, o comprimento vale 9 cm, a largura 12 cm e a altura 15 cm. Questão 26) Numa escola, o acesso entre dois pisos desnivelados é feito por uma escada que tem quatro degraus, cada um medindo 24 cm de comprimento por 12 cm de altura. Para atender à política de acessibilidade do Governo Federal, foi construída uma rampa, ao lado da escada, com mesma inclinação, conforme mostra a foto a seguir. Com o objetivo de verificar se a inclinação está de acordo com as normas recomendadas, um fiscal da prefeitura fez a medição do ângulo que a rampa faz com o solo. O valor encontrado pelo fiscal a) estava entre 30 e 45. b) era menor que 30. c) era exatamente 45. d) era maior que 45. e) era igual a 30. Alternativa correta: B Seja o ângulo que a rampa faz com o solo. O ângulo é tal que tg = = 0,50.
Desse modo, como a função tangente é crescente e tg30 = 0,58 > 0,50, segue que < 30.