1ª Prova de Geometria Analítica 1 Data: 06/09/2016 Nome: GRR: Curso: Nota Esta prova contém 10 questões. Confira! Valor desta avaliação: 10,0. Leia com atenção as seguintes instruções: 1. O tempo de duração da prova é de 120 minutos. 2. O tempo mínimo de permanência na prova: 30 minutos. 3. É proibido se ausentar durante o período de prova. 4. Preencha adequadamente com seu NOME COMPLETO, GRR e CURSO no cabeçalho da prova. 5. É permitido o uso de calculadora DE 4 OPERAÇÕES durante a prova. 6. O entendimento das questões e o tempo de resolução destas são partes integrantes da avaliação. 7. Respostas a lápis, assim como a utilização de corretivos e rasuras, anulam a questão. 8. Respostas devem ser com caneta AZUL ou PRETA. 9. Não serão aceitas respostas sem justificativa coerente. 10. É proibido o uso de qualquer fonte de consulta. 11. É proibido manter aparelho celular ou qualquer outro transmissor de voz ou texto sobre a carteira, no colo ou em bolsos. Tais aparelhos devem ser mantidos desligados, dentro de bolsas, malas ou mochilas, inacessíveis ao aluno. Caso algum aluno seja flagrado portando um celular, mesmo que este esteja desligado, a prova será recolhida e atribuída nota zero. 12. É proibido emprestar material durante o período de prova. Boa prova! Vista da prova corrigida: / / ASS.:
1ª QUESTÃO VALOR: 1,0 Considere o ponto P = ( 7,3) e os vetores u = (5,5) e v = ( 9, 2). a) Sabendo que w = u + v, calcule algebricamente o vetor w e represente u, v e w no plano cartesiano (0,3) w = (, ) b) Sabendo que PQ = u, calcule algebricamente o ponto Q e represente P e Q no plano cartesiano. (0,3) Q = (, ) c) Calcule o vetor X sabendo que 3X + 2u OP = 3v. (0,4) X = i + j 2
2ª QUESTÃO VALOR: 1,0 Para verificar a colinearidade de três pontos no espaço, fabrica-se dois vetores de mesma origem e deve-se escolher uma de duas possibilidades: paralelismo de vetores ou produto vetorial. Considere os pontos P = ( 2, 6, 3), Q = ( 1, 4, 6) e R = ( 2, 2, 15). Explique o motivo pelo qual os pontos P, Q e R são colineares a) usando o conceito de paralelismo. (0,5) b) usando o conceito de produto vetorial. (0,5) - Contas: - Contas: - Explicação da colinearidade usando o resultado - Explicação da colinearidade usando o resultado das contas acima das contas acima 3
3ª QUESTÃO VALOR: 1,0 Escreva, se possível, o vetor m = (2, 1,7) como combinação linear dos vetores u = (1,1,0), v = (1,0,1) e w = (0,1,1). Resposta: 4ª QUESTÃO VALOR: 1,0 Considere o hexágono regular da figura abaixo. Encontre o vetor resultante dos itens abaixo. Sua resposta deve apresentar um único vetor com extremos nos vértices do hexágono. a) AF + FE BD = (0,2) b) BC + CF + DB = (0,2) c) 2BA CF = (0,2) d) DF + FA + CD + AB = (0,2) e) DE + EF + FA BA = (0,2) 4
5ª QUESTÃO VALOR: 1,0 Considere a figura e faça o que se pede. a) Escreva os vetores AB e AC na forma de par ordenado. (0,1) AB = AC = b) Escreva a expressão cartesiana dos vetores AB e AC. (0,1) AB = AC = c) Na própria figura, desenhe o vetor AB + AC. (0,1) d) Calcule o módulo dos vetores AB e AC: AB = (0,1) e) Calcule o produto escalar entre AB e AC. AC = (0,1) f) Calcule o ângulo entre AB e AC. AB AC = (0,2) (AB, AC) = arccos (0,2) g) Por que não é possível desenhar na figura o resultado de AB AC. (0,1) 5
6ª QUESTÃO VALOR: 1,0 Dados os pontos A = (1,3, 2), B = ( 3,4, 5), C = ( 2, 1,0) e D = ( 1,2,10): a) Encontre o vetores u, v e w : (0,1) u = (,, ) v = (,, ) w = (,, ) b) Calcule a área do triângulo ABC. c) Calcule o volume do tetraedro ABCD. Área de ABC = (0,4) Volume de ABCD = (0,4) d) Calcule a altura relativa ao vértice D do tetraedro usando os resultados dos itens (b) e (c) e a fórmula do volume do tetraedro da geometria espacial V = 1 3 A b H. (0,1) 6
7ª QUESTÃO VALOR: 1,0 A geometria analítica é uma ótima ferramenta para resolver alguns problemas de geometria euclidiana. Um desses problemas é determinar o ângulo entre uma diagonal e uma das faces de um cubo. Aplique os conceitos de ângulo entre vetores e de produto escalar para calcular a medida de θ na figura abaixo. Para os seus cálculos, use obrigatoriamente os versores de OP e OA. θ = arccos 8ª QUESTÃO VALOR: 1,0 Calcule o módulo de ( 2a b) ( a 2b) sabendo que a 2, b 3 e que ( a, b) rad. 6 7
9ª QUESTÃO VALOR: 1,0 Um importante teorema da geometria plana relacionado a quadriláteros é o seguinte: As diagonais de um losango são perpendiculares. Use a figura abaixo para provar esse teorema. Você deve escolher um ponto (não necessariamente do losango) para ser a origem de seu sistema de coordenadas cartesianas, encontrar os vetores que representam as diagonais e usar algum conceito para provar a perpendicularidade desses vetores. (Seja inteligente na escolha de sua origem, pois a facilidade de seus cálculos depende disso!) - Represente na própria figura ao lado o ponto que será a origem de seu sistema de coordenadas: - Coordenadas dos pontos A, B, C e D de acordo com a origem: escolhida: A = (, ) B = (, ) C = (, ) D = (, ) - Vetores que representam as diagonais do losango de acordo com as coordenadas dos pontos A, B,C e D: AD = (, ) BC = (, ) - Cálculo para demonstrar a perpendicularidade: 8
10ª QUESTÃO VALOR: 1,0 Dados os vetores u (2,1,0 ) e v ( 3, 6,9), determinar o vetor x que satisfaz a relação v u x e que seja ortogonal ao vetor w ( 11,, 2). x = i + j + k ------------------------------------------------------------------------------------------------------ AVALIAÇÃO DO ALUNO: ACHEI A PROVA: ( ) FÁCIL ( ) DIFÍCIL A PROVA FOI: ( ) JUSTA ( ) INJUSTA NESTA PROVA EU FUI: ( ) MUITO ACIMA DA MÉDIA ( ) PRÓXIMO DA MÉDIA ( ) MUITO ABAIXO DA MÉDIA CRÍTICAS E SUGESTÕES PARA A SEQUÊNCIA DO CURSO: 9