Pesquisa Operacional Aula 3 Modelagem em PL Prof. Marcelo Musci aula@musci.info www.musci.info
Programação Linear Programação Linear: Preocupação em encontrar a melhor solução para problemas associados com modelos lineares. Modelo de Programação Linear: Maximização (ou minimização) de uma função objetivo linear com relação as variáveis de decisão do modelo. Respeitando-se as limitações (restrições) do problema expressas por um sistema de equações e inequações associadas com as variáveis de decisão do modelo.
Razões para o uso da Programação Linear: 1. Grande variedade de situações podem ser aproximadas por modelos lineares. 2. Existência de técnicas (algoritmos) eficientes para a solução de modelos lineares. 3. Possibilidade de realização de análise de sensibilidade nos dados do modelo.
Passos básicos na obtenção de modelos de PL: 1. Identificar as variáveis de decisão, representá-las em simbologia algébrica. 2. Identificar as restrições do problema, expressá-las como equações ou inequações lineares em termos das variáveis de decisão. 3. Identificar o objetivo de interesse no problema, representá-lo como função linear em termos das variáveis de decisão, que deverá ser maximizada ou minimizada.
Construção de modelos não é uma ciência, mas uma arte, podendo ser melhorada com a prática. Exemplos a serem trabalhados: Determinação do mix de produção Problema do alfaiate Aluguel de caminhões Produção de empresa Alimentação diária Seleção de mídia para propaganda
6 Modelagem em PL Determinação do mix de produção Uma companhia deseja programar a produção de um utensílio de cozinha que requer o uso de dois tipos de recursos mão-deobra e material. A companhia está considerando a fabricação de três modelos e o seu departamento de engenharia forneceu os dados a seguir: Mão-de-obra (horas por unidade) Material (kg por unidade) Lucro ($ por unidade) Modelo A B C 7 3 6 4 4 5 4 2 3 O suprimento de material é de 200 kg por dia. A disponibilidade diária de mão-de-obra é 150 horas. Formule um modelo de Programação Linear para determinar a produção diária de cada um dos modelos de modo a maximizar o lucro total da companhia.
Modelo Encontrar números X A, X B, X C tais que: Max L= 4X A + 2X B +3X C Sujeito as restrições: 7X A + 3X B +6X C 150 4X A + 4X B +5X C 200 X A 0, X B 0, X C 0 8
Problema do Alfaiate Um alfaiate tem, disponíveis, os seguintes tecidos: 16 metros de algodão, 11 metros de seda e 15 metros de lã. Para um terno são necessários 2 metros de algodão, 1 metro de seda e 1 metro de lã. Para um vestido, são necessários 1 metro de algodão, 2 metros de seda e 3 metros de lã. Se um terno é vendido por $300,00 e um vestido por $500,00, quantas peças de cada tipo o alfaiate deve fazer, de modo a maximizar o seu lucro?
Modelo
Aluguel de caminhões Uma companhia de aluguel de caminhões possuía-os de dois tipos: o tipo A com 2 metros cúbicos de espaço refrigerado e 4 metros cúbicos de espaço não refrigerado e o tipo B com 3 metros cúbicos refrigerados e 3 não refrigerados. Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado. Quantos caminhões de cada tipo ela deve alugar, de modo a minimizar o custo, se o aluguel do caminhão A era $0,30 por km e o do B, $0,40 por km. Elabore o modelo de programação linear.
Modelo Uma fábrica precisou transportar 90 metros cúbicos de produto refrigerado e 120 metros cúbicos de produto não refrigerado
Produção de Empresa Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 reais e o lucro unitário de P2 é de 150 reais. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com objetivo de maximizar o lucro da empresa
Modelo Identificação das variáveis de decisão: x 1 = Quantidade do produto P1 produzido por mês. x 2 = Quantidade do produto P2 produzido por mês. Restrições: 2x 1 + 3x 2 120 x1 40 x2 30 x1; x2 0 (não negatividade) Identificação do objetivo: maximização do lucro total Max L = 100x 1 + 150x 2
Alimentação Diária Sabe-se que uma pessoa necessita, em sua alimentação diária, de um mínimo de 15 unidades de proteínas e 20 unidades de carboidratos. Suponhamos que, para satisfazer esta necessidade, ela disponha dos produtos A e B. Um Kg do produto A contém 3 unidades de proteínas, 10 unidades de carboidrato e custa R$ 2,00. Um Kg do produto B contém 6 unidades de proteínas, 5 unidades de carboidrato e custa R$ 3,00. Formule o modelo matemático das quantidade que deverão ser compradas de cada produto de modo que as exigências da alimentação sejam satisfeitas a custo mínimo?
Modelo Identificação das variáveis de decisão: x a = Quantidade do produto A em kg. x b = Quantidade do produto B em kg. Restrições: 3x a + 6x b 15 10x a + 5x b 20 x a, x b 0 (não negatividade) Identificação do objetivo: minimização da quantidade Min Z = 2x a + 3x b
Seleção de mídia para propaganda Uma companhia de propaganda deseja planejar uma campanha em 03 diferentes meios: TV, rádio e revistas. Pretende-se alcançar o maior número de clientes possível. Um estudo de mercado resultou em: TV horário normal TV horário nobre Rádio Revistas Custo 40.000 75.000 30.000 15.000 Clientes Atingidos Mulheres Atingidas 400.000 900.000 500.000 200.000 300.000 400.000 200.000 100.000 0bs: valores válidos para cada veiculação da propaganda.
A companhia não quer gastar mais de $ 800.000 e, adicionalmente, deseja: (1) Que no mínimo 2 milhões de mulheres sejam atingidas; (2) Gastar no máximo $ 500.000 com TV; (3) Que no mínimo 03 veiculações ocorram no horário normal TV; (4) Que no mínimo 02 veiculações ocorram no horário nobre TV; (5) Que o nº. de veiculações no rádio e revistas fiquem entre 05 e 10, para cada meio de divulgação. Formular um modelo de PL que trate este problema, determinando o nº. de veiculações a serem feitas em cada meio de comunicação, de modo a atingir o máximo possível de clientes.
Variáveis de decisão: X 1 = nº. de exposições em horário normal na tv. X 2 = nº. de exposições em horário nobre na tv. X 3 = nº. de exposições feitas utilizando rádio X 4 = nº. de exposições feitas utilizando revistas. Função-objetivo: Maximizar nº. de clientes atingidos Max Z = 400.000X 1 + 900.000X 2 + 500.000X 3 + 200.000X 4
Restrições: Orçamento: 40.000X 1 + 75.000X 2 + 30.000X 3 + 15.000X 4 800.000 Mulheres atingidas: 300.000X 1 + 400.000X 2 + 200.000X 3 + 100.000X 4 2.000.000 Gasto com TV 40.000X 1 + 75.000X 2 500.000 Nº. de veiculações em TV, rádio e revistas X 1 3, X 2 2, 5 X 3 10, 5 X 4 10 Não-negatividade X 1, X 2, X 3, X 4 0.
Resolva a lista de exercícios de Modelagem Definição de Variáveis Definição de Função objetivo Definição de Restrições