TEORIA DAS FILAS APLICADAS AOS ATENDIMENTOS DE MANUTENÇÃO DE UMA EMPRESA DO RAMO METAL- MECÂNICO

TEORIA DAS FILAS APLICADAS AOS ATENDIMENTOS DE MANUTENÇÃO DE UMA EMPRESA DO RAMO METAL- MECÂNICO LEANDRO LUIS CORSO (UCS) llcorso@yahoo.com.br Teilor Braz dos Santos (UCS) teilor.braz@gmail.com Reynaldo Chile Palomino (UFS) reychile@hotmail.com Gabriela Dias Brito (UFOB) gabi-brito11@hotmail.com Leticia Giotti (UFOB) leticiaagiotti@hotmail.com Este artigo apresenta a utilização da Teoria das filas para avaliar e dimensionar corretamente a equipe de manutenção de uma empresa do ramo metal-mecânico. As frequências e tempos de atendimentos das solicitações foram caracterizados pelos modelos de distribuição de Poisson e Exponencial, respectivamente. Particularmente a disciplina de atendimento ocorre por prioridades, das quais, também foram avaliadas singularmente pela Teoria de Superposição de Fluxo de Poisson. Através das equações de utilização, a necessidade de incremento de mão-de-obra ficou evidente, destacando as solicitações de prioridade Muito Alta e Baixa. Pelas mesmas fórmulas, pode-se estimar a número ideal de manutentores para alcançar a estabilidade

Palavras-chave: teoria das filas, manutenção, metal-mecânico 2

1. Introdução Muitas vezes já tivemos que esperar em algum tipo de fila para obter um serviço. A teoria das filas estuda matematicamente a formação dessas filas e estuda o comportamento de um sistema cuja demanda pode crescer gradativa ou aleatoriamente. Para a aplicação desta teoria é necessário coletar e analisar dados referentes ao sistema adotando hipóteses sobre seu comportamento. Neste artigo vamos avaliar o comportamento de um sistema de filas, para permitir o dimensionamento adequado de equipe de manutenção de uma empresa do ramo metalmecânico. 1.1. Caracterização do ambiente Na empresa estudada, as solicitações de manutenção são feitas através de um sistema Via Web, das quais ao recebê-las, o setor de Planejamento e Controle de Manutenção (PCM) faz a avaliação e programa os serviços aos manutentores. Basicamente, subdivide-se a manutenção dos equipamentos por duas filiais: Industrial e Predial/Instalações. A primeira compreende todas as máquinas e equipamentos relacionados ao processo produtivo, como por exemplo, tornos CNC, centros de usinagem, furadeiras, entre outros. A filial Predial caracteriza-se por manutenções relacionadas a conserto de móveis, piso, paredes, etc. As Instalações compreendem as manutenções em estações de tratamento de efluente, redes de ar, de vapor e água, ou seja, são as instalações necessárias e de suporte da primeira filial e são conhecidas como utilidades. A estrutura do setor de manutenção é composta por seis funcionários, sendo dois funcionários no PCM; três manutentores para atender a demanda Industrial e parte das instalações; e um manutentor para atendimentos aos serviços prediais. Através do estudo de Teoria das Filas, pretende-se avaliar o número de atendimentos realizados e serviços solicitados. Após isso, será avaliado, se com o aumento do quadro de manutentores haverá uma redução do número de solicitações na fila e um atendimento mais rápido aos clientes. 3

1.2. Justificativa O aumento das horas de produção acarreta no aumento do número de manutenções dos ativos da fábrica. No processo de atendimento, nota-se que há duas restrições, das quais, envolvem fatores legislativos e de custos para empresa. No primeiro há o limite da jornada de horas trabalhos normais e de horas extras definidas pelo Ministério do Trabalho. O segundo seria o incremento de mão-de-obra que aumentaria as despesas da planta. Por outro lado, a falta da mesma implica em equipamentos produtivos aguardando reparos. Sabe-se também que filas grandes e tempos de espera de atendimento longos geram reclamações parte dos clientes. Logo, a Teoria das filas pode auxiliar no aumento de desempenho do sistema de atendimento as manutenções. 2. Referencial teórico O conceito de Teoria das Filas foi idealizada em 1909, pelo engenheiro matemático e estatístico dinamarquês Agner Krarkup Erlang. A teoria foi desenvolvida para prover modelos matemáticos que predizem o comportamento de sistemas que geram atendimento às demandas de determinado processo em ritmo contínuo e aleatório. Assim, a Teoria das Filas se tornou uma das técnicas de Pesquisa Operacional para abordar problemas de congestionamentos de sistemas onde há solicitação de serviços do cliente e o sistema acaba tendo restrições para atendimento gerando filas. Semelhante ao abordado neste trabalho nos sistemas de atendimento a um setor de manutenção. O objetivo específico da Teoria das Filas é reduzir custos pela otimização do sistema envolvido por meio da análise dos resultados gerados por fórmulas (matemáticas) adequadas ao modelo específico de cada processo. Esses resultados devem possibilitar a análise de situações individuais, podendo ser gerados manualmente para substituir os dados de entrada nas fórmulas, ou por programas de computador. Por exemplo, o Add-in que no Excel é escrito em linguagem de programação Visual Basic ou programas chamados apllets, que são pequenos programas desenvolvidos em Java. 2.1. Teoria de filas De acordo com Carrión (2007, p.11): Em geral todo sistema de filas tem diferentes 4

características mas suas formas de funcionamento são similares. Para o autor, as formas de chegada e atendimento são similares, e para obter os resultados é indispensável dados de entrada, como por exemplo, a razão de chegada e a razão de atendimento. Ainda, o autor considera necessário conhecer características da fila de espera denominando o sistema em questão como sendo Markoviano ou não Markoviano. Uma característica importante para o estudo do comportamento das filas é o tipo de distribuição de probabilidade que regem as atividades do processo, mais especificamente chegada e atendimento. Essas distribuições devem encontrar valores tais como: valor esperado e variância. 2.1.1. Definições Conforme Gross et. al (2008) um sistema de filas pode ser descrito como clientes chegando e esperando para um determinado serviço, e logo após o atendimento os mesmos saindo do sistema. Quando o número de clientes for maior do que 30, a população pode ser considerada infinita e independente, o que implica em que a chegada de um cliente não afetará significativamente a probabilidade de chegada de outro. Uma população de menor tamanho, afeta, de forma considerável, a probabilidade de chegada de outro cliente. Às unidades de população que chegam para atendimento chamam-se clientes, que podem ser pessoas, máquinas, arquivos a serem processados, etc. Para definirmos o conceito da fila consideramos o número de clientes que aguardam atendimento, na qual não estão inclusos os clientes em atendimento. O processo e/ou sistema que realiza o atendimento é denominado de unidade de atendimento, que pode ser única ou de múltiplas unidades. A taxa de chegada de clientes para serem atendidos é dada pelo número de clientes por unidade de tempo e é representada por λ. Os processos são representados por distribuições de frequência devido a irregularidade da taxa de chegadas de clientes ao sistema. As mais conhecidas distribuições são do tipo Normal, de Poisson, e Exponencial (CHWIF, 2014). A taxa de atendimento aos clientes é dada pelo número de clientes por unidade de tempo e é representada por µ. Para obtenção do valor dessa taxa é considerado que o atendimento é 5

realizado em 100% do tempo disponível, não sendo considerada a ociosidade do sistema, o que afeta matematicamente a distribuição de frequência. Em geral, a distribuição mais utilizada nesses casos é a distribuição de Poisson, da qual sugere que as chegadas e o atendimento sejam independentes (ANDRADE 2004; FREITAS, 2008) ). A taxa de utilização dos atendentes é representada por ρ, o número de atendentes m é determinante para o cálculo dessa taxa, que é dada pela seguinte expressão (PRADO, 2014): Único atendente: (1) Mais de um atendente: (2) A análise de um sistema onde λ>µ diz que haverá fila, e então exigirá a utilização de métodos para otimização do sistema, ou seja, para diminuição das filas. No sistema de fila existe um método para definir qual o próximo cliente que será atendido, que é chamada de disciplina de fila descritas a seguir: - FCFS: Primeiro a chegar, primeiro a ser atendido; - LCFS: Último a chegar, primeiro a ser atendido; - SIRO: Atendimento em ordem randômico; - GD: Fila com disciplina genérica. O que determina o tamanho de uma fila é o número médio de clientes NF que aguardam atendimento e o que leva ao cliente escolher a fila. O funcionamento ideal do sistema seria não ter fila. Em relação ao tempo de atendimento temos TF que é o tempo médio que o cliente fica na fila; TS representa o tempo que o cliente fica no sistema, ou seja, o tempo na fila somado ao tempo de atendimento. A soma do número de clientes aguardando na fila e os que estão sendo atendidos chamamos de número médio de clientes no sistema NS. 2.1.2. Notação Para descrição de um sistema de filas, Kendall (1951) inventou uma notação descrita por seis características: 1/2/3/4/5/6. A primeira e segunda, respectivamente, caracterizam a natureza do processo de chegada e dos tempos de atendimento; em geral ambas são independentes, 6

juntamente com as variáveis e os tipos de distribuição de cada uma. A terceira é o número de atendentes. A quarta descreve a disciplina da fila de espera. A quinta o número máximo de clientes permitidos no sistema, considerando os que estão na fila e sendo atendidos. E a sexta característica significa o tamanho da população que pode ser finita ou infinita. 2.2. Distribuição de poisson A distribuição de Poisson (CHWIF, 2014) é uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de uma série de eventos ocorrer num certo período de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o último evento. A probabilidade de que existam k ocorrências (k sendo um inteiro não negativo, k = 0, 1, 2,...) é expressa por: (3) Onde: P(x) = probabilidade de x chagadas em t período de tempo; λ = taxa média de chegadas por unidade de tempo t ; e = exponencial (2,7183) Susan (2007) relata que em muitos casos precisamos dividir um processo de Poisson em outros sub-processos, como por exemplo em sistemas que há clientes preferenciais e nãopreferenciais com seu respectivo agente de atendimento. Em outras aplicações, tem de se juntar todos os fluxos independentes em um único de chegada. Tal propriedade provém do princípio de Superposição de Poisson. 2.3. Distribuição exponencial A distribuição Exponencial é muito utilizada para determinar o tempo necessário para efetuar uma tarefa. Esta distribuição está ligada a distribuição de Poisson e é uma distribuição contínua de probabilidade que analisa opostamente o evento. As chegadas independem do intervalo entre elas; o tempo de serviço independe do tempo do serviço anterior e os intervalos não estão relacionados com o tempo (CHWIF, 2014). Quando o tempo de chegada é distribuído exponencialmente e seu tempo de duração é 7

variável utilizamos a distribuição Exponencial. Sua função é representada pela Equação 4 e o coeficiente de variação na Equação 5. (4) (5) Modelos de distribuição exponencial também podem ser aplicados a falhas de equipamentos, como utilizado no trabalho de Madu (1990). O mesmo autor relata que há outros trabalhos também que envolvem distribuição de Weibull e Gama, mas que assumem apenas o tempo total no sistema ou sem o tempo de espera. 2.4. Filas com Prioridade Derbala (2005) comenta que quanto maior o tempo de espera de um serviço, maior se torna a sua prioridade. Na manutenção, casos de serviços de prioridade alta, média e baixa, se não realizados antes que a falha inutilize o equipamento, começam a se tornar urgentes. Isto, pode interromper outros serviços em andamento fazendo que aumente o tempo da solicitação no sistema. Na literatura, encontra-se modelos e estudos para sistemas com prioridades, no entanto, apenas para casos com até duas classes de prioridades. Mathematics in Science and Engineering (1968) explica que cada prioridade possui seu respectivo comportamento, o que torna o sistema multidimensional e de difícil estudo. A análise deste trabalho baseou-se no estudo de Shimshak et al. (1981), em que foi utilizada três diferentes análises: múltiplo servidor e sem prioridades; filas com duas prioridades, mas sem preferências; filas com duas prioridades, mas permitindo atendimento preferencial. Em todas as análises, as chegadas adequam-se a Poisson e os tempos de serviço à distribuição exponencial. Os autores também trabalham singularmente com os dados das respectivas prioridades partindo do princípio de superposição de Poisson. Em outro estudo, Zhang et. al (2012) também insere a relação de custo e homem-hora nos seus modelos. 3. Modelagem do sistema de filas do setor de manutenção Para se chegar à caracterização feita nas próximas seções, a coleta de dados baseou-se nas 8

seguintes considerações: a) Tamanho da amostra analisada é de 1561 solicitações; b) Compõe solicitações recebidas, no período do ano de 2011, durante os dias de operação da empresa, das 00:00 de segunda-feira até às 09:30 de sábado; c) Estão compreendidas as solicitações das filiais Industriais e Predial/Instalações. 3.1. Caracterização do modelo das chegadas Na Tabela 1 mostra-se a frequência para a quantidade de solicitações recebidas por dia com valores mínimo e máximo, respectivamente, de 0 e 15. Dentre todas as solicitações recebidas, obteve-se uma taxa média de chegada λ de 5 solicitações por dia, no caso, tal parâmetro foi utilizado para cálculo da distribuição de Poisson, representada no gráfico 1. Solicitações por dia (x) Tabela 01 Frequência e distribuição do número de solicitações recebidas por dia Freq. Absoluta Freq. Relativa Dist. de Poisson f(x) Solicitações por dia (x) Freq. Absoluta Freq. Relativa Dist. de Poisson f(x) 0 26 0,08 0,01 8 17 0,05 0,07 1 26 0,08 0,03 9 18 0,06 0,04 2 21 0,07 0,08 10 11 0,04 0,02 3 41 0,13 0,14 11 9 0,03 0,01 4 34 0,11 0,18 12 1 0,003 0,0034 5 30 0,1 0.18 13 5 0,02 0,0013 6 35 0,11 0,15 14 2 0,01 0,0005 7 36 0,12 0,1 15 1 0,003 0,0002 Gráfico 01 Curvas da frequência relativa e da Distribuição de Poisson para λ = 5 9

3.2. Caracterização do tempo de atendimento Com os dados de tempo de atendimento de todas as solicitações concluídas em 2011, obtevese uma média de tempo de atendimento TA de 1,88 dias por solicitação. Sabendo-se que TA é igual 1/µ, os tempos de atendimento foram subdivididos nos intervalos destacados na Tabela 2. Tempo de atendimento (dias) Tabela 2- Dados de frequência e distribuição exponencial negativa dos tempos de atendimento Frequência Absoluta Frequência Relativa Exponencial Negativa μ = 0,53 Tempo de atendimento (dias) Frequência Absoluta Frequência Relativa Exponencial Negativa μ = 0,53 0-0,05 514 0,4589 0,51614 7-8 4 0,0036 0,00764 0,05-0,1 201 0,1795 0,50264 8-9 1 0,0009 0,00449 0,1-0,5 225 0,2009 0,40662 9-10 4 0,0036 0,00265 0,5-1 41 0,0366 0,31196 10-12 6 0,0054 0,00092 1-1,5 22 0,0196 0,23934 12-15 8 0,0071 0,00019 1,5-3 25 0,0223 0,10808 15-18 6 0,0054 0,00004 3-4 11 0,0098 0,06362 18-20 0 0,0000 0,00001 4-5 9 0,0080 0,03745 20-40 9 0,0080 3,29x10-10 5-6 11 0,0098 0,02204 40-80 7 0,0063 2,04x10-19 6-7 9 0,0080 0,01297 80-180 7 0,0063 1,96x10-42 A partir dos dados da tabela 2, montou-se curva dos dados de tempo atendimento no gráfico 2. A mesma assemelha-se a uma distribuição exponencial negativa, na qual, utilizando a taxa de atendimento μ como coeficiente principal da equação utilizada. Gráfico 2 - Curvas da frequência relativa e da distribuição exponencial negativa para o tempo de atendimento 10

4. Caracterização pela disciplina da fila No recebimento de cada solicitação, o responsável pelo PCM classifica o grau de prioridade k que será dado para cada atendimento. Problemas relacionados à indisponibilidade total da máquina ou risco à segurança são classificados automaticamente com prioridade Muito alta. Se a máquina apresenta característica de falha, mas não ocorreu ainda uma perda produtiva, conforme a relevância do equipamento no processo produtivo, a solicitação pode ser classificada diretamente como atendimento de prioridade Alta ou Média. Os de prioridade Baixa abrangem, geralmente, os serviços da filial Predial/Instalações. Em função destas classificações analisar-se-á o sistema, parcialmente, em torno das prioridades e de cada uma de suas características e dados encontrados. Na análise das solicitações de cada prioridade também utilizou-se os conceitos das Leis Operacionais estudadas por Buzen e Denning (1978) e simplificadamente pela Lei de Little. Coletando-se os dados parciais de cada prioridade chegou-se aos principais da tabela 3. Prioridade (k) Nº de solicitações Tabela 3 Dados conforme cada prioridade das solicitações λ k (Solicitações/dia) Tempo na fila TF k (Dias) TA k (Dias) μ k (Solicitações/dia) Tempo no Sistema- TS k (Dias) Muito alta 501 1,60 6,24 2,18 0,94 5,79 Alta 420 1,35 3,83 1,69 0,83 5,43 Média 139 0,45 5,31 1,17 0,27 5,75 Baixa 501 1,60 3,9 1,94 0,99 5,73 11

1561 5,00 - - 3,03 - Observar que o somatório de λ n se iguala ao valor obtido na distribuição de Poisson caracterizado anteriormente, o que exemplifica a Teoria da Superposição do Fluxo de Poisson. Coincidentemente, a quantidade de solicitações Muito alta e Baixa são iguais e, as taxas médias de conclusão apresentam valores bem próximos. Convém ressaltar que a taxa de conclusões μ k e TA k não estão inter-relacionados pela relação TA= 1/μ, os mesmos se tratam de uma média obtida no período apurado. 4.1. Medidas de desempenho das filas Para casos gerais, pode-se avaliar o desempenho das filas através das Leis Operacionais definidas nos trabalhos de Buzen e Denning (1978). Elas possuem subdivisões de outras leis singulares de relações simples e diretas para uso em qualquer sistema de filas desconsiderando as distribuições de chegadas ou de tempo. Como medida de desempenho tem-se a lei de Utilização dada por: (6) Onde X n, é chamado throughput e representa os números de términos em um determinado tempo. No caso, utilizaremos os valores das taxas médias de conclusão μ k da tabela 3. Também, pode-se avaliar o fator de utilização ou intensidade do tráfego ρ k para cada atendimento relativo a cada prioridade. O mesmo advém da relação entre a taxa de chegadas e a taxa de atendimento. (7) Na tabela 4, foi calculado o respectivo ρ para cada prioridade e respectivo critério. O critério 1 utiliza diretamente μ k da taxa de conclusões médias, enquanto que no critério 3 considerou-se diretamente TA k (1/μ). Os valores utilizados provêm da tabela 3. No critério 4, se utilizou os parâmetros dos modelos de Poisson de chegada e da exponencial dos tempos de atendimentos. O valor de m utilizado é de 4 servidores que atendem toda a demanda. 12

Tabela 4 Taxas de utilização ou intensidade de tráfico para cada prioridade Critério ρ Prioridade Muito Alta Alta Média Baixa 1 ρ k 1,70 1,62 1,66 1,61 2 U k 2,05 1,40 0,32 1,92 3 ρ k (TA k =1/μ) 3,48 2,28 0,52 3,10 4 ρ =λ/m.μ 2,35 Pela literatura, a Lei de Little, só pode ser aplicada a um sistema equilibrado, mas a utilizaremos no sistema de prioridades para simples avaliação do sistema. O número de solicitações no sistema NS k é dado pela seguinte relação: Onde TS k também pode ser dado como: A partir do TS k da tabela 3, calculou-se os resultados de NS k para o critério 1 da tabela 4 (ver tabela 5). Já no critério 2 partiu-se da equação 9 acima. Por fim, utilizando a sub-definição de TA k no critério 3. (8) (9) Tabela 5 Resultado dos cálculos para Número de solicitações no sistema NS k Critério Prioridade Muito NS k Alta Alta Média Baixa 1 6,32 7,33 2,58 9,16 2 13,47 7,45 2,91 9,34 3 11,68 6,79 4,05 7,85 4.2. Avaliação do número de servidores No gráfico 3, mostra-se a curva identificando o número de servidores requeridos conforme a taxa de utilização do sistema caracterizado pela distribuição de Poisson e a Exponencial negativa. Percebe-se que para chegar a uma taxa estável (ρ=1), o sistema deveria ter nove servidores. Gráfico 3 Taxa de utilização ρ em função do número de servidores. 13

O sistema atual apresenta quatro servidores e presumindo que cada um seja alocado para cada prioridade, pode-se analisar ρ isoladamente a cada uma. Assim, utilizando o pressuposto que um sistema estável possui uma taxa de saída mais próxima a taxa de entrada (λ µ), no gráfico 4 verifica-se quantidade de servidores para tal. Gráfico 4 Taxa de utilização ρ k em função do nº de servidores para cada prioridade Logo, pelas curvas do Gráfico 4, para as prioridades Muita alta e Baixa seriam necessários três servidores para atender suas respectivas demandas. Enquanto que para as solicitações de prioridade Alta, dois servidores diminuíram a taxa de utilização quase ao valor de 1. Para os casos de prioridade Média pode-se manter o servidor atual, pois os índices de taxa de utilização estão abaixo de 1. Assim, ncessita-se, de uma equipe de nove servidores para atende a demandas para todas as prioridades listadas. 14

Conforme gráfico 5, utilizando a fórmula 6, deverá haver dois servidores para o atendimento de cada prioridade Muito alta, baixa e também da Alta. Enquanto que para as de prioridade Média, também não haveria necessidade de mais servidores. No entanto, isto totaliza apenas uma equipe com sete servidores. Gráfico 5 Taxa de utilização U k em função do número de servidores 5. Conclusão As modelos de distribuição das chegadas e tempos de atendimento adequaram-se satisfatoriamente aos modelos encontrados nas literaturas. Na falta de equações específicas para os modelos marcovianos com disciplina de fila PR, a análise teve de ser feita parcialmente em torno de cada prioridade das solicitações. Porém, por todas as equações de referência de desempenho, constatou-se a instabilidade do sistema. A análise gráfica das equações da taxa de utilização permite avaliar a quantidade de servidores necessários para atender a demanda de solicitações, principalmente, as de prioridade Muito Alta e Baixa. A empresa pode optar por um incremento de 2 servidores, como visto no último gráfico, visando a minimização do custo em recursos de mão de obra. Paralelamente, aliada a Teoria das filas, pode-se obter melhores resultados com outras práticas de engenharia de manutenção, como por exemplo, o aumento de preventivas, preditivas e inspeções periódicas afim de diminuir as solicitações de prioridade Muito Alta, genericamente, relacionadas as urgências. Logo, a Teoria das filas pode ajudar no dimensionamento da equipe de manutenção para atender eficientemente o seu cliente, bem 15

como, aumentar a disponibilidade e produtividade operacional dos ativos da empresa. REFERÊNCIAS ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à pesquisa operacional: métodos e modelos para análise de decisões. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004 ZHANG, Bo; XU, Ying; DONG, Yue; HOU, Na; YU, yongli. Research on the Optimization Method of Maintenance Support Unit Configuration with Queuing Theory. Physics Procedia, Vol 33, p. 368 374, 2012. CARRIÓN, Edwin Arturo. Teoria das filas como ferramenta para análise de desempenho de sistemas de atendimento: estudo do caso de um servidor da UECE. Fortalece, Ceará, 2007. CHWIF, Leonardo, MEDINA, Afonso. Modelagem e Simulação de eventos discretos: Teoria & aplicações. Elsevier $ta Edição, 2014. BUZEN, J.P & DENNING, J.P. The Operational Analysis of Queuing Network Models. ACM - Computing Surveys, Vol. 10, No. 3, p. 225-261, 1978. DERBALA, Ali. Priority queuing in an operating system. Computers & Operations Research, Vol. 32, No. 2, p. 229 238, Feb 2005. FREITAS FILHO, Paulo José de. Introdução à modelagem e simulação de sistemas com aplicações em Arena: com aplicações em Arena. 2. ed. Florianópolis: Visual Books, 2008 GROSS, D., SHORTIE, J. F., THOMPSON, J. M. AND HARRIS, C. M. Fundamentals of Queueing Theory. 4 ed New Jersey: John Wiley & Sons, 2008. KENDALL, D.G.: Some Problems in The theory of Queues. Royal Stat. Soc. B13. p. 151-185, 1951. MADU, Christian N. An economic design for optimum maintenance float policy. Computers & Industrial Engineering. Vol 18, No 4, p. 457 469, 1990. MATHEMATICS IN SCIENCE AND ENGINEERING. Chapter III: Priority Queuing Model. Vol 50, p. 52-82, 1968. PRADO, Darci. Teoria das filas e da simulação: serie pesquisa operacional. vol.2. Editora Falconi 5ta edição, 2014. SHIMSHAK D.G., GROPP DAMICO D., BURDEN H.D. A priority queuing model of a hospital pharmacy unit..european Journal of Operational Research, Vol 7, p. 350-354, 1981. SUSAN H. XU. Chapter 8: Stochastic process. Operations research and management science handbook. 2007 16