UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANA Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Modelagem da Histerese Magnética Jean Vianei Leite Curitiba, abril de 2010.
Modelo de Jiles-Atherton Obtido a partir de considerações físicas; Baseado em equações diferenciais; Baixo esforço computacional e fácil implementação; Conjunto de parâmetros relativamente baixo; Pode ser diretamente empregado no MEF com formulação em potencial vetor magnético. Não representa laços menores adequadamente
Modelo de Preisach Modelo matemático de implementação complexa. Maior esforço computacional se comparado ao modelo de Jiles- Atherton. A caracterização dos materiais depende da variável imposta e é mais complexa. O uso da função de Everett possibilita o cálculo da magnetização total sem a necessidade de integração e derivação numérica simplificando a utilização do modelo. Dependendo da variável independente o método de interpolação da função de Everett também é outro para evitar instabilidade numérica. O modelo de Preisach representa adequadamente os laços menores.
Modelos do Tipo Play e Stop Modelos de histerese não baseados em equações diferenciais; Laços de histerese são construídos a partir da superposição de laços elementares (Histerons); Cada laço elementar tem a sua contribuição ponderada por uma função característica; A integral das contribuições de cada histeron modela o comportamento macroscópico do material.
Modelos do Tipo Play e Stop Modelos de histerese do tipo Play e Stop baseiam-se no mesmo princípio do modelo de Preisach (histerons) mas são mais simples em termos de: Formalismo matemático; Caracterização de materiais; Implementação numérica. Estas características se estendem, conseqüentemente, a sua generalização vetorial.
Modelos Play são empregados quando o campo magnético H é conhecido antes da indução; Esses modelos foram originalmente concebidos para a modelagem de sistemas termodinâmicos; Conceitos de energia livre e múltiplos estados metaestáveis são utilizados na concepção dos histerons elementares em termodinâmica e podem ser encontrados na literatura; Enfocaremos os modelos do ponto de vista operacional, a partir do estabelecimento do conceito de histeron e como as suas interações serão computadas para formar o laço de histerese magnética macroscópico.
No modelo Play o comportamento do material será regido por um conjunto de partículas independentes, os histerons, os quais não são necessariamente associadas aos domínios magnéticos. Cada partícula possui uma magnetização mj e a energia associada a cada partícula depende somente de mj.
A energia total de polarização M é expressa então como a soma ponderada das contribuições de cada partícula; De uma forma geral, para uma distribuição contínua de partículas, ( ) ( ) M m k d k ς = Para uma implementação numérica a integral é aproximada pela soma M = ς m onde os coeficientes obedecem a condição de normalização j j j ς j ς j = 1 j
No caso unidimensional, o modelo apresentado pode ser comparado ao modelo escalar de Preisach, com a função de distribuição ζ relacionada aos campos coercitivos locais. No modelo de Jiles-Atherton a magnetização não segue uma curva anisterética porque os domínios magnéticos são impedidos de deslocar-se devido os pinningsites. No modelo Play, variações na magnetização sofrem resistência, o que produz uma perda de energia proporcional a uma constante adimensional. As partículas diferem umas das outras por terem diferentes constantes de proporcionalidade, chamadas de kj.
As características de histerese de uma partícula individual, no caso unidimensional, pode ser ilustrado como mostrado a seguir Construção de uma partícula mj; no centro o elemento intermediário Hj; a direita a curva anisterética.
Para o formalismo matemático do comportamento desta partícula é introduzida uma variável intermediária Hj para toda partícula j tal que H é relacionado a Hj através da equação dh j dh se H + dh - H k = 0 se H + dh - H < k j j j j o histórico magnético do material é armazenado em Hj. A magnetização é então estabelecida como: ( ) m j = M an H j onde Man é uma função anisterética a qual representaria a magnetização do material caso não houvesse histerese.
Caracterização dos Materiais: Os parâmetros do modelo podem ser divididos entre aqueles necessários para modelar a curva anisterética e os necessários para representar os campos coercitivos kj e a sua função de distribuição ζj. Em relação à curva anisterética Man a expressão analítica pode ser usada M H = 2 M π arctan H h ( ) ( ) ( ) 0 an s onde Ms e h0 são os parâmetros a serem ajustados do material
Caracterização dos Materiais: A soma ponderada k ζ k k j j representa a perda por histerese num ciclo completo do material. A função de distribuição ζ e os valores de kj podem ser ajustados de diferentes maneiras desde que a relação acima seja respeitada.
Exemplo de emprego da metodologia construção de um laço de histerese para um material hipotético modelado com cinco histerons para todas as partículas ζ = 0, 2 As constantes de proporcionalidade são: k = [ 8, 6 28, 8 56 97, 9 208, 8 ]
Para uma forma de onde de campo senoidal construção da variável intermediária Hj dh j dh se H + dh - H k = 0 se H + dh - H < k j j j j
Hj em função do tempo Aplicando a função anisterética obtém-se as mj ( ) ( 2 π ) ( ) 0 M H = M arctan H h = m an j S j j
Magnetização de cada partícula, em função do campo magnético (histerons) Complementando o modelo, as magnetizações m j são ponderadas com ζ = 0. 2 e somadas para formar a magnetização total M. Neste modelo M possui o mesmo significado da indução magnética B.
A magnetização ou B resultante é Laço de histerese resultante
Laços menores 2 1.5 1 2 0.5 1.5 B [T] 0 1-0.5 0.5-1 B [T] 0-1.5-0.5-2 -250-200 -150-100 -50 0 50 100 150 200 250 H [A/m] Laço de histerese obtido do modelo Play. -2-250 -200-150 -100-50 0 50 100 150 200 250-1 -1.5 H [A/m] Laço de histerese obtido com Jiles-Atherton.
Considerações sobre o modelo Play: Apresenta uma formulação simples com um formalismo matemático estabelecido em três equações. Se o número de partículas usado na modelagem do material for pequeno a velocidade computacional é alta. Na aproximação do caso contínuo o desempenho cai. Simulações mostram que no caso de laços estreitos a distribuição das partículas influencia significativamente a forma do laço, ou seja, para um mesmo valor de <k> a forma como os diferentes kj estarão distribuídos irá alterar o campo coercitivo e as magnetizações remanente e máxima. Para laços de histerese com campo coercitivo alto (> que 100 A/m ) o número de partículas e a sua distribuição têm pouca influência na forma do laço de histerese. O modelo Play consegue uma boa representação dos laços menores.
Modelo Escalar do Tipo Stop
Modelo Escalar do Tipo Stop Modelo dual ao modelo Play; A variável independente é a indução B; Bom para aplicações como o MEF, com formulação em potencial vetor onde a indução é conhecida à priori. O campo magnético H pode ser obtido, similarmente ao modelo Play, como a superposição das contribuições de um número de pseudopartículas, chamados stop histerons, onde cada pseudopartícula possui o mecanismo de histerese.
Modelo Escalar do Tipo Stop O operador histeron do tipo Stop
Modelo Escalar do Tipo Stop Diversas formulações podem ser empregadas na construção dos operadores Stop. Uma possível metodologia para formalizar o operador é = W se W < 1 k η k k S k W k 1 η k se η k W k W k 1 1 ( ) ( ) W k = B t B t 0 + S k 0 é uma variável intermediaria η k é o fator de distribuição (constante positiva).
Modelo Escalar do Tipo Stop O fator de distribuição pode ser assumido de variadas maneiras. Uma distribuição linear: ( N k 1 ) 0 η k = + η onde N é o número de histerons, e η 0 é um parâmetro do material k = 1, 2... N A distribuição pode ser assumida através de equações de distribuição estatísticas clássicas como Gauss ou Lorentz.
Modelo Escalar do Tipo Stop Exemplo de cálculo Curva de histerese medida para uma forma de onda PWM a dois níveis.
Modelo Escalar do Tipo Stop Curva calculada com o modelo de Jiles-Atherton Curva calculada com o modelo Stop
Modelo Escalar do Tipo Stop Experimental Jiles-Atherton Stop
Modelo Escalar do Tipo Stop Similarmente ao modelo Play, o modelo Stop possui formalismo matemático simples, baseado em poucas equações. O desempenho computacional é alto com o uso de poucas partículas diminuindo com a aproximação do caso contínuo. Simulações demonstraram que o modelo Stop é fortemente influenciado pela função de distribuição dos histerons. Assim como o seu dual Play, o modelo Stop consegue uma boa representação dos laços menores que venham ocorrer junto ao laço principal de histerese, apresentando laços menores fechados em concordância com os observados em laços medidos. Os modelos baseados em histerons do tipo Play e Stop são uma alternativa ao modelo de Preisach.
Atividade Implementar modelo escalar Play Caracterizar material do arquivo Laço_BH.txt do site http://sites.google.com/site/histeresemodel/ para uso do modelo escalar Play Calcular laços BH com níveis de campo variando de 10 a 130 A/m. Calcular um laço contendo laços menores.