Unidade 10 Teoremas que relacionam trabalho e energia Teorema da energia cinética Teorema da energia potencial Teorema da energia mecânica
Teorema da nergia Cinética Quando uma força atua de forma favorável ou contrária ao movimento de um corpo, dizemos, respectivamente, que o trabalho realizado por ela é motor ou resistente. Assim, podemos supor que, se o trabalho de uma força pode ajudar ou trabalhar o movimento de um corpo, então ele pode ser associado ao aumento ou diminuição da velocidade desse corpo.
Teorema da nergia Cinética Demonstração Através desse importante teorema da Física, é possível calcular o trabalho total de todas as forças presentes num sistema, tanto as forças conservativas ou dissipativas quanto as forças internas ou externas ao sistema
Teorema da nergia Cinética Demonstração O TC foi enunciado da seguinte forma: O trabalho total de todas as forças atuantes em um sistema físico é dado pela variação da energia cinética do sistema. Faremos a demonstração do teorema através do caso particular de uma partícula em trajetória retilínea sob a ação de uma força resultante constante.
Teorema da nergia Cinética Demonstração O trabalho da força será dado por: Observe que α = 0 e cos α = 1 Considerando V 0 como a velocidade escalar inicial e V como a velocidade escalar após o deslocamento de módulo igual a d. Considere m como a massa do ponto material e F como a intensidade da força resultante. τ =F.d Para o Princípio Fundamental da Dinâmica, temos: F =m.a (I) (II)
Teorema da nergia Cinética Demonstração Para a expressão de Torricelli, temos: V =V + ad 0 (III) Tirando o valor de d em (III), vem: d = V V a 0 (IV) Substituindo (II) e (IV) em (I), temos: τ = Fd. τ = ma.. ( V V ) a 0 m.v A grandeza chamada de energia cinética da partícula e, portanto : τ = mv mv 0 τ = cfinal cinicial
Teorema da nergia Cinética Demonstração O trabalho da resultante das forças aplicadas em um corpo é igual à variação de sua energia cinética. τ = cfinal cinicial
Teorema da nergia Cinética Interpretação a) τ Fr > 0, ou seja motor. Nesse caso, cf ci > 0 ou cf > ci. Isso significa que a resultante das forças fornecem energia cinética ao corpo, deixando-o mais veloz. b) τ Fr = 0, ou seja nulo. Nesse caso, cf ci = 0 ou cf = ci. Isso significa que o resultante das forças não forneceu nem retirou energia cinética do corpo. Dessa forma, ele mantém sua velocidade escalar constante. c) τ Fr < 0, ou seja resistente. Nesse caso, cf ci < 0 ou cf < ci. Isso significa que a resultante das forças retirou energia cinética do corpo, deixando-o mais lento.
Teorema da nergia Cinética xemplo de Aplicação Um corpo de massa m = 4 kg está sob a ação de quatro forças como mostra a figura, e move-se para a direita. São dados:. Sabendo que o corpo passa pelo ponto X com velocidade, calcule a velocidade do corpo ao passar pelo ponto y.
Teorema da nergia Cinética xemplo de Aplicação Vamos resolver esse exercício usando o Teorema da nergia Cinética e, para isso, vamos primeiramente calcular o trabalho total realizado pelas forças que atuam sobre o corpo. sse trabalho pode ser calculado de dois modos. Um deles consiste em calcular o trabalho de cada força e depois efetuar a soma:
Teorema da nergia Cinética xemplo de Aplicação Apliquemos agora o Teorema da nergia Cinética:
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Teorema da nergia Potencial Com qualquer teorema, o da energia potencial possui demonstração matemática e requer para ser perfeitamente compreendido. τ Fcons A B = PA PB = Pi Pf = P O trabalho das forças conservativas aplicadas em um corpo é igual à variação de energia potencia.
Teorema da nergia Potencial Interpretação Utilizando o Teorema da energia potencial, podemos analisar três resultados possíveis para o trabalho das forças conservativas que agem em um corpo: a) τ Fcons > 0, ou seja, é motor. Nesse caso, pi pf > 0 ou pf < pi. Isso significa que o corpo perde energia potencial e realiza movimento espontânea.
Teorema da nergia Potencial Interpretação b) τ Fcons = 0, ou seja, é nulo. Nesse caso, pi pf = 0 ou pf = pi. Isso significa que, entre as posições inicial e final ocupadas pelo corpo, a energia potencial dele não sofre variação. Isso ocorre, normalmente, em dois casos: I) Quando o corpo permanece parado; II) Quando o corpo se locomove perpendicularmente à resultante das forças conservativas (nessa última situação, a trajetória seguida pelo corpo fica contida numa superfície chamada equipotencial)
Teorema da nergia Potencial Interpretação c) τ Fcons < 0, ou seja, é resistente. Nesse caso, pi pf < 0 ou pf > pi. Isso significa que o corpo ganha energia potencial e realiza movimento forçado.
Teorema da nergia Potencial xemplo de aplicação p. 1 3) Um corpo de massa 5 kg percorre 10 metros numa superfície horizontal sob ação de uma força de intensidade 8N de mesma direção e sentido do deslocamento realizado. Sob a luz do Teorema da nergia Potencial, quanto vale o trabalho do peso desse corpo nessa situação? Resposta: Segundo o Teorema da nergia Potencial, para que haja o trabalho de uma força conservativa, é necessário que haja variação da energia potencial. No caso de um corpo que se desloca sobre uma superfície horizontal, a energia potencial gravitacional não se altera e, consequentemente, o trabalho de seu peso é nulo.
Teorema da nergia Potencial xemplo de aplicação p. 1 4) Um conjunto massa-mola possui uma energia potencial elástica de 30J. Após sofrer certo deslocamento, esse conjunto passa a ter uma energia potencial de 50J. Nessa situação, quanto vale o trabalho da força elástica que atuou sobre o corpo durante o deslocamento? O movimento foi espontâneo ou forçado? τ τ τ Fcons A B Fcons A B Fcons A B = = 30 PA = 0J 50 PB Sempre que o trabalho das forças conservativas é resistente (negativo). O movimento é forçado.
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Teorema da nergia Mecânica Forças Conservativas As energias cinética e potencial dependem de fatores diferentes. nquanto a primeira é função da velocidade de um corpo; nquanto a segunda é função da posição que ela ocupa; Assim, um corpo pode apresentar, simultaneamente, essas duas modalidades de energia. A soma algébrica das energias cinética e potencial de um corpo é denominada energia mecânica. Matematicamente, poderíamos escrever: = + M C P
Teorema da nergia Mecânica Forças Não Conservativas Relembrar: As forças que atuam em um corpo pode ser de dois tipos: Conservativas: peso, elástica e elétrica Não conservativas: atrito, resistência do ar, normal, tração, etc. Para trabalho de forças não conservativas podemos definir matematicamente que: O trabalho das forças não conservativas que atuam sobre um corpo é igual à variação de sua energia mecânica: τ Fñcons = Mf Mi
Teorema da nergia Mecânica Forças Não Conservativas - Interpretação a) τ Fñ cons > 0, ou seja, é motor. Nesse caso, Mf Mi > 0 ou Mf > Mi. Isso significa que as forças não conservativas forneceram energia cinética, potencial ou ambas ao corpo em que atuam. b) τ Fñ cons = 0, ou seja, é nulo. Nesse caso, Mf Mi = 0 ou Mf = Mi. Isso significa que não atuou qualquer força não conservativa sobre o corpo, ou que ele não se deslocou (e, por isso, elas não realizaram trabalho) ou que mais de uma força não conservativa atuou sobre o corpo e realizou trabalho, sendo toda energia fornecida por algumas delas retirada por outras. c) τ Fñ cons < 0, ou seja, é resistente. Nesse caso, Mf Mi < 0 ou Mf < Mi. Isso significa que as forças não conservativas retiraram energia cinética, potencial ou ambas do corpo em que atuam.
xemplo de aplicação p. e 3 + + = + + = = mgh mv mgh mv i f Fñcons Pi Ci Pf Cf Fñcons Mi Mf Fñcons.. ) ( ) ( τ τ τ ( ) ( ) 400 100.10.0 0 0 10. = + + = Fñcons Fñcons τ τ J Fñcons = 300 τ
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