XI Encontro de Iniciação à Docência

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1 4CCENDFMT01 EXEMPLO DE APLICAÇÃO DE UMA METODOLOGIA PARA A SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE FÍSICA E MATEMÁTICA Erielson Nonato (1) e Pedro Luiz Christiano (3) Centro de Ciências Exatas e da Natureza/Departamento de Física/MONITORIA RESUMO: O presente trabalho teve sua origem na observação de que os alunos das disciplinas de física vêm encontrando enormes dificuldades na solução de problemas propostos e na impressão de que tais dificuldades são devidas à ausência de uma heurística adequada à abordagem desses problemas para ordenar a ação dos estudantes. (Objetivo) O presente trabalho visa a apresentar um exemplo de aplicação de uma metodologia proposta para facilitar a resolução de problemas de física. (Descrição Metodológica) Para melhor evidenciar a aplicação da metodologia proposta esta é trabalhada a partir de sua aplicação a um exemplo concreto, um problema clássico em cursos básicos de física. (Resultados) É apresentada de forma bastante detalhada a forma como os diferentes passos da metodologia devem ser seguidos, desde a análise do enunciado do problema até o teste final da solução. (Conclusão) A partir da utilização da metodologia explicitada neste trabalho o estudante poderá ordenar seus esforços para a solução de problemas de física, melhorando sua capacidade de resolvê-los e aprimorando seu entendimento do conteúdo. Palavras Chave: heurística, solução de problemas, Polya Introdução A habilidade em resolver problemas de matemática e de física, diferentemente do que pensa a maioria das pessoas, depende muito mais da utilização de técnica adequada para analisar o enunciado e buscar os caminhos para sua solução do que de uma habilidade natural, um dom, do indivíduo. Neste trabalho apresentamos a solução de um problema de física como um exemplo de como deve ser a abordagem desse tipo de problemas em geral. Para sua solução utilizamos uma adaptação da técnica de solução de problemas desenvolvida por G. Polya e apresentada em seu livro clássico How to Solve It, publicado inicialmente em 1945 e republicado recentemente com uma introdução de John H. Conway, que relembra as palavras de A. H. Schoenfeld a respeito do livro: Para a educação matemática e o mundo da solução de problemas, ele representa uma linha de demarcação entre duas eras, solução de problemas antes e depois de Polya. É nosso objetivo então nesse trabalho apresentar essas técnicas, devidamente adaptadas para sua utilização em problemas de física, aos nossos estudantes pois ) Bolsista, (2) Voluntário/colaborador, (3) Orientador/Coordenador, (4) Prof. colaborador, (5) Técnico colaborador.

2 acreditamos que é muito mais a ausência de técnicas adequadas do que de esforço e dedicação que fazem com que o estudo de física seja tão difícil para a maioria deles. Como a técnica já foi apresentada em outro trabalho, aqui cuidaremos apenas de ilustrá-la, mostrando a sua aplicação a um problema clássico de física básica. Como exemplo, utilizaremos o seguinte problema: Um bloco de massa M é solto de uma altura H 0 e desliza sem atrito sobre um plano inclinado, como mostrado na figura abaixo. Após descer o plano, o bloco entra em um loop, de raio R, onde também não existe atrito. Determine a força normal que atua no bloco quando o mesmo se encontra no ponto B, indicado na figura. Descrição Metodológica Como já observamos em outro trabalho, a heurística proposta para a solução de problemas de física mantém a estrutura de quatro estágios originalmente sugerida por Polya e listados abaixo. 1. Entendendo o problema a ser resolvido 2. Construindo um plano para a sua solução 3. Executando o plano 4. Revisando a solução encontrada Comecemos então a analisar nosso problema a partir do primeiro desses estágios. 1. Entendendo o problema Esse estágio consiste na identificação de diferentes aspectos do enunciado do problema, de forma a fazer com que o mesmo seja plenamente compreendido antes que se proceda à busca de sua solução. Para tanto, o estudante deve buscar as respostas às seguintes questões: Qual é a incógnita? No caso do problema que estamos considerando, a incógnita procurada é a força normal exercida pelo loop sobre o bloco quando o mesmo está passando pelo ponto A. Designaremos essa quantidade por N A. É importante que o estudante atribua à incógnita procurada uma

3 denominação, como fizemos. Deve, a seguir, escrever logo abaixo do enunciado qual a incógnita procurada vê qual foi a designação a ela atribuída, como mostrado abaixo. Incógnita: Força normal que atua sobre o bloco no ponto A (N A ) Quais são os dados? Alguns dados, como a altura em que se inicia o movimento, a massa do bloco, e o raio do loop são fornecidos de forma evidente e devem ser facilmente identificados pelo estudante. Outros, como a velocidade inicial do bloco e a altura do ponto A são fornecidos de forma menos direta: a primeira, através da afirmação de que a partícula é solta, o que implica em que sua velocidade no ponto inicial é nula e a segunda, pela indicação no desenho de que o ponto A e o centro do loop encontram-se à mesma altura. Esta então, necessariamente, é o raio R do loop. Tais dados devem ser resumidos pelo estudante, logo abaixo da identificação da incógnita, na forma mostrada abaixo. Dados: a. Massa do bloco : M b. Altura inicial : h c. Raio do loop : R d. Velocidade inicial do bloco: v 0 = 0 e. Altura do ponto A: R Quais são as condições adicionais do problema? Nesse caso o estudante deve identificar que o bloco, após ser solto, deslizará sem atrito, inicialmente por um plano inclinado e depois pelo loop. Deve observar também que, para que o bloco percorra o loop deve atuar sobre ele uma força centrípeta. O estudante deve então anotar, logo abaixo dos dados: Condições adicionais: Não existe atrito. No loop atua sobre o bloco uma força centrípeta. O passo seguinte consiste em elaborar um plano para a solução do problema. Esse plano é constituído de duas partes, uma conceitual e outra prática. Também ele deve ser construído a partir da resposta a um conjunto de perguntas. Considerando então os aspectos conceituais do plano, o estudante deve começar a responder a seguinte pergunta: 2.1 Qual o princípio básico envolvido na solução do problema? Tal pergunta, também pode ser traduzida para algo do tipo: de que trata o problema? É esse o principal momento em que se percebe mais claramente as diferenças entre principiantes e especialista. Enquanto os primeiros procuram associar o problema a seus aspectos geométricos, como a questão do problema envolver planos inclinados e movimentos circulares, o especialista tende a identificar os princípios envolvidos, no caso, o princípio da

4 conservação da energia mecânica. O estudante deve escrever então, logo abaixo das condições adicionais: Princípio básico: princípio da conservação da energia mecânica. 2.2 Porque esse princípio pode ser aplicado? Ao responder a essa pergunta, o estudante deve ser levado a identificar que é o fato de não haver atrito presente na trajetória descrita pelo bloco que faz com que o princípio da conservação da energia possa ser aplicado. 2.3 Como o princípio básico deve ser aplicado? Esse é um passo crucial no sentido de se começar a resolver o problema de forma propriamente dita. No caso, a identificação de que a energia mecânica inicial deve ser igual à energia mecânica em qualquer outro instante ou posição ocupada pelo bloco, em particular, igual à energia mecânica do bloco no ponto A, é a equação que deve conduzir à solução do problema. Tal equação pode ser escrita como: E 0 = E A Uma vez respondidas essas três perguntas, que consideram os aspectos conceituais da solução do problema, o passo seguinte consiste então na identificação dos passos práticos para a obtenção da incógnita, a partir das condições iniciais e da utilização do princípio básico. Trata-se então de obter uma conexão entre os dados e a incógnita. Para isso, o primeiro passo consiste em se verificar se essa conexão já existe. O estudante deve então responder à pergunta: 2.4 Os dados iniciais juntamente com o princípio básico levam diretamente à solução do problema? Evidentemente só nos interessa aqui o caso em que a resposta a esta questão é não pois só nesse caso o estudante deve continuar sua seu esforço para resolver o problema. O estudante deve observar que não há essa conexão direta porque nem E 0 nem E A são conhecidos diretamente e, mesmo que o fossem, não levam automaticamente à normal N A. Existem então dois caminhos complementares para se chegar à resposta: I Retropropagação da incógnita O estudante deve verificar nesse ponto que a força normal procurada é a força centrípeta responsável por fazer com que o bloco descreva um movimento circular pelo loop. Deve então fazer a identificação: N A = F cent Como a relação entre a força centrípeta e a velocidade da partícula são conhecidos, o estudante pode escrever ainda: F cent = mv 2 A /R

5 Como conhecemos M e R, nosso problema agora está reduzido à determinação de v A. É neste sentido que dizemos que houve uma retropropagação da incógnita, pois ela agora está uma passo mais próximo dos dados iniciais. II Propagação dos dados Como se sabe que a energia mecânica E é determinada pela soma das energias cinética (K) e potencial (U) o estudante pode escrever: E = K + U Por outro lado, essas energias são dadas por: K = ½ mv 2 U = mgh De modo que, com essas definições, pode-se escrever a equação fornecida pela utilização do princípio básico: como: E 0 = E A ½ mv mgh = ½ mv 2 A + mgh A Como a massa pode ser cancelada, pois está presente em todos os termos, usando-se os dados fornecidos inicialmente pode-se escrever: gh = ½ v 2 A + gh A Como v A é a única incógnita nessa equação, e ela é também a quantidade que se necessitava para a obtenção da força normal procurada, isso significa que foi encontrado um caminho conectando os dados iniciais e a incógnita e, portanto, o problema foi virtualmente resolvido. Esse caminho pode ser esquematizado como: Ou seja: dos dados iniciais m e v 0 se obtém K 0 e dos dados m e h se obtém U 0 que, juntas fornecem E 0. O valor dessa energia, juntamente com a equação fornecida pelo princípio básico e com m e H A que juntamente com m e R permitem encontrar F cent que é a força normal procurada. 3. Executando o plano Nessa etapa, as dificuldades são apenas de cálculo e, como observado por Polya, exigem apenas paciência, atenção e alguma habilidade matemática. No entanto, é também

6 uma ótima oportunidade para se testar rigorosamente cada uma das etapas do plano desenvolvido. Teremos então: K 0 = ½ mv 2 0 = 0 (pois v 0 = 0) U 0 = mgh E, então, E 0 = mgh. Como E A = ½ mv 2 A + mgh A tem-se v 2 A = 2g(h-HÁ) Dessa forma, de F cent = mv 2 A / R obtém-se F cent = 2mg(h-HÁ) / R e como F cent = N tem-se N = 2mg(h-HÁ) / R que é a resposta procurada. 4. Revisando a solução encontrada O quarto passo, como proposto por Polya, deve ser não só uma oportunidade de se testar a solução encontrada, como também para se aprender mais sobre o problema, procurando novos caminhos para resolvê-lo ou explorando casos limite interessantes. Como teste, consideremos a análise dimensional da solução. Como a normal é uma força, sua unidade deve ser o Newton. Obviamente, o lado direito da equação que a determina tem que ter a mesma unidade. Vejamos [N] = [m]. [g]([h] [H A ]) / [R] substituindo as grandezas por suas unidades obtém-se N = kg.(m/s 2 )m / m ou seja N = kg.m / s 2. como deveria ser. Como exemplo de caso limite, consideremos o que aconteceria se o bloco fosse solto da altura H A. Nesse caso, nossa solução nos indica que a normal em A seria nula. Apenas um pouco de reflexão é suficiente para verificar que isso é correto porque, tendo sido solto dessa mesma altura, no ponto A o bloco deverá parar. Nesse ponto então não se encontra descrevendo um movimento circular. Logo, não há força centrípeta e, então, também não existe nenhuma normal.

7 Resultados Com a utilização de uma heurística adequada pode-se ver como a solução de um problema de física e/ou matemática pode ser facilitada, permitindo ao estudante, além do desenvolvimento das habilidades necessárias, uma melhor compreensão do problema resolvido e, por conseqüência, dos conteúdos envolvidos. Conclusão Neste trabalho apresentamos um exemplo de aplicação de uma heurística desenvolvida para solução de problemas de física adaptada da proposta por G. Polya. A heurística apresentada visa a estruturar a abordagem iusada pelos estudantes na solução de problemas e a guiá-los no sentido de uma melhor compreensão do enunciado do problema até uma análise mais completa do resultado obtido. Referências G. Polya. How to Sole It. A new aspect of mathematical method. Princeton University Press. Princeton e Oxford, John D. Bransford, Ann L. Brown, and Rodney R. Cocking (editores). How People Learn: Brain, Mind, Experience and School. National Academy Press, Washington, E. J. S. Lima, P. Ronney e P. L. Christiano, Proposta de uma metodologia para solução de problemas de matemática e de física..