UMA PROPOSTA PARA A UTILIZAÇÃO DE PLANILHAS ELETRÔNICAS EM PROBLEMAS DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Resumo Hugo Luiz Gonzaga Honório¹ Marinalva Passamai Alvarenga² ¹ Ufjf/Educação Matemática/ hugohonorio12@gmail.com ² Ufjf/ Educação Matemática/ passamai.marinalva@gmail.com Este trabalho apresenta sugestões de exercícios exploratórios que visam utilizar as potencialidades de planilhas eletrônicas no ensino de Sistemas de Equações Lineares. Devido a facilidade de manipulação das ferramentas e fácil acesso ao seu pacote, a planilha eletrônica escolhida foi o Excel. Um fator que contribuiu para a escolha da planilha eletrônica como a tecnologia utilizada na atividade é a representação por Equação Matricial de Sistemas Lineares que torna a planilha eletrônica uma tecnologia adequada à representação de um sistema. Os problemas resolvidos na atividade são contextualizados e representam situações reais que podem ser modelados por sistemas de equações lineares. Palavras-chave: Matemática, Tecnologias, Planilhas Eletrônicas, Matrizes, Sistemas Lineares. INTRODUÇÃO As reflexões sobre a utilização das novas tecnologias de informação e de comunicação (NTICs) nas aulas de matemática estão cada vez mais presentes nas pesquisas em Educação Matemática, que procuram maneiras de aplicá-las de modo a contribuir no processo de aprendizagem. A partir do final da década de 90, os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) acompanhando o desenvolvimento das tecnologias no país, já apontavam a importância das NTICs na educação, bem como sua utilização integrada ao ensino da matemática. Segundo Castro (2000): Para os PCNs o computador é, ao mesmo tempo ferramenta e instrumento de mediação. Ferramenta porque permite ao usuário realizar atividades que, sem ele, seriam muito difíceis ou mesmo impossíveis: construir objetos virtuais, fazer simulações, realizar cálculos complexos com rapidez e eficiência, editar textos. (CASTRO, 2000, p. 1) A utilização de computadores nas aulas de matemática no ensino médio pode ter vários objetivos pedagógicos, como por exemplo desenvolver atividades com softwares que possibilitem aos alunos a investigar, pensar e resolver problemas. Atualmente, existe uma grande diversidade de softwares livres. E, Campos (2009) define como sendo estes softwares que podem ser usados, copiados, estudados, modificados e redistribuídos sem restrição. Como exemplos de softwares livres temos o Geogebra, o Cabri, Graphiquation e Winplot, que são chamados softwares educacionais, pois foram projetados por uma metodologia que o inserem no processo de aprendizagem.
Outro software com um grande potencial pedagógico é a planilha eletrônica. A planilha eletrônica é um software aplicativo, ou seja, é um tipo de software concebido para desempenhar tarefas práticas ao usuário para que este possa concretizar determinados trabalhos. Elas possuem uma forma de registro de dados muito comum no dia-a-dia de nossas anotações Pacotes de programas para escritório contêm vários tipos de programas, incluindo as planilhas eletrônicas. Os mais populares são o Microsoft Office e MS Works, LotusWorks, iwork, AppleWorks, WordPerfect e StarOffice/BrOffice. Os programas de planilhas eletrônicas de cada um deles são respectivamente: Excel, Lotus 123, Numbers, AppleWorks Spreadsheet, Quattro Pro e Calc. O Excel da Microsoft será a planilha eletrônica utilizada nas atividades descritas nesse trabalho. Muitos são os trabalhos que discutem o uso de softwares como a planilha eletrônica do Excel no ensino da matemática: Shinoda (1998), Stieler (2007) e Branco (2005) relataram o uso do Excel no ensino da Matemática Financeira. Sampaio (2008) relatou sua experiência no ensino de proporcionalidade, Lapponi (2005) na Estatística, Neurath & Stephens (2006) estudaram o efeito do uso do Excel no ensino de álgebra em turmas de ensino médio nos EUA, observando o aumento do interesse dos alunos. Neste contexto, o presente trabalho explora as potencialidades de uma planilha eletrônica, no caso o Microsoft Excel, aplicada à resolução de problemas de Sistemas Lineares, fazendo o uso de sua representação na forma matricial. SISTEMAS LINEARES, MATRIZES E PLANILHAS ELETRÔNICAS A importância do estudo de sistemas lineares é destacada por vários autores. Segundo Lima (1993), os sistemas lineares configuram um tópico importante na grade curricular do ensino médio devido seu grande potencial de aplicação. Ainda para ele, a utilização de computadores em problemas de sistemas lineares oferece a oportunidade de explorar diversas estratégias de resolução. Nesse sentido, ao pensar na resolução de sistemas lineares com o auxílio de um computador, deve-se levar em consideração se a metodologia tecnológica utilizada é adequada à sua forma de representação. No que se refere a representação de sistemas lineares, a representação por equação matricial trazida em livros pode justificar a utilização de planilhas eletrônicas em resolução de problemas. De fato, um sistema de equações algébricas de ordem n, que é um conjunto de n equações com n incógnitas, Podemos representá-lo pela equação matricial
onde é a matriz dos coeficientes, é a matriz das variáveis e é a matriz dos termos independentes. Dessa forma, pode-se ver a relação entre matrizes e sistemas lineares quanto à representação, já que todo sistema pode ser escrito na forma de equação matricial. Para Boldrini (1980) a matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas, assim como a planilha eletrônica, que é um software que utiliza tabelas para realização de cálculos, tornando-a uma ferramenta tecnológica adequada para se utilizar nas atividades propostas. Para a resolução dos sistemas propostos nas atividades, será utilizado o Método da Matriz Inversa, pois: Os problemas serão modelados em sistemas quadrados, ou seja, cuja matriz dos coeficientes é uma matriz quadrada e, no caso dos exercícios propostos é inversível. Os cálculos que serão necessários são facilmente executados com os comandos do Excel, que será a planilha utilizada. O interesse em utilizar matrizes inversíveis é pelo fato de dado um sistema de equações e incógnitas, de equação matricial, se soubermos que a matriz é inversível ou soubermos calcular sua inversa, então o sistema se resolve apenas efetuando a multiplicação da matriz com, pois A partir da metodologia descrita nesse tópico serão apresentadas no próximo tópico as resoluções de exercícios de sistemas lineares por meio da planilha eletrônica. ATIVIDADES REALIZADAS O primeiro exercício a ser resolvido trata de um problema de adubação de um terreno. Os dados do problema são números decimais que são difíceis de serem manipulados sem o auxílio de calculadora ou algum software. Exercício 1: Para adubar um terreno, um agrônomo necessita acrescentar a ele 210 g de nitrogênio, 260g de fósforo, 280g de potássio e 310g de magnésio. Ele dispõe de quatro marcas de adubo: O adubo A que em cada quilograma contém 10g de nitrogênio, 50g de fósforo, 90g de potássio e 45g de magnésio. O adubo B que em cada quilograma contém 10g de nitrogênio, 75g de fósforo, 40g de potássio e 30g de magnésio
O adubo C que em cada quilograma contém 55g de nitrogênio, 20g de fósforo, 20g de potássio e 40g de magnésio. O Adubo D que em cada quilograma contém 10g de nitrogênio, 25g de fósforo, 20g de potássio e 60g de magnésio Quanto de cada adubo esse agrônomo deve misturar para obter a mistura comercial desejada? Para a resolução desse exercício, o problema foi modelado pelo seguinte sistema: Onde representam as quantidades dos adubos A, B, C e D respectivamente. Na figura 1 que é apresentada abaixo, temos a resolução do problema na planilha eletrônica do Excel. Figura 1 Resolução do exercício 1 na planilha Excel Pode-se observar na resolução que a matriz e o produto foram calculados através das fórmulas da planilha eletrônica do Excel. Respondendo à questão, temos que serão necessários 1,53g do adubo A, 1,17g do adubo B, 3g do adubo C e 1,4g do adubo D. O segundo exercício proposto foi retirado do livro Álgebra Linear, 3 edição do autor José Luiz Boldrini, na página 54. Exercícios 2: Sabe se que uma alimentação diária equilibrada em vitaminas deve constar de 170 unidades (u) de vitamina A, 180 u de vitamina B, 140 u de vitamina C, 180 u de vitamina D e 350 u de vitamina E. Com o objetivo de descobrir como deverá ser uma refeição equilibrada, foram estudados 5 alimentos. Fixada a mesma quantidade (1g) de cada alimento, determinou-se que: (i) o alimento I tem 1 u de vitamina A, 10 u de vitamina B, 1 u de vitamina C, 2 u de vitamina D e 2 u de vitamina E. (ii) o alimento II tem 9 u de vitamina A, 1 u de B, 0 u de C, 1 u de D e 1 u de E. (iii) o alimento III tem 2 u de vitamina A, 2 u de B, 5 u de C, 1 u de D e 2 u de E. (iv) o alimento IV tem 1 u de A, 1 u de B, 1 u de C, 2 u de D e 13 u de E.
(v) o alimento V tem 1 u de A, 1 u de B, 1 u de C, 9 u de D e 2 u de E. Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir diariamente para que nossa alimentação seja equilibrada? Se denotamos por a quantidade de alimento 1 (em gramas) ingeridas diariamente e assim sucessivamente, denota a quantidade do alimento j ingerida diariamente, teremos o sistema linear Onde a resolução na planilha eletrônica é apresentada na figura 2 a seguir. Figura 2 Resolução do exercício 2 na planilha Excel Assim como na primeira atividade, as matrizes e o produto foram obtidos pelas fórmulas da planilha eletrônica do Excel. Assim, respondendo à questão serão necessários 10g do alimento I, 10g do alimento II, 20g do alimento III, 20g do alimento IV e 10g do alimento V. A atividade pode ser mais explorada pelo professor, percebendo que a medida em que mudamos os valores na matriz dos coeficientes ou dos termos independentes, o resultado final também muda, sem a necessidade de fazer novamente os mesmos cálculos. Por exemplo, se nessa mesma planilha alterarmos o valor do elemento da primeira linha e primeira coluna da matriz dos coeficientes para 0, teremos um resultado final diferente, como segue abaixo na figura 3. Figura 3 Resolução do exercício 2 com alterações em elementos da matriz A
Para tal alteração teríamos como resultado 9,89g do alimento I, 11,11g do alimento II, 20,05g do alimento III, 19,93g do alimento IV e 9,9g do alimento V. CONSIDERAÇÕES FINAIS O conteúdo de sistemas lineares tem um grande potencial exploratória quanto a resolução de questões de aplicação. A utilização da planilha eletrônica nas atividades descritas pode proporcionar aos alunos um momento de investigação, pois como descrito no exercício dois, a medida em que se modifica algum valor da matriz dos coeficientes ou a matriz dos termos Independentes, é possível verificar as alterações na resposta final sem a necessidade de colocar novamente as matrizes na planilha. Essas atividades podem ser trabalhadas com turmas do ensino médio ou até mesmo com alunos do ensino superior. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOLDRINI, J. L.; COSTA, S. I.; FIGUEREDO, V.; WETZLER, H. G. Álgebra linear. 3ª ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980 CAMPOS, A. O que é um software livre. Disponível em: < http://br-linux.org/2008/01/faqsoftwarelivre.html >. Acesso em: 28 maio. 2015. CASTRO, J. A. d., Barreto, A. R., & Corbucci, P. R. A reestruturação das políticas federais para o ensino fundamental: descentralização e novos mecanismos de gestão. Rio de Janeiro: Ipea, 2000. LAPPONI, J. C. Estatística usando excel. Rio de Janeiro: Elsevier, 2005. LIMA, E. L. Sobre o ensino de sistemas lineares. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, n. 23, p. 8-18, mês. 1993. NEURATH, R. A., & STEPHENS, L. J. (2006). The effect of using Microsoft Excel in a high school algebra class. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, v. 37, n.6, p. 721-726. SAMPAIO, P. A. S. R. Uma experiência com o Excel sobre proporcionalidade directa, utilizando o quadro interactivo. In ProfMat2008. Elvas: APM, 2008. SHINODA, Carlos. Matemática Financeira para usuários do Excel. 2. Ed. São Paulo: Atlas, 1998. STIELER, E. C. Uso da tecnologia da informática no Ensino Superior: um estudo da aplicação da planilha eletrônica Excel na disciplina de Matemática Financeira.2007. 85 f. Dissertação (Mestrado Profissionalizante em Ensino de Física e de Matemática) Centro Universitário Franciscano, Unifra, Santa Maria, 2007.