PLANO DE CURSO 1. Identificação DISCIPLINA: Análise I PROFESSOR(A): Valéria de Magalhães Iorio PERÍODO DO CURSO: 5º Carga Horária: 50 hs (60 h/a) Ano: 2012-1 2. Ementa Completude dos números reais. Sequências e séries em R. Topologia da reta. Limites de funções. Continuidade. Teorema do valor intermediário. Funções deriváveis. 3. Objetivos Gerais - Desenvolver a capacidade de abstração. - Desenvolver a capacidade de fazer demonstrações analíticas. - Compreender a importância do rigor matemático. - Compreender a fundamentação teórica das disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. Análise I Plano de Curso 2012-1 Pág. 1 / 7
4. Relação dos Conteúdos da Disciplina com ênfase nos conteúdos nucleares Habilidades de Formação Unidade 1. Completude dos Números Reais 1.1 Números naturais. 1.2 Conjuntos finitos. 1.3 Conjuntos infinitos. 1.4 Conjuntos enumeráveis. 1.5 O corpo dos reais. 1.6 Completude dos reais. Capacidade de trabalhar com números reais. Unidade 2. Sequências de Números Reais 2.1. Limite de uma sequência. 2.2. Limites e desigualdades. 2.3. Operações com limites. 2.4. Limites infinitos. 2.5. Subsequências. 2.6. Sequências de Cauchy. Capacidade de calcular limites de sequências. Capacidade de manipular sequências e subsequências. Capacidade de demonstrar resultados envolvendo sequências numéricas. Unidade 3. Séries Numéricas 3.1 Séries convergentes. 3.2 Séries absolutamente convergentes. 3.3 Testes de convergência. 3.4 Rearranjo de séries. Capacidade de manipular séries. Capacidade de analisar a convergência de séries. Capacidade de demonstrar resultados envolvendo séries numéricas. Unidade 4. Topologia da Reta 4.1. Conjuntos abertos. 4.2. Conjuntos fechados. 4.3. Pontos de acumulação. 4.4. Conjuntos compactos. 4.5. O conjunto de Cantor. Aumento da capacidade de abstração. Capacidade de trabalhar com os conceitos topológicos da reta real. Unidade 5. Limites de Funções 5.1. Definição e propriedades. 5.2. Limites laterais. 5.3. Limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas. Capacidade de trabalhar com limites de funções. Compreensão mais profunda do conceito de limite. Análise I Plano de Curso 2012-1 Pág. 2 / 7
Unidade 6. Continuidade 6.1. Definição e propriedades 6.2. O teorema do valor intermediário. 6.3. Continuidade e compacidade. 6.4. Continuidade uniforme. Capacidade de demonstrar os resultados do cálculo diferencial envolvendo continuidade. Unidade 7. Funções deriváveis 6.1. A derivada de uma função real. 6.2. O teorema do valor médio. 6.3. A continuidade de derivadas. 6.4. A regra de L Hôspital. 6.5. Derivadas de ordem maior. 6.6. O teorema de Taylor. Capacidade de demonstrar os resultados do cálculo diferencial. Capacidade de aproximar funções diferenciáveis por séries de potências. Análise I Plano de Curso 2012-1 Pág. 3 / 7
5. Avaliação Estão previstos seis testes que comporão duas notas denominadas 1 a e 2 a Avaliações, e uma prova denominada 3 a Avaliação. Os testes serão realizados nas datas previstas no Cronograma de Atividades. Os três primeiros testes comporão a 1 a Avaliação; os três últimos comporão a 2 a Avaliação. O aluno poderá fazer 2 a chamada de apenas um dos testes que faltar. A Situação Final de aprovação ou reprovação será obtida da seguinte forma: - Calcula-se a média M = (1 a Avaliação + 2 a Avaliação ) / 2. - Se M > 6,0 (maior ou igual a seis), o aluno estará liberado da 3 a Avaliação e sua nota final (NF) será igual a M. - Se M < 4,0 (menor do que quatro, exclusive), o aluno estará reprovado, sem direito à 3 a Avaliação e sua nota final (NF) será igual a M. - Se 4,0 < M < 6,0 (entre quatro, inclusive, e seis, exclusive), o aluno deverá fazer a 3 a Avaliação e o valor de NF será NF = (1 a Avaliação + 2 a Avaliação + 2 3 a Avaliação) / 4. O aluno estará aprovado se obtiver NF > 6,0 (maior ou igual a seis) e estará reprovado, caso contrário. 6. Bibliografia Básica (*) e Complementar. *1. ÁVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura, Editora Edgard Blücher, 2005 *2. LIMA, Elon Lages. Análise Real, vol. 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1993. *3. FIGUEIREDO, Djairo de. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1975.. 4. ÁVILA, Geraldo, Introdução à Análise Matemática, Editora Edgard Blücher, 1995. 5. BARBONI, Ayrton, PAULETTE, Walter. Fundamentos de Matemática Cálculo e Análise Cálculo Diferencial e Integral a uma Variável. Editora LTC. 1ª Edição. 6. BOURCHTEIN, Lioudmila; BOURCHTEIN, Andrei. Análise Real Funções de uma variável real. São Paulo: Editora Ciência Moderna. 2010. 440 p. 7. FLEMMING, Diva Marília. Cálculo A: funções, limite, derivação e integração. 6ª ed.rev.ampl. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 448p. 8. LIMA, E. L. Um curso de Análise - Volume I. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1999. (*) Evidenciar a bibliografia básica com asterisco. Análise I Plano de Curso 2012-1 Pág. 4 / 7
7. Integrações Necessárias Integrações verticais (à frente): - Análise II - Probabilidade e Estatística - História da Matemática II Integrações verticais (pré-requisitos): - Cálculo Diferencial e Integral I e II Integrações horizontais: - Álgebra Linear II - História da Matemática I - NAI V Análise I Plano de Curso 2012-1 Pág. 5 / 7
8. Cronograma das Atividades Aula Dia Conteúdo 1 2 01/02 4ª 1. Completude dos Números Reais Números naturais, conjuntos finitos, conjuntos infinitos, conjuntos enumeráveis. Exemplos e 3 03/02 6ª 1. Completude dos Números Reais (cont.) O corpo dos reais, completude dos reais. 4 5 08/02 4ª Exercícios. 6 10/02 6ª Formatura da 1ª turma de Matemática. 7 8 15/02 4ª 1º Teste. 9 10 29/02 4ª Discussão do 1º Teste. 2. Sequências de Números Reais Limite de uma sequência, limites e desigualdades, operações com limites. Exemplos e 11 02/03 6ª Exercícios. 12 13 07/03 4ª Limites infinitos, subsequências, sequências de Cauchy. Exemplos e exercícios 14 09/03 6ª Exercícios. 15 16 14/03 4ª 2º Teste. 17 16/03 6ª Discussão do 2º Teste. 18 19 21/03 4ª 3. Séries Numéricas Séries convergentes, séries absolutamente convergentes. Exemplos e 20 23/03 6ª 3. Séries Numéricas (cont.) Testes de convergência, rearranjo de séries. Exemplos e 21 22 28/03 4ª Exercícios. 23 30/03 6ª 3º Teste 24 25 04/04 4ª Discussão do 3º Teste. 4. Topologia da Reta Conjuntos abertos, conjuntos fechados, pontos de acumulação. Exemplos e 26 27 11/04 4ª 4. Topologia da Reta (cont.) Conjuntos compactos, o conjunto de Cantor. Exemplos e 28 13/04 6ª Exercícios. 29 30 18/04 4ª 4º Teste 31 20/04 6ª Discussão do 4º Teste. 32 33 25/04 4ª 5. Limites de Funções Definição e propriedades, limites laterais, limites no infinito, limites infinitos, expressões indeterminadas. Exemplos e 34 27/04 6ª Exercícios. 35 36 02/05 4ª 6. Continuidade Definição e propriedades, o teorema do valor intermediário. Exemplos e 37 04/05 6ª Exercícios. Análise I Plano de Curso 2012-1 Pág. 6 / 7
Aula Dia Conteúdo 6. Continuidade (cont.) 38 39 09/05 4ª Continuidade e compacidade, continuidade uniforme. Exemplos e 40 11/05 6ª Exercícios. 41 42 16/05 4ª 5º Teste 43 18/05 6ª Discussão do 5º Teste. 7. Funções deriváveis 44 45 23/05 4ª A derivada de uma função real, teorema do valor médio. Exemplos e exercícios 46 25/05 6ª Exercícios. 7. Funções deriváveis (cont.) 47 48 30/05 4ª A continuidade de derivadas, a regra de L Hôspital. Exemplos e 49 01/06 6ª Exercícios. 7. Funções deriváveis (cont.) 50 51 06/06 4ª Derivadas de ordem maior, teorema de Taylor. Exemplos e 52 15/06 6ª Exercícios. 53 54 20/06 4ª 6º Teste 55 22/06 6ª Discussão do teste. 56 57 27/06 4ª 2ª Chamada 58 29/06 6ª Revisão geral 59-60 04/07 4ª 3ª Avaliação Parcial Análise I Plano de Curso 2012-1 Pág. 7 / 7