RELATIVIDADE RESTRITA E ESPAÇO-TEMPO PLANO

Capítulo 1 RELATIVIDADE RESTRITA E ESPAÇO-TEMPO PLANO 1.1 Coordenadas e Observadores Inerciais O maior obstáculo à compreensão da Teoria da Relatividade (Restrita e Geral) é a dificuldade de identificar de imediato os pressupostos subjacentes à natureza do espaço e do tempo na teoria newtoniana, antes mesmo de construir o continuum 4-dimensional onde a teoria de Einstein é naturalmente descrita, como mostrou Herman Minkowski em 1908: Daqui em diante o espaço só por si e o tempo só por si estão condenados a tornarem-se meras sombras, e só uma união dos dois preservará uma realidade independente. Tanto na física newtoniana como na relatividade restrita, os observadores (ou referenciais) inerciais constituem uma classe privilegiada. Porém, enquanto na física de Galileu e Newton os referenciais inerciais são considerados equivalentes para a descrição das leis da Mecânica, na relatividade restrita (RR) estes referenciais são equivalentes para descrever todas as leis físicas. Para isso foi necessário generalizar a lei e estender o grupo de transformações entre as coordenadas de dois observadores inerciais de modo a deixar as equações de Maxwell invariantes, e com isso a própria estrutura do espaço e do tempo foi reformulada culminando na construção de um continuum 4-dimensional, o espaço-tempo, caracterizado por uma métrica pseudo-euclidiana, que automaticamente traduz os dois postulados da RR de Einstein. Embora, na física newtoniana, falemos habitualmente do espaço e do tempo separadamente e, só na relatividade restrita, falamos de espaço-tempo, em ambas as teorias 1

podemos falar de um espaço-tempo contínuo, composto de acontecimentos (físicos): sendo cada acontecimento definido por quatro coordenadas: (t, r) (t, x, y, z). Mas é claro, aquilo que é natural na RR, é algo artificial na Mecânica Newtoniana. Todos os acontecimentos, pelo menos numa vizinhança de um dado acontecimento (origem), podem ser unicamente caracterizados por 4 números reais (as suas coordenadas): dizemos que o espaço-tempo é uma variedade (diferenciável) 4-D, M 4. O mundo físico da nossa experiência, é agora representado por um espaço a quatro dimensões, o espaço-tempo. Cada ponto do espaço-tempo é um acontecimento físico, representado por quatro coordenadas (t, x, y, z): t representa o instante e (x, y, z) dános a localização do acontecimento. Diferentes observadores (inerciais) usam coordenadas diferentes para o mesmo acontecimento. O conjunto de todos os acontecimentos da vida de um observador (ou de uma partícula) formam uma trajectória do espaçotempo a que se dá o nome de linha do Universo. Para os observadores inerciais as linhas do Universo são geodésicas (neste caso, por se tratar de um espaço-tempo plano, linhas rectas) deste espaço-tempo. Se dois observadores se cruzam e tomam esse acontecimento como a origem das respectivas coordenadas de espaço e de tempo, a invariância da velocidade da luz no vácuo exige que x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 onde (t, x, y, z) e (t, x, y, z ) são as coordenadas dum mesmo acontecimento para cada um dos observadores. À semelhança do que acontece com a geometria euclidiana, onde a generalização do teorema de Pitágoras nos diz que r 2 = x 2 + y 2 + z 2 é um comprimento invariante numa rotação, também a geometria do espaço-tempo da relatividade restrita pode ser caracterizada pelo invariante fundamental, s 2 = c 2 t 2 + x 2 + y 2 + z 2, (1.1) que traduz a invariância da velocidade da luz no vácuo, e também é habitualmente interpretado como uma distância entre dois pontos (acontecimentos) deste espaçotempo a quatro dimensões e, por isso, designado intervalo do Universo. Porém, devido à existência de três sinais positivos e um negativo (na linguagem matemática diz-se que se trata de uma forma quadrática indefinida) esta distância nem sempre é positiva como na geometria euclidiana. Dados dois acontecimentos cuja separação espacial é r e cuja separação temporal é t, três situações diferentes podem ocorrer a) r 2 c 2 t 2 = 0, a distância entre os dois acontecimentos é exactamente percorrida pela luz no intervalo de tempo que os separa. Diz-se que os dois acontecimentos formam um par tipo-luz. 2

b) r 2 c 2 t 2 < 0, a distância entre os dois acontecimentos é menor que o espaço percorrido pela luz no intervalo de tempo que os separa. Diz-se então que os dois acontecimentos formam um par tipo-tempo. c) r 2 c 2 t 2 > 0, no intervalo de tempo que separa os dois acontecimentos a luz não pode percorrer a distância que os separa. Diz-se neste caso que os dois acontecimentos formam um par tipo-espaço. Todos os pares de acontecimentos que estão numa relação de causa-efeito pertencem às categorias a) ou b). Nenhuma informação pode ser transmitida com velocidade maior do que a da luz. Logo, dois acontecimentos que pertençam à categoria c) não podem estar causalmente relacionados. Como as partículas materiais viajam com uma velocidade inferior à da luz em todos os referenciais inerciais, dois quaisquer acontecimentos da vida de uma partícula material formam um par tipo-tempo para todos os observadores inerciais, isto é, a sua separação temporal é maior do que a sua separação espacial. Como consequência deste último facto, vemos imediatamente que dados dois acontecimentos que formam um par do tipo tempo, eles pertencem necessariamente à vida de uma dada partícula material, e ocorrem no mesmo ponto do espaço no referencial próprio dessa partícula, isto é, no referencial onde a partícula está em repouso. Portanto, dados dois acontecimentos que formam um par de tipo tempo, existe sempre um referencial onde eles ocorrem no mesmo ponto do espaço. Por outro lado, dados dois acontecimentos que formam um par do tipo espaço, existe sempre um referencial onde são simultâneos, bastando para isso provar que eles se localizam necessariamente sobre um eixo espacial de um dado referencial inercial. Antes da teoria da RR, admitia-se que o espaço-tempo tinha a seguinte estrutura adicional: dado um acontecimento p do espaço-tempo, devia existir uma noção natural, independente-do-observador, de acontecimentos que ocorrem no mesmo instante que p (noção de simultaneidade com p). Mais precisamente, dados dois acontecimentos p e q, devia-se verificar uma das três possibilidades mutuamente exclusivas: [1] É possível, em princípio, para um observador ou partícula material, ir de um acontecimento q para outro acontecimento p: q p (diz-se, neste caso, que q pertence ao passado de p). [2] É possível, em princípio, para um observador ou partícula material, ir de um acontecimento p para outro acontecimento q: p q (diz-se que q pertence ao futuro de p) [3] É impossível, em princípio, a um observador ou partícula material, estar presente em ambos os acontecimentos p e q (diz-se que p e q são acontecimentos simultâneos). 3

Na física Newtoniana supõe-se que os acontecimentos que se encontram na terceira categoria formam um só conjunto 3-D e definem a noção de simultaneidade com p, enquanto que em RR existem infinitos conjuntos 3-D de acontecimentos simultâneos, nomeadamente quaisquer dois observadores inerciais distintos têm diferentes conjuntos de acontecimentos simultâneos com o acontecimento p. Em concreto, na teoria da RR também se verifica uma classificação das relações causais entre os acontecimentos, mas com a seguinte modificação: devemos substituir (3) por [3 ] Os acontecimentos simultâneos com p formam mais do que um conjunto 3-D. Estes acontecimentos ainda se subdividem em: [i] Acontecimentos que estão na fronteira do conjunto de pontos que formam o futuro de p. Estes acontecimentos não podem ser atingidos por uma partícula material que parta de p mas podem ser atingidos por sinais luminosos emitidos em p e formam o cone de luz do futuro de p (espaço 3-D). [ii] Acontecimentos que formam o cone de luz do passado de p (espaço 3-D) definido de modo semelhante. [iii] Acontecimentos que não estão no futuro nem no passado de p e que se dizem espacialmente relacionados com p (os quais formam um conjunto 4-D). O ponto essencial a destacar é o da ausência de uma noção de simultaneidade absoluta em RR; não existem superfícies 3-D espaciais absolutas no espaço-tempo, ao contrário do que acontece na física pré-relativista, onde os acontecimentos simultâneos com um dado acontecimento p formam uma superfície 3-D (única) no espaço-tempo. Ainda é possível a um observador em RR definir acontecimentos simultâneos com um dado acontecimento p definindo assim uma superfície 3-D no espaço-tempo mas essa noção depende do seu estado de movimento. 1.1.1 Postulados da Relatividade Restrita Em 1905 A. Einstein constrói a teoria da RR partindo dos seguintes postulados: Postulado 1 Os observadores inerciais são equivalentes para a formulação de todas as leis físicas. Postulado 2 A luz propaga-se no vácuo com uma velocidade finita c, a mesma para todos os observadores inerciais, independentemente da velocidade relativa entre a fonte e o observador. (Princípio da Invariância da velocidade da luz). 4

O primeiro postulado (P1), conhecido por Princípio da Relatividade de Einstein, assume a equivalência dos referenciais de inércia (RI). E o segundo postulado (P2), afirma a invariância da velocidade da luz no vácuo. Importa esclarecer alguns pontos. Um referencial inercial é um sistema de referência onde as partículas livres se movem com velocidade uniforme segundo linhas rectas no espaço (e no espaço-tempo). Por observador inercial entendemos um observador em repouso num referencial inercial, conhecido por referencial próprio, equipado com os respectivos instrumentos de medida (relógios e réguas). Note que, de acordo com o Princípio da Relatividade de Galileu, os observadores inerciais também são equivalentes, mas só para as experiências da mecânica de Galileu- Newton. 1.1.2 O efeito de Doppler e a dilatação do tempo Vamos começar por examinar o efeito do movimento relativo sobre a taxa de progressão do tempo medido por dois observadores inerciais distintos. Consideremos então dois observadores inerciais, sejam eles Duarte e Mariana, em movimento relativo com velocidade v. Vejamos como podem estes observadores medir a sua distância relativa num dado instante do tempo próprio de um deles, isto é, o tempo medido no referencial onde o observador está parado. Comecemos por admitir que os observadores se cruzaram num instante anterior e, nesse instante, acertaram os seus relógios. Para medir distâncias e comparar os tempos dos seus relógios, Duarte e Mariana podem trocar sinais luminosos que, de acordo com o segundo postulado, se deslocam com velocidade c em relação a qualquer deles. O Duarte poderá medir a que distância se encontra a Mariana, num dado instante do seu tempo próprio, se enviar um sinal luminoso no instante t A, que será entretanto reflectido pela Mariana e chega de novo ao Duarte no instante posterior t B > t A. Dirá então que a Mariana estava à distância d = (t B t A )/2 segundos-luz (se assumirmos c = 1, e medirmos o espaço e o tempo em segundos-luz) no momento em que o sinal luminoso foi reflectido pela Mariana. O instante correspondente a esse acontecimento, t C, também facilmente se calcula, no referencial próprio do Duarte, em função de t A e t B, t C = 1 2 (t A + t B ). Mas é claro que a um intervalo de tempo T, no referencial do Duarte, corresponde um intervalo maior T = KT, k > 1 no referencial da Mariana. Se não vejamos isso com o auxílio do seguinte exemplo (ver Fig(1.1)). Suponhamos que a Mariana se afasta do Duarte com uma velocidade v = 0.6(c = 1), e que o Duarte envia os seus sinais para a Mariana a intervalos regulares de 6 meses do seu tempo próprio. Quando envia o primeiro sinal, estando a Mariana já a uma distância de 0.5 anos-luz, então o sinal leva 1.25 anos a atingi-la. Seis meses depois de enviar o primeiro sinal, Duarte envia o 5

D M T'=KT T Figura 1.1: O Duarte envia dois sinais luminosos para a Mariana, separados de um intervalo T. A Mariana recebe esses sinais separados de um intervalo maior T = KT, onde K > 1 é função da velocidade relativa entre os 2 observadores inerciais. segundo sinal luminoso. Durante esse tempo T = 1 ano-luz, a Mariana afastou-se mais 2 0.3 anos-luz, de modo que o sinal luminoso vai ter de percorrer uma distância maior para atingi-la. De modo que, pelo menos do ponto de vista do Duarte, é evidente que a um intervalo de 6 meses entre dois sinais emitidos corresponde um intervalo maior entre os dois sinais recebidos pela Mariana; concretamente, Duarte mede um intervalo entre os dois sinais recebidos pela Mariana de 1.25 anos. Isto não nos diz ainda qual o intervalo de tempo medido pela Mariana, mas é com certeza uma indicação de que esse intervalo não será 6 meses, como para o Duarte. Um efeito semelhante ocorrerá se os sinais fossem agora enviados da Mariana para o Duarte. E é de esperar, que sendo a velocidade relativa a mesma, que o factor K que relaciona os intervalos de tempo seja o mesmo. Como veremos a partir das fórmulas deduzidas adiante, no nosso caso K = 2 e portanto ao intervalo de 6 meses do Duarte corresponde um intervalo de 1 ano na recepção desses mesmos sinais pela Mariana. E se os sinais recebidos pela Mariana forem (imediatamente) reflectidos de modo a regressarem ao Duarte, este recebê-los-á separados de dois anos (ver Fig(1.2)). Consideremos então dois observadores inerciais em movimento relativo, que podem continuar a ser o Duarte e a Mariana. Duarte envia um sinal luminoso, espera um intervalo de tempo T do seu relógio (tempo próprio), e envia então um segundo sinal. A Mariana mede um intervalo de tempo entre a recepção desses dois sinais como sendo T = KT (1.2) Se a Mariana estivesse em repouso em relação ao Duarte, então teríamos K = 1, isto é, os intervalos de tempo seriam os mesmos para os dois observadores. Neste caso, as suas linhas do Universo seriam paralelas. Mas se os observadores se afastam 6

D M T''=KT' T'=KT T anos-luz Figura 1.2: O Duarte envia dois sinais luminosos para a Mariana, separados de um intervalo T, e esta devolve-os assim que os recebe. K > 1, e se os observadores se aproximam K < 1. Se soubermos a velocidade entre os 2 observadores facilmente poderemos determinar K. Na verdade, se os relógios da Mariana e do Duarte foram previamente acertados, quando a Mariana se cruzou com o Duarte, então a partir das coordenadas do acontecimento C da Fig. (1.3) poderemos relacionar K com a velocidade v, t C = 1(t 2 A + t B ) = 1 2 (K2 T + T ) x C = 1(t (1.3) 2 B t A ) = 1 2 (K2 T T ) Logo, vem v = x C = K2 1 t C K 2 + 1 K = 1 + v 1 v. (1.4) Note-se que daqui também se pode obter a fórmula da dilatação do tempo, comparando o tempo entre 2 acontecimentos que ocorrem no mesmo ponto do espaço de um dado observador, e em pontos do espaço diferentes do outro observador. Assim, t C = T = KT com t C = (K 2 + 1)T/2 vem e portanto, t C t C = 2K K 2 + 1 = 1 v 2, T = t 1 v 2 (1.5) Uma das formas mais práticas de medir a quantidade K é através da medição do comprimento de onda (c.d.o.) da luz observada, ou de qualquer outra radiação electromagnética, desde que se conheça o c.d.o. da radiação emitida. Esta é a base das 7

Duarte Mariana KT ' B t C C KT=T ' A T Figura 1.3: No instante t A, Duarte envia um sinal luminoso para Mariana, que o devolve imediatamente no instante t C de Duarte. Este recebe-o de volta no seu instante t B. medidas de deslocamento para o vermelho da radiação emitida por um corpo que se afasta do observador. Se um observador se afasta de nós, o Duarte por exemplo, e envia uma radiação de c.d.o. λ e, vamos recebê-la com c.d.o. dado por λ o = Kλ e, (1.6) pois o período da radiação emitida é dado λ e = c τ e, e a este período corresponde τ o = K τ e, para o período da radiação observada, de acordo com a eq.(1.2). Esta mudança de c.d.o. é fácil de medir directamente a partir do espectro da luz recebida. Pode fazer-se esta medida através da identificação no espectro observado de uma linha cujo c.d.o. é conhecido na fonte (como é o caso da linha α de c.d.o. 121.5 nm do espectro do Hidrogénio), que depois é comparado com o c.d.o. recebido. Com frequência, o resultado da medida é expresso em termos do parâmetro do deslocamento para o vermelho,z, definido por 1 + z = λ o λ e = K. (1.7) Com este resultado ficamos a perceber que K, conhecido por factor de Bondi, está associado ao efeito de Doppler entre dois observadores inerciais em movimento relativo. 8

1.1.3 A adição de velocidades Consideremos agora três observadores inerciais, cujas linhas do Universo são dadas pela Fig.(1.3) Nesta figura o observador B tem velocidade v 1 em relação a A, e observador A B C T'' T' T Figura 1.4: O observador B afasta-se do observador A com velocidade v 1 e o observador C afasta-se do observador B com velocidade v 2 C tem uma velocidade v 2 em relação a B. Pretendemos saber qual é a velocidade relativa, v 12, de C em relação a O. Atendendo à linearidade entre K e v, é de esperar que T = K 1 T, T = K 12 T. Mas também podemos admitir que o observador B emite sinais para C separados de um intervalo T, pelo que T = K 2 T. Combinando as relações anteriores concluímos que T = K BC K AB T e portanto K AC = K AB K BC, (1.8) Atendendo à relação entre o factor de Bondi e a velocidade eqs.(1.4), ou v AC = K2 AC 1 KAC 2 + 1 = K2 ABKBC 2 1 KABK 2 BC 2 + 1 1 + v AB 1 + v BC 1 1 v v AC = AB 1 v BC 1 + v AB 1 + v BC + 1 1 v AB 1 v BC 9 = v AB + v BC 1 + v AB v BC (1.9)

Com base nesta fórmula de composição de velocidades, vemos que a velocidade da luz não pode ser ultrapassada: se uma destas velocidades v AB ou v BC é igual a c = 1, a velocidade resultante vem v AC = 1. 1.1.4 Dedução das transformações de Lorentz A partir das considerações anteriores, é fácil obter as fórmulas de Transformação de Lorentz, ou seja, as relações que permitem converter as coordenadas de espaço e de tempo de um acontecimento, observado num dado referencial (inercial), com as coordenadas correspondentes do mesmo acontecimento num outro referencial (inercial). Para isso consideremos a Fig.(1.5) Q Q' A P' P O Figura 1.5: Dois observadores cruzam-se no acontecimento O e acertam os seus relógios. No acontecimento P é enviado um sinal luminoso, que se cruza com o outro observador em P e é reflectido no acontecimento, regressando ao mesmo ponto do espaço. No seu regresso, passa pelo segundo observador em Q e com o primeiro observador em Q. 10

Chamando S e S os dois referenciais, temos em S t A = 1(t 2 P + t Q ) x A = 1 2 (t Q t P ) (1.10) e em S t A = 1 2 (t P + t Q ) x A = 1 2 (t Q t P ) (1.11) Tendo em conta que t P = Kt P e t Q = Kt Q, vem para um acontecimento A arbitrário t x = K(t x) t + x = K(t + x ) donde se deduz: t 2 + x 2 = t 2 + x 2, bem como t = 1(K + 2 K 1 )t 1(K 2 K 1 )x = γ(x vt) com x = 1 2 (K + K 1 )x 1 2 (K + K 1 )t = γ(t vx) γ = 1 1 v 2. (1.12) Assim, segundo Einstein, dados dois observadores inerciais arbitrários, O e O, as coordenadas de um certo acontecimento P estão relacionadas entre si por uma transformação de Lorentz, definida no caso particular em que v só tem componente segundo x, e os dois referenciais estão igualmente orientados por e onde x = γ(x vt) y = y z = z t = γ(t vx/c 2 ) γ = transformação de Lorentz (1.13) 1 1 v 2 /c 2. Representando as coordenadas de O por uma barra em vez de uma plica, e multiplicando a coordenada temporal pela velocidade da luz no vácuo, c, para que todas as coordenadas fiquem com a mesma dimensão espacial, podemos escrever as coordenadas do mesmo acontecimento físico nos dois referenciais inerciais x a = (ct, x, y, z) e x c = ( t, x, ȳ, z), com c = (0, 1, 2, 3). (1.14) e podemos escrever a transformação de Lorentz como uma relação matricial X = L X dada por 3 x c = L c a x a, (1.15) a=0 11

onde L c a representa a matriz da transformação de Lorentz. Note que os dois índices c e a dizem respeito a sistemas de coordenadas diferentes; por essa razão talvez fosse preferível representar a matriz da transformação de Lorentz por L c a e a transformação das coordenadas por 3 x c = L c a x a. (1.16) a=0 1.2 Espaço-tempo de Minkowski A invariância da velocidade da luz no vácuo, c, implica a invariância da forma quadrática s 2 = c 2 t 2 + x 2 + y 2 + z 2 = c 2 t 2 + x 2 + ȳ 2 + z 2, (1.17) conhecida por intervalo do Universo. Esta forma quadrática caracteriza um espaço 4- dimensional a que chamamos espaço-tempo de Minkowski, M 4 0, en honra de Hermann Minkowski que o propôs em Setembro de 1908 como o espaço adequado à descrição da teoria da RR de Einstein. Recordemos que, devido à constância da velocidade da luz e à isotropia da sua propagação no vácuo, uma vez emitido um sinal luminoso num dado ponto do espaço e num dado instante, que se tomam respectivamente como origens espacial e temporal dos referenciais S e S, este satisfaz simultaneamente as equações x 2 + y 2 + z 2 c 2 t 2 = x 2 + ȳ 2 + z 2 c 2 t 2 = 0, ou seja, os pontos do espaço que num dado instante de cada referencial se encontram na mesma fase de vibração formam uma onda esférica que está centrada na origem do referencial respectivo. Tendo em conta as transformações de Lorentz e a relatividade do espaço e do tempo, escusado será dizer que o conjunto dos pontos do espaço que estão na mesma fase de vibração para os observadores de S é diferente dos pontos do espaço que estão na mesma fase de vibração em S. Só assim se poderá compreender que em ambos os referenciais os respectivos observadores vejam uma onda luminosa esférica em torno de cada um deles. 1.2.1 Intervalo do Espaço-tempo e cone de luz A equação anterior permite definir a quantidade invariante dada por (1.1), isto é, uma quantidade que toma a mesma forma em todos os referenciais inerciais relacionados entre si por uma transformação de Lorentz indissoluvelmente ligada à invariância da velocidade da luz, e que no caso de 2 acontecimentos cujas coordenadas têm valores infinitesimalmente próximos, se escreve ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 c 2 dt 2 (1.18) 12

Este invariante pode ser entendido como uma generalização da definição habitual de distância a um espaço a quatro dimensões, o conhecido por espaço-tempo de Minkowski 1, e é conhecido por intervalo do Universo entre o acontecimento origem (ct, x, y, z) e o acontecimento de coordenadas (c(t + dt), x + dx, y + dy, z + dz). Na verdade, tal como a fórmula euclidiana x 2 + y 2 + z 2 = r 2 caracteriza o espaço ordinário 3- dimensional, e representa o quadrado da distância entre dois pontos cujas coordenadas diferem ( x, y, z), também a fórmula r 2 c 2 t 2 pode servir para caracterizar o espaço-tempo de Minkowski e poderá igualmente designar o quadrado da distância entre dois acontecimento cujas coordenadas diferem ( r, c t), neste espaço-tempo 4- dimensional. Exercício 1 Verifique que a as transformações de Lorentz (1.13)satisfazem a relação de invariância (1.1). 1.2.2 Pares de acontecimentos e estrutura causal Consideremos dois acontecimentos infinitesimalmente próximos. Reduzindo o espaçotempo a duas dimensões, uma dimensão espacial e uma temporal, e fazendo coincidir essa direcção espacial com a direcção da velocidade relativa entre os dois referenciais, escrevemos o intervalo infinitesimal ds 2 = dx 2 c 2 dt 2 = d x 2 c 2 d t 2. (1.19) Se os 2 acontecimentos ocorrem no mesmo ponto de S, d x = 0 ds 2 < 0, e podemos escrever (1.5) da seguinte forma e portanto dx 2 c 2 dt 2 = c 2 d t 2 d t = dt onde v = dx/dt é a velocidade de S em S. 1 v2 c 2 (1.20) Concluímos que o intervalo de tempo é diferente em S e S e que é mais curto no referencial onde os acontecimentos ocorrem no mesmo ponto do espaço. Esse referencial, 1 Hermann Minkowski foi o primeiro a mostrar em 1908 que: daqui em diante o espaço só por si e o tempo só por si estão condenados a tornarem-se meras sombras, e só uma união dos dois preservará uma realidade independente. 13

neste caso S, designa-se referencial próprio para esses acontecimentos. Assim, em qualquer referencial diferente do referencial próprio o tempo é dilatado. Note-se ainda que embora d x = 0, dx = vdt 0 (use as transformações de Lorentz (1.13)), isto é, os dois acontecimentos ocorrem no mesmo ponto de S mas ocorrem em pontos diferentes de S. Consideremos agora d t = 0 (acontecimentos simultâneos em S ). Vem ds 2 > 0 e usando as TL vemos que dt = vdx/c 2, logo ds 2 = dx 2 c 2 dt 2 = d x 2 > 0 (par tipo-espaço). Vemos que acontecimentos simultâneos em S, e que ocorrem em pontos diferentes do espaço de S, não são simultâneos em S : dt 0. 1.2.3 Diagramas de espaço-tempo Os diagramas de espaço-tempo, vulgarmente conhecidos por diagramas de Minkowski, têm um papel pedagógico relevante na assimilação dos efeitos cinemáticos da RR (dilatação do tempo e contracção do espaço) e na compreensão da estrutura causal do espaço-tempo plano. Estes diagramas são, aliás, um bom ponto de partida para introduzir os conceitos fundamentais da RR. Mas aqui poderão ter uma função complementar da discussão algébrica anterior. Comecemos por usar os diagramas do espaço-tempo para evidenciar o carácter relativo da simultaneidade entre acontecimentos distantes no espaço. Observemos as figuras (1.6) e (1.7), t t' simultaneidade em S simultaneidade em S O A A' x x' Figura 1.6: Os acontecimentos simultâneos em S estão sobre linhas paralelas ao eixo do x. Por exemplo, os acontecimentos (O, A) são simultâneos em S. 14

onde se observam os pares (O, A) e (O, A ). O primeiro par é constituído por acontecimentos simultâneos em S e o segundo por acontecimentos simultâneos em S. As linhas de simultaneidade em cada um dos referenciais, S e S, são paralelas aos eixos x e x x, respectivamente. t t' simultaneidade em S' simultaneidade em S' O A' A x x' Figura 1.7: Os acontecimentos simultâneos em S estão sobre linhas paralelas ao eixo x. Por exemplo, os acontecimentos (O, A ) são simultâneos em S : t A = t O = 0. Mas claramente, t A > t O = 0. Note que a plica em t A refere-se ao tempo t no referencial S. Dilatação do tempo Vimos já que dados dois acontecimentos que formam um par no tempo, há um referencial onde eles ocorrem no mesmo ponto do espaço, o chamado referencial próprio. Em qualquer outro referencial, o intervalo de tempo entre esses mesmos dois acontecimentos é maior do que o intervalo de tempo próprio. E por essa razão se fala em dilatação do tempo. Este facto, já conhecido e discutido previamente em termos algébricos, torna-se muito evidente com o auxílio do diagrama de espaço-tempo que se segue (1.8). Tendo em conta a invariância do intervalo do Universo, associada ao grupo de Lorentz, temos para o par temporal (O, C) s 2 OC = t 2 C + x 2 C = t 2 C t 2 C = x 2 C + t 2 C (1.21) concluímos que t C < t C, e os acontecimentos O, C e B ocorrem todos na origem espacial de S. Este diagrama representa a seguinte situação física: um relógio de S desloca-se em relação a S com velocidade v = x C /t C, e no seu percurso cruza-se com dois relógios (previamente sincronizados) e em repouso em S, colocados nos pontos de coordenadas 15

4 3 t2 A B C 1 x=t O 4 3 2 1 0 1 2 x 3 4 1 Figura 1.8: O ramo de hipérbole que passa pelos pontos A e B define o lugar geométrico dos pontos do espaço-tempo (acontecimentos) que estão à mesma distância da origem do sistema de coordenadas. Logo, t A = t B e como t C < t B e t A = t C vem t C < t C. Tenha em atenção que estamos a admitir que o eixo do tempo do referencial S passa pelos pontos O e A e que o eixo do referencial S passa pelos pontos O, C e B. espaciais x = 0 e x = x C. Atendendo à figura, vemos que o relógio de S é acertado pelo relógio de S colocado na origem espacial, de modo que ambos começam a marcar t = 0 e t = 0 no mesmo acontecimento O. Quando o relógio de S se cruza com o outro relógio de S que está a marcar t C, marca o tempo t C < t C, e por isso se diz que o relógio de S se atrasa em relação aos dois relógios de S. O valor exacto do atraso é fácil de determinar a partir da equação (1.21), t 2 C x 2 C = t 2 C t C = t C 1 x 2 C/t 2 C (1.22) Fixemos assim esta ideia simples: na dilatação do tempo compara-se o intervalo de tempo entre dois acontecimentos, medido por um mesmo relógio (tempo próprio), com o intervalo correspondente medido por dois outros relógios. Isto supõe que os dois acontecimentos ocorrem no mesmo ponto do espaço do primeiro relógio, e em pontos do espaço diferentes no referencial dos outros dois relógios, localizados onde esses mesmos dois acontecimentos ocorrem. Sendo o movimento um conceito relativo, não podemos pois afirmar simplesmente que os relógios em movimento se atrasam em relação aos relógios em repouso. Mas sim que havendo um movimento relativo entre um relógio de um referencial e dois relógios de outro, o relógio do primeiro referencial atrasa-se em relação aos dois relógios do outro, entendendo-se que os acontecimentos em causa, cujo intervalo de tempo se está a medir, ocorrem no mesmo ponto do espaço do primeiro referencial, e em dois pontos distintos do espaço do segundo referencial, onde estão localizados os dois relógios (previamente sincronizados). A melhor forma de introduzir implicitamente a noção de movimento e sintetizar o resultado anterior é afirmar que o tempo próprio entre dois acontecimentos é sempre mais curto que o tempo correspondente medido noutro referencial qualquer, onde os acontecimentos ocorrem em pontos do espaço diferentes. 16

Contracção de Comprimentos Pelo que vimos anteriormente, há uma perfeita simetria entre os diferentes referenciais inerciais. A dilatação do tempo ocorre porque se faz uma comparação entre um relógio de um referencial e dois relógios espacialmente separados de outro referencial. E embora possa sincronizar quantos relógios quiser de um mesmo referencial, não posso sincronizar vários relógios de referenciais diferentes. Isto é uma consequência do carácter relativo da simultaneidade entre acontecimentos espacialmente separados, que naturalmente decorre da finitude da velocidade da luz (no vácuo). De igual modo, os comprimentos na direcção do movimento serão sempre maiores no referencial próprio e serão observados contraídos em todos os outros referencias em relação aos quais os objectos se movem. Na realidade, a dilatação do tempo e a contracção dos comprimentos não são efeitos independentes, na mesma medida em que o tempo e o espaço não são coordenadas independentes. Recordemos a afirmação de Minkowski a propósito da construção do espaço-tempo. Para medir o comprimento de uma barra que se desloca longitudinalmente, devo observar simultaneamente as suas extremidades e assim determinar as suas coordenadas. Na Fig. (1.9) vemos que as extremidades da barra, que está em repouso em S, descrevem duas linhas do Universo paralelas; a primeira passa pela origem O, e coincide com o eixo t, e a segunda passa pelos acontecimentos A e B. Claramente, o comprimento da barra em S é dado por x B, visto que x O = 0, e o comprimento em S é x A = 1 unidade da escala, e sabemos pela observação da hipérbole que x A < x B. Note que se verificam as seguintes relações: x 2 A = x 2 A t 2 A = x 2 B ( 1 v 2 ) (1.23) x A = x B 1 v2 = 1 (1.24) 1.2.4 Resolução do paradoxo dos gémeos Nos últimos anos têm surgido na literatura da especialidade muitos trabalhos sobre as Máquinas do Tempo, isto é, construções geométricas de espaço-tempo, soluções das equações de Einstein da Gravitação, que admitem curvas temporais fechadas: qualquer observador que seguisse ao longo dessas linhas do Universo poderia re-visitar o seu passado. Na sequência dessa discussão voltaram a aparecer artigos sobre o chamado paradoxo dos gémeos e sua resolução no âmbito da teoria da relatividade (restrita). O paradoxo dos gémeos (também conhecido por paradoxo de Langevin) é uma experiência de pensamento, esquematizada na figura (1.10), onde dois gémeos se separam num dado instante, iniciando um deles uma viagem numa nave que se desloca a uma velocidade próxima da velocidade da luz (v 1) até uma estrela distante, e regressa logo em seguida à Terra. Ao encontrar-se com o seu gémeo que ficou na Terra verifica 17

4 t 3 x=t t2 x 1 B 0 A 1 2 3 4 x Figura 1.9: O ramo de hipérbole que passa pelo ponto A define o lugar geométrico dos pontos do espaço-tempo (acontecimentos) que estão à distância de uma unidade da origem do sistema de coordenadas. Ora, os acontecimentos O e B são simultâneos em S e, por isso permitem medir o comprimento próprio da barra em S, o qual é claramente maior que o comprimento medido a partir de S a partir dos acontecimentos O e A, simultâneos em S. Note que o ramo de hipérbole intersecta a barra num ponto com x < x B. que este está muito mais velho, significando isto que o tempo anda mais lentamente para o gémeo viajante. Comecemos por esclarecer dois pontos sobre os quais se teceram, sobretudo na literatura mais antiga, muitas considerações erróneas que devem ser clarificadas desde o início. Em primeiro lugar, a questão em epígrafe não é de modo algum um paradoxo da teoria da relatividade, e em segundo lugar não é necessário invocar a teoria da relatividade generalizada para a resolver. Estas duas confusões eram justificadas com os seguintes argumentos: sendo o movimento um conceito relativo, qualquer dos gémeos poderia admitir que estava em repouso no seu referencial e o outro em movimento. Sendo assim não se percebia a assimetria do resultado. É contra o senso comum admitir que dois gémeos possam ter idade diferente. Ainda por cima isso era explicado como uma consequência do movimento relativo entre os dois gémeos. Ora, na verdade não há simetria entre os dois gémeos pois um deles poderá ser considerado inercial (o que ficou na Terra) mas o viajante, que vai e volta, sofre algures no seu trajecto uma aceleração para poder inverter o sentido da viagem e poder voltar à Terra. Só assim os dois gémeos se poderão voltar a cruzar depois de se terem separado. 18

t A 10 3 3 B O x Figura 1.10: Dois gémeos separam-se no instante O, em que acertam os seus relógios um pelo outro, ficando um deles em repouso no referencial do laboratório (Terra), com coordenadas (t, x) enquanto o outro viaja, com velocidade v = 0.8 (c = 1), até uma estrela a 8 anos-luz da Terra, e no instante em que lá chega (acontecimento B) regressa de imediato ao mesmo ponto do espaço onde tinha ficado o primeiro gémeo (acontecimento A). Retomando o nosso exemplo dos gémeos, vamos então concretizá-lo para o analisar em pormenor (ver Fig.1.10). Sejam as nossas gémeas Patty e Selma Bouvier, as irmãs mais velhas de Marge Simpson. Admitamos que Patty fica cá na Terra enquanto Selma se desloca numa nave espacial, até um planeta distante (à procura do terceiro marido), com uma velocidade v = 0.8(c = 1), em relação à Terra (e a Patty). Se Selma se afasta da Terra durante 3 anos do seu tempo próprio, τ, então do ponto de vista de Patty, a viagem de ida ocorre num tempo dilatado e demora t = τ = 3 = 5 anos. 1 v 2 1 0.8 2 Como tal, Selma afasta-se uma distância de 4 anos-luz, de acordo com os observadores do referencial Terra. Com estes dados podemos escrever o intervalo do espaço-tempo para o par de acontecimentos (O,B), τ 2 = t 2 x 2 3 2 = 5 2 4 2, que exprime a invariância da velocidade da luz (no vácuo). Note-se igualmente que, para a gémea viajante, o espaço percorrido é uma contracção do espaço medido por Patty, isto é, x = x 1 v 2 = 4 0.6 = 2.4 anos-luz. O que está em concordância com o tempo medido pelo relógio de Selma, onde só tinha passado τ = x /v = 2.4/0.8 = 3 anos. Admitindo que esta regressa de imediato à 19

Terra com a mesma velocidade v = 0.8, as duas gémeas voltam a encontrar-se passados 10(=8/0.8) anos, no referencial de Patty, após a partida de Selma, mas simplesmente 4.8 anos no relógio de Selma. Em resumo as duas gémeas fazem agora uma diferença de 5.2 anos de idade, sendo Patty a mais velha. Este é sempre um resultado surpreendente, por muita familiaridade que tenhamos com a teoria da relatividade. t D C t' t B B x' A T O x B x Figura 1.11: As duas gémeos separam-se no instante O, quando t = t = 0; no instante t A = 1 (ano) sai um sinal luminoso de Patty que chega a Selma no acontecimento B (t B = 3 anos). Este mesmo acontecimento é visto por Patty no instante t C = 9 anos. Continuando a nossa análise, vamos admitir que as duas gémeas estão munidas de potentes telescópios de modo a poderem observar os relógios de pulso uma da outra, para procurarem compreender em que medida o tempo é relativo. Assim, Selma vai observando o relógio de Patty ao longo da viagem e regista o valor observado no momento em que atinge o afastamento máximo da Terra e inicia o seu regresso (acontecimento B, no diagrama da Fig.1.11). Selma vê o relógio de Patty marcar t A = 1 ano, quando o seu relógio marca t B = 3 anos, pois 1 + v t = Kt = 1 v t = 3 t, atendendo ao efeito de Doppler. Por outro lado, Patty vê Selma atingir o acontecimento B, e a iniciar o regresso, quando o seu relógio marca 9 anos, pois para Patty, a sua gémea viajante leva 5 anos a atingir o planeta distante e a luz leva mais 4 anos a regressar à Terra, mostrando Selma a chegar ao planeta distante. Assim para Patty o relógio de Selma, que marca 3 anos, parece estar a trabalhar a um terço da velocidade do seu relógio (3/9). Exactamente como acontece com Selma que vê o relógio de Patty trabalhar a um terço da velocidade do seu (1/3). Na viagem de regresso, Patty vê o relógio de Selma passar de 3 anos para 6 anos num só ano do seu relógio: intervalo de tempo t D t C do relógio de Patty. Ou seja, Patty 20

vê agora o relógio de Selma avançar 3 anos num ano do seu tempo próprio, o que corresponde a uma velocidade três vezes maior. Por sua vez Selma vê, durante o seu regresso, o relógio de Patty avançar de 1 ano para 10 anos, enquanto o seu relógio marca um tempo próprio de três anos. Selma é também levada a concluir que ela vê o relógio de Patty a trabalhar a uma velocidade três vezes maior do que o seu. E ambas concordam que no fim da viagem, têm idades diferentes estando Patty 5.2 anos mais velha que Selma, a gémea viajante, que não teve tempo de encontrar o terceiro marido no planeta distante. A diferença de idades deve ser entendida como uma consequência da assimetria entre as duas gémeas: Patty ficou sempre no mesmo referencial (inercial) Terra, enquanto Selma teve que mudar de referencial e, por isso, o seu referencial próprio sofreu uma aceleração, logo Selma não é uma observadora inercial. Note-se ainda que Patty e Selma concordam na leitura do relógio de Selma quando esta chega ao planeta distante, mas essas leituras correspondem a dois acontecimentos distintos com tempos diferentes no relógio de Patty. t C 5 4 3 A t = A t B B 5 4 3 O x A x B x Figura 1.12: Nesta figura estão indicados dois caminhos possíveis para o gémeo viajante, conforme v = 0.6 ou v = 0.8. No primeiro t A = 5 anos mas τ A = 4 anos, e no segundo temos também t B = 5 anos, mas τ B = 3 anos, como no exemplo de Patty e Selma. Note-se ainda que se a velocidade relativa entre os dois gémeos fosse menor, a diferença de idades no momento do re-encontro também seria menor. Por outras palavras, o gémeo viajante pode teoricamente ir a uma velocidade tão próxima de c = 1 quanto se queira e assim reduzir o seu tempo próprio tanto quanto se queira, fazendo assim aumentar a diferença de idades. No limite, se o gémeo pudesse viajar como um fotão, ao re-encontrar o seu irmão teria a mesma idade com que partiu. Na Fig. (1.12) vemos dois exemplos do que ficou dito atrás, para v = 0.6 e v = 0.8. Em ambos os casos a viagem leva 10 anos para o gémeo que ficou na Terra. Mas no primeiro caso, o gémeo viajante afasta-se uma distância de 3 anos-luz num tempo 21

próprio de 4 anos, e no segundo caso, o gémeo viajante afasta-se 4 anos-luz num tempo próprio de 3 anos. Fica assim resolvido, no âmbito da teoria da relatividade restrita, o chamado paradoxo dos gémeos. De caminho foi possível apreciar a interligação entre dilatação do tempo e contracção do espaço, e o efeito de Doppler entre dois observadores em movimento relativo. 1.3 Simetrias do Espaço-tempo Plano Um sistema de coordenadas em RR é, por definição, uma correspondência 1-1 entre os pontos de M0 4 e o conjunto R 4 caracterizado por 4 números ordenados x c, com c = 0, 1, 2, 3 e x 0 = ct, (x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z) = (x i ) = x, isto é, x a = (x 0, x i ) = (ct, r) Com esta notação compacta o intervalo do Universo pode escrever-se s 2 = 3 a,b=0 η ab x a x b = 3 a,b=0 η ab x a x b onde a matriz da forma quadrática, η, conhecida por métrica do espaço-tempo de Minkowski, tem os seguintes elementos diferentes de zero: η 00 = η ii = 1, com i = 1, 2, 3. Dados dois referenciais inerciais e as coordenadas respectivas x a e x b de um mesmo acontecimento físico p de M0 4, admitimos que é sempre possível exprimir os x b como funções dos x a e vice-versa: x b = L b cx c c de modo a preservar o intervalo s 2. Pelo teorema da função inversa, diremos que a transformação de coordenadas é uma aplicação 1-1 (i.e, tem inversa) num certo domínio U, se e só se a matriz Jacobiana x b / x a tiver um determinante não nulo nesse domínio. O conjunto L das matrizes L devem assim obedecer à seguinte relação 3 a,b =0 η a b xa x b = 3 3 a,b =0 c,d=0 η a b La c L b dx c x d = 3 c,d=0 Como esta relação se deve verificar para qualquer x a, concluímos que η cd = 3 a,b =0 η cd x c x d. (1.25) η a b La c L b d (1.26) 22

Utilizando agora uma notação matricial compacta, seja X a matriz-coluna cujo elemento genérico é [x a ], isto é x 0 x X = 1 x 2. x 3 Podemos agora escrever o intervalo do Universo s 2 como um produto de matrizes bem como a transformação de Lorentz s 2 = X T ηx (1.27) X = LX. 1.3.1 Grupos de Lorentz e Poincaré Definição 1 O grupo de Lorentz, L, é o grupo das transformações lineares homogéneas das coordenadas do espaço-tempo M 4 0 que deixam invariante a forma quadrática: X T ηx = ( x 0 x 1 x 2 x ) 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = (x 0 ) 2 + (x 1 ) 2 + (x 2 ) 2 + (x 3 ) 2 (1.28) ou seja, é o conjunto das matrizes 4 4, L, que satisfazem a condição x 0 x 1 x 2 x 3 L T ηl = η (1.29) Nota: Se X = LX, então a invariância da forma quadrática (5) ou seja, a invariância da velocidade da luz para todos os observadores inerciais implica X T η X = X T ηx X T L T ηlx = X T ηx L T ηl = η. É fácil mostrar que o conjunto de transformações L, com uma lei de composição adequada, forma um grupo contínuo. Em primeiro lugar notemos que sendo 1 0 0 0 0 1 0 0 η = 0 0 1 0 0 0 0 1 vem η 2 = I. Efectivamente, ( 1 01 3 0 3 1 I 3 3 ) ( 1 01 3 0 3 1 I 3 3 ) = I 4 4, 23

onde I n n é a matriz identidade num espaço de dimensão n. Vamos agora mostrar que o conjunto das matrizes L que satisfazem a condição (1.29), juntamente com a operação de multiplicação de matrizes, simbolicamente representado por [L, ], goza das quatro propriedades seguintes: 1. O produto de duas transformações de Lorentz (TL) L 1 e L 2 é uma TL L 3. Seja L 3 = L 1 L 2, então L T 3 ηl 3 = L T 2 L T 1 ηl 1 L 2 = L T 2 ηl 2 = η, pois L 1 e L 2 obedecem à Eq.(3) separadamente. 2. A multiplicação de TL s é associativa: (L 1 L 2 ) L 3 = L 1 (L 2 L 3 ) é uma propriedade geral do produto de matrizes! 3. A identidade é uma TL, i.e. I T ηi = η. 4. Qualquer TL, L, tem uma inversa, L 1, que é também uma TL; pois, sendo L T ηl = η vem ηl T ηl = η 2 = I o que L 1 = ηl T η. Por outro lado, (L 1 ) T ηl 1 = (ηl T η) T η(ηl T η) = ηlη 2 ηl T η = ηlηl T η = ηll 1 = G, i.e. L 1 = ηl T η L. Podíamos ter obtido este último resultado recorrendo a uma variante da relação (1.29). Exercício 2 Mostre que se L L, então LηL T = η, e L 1 também pertence a L. Já mostrámos que: se L 1, L 2 L então L 1 L 2 L; se L L então L 1 L I L. Juntando a estas propriedades a associatividade do produto de matrizes, podemos concluir que o conjunto L de todas as TL constitui um grupo em relação à operação binária multiplicação matricial. 24

Estrutura do Grupo de Lorentz O grupo de Lorentz pode ser representado como um certo subconjunto do espaço R 16 visto que uma matriz de Lorentz L (4 4) tem à partida 16 elementos diferentes. Porém nem todos são independentes, pois existem 10 condições dadas pelas equações L T ηl = η. Note que G é uma matriz simétrica, o mesmo acontecendo a L T ηl. Assim, qualquer L L tem só 6 parâmetros reais independentes, e L dá origem a um sub-espaço a 6 dimensões de R 16. Qualquer matriz L deve satisfazer a relação (detl) 2 = 1 detl = ±1 Como o determinante de uma matriz varia continuamente à medida à medida que variam os elementos de matriz em função dos parâmetros, não é possível deslocarmonos ao longo de uma curva contínua de L desde um valor de L com detl = +1 até um valor L com detl = 1. Ou seja, os conjuntos L + = {L : detl = +1} e L = {L : detl = 1}. não podem ser ligados por uma curva contínua em L; são portanto desconexos. necessário saltar de L + para L ou vice-versa, de uma maneira descontínua. É É possível usar a condição (1.29) de um modo mais eficiente, separando L em todas as suas partes desconexas. Para simplificar a escrita voltamos a representar a matriz de Lorentz por L a c sem distinguir os dois tipos de índices, e escrevemos (L T ηl) 00 = η 00 = 1, ou seja, (L T ) 0 0 η 00 L 0 0 + (L T ) i 0 η ij L j 0 = (L 0 0) 2 + 3 (L j 0) 2 = 1. j=1 temos então, L 0 0 = ± 1 + 3 (L j 0) 2, L 0 0 1. (1.30) j=1 A condição (1.30) divide L em duas regiões que, tal como acontecia antes, não podem ser ligadas por uma curva contínua; são pois desconexas também. As duas regiões são: L = [L : L 0 0 +1], L = [L : L 0 0 1]. As setas põem em evidência o efeito de L sobre a componente temporal de 4-vector (tipo-tempo). Se L L então L 0.0U 0 tem o mesmo sinal que U 0, mas se L L, então L 0. 0 U 0 tem o sinal oposto a U 0. Assim, L é o conjunto das TL que preservam o sinal 25

do tempo, e por isso se chamam ortochronous (aportuguesando, diremos ortócronas), e L é o conjunto das TL que invertem o sentido do tempo: transformam um vector temporal, dirigido para o futuro (d.p.f.) num vector-temporal, dirigido para o passado (d.p.p) e vice-versa. Podemos, portanto, dividir o espaço L em quatro regiões: L +, L, L +, L, cujo significado é evidente; estas quatro regiões são desconexas, tal como se explicou atrás. A TL I L +, a qual constitui um subgrupo do grupo de Lorentz, conhecido por subgrupo próprio ortócrono ou componente conexa da identidade. Esta partição de L em quatro sub-espaços distintos, permite-nos reconhecer duas transformações de Lorentz muito importantes: a paridade P = L s e a inversão no tempo T = L t. A TL P muda o sinal das coordenadas espaciais e preserva o do tempo, P : (t, r) (t, r). Evidentemente, detp = 1, P 0.0 1, pelo que P L. É interessante notar que se L L +, então P L L, visto que det(p L) = det(p ) det(l) = 1, (P L) 0 0 = P 0 0 L 0 0 = L 0 0 +1. Igualmente, se L L então P L L +. Portanto, P permite definir uma correspondência 1 1 entre L + e L. A TL inversão no tempo, T, muda somente o sinal do tempo, T : (t, r) ( t, r), logo, dett = 1, T 0 0 1; a matriz T tem a forma T a b = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 = diag( 1, 1, 1, 1) (1.31) T estabelece, portanto uma correspondência 1 1 entre L + e L, como facilmente se verifica. Finalmente, o operador (a matriz) P T = L s L t tem det(p T ) = +1, (P T ) 0. 0 = 1; Logo, P T L + e pode pois ser usado para estabelecer uma correspondência 1 1 entre L + e L. Concluímos que não é necessário considerar todo o conjunto L = L + L + L L ; basta-nos tomar o subgrupo L + das TL próprias e ortócronas e juntar as transformações de Lorentz discretas P e T. Com estas transformações podemos obter todos 26

os elementos de L. A distinção entre transformações próprias e impróprias, e entre transformações ortócronas e as outras, é importante. Todos os resultados experimentais são invariantes em relação às transformações (próprias) L + = L + L +; mas, como é sabido, em 1957 foi descoberta a violação de paridade em decaimentos radioactivos, por sugestão de T.D. Lee e C.N. Yang. Assim, não devemos exigir a invariância dos resultados experimentais e, portanto, das teorias que os podem prever, em relação à totalidade do grupo de Lorentz; é mais razoável exigir essa invariância só em relação ao subgrupo L +. Este grupo é gerado por dois conjuntos de matrizes que designaremos respectivamente por L B ( boosts ) e L R (rotações). Um exemplo de boost (ou TL especial) é a matriz L B (φ) = cosh(φ) senh(φ) 0 0 senh(φ) cosh(φ) 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (1.32) onde φ é um número real. Esta matriz L B (φ) representa uma TL especial na direcção Ox, sem rotação espacial e sem alterar o sentido do tempo. Por vezes, é designada por rotação de Lorentz, no plano (t, x), por analogia com as rotações espaciais. A partir da Eq.(1.32) é fácil construir rotações de Lorentz nos planos (t, y) ou (t, z). Finalmente, consideremos agora as matrizes 4 4 L R = ( 1 01 3 0 3 1 R onde R é uma matriz 3 3 que é solução de R T R = I, det(r) = 1. ) (1.33) Exercício 3 Verifique que L T RGL R = G se R T R = I. A condição R T R = I define o conjunto das matrizes ortogonais O(3) = [R : R T R = I]. Como se sabe, estas matrizes são caracterizadas por preservarem os comprimentos euclidianos. Não é difícil mostrar que o conjunto O(3) é um grupo o grupo ortogonal tri-dimensional (3-D) ou grupo das rotações no espaço ordinário. O grupo O(3), tal como o grupo de Lorentz, tem duas partes não conexas, O + (3) = [R : R T R = I, det(r) = +1], O (3) = [R : R T R = I, det(r) = 1]. 27

Estas duas partes estão relacionadas pelo operador paridade, P P = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 visto que se R O + (3) := SO(3) então P R O (3) e se R O (3), então P R O + (3). Vamos, portanto, considerar unicamente SO(3), que é a parte de O(3) conexa com a unidade e, por isso, com estrutura de grupo. Quando referidas a uma base não ortonormada ou, em geral, quando se usam coordenadas curvilíneas, as matrizes ortogonais são definidas pela condição: R T GR = G, (1.34) onde a matriz G que figura na Eq. (1.34) é agora a matriz da forma quadrática positiva associada à distância Euclidiana em R 3. Há pois seis condições (1.34) entre os nove elementos que constituem cada matriz R, de modo que ficam só três elementos de matriz independentes: os três parâmetros que caracterizam uma rotação, tantos quantos os parâmetros do grupo SU(2). Podemos escolher, portanto, um ângulo θ e uma direcção n no espaço a direcção do eixo de rotação (note que podemos sempre escolher n unitário: n n = 1). A matriz correspondente R representa uma rotação de um ângulo θ em torno de n. Esta parametrização de R torna claro o carácter rotacional de todas as matrizes ortogonais. O espaço dos parâmetros (θ, n) pode ser representado por pontos numa bola densa de raio π, onde cada ponto p tem coordenadas (θ, n), sendo θ = à distância radial Op e estando n apontando na direcção do raio vector Op. Como a rotação de um ângulo π em torno de n dá o mesmo resultado que uma rotação de π em torno de n, é necessário identificar os pontos opostos sobre a superfície da esfera fronteira, i.e. os pontos que se encontram nas extremidades de um diâmetro, para estabelecer um isomorfismo entre o espaço dos parâmetros e o espaço gerado por todas as matrizes R: a variedade grupo SO(3). Este grupo é um grupo de Lie e, como veremos mais adiante, todo o grupo de Lie é simultaneamente uma variedade diferenciável cuja dimensão é igual à dimensão do grupo. Grupo de Poincaré Todos os pontos (acontecimentos) do espaço-tempo de Minkowski são equivalentes para a descrição das leis físicas. Do ponto de vista matemático, diremos que o espaço é homogéneo. O grupo de simetria deste espaço é, portanto, mais vasto que o grupo de Lorentz pois deve incluir as translações. No conjunto temos 10 simetrias: 4 translações, 3 rotações e 3 transformações de Lorentz puras. Por isso dizemos que as coordenadas inerciais gozam da seguinte propriedade: dados dois sistemas de coordenadas inerciais, 28