UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 3 a Lista de Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral I: Derivada Prof. Wellington D. Previero 1. Use o gráfico de y = f(x) na figura em anexo para estimar o valor de f ( 2), f (1) e f (2). 2. Identifique ou esboce na figura cada item abaixo. (a) f(1) e f(3) (b) f(3) f(1) (c) f(3) f(1) 3 1 (d) y = f(3) f(1) (x 1) + f(1) 3 1 3. Calcule a derivada da função dada usando a definição de limite. 1
(a) f(x) = 2 (b) f(x) = 5x (c) f(x) = 2x + 1 (d) f(x) = 2x 2 + x 1 4. Esboce o gráfico da derivada da função cujo gráfico é dado. (a) (b) (c) 5. Relacione o gráfico da função mostrada com o de sua derivada. (a) (c) (e) (b) (d) (f) (I) (II) (III) 2
(IV) (V) (VI) 6. Indique qual é o gráfico de f, f e f. 7. Esboce o gráfico de uma função f para a qual f(0) = 1, f (0) = 0, f (x) > 0 se x < 0 e f (x) < 0 se x > 0. 8. Faça um esboço do gráfico de uma função cuja derivada em todo ponto seja positiva. 9. A figura representa o gráfico de g. (a) Calcule g (0) (b) Calcule g (2) (c) O que você pode deduzir sobre o gráfico de g sabendo que g ( 2) = 7 3? (d) O valor de g(1) g(3) é positivo ou negativo? Justifique a sua resposta. 3
(e) Pode-se obter o valor de g(2) a partir do gráfico acima? Justifique a sua resposta. 10. O limite abaixo representa f (a) para alguma função e algum número a. Ache f(x) e a em cada caso. (3 + h) 2 9 (a) lim h 0 h 1 + x 1 (b) lim x 0 x (c) lim h 0 cos(π + h) + 1 h 11. Suponha que o custo de perfuração de x metros para um poço de petróleo é de C = f(x) dólares. (a) Quais são as unidades de f (x)? (b) Em termos práticos, qual é o significado de f (x) neste caso? (c) O que se pode dizer quanto ao sinal de f (x)? (d) Estime o custo de perfuração de um metro adicional, começando a uma profundidade de 300 metros, dado que f (300) = 1000. 12. Se um objeto é jogado para cima a 64 pés por segundo de uma altura de 20 pés, sua altura S depois de x segundos é dado por S(x) = 20 + 64x 16x 2 (a) Qual a velocidade média nos dois primeiros segundos depois de a bola ser lançada? (b) Qual a velocidade exatamente em t = 2? 13. Coloca-se uma late de refrigerante em uma geladeira. A temperatura H, em Fahrenheit ( F), da lata em função do tempo t, em horas, é dada por H = 40 + 30e 2t (a) Obtenha a taxa segundo a qual a temperatura do refrigerante está variando ( F/hora). (b) Qual o sinal de dh/dt? Justifique a sua resposta. (c) Em que instante t 0 o módulo de dh/dt é o maior possível? Explique sua resposta em termos do refrigerante. 4
14. Uma bóia move-se em movimento harmônico simples, dado por y = A cos ωt, à medida que as ondas passam por ela. De seu ponto mais alto até seu ponto mais baixo a bóia se move, verticalmente, um total de 3,5 pés e a cada 10 segundos ela volta para seu ponto mais alto. (a) Escreva a equação que descreva o comportamento da bóia se no instante t = 0 ela se encontra no seu ponto mais alto. (b) Determine a velocidade da bóia como função do tempo. 15. Um pêndulo de 15cm se desloca segundo a equação θ = 0, 2 cos 8t onde θ, medido em radianos, é o deslocamento angular em relação à direção vertical e t representa o tempo que é medido em segundos. Determine o deslocamento angular máximo e a taxa de variação de θ no instante t = 3s. 16. De acordo com a Lei de Resfriamento de Newton, a taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. A figura em anexo mostra o gráfico da temperatura T (em graus Fahrenheit) versus o tempo t (em minutos) para uma xícara de café inicialmente a 200 F, deixada esfriar numa sala com uma temperatura ambiente constante de 75 F. (a) Estime T e dt/dt quando t = 10 min. (b) A Lei de Resfriamento de Newton pode ser expressa por dt dt = k(t T 0) 5
onde k é a constante de proporcionalidade e T 0 a temperatura do meio ambiente (constante, por hipótese). Use os resultados da parte (a) para estimar o valor de k. 17. Escreva um parágrafo que explique qual o significado de uma função ser diferenciável. Inclua alguns exemplos de funções não-diferenciáveis e explique a relação entre diferenciabilidade e continuidade. 18. Mostre que f(x) = 3 x é contínua em x = 0, mas não diferenciável em x = 0. 19. Ache os pontos onde f(x) = 3x 2 não é diferenciável. Justifique a sua resposta. 20. Calcule a derivada da função dada. (a) y = 8 (b) f(x) = x 6 (c) f(x) = 1 x 7 (d) y = 2x + 1 (e) f(t) = 2t 2 + 3t 6 (f) g(x) = x 2 + 4x 3 (g) y = π senθ cos θ 2 (h) y = x 3 1 cos x 2 (i) y = 5 (2x) 3 + 2senx (j) f(x) = x3 3x 2 +4 x 2 (k) y = x(x 2 + 1) (l) g(x) = x 4 5 x 2 3 21. Usando a regra do quociente e do produto, ache dy/dx x=1. (a) y = 2x 1 ( 3x + 2 (c) y = x + 3 x (b) y = 4x + 1 x 2 5 22. Determine d 2 y/dx 2. (d) y = (2x 7 x 2 ) ) (x 5 + 1) ( ) x 1 x + 1 (a) y = 7x 3 2x 2 + x 1 (b) y = 3x + 1 5x (c) y = (x 3 4)(2x + 3) 23. Determine os pontos (caso existam) onde o gráfico da função tem uma reta tangente horizontal. 6
(a) y = x 3 + x (c) y = x 2 + 1 (b) y = 1 (d) y = 3x + sen(x) + 2 x 2 24. Mostre que y = x 3 + 3x + 1 satisfaz y + xy 2y = 0. 25. Ache k se a curva y = x 2 + k é tangente à reta y = 2x. 26. Ache a coordenada x do ponto sobre o gráfico de y = x 2 no qual a reta tangente é paralela à reta secante que corta o curva em x = 1 e x = 2. 27. Ache as coordenadas de todos os pontos sobre o gráfico de y = 1 x 2 nos quais a reta tangente passa pelo ponto (2,0). 28. Mostre que os gráficos das funções y = x e y = 1 possuem retas x tangentes que são perpendiculares entre si no seu ponto de intersecção. 29. A lei de gravidade afirma que a intensidade F da força exercida por um ponto com massa M sobre um ponto de massa m é F = GmM r 2 onde G é a constante gravitacional e r é a distância entre os pontos. Supondo os pontos em movimento, ache uma fórmula para a taxa de variação instantânea de F em relação a r. 30. Determine f (x). (a) f(x) = 2 cos(x) 3sen(x) (b) f(x) = cos(x) x (c) f(x) = x 3 sec(x) 2tg(x) (d) f(x) = sec(x)tg(x) (e) f(x) = sen 2 (x) + cos 2 (x) (f) f(x) = (g) f(x) = cotg(x) 1 + cossec(x) sen(x) sec(x) 1 + tg(x) 31. Ache os pontos no intervalo [ 2π, 2π] nos quais o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal. (a) f(x) = sen(x) (b) f(x) = x + cos(x) (c) f(x) = sec(x) 32. Ache f (x). 7
(a) f(x) = (x 2 + 2x) 5 (b) f(x) = 1 (x 5 x+1) 9 (c) f(x) = x 3 2x + 5 (d) f(x) = sen(x 3 ) (e) f(x) = cos ( ) 3 x x+1 (f) f(x) = cos(5x) (g) f(x) = x 2 5 x 2 (h) f(x) = x 1 x 2 (i) f(x) = (2x 5) 2 (x 2 + 4) 3 (j) f(x) = ( x 5 2x+1 ) 5 33. Um objeto suspenso por uma mola sofre um pequeno deslocamento vertical e depois é abandonado. Se forem ignoradas a resistência do ar e a massa da mola, então a oscilação do objeto é chamada de movimento harmônico simples. Sob condições apropriadas, o deslocamento y do equilíbrio em função do tempo t é dado por y = A cos ωt onde A é o deslocamento inicial t = 0 e ω é uma constante que depende da massa do objeto e da rigidez da mola. A constante A é chamada de amplitude do movimento e ω de freqüência angular. (a) Mostre que d2 y dt 2 = ω2 y. (b) O período T é o tempo necessário para fazer uma oscilação completa. Mostre que T = 2π/ω. (c) A freqüência f da vibração é o número de oscilações por unidade de tempo. Ache f em termos do período T. (d) Ache a amplitude, o período e a freqüência de um objeto executando movimento harmônico simples, dado por y = 0, 6 cos 15t, onde t está em segundos e y em centímetros. 34. A força F (quilogramas) agindo a um ângulo θ com a horizontal necessária para arrastar, ao longo de uma superfície horizontal e a uma velocidade constante, um caixote que pesa W quilos é dada por F = µw cos θ + µsenθ onde µ é uma constante chamada de coeficiente de atrito entre o caixote e a superfície. Suponha o caixote com 70kg e µ = 0, 3. 8
(a) Ache df/dθ quando θ = 30. Expresse sua resposta em kg/grau. (b) Ache df/dt quando θ = 30, se θ está diminuindo a uma taxa de 0, 5 por segundo neste instante. 35. (a) Seja y = x 2. Encontre dy quando x = 1 de dx = 0, 01. Compare esse valor com y para x = 1 e x = 0, 01. (b) Esboce o gráfico de y = x 2, mostrando dy e y na figura. 36. Use a informação para calcular e comparar y e dy. (a) y = 1 2 x2 x = 2 x = dx = 0, 1 (b) y = 1 2x 2 x = 0 x = dx = 0, 1 37. Obtenha a aproximação linear local de f(x) = 1 x em x 0 = 2 38. Ache a aproximação linear local de f(x) = x + 1 em x 0 = 0 e use-a para aproximar 0, 9 e 1, 1. 39. Use uma aproximação linear local para estimar o valor da quantidade dada. (a) (3, 02) 4 (b) sen0, 1 40. A aproximação (1 + x) k = 1 + kx é freqüentemente usada por engenheiros para cálculos rápidos. (a) Deduza este resultado e use-o para fazer uma estimativa rudimentar de (1, 001) 37. (b) Usando um recurso computacional, mostre que esta fórmula produz uma estimativa muito ruim de (1, 1) 37, e explique por que isso ocorre? 41. O lado de um cubo mede 25cm, com erro possível de ±1cm. (a) Use diferenciais para estimar o erro no volume calculado. (b) Estime os erros percentuais no lado e no volume. 42. O resultado da medida do raio de uma bolinha de rolimã foi de 0,7 polegadas. Se a medida for correta a menos de 0,01 polegada, estime o erro propagado no volume V da bolinha de rolimã. 9
43. A resistência elétrica R de certo fio é dada por R = k r 2, onde k é uma constante e r o raio do fio. Supondo que o raio tenha um erro possível de ±5%, use diferenciais para estimar o erro percentual em R. 44. Uma barra de metal medindo 15cm de comprimento e 5cm de diâmetro está coberta, exceto nas pontas, por uma camada de isolante com uma espessura de 0,001cm. Use diferenciais para estimar o volume do isolante. (Sugestão: seja V a variação do volume da barra.) 45. Se a temperatura T de uma barra de metal medindo L de comprimento variar por quantidade T, então o comprimento irá variar por uma quantidade L = αl T, onde α é chamado de coeficiente de expansão linear. Para variações moderadas na temperatura, α pode ser considerado uma constante. (a) Suponha que a barra tem 40cm de comprimento a 20 C e, quando a temperatura passa para 30 C, o comprimento encontrado é de 40,006cm. Ache α. (b) Se um poste de alumínio tem comprimento de 180cm a 15 C, qual será o seu comprimento se a temperatura for elevada para 40 C? (Tome α=2,3 10 5 / C) 46. O alcance R de um projétil é R = v2 0 32 sen(2θ) onde v 0 é a velocidade inicial em pés por segundo e θ é o ângulo de elevação. Se v 0 = 2.200 pés por segundo e θ varia de 10 para 11, use diferenciais para estimar a variação no alcance. 47. O período de um pêndulo é dado por L T = 2π g onde L é o comprimento do pêndulo em pés, g é a aceleração da gravidade e T é o período em segundos. O pêndulo foi submetido a um aumento na temperatura, de forma que seu comprimento aumento 1 2 % (a) Encontre uma aproximação para a variação percentual no período. 10
(b) Usando o resultado na parte (a), encontre o erro aproximado neste relógio de pêndulo em um dia. RESPOSTAS 1. f ( 2) 3, f (0) = 0 e f (2) 3 2. 3. (a) f (x) = 0 (b) f (x) = 5 (c) f (x) = 2 (d) f (x) = 4x + 1 4. (a) (b) (c) 5. (a) - (II) (b) - (V) (c) - (I) (d) - (VI) (e) - (IV) (f) - (III) 6. 7. 8. 9. (a) g (0) = 2 (b) g (2) = 2 (c) A função g é crescente em um intervalo contendo o ponto -2. (d) Negativo (e) Não 10. (a) f(x) = x 2 e a = 3. (b) f(x) = x e a = 1 (c) f(x) = cos(x) e a = π 11. (a) dólares/metro 11
(b) O aumento em dólares no instante que se perfura x metros. (c) Positivo. (d) O custo adicional é de $ 1.000,00. 12. (a) v m = s(2) s(0) 2 0 = 32 pés/s (b) v = 0 13. (a) dh/dt = 60e 2t (b) O sinal de dh/dt é negativo, pois a temperatura irá diminuir com o passar do tempo. (c) No instante t = 0, ou seja, no momento que você coloca o refrigerante na geladeira. 14. (a) y(t) = 3, 5 cos πt 5 (b) v(t) = 3,5π sin πt 5 5 15. 0,2rad e 1,45rad/s 16. (a) T = 100 F e dt/dt = 4 graus/minuto 17. (b) k = 0, 16 18. É contínua pois lim f(x) = f(0). Não é diferenciável em x = 0 pois x 0 f f(0 + h) f(0) (0) = lim = + h 0 h f(x) f( 2 19. A função f não é diferenciável no ponto x = 2, pois o limite lim ) 3 3 x 2 x 2 3 3 não existe. (Verifique que os limites laterais são distintos). 20. (a) y = 0 (b) f (x) = 6x 5 (c) f (x) = 7 x 8 (d) y = 2 (e) f (t) = 4t + 3 (f) g (x) = 2x + 12x 2 (g) y = π cos θ + senθ 2 (h) y = 3x 2 + 1senx 2 (i) y = 15 (2x) 4 + 2 cos x (j) f (x) = 1 8 x 3 (k) y = 3x 2 + 1 (l) g (x) = 4 5 5 x 2 3 3 x 12
21. (a) y = 7 (x + 3) 2 (b) y = 2(2x2 + 10 + x) (x 2 5) 2 (c) y = 2x5 15x 12 x 7 (d) y = 2x (7 x7 7 x 5 x 2 + 1 + 2 x 6 x) (x + 1) 2 22. (a) y = 42x 4 (b) y = 2 5x 3 (c) y = 24x 2 + 18x 23. (a) Não há reta tangente horizontal. (b) Não há reta tangente horizontal. (c) Em x = 0. (d) Não há reta tangente horizontal. 24. 25. k = 1 26. x = 1 2 27. x = 2 + 3 e x = 2 3 28. Dica: Se duas retas são perpendiculares, então o produto de seus coeficientes angulares é -1. 29. df/dr = 2GmM r 3 30. (a) f (x) = 2sen(x) 3 cos(x) (b) f (x) = sen (x) x cos (x) x 2 (c) f (x) = x3 sin (x) + 3 x 2 cos (x) 2 cos 2 (x) (d) f (x) = sec 3 x + tg 2 x sec x (e) f (x) = 0 13
(f) f 1 (x) = sen(x) + 1 (g) f 1 (x) = 2sen(x) cos(x) + 1 31. (a) x = π 2 + kπ, k Z (b) x = π 2 + 2kπ, k Z (c) x = 2kπ, k Z 32. (a) f (x) = 5 (x 2 + 2 x) 4 (2 x + 2) (b) f (x) = 9(5 x4 1) (x 5 x + 1) 10 (c) f 3 x 2 2 (x) = 2 x 3 2 x + 5 (d) f (x) = 3 cos (x 3 ) x 2 ( ) x 3 cos 2 sen ( ) x (e) f x+1 x + 1 (x) = (x + 1) 2 (f) f (x) = 5sen (5 x) 2 cos (5 x) (g) f (x) = x ( 10 + 3 x2 ) 5 x 2 (h) f (x) = 1 (1 x2 ) 3 (i) f (x) = 4 (2 x 5) (x 2 + 4) 3 + 6x (2 x 5) 2 (x 2 + 4) 2 33. (j) f (x) = 55 (x 5)4 (2 x + 1) 6 34. (a) df ( π ) 0, 4886 dθ 6 df (b) 3, 6597 dt 35. (a) dy = 0, 02 e = 0, 0201 (b) 36. 14
(a) y = 0, 205 e dy = 0, 2 (b) y = 0, 02 e dy = 0 37. y = 1 4 x + 1 38. x + 1 1 2 x + 1 0, 9 0, 95 1, 1 1, 05 39. (a) (3, 02) 4 83, 16 (b) sen(x) x sen(0, 1) = sen( π ) π 1800 0.1745329252 1800 40. (a) f(x) = (1 + x) k kx + 1 (Aproximação linear local em torno do ponto x 0 = 0) (1, 001) 37 0, 001 37 + 1 = 1, 037 (b) 41. (a) V ±1875cm 3 (b) 12% 42. V ±0, 0196π 0, 06157521602 43. dr R = 0, 1 44. 0,236cm 3 45. (a) 1, 5 10 5 / C (b) 180,1 cm de comprimento 46. 4961.22 47. (a) 1 4 % (b) 216 segundos 15