Economia Espacial Aula 2: O problema quadrático da escolha e localização e o Teorema da Impossibilidade Espacial André Luis Squarize Chagas achagas@usp.br 12 de agosto de 2016
Agenda Agenda Agenda Introdução O problema quadrático da escolha e localização O Teorema da Impossibilidade Espacial Exemplos Dispersão Aglomeração Corolários Conclusões
O problema quadrático da escolha e localização Originalmente proposto por Koopmans and Beckmann (1957). O problema da escolha da localização é visto nesse caso como sendo um problema de maximização de lucros. Como a função objetivo a ser maximizada, proposta por eles, envolveria um termo quadrático, por essa razão eles deram o nome, a esse programa de maximização, de problema quadrático.
O problema quadrático da escolha e localização O problema quadrático da escolha e localização Pressupostos: Existem M firmas (i = 1,..., M) que escolherão se localizar em M localidades (r = 1,..., M). Cada firma é indivisível de modo que cada uma delas só pode escolher uma única localização. Por outro lado, cada localização pode acomodar apenas uma única firma. Cada firma produz um montante positivo de bens usando um montante positivo de bens produzidos por outras firmas. Deslocar um bem de uma firma para outra envolve custo de transporte.
O problema quadrático da escolha e localização Sem perda de generalidade, vamos assumir que a firma i escolha a localização i. Dessa forma cada firma é caracterizada pelo índice da localização que escolheu e vice-versa. O problema é encontrar um sistema de preços p i (r); i, r = 1,..., M que dê suporte a essa escolha. Em tal situação, o lucro da firma i na localização i será dado por: M M π i (i) = a i + p i (i) q ij p j (i)q ij (1) j=1 onde a i são as receitas da firma que independem de sua localização, q ij são as vendas da firma i localizada em i para todas as outras j s firmas localizadas nas outras j s localizações e q ji são as compras da firma i localizada em i de todas as outras j s firmas das outras j s localizações. j=1
O problema quadrático da escolha e localização Do ponto de vista de bem-estar para a economia como um todo, um problema de escolha ótima envolve a maximização do lucro total da economia, ou seja, a maximização de M i=1 j=1 M π i (j) (2) Um sistema de preços que seja solução para esse problema deve satisfazer a restrição imposta por Samuelson (1952), qual seja, p i (j) = p i (i) + t i (j, i) > p i (i) (3) onde t i (i, j) é o custo positivo por unidade de produto de transportar o produto i da localidade i até a localidade j. Ou seja, o preço do produto da firma i vendido na localização j deve ser igual ao preço na localização i mais o custo de transportá-lo até a localização j. p i (i) é o preço FOB, enquanto que p i (j) é o preço CIF.
O problema quadrático da escolha e localização Para resolver (2) considere duas distintas firmas r e s localizadas em duas regiões distintas r e s, respectivamente. Nesse caso, o lucro total dessas duas firmas será dado por: π r (r) + π s (s) = a r + p r (r)q rs p s (s)q sr + a s + p s (s)q sr p r (s)q rs = (a r + a s ) + [p r (r) p r (s)]q rs + [p s (s) p s (r)]q sr = (a r + a s ) t r (r, s)q rs t s (s, r)q sr (4)
O problema quadrático da escolha e localização Dessa forma somando o lucro das firmas para todas as regiões possíveis teremos: M i=1 j=1 M π i (j) = M M M a i t i (i, j)q ij (5) i=1 j=1 j=1 que é positivo se M i=1 a i for suficientemente grande. Como o termo M i=1 a i é constante e independe do arranjo escolhido, o problema de maximização de lucros se resume a um problema de minimização de custos. Note-se, no entanto, que a condição de mínimo custo impõe que t i (i, j) = 0, i, j, o que não é possível, pois assumimos custo de transporte positivo.
O problema quadrático da escolha e localização Heffley (1972) apontou que esse resultado é sensível ao pressuposto de que M i=1 a i seja constante e independente do arranjo escolhido. De fato, o autor argumenta que a receita da firma tende a ser influenciada por fatores locacionais - e esse é um pressuposto fundamental para a teoria ricardiana dos ganhos comparativos. No entanto, assumir que a i seja variável no espaço implica assumir heterogeneidade espacial e resolver o problema de localização por razões não-econômicas.
O problema quadrático da escolha e localização O que o resultado de Koopmans and Beckmann (1957) aponta é que (Koopmans and Beckmann, 1957, p.154) transportation of intermediate commodities from one plant to another makes the relative advantage of a given location for a given plant dependent on the locations of other plants. This dependence of one man s decision criterion on other men s decisions appears to leave no room for efficient price-guide allocation. Esse resultado é explorado com maior minúcia no teorema da impossibilidade espacial.
O Teorema da Impossibilidade Espacial O Teorema da Impossibilidade Espacial Resultado devido a Starret (1978). Consideremos uma economia espacial formada por M regiões que podem acomodar um número muito grande de firmas e famílias. Cada região r é dotada de um montante igual de terra L. Há n bens nessa economia (não contando a terra e os serviços de transporte) e cada um desses bens pode ser transportado entre as regiões usando o serviço de transporte. Há K r firmas e N r famílias em cada região r. No total da economia, existem K firmas e N famílias. Por questões de notação K e N também representam os conjuntos de firmas e famílias.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Em um modelo estático, as firmas e famílias, antes de realizarem a escolha que maximiza os seus planos de produção e de consumo, respectivamente, são a-espaciais. A escolha inicial da localização não envolve custos. Depois que a firma f K escolhe uma região r M, um plano de produção dessa firma é dado por um vetor y fr de n bens (um componente positivo nesse vetor é um produto, ao passo que um componente negativo é um insumo) e por um montante de terra l fr da mesma região r. O conjunto de produção da firma é representado por Y fr R n+1 ; esse conjunto pode variar com a região em que a firma está estabelecida.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Já as famílias h N residem e trabalham na mesma região r M e seu plano de consumo é dado pelo vetor x hr de n bens (um componente positivo nesse vetor significa que a família tem uma demanda positiva pelo bem, enquanto que um componente negativo significa que a família é ofertante do bem - como trabalho, por exemplo) e um montante positivo de terra l hr da mesma região r. O conjunto de consumo das famílias é definido como X hr R n+1. A família h tem uma função de utilidade U hr definida sobre o conjunto de consumo X hr. Tem ainda uma dotação inicial de bens ω h e uma dotação inicial de terra λ h.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Ao considerarmos a localização um atributo separado, podemos assumir, sem perda de generalidade, que uma mesma dotação inicial de bens disponível para uma família em uma dada região de residência possa estar disponível em qualquer região que essa família decida residir ou trabalhar. Por outro lado, a dotação de terra é imóvel. O transporte de bens dentro de uma mesma região não tem custo, mas movimentá-lo entre as regiões requer o consumo de recursos.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Imaginemos que o transporte entre as regiões seja feito por uma única firma transportadora (ou atacadista, como um caixeiro viajante) que compra bens em uma determinada região aos preços de mercado vigente nessa região e os revenda em outra região aos preços de mercado correspondentes usando como insumos bens e terra em cada região. O transportador movimenta um plano de exportação (não-negativo) E rs R n de bens da região r para a região s usando um vetor não-positivo y trs R n de insumos e um montante não-negativo de terra l trs localizados em r. O conjunto de planos de transporte possíveis para o transportador é representado por Z t R nr 2 +r.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Definindo K e N o conjunto das firmas e famílias, respectivamente de forma que K = K 1 K M e N = N 1 N M. Uma alocação é definida: pelo conjunto N r de famílias residentes na região r M, pelo conjunto K r de firmas localizadas na região r M, por N planos de consumo (x hr, l hr ), por K planos de produção (y fr, l fr ) e por M(M 1) planos de exportação E rs, cada um associado a um vetor de insumos y trs e uso de terra l trs. Portanto, uma alocação descreve tanto as atividades de produção e consumo de cada firma e família bem como as atividades de transporte desempenhadas pelo transportador.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Para uma alocação ser possível estabelecemos as seguintes condições a serem satisfeitas. Para os bens em cada região r M: x hr + (E rs y trs ) = ω h + y fr + E sr h N r s M,s r h N r f K r s M,s r (6) onde (x hr, l hr ) X hr, (y hr, l hr ) Y hr e (E rs, y trs, l trs ) Z t. Ou seja, a cesta de bens consumidos pelas famílias na região r somada ( h Nr x hr aos bens exportados para as demais s regiões e ( s M,s r Ers ) mais ) somada os bens da região r utilizados pelos transportadores em sua atividade de movimentação ( s M,s r ytrs ) ( deve ser igual à dotação de bens disponíveis às famílias na região h Nr h) ω produzidos pela firma na região [ ] regiões s M,s r Esr. somada aos bens ( f Kr y fr ) e aos bens importados para região r de outras
O Teorema da Impossibilidade Espacial Para cada região r M também deve valer l hr + l fr + h N r f K r s M,s r l tsr h N λ hr L (7) ou seja, a terra utilizada pelas famílias, firmas e pelo transportador em uma dada região r não pode ser maior do que a terra de propriedade das famílias de todas as regiões naquela região. Note que é possível que haja terra ociosa, no sentido de que o total de terra utilizado pode ser menor do que sua disponibilidade.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Um equiĺıbrio competitivo é dado por um sistema de preços - ou seja, M vetores de preços p r para os bens e um padrão para a renda da terra (R 1,, R M ) - e uma alocação possível, tal que todos os mercados se equilibrem em cada região: ou seja, (6) e (7) valem; cada firma f K r maximiza seu lucro ao escolher a localização e um plano de produção factível π fr = p r y fr R r l fr p r ŷ fs R rˆl fs para todo (ŷ fs,ˆl fs ) Y fs e s M.
O Teorema da Impossibilidade Espacial cada família h N r maximiza sua utilidade ao escolher a localização e o plano de consumo sujeito à restrição orçamentária: U hr (x hr, l hr ) U hs (ˆx hs,ˆl hs ) para todo (ˆx hs,ˆl hs ) X fs e s M, tal que p r x hr + R r l hr ω h + R r λ hr + θ hf π fr + θ ht π t r M r M f K r onde θ hf é a parcela da família h nos lucros das f s firmas e θ ht é a parcela da família h no lucro do transportador π t ;
O Teorema da Impossibilidade Espacial o transportador maximiza suas receitas ĺıquidas definida como π t = r M p r s M,s r E sr p r s M,s r E rs + p r s M,s r y tsr R r s M,s r ou seja, em cada região r M o transportador recebe o montante referente às importações realizadas para r aos preços vigentes nessa região e paga esses mesmos preços para o montante exportado para todas as demais regiões s M. Nessa atividade ele consome bens e terra. l tsr
O Teorema da Impossibilidade Espacial O espaço é considerado homogêneo quando a função de utilidade U h e o conjunto de consumo X h é o mesmo independente da região onde a família h resida e o conjunto de produção Y f é independente da região escolhida pela firma f. Em outras palavras, consumidores e produtores não têm nenhuma preferência intrínseca por nenhuma das regiões.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Suponhamos que o espaço seja homogêneo. O lucro da firma f localizada em uma região i M é dado pela seguinte expressão: π fi = p i y fi R i l fi (8)
O Teorema da Impossibilidade Espacial Sendo o espaço homogêneo, o plano de produção (y fi, l fi ) é também possível na região j i. Se a firma f se localizar então na região j com a mesma planta produtiva de i seu lucro será, então π fj = p j y fi R j l fi (9) Dessa forma, podemos definir uma função de incentivo para a firma se mover de j para i como sendo a diferença nos lucros recebidos em cada uma das duas regiões: I f (i, j) = π fi π fj = (p i p j )y fi (R i R j )l fi (10)
O Teorema da Impossibilidade Espacial Consideremos agora a família h residente em uma região i R. Descontada a parcela dos lucros das firmas e a renda da terra recebida pelas famílias, que é independente do lugar de residência, a renda residual da família é definida pela expressão: B hi = p i (ω h x hi ) R i l hi (11) Se essa família decidir se localizar na região j i com o mesmo plano de consumo ela derivará uma utilidade de (x hi, l hi ) e, portanto, somente a renda residual na região j importará: B hj = p j (ω h x hi ) R j l hi (12) De maneira análoga à firma, e se não há saciedade, podemos definir uma função de incentivo para a família se mover de j para i como sendo a diferença na renda residual recebida em cada uma das duas regiões: I h (i, j) = B hi B hj = (p i p j )(ω h x hi ) (R i R j )l hi (13)
O Teorema da Impossibilidade Espacial Podemos, finalmente, definir o incentivo agregado para que todas as firmas e consumidores se movam para todos os possíveis pares de região como sendo: I = [ ] I f (i, j) + I h (i, j) (14) j i f K r h N r
O Teorema da Impossibilidade Espacial Substituindo as equações (10) e (13) em (14), somando para todas as firmas e famílias em uma mesma região e considerando r = i e s = j, teremos: I = i (p i p j ) y fi + (ω h x hi ) (R i R j ) l fi + l hi j f Kr h Nr f Kr h Nr (15) Em (15) substituímos (6) e (7), que são as condições necessárias para uma alocação de equiĺıbrio. Essas equações são restrições físicas que esgotam tanto os bens produzidos quanto a terra disponível. I = (p i p j ) (E ij y tij E ji ) + (R i R j ) l tij + φ i L i j j M,j i j M,j i onde φ i é a parcela de terra ociosa na região i M. (16)
O Teorema da Impossibilidade Espacial Seguindo Starret (1978), podemos separar a expressão (16) da seguinte forma: onde I 1 = j I 2 = j i i p j p i I = I 1 + I 2 (E ij y tij E ji ) R j l tij + φ i L j M,j i j i j M,j i (E ij y tij E ji ) + R i j i l tij + φ i L j M,j i j M,j i
O Teorema da Impossibilidade Espacial Tomando I 1, I 1 = p i (E ji + y tij E ij ) j i j M,j i j R j φ i L j i j M,j i R i i j M,j i l tij + pode-se notar que o primeiro somatório do termo à direita da igualdade, juntamente com o segundo, é M vezes a receita ĺıquida do transportador. Dessa forma, podemos escrever I 1 como sendo: I 1 = Mπ t j R j (φ i L) i
O Teorema da Impossibilidade Espacial Em I 2, I 2 = j p i (E ij y tij E ji ) + j i j M,j i R i i j M,j i l tij + φ i L rearranjando o somatório e cancelando os termos que se anulam teremos: I 2 = p i y tij + R i l tij + R i (φ i L) i j j i i j j M,j i j M,j i
O Teorema da Impossibilidade Espacial Finalmente, recombinando I 1 e I 2, teremos I M = πt + i j 1 M p i j M,j i y tij + i j R i M i M,i j l tij + φ i (17) em que, para chegarmos a esse resultado, consideramos R i φ i = 0, uma vez que quando existe um montante de terra ociosa em um dada região a renda dessa terra não pode ser positiva; e como consideramos que todas as regiões têm a mesma dotação L de terra, a soma dos termos que multiplicam L em I 1 e I 2 se anulam.
O Teorema da Impossibilidade Espacial I M = πt + i j 1 M p i j M,j i y tij + i j R i M i M,i j l tij + φ i Analisando (17) pode-se perceber que o incentivo agregado à relocalização em um modelo com espaço homogêneo e indivisibilidade é não-negativo. Como o transportador é um agente maximizador de lucros, π t não pode ser negativo. Por seu lado, y tij foi definido como não-positivo, de modo que algum elemento desse vetor deve ser negativo. Finalmente, o último termo não pode conter elementos negativos. De modo que todos os elementos de 17 são não negativos e pelo menos um será positivo.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Teorema da impossibilidade espacial Em uma economia com número finito de localidades, consumidores e firmas, se o espaço é homogêneo, existe custo de transporte e as preferências são localmente não saciadas, não há um equiĺıbrio competitivo envolvendo transporte.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Se houver divisibilidades, um equiĺıbrio existirá e cada localidade operará como uma autarquia (Koopmans and Beckmann, 1957). Entretanto, com indivisibilidades haverá custo de transporte de bens ou pessoas entre regiões de algumas localidades. Se este é o caso, o teorema da impossibilidade espacial estabelece que não existe um equiĺıbrio.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Fujita and Thisse (2002) exploram ainda mais esse resultado. Com regiões não autárquicas, o vetor de preços que equilibra o sistema desempenha um papel duplo. Primeiro ele garante a existência de comércio entre as regiões equilibrando ambos os mercados. Segundo, ele torna inviável que as firmas e famílias se realoquem no espaço. Com espaço homogêneo, é impossível que o vetor de preços cumpra esses dois papéis.
O Teorema da Impossibilidade Espacial Para exemplificar o seu ponto, Fujita and Thisse (2002) consideram a seguinte situação particular: Suponha a produção de uma unidade do bem i por uma firma tanto na localidade A quanto na localidade B. Por simplicidade assuma que o custo desses insumos é o mesmo nas duas localidades Suponha também que o preço desse produto é a unidade O bem é comercializado entre as regiões de acordo com uma tecnologia de transporte do tipo iceberg: quanto x i unidades do bem se desloca entre A e B somente uma fração x i /Υ chega no destino, em que Υ > 1, o restante se dissolve no caminho
O Teorema da Impossibilidade Espacial Se a firma se localiza em A e produz e vende uma unidade do produto a localidade B (ponto E na figura); Somente a fração 1/Υ chega à localidade B (ponto F na figura); Desse modo, o segmento EF representa o conjunto de produção comercializável factível para a firma em A; Caso ela se localize em B, o conjunto factível é E F ; Mas, antes de decidir sua localização, seu conjunto factível é dado pela união dos dois triângulos; Caso a firma esteja em A e venda seu produto para as duas regiões, o vetor de preços (p ia, p ib ) deve ser tal que p ia /p ib = 1/Υ Contudo, sobre esses preços é claramente mais vantajoso localizar-se em B; Isso significa que não há um vetor de preços sob concorrência que possibilite ao mesmo tempo a maximização de lucros e o comércio; Essa dificuldade decorre da não convexidade do conjunto de escolha factíveis sob comércio.
Exemplos Exemplos Considere o caso de uma economia formada por dois grupos de agentes tal que internamente ao grupo os agentes tenham ligações muito fortes Cada grupo produz um bem final distinto e necessário ao consuno dos dois grupos Com baixo custo de tranporte, pode-se esperar que cada grupo concentre-se em uma região distinta No caso de espaço homogêneo,não há um sistema de preços que dê suporte a uma configuração espacial natural Ademais, se os grupos decidem aglomerar-se em uma mesma região, essa situção não será um equiĺıbrio quando a utilidade marginal da terra for positiva para no mínimo um agente
Exemplos Considere uma economia com duas regiões (A e B), duas firmas (1 e 2) e dois trabalhadores (a e b) As regiões têm o mesmo montante de terra (S) Os trabalhadores h = a(b) são dotados de uma unidade de trabalho do tipo i = 1(2) juntamente com metade da terra disponível em cada localidade e metade dos lucros de cada uma das firmas. Os dois trabalahdores têm a mesma função utilidade em que U = x β/2 1 x β/2 2 s 1 β, 0 < β < 1 (18) x i é o consumo do bem i = 1, 2 e s é o consumo de terra
Exemplos A firma f = 1, 2 produz o bem i = f em uma única região usando dois insumos: um montante fixo de terra, s, e um montante variável de trabalho do tipo i, l i, adquirido na mesma região em que se encontra. Sua função de produção é dada por Q i = l α i, 0 < α < 1 (19) Há um custo de tranporte do tipo iceberg no comércio entre as regiões
Exemplos Seja p ir, w ir e R r os preços do bem i, a taxa de salário do trabalho do tipo i e a renda da terra na localidade r, respectivamente. Se a firma i se localiza em r, seu lucro é π ir = p ir Q i w ir l i R r s (20) Se a firma é competitiva e maximiza π ir, então αp ir l α 1 i = w ir (21)
Exemplos Seja Y r a renda do total do trabalhador que reside em r. Então, usando (18), obtem-se x ir = β 2 Y r p ir (22) s r = (1 β) Y r R r (23) Usando a restrição relativa ao estoque de terra (S = s r + s), junto com (23) R r = (1 β)y r S s (24)
Exemplos Uma vez que firma f usa somente um tipo de trabalho, é razoável esperar que a firma se localize próximo do trabalhador do tipo i específico, em equiĺıbrio. Como as duas regiões são idênticas, há somente dois possíveis candidados a equiĺıbrio: 1. Dispersão: a firma 1 e o trabalhador a localizam-se em A, ao passo que afirma 2 e o trabalhador b em B 2. Aglomeração: ambas as firmas e trabalhadores localizam-se em uma única região Nós agora consideraremos cada configuração para examinar se é suportada por um sistema de preços competitivos.
Exemplos Dispersão Dispersão Dada a simetria do problema, em equiĺıbrio deve valer onde se escolheu o salário como numerário w 1A = w 2B = 1 (25) Como todo o trabalho é utilizado em equiĺıbrio, também se pode escolher l i = 1. Incluindo esse fato em (21) e usando (25), chega-se em p 1A = p 2B = 1/α (26) E, desde que a tecnologia de transporte é do tipo iceberg, com parâmetro Υ > 1, então p 1B = p 2A = Υ/α (27)
Exemplos Dispersão Incluindo l i = 1 em (19) A demanda total pelo bem 1 é Q 1 = Q 2 = 1 (28) D 1 = x 1A + Υx 1B, (29) onde o último termo representa a quantidade do bem 1 que precisa ser enviada de A para que os consumidores em B consumam x 1B. Substituindo (22) nessa equação e usando (26) e (28), então D 1 = D 2 = αβy, (30) onde Y é a renda comum às duas localidades.
Exemplos Dispersão Então, igualando oferta e demanda (D i = Q i ) e usando (26)-(28) R A = R B = 1 1 β αβ S s (31) π 1A = π 1B = 1 βs s αβ S s 1 (32) x 1A = x 2B = 1 2 x 1B = x 2A = 1 2Υ (33) (34) No equiĺıbrio cada firma tem um lucro não negativo se e somente se α S s/β (35) S s Essa condição é válida quando s é um número muito pequeno
Exemplos Dispersão O incentivo para que a firma 1 mova-se de A para B é dado por I 1 (A, B) = π 1B π 1A (36) = (p 1B p 1A )Q 1 (w 1B w 1A ) por que R A = R B De forma semelhante, o incentivo para que o trabalhador a mova-se de A para B é definido como I a(a, B) = B 1B B 1A (37) = (w 1B p 1B x 1A p 2B x 2A ) (w 1A p 2A x 1A p 2A x 2A ) = (w 1B w 1A ) (p 1B p 1A )x 1A (p 2B p 2A )x 2A
Exemplos Dispersão Somando essas duas expressões I (A, B) = (p 1B p 1A )(Q 1 x 1A ) (p 2B p 2A )x 2A (38) = (p 1B p 1A )Υx 1B (p 2B p 2A )x 2A = p 1A (Υ 1)Υx 1B + p 2B (Υ 1)x 2A > 0 Usando (29) e (28) Portanto, no mínimo a firma ou o trabalhador têm um incentivo em se mover de A para B, por que Υ > 1. Consequentemente, o equiĺıbrio com dispersão não é um equiĺıbrio competitivo
Exemplos Aglomeração Aglomeração Considere-se agora o caso em que todos os agentes concentram-se em uma única região, digamos A Usando a condições de equiĺıbrio de (21) a (24) Nesse caso, pode-se verificar que w 1A = w 2A = 1 (39) p 1A = p 2A = 1/α Q 1 = x 1A = Q 2 = x 2A = 1 2αβ(1 β) R A = e R B = 0 S s π 1A = π 2A = 1 βs s αβ S s 1
Exemplos Aglomeração Como (32) e (40) são iguais, um equiĺıbrio competitivo, no caso de aglomeração, também se verificará quando (35) valer Como todos os agentes se localizam em A eles não comercializam com B Nesse caso, dado qualquer salário e preços de equiĺıbrio em B, quando os agentes se moverem para B todos os termos relacionados às transações entre eles se cancelam Portanto, o incentivo agregado para todos os agentes moverem-se de A para B é igual ao custo da terra poupada I (A, B) = (R A R B )S (40) = R A S > 0 Portanto, aglomeração também não é um equiĺıbrio espacial competitivo
Corolários 1. O Teorema da Impossibilidade Espacial por si só não assegura aglomeração de pessoas em um único ponto do espaço, o que é um resultado muito estranho 2. Na verdade, se um equiĺıbrio espacial competitivo existe, então o teorema implica que não há custo de transporte entre as regiões 3. Uma implicação importante, utilizada para a dedução do resultado, é que, em um equiĺıbrio competitivo, com espaço homogêneo, se há terra vazia em uma das regiões, então a renda da terra deve ser zero nas duas regiões 3.1. No caso de um equiĺıbrio com aglomeração de todas as pessoas na região A, por exemplo, a região B ficaria vazia e a renda da terra seria igual a zero nas duas regiões
Corolários 4. Esse é um caso particular de uma situação mais geral decorrente do teorema, qual seja 5. Se há um equiĺıbrio competitivo com espaço homogêneo, então a renda da terra deve ser a mesma nas duas regiões 5.1. Em outras palavras, com espaço homogêneo o equiĺıbrio competitivo é incapaz de explicar por que a renda da terra é maior em uma aglomeração econômica (como as cidades, um central business district ou um cluster industrial) 5.2. Isso implica que o modelo também não explica a pendularidade (uma forma espacial de comércio) entre cidades
Conclusões Retomando (5), Heffley (1972) sugere alterar o pressuposto de que M i=1 a i seja constante independente do arranjo escolhido. Tal mudança, contudo, implicaria alterar as condições (8,) (9), (11) e (12), uma vez que não seria mais possível para uma firma ou família replicar em uma outra localidade qualquer, a planta ou cesta de consumo escolhida para essa localidade específica. Dito de outra forma, a receita obtida pela firma não seria mais independente de sua escolha locacional.
Conclusões Para melhor visualizar essa situação encaremos que, como sugerido por Koopmans and Beckmann (1957), a para cada firma i seja a receita da firma ĺıquida de todos os custos envolvidos na produção que não o custo de transporte. Ou seja, a i é a receita da firma pela venda de seu produto, ĺıquida dos custos diretos de produção e dos eventuais custos fixos incorridos para sua instalação e manutenção de sua planta. Dessa forma a i (i) = p i (y i )y i c i (y i ) onde p i é o preço CIF recebido pela firma que agora é uma função impĺıcita das quantidades produzidas na localidade que maximiza seus lucros e c i são os custos incorridos na produção do bem (que também é uma função das quantidades produzidas na localidade ótima).
Conclusões O que Heffley questiona no problema colocado por Koopmans e Beckmann é que y i resulta da solução para um problema de escolha racional da firma e que esta escolherá aquela região onde seu lucro é máximo. Dito de outra forma, a para cada firma i assume diferentes valores no espaço e a firma racional tem essa informação e a utilizará para realizar sua escolha. Embora o autor não explicite, tal consideração, no entanto, implica abandonar o pressuposto de espaço homogêneo, pressuposto que está impĺıcito no problema quadrático da localização.
Conclusões A solução proposta por Heffley é particularmente interessante, pois pode ser tratada em um modelo neoclássico com tecnologia disponível às firmas de qualquer localidade. Com heterogeneidade, a combinação de fatores que determina a i é específica em cada região, e dependerá da dotação de fatores dessa região. Diferenças de produtividade e o fenômeno da aglomeração, no entanto, acabariam por ser explicado por razões não-econômicas, como a dotação de um recurso natural específico de uma região etc.
Conclusões Outra solução igualmente possível é preservar o pressuposto de espaço homogêneo e trabalhar com uma função de produção com retornos crescentes à escala. Esse pressuposto é particularmente interessante, pois gera, no interior de um modelo econômico, o fator relevante para pressupor que a i não seja constante no espaço - cada região teria um diferencial importante dado não pela dotação inicial de fatores, mas sim pela sua capacidade de acumular o fator relevante para os retornos crescentes - trabalhador, capital por trabalhador, capital humano etc. Por outro lado, existe uma dificuldade grande de se trabalhar com modelos que abandonem os retornos constantes à escala dentro de um arcabouço de equiĺıbrio geral.
Conclusões A possibilidade de retornos crescentes no nível da firma, por exemplo, confere à mesma um poder de monopólio que afetaria o vetor de preços e a solução de equiĺıbrio. Vários modelos, em várias áreas da economia foram propostos assumindo não-homogeneidade de grau um na função de produção. A grande maioria trabalhando com equiĺıbrio parcial. Particularmente, nos estudos de economia regional, uma tentativa bem sucedida de modelagem dos retornos crescentes em um modelo de equiĺıbrio geral foi proposta por Henderson (1974).
Starret, D. (1978). Market allocations of location choice in a model with free mobility. Journal Of Economic Theory 17: 21 37. Economia Espacial Aula 2: O problema quadrático da escolha e localização e o Teorema da Impossibilidade Espacial Fujita, M. and Thisse, J.-F. (2002). Economics Of Agglomeration: Cities, Industrial Location, And Regional Growth. Cambridge University Press. Heffley, D. (1972). The quadratic assignment problem: A note. Econometrica 40: 1155 63. Henderson, J. V. (1974). The sizes and types of cities. American Economic Review, 64: 640-656. 64: 640 656. Koopmans, T. C. and Beckmann, M. (1957). Assignment problems and the location of economic activities. Econometri 25: 53 76. Samuelson, P. A. (1952). The transfer problem and transport costs. Economic Journal 62: 278 304.
Economia Espacial Aula 2: O problema quadrático da escolha e localização e o Teorema da Impossibilidade Espacial André Luis Squarize Chagas achagas@usp.br 12 de agosto de 2016