PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE ENGENHARIA 44646-04 SISTEMAS ROBOTIZADOS (Eng. Controle e Automação) Prof. Felipe Kühne Exercício Resolvido Cinemática direta para o manipulador Stanford O manipulador Stanford foi desenvolvido entre as décadas de 60 e 70 na Universidade de Stanford (EUA), no Laboratório de Inteligência Artificial (Stanford Artificial Intelligence Lab - SAIL). Ele possui seis graus de liberdade, sendo os três primeiros no corpo do manipulador e os três últimos formando um punho esférico. A terceira junta é prismática, conferindo a este manipulador a geometria de um robô esférico. Ao lado uma ilustração do volume de trabalho do mesmo. 1
Para resolvermos o problema da cinemática direta deste robô, faz-se um desenho simplificado do mesmo, representando os membros, juntas e os parâmetros construtivos, conforme a Figura 1 abaixo. Figura 1: Esquema dos membros e juntas do manipulador Stanford. É importante destacar na anatomia deste manipulador a existência de um punho esférico, formado pelas últimas três juntas e pelos membros 4 e 5. A principal característica deste componente é que os eixos das juntas 4, 5 e 6 se interceptam em um único ponto (figura abaixo), chamado centro do punho. Este ponto tem especial importância no cálculo da cinemática inversa do manipulador, tornando possível a simplificação do problema. Assim, para um robô com seis juntas dotado de punho esférico (a configuração mais utilizada em processos industriais), diz-se que as três primeiras juntas são responsáveis pelo posicionamento do centro do punho, e as três últimas são responsáveis pela orientação do órgão terminal. Figura 2: Punho esférico. 2
Eixos das juntas e o sistema da base. Conforme a convenção de Denavit-Hartenberg, devemos, inicialmente, definir os eixos das juntas,,, e. A direção para onde os eixos apontam também é livre 1. Optaremos por, quando possível, apontar os eixos no sentido crescente das juntas do robô (da junta 1 para a 2, da junta 2 para a 3, e assim sucessivamente). Desenhando estes eixos no esquema, temos: Figura 3: Os eixos das juntas. Pode-se definir agora o sistema de coordenadas da base por completo, ou seja, a origem ( ) e os eixos e. Para este sistema de coordenadas, não existe qualquer restrição ou regra quanto a estas escolhas, entretanto o mais natural é posicionar coincidente com a base do robô, em sua origem. Obviamente, precisa ser perpendicular à e é escolhido de forma a completar um sistema de coordenadas tridimensional. O sistema de coordenadas completo da base é mostrado na figura ao lado. Origens dos sistemas de coordenadas. A origem do sistema de coordenadas 1,, é definido no ponto onde os eixos e se interseccionam. Os eixos e também se interseccionam. Assim, a origem é escolhida neste ponto de intersecção. 1 Esta escolha influencia nas matrizes parciais de transformação homogênea, ainda que o resultado final (a matriz de transformação homogênea total) deve ser o mesmo, para qualquer escolha dos eixos. 3
Figura 4: Origens dos sistemas 1 e 2. Os eixos e são paralelos e coincidentes. Assim, a normal comum entre estes dois eixos é nula. poderia estar posicionado em qualquer ponto sobre o eixo, ao longo dos membros 3, 4 ou 5. Entretanto, a escolha mais natural é posicioná-lo sobre a junta 4, conforme mostra a Figura 5. Figura 5: Sistema 3 na junta 4. Os eixos e são perpendiculares e coplanares, então é escolhido no ponto de intersecção entre estes dois eixos. A mesma regra é utilizada para a definição de, posicionado no ponto de intersecção entre e. Note então que, neste caso, a junta 6 não conterá nenhum sistema de coordenadas, já que coincide com. Esta escolha é conseqüência direta das condições DH1 e DH2: deve ser perpendicular a e também cruzar o mesmo. Figura 6: Eixos das juntas e origens dos sistemas de coordenadas. 4
Eixos e. Os eixos são perpendiculares e coplanares, ou seja, se cruzam em um ponto. Perpendicular ao plano formado pelos dois eixos (figura ao lado) e no ponto de intersecção, define-se. A escolha da direção do eixo é livre. Os eixos também são perpendiculares e coplanares, e e definido no ponto de intersecção, perpendicular ao plano. Os eixos são paralelos. Assim, a escolha de é feita apenas com base nas condições DH1 e DH2, ou seja, deve ser perpendicular a e cruzar o mesmo. Obviamente, a origem de é igual a. A escolha para a direção do eixo é livre. e são perpendiculares e coplanares. Assim, é definido no ponto de intersecção entre os dois eixos, perpendicular ao plano. A escolha da direção do eixo é livre. A mesma regra vale para o eixo. Assim, como e são coincidentes, e também o serão. Os eixos,,, e são escolhidos de forma a completar os sistemas de coordenadas tridimensionais, através da regra da mão direita. Figura 7: Sistemas de coordenadas completos. O sistema do órgão terminal. Todas as regras utilizadas até agora para a definição dos sistemas de coordenadas e posicionamento de cada eixo são válidas para as n juntas apenas, ou seja, do sistema de coordenadas 0 até o sistema 5. Temos que definir ainda o sistema de coordenadas do órgão terminal. Não existe nenhuma regra ou restrição com relação à escolha da origem ou dos eixos deste sistema, a não ser pelas condições DH1 e DH2, que diz, neste caso, que deve ser perpendicular a e cruzar o mesmo. Além disso, é comum o uso de algumas convenções para a escolha da origem e do eixo. A origem pode ser escolhida no ponto central do órgão terminal (por exemplo, o centro da garra). Geralmente em manipuladores industriais, a sexta junta é rotacional e paralela aos membros 5 e 6 do robô. 5
Assim, pode-se escolher o eixo paralelo e coincidente a, facilitando o cálculo da matriz de transformação homogênea ( ). é escolhido conforme DH1 e DH2 e também pode ser definido de forma a ser paralelo a. completa o sistema de coordenadas. Temos assim todos os sistemas de coordenadas definidos, da base até o órgão terminal, mostrado na Figura 8. Podemos agora preencher a tabela com os parâmetros DH. Figura 8: Manipulador com todos os sistemas de coordenadas definidos. Tabela de parâmetros DH. Com todos os sistemas de coordenadas inteiramente posicionados e definidos, podemos encontrar os parâmetros de Denavit-Hartenberg que serão utilizados para calcularmos as matrizes de transformação homogênea de cada junta e, por fim, a matriz de transformação homogênea total (a solução do problema da cinemática direta). Lembrando então das definições dos quatro parâmetros: (comprimento), (torção), (excentricidade) e (ângulo). : distância, ao longo de, de à intersecção entre e (ou a distância mais curta entre e ) : ângulo, em torno de, de a : distância, ao longo de, de à intersecção entre e : ângulo, em torno de, de a Organizam-se então estes dados na forma de uma tabela. Além dos parâmetros, adiciona-se a ela uma coluna indicando o valor inicial das variáveis das juntas, conforme desenho apresentado na Figura 1. O asterisco colocado ao lado de algum parâmetro indica que ele é uma variável da junta. Note então que todas as juntas são rotacionais à exceção da junta 3, que contém o parâmetro como variável. 6
i Valor inicial 1 0-90º 450mm * 0 2 0-90º 200mm * -90º 3 0 0 * 90º 350mm 4 0 90º 150mm * 0 5 0-90º 0 * 0 6 0 0 175mm * 0 Tabela 1: Parâmetros de Denavit-Hartenberg para o manipulador Stanford. Após termos definido os parâmetros para todas as juntas, podemos escrever uma matriz de transformação homogênea para cada junta, conforme definição abaixo: Onde se utilizam as notações e. Realizando as multiplicações, teremos: A matriz define a transformação homogênea do sistema para o sistema. Para determinar cada uma das matrizes referentes ao robô em estudo, substituem-se os valores encontrados na Tabela 1 para cada parâmetro na expressão acima. Assim, Para encontrar a matriz de transformação homogênea total (entre o sistema da garra e o da base), basta multiplicar as matrizes parciais: A matriz é a matriz da cinemática direta do manipulador. Assim, dado um conjunto de variáveis das juntas (, pode-se definir, por exemplo, a posição e orientação da origem do órgão terminal do robô no espaço de trabalho com relação à base. 7
Tomando como exemplo a configuração inicial do robô mostrado na figura, tem-se que: Mesmo antes de desenvolver o cálculo, pode-se antecipar o resultado para a posição da garra com relação à origem. Apenas observando a Figura 8 e com os valores dos comprimentos dos membros da Figura 1, notase que. Antes de tudo, temos que substituir os valores das variáveis das juntas matrizes de transformação homogênea parciais ( ): Fazendo, temos que: fazendo representa o centro da garra (igual à origem do sistema de coordenadas da garra). Então,, temos: Observe que esta informação está contida na própria matriz. Como o centro do órgão terminal é, obviamente, sempre, não há necessidade de se realizar o cálculo. Da mesma forma, a rotação do órgão terminal com relação à base ( ) também é determinada diretamente da matriz e, observando a Figura 8, podemos determinar que há, por exemplo, uma rotação de 90 graus em y e de -90 em z, resultando em. Assim, 8
Agora, como um exemplo, digamos que o robô encontra-se com a seguinte configuração: Pergunta-se: qual será a configuração do órgão terminal do manipulador para este conjunto de variáveis das juntas? Substituindo os valores das variáveis das juntas nas matrizes de transformação homogênea parciais ( ), temos que: Fazendo, temos que: A Figura 9 mostra a configuração do manipulador Stanford para as variáveis das juntas apresentadas no exemplo. 9
Figura 9: Configuração do manipulador para. 10
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