Aula 12 Cristiano Quevedo Andrea 1 1 UTFPR - Universidade Tecnológica Federal do Paraná DAELT - Departamento Acadêmico de Eletrotécnica Curitiba, Outubro de 2011.
Resumo 1 Introdução 2 3 4 5
Podemos melhorar a resposta transitória pela modificação dos pólos de malha fechada do sistema de controle. Considere as seguintes condições.
Podemos melhorar a resposta transitória, ou até mesmo corrigir o erro de regime por meio da inclusão de um controlador na configuração cascata ou na malha de realimentação.
Projeto do Compensador P Neste caso, o desempenho desejado do sistema em malha fechada pode ser atingido apenas por um compensador proporcional. Exemplo 1 Considere o seguinte sistema de controle: O sistema opera inicialmente com P = 841. Neste caso, os pólos de malha fechada são: s 1,2 = 10±j27, 2
Para o sistema ilustrado anteriormente temos: Te=0,4 segundos Potencial de overshoot igual a 31, 5%. 1.2 Amplitude 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Tempo [seg.]
Entretanto, neste sistema de controle é necessária uma porcentagem de overshoot de 6%, sem alterar o tempo de estabelecimento. Neste caso temos que determinar os pólos de malha fechada para a situação de 6% de overshoot. Então, temos que: Tempo de estabelecimento não muda: T e = 4 ζω n = 0, 4 ζω n = 10 P.O.=6% ζ = 0, 66, e deste modo: ω n 1 ζ2 = 11, 38 Portanto, os pólos de malha fechada para atender aos critérios de desempenho são: s 1,2compensado = 10±j11, 38
Neste caso, a pergunta é: os pólos compensados pertencem ao root-locus do sistema abordado? Caso eles pertençam, temos que obter o ganho K que permite que os pólos de malha fechada sejam 10±j11, 38. Caso estes pólos não pertençam ao root-locus, não existe um controlador K que obtenha o desempenho desejado, e neste caso temos que propor outro tipo de controlador. Temos que verificar se estes pólos pertencem ao root-locus do sistema por meio da condição de ângulo: θ = (2i + 1)180. 15 10 Pole-Zero Map s 1 = 10±j11, 38 Imaginary Axis 5 0 θ 1 θ 2-5 -10-15 -20-18 -16-14 -12-10 -8-6 -4-2 0 Real Axis
Então, θ 1 θ 2 = (2i + 1)180 mas, θ 1 = 49, 7 e θ 2 = 130, 3, logo a condição anterior é válida e este pólo pertence ao root-locus do sistema. Por fim, temos que determinar o valor do ganho K que leva os pólos de malha fechada em 10±j11, 38. Deste modo temos: KG(s)H(s) s= 10+j11,38 = 1 K 1 s(s + 20) = 1 s= 10+j11,38 K = 227
Resultado do Projeto Sistema Compensado 1.2 X: 0.2639 Y: 1.06 1 Amplitude 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 Tempo [seg.]
Existe projeto de controle no qual os critérios de desempenho são determinados por faixa, por exemplo: P.O. < 20%, T e < 2 segundos Neste caso temos que verificar se apenas o controle proporcional soluciona o problema. Considere para planta anterior a seguinte condição: P.O. < 16%, T e < 0, 8 segundos (Existe um K factível)
Existe projeto de controle no qual os critérios de desempenho são determinados por faixa, por exemplo: P.O. < 20%, T e < 2 segundos Neste caso temos que verificar se apenas o controle proporcional soluciona o problema. Considere para planta anterior a seguinte condição: P.O. < 16%, T e < 0, 8 segundos (Existe um K factível)
Considerando ainda o mesmo exemplo anterior, temos as seguintes condições: P.O. < 10%, T e < 0, 19 segundos. Neste caso não existe um K factível, e temos que propor outro tipo de controlador.
Podemos obter erro nulo meio da inclusão de um pólo em s = 0 na malha direta. O controlador PI pode atuar em regime permanente sem alterar as características do regime transitório. Considere o sistema ilustrado a seguir com uma resposta transitória adequada mas com erro em regime permanente.
A primeira idéia para corrigir o erro de regime é inserir um pólo em s = 0 (integrador) na malha direta, considerando que a entrada é degrau. Entretanto neste procedimento, existe a correção do erro de regime, mas a resposta transitória é alterada, e este efeito não é desejado.
Para solucionar este problema, devemos inserir um pólo na origem e também um zero bem próximo ao pólo (PI), conforme visto na figura a seguir:
Exemplo Considere sistema ilustrado abaixo. Neste caso deve-se corrigir o erro de regime sem alterar a resposta transitória: O sistema opera com um coeficiente de amortecimento de 0, 174, e a figura seguinte ilustra a adição de um compensador integral ideal para corrigir o erro de regime sem alterar a resposta transitória.
O compensador apresenta um pólo na origem e um zero em 0,1. Deste modo a contribuição angular do compensador para os pólos dominantes do sistema é praticamente nula, o que demonstra que a resposta transitória não sofre alteração. PROCEDIMENTO DE PROJETO G c (s) = s + 0,1 s Analisa-se os pólos de malha fechada do sistema sem compensação. Avalia-se o erro de regime estacionário do sistema sem compensação para uma entrada degrau unitária. Analisa-se o root-locus do sistema sem compensação
Neste contexto, o root-locus do sistema não compensado é:
Neste contexto, o root-locus do sistema não compensado é:
Neste contexto, o root-locus do sistema não compensado é:
Para o sistema não compensado, o terceiro pólo de malha fechada é: 11, 61. Calculando-se a constante de erro de posição, K p, temos que: K p = 8,23 Deste modo o erro de regime estacionário para uma entrada degrau unitário é: e( ) = 1 1+8,23 = 0,108 Para levar o erro a zero, foi inserido o compensador integral ideal descrito anteriormente.
O root-locus do sistema compensado é:
Resultado do Projeto PI
O resposta transitória de um sistema pode ser ajustada pela escolha adequada dos pólos de malha fechada. Se este pólo pertence ao root-locus, então um simples ajuste do ganho fornece a resposta transitória desejada. Se este pólo não pertence ao root-locus do sistema, então, deve-se realizar uma compensação do sistema de controle por meio da utilização de um controlador PD. O controlador PD pode ser representado pela seguinte função de transferência: G c (s) = s + z c Este controlador é denominado de controlador derivativo ideal, ou simplesmente controlador PD.
Exemplo Considere o seguinte sistema de controle dado pela figura abaixo: projetar um compensador derivativo ideal que mantenha o P.O. de 16%, com redução de três vezes tempo de estabelecimento. Primeiramente, analisando o desempenho do sistema não compensado temos o seguinte root-locus.
P.O.=16% ζ 0,504 Seguindo a linha para ζ = 0,504 e analisando-se a condição de ângulo ((2i + 1)180 ) para o cruzamento da linha de ζ com o root-locus temos os pólos de malha fechada: s = 1,205+j2,064.
Neste caso, o tempo de estabelecimento é: T e = 4 ζω n = 4 1,205 = 3,32 Assumi-se que o sistema responde de acordo com uma planta de segunda ordem, pois o terceiro pólo para K = 43,35 é 7,59. Assim, T e compensado = T e /3 = 3,32/3 = 1,107. T e = 4 ζω n ζω n = 4 1,107 = 3,613 Mas, ζ = 0, 504, então, ω n = 7,16. Portanto os pólos de malha fechada de projeto são: s 1,2 = ζω n ± jω n 1 ζ 2 = 3,613±j6,19
Analisando-se o root-locus do sistema não compensador observa-se que os pólos de malha fechada de interesse estão fora conforme visualizado na figura abaixo:
Assim, temos que inserir um compensador derivativo que faça o root-locus do sistema passe exatamente sobre o pólo desejado de projeto. A questão é: aonde alocar este zero do compensador. Neste caso, temos que inserir um zero de tal modo que a somatório de ângulos do sistema considerando o pólo desejado tem que ser (2i + 1)180. Assim aloca-se o zero em 3006. θ p θ z = 180 = 275, 6+θ z = 180 = θ z = 95,6
Assim, o root-locus do sistema compensado é: O ganho K que resulta nos pólos de malha fechada de projeto é obtido pela condição KG(s)H(s) s= 3,613+j6,19 = 1
Resultado do Projeto PD Uma vez projetado o controlador PD, podemos implementar este controlador como: ( G c (s) = K 1 s + K 2 = K 1 s + K ) 2 K 1 Neste exemplo: Cristiano, K 1 = Curitiba 1 e K 2 = Sistema 3,006. de Controle
Considere o controlador PID com a seguinte função de transferência. O diagrama de blocos do sistema de controle via PID é descrito a seguir:
PROCEDIMENTOS PARA O PROJETO PID 1 Analise o sistema não compensado e avalie o quanto a resposta do sistema deve ser alterada para atingir critérios de desempenho. 2 Projete o controlador PD para atingir o desempenho desejado em projeto. 3 Simule o sistema para verificar se as especificações de projeto foram atingidas. 4 No caso das especificações de projeto serem obtidas, projete o controlador PI para corrigir o erro de estado estacionário. 5 Determine os ganhos K 1, K 2 e K 3.
Exemplo Considere o sistema de controle dado abaixo: Projeto um controlador PID que proporcione a saída do sistema com o tempo de pico de 2/3 o tempo de pico do sistema não compensado e ainda que tenha 20 % de overshoot. Adicionalmente o sistema deve apresentar erro nulo de estado estacionário para entrada do tipo degrau.
PROCEDIMENTO 1 O P.O. de 20% implica em um ζ = 0,456. No processo de determinação do ângulo da reta que implica em um P.O. 20% temos: tan(θ) = 1 ζ 2 ζ = 1 0,456 2 0,456 θ = 117,13 Utilizando esta informação, e ainda realizando-se uma análise geométrica, pode-se determinar os pólos de malha fechada do sistema, deste modo tem-se: s 1,2 = 5,415±j10,57 neste contexto o ganho necessário para atingir estes pólos dominantes de malha fechada é 121,5.
O root-locus do sistema não compensado é ilustrado a seguir: Neste caso o tempo de pico baseado nos pólos dominantes é: π T p = ω = π = 0, 297 n 1 ζ 2 10, 57
O root-locus do sistema não compensado é ilustrado a seguir: PROCEDIMENTO 2 Neste caso o tempo de pico baseado nos pólos dominantes é: π T p = Imag(s 1,2 ) = 10,57 = π 10,57 = 0,297
O tempo de pico para o sistema compensado será 2/3 do tempo de pico do sistema não compensado. Assim: T p = π ω d π ω d = (2/3)0, 297 = 15,87 Imag. dos pólos dominantes do sis. compens ω d Como o sistema deve apresentar P. O. igual a 20%, temos que o ângulo do pólo dominante deve ser de 117,3. Logo, utilizando a parte imaginária do pólo de malha fechada dominante do sistema compensado e o ângulo de 117,3 podemos calcular a parte real destes pólos complexo conjugado. ω σ = d tan(117,3 ) = 8,13
Estrutura geométrica utilizada no projeto do PD. Neste contexto: Então: θ pólos +θ z = 180 198,37+θ z = 180 θ z = 18,37 15,87 z c 8,13 = tan(18, 37) z c = 55,92
Assim, o controlador PD é dado por G c (s) = (s + 55,92) O root-locus do sistema compensado com o PD é ilustrado a seguir:
PROCEDIMENTO 3 Depois do projeto do controlador PD deve-se determinar o controlador PI para corrigir o erro de regime do sistema para uma entrada degrau. Qualquer integrador ideal irá funcionar, desde que o zero seja alocado próximo a origem. Deste modo, utiliza-se o seguinte integrador ideal. G p (s) = s + 0,5 s Neste caso, para um coeficiente de amortecimento igual a 0,456 temos que os pólos de malha fechada do sistema compensado pelos controlador PD e PI é: 7,516±j14,67, com um ganho associado de 4,16.
Root-locus do sistema compensador pelo controlador PID
PROCEDIMENTO 4 Temos que determinar os ganhos para a implementação do controlador PID, assim, K(s + 55,2)(s + 0,5) G PID (s) = s = K(s2 + 56,42s + 27,96) s (1) Portanto podemos ter: K 1 = 259,5 K 2 = 128,6 K 3 = 4,6
Resultado do Projeto PID