Estatística de Extremos

Universidade de São Paulo PHD 3307 Hidrologia Aplicada Escola Politécnica Departamento de Engenharia Hidráulica e Ambiental Estatística de Extremos Aula 17 Parte 1 de 2 Prof. Dr. Arisvaldo Méllo Prof. Dr. Joaquin Bonnecarrere

Objetivos da Aula 1. Aprender os conceitos de período de retorno e risco 2. Conhecer aplicações em eventos extremos de cheias e estiagens. 3. Aprender conceitos de estatística descritiva: parâmetros da amostra e período de retorno amostral 4. Rever os conceitos de histograma, função densidade de probabilidade e função de probabilidades acumuladas. 5. Rever a distribuição normal.

Curva de Permanência vazões (m³/s) Curva de Permanência - Vazões Médias Mensais Guarapiranga 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% freqüência de excedência (%) exemplo: a vazão de 5,4 m 3 /s é igualada ou superada em 90% dos meses

Curva de Permanência - Limitação Vazões (m3/s) 25? 20 15 10 5 0 5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Frequência Freqüência de excedência de excedência (%) (%) Como se poderia obter a vazão Q 5 neste exemplo? A extrapolação gráfica poderia levar a erros muito grandes... 4

NAmax (m) Eventos Hidrológicos como Variáveis Aleatórias Dados hidrológicos apresentam variações sazonais que podem ser irregulares e onde ocorrem extremos e diferentes seqüências de valores variáveis aleatórias. 30 NA máximos anuais do Rio Negro em Manaus 28 26 24 22 20 1903 1908 1913 1918 1923 1928 1933 1938 1943 1948 1953 1958 1963 1968 1973 1978 1983 1988 1993 1998 2003 Variáveis hidrológicas estarão sempre associadas a uma probabilidade de ocorrência. Técnicas estatísticas podem ser aplicadas para avaliar a ocorrência de fenômenos hidrológicos com determinada magnitude.

São Paulo - 1887 Várzea do Carmo Militão Augusto de Azevedo Várzea do Carmo Fonte: exposição: Inundações em São Paulo

São Paulo - 1929 Autor desconhecido Fonte: exposição: Inundações em São Paulo

São Paulo - 1940 Rua da Cantareira Benedito Junqueira Duarte Fonte: exposição: Inundações em São Paulo

São Paulo - 1976 Iminência de Galgamento da Barragem do Guarapiranga

Paranapanema - 1983

Santa Catarina - 2008

São Paulo, 2009

Aplicações: dimensionamento de vertedores, canais de drenagem, obras de proteção contra cheias, etc... foto com vertedor, pode ser jurumirim ou outra do panema... 13

Também pode ser aplicada ao estudo de secas (Amazônia, 2005) 14

Conceito de Período de Retorno Período de Retorno (ou Tempo de Recorrência) é definido como o intervalo médio de tempo em que um dado evento é igualado ou ultrapassado. Numericamente é igual ao inverso da probabilidade. T 1 P Quando a ocorrência de um determinado evento está associada a um período de retorno igual a 50 anos, diz-se que tal evento deve ocorrer ou ser superado num tempo médio de 50 anos. Fica intrínseco que sua probabilidade de ocorrência é igual a 2% (em um ano QUALQUER). É um conceito probabilístico (não significa periodicidade!!!)

Conceito de Período de Retorno q q E T j q1 1 p n 1 p n j1 p p Probabilidade de não-ocorrência num ano Probabilidade de não-ocorrência em um período n ( n anos) 1 Probabilidade da cheia acontecer pela primeira vez (anos normais, j 1) e o último ano com cheia n X x p x E p 1 i1 i j j1 p p 2 1 j1 x i j 1 2 pp 31 p p 41 p 2 3 21 p 31 p 41 p p Valor esperado de uma variável aleatória (X) 3 p 2 1 x n 1 nx nn 1/ 2x nn 1n 2 com x 1 p e n 2 / 6 x 3 T T E x p 1 1 p p 1 2 1 1 p p 2 1 1 p = 2 1 p 2

Conceito de Risco Associado a um Período de Retorno q 1 T P q 1 P n 1 1 P n Período de retorno igual ao inverso da probabilidade de ocorrência; Probabilidade de não-ocorrência num ano; Probabilidade de não-ocorrência em um período n ( n anos); R 1 1 1 T n Probabilidade de ocorrência (uma ou mais vezes) de um determinado evento em um determinado período n chamado de horizonte de planejamento. Risco.

Exemplo Uma obra de proteção contra inundações foi projetada com período de retorno de 50 anos. Durante os primeiros 49 anos de operação da obra não se observou nenhuma vazão maior ou igual à vazão de projeto. A probabilidade de que no 50º ano ocorra uma vazão maior ou igual à vazão de projeto será? R 1 1 1 50 1 0,02 2%

Exemplo Qual o risco que a canalização do rio Tamanduateí tem de falhar pelo menos uma vez durante sua vida útil, estimada em 50 anos? A obra foi projetada para T = 500 anos. R 1 1 1 500 50 0,095 9,5%

Exemplo Qual o risco de ocorrência (uma ou mais vezes) de um determinado evento em um período igual ao seu período de retorno (n=t)? 5 anos: 50 anos: 100 anos: 1000 anos: R 1 R 1 R 1 R 1 5 1 1/ 5 0,672 67,2% 50 1 1/ 50 0,636 63,6% 100 1 1/100 0,634 63,4% 1000 1 1/1000 0,632 63,2% T lim R( T ) T lim 1 1 T 1 T 1 1 e 63,2%

Risco x T

repetindo: Período de Retorno é um conceito probabilístico, NÃO significa periodicidade!!! 22

Riscos Intrínsecos 1E-08 1E-07 1E-06 1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01 1E+00 casamento terminar em divórcio morrer fazendo roleta russa morte por câncer ter o carro roubado/furtado em São Paulo morrer de infarto morrer assasinado morrer em acidente de carro incêndio em casa (de qualquer proporção) ter a casa roubada/furtada morrer atropelado em São Paulo ser assaltado em São Paulo bater carro(dia de chuva) emsão Paulo bater carro(dia sem chuva) em São Paulo acidente doméstico (escada) acidente doméstico (garrafa) acidente doméstico (brinquedo) acidente doméstico (copo) acid.dom. (ferramenta elétrica) escorregar em tapete morte por acidente dom ser atingido por um raio ganhar na lot esportiva morte acid. aéreo acidente aéreo supersena ser atingido por avião RISCO DE VIVER

Qual é a vazão de projeto? É um dos problemas mais comuns (e importantes) em hidrologia, uma vez que involve diretamente as dimensões da obra (e portanto, seu custo) e o risco que esta obra tem de falhar durante sua vida útil. Valores usuais de T (anos) Obras de microdrenagem 2 a 10 Obras de macrodrenagem 25 a 100 Barragens 1000 a 10000

Determinação de Condições Extremas Em alguns estudos faz-se necessária a determinação de condições extremas, por exemplo a vazão de cheia com período de retorno de 10000 anos. Verifica-se também a necessidade de determinação de vazões mínimas, seja para fins de abastecimento, navegação, geração de energia, ambientais, etc.

Seleção da Amostra vazão (m³/s) Séries temporais: contínuas, máximos, mínimos, médias Vazões médias mensais do Guarapiranga: 1910-2004 60 50 40 30 20 10 0 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 tempo (meses)

Séries de vazões diárias

Séries de Vazões Máximas

Séries de Vazões Máximas Séries anuais: valores máximos de cada ano a partir de séries diárias (um ponto por ano => série de valores independentes)

Ano Calendário x Ano Hidrológico Máxima 1987 Máxima 1988 as máximas de 1987 e 1988 não são independentes...

Ano Hidrológico Ano calendário Ano hidrológico

Cálculo das Estatísticas Básicas Estatísticas são números calculados a partir de uma amostra de dados que resume características importantes de um conjunto de dados. Parâmetros estatísticos são características de uma população. média, desvio padrão, mediana, moda, assimetria... São utilizados na estimativa dos parâmetros das distribuições de probabilidades empregadas para o ajuste de dados hidrológicos amostrais, tais com chuvas intensas, níveis d água, vazões máximas e mínimas, etc.

Média vazão (m³/s) Vazões médias mensais do Guarapiranga: 1990-1999 50 x n i 1 n x i 40 30 20 10 0 01/1990 01/1991 01/1992 01/1993 01/1994 01/1995 01/1996 01/1997 01/1998 01/1999 tempo (meses) Mede a tendência central de uma distribuição

Médias mensais vazão (m³/s) Média das vazões mensais do Guarapiranga (1910-2004) 25 20 15 10 5 0 Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

Desvio Padrão f(x) s n i 1 x i x n 1 2 Mede o grau de dispersão em relação à média pequeno S grande S x

Mediana e Moda Mediana: corresponde a um percentil 50% (valor acima do qual situam-se metade dos dados) Moda: É o valor mais frequente Moda Moda Mediana Média 50% dos dados 50% dos dados

Coeficiente de Assimetria f(x) g n n i 1 x x 3 n 1 n 2s 3 i Mede a diferença entre os dois lados da distribuição em torno da média x g > 0 concentração de valores à direita g < 0 concentração de valores à esquerda

Cálculo das Estatísticas Básicas - Exemplo ano hidrológico Qmax Oct/38 Sep/39 575.5 média 517.6 Oct/39 Sep/40 415.4 máximo 1010.3 Oct/40 Sep/41 473.8 mínimo 235.8 Oct/41 Sep/42 461.4 desvio padrão 173.2 Oct/42 Sep/43 670.0 mediana 490.0 Oct/43 Sep/44 409.4 assimetria 0.59 Oct/44 Sep/45 350.0 curtose -0.01 Oct/45 Sep/46 318.4 Exemplo: Posto Fluviométrico Ponte Nova do Paraopeba (40800001) A=5762 Km² Oct/94 Sep/95 620.1 Oct/95 Sep/96 669.9 Oct/96 Sep/97 Oct/97 Sep/98 294.9 Oct/98 Sep/99 396.7 Oct/99 Sep/00 506.2 Oct/00 Sep/01 489.8 Oct/01 Sep/02 378.8 Oct/02 Sep/03 506.2 Oct/03 Sep/04 668.5 Oct/04 Sep/05 620.1 amostra e estatísticas

Histogramas

Distribuições de Probabilidade

Ordenando... Ordem cronológica Ano Qmáx 1990 1445 1991 1747 1992 1287 1993 1887 1994 1490 1995 3089 1996 1737 1997 2234 1998 1454 1999 1517 Ordem decrescente de Qmáx Ano Qmáx ordem 1995 3089 1 1997 2234 2 1993 1887 3 1991 1747 4 1996 1737 5 1999 1517 6 1994 1490 7 1998 1454 8 1990 1445 9 1992 1287 10

Probabilidade de uma vazão ser excedida... P i N i: ordem N: número de anos Ano Qmáx ordem Probabilidade 1995 3089 1 0.10 1997 2234 2 0.20 1993 1887 3 0.30 1991 1747 4 0.40 1996 1737 5 0.50 1999 1517 6 0.60 1994 1490 7 0.70 1998 1454 8 0.80 1990 1445 9 0.90 1992 1287 10 1.00 Incoerente!

Ordenação e Estimação Posições de Plotagem e Distribuição Probabilística Empírica seja x 1, x 2, x 3,..., x i,..., x n-1, x n uma série em ordem decrescente de N vazões (diária máxima em cada ano) a posição de plotagem do i-ésimo valor da amostra é a probabilidade empírica P(x i ) atribuída a esse valor x i (0 < P(x i ) < 1) Probabilidade de excedência ou posição de plotagem de Weibull (existem outras...): P( x i ) i N (para valores mínimos a série ficaria em ordem crescente...) 1

Probabilidade de uma vazão ser excedida... P i N 1 i: ordem N: número de anos Ano Qmáx ordem Probabilidade Tempo de retorno 1995 3089 1 0.09 11.0 1997 2234 2 0.18 5.5 1993 1887 3 0.27 3.7 1991 1747 4 0.36 2.8 1996 1737 5 0.45 2.2 1999 1517 6 0.55 1.8 1994 1490 7 0.64 1.6 1998 1454 8 0.73 1.4 1990 1445 9 0.82 1.2 1992 1287 10 0.91 1.1

Probabilidade de excedência

Vazões máximas do Rio Cuiabá Ano Q máx 1984 1796.8 1985 1492.0 1986 1565.0 1987 1812.0 1988 2218.0 1989 2190.0 1990 1445.0 1991 1747.0

Vazões máximas do Rio Cuiabá T = 5 anos => Q entre 2190 e 2218 m³/s Ano Vazão (m3/s) Ordem Probabilidade TR (anos) 1988 2218.0 1 0.11 9.0 1989 2190.0 2 0.22 4.5 1987 1812.0 3 0.33 3.0 1984 1796.8 4 0.44 2.3 1991 1747.0 5 0.56 1.8 1986 1565.0 6 0.67 1.5 1985 1492.0 7 0.78 1.3 1990 1445.0 8 0.89 1.1 48

Problemas com a probabilidade empírica... Se uma cheia de T = 100 anos ocorrer em uma série com 10 anos, será atribuído um período de retorno de 11 anos a esta cheia (!)? Como estimar vazões com T alto, usando séries de relativamente poucos anos? Supor que os dados correspondem a uma distribuição de frequência conhecida.

Distribuição Normal f Função de distribuição de probabilidade x 1 exp 2 2 x 2 2 F Função acumulada de probabilidades de não excedência x x f xdx PX x

Exemplo: chuvas totais anuais

Exemplo: chuvas totais anuais O total de chuva que cai ao longo de um ano pode ser considerado uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal. Esta suposição permite explorar melhor amostras relativamente pequenas, com apenas 20 anos, por exemplo.

Usando a distribuição normal: Calcular a média Calcular o desvio padrão Obter os valores de vazões para probabilidades associadas a cada período de retorno

Ajuste da Distribuição Normal aos dados do Rio Cuiabá de 1967 a 1999 Subestima!

Ajuste da Distribuição Normal aos dados do Rio Guaporé de 1940 a 1995 Subestima!

Problema a distribuição de frequência de vazões máximas não é normal...

Exercício