Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral I o Sem. 05/6 - LEAN, LEMat, MEQ FICHA 8 Regra de Cauchy. Estudo de funções. a. a) b 0 é uma indeterminação do tipo 0. Pela Regra de Cauchy, já que o 0 ite à direita eiste: a b 0 0 ln a a ln b b = ln a ln b = ln a b. ln(+e b) ) + é uma indeterminação do tipo. Pela Regra de Cauchy (duas vezes), já que o ite à direita eiste: ln( + e ) + + e + + e = + e + e =. arcsen() c), é uma indeterminação do tipo 0. Usando a Regra de Cauchy (já 0 0 que o ite à direita eiste): arcsen() 0 0 =. arctg( ) d) é uma indeterminação do tipo 0 0. Fazendo y = 4 0 e usando a Regra de Cauchy (o ite à direita eiste): arctg( ) 0 4 y 0 + arctg(y) y y 0 + + y y = +. arctg e) + sen é uma indeterminação do tipo 0. Fazendo y = / e usando a Regra 0 de Cauchy, já que o ite à direita eiste: arctg + sen y 0 arctg y sen y y 0 + y cos y =.
f) (ln ln ln ) é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo ln ln ln ln ln ln temos uma indeterminação do tipo, e pela Regra de Cauchy, já que o ite à direita eiste, ln ln ln ln ln ln = 0. g) 0 + e / é uma indeterminação do tipo 0 0. Escrevendo e / 0 + 0 + e, / temos uma indeterminação do tipo, e pela Regra de Cauchy, uma vez que o ite à direita eiste, 0 + e/ e/ 0 + 0 + = 0. e/ (Nota: a Regra de Cauchy aplicada directamente a 0 + e / questão... ) h) 0 e / 0 e / = + =. (Note que a Regra de Cauchy não é aplicável!) não simplifica a i) 0 + sen sen 0 + sen = 0 = 0. sen (Note que não eiste 0 + j) 0 0 5 = ln. ( sen ) (sen ) logo a Regra de Cauchy não é aplicável.) sh sen k) é uma indeterminação do tipo 0. Aplicando a Regra de Cauchy 0 3 0 (três vezes), já que o ite à direita eiste: sh sen 0 3 0 ch + cos 6 = 3. l) + é uma indeterminação do tipo. Aplicando a Regra de Cauchy (duas vezes), já que o ite à direita eiste: + ln + m) = 0 0 = 0. (ln ) + = +.
n) + ln sen é uma indeterminação do tipo 0. Temos, fazendo y = e usando a Regra de Cauchy (o ite à direita eiste): ln sen + ln y sen y + já que y 0 sen y y y 0 =. y 0 + ln y sen y y 0 + y cos y sen y y 0 + o) 0 + ln sen é uma indeterminação do tipo 0. Temos fazendo y =, (como alínea anterior). ln sen ln y sen y ln y sen y = 0 0 + y 0 + y 0 + p) ; q) a /b ; r) 0; s) ; t) 0; ( ) u) ( ) cos = 0, por enquadramento, já que ( ) 0, e 0 < cos <, logo ) 0 < ( ) ( cos < ( ). (A Regra de Cauchy não é aplicável.) ( v) ( ) cos + fazendo y =, ( ) + w) + ; ) 0; y) ; z). ), é uma indeterminação do tipo 0. Temos, ( cos ) cos y y 0 y. a) + ln ln é uma indeterminação do tipo. Temos y 0 sen y y =. ln ln eln(ln ln ) eln(ln ) ln = e + ln(ln ) ln. + + + Como + ln(ln ) ln = 0 (eercício anterior.f) logo ln ln = e 0 =. + sen y y cos y = 0 3
b) + é uma indeterminação do tipo 0. Temos + + eln ( ) e ln = e + ln. + Agora, + ln + ln é uma indeterminação do tipo e aplicando a Regra de Cauchy, já que o ite à direita eiste, Logo, + ln = + = 0. = e 0 =. + c) 0 + (sen ) sen é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos (sen )sen = e 0 + sen ln sen. 0 + Temos que 0 + sen ln sen 0 + ln sen sen. Aplicando a Regra de Cauchy (ite à direita eiste) Logo ln sen 0 + sen 0 + cos sen cos sen (sen )sen = e 0 =. 0 + é uma indeterminação do tipo sen = 0. 0 + d) + (ln ) é uma indeterminação do tipo 0. Temos + (ln ) = e + ln ln. Agora + ln ln ln ln + é uma indeterminação do tipo e temos logo + (ln ) =. e) (cos ) 0 ln ln + + ln = 0 é uma indeterminação do tipo 0. Temos (cos ) 0 = e ln cos 0 = e = e já que ln cos 0 sen cos 0 =. 4
( f) sen ) ln + ln + é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos ( sen ) ln + ( ln sen = e + ln ) = e já que, fazendo y = /, e pela Regra de Cauchy, já que o ite à direita eiste, ( sen ) ln y 0 + ln (sen y) ln y y 0 + cos y sen y y y 0 + y cos y sen y =. g) e ; h) ; i) e; j) ; k) ; l) ; m) e 3 ; n) e ; o) ; p) ; q); r) ; s) e ; t) ; u). 3. a) Para p =, aplicando a Regra de Cauchy, temos e p Assumindo por hipótese de indução que usamos de novo a Regra de Cauchy para calcular b) como a) p+ e (p + ) p e = (p + ) 0 = 0. c) como a), notando que 0 + (ln ) p 0 + e = 0. = 0 para um dado p N, e (ln ) p. 4. 0 sen é uma indeterminação do tipo 0 0. Temos que 0 sen e sen ln = e 0 sen ln. 0 Vamos calcular 0 sen ln, que é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo sen ln = ln ficamos com uma indeterminação do tipo e podemos usar a Regra sen de Cauchy: ln 0 sen Logo, 0 sen = e 0 =. 0 cos sen sen 0 cos sen 0 sen cos = 0 = 0. Pela definição de ite segundo Heine, como 0, temos agora n ( ) sen n =. n 5
5. a) f é diferenciável no ponto uma vez que é dada, numa vizinhança de, pela função arctg que é diferenciável no seu domínio (por ser a composta de uma função trigonométrica inversa com uma função racional). Temos ( arctg ) = + ( ) = +, logo f () =. A tangente ao gráfico no ponto é a recta y = f() + f ()( ) = π 4 ( ) = π 4 +. b) Em primeiro lugar, para f ser diferenciável em 0, f tem que ser contínua em 0. Logo, como f(0) = a e f() arctg 0 + 0 + = π, resulta que f é contínua em 0 sse a = π. Quanto à diferenciabilidade, e f e(0) 0 f() f(0) 0 f d(0) 0 + f() f(0) 0 Como se trata de uma indeterminação do tipo 0 0 Assim, como (arctg π ) 0 + () b 0 = b arctg π. 0 +, tentemos usar a regra de Cauchy. 0 + = + =, deduz-se que f d (0) = e que f é diferenciável em 0 sse a = π e b =. c) Se a < 0, então numa vizinhança de a f é dada pela função polinomial π, que é diferenciável. Logo f é diferenciável em ], 0[. Se a > 0, então numa vizinhança de a, f é dada pela função arctg, que é diferenciável no seu domínio R \ {0}. Concluimos que f é diferenciável em a se a > 0 e, portanto, f é diferenciável em ]0, + [. Como para a < 0, f (a) = b =, temos { se 0 f () = se > 0 + Para ver se f é de classe C, ou seja, se f é contínua: temos que f é contínua em R \ {0} (justifique). No ponto 0: f () 0 + 0 + + = = f (0). Logo f é contínua em 0 e portanto é de classe C. 6
d) f é decrescente em R, não tem etremos. e) + f() + arctg = arctg(0) = 0 e f() π = +. O contradomínio é R + (justifique). 6. a) + f() =, + f() + e + = 0. (Justifique.) b) f é diferenciável em R \ 0 com derivada dada por ( f() = ln ( ) ) = se < < 0, ( e ) = e ( 3 ) se > 0. Temos f e(0) = 0 = f d (0), logo f é diferenciável em 0, com f (0) = 0. c) f é crescente em ], 0[ e em ]0, [, decrescente em ], + [, já que para < < 0 temos f () > 0 e para > 0, f () = e ( ) = 0 = ± logo tem um zero em e como f muda de sinal, é ponto de etremo, um máimo. d) CD f =], f()] (justifique). e) f d (0) f () f (0) 0 + f e (0) 0 + f () f (0) 0 + e ( ) = e, 0 + 7. f : R R definida por f() = e. =. a) f() e é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo e = e, ficamos com uma indeterminação do tipo, a que podemos aplicar a Regra de Cauchy (o ite à direita eiste): e ( ) (e ) e = 0. Como a função é par, + f() f() = 0. b) A função e é diferenciável em R e é diferenciável em R \ {0}. Logo, para 0, f é dada pelo produto de duas funções diferenciáveis, sendo portanto diferenciável. Para = 0: e 0 + e 0 + 7 e =, 0 +
e e 0 0 e =. 0 + Logo, f d (0) f e(0) e f não é diferenciável em 0. Conclui-se que o domínio de diferenciabilidade de f é R \ {0} e neste caso ) (e f = e ( ), se > 0, () = ) ( e = e ( ) se < 0. c) Para > 0: f () > 0 e ( ) > 0 < < > 0 0 < <, f () = 0 =, logo f é crescente em [0, ] e decrescente em [, + [. Para < 0: f () > 0 e ( ) > 0 ( < > ) < 0 < f ( ) = 0 logo f é crescente em ], ] e decrescente em [, 0]. Conclui-se que e são pontos de máimo, absolutos uma vez que f( ) = f(). Como f é decrescente em [, 0] e crescente em [0, ], temos também que 0 é ponto de mínimo, absoluto uma vez que f(0) = 0 e f() > 0, para 0. d) Temos da alínea anterior que f tem um máimo absoluto em, com f() = e e um mínimo absoluto em 0 com f(0) = 0, logo CD f = f(r) [0, e ]. Como f é contínua em [0, ], temos também, do Teorema do Valor Intermédio, que [0, e ] f(r). Logo o contradomínio de f é CD f = [0, e ]. 8. g : R R definida por: g() = onde α e β são constantes reais. { e + α + β se 0, arctg (e + e ) se > 0, a) Se g tem derivada finita em 0, será contínua em 0, logo g(0) = g(0 + ) = g(0 ), ou seja, g(0) = + β 0 + arctg ( e + e ) = arctg = π 4, logo β = π. Por outro lado, g é diferenciável em 0 logo 4 g e(0) = g d (0) e temos g e(0) 0 e + α + π 4 π 4 e + α = α +, 0 8
b) g d(0) 0 + arctg (e + e ) π 4 e e 0 + + (e + e ) = 0 (onde se usou a Regra de Cauchy na indeterminação 0 ) logo α =. 0 g() e + π 4 = + g() arctg ( e + e ) = π + +. c) g é diferenciável em R (justifique) e { e se 0, g () = e e se > 0. +(e +e ) d) Temos para 0: g () = e < 0 para qualquer < 0 e g (0) = 0. Logo g é decrescente em ], 0]. Para > 0: g () = > 0 e > e e > > 0. Logo g é e e +(e +e ) crescente em ]0, + [. Conclui-se que 0 é um ponto de mínimo absoluto, usando a continuidade de g em 0. e) Da alínea anterior temos que g(0) = π é um mínimo absoluto, logo g() π para 4 4 qualquer e CD g = g(r) [ π, + [. Por outro lado, 4 g() = + e[ g é contínua em ], 0]. Conclui-se do Teorema do Valor Intermédio que π, + [ g(r). 4 Logo o contradomínio de g é CD g = [ π, + [. 4 9. f() = e. a) f() e é uma indeterminação do tipo 0. Escrevendo e = temos uma indeterminação do tipo a que podemos aplicar a e Regra de Cauchy: e = 0. e Da mesma forma, f() = + + e + = + e = + = 0. e b) A função é diferenciável em R \ {0, } por ser dada nesse conjunto pelo produto de duas funções diferenciáveis: diferenciável em R \ {0} e e diferenciável em R \ {} (por ser a composta de duas funções: eponencial diferenciável em R e diferenciável em R \ {}). Em = : e + + e + 9 + e + ( ) = 0
(onde se usou a Regra de Cauchy para levantar a indeterminação 0 ) e da mesma 0 forma, e e e ( + ) =. Logo, f d () = 0 f e() = e f não é diferenciável em. No ponto 0, pode ver-se (justifique) que f d (0) = e f e(0) = e, logo f não é diferenciável em 0, e o seu domínio de diferenciabilidade é R \ {0, }. (e + ) = e + ( ), se >, f () = (e ) = e ( + ), se 0 < <, ( e ) = e ( + ), se < 0. c) Temos (justifique): f (0) = 0 =, estudando o sinal de f e usando a continuidade de f, f crescente em ], ] e em [0, ], f decrescente em [, 0] e em [, + [. Logo, é ponto de máimo, 0 é ponto de mínimo e é ponto de máimo. Como f(0) = 0 e f() > 0 para 0, 0 é mínimo absoluto. Por outro lado, f() = e f( ) = e <, logo é ponto de máimo absoluto, e consequentemente, é ponto de máimo relativo. d) Da alínea anterior, temos que 0 = f(0) é mínimo absoluto de f e = f() é máimo absoluto de f. Logo f(r) [0, ]. Como f é contínua em [0, ], do Teorema do Valor Intermédio, [0, ] f(r). Logo o contradomínio de f é CD f = f(r) = [0, ]. 0. f() = + arctg. a) f() = f() = + + arctg + arctg + + π =. + π = +. + b) A função arctg é diferenciável em R e a função é diferenciável em R \ {0}. Logo, para 0, arctg é dada pela composição de funções diferenciáveis, e é portanto diferenciável em R \ {0}, e também o será f(). Quanto a = 0: f d(0) 0 + + arctg 0 + + arctg = + 0 + + = 3 0
(onde se usou a Regra de Cauchy para levantar a indeterminação do tipo 0 resultante de arctg 0 +.) Por outro lado, 0 f e(0) 0 + arctg 0 + arctg( ) Logo, como f d (0) f e(0), f não é diferenciável em 0. Conclui-se que o domínio de diferenciabilidade é R \ {0}. Temos { f +, se > 0, + () =, se < 0. + = + 0 + =. c) Para > 0, f () = + > 0 para qualquer, logo f é crescente em ]0, + [. + Para < 0, f () = =. Temos + + f () = 0 = 0 < 0 =, e, como + > 0, f () > 0 para <, ou seja, f é crescente em ], ], e f () < 0 para < < 0, ou seja f é decrescente em ], 0[. Conclui-se assim que é ponto de máimo, relativo uma vez que + f() = +. Por outro lado, como f é contínua e decrescente em ], 0[, crescente em ]0, + [, temos que 0 é ponto de mínimo, de novo relativo uma vez que f() =. d) Temos f() = e f(0) = 0, e temos um máimo relativo em com f( ) = + arctg = + π > 0. Como f é crescente e contínua ] em ], ] ] temos que, pelo Teorema do Valor Intermédio, f(], ]) =, + π. Por outro lado, como f é decrescente e contínua em [, 0] temos que f([, 0]) = [ ] ] ] 0, + π. Logo f(], 0]) =, + π.. Do teorema de derivação da função composta, (ϕ()) = ( tg (g()) g()) = ( + tg (g()))g () g () = g ()( tg (g()) + ). Logo ϕ (0) = 0. Como g (0) = 0 e g é estritamente monótona, temos que g muda de sinal numa vizinhança de 0 (se g é crescente, g () < g (0) = 0, para < 0 e g () > 0 para > 0) e portanto, como tg (g()) + > 0 para qualquer, ϕ também muda de sinal numa vizinhança de 0. Como ϕ é contínua em 0 - já que g é contínua por ser diferenciável, e tg é contínua em g(0) = 0 - conclui-se que ϕ(0) é etremo de ϕ (mínimo, se g for crescente).
. a) ϕ () = f (sen ) cos, logo os possíveis etremos encontram-se em cos = 0 ou f (sen ) = 0 sen = 0 (já que f é estritamente crescente, logo só tem um zero). Do sinal de ϕ vemos que: cos = 0: máimos locais, sen = 0: mínimos locais. b) Tem infinitas soluções (T. Rolle aplicado a ϕ ). 3. Em + : y = m + b é assíntota ao gráfico de f se m = f() + + arctg + arctg = + + b f() m arctg = π + +. Logo y = + π é assíntota à direita. Da mesma forma se vê que y = π é assíntota à esquerda. A função é crescente em R, com f () = + > 0, e não tem pontos de etremo. + Como f () =, o gráfico de f tem concavidade para cima em ], 0[ e (+ ) para baio em ]0, + [, sendo 0 um ponto de infleão. (Esboce o gráfico, notando que π < f() < + π, ou seja, o gráfico está entre as assíntotas.) 4. Dado que f C (R) temos =, f () = ( 4 e ) = 3 e (4 ), f () = e ( 8 + ), Monotonia e etremos: Os pontos críticos de f, i.e. as solução de f () = 0, são 0 e 4. Temos f () > 0 ]0, 4[, (justifique) logo a função é estritamente crescente no intervalo ]0, 4[ e estritamente decrescente nos intervalos ], 0[ e ]4, + [. Conclui-se que 0 é ponto de mínimo, absoluto uma vez que f(0) = 0 e f() 0,, ou vendo que f() 4 + + e = 0, e 4 é um ponto de máimo, relativo uma vez que f() 4 e = +. Concavidade e infleões: Temos f () > 0 8 + > 0 < 0 = > 6. Logo f tem concavidade para cima em ], [ e em ]6, + [, e virada para baio em ], 6[ (notem que f (0) = 0 mas 0 não é ponto de infleão dado que f não muda de sinal em 0).
Assíntotas: Uma vez que + f() = 0, y = 0 é assíntota horizontal à direita. Não há assíntota oblíqua à esquerda já que f() 3 e = +. (Não há assíntotas verticais, já que f é contínua em R.) O gráfico de f pode agora ser esboçado: 0 6 4 5. f() = + ln( + ) ln( ), > Temos que f é vezes diferenciável em ], + [ e f () = + + = + ( ) ( + ) ( ) f () = ( + ) + ( ) = 4 ( + ) ( ). Monotonia, etremos: Como > 0 para >, temos que f () > 0 ( > 5 < 5) > > 5, = 5 ( ) logo f é decrescente em ], 5[ e crescente em ] 5, + [, sendo 5 um ponto de mínimo, absoluto (f é contínua). Concavidades e pontos de infleão: Temos f () > 0 para >, logo f tem concavidade para cima no domínio, não eistem pontos de infleão. 3
Assíntotas e contradomínio: Como + f() = +, eiste uma assíntota vertical à direita em =. Assíntota oblíqua: f() + + f() = = + ln( + ) + ln + logo y = é assíntota oblíqua à direita. Temos CD f = [f( 5), + [ (justifique). ( + ln( ) =, ) = ln() = 0, f() = + ln( + ) ln( ) 6. a) f() = +, D f = R \ {0} Temos f () = 3, f () = 6 4. f crescente em ], 0[ e em ] 3, + [, decrescente em ]0, 3 [, ponto de mínimo relativo em 3 ; concavidade para cima no domínio; assíntota vertical à direita e esquerda em = 0 já que 0 f() = +, assíntota oblíqua à direita e à esquerda y = ; CD f = R. b) f() = ( )( 3), D f = R \ {, 3}. Temos f 4 () = ( ) ( 3), f () = ( 4 + 5) ( ) 3 ( 3). 3 f crescente em ], [ e em ], [, decrescente em ], 3[ e em ]3, + [, ponto de máimo relativo em = ; concavidade para cima em ], [ e em ]3, + [, concavidade para baio em ], 3[, não há pontos de infleão ; assíntota vertical 4
à direita e esquerda em = e = 3, assíntota horizontal y = 0 à direita e esquerda; CD f =], ] ]0, + [. c) f() = 4 9, D f = R \ {±3}, f par. Temos f () = 0 ( 9), f () = 30( + 3) ( 9). 3 f crescente em ], 3[ e em ] 3, 0[, decrescente em ]0, 3[ e em ]3, + [, ponto de máimo relativo em = 0; concavidade para cima em ], 3[ e em ]3, + [, concavidade para baio em ] 3, 3[, não há pontos de infleão ; assíntota vertical à direita e esquerda em = 3 e = 3, assíntota horizontal y = à direita e esquerda; CD f =], 4/9] ], + [. d) f() =, D f = R \ {±}, f par. Temos f ( ), se > 0 () = f ( ), se > 0 () = 3 ( + ), se < 0,, se < 0, ( + ) 3 f não é diferenciável em 0: f d (0) =, f e(0) =. f decrescente em ], [ e em ], 0[, crescente em ]0, [ e em ], + [, ponto de mínimo relativo em = 0 (f é contínua e f muda de sinal); concavidade para baio em ], [ e em ], + [, concavidade para cima em ], 0 e ]0, [, não há pontos de infleão; assíntota vertical à direita e esquerda em = e =, assíntota horizontal y = à direita e esquerda; CD f =], [ [0, + [. e) f() = e, D f = R. Temos f () = ( )e, f () = ( 4 + )e. f decrescente em ], 0[ e em ], + [, crescente em ]0, [, ponto de máimo relativo em e de mínimo absoluto em = 0; concavidade para cima em ], [ e em ] +, + [, para baio em ], + [, infleões em ± ; assíntota horizontal y = 0 à direita; CD f = [0, + [. f) f() = e /, D f = R \ {0}. Temos f () = e /, f () = e/. 3 f crescente em ], 0[ e em ], + [, decrescente em ]0, [, ponto de mínimo relativo em = ; concavidade para cima em ], 0[, para baio em ]0, +, não há pontos de infleão; assíntota vertical = 0 à direita (à esquerda: 0 f() = 0), assíntota oblíqua à direita e à esuqerda y = + ; CD f =], 0[ [e, + [. g) f() = e+ +, D f = R \ { }. h) f() = + ln, D f = R + \ {/e}. 5
Temos f ln () = ( + ln ), f () = ln ( + ln ). 3 f decrescente em ]0, /e[ e em ]/e, [, crescente em ], + [, ponto de minimo relativo em = ; concavidade para cima em ]/e, e[, para baio em ]0, /e[ e em ]e, + [, infleão em = e; assíntota vertical = /e à direita e à esquerda; CD f =], 0[ [, + [. ( ) i) f() = arctg, D f = R \ {}. j) f() = + arctg, D f = R \ {0}, f ímpar. Temos f () = +, f 4 () = ( + ). f decrescente em ]0, [ e em ], 0[, crescente em ], [ e em ], + [, pontos de minimo relativo em = e de máimo relativo em = ; concavidade para cima em ]0, + [, para baio em ], 0[; assíntota oblíqua y = à direita e à esquerda, não há assíntotas verticais (f(0 + ) = π, f(0 ) = π); CD f = ], π/] [ + π/, + [. E.6.a) - 6.a) f() = + 3-4 -3 - - 0 3 4 5 6 - - -3 6.b) f() = ( )( 3) 6
-5 -,5 0,5 5 5,5 -,5 3-5 6.c) f() = 4 9 5-4 -3 - - 0 3 4 5 - - -3 6.d) f() = 4 3-3 - - 0 3 4 5 - - 6.e) f() = e 0 5-5 -0-5 0 5 0 5-5 -0 6.f) f() = e / 7
-5-4 -3 - - 0 3 4 5 3 - - 4-3 6.g) f() = e+ + 3 -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 3 3,5 4 - - 3 6.h) f() = + ln 5-4 -3 - - 0 3 4 5 - - -3 ( ) 6.i) f() = arctg 5,5-5 -,5 0,5 5 -,5-5 6.j) f() = + arctg 8
7. f() = arctg ( ), 0. a) f(0) 0 f() = π, ± f() = 0 (f é par). b) f () = 4 +, 0, e f (0) = 0, f () =, f(0) = π, f() = π logo recta 4 tangente em = 0 é y = π, em = é y = π ( ). 4 c) f é crescente em ], 0[ e decrescente em ]0, + [, tem um ponto de máimo em = 0, absoluto (f é contínua em R). f () = (34 ) ( 4 + ), concavidade para cima em ], / 4 3[ e em ]/ 4 3, + [, concavidade para baio em ] / 4 3, / 4 3[, infleões em ±/ 4 3. Assíntota horizontal y = 0 à direita e à esquerda. d) Contradomínio: CD f =]0, π/]. 3-4 -3 - - 0 3 4 ( ) + 8. f() = arctg, 0, e f(0) = π. a) f é contínua em R (justifique), ± = ±π/4., se > 0, b) f () = + ( + ), se < 0, + ( + ) f d (0) = f e(0) = logo f não é diferenciável em 0. - - f() = arctg ( ) c) f é crescente em R e decrescente em R +, tem ponto de máimo em = 0 (é contínua e f muda de sinal), absoluto. ( + ), se > 0, f ( () = + ( + ) ) ( + ), se < 0, ( + ( + ) ) Concavidade para cima em R + e em ], [, concavidade para baio em ], 0[, pontos de infleão em = e = 0. 9
Assíntotas horizontais em y = π 4 à direita e em y = π 4 à esquerda. d) Contradomínio: CD f =] π/4, π/].,5 0,5 3 -,5 - -,5 - -0,5 0 0,5,5,5 3-0,5 - ( ) + f() = arctg 0