Torção Deformação por torção de um eixo irular Torque é um momento que tende a torer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. Se o ângulo de rotação for pequeno, o omprimento e o raio do eixo permaneerão inalterados. 1
Torção Cisalhamento por torção BD= d = dx γ = π lim θ B,D A = d/dx, omo d/dx = para todos os elementos na seção transversal na posição x, então a deformação por isalhamento é proporional a Como d/dx = / = max / então: = ( / ) max = ( / ) max
A fórmula da torção Se o material for linear elástio, então a lei de Hooke se aplia =G. Uma variação linear na deformação por isalhamento resulta em uma variação linear na tensão de isalhamento orrespondente, ao longo de qualquer linha radial na seção transversal. Portanto, igual que no aso da deformação por isalhamento, variará de zero a max = ( / ) max Para qualquer elemento de área da loalizado em teremos uma força F = da. O torque produzido por F será dt = da e para toda a seção teremos: T = ρτda = ρ ρ τ maxda = τ max A A A ρ da máx T máx T J ou T J = tensão de isalhamento máxima no eixo = deformação por isalhamento à distânia = torque interno resultante (método das seções!) J 3 = momento polar de inéria da área da seção transversal = raio externo do eixo = distânia intermediária
Como alular o J (momento polar de inéria)? Se o eixo tiver uma seção transversal irular maiça, utilizamos um anel diferenial de área de espessura d portanto da = d e a integral (0 a ) fia: J 4 Se o eixo tiver uma seção transversal tubular, J 4 4 o i 4
Exemplo 1 O eixo maiço de raio é submetido a um torque T. Determine a fração de T à qual resiste o material ontido no interior da região externa do eixo, que tem raio interno / e raio externo. Solução: da d dt' máx Para toda a área sombreada mais lara, o torque é máx A tensão no eixo varia linearmente, tal que. O torque no anel (área) loalizado no interior da região sombreada mais lara é T' máx / 3 15 d 3 máx 3 (1) Qual o valor de max em função do torque interno resultante T? 5
Usando a fórmula de torção para determinar a tensão máxima no eixo, temos máx máx T J T 3 T 4 Substituindo essa expressão na Equação 1, T ' 15 16 T (Resposta) 6
Exemplo O eixo está apoiado em dois manais e sujeito a três torques. Determine a tensão de isalhamento desenvolvida nos pontos A e B loalizados na seção a a do eixo. 7
Solução: Pelo diagrama de orpo livre do segmento esquerdo determinamos o torque interno resultante na seção: M x 0; 4.503.000T 0 T 1.50kN mm O momento polar de inéria para o eixo é J 4 7 4 75 4,9710 mm Visto que A se enontra em ρ = = 75 mm, utilizando a fórmula da torção... A T J 1.5075 4,9710 7 1,89 MPa (Resposta) Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos B J T 1.5015 4,9710 7 0,377MPa (Resposta) 8
Transmissão de potênia Potênia é definida omo o trabalho realizado por unidade de tempo. Para um eixo rotativo om torque, a potênia é: P T onde a veloidade angular do eixo é d / dt Visto que 1ilo rad f, a equação para a potênia é P ft Se onheemos o torque T e adm, para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrio sai de: J T adm 9
Exemplo 3 Um eixo maiço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual está aoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de isalhamento admissível adm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo om preisão de 1 mm. 10
Solução: O torque no eixo é P T 175 3.750 T T 04,6 Nm 60 Assim, o parâmetro geométrio é: J 4 T adm T 1/3 adm 04,6 1.000 100 1/3 10,9 mm Visto que = 1,84 mm, seleione um eixo om diâmetro mm. 11
Exeríios 1. O tubo da figura é submetido a um torque de 750 Nm. Determine a parela desse torque à qual a seção sombreada inza resiste. Resolva o problema de duas maneiras: (a) usando a fórmula da torção e (b) determinando a resultante da distribuição da tensão de isalhamento (5.4) 1
. O eixo maiço de 30mm de diâmetro é usado para transmitir os torques apliados às engrenagens. Determine a tensão de isalhamento máxima (em valores absolutos) no eixo. (5.5) 13
3. O eixo maiço tem oniidade linear r A em uma extremidade e r B na outra extremidade. Deduza uma equação que dê a tensão de isalhamento máxima no eixo em uma loalização x ao longo da linha entral do eixo. (5.30) 14
4. O projeto de um automóvel prevê que o eixo de transmissão AB será um tubo om parede fina. O motor transmite 15 kw quando o eixo está girando a 1500 rev/min. Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 6,5 mm. A tensão de isalhamento admissível do material é adm = 50 Mpa. (5.33) 15
Ângulo de torção - Para o diso diferenial de espessura dx loalizado em x o torque em geral será T(x). Sendo d o desloamento relativo de uma fae em relação à outra já sabemos que a uma distânia do eixo teremos = d/dx. Como =G e omo = T/J teremos: = T(x) /J(x)G substituindo teremos: Integrando em todo o omprimento L do eixo, temos L 0 T J x x dx G dφ = T(x) J x G dx Φ = ângulo de torção T(x) = torque interno J(x) = momento polar de inéria do eixo G = módulo de elastiidade ao isalhamento Por exemplo, se o material é homogêneo, om seção, T e G onstantes... TL JG A onvenção de sinal é determinada pela regra da mão direita. 16
Exemplo 4 Os dois eixos maiços de aço estão interligados por meio das engrenagens. Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é apliado o torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos manais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 0 mm. 17
Solução: Do diagrama de orpo livre, entre as engrenagens teremos uma F e um T será transmitido a D: F 45/ 0,15 300 N 3000,075,5 Nm T D x 1. O ângulo de torção da engrenagem C é C T L JG DC,51,5 0,001 8010 Visto que as engrenagens na extremidade estão relaionadas (r = te) teremos que em B, B 4 9 0,15 0,069 0,075 0,0134rad 0,069 rad Agora determinaremos o ângulo de torção da extremidade A em relação à extremidade B. 18
O ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB ausada pelo torque de 45 Nm, T L JG 45 AB AB A/ B 4 0,010 8010 9 A rotação total da extremidade A é portanto 0,0716 rad A B A/ B 0,0134 0,0716 0,0850rad (Resposta) 19
Exemplo 5 O eixo ônio mostrado abaixo é feito de um material om módulo de isalhamento G. Determine o ângulo de torção de sua extremidade B quando submetido ao torque T. 0
Solução: Do diagrama de orpo livre, numa seção transversal qualquer, o torque interno é T e o raio (x) portanto: L x x L 1 1 Assim, em x teremos um J(x): 4 1 L x x J O ângulo de torção será: (Resposta) 3 3 3 1 1 1 0 4 1 G TL L x dx G T L 1 L G x J dx x T 0
Exeríios 5. Um eixo é submetido a um torque T. Compare a efetividade da utilização do tubo mostrado na figura om a de uma seção maiça de raio. Para isso alule o aumento perentual na tensão de torção e no ângulo de torção por unidade de omprimento para o tubo em omparação om o da seção maiça (5.45)
Exeríios 6. O eixo de aço A-36 de 0 mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados. Determine o ângulo de torção da extremidade B (5.51) 3
Exeríios 7. O eixo maiço de 60 mm de diâmetro de aço A-36 é submetido aos arregamentos de torção distribuídos e onentrados mostrados na figura. Determine o ângulo de torção na extremidade livre A devido a esses arregamentos (5.6) 4
Elementos estatiamente indeterminados arregados om torque M x = 0 T T A T B = 0 Condição de ompatibilidade (igual que antes) O ângulo de torção da extremidade A em relação à outra (B) deve ser = 0 AB = 0 Portanto: T A L AC JG T BL BC JG = 0 Como L = L AC +L BC obtemos: T A = T L BC L T B T B = T L AC L
Exemplo 6 O eixo maiço de aço mostrado na figura abaixo tem diâmetro de 0 mm. Se for submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B. Solução: Examinando o diagrama de orpo livre, M x 0; T 800 500T 0 b Visto que as extremidades do eixo são fixas, A. / B 0 TL Utilizando a relação para as 3 regiões: JG Para as três regiões (método das seções), usando a onvenção de sinal (para fora + ver figura ao lado): TB JG 0, T 5001,5 T 0,3 A JG 1,8 T A A A JG 0,T B (1) 0 750 () Resolvendo as equações 1 e, obtemos T A = 345 Nm e T B = 645 Nm. 6
Exeríios 8. O eixo de aço é omposto por dois segmentos: AC, om diâmetro de 1 mm e CB, om diâmetro de 5 mm. Se estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 750 Nm, determine a tensão de isalhamento máxima no eixo. G aço = 75 Gpa (5.76) 7