Universidade Federal do ABC Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos II José Azcue, Prof. Dr. Diagramas de Bode 1
Introdução Função de transferência É a relação, dependente da frequência, entre uma função de saída Y(ω) e uma função de excitação X(ω). H Y X 2
Introdução Existem quatro possíveis combinações de entrada/saída: Ganho de tensão Ganho de corrente Impedância de transferência Admitância de transferência 3
Zeros e Pólos H(ω) pode ser expresso como a razão entre os polinômios do numerador N(ω) e denominador D(ω). H Zeros: os valores da variável, s, da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se torne igual a zero. Pólos: valores da variável, s, da transformada de Laplace que fazem com que a função de transferência se torne infinita. Eles podem estar relacionados às raízes de N (ω) e D (ω) N D 4
Diagramas de Bode Os diagramas de Bode são baseados em escalas logarítmicas. O ganho expresso em escala logarítmica é tipicamente expresso em bels, ou mais comumente em decibéis. G db 10log 10 P P 2 1 G db = 20 log 10 K G db = 20 log 10 V 2 V 1 G db = 20 log 10 I 2 I 1 5
Diagramas de Bode Obter a resposta em frequência de uma função de transferência é uma tarefa árdua. No geral a resposta em frequência precisa cobrir um grande intervalo de frequência. Portanto, é conveniente o uso de uma escala logarítmica para o eixo das frequências. Esses gráficos são chamados de diagramas Bode. Os diagramas de Bode mostram a magnitude (em decibéis) ou a fase (em graus) como uma função da frequência. 6
Diagramas de Bode A função de transferência pode ser escrita em termos de fatores com partes reais e imaginárias. Por exemplo: H 1 / 1 2 / / 1 2 1 1 k k K j j z j j 1 j / p 1 j2 / j / 1 2 n n 2 A forma padrão pode incluir os seguintes sete fatores em várias combinações: Um ganho K Um pólo (jω) -1 ou um zero (jω) Um pólo simples 1/(1+jω/p1) ou um zero simples (1+jω/ z1) Um polo quadrático 1/[1+j2 2 ω/ ω n + (jω/ ω n ) 2 ] ou zero 1/[1+j21ω/ ωn+ (jω/ ωk)2] 7
Ganho K No diagrama de bode, cada um desses fatores é plotado separadamente e, em seguida, adicionado graficamente. Ganho, K: a magnitude é 20 log 10 K e a fase é 0. Se K for negativo a magnitude permanece a mesma, porém, a fase é ±180 8
Zero/Pólo na origem Para o zero (jω), a inclinação em magnitude é de 20 db/década e a fase é de 90. Zero na origem Para o pólo (jω) -1 a inclinação em magnitude é de -20 db/década e a fase é de -90 9
Diagrama de Bode de f n Funções que variam em múltiplos de f n são linhas retas, isto é: G = ω n = f n ω 0 f 0 A magnitude em db é Inclinação é 20n db/década para f = f o, sua magnitude é 1 ou 0dB. 10
Resposta para o caso de um único pólo Circuito RC Função de transferência ou que coincide com a forma padronizada com 11
G jω e G(jω) Considerando s = jω Sua magnitude é Magnitude em db 12
Assíntota: baixa frequência Para baixas frequências ω ω o portanto f f o Então, tem-se que Ou em db Esta é a assíntota de baixa frequência de G(jω) 13
Assíntota: alta frequência Para altas frequências ω ω o portanto f f o Então, tem-se que A assíntota de alta frequência varia como f 1. Então (n=-1), tem-se uma linha reta com -20dB/década de inclinação. A assíntota tem o valor de 1 ou 0dB para f = f o. 14
Magnitude para f = f o O valor exato para a magnitude: Quando f = f o 15
Magnitude para f = 0,5f o e f = 2f o [uma oitava antes e uma oitava depois] Utilizando um procedimento similar ao caso anterior, pode-se verificar que a magnitude neste caso é 1 db abaixo das assíntotas. G(jω db = 20log 10 1 + 0,5 2 = 0,97 db (para f = 0, 5f o ) G(jω db = 20log 10 1 + 2 2 = 6,99 db (para f = 2f o ) 16
Magnitude 17
Fase de G(jω) 18
Fase de G(jω) 19
Assíntotas da fase Baixa frequência : 0 Alta frequência: 90 As assíntotas de baixa e alta frequência não intersectam, portanto, é necessário uma assíntota na frequência intermediaria. Escolha duas frequências em torno da frequência de corte, de forma que a inclinação da assíntota na frequência de corte seja a mesma inclinação da reta tangente à curva da fase. Estas frequências são: 20
Assíntotas da fase 21
Assíntotas da fase: uma escolha simples Uma década antes, uma década depois da frequência de corte. 22
Resumo: Diagrama de Bode pólo real 23
Resposta para o caso de um único zero Forma padronizada Magnitude Utilize os mesmos procedimentos adotados para o caso de um único pólo de forma a determinar as assíntotas: 0 db para baixas frequências, ω ω o +20 db/década de inclinação para altas frequências, ω ω o Fase: (semelhante à fase de um único pólo, porém sem o sinal negativo) 24
Resumo: Diagrama de Bode zero 25
Combinação de Respostas A fase composta é a soma das fases individuais A magnitude composta é a soma das magnitudes individuais quando representadas em db 26
Exemplo 1 Considere: A magnitude composta é a soma das magnitudes individuais quando representadas em db 27
Exemplo 1 - continuação 28
Resposta do pólo quadrático: ressonância Por exemplo Denominador de segunda ordem, tem a forma: Com a 1 = L/R e a 2 = LC Como esboçar o diagrama de Bode? 29
Método 1: Fatore o denominador Pode-se fatorar o denominador utilizando a fórmula de Bhaskara, então esboce o diagrama de Bode de dois pólos reais. com Se 4a 2 a 1 2, as raízes são reais. Pode-se esboçar o diagrama de Bode como a combinação de dois pólos reais. Se 4a 2 > a 1 2, as raízes são complexas, neste caso será necessário um trabalho adicional para esboçar o diagrama de Bode. 30
Método 2: Defina a forma padronizada Defina a forma padronizada para o caso quadrático ou Quando os coeficientes de s são reais e positivos, então ζ, ω o e Q são também positivos e reais. O parâmetro ω o é a frequência de corte, e f o = ω o /(2π). O parâmetro ζ é denominado fator de amortecimento. ζ controla a forma exata da curva em torno de f = f o. As raízes são complexas quando ζ < 1. Na forma alternativa, o parâmetro Q é denominado fator de qualidade. Q também controla a forma exata da curva em torno de f = f o. As raízes são complexas quando Q > 0, 5. 31
Expressões analíticas para f o e Q No exemplo do filtro passa-baixa de dois pólos, tem-se que Considerando a forma padronizada Tem-se que: ω o = 1 LC 32
Assíntotas para a Magnitude Para a forma Se s = jω encontre a magnitude As assíntotas são 33
Magnitude para ω = ω o Em ω = ω o, a magnitude exata é 34
Resposta de dois pólos: curva exata 35
Referências 1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013. 2. Erickson, R.W.; Fundamentals of power electronics, 2 Ed. Kluwer Academic Publisher, 2001. 3. NILSSON, J.W.; RIEDEL, S. A.; Circuitos Elétricos, 8th Ed., Pearson, 2008. 4. Slides da prof. Denise, https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profadenise/aulas, acesso em fevereiro de 2018. 5. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Elétricos, Vol. 1( 2ª Ed. 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo. 6. CONSONNI, D. Transparências de Circuitos Elétricos I, EPUSP. 36