Estimação do valor em risco (VaR) de uma carteira de ativos através de método bayesiano Orlando V. Sampaio Jr. (POLI-USP) orlando.sampaio@gmail.com Celma de Oliveira Ribeiro (POLI-USP) celma@usp.br André C. R. Martins (EACH-USP) amartins@usp.br Bruno C. Bergamasco (POLI-USP) bruno.bergamasco@poli.usp.br Resumo: O trabalho propõe um modelo de análise do impacto da incerteza dos estimadores no cálculo do Valor em Risco paramétrico padrão através de técnicas de inferência bayesiana. A medida de risco estudada, o Valor em Risco, é bastante utilizada na prática de gestão financeira como um sinalizador para tomada de decisão, porém, por se tratar de uma medida de risco de mercado que depende de técnicas estatísticas de estimação que introduzem incertezas em seu cálculo, o tomador de decisão deve avaliar qual o impacto dessas incertezas no seu número de Valor em Risco. Palavras-chave: Valor em risco; Risco de mercado; Estimação bayesiana. 1. Introdução Intensamente na última década, uma fértil área de pesquisa tratando do problema de mensuração e controle de risco financeiro tem-se desenvolvido. O desafio dos pesquisadores e tomadores de decisão é encontrar medidas de risco capazes de quantificar apropriadamente o risco de determinada carteira de investimentos. Motivado por diversos desastres envolvendo derivativos, o Valor em Risco (VaR) surge no final dos anos noventa como alternativa de medida de risco. Em linguagem formal, o VaR pode ser definido como a pior perda esperada ao longo de determinado intervalo de tempo, sob condições normais de mercado e dentro de determinado nível de confiança. Ou seja, o VaR é um quantil da distribuição de probabilidade das perdas, sendo a função de perda dada pelo oposto do retorno da carteira (JORION, 1997). Conceitualmente, sua obtenção é simples, porém o VaR é um método de mensuração de risco, cuja determinação depende de técnicas estatísticas de estimação, o que introduz incertezas em seu cálculo. Dentro deste escopo, a proposta do trabalho é analisar o impacto da incerteza nos estimadores do VaR, através de estimativa bayesiana, visando avaliar a precisão do VaR paramétrico padrão. O foco do trabalho é o emprego de técnicas de inferência Bayesiana para a estimativa do Valor em Risco. 2. Valor em risco O Valor em Risco (VaR) foi definido por Acerbi e Tasche (2002) da seguinte forma. Sendo P uma medida de probabilidade associada a uma variável aleatória R que determina o retorno logarítmico de um ativo, o VaR, ao nível de confiança 1 α, é definido como: 1 α VaR R = Q ( R) em que, ( ) α { α} Q ( R) = inf w R P( R w) >. α 1
Com base estatística, o VaR fornece, em um único número, uma medida concisa do risco de mercado. O cálculo do VaR pode ser realizado por diferentes abordagens. O método da série histórica consiste no uso de estatísticas de ordem. O método paramétrico assume uma distribuição de probabilidade para o retorno dos ativos e calcula o VaR através desta distribuição. Já os métodos que utilizam técnicas computacionais intensivas, como bootstrapping e simulação de Monte Carlo, são baseados em séries históricas e pressupõem que o passado reflete de maneira adequada o que deverá ocorrer no futuro. Neste estudo será utilizado apenas o método paramétrico, já que é o que se utiliza mais intensivamente da estimação dos parâmetros das distribuições de probabilidades. 2.1 Método paramétrico No método paramétrico, assume-se que a variável aleatória R (retorno logarítmico do valor de um ativo) possui uma distribuição de probabilidades D( θ1, θ2,..., θ m ) onde θ1, θ2,..., θ m são parâmetros da distribuição. Os parâmetros da distribuição podem ser estimados através do conjunto de * observações R = { r... 1 r T }. Se D for aproximada por uma distribuição normal, os parâmetros a serem estimados são a média µ e a variância σ 2. Para o caso onde se está tratando com uma carteira de ativos, pode-se considerar que todos os ativos da carteira possuem distribuição normal. Neste caso, a variância da carteira é dada pela variância da soma de uma série de variáveis aleatórias com distribuição normal. 1 α Como o VaR, ao nível de confiança 1 α VaR R = Q ( R) e o retorno de uma carteira constituído por n ativos dado por VaR da carteira de ativos como α VaR R p ( ) =Φ ( α ) 1 1 é definido como ( ) R T a Σa, n = ar, pode-se escrever o p i i i= 1 assumindo que para horizontes de tempo pequenos a média dos retornos seja igual a zero, onde o vetor coluna a é a participação percentual de cada ativo na carteira, Σ é o matriz de covariâncias dos ativos e Φ -1 é a função densidade de probabilidade inversa da distribuição normal. α 3. Estimação de parâmetros Os parâmetros da distribuição dos retornos logarítmicos do valor de um ativo podem ser estimados através de diversos métodos, tanto da estatística clássica como da bayesiana. Como para o VaR assume-se a média da distribuição como zero, o parâmetro a ser estimado é somente a variância do ativo ou seu desvio-padrão e, para o caso de carteiras de ativos, a covariância ou correlação entre os ativos. 3.1 Estimadores clássicos Os estimadores clássicos para variância, desvio-padrão, covariância e correlação são amplamente conhecidos e utilizados para a caracterização de distribuições de probabilidade. Porém estes estimadores podem não funcionar muito bem para séries temporais. Mesmo 2
assim são amplamente utilizados no mercado financeiro com o objetivo de estimar os parâmetros de séries temporais. Outra classe de estimadores, com aplicação específica em séries temporais, são os * modelos de suavização exponencial. Dadas as observações R = { r... 1 r t} que constituem uma série temporal e α que é o fator multiplicativo, o estimador pelo modelo de suavização exponencial simples (SES ou EWMA Exponentially Weighted Moving Average) para a variância no instante t é dado por ˆ σ 2 ˆ 2 ( ) 2 t = ασt 1+ 1 α r t 1 (MORETTIN, 2004). O estimador da covariância entre dois ativos A e B é ˆ σ = ασˆ ˆ σ + 1 α r r. ( ) AB A, t 1 B, t 1 A, t 1 B, t 1 3.2 Estimadores bayesianos Os estimadores bayesianos fornecem, a partir da informação previamente conhecida e dos dados disponíveis, uma distribuição de probabilidades para o valor dos parâmetros de uma distribuição. Desta forma, o parâmetro não possui um valor único, como no caso clássico, mas uma distribuição de probabilidades associada a ele. Sendo assim, para cada parâmetro tem-se um intervalo onde o parâmetro pode estar localizado, dado um grau de credibilidade. Para a distribuição de um ativo, normal, assume-se que a sua variância possui uma distribuição qui-quadrada inversa (LEE, 2004). No caso de uma carteira de ativos, deve-se estimar a matriz de covariâncias dos ativos. Assume-se que esta matriz possui uma distribuição de Wishart (ANDERSON, 1958). A estimação dos parâmetros de cada distribuição pode ser realizada de forma analítica para os casos de distribuições mais simples, como a qui-quadrada inversa ou de forma numérica para os casos de distribuições mais complexas. 4. Cálculo do VaR de uma carteira de dólar americano e índice Bovespa Para comparar o cálculo do VaR com os parâmetros das distribuições dos ativos pelo método bayesiano com os métodos clássicos foi escolhida uma carteira com dois ativos, o dólar americano à vista e o índice Bovespa à vista. A realização de operações com o índice Bovespa à vista não é possível, porém pode-se criar uma carteira de ações que replique este índice. O índice Bovespa foi utilizado como representativo do mercado acionário como um todo. A série histórica do dólar foi obtida no site do Banco Central do Brasil. Foi utilizado o valor do preço de venda médio, conhecido como PTAX. A série do índice Bovespa, para o qual utilizou-se o preço de fechamento, foi obtida no site da Bovespa. Foram coletados dados para o período de 1 ano, mais especificamente 2 de janeiro de 2005 a 30 de dezembro de 2005. 4.1 Estimação dos parâmetros Os parâmetros das distribuições foram estimados utilizando-se as últimas 63 observações anteriores à data de cálculo do VaR da carteira, que foi 30 de dezembro de 2005. A utilização de um prazo relativamente curto em relação à serie de preços disponível tem como objetivo desprezar os fatos antigos do mercado, já que os preços refletem com mais intensidade os fatos mais recentes. 3
No caso do método EWMA, a importância dos fatos mais recentes já está representada no fator de suavização alfa (α). Por este motivo, poder-se-ia ter utilizado uma série mais longa para a estimação, porém foi utilizado o mesmo número de observações para equalizar a quantidade de informação disponível. Pode-se observar também que, caso fosse utilizada uma série mais longa, o peso de todos os dados anteriores representaria apenas 2,03% de informação suplementar. A estimação dos parâmetros pelos métodos clássicos foi realizada analiticamente. No caso da estimação bayesiana, os parâmetros foram estimados utilizando o programa WinBugs, que realiza a análise de modelos estatísticos através do método de Monte Carlo de cadeias de Markov (MCMC Markov Chain Monte Carlo) e fornece informações sobre os parâmetros desses modelos. Nos casos de estimação bayesiano procurou-se utilizar uma distribuição a priori não informativa, indicando a falta de informação anterior sobre os parâmetros ou a não-influência da informação anterior sobre a estimação. 4.2 Cálculo do VaR O VaR dos ativos no caso univariado, e da carteira no caso multivariado, foram calculados através da aplicação da expressão analítica de quantis para a distribuição normal, para os casos de estimação clássicos. Para os casos bayesianos, foi realizada a simulação através do método de Monte Carlo. Para a simulação do caso bayesiano multivariado foram geradas matrizes de covariância, distribuídas de acordo com as distribuições definidas para cada um dos casos. Utilizando-se cada matriz de covariância, foi gerado um valor de retorno para a carteira de acordo com uma distribuição multinormal. Foram gerados 10.000 valores de retornos e o quantil de ordem 99% foi determinado pelo 9.900º valor em ordem decrescente. Todos os cálculos foram realizados para uma carteira contendo R$ 1.000.000 em dólares americanos e a mesma quantia em índice Bovespa em 30 de dezembro de 2005. O valor do VaR tem um horizonte temporal de 1 dia útil, que é o horizonte mais utilizado para investimentos de alta liquidez, como os apresentados aqui. 4.3 Resultados 4.3.1 Caso univariado As tabelas abaixo resumem os dados obtidos para o caso univariado. Tabela 1 Desvio padrão estimado por cada método Ativo Clássico EWMA Bayesiano USD 0.8906% 0.9694% 0.8799% Ibovespa 1.5194% 1.0302% 1.4903% Tabela 2 Valor em Risco calculado para cada método (R$) Ativo Clássico EWMA Bayesiano USD 20.718 22.552 20.470 Ibovespa 35.346 23.966 34.669 Pode-se observar que o VaR bayesiano possui um valor muito próximo ao clássico. Porém, a estimação bayesiana fornece não apenas valor para os parâmetros, mas uma 4
distribuição de probabilidades destes valores. Assim, o valor do VaR não é um número único, podendo cair dentro de uma faixa de valores. A tabela abaixo apresenta a análise realizada pelo programa WinBugs para os retornos dos ativos considerados. A coluna mean é a média da distribuição e os valores val2.5pc e val97.5pc são os quantis de ordem 2,5% e 97,5%. Isto significa que existe 95% de chance dos parâmetros estarem entre estes valores. Tabela 3 Resultado da estimação da variância realizada pelo WinBugs mean Sd MC_error Val2.5pc Median val97.5pc start sample sigma[1,1] 7.743E-5 1.372E-5 1.452E-7 5.506E-5 7.59E-5 1.077E-4 5000 10001 sigma[2,2] 2.221E-4 3.995E-5 4.122E-7 1.571E-4 2.175E-4 3.13E-4 5000 10001 Os parâmetros para o dólar e para o índice Bovespa individualmente são dados pelas linhas sigma[1,1] e sigma[2,2], respectivamente. Realizando o cálculo para o VaR máximo e mínimo no intervalo de credibilidade de 95%, chegamos a valores mínimo e máximo de R$ 17.262 e R$ 24.142 para o dólar e de R$ 29.158 e R$ 41.157 para o índice Bovespa. Estes resultados ocorrem porque a estimação geralmente é realizada para a esperança do parâmetro. Levando-se em conta a distribuição dos valores possíveis para este parâmetro, o VaR pode atingir valores bem mais elevados. 4.3.2 Caso multivariado No caso multivariado, existem outros parâmetros que devem ser estimado, que são as covariâncias entre os ativos. A tabela abaixo apresenta os valores estimados para as covariâncias, correlações e o VaR calculado para a carteira considerada. Tabela 4 Parâmetros estimados para a carteira USD x Ibovespa Dado Clássico EWMA Bayesiano (média) Covariância -3.493E-05-2.377E-05-3.407E-05 Correlação -26.23% -23.80% -25.78% VaR (R$) 35.978 28.735 35.427 Pode-se observar que para um valor de investimento da carteira igual ao dobro do valor de investimento em cada ativo individualmente, o valor do VaR é bem inferior à soma do VaR individual dos ativos. Este efeito é devido à correlação entre os dois ativos ser negativa. Isto faz com que as variações negativas de um dos ativos sejam compensadas pelas variações positivas no outro, diminuindo o risco. No caso bayesiano na tabela acima, se está levando em conta apenas a média das distribuições dos parâmetros e não a distribuição como um todo. Porém, conforme apontado acima, os valores estimados para os parâmetros são a sua esperança. A tabela abaixo fornece os valores calculados pelo WinBugs para o intervalo de credibilidade de 95% da correlação entre os ativos. Tabela 5 Resultado da estimação da correlação realizada pelo WinBugs mean Sd MC_error val2.5pc median val97.5pc Start sample Ro[1,2] -0.2578 0.1151 0.001161-0.473-0.2634-0.02355 5000 10001 Pode-se observar pelos valores apontados nas colunas val2.5pc e val97.5pc que o intervalo de confiabilidade da correlação entre os ativos está entre -47.30% e -0.02355%. Estes valores mostram que tanto se pode ter uma correlação negativa relativamente alta como uma muito baixa, próxima a zero. 5
O impacto dos intervalos de probabilidade tanto para a variância dos ativos como para a correlação entre eles foi avaliado através de um exercício de simulação através de técnicas de Monte Carlo, conforme explicado anteriormente. O valor encontrado para o quantil de ordem 99%, possível de ser comparado com os dados obtidos anteriormente, foi de R$ 52.907. Na tabela abaixo o valor encontrado para a estimação bayesiana total é comparado com os métodos clássicos e com o valor utilizando a média bayesiana. Tabela 6 Comparação entre o VaR total bayesiano e outros métodos Método de Estimação VaR (R$) % Clássico % EWMA Clássico 35.978 - +25,21% EWMA 28.735-20,13% - Bayesiano (média) 35.427-1,53% +23,29% Bayesiano (total) 52.907 +47,05% +84,12% Verifica-se que este valor é 47,05% superior ao VaR calculado pela estimação clássica e 84,12% superior ao estimado pelo EWMA, ficando próximo à soma dos valores individuais do VaR para cada ativo. Isto não indica, porém, que não exista correlação. Este resultado é causado tão somente pelo erro na estimação dos parâmetros das distribuições dos preços dos ativos. 5. Conclusão Os valores do VaR de carteiras encontrados pelos métodos clássicos fornecem números que representam a perda possível com um certo nível de confiança. Porém estes métodos consideram que os valores estimados para os parâmetros das distribuições dos retornos das carteiras são determinísticos, consistindo de um número exato. Foi mostrado através de estimação bayesiana que as perdas prováveis podem estar sendo subvalorizadas, já que os parâmetros estimados são valores médios de variáveis aleatórias que possuem uma determinada distribuição de probabilidades. Logo, um cálculo mais apurado do VaR deve levar em conta a distribuição de probabilidades dos parâmetros para que não hajam surpresas indesejáveis nas variações diárias dos investimentos. 6. Referências Bibliográficas ACERBI, C. & TASCHE, D. On the coherence of expected shortfall. Journal of Nanking and Finance, v. 26, n.7, p.1487-1503, 2002. ANDERSON, T.W. An Introduction to Multivariate Satatistical Analysis. New York: John Wiley & Sons, 1958. JORION, P. Value at Risk: the new benchmark for controlling derivatives risk. New York: McGraw Hill, 1997. LEE, P. M. Bayesian Statistics an introduction. 3 rd ed. London: Hodder Arnold, 2004. MORETTIN, P.A.; TOLOI, C.M.C. Análise de Séries Temporais. São Paulo, Edgard Blücher, 2004. 6