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I. INTRODUÇÃO 1.1. Generalidades Qualquer sistema real opera sempre em ambientes onde a incerteza impera, principalmente quando o sistema envolve, pela sua natureza, ações humanas imprevisíveis ou desgaste natural de máquina. Os modelos determinísticos certamente contribuem para a compreensão, em um nível básico, do comportamento dinâmico de um sistema. No entanto, por não poderem lidar com a incerteza, acabamos por ser insuficientes nos processos de tomada de decisão. Assim, recorre-se a Processos Estocásticos como uma forma de regularidade que eles apresentam para serem descritos por modelos probabilísticos. Pode definir-se um Processo Estocástico ( em inglês, Stochastic Process ou Random Process ) como um conjunto de variáveis aleatórias indexadas a um variável (geralmente a variável tempo), sendo representado por { ( ) }. Estabelecendo o paralelismo com o caso determinístico, onde uma função toma valores bem definidos ao longo do tempo, um processo estocástico toma valores aleatórios ao longo do tempo. Aos valores que ( ) pode assumir chamam-se estados e ao seu conjunto x espaços de estados. Como exemplos de processos estocásticos, poderemos considerar: 1) ( ) representa o estado de uma máquina (ligada/desligada) no memento t; 2) ( ) representa o número de clientes em uma loja no instante t; 3) ( ) representa o número de máquinas defeituosa no final de um dia t; 4) ( ) representa a cotação de uma ação na bolsa de valores no final de um dia t; 5) ( ) representa o nível de estoque de uma determinada peça no final de um dia t; 6) ( ) representa a condição de funcionamento de um componente no instante t; Os Processos Estocásticos representam sistemas nos quais o estado muda ao longo do tempo. Estas mudanças não são totalmente previsíveis, mas elas estão associadas a distribuição de probabilidade. Diversos fenómenos reais admitem a modelagem através dos processos estocásticos. Vejamos alguns: Exemplo 7 (cadeia de montagem) Os produtos finais de uma cadeia de montagem, após uma supervisão à que são submetidos, podem ser considerados defeituosos ou não. Se o n-ésimo produto não tiver defeito, fazemos, caso contrario. Suponha que um produto é defeituoso independentemente dos outros produtos e que a probabilidade de que isto aconteça é p, então é uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) Bernoulli com parâmetros p de sucesso. Exemplo 8 (Estoque). Uma pequena loja de equipamentos eletrodomésticos vende um modelo tipo de máquina de lavar roupa. No entanto ela somente pode ter em estoque no máximo cinco unidades. Então se no final do dia a loja tem no estoque somente uma unidade ou nenhuma, o gerente manda buscar tantas unidades quantas forem necessárias para ter cinco na loja no dia seguinte antes de iniciar o expediente. Vamos chamar de a quantidade de unidades na loja no final do n-ésimo dia. Elas podem ser consideradas variáveis aleatórias (v.a.), pois é razoável supor que não temos como prever a quantidade de máquinas de lavar que serão compradas a cada dia. 2
Exemplo 9 (Mobilidade social) Consideremos a história de várias gerações de uma família que ao longo do tempo tem somente um filho. Neste modelo simples, a observação da classe social (alta, média ou baixa) da família para cada geração permitiria descrever sua evolução social ao longo do tempo. Se tivermos uma sociedade composta por famílias deste tipo, podemos escolher ao acaso uma família e para cada geração n chamar de à quantidade que valerá 1 se fora família de classe alta, 2 se ela for de classe média e 3 se for de classe baixa. Desta forma, cada será uma variável aleatória e a sua evolução ao longo do tempo, permitirá tirar conclusões sobre mudanças na estrutura da sociedade. Exemplo 10 (Lucro de uma companhia seguradora). Suponha que uma seguradora recebe c unidades monetárias (u.m.) pelo total dos prêmios que ela cobra dos segurados dentro de uma determinada carteira por período de tempo (mês, semestre, por exemplo). Assuma também que a seguradora coleta os prêmios regularmente e que as indenizações pagas quando os sinistros ocorrem. Além disto, não vamos considerar aqui eventuais despesas administrativas, ganhos ou perdas por investimentos, etecetera. Desta forma, a reserva desta seguradora será afetada somente pela cobrança dos prêmios ou por pagamentos de indenizações na ocorrências de sinistros. Em particular, o lucro da companhia no n-ésimo período ser c Zn u.m., sendo Zn o valor total de indenizações pago pela seguradora nesse período. Se chamarmos de Ln ao lucro da seguradora desde que essa carteira começa a operar até o final do n-ésimo período, teremos que O comportamento desta quantidade ao longo do tempo influenciará na saúde financeira da seguradora. Como se pode constatar pelos exemplos apresentados, há casos em que o tempo é considerado de forma discreta (... no final do dia t) e outros em que é tomado de modo contínuo (... no instante t). A variável tempo é, por definição, uma variável contínua, a qual pode ser discretizada se os fenómenos forem observados a intervalos regulares. Outra constatação que se pode fazer é que os estados tanto são valores que a variável ( ) pode assumir (número de clientes, número de máquinas, etc.) como estados (máquinas defeituosas, máquinas em funcionamento, etc.). Chamaremos processo estocástico a qualquer família de variáveis aleatória ( ), com t ϵ T e sendo T algum espaço de parâmetros. Quando T é enumerável diremos que o processo estocástico correspondente é a tempo discreto. Se T for um intervalo, o processo estocástico será chamado a tempo contínuo. Os valores que tornam as variáveis do processo serão chamados de estados e o conjunto E destes valores será o espaço de estados. Os processos estocásticos podem ter espaço de estados discreto ou espaço de estados contínuo em correspondência com a natureza do conjunto E. Nos exemplos 1 e 7 temos E={0,1}, no exemplo 8, E={0,1,2,3,4,5}, no exemplo 9, E={1,2,3}... OBS.: O comportamento probabilístico de um processo estocástico está caracterizado pelas relações de dependência entre distribuições conjuntas e suas marginais. Exemplo 11: Consideremos os vetores aleatórios discretos (X1,X2) e (Y1, Y2) com funções de probabilidade conjunta: X 1 \ X 2 0 1 Y 1 \ Y 2 0 1 0 1/4 1/4 e 0 0 1/2 Estas funções de probabilidade são diferentes, no entanto as marginais coincidem. 3
1 1/4 1/4 1 1/2 0 1.2. Classificação dos Processos Estocásticos Para classificar os processos estocásticos analisam-se (i) o espaço de estados, (ii) a natureza do conjunto T e (iii) as características estatísticas da variáveis que definem o processo. (i) Espaços de estados Se x for um conjunto de estados finito ou contável ( x = {0, 1, 2,... }, ou seja, o conjunto de inteiros nãonegativos), ( ) é um espaço de estados discretos ou, como é usualmente referido, uma cadeia. Para qualquer outro caso, o processo é designado por processo de estados contínuos. Dos exemplos apresentados, os exemplos 1, 2 e 6 são cadeias enquanto que o restante podem ser processos de estados contínuos. (ii) Variável temporal Se o conjunto T, que específica os valores da variável t, for finito ou contável, ( ) é um processo em tempo discreto e anotação usada é { ( ) }. Neste caso, T é normalmente o conjunto dos inteiro nãonegativos. Em caso contrário ( ) é designado por processo em tempo contínuo, sendo usada a notação { ( ) }. Dos exemplos apresentado, os exemplos 3, 4 e 5 são processo em tempo discreto uma vez que representam quantidades observadas dia a dia, enquanto que os restantes são processos estocásticos em tempo contínuo por representarem fenómenos observados em qualquer momento do dia (do tempo). (iii) Características estatísticas das variáveis aleatórias Um processo estocástico diz-se estacionário se o seu comportamento estocástico for independente do tempo, ou seja, se a função distribuição da(s) v.a. que o define(m) não variar no tempo. Um processo estocástico diz-se Markoviano ou de Markov se for estacionário e obedecer a propriedade de Markov ou da perda de memoria, isso é, se o seu comportamento futuro apenas for condicionado pelo estado presente, independentemente do seu histórico ou dos estados passados. De fato, para um processo de Markov é completamente irrelevante qualquer informação sobre estados passados ou sobre o tempo de permanência no estado presente. Em um processo estocástico as transições entre estados são causadas pela ocorrência de acontecimentos ou eventos, pelo que a variável aleatória diretamente restringida pela propriedade de ausência de memória é o tempo entre acontecimentos sucessivos (em inglês interenvent time ). Dados que, como iremos ver mais a diante, a única distribuição contínua que apresenta esta propriedade é a distribuição exponencial, num processo de Markov todos os tempos entre acontecimentos sucessivos tem de ser exponencialmente distribuídos. Um processo estocástico de Semi-Markov é uma generalização de um processo de Markov, já que para aquele, a informação sobre o tempo de permanência no estado atual deixa de ser irrelevante; contínua, contudo a ser irrelevante para o comportamento futuro qualquer informação sobre dos estados dos passados. 4
A consequência é que os tempos entre acontecimentos sucessivos deixam de estar restringidos à distribuição exponencial, podendo seguir qualquer distribuição de probabilidade. De acordo com a relação entre os espaços de parâmetro T como tempo temos: a) Estados Independentes: A relação de dependência entre variáveis aleatória mais simples que podemos pensar a ausência dela, Chamaremos de processos de estados independentes a aqueles processos estocásticos tal que todos os seus estados constituem uma família de variáveis aleatórias independentes. Um exemplo é o processo de Bernoulli de parâmetro p. b) Processos de Markov: consideraremos os instantes t1, t2,... tn ϵ T, com t1 < t2 <... < tn< t. Um processo X é chamado de processo de Markov quando para todos a, b, a1,..., an ϵ E vale, -, - Ou seja o estado depende da sua historia anterior nos instantes t 1, t 2,... t n desde que se conheça o presente e não do passado, assim utilizaremos o tempo presente para encontrar o tempo futuro. c) Martingais: Para os martingais vale o que pode ser previsto sobre o estado do processo num instante futuro sendo que são conhecidos n estados anteriores é exatamente o estado no instante presente. Ex.: Um exemplo de martingais aparece em jogos simples de azar como o seguinte. Suponhamos que no n-ésimo lançamento de uma moeda honesta acrescentamos um valor A ao capital do jogador se sair cara, e subtraímos a mesma quantidade se sair coroa. O jogador começa o jogo com capital igual a k e é admitido ter capital negativo. Vamos supor também que os lançamentos são independentes. Fazendo { Teremos que o capital do jogador no instante do n-ésimo lançamento será Se * + é um processo estocástico, então chamaremos de incremento correspondente ao intervalo (s,t) à variável aleatória. 5
O processo tem incrementos estacionários quando a distribuição de depende dos instantes s e t e para todos os ponto das distribuições s e t os valores dos incrementos sejam iguais. O processo de Poisson tem incrementos estacionários e independentes. Exemplo 12: Movimento Browniano Em 1827, o botânico escocês Robert Brown observou e descreveu o movimento irregular executado por pequenos grãos de pólen suspensos em água. Esta observação aparente mente sem muita importância, tornou-se especialmente relevante alguns anos depois. Embora L. Bachelier em 1900 e A. Einstein em 1905 tenham sido os primeiros a abordar quantitativamente o estudo deste fenômeno, foi o matemático norte americano Norbert Wierner quem em 1923 estudou e formalizou rigorosamente o modelo matemático motivado no fenômeno físico do movimento browniano. É por isso que ele é chamado de processo de Wiener ou movimento browniano, sendo que este último dá ênfase ao processo físico. Considerando o processo a tempo contínuo * + com espaço de estados E = r, que tem as seguintes características: ( i ) ; ( ii ) X tem incrementos independentes; ( iii ) ( ) ( ) ( ), i.e. ( ); ( iv ) X possui trajetórias contínuas X é conhecido como movimento Browniano em processo Estocástico de Wierner e tem incrementos estacionários e independentes. Veja o gráfico a seguir: Figura: 2 Trajetória do movimento Browniano 6
Vejamos pro exemplo, como calcular a função distribuição de probabilidade conjunta de instantes fixados s e t tais que. Se fizermos para dois { Usando a independência e a estacionariedade dos incrementos, teremos ( ) ( ) ( ), ( { }) ( ( ) { ( ) }) ( ) { ( )} Exercícios: O vetor ( ) segue a distribuição normal bivariada com vetor médio nulo e ( ) 1) Num cruzamento em T, aproximadamente 60% viram à direita. Defina X, como sento 1 ou 0 em dependendo se o p-ésimo carro virou à direita ou esquerda. Suponha que os motoristas decidem para onde virar independentemente um do outro. Então X = { * + é um processo estocástico de Bernolli com probabilidade 0,6 de sucesso. Num certo dia um pedestre observou o que faziam 10 carros que passaram consecutivamente e fez a anotação ( D, E, D, D, D, E, D, E, D, E ), onde D=direita e E=esquerda. Quais seriam os valores correspondente de; a. b. c. d. Represente em gráfico os instantes dos sucessos no processo de Bernoulli. 2) Para um processo de Bernoulli em p = 0,7 interprete e calcule as seguintes quantidades; a. ( ) b. ( ) c. ( ) 7