ISSN 1809-5860 ANÁLISE NÃO LINEAR GEOMÉTRICA DE SÓLIDOS ELÁSTICOS COM GRADAÇÃO FUNCIONAL VIA MEF-P João Paulo Pascon 1 & Humberto Breves Coda 2 Resumo É apresentado, neste trabalho, o código computacional desenvolvido, que é capaz de simular casos com grandes deslocamentos e geometria complexa. Optou-se pela análise não linear geométrica para maior precisão, pelo elemento finito sólido tetraédrico com três parâmetros nodais e grau de aproximação polinomial qualquer, pela lei elástica isotrópica de Saint Venant-Kirchhoff e pela contínua variação das propriedades constitutivas - gradação funcional. Ademais, validou-se a metodologia proposta com exemplos numéricos. Palavras-chave: Análise não linear geométrica. Método dos Elementos Finitos Posicional. Elementos sólidos tetraédricos. Materiais com gradação funcional. Lei Constitutiva de Saint Venant-Kirchhoff. GEOMETRICALLY NONLINEAR ANALYSIS OF FUNCTIONALLY GRADED ELASTIC SOLIDS VIA P-FEM Abstract It is presented in this work the developed computational code, which is able to simulate large displacement cases and problems with complex geometry. It was decided to use: geometrically nonlinear analysis for greater accuracy; tetrahedral solid finite element with three nodal parameters and any degree of polynomial approximation; isotropic elastic law of Saint Venant-Kirchhoff; continuous variation of constitutive properties - functionally graded. Moreover, the proposed methodology was validated with numerical examples. Keywords: Geometrically nonlinear analysis. Positional Finite Element Method. Tetrahedral solid elements. Functionally graded materials. Saint Venant-Kirchhoff Constitutive Law. Linha de Pesquisa: Métodos Numéricos 1 INTRODUÇÃO É cada vez mais intenso o uso de ferramentas computacionais para análise e previsão do comportamento mecânico de estruturas. Tem-se buscado maior precisão de resultados para dimensionamento em projetos e para pesquisa acadêmica com desenvolvimento e utilização de diversas metodologias numéricas. Pode-se destacar o Método dos Elementos Finitos (MEF), bastante empregado e estudado na análise estrutural. Optou-se, neste estudo, pelo MEF posicional, no qual os parâmetros nodais são as posições finais dos nós (Coda & Greco, 2004). Com a evolução dos computadores, concernente à velocidade de processamento, à capacidade de memória e ao uso de multiprocessadores, é possível buscar códigos computacionais cada vez mais robustos e mais precisos, mesmo com a exigência de grande esforço computacional. 1 Doutorando em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, jppascon@sc.usp.br 2 Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, hbcoda@sc.usp.br
162 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda Tal procedimento, que foi adotado neste estudo, é diferente da tendência existente em diversos centros de pesquisa de se aumentar a velocidade de processamento e se diminuir o gasto de memória com uso de elementos de baixa ordem e técnicas de integração reduzida. Outro importante aspecto deste trabalho é a gradação funcional, que é a contínua variação das propriedades constitutivas ao longo do material. Tal tipo de material permite a continuidade dos campos de tensão, ao contrário dos modelos com materiais compósitos nos quais os referidos campos são descontínuos. Por fim, para que se possa prever o comportamento mecânico de estruturas com grandes deslocamentos, foi usada a análise não linear geométrica, isto é, a descrição do equilíbrio de forças na posição final ou deformada da estrutura. Tal procedimento, embora matematicamente mais complexo, mostra-se mais realista do que a análise linear geométrica, na qual o equilíbrio é feito na configuração inicial. 2 METODOLOGIA 2.1 Cinemática e deformação O elemento finito usado é o sólido tetraédrico com três graus de liberdade nodais e grau de aproximação polinomial qualquer. São aplicados as posições inicial e atual e o espaço adimensional auxiliar (Coda & Paccola, 2007). Como dito anteriormente, os graus de liberdade são as posições finais dos nós. As configurações inicial (x) e final (y) são aproximadas pelas funções de forma de Lagrange. Além disso, deve-se destacar que o número de nós ou de funções de forma depende do grau do polinômio aproximador escolhido. A medida de deformação adotada neste trabalho é a de Green-Lagrange, muito usada em análises com grandes deslocamentos ou com elevadas mudanças de configuração (Pascon, 2008). 2.2 Lei constitutiva Toda lei constitutiva - relação entre tensão e deformação - pode ser expressa com a energia específica de deformação, descrita por unidade de volume inicial (Holzapfel, 2000). Define-se, neste trabalho, a lei isotrópica elástica de Saint Venant-Kirchhoff (Ciarlet, 1993) com lei de potência para gradação funcional (Chi & Chung, 2006): U E () x 1 1 () x = ( E : C : E) = ( EijCijkl Ekl ) 2 p 2 p (1.a) z z = E1 E L + 2 1 L (1.b) onde U é a energia de deformação específica, C é o tensor elástico de quarta ordem idêntico ao da lei de Hooke generalizada para o caso linear, E(x) é o variável módulo de Young, E 1 e E 2 são os limites de E(x) para z = 0 e z = L e p é o coeficiente de potência. A medida de tensão usada é aquela energeticamente conjugada à deformação de Green- Lagrange, isto é, a tensão de Piola-Kirchhoff de segunda espécie.
Análise não linear geométrica de sólidos elásticos com gradação funcional via MEF-P 163 2.3 Equilíbrio O equilíbrio é dado pelo Princípio da Mínima Energia Potencial Total tal como: U U F INT = F EXT ou dv0 = J 0dξ = FEXT V y ξ y 0 (2) onde V 0 é o volume inicial e o jacobiano J 0 é o determinante de A 0 (Pascon, 2008). 2.4 Estratégias numéricas Foi usado, devido ao caráter não linear da Eq. (2), o método iterativo de Newton-Raphson, com cálculo do vetor resíduo de forças e da matriz Hessiana, para determinação do incremento posicional. Ademais, dividiu-se o carregamento em passos de carga para auxiliar na convergência da simulação e para encontrar possíveis pontos limites. Por fim, para cálculo das integrais envolvidas, usou-se integração numérica. 3 RESULTADOS São apresentados, neste item, os principais resultados obtidos das simulações realizadas com oito processadores em paralelo. 3.1 Viga em balanço sob carga cisalhante na extremidade livre Este exemplo, amplamente estudado na literatura científica e que envolve grandes deslocamentos, foi simulado com 6253 nós, 1152 elementos, 11 pontos de integração numérica, 50 passos de carga e aproximação cúbica para posições. As propriedades físicas e geométricas do problema são: E 1 = 10 4, E 2 = 1.5*10 4, v = 0.30, L (comprimento) = 100 e I (momento de inércia) = 0.083333. A Figura 1 ilustra, à esquerda, a concordância do caso homogêneo (p = 0) com a solução analítica (Pai & Palazotto, 1996) e, à direita, a variação do deslocamento transversal da extremidade livre com o coeficiente de potência. Figura 1 Viga em balanço com carga cortante na extremidade livre.
164 João Paulo Pascon & Humberto Breves Coda 3.2 Cilindro fino transversalmente tracionado com abas livres O exemplo geometricamente mais complicado que foi analisado numericamente foi o cilindro transversalmente tracionado com abas livres. Foram usados os seguintes valores: 5445 nós, 384 elementos, 27 pontos de integração, aproximação do quarto grau, 150 passos de carga, E 1 = 0.7*10 9, E 2 = 1.51*10 9, v = 0.30, h (espessura) = 0.094, L (comprimento) = 10.35 e R (raio) = 4.953. A Figura 2 mostra, à esquerda, a comparação com o resultado de Arciniega & Reddy (2007) e, à direita, a variação do deslocamento do ponto de aplicação da carga com o coeficiente de potência. Observa-se que a solução aqui apresentada é mais flexível que a da referência, o que indica a ausência de travamento na formulação proposta. 4 CONCLUSÕES É apresentado, neste trabalho, o código computacional de análise não linear geométrica de sólidos elásticos com gradação funcional. Tal programa é capaz de simular com precisão casos com grandes deslocamentos, como a viga em balanço, e problemas complexos, como o cilindro fino, conforme os resultados obtidos. Além disso, é grande o esforço computacional para simulação de malhas bastante refinadas, o que foi contornado com processamento paralelo. Figura 2 Cilindro transversalmente tracionado com abas livres. 5 AGRADECIMENTOS Os autores agradecem ao CNPq (Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico) pelo financiamento dos equipamentos utilizados e à FAP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pela bolsa concedida. 6 REFERÊNCIAS CHI, S. H.; CHUNG, Y. L. Mechanical behavior of functionally graded material plates under transverse load - Part I: Analysis. International Journal of Solids and Structures, v. 43, p. 3657-3674, 2006. CIARLET, P. G. Mathematical elasticity: three dimensional elasticity. Amsterdam, The Netherlands: Elsevier Science Publishers, 1993. 451 p. v. 1.
Análise não linear geométrica de sólidos elásticos com gradação funcional via MEF-P 165 CODA, H. B.; GRECO, M. A simple FEM formulation for large deflection 2D frame analysis based on position description. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., v. 193, p. 3541-3557, 2004. CODA, H. B.; PACCOLA, R. R. An alternative positional FEM formulation for geometrically non-linear analysis of shells: curved triangular isoparametric elements. Comput. Mech., v. 40, p. 185-200, 2007. HOLZAPFEL, G. A. Nonlinear solid mechanics: a continuum approach for engineering. Chichester, England: John Wiley & Sons Ltd., 2000. 455 p. PAI, P. F.; PALAZOTTO, A. N. Large-deformation analysis of flexible beams. Int. J. Solids Structures, v. 33, n. 9, p. 1335-1353, 1996. PASCON, J. P. Modelos constitutivos para materiais hiperelásticos: estudo e implementação computacional. 2008. 230 p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2008.