CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br

Aula 7 04/2014 Zeros reais de funções Parte 1

Objetivo Determinar valores aproximados para as soluções (raízes) de equações da forma: f ( x) = 0 sendo f uma função real dada. Cálculo Numérico 3/53

Motivação Você está projetando um tanque esférico para armazenar a água para uma pequena vila em uma região em desenvolvimento. O volume de líquido que ele armazena pode ser calculado por: V = πh 2 3R h 3 onde V é o volume [m 3 ], h é a profundidade da água no tanque [m], R é o raio do tanque. Cálculo Numérico 4/53

Motivação Se R = 3 m, até que profundidade o tanque deve estar cheio para que ele armazene 30 m 3? Cálculo Numérico 5/53

Motivação A solução exata de em alguns casos: f x ( ) = 0 pode ser encontrada apenas Polinômios de grau menor ou igual a quatro; Algumas funções trigonométricas. Mesmo quando a solução analítica está disponível, sua determinação pode ser complicada. Cálculo Numérico 6/53

Em alguns casos, por exemplo, de equações polinomiais, os valores de x que anulam f (x) podem ser reais ou complexos. Estamos interessados somente nos zeros reais de f (x). Graficamente, os zeros reais são representados pelas abscissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo x. Cálculo Numérico 7/53

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A ideia central dos métodos que iremos aprender é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo. Cálculo Numérico 9/53

Assim, os métodos constam de duas fases: Fase I: Localização ou isolamento das raízes Consiste em obter um intervalo que contém a raiz. Fase II: Refinamento Consiste em, escolhidas aproximações iniciais para o intervalo da Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão ε préestabelecida. Cálculo Numérico 10/53

FASE I: Isolamento das Raízes Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f (x). O sucesso da Fase II depende fortemente da precisão desta análise. Cálculo Numérico 11/53

Fase I: Isolamento das Raízes Na análise teórica, usa-se: TEOREMA 1 Seja f (x) uma função contínua em [a, b]. Se f (a) f (b) < 0, então existe pelo menos um ponto x = ξ entre a e b que é zero de f (x). Esta é uma consequência do Teorema do Valor Intermediário. Cálculo Numérico 12/53

Fase I: Isolamento das Raízes TEOREMA 1 Cálculo Numérico 13/53

Fase I: Isolamento das Raízes Sob as hipóteses do Teorema 1, se f (x) existir e preservar o sinal em ]a, b[, então este intervalo contém um único zero de f (x). Cálculo Numérico 16/53

Fase I: Isolamento das Raízes f ' x ( ) > 0, x a, b [ ] Cálculo Numérico 17/53

Fase I: Isolamento das Raízes f ' x ( ) < 0, x a, b [ ] Cálculo Numérico 18/53

Fase I: Isolamento das Raízes Uma forma de isolar as raízes de f (x) usando os conceitos anteriores é tabelar f (x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f (x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f (x) mudou de sinal. Cálculo Numérico 19/53

Fase I: Isolamento das Raízes EXEMPLO: Seja f (x) = x 3 9 x + 3. Vamos analisar o sinal desta função. Construindo uma tabela de valores para f (x) e considerando apenas os sinais, temos: x - -100-10 -5-3 -1 0 1 2 3 f(x) - - - - + + + - - + Cálculo Numérico 20/53

Fase I: Isolamento das Raízes Sabendo que f (x) é contínua para qualquer x real e observando as variações de sinal, podemos concluir que cada um dos intervalos I 1 = [-5, -3], I 2 = [0, 1], I 3 = [2, 3], contém pelo menos um zero de f (x). Como f (x) é um polinômio de terceiro grau, podemos afirmar que cada intervalo contém um único zero de f (x) e, assim localizamos todas as raízes de f (x) = 0. Cálculo Numérico 21/53

Fase I: Isolamento das Raízes Se f (a) f (b) > 0, então podemos ter várias situações no intervalo [a, b], conforme mostram os gráficos a seguir. Cálculo Numérico 22/53

Fase I: Isolamento das Raízes Cálculo Numérico 23/53

Fase I: Isolamento das Raízes A análise gráfica da função f (x) ou da equação f (x) = 0 é fundamental para se obter aproximações para a raiz. Temos três processos de análise de gráficos. Cálculo Numérico 26/53

Processos Gráficos ESBOÇAR O GRÁFICO: Análise do comportamento da função, que envolve: domínio da função, pontos de descontinuidade, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e mínimo, concavidade, ponto de inflexão e assíntotas da função. Através da EQUAÇÃO EQUIVALENTE g (x) = h (x): A partir da equação f (x) = 0, obter a equação equivalente g (x) = h (x), esboçar os gráficos das funções g (x) e h (x) no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam, pois neste caso: f ( ξ ) = 0 è g ( ξ ) = h ( ξ ). GRÁFICOS COMPUTACIONAIS. Cálculo Numérico 27/53

Gráficos computacionais Exemplo 5: Os gráficos computacionais podem tornar mais rápidos e melhores seus esforços para localizar as raízes de equações. A função: f x ( ) = sen 10x ( ) + cos 3x ( ) tem diversas raízes no intervalo de x = 0 a x = 5. Use gráficos computacionais para adquirir percepção do comportamento dessa função. Cálculo Numérico 28/53

Fase II: Refinamento Veremos vários métodos de refinamento de raízes. A forma como se efetua o refinamento é que diferencia os métodos. Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos. Os métodos iterativos para refinamento da aproximação inicial para a raiz exata podem ser colocados em um diagrama de fluxo. Cálculo Numérico 29/53

Critério de Parada TESTE: x k está suficientemente próximo da raiz exata? Existem duas interpretações para raiz aproximada que nem sempre levam ao mesmo resultado: x é raiz aproximada com precisão ε se: i) x ξ < ε ou ii) f x ( ) < ε Cálculo Numérico 31/53

Critério de Parada Como efetuar o teste (i) se não conhecemos o valor exato da raiz ξ? Usamos frequentemente os conhecimento de erro absoluto e erro relativo para determinarmos o critério de parada. ERRO ABSOLUTO: x k x k 1 < ε ERRO RELATIVO: x k x k 1 x k < ε Cálculo Numérico 32/53

Critério de Parada Cálculo Numérico 33/53

Nem sempre é possível ter as exigências (i) e (ii) satisfeitas simultaneamente. Cálculo Numérico 34/53

Em programas computacionais, além do teste de parada usado para cada método, deve-se ter o cuidado de estipular um número máximo de iterações, para se evitar que o programa entre em looping. Cálculo Numérico 38/53

Métodos Iterativos Métodos iterativos para a obtenção de zeros reais de funções: Bissecção; Falsa posição; Ponto fixo; Newton-Raphson; Secante. Cálculo Numérico 39/53

Método da Bissecção Suponha que f (x) seja uma função contínua definida em [a,b], tal que f (a) f (b) < 0. De acordo com o Teorema do Valor Intermediário, existe um número c em ]a, b[ para o qual f (c) = 0. Vamos supor, para simplificar, que ]a, b[ contenha uma única raiz da equação f (x) = 0. Cálculo Numérico 40/53

Método da Bissecção O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b a) < ε ou usando para isto a sucessiva divisão de [a, b] ao meio. f x ( ) < ε Cálculo Numérico 41/53

Método da Bissecção Graficamente: x 1 = (a + x 0 )/2 f(x) f(x) a = a 1 ξ x 0 = (a + b)/2 x 1 x 0 = b 1 x a = a 0 ξ x 2 = (x 1 + x 0 )/2 x 0 b = b 0 x f(x) x 1 =a 2 ξ Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada. x 2 x 0 =b 2 x Cálculo Numérico 42/53

Método da Bissecção As iterações são realizadas da seguinte forma: x 1 = a 0 + b 0 2 x 2 = a 1 + b 1 2! # " # $ #! # " # $ #! # " a 1 = a 0 # b 1 = x $ # 1! # " a 2 = x 2 # b 2 = b $ # 1!! f ( a ) 0 < 0 f ( b ) 0 > 0 f ( x ) 1 > 0 f ( a ) 1 < 0 f ( b ) 1 > 0 f ( x ) 2 < 0 ξ ] a 0, x [ 1 ξ ] x 2, b [ 1 Cálculo Numérico 43/53

EXEMPLO 6 Considerando o método da bissecção com ε = 0,002 e adotando [2, 3] como intervalo inicial, obtenha uma aproximação para a função: f x ( ) = x log x ( ) 1 Cálculo Numérico 44/53

EXEMPLO 6 y h(x) 2 ξ 3 g(x) ξ 1 2 3 4 5 6 x Verificou-se que ξ [2, 3] Cálculo Numérico 45/53

EXEMPLO 6 k a k b k f(a k ) f(b k ) x k+1 f(x k+1 ) 0 2,00000 3,00000-0,39794 0,43136 2,50000-0,00510 1 2,50000 3,00000-0,00515 0,43136 2,75000 0,20820 2 2,50000 2,75000-0,00515 0,20816 2,62500 0,10021 3 2,50000 2,62500-0,00515 0,10021 2,56250 0,04720 4 2,50000 2,56250-0,00515 0,04720 2,53125 0,02090 5 2,50000 2,53125-0,00515 0,02094 2,51563 0,00790 6 2,50000 2,51563-0,00515 0,00787 2,50781 0,00140 ε = 0,002 Cálculo Numérico 46/53

Método da Bissecção ESTIMATIVA DO NÚMERO DE ITERAÇÕES: Dada uma precisão ε e um intervalo inicial [a, b], vamos determinar quantas iterações serão efetuadas pelo método da bissecção até b k a k < ε. b 0 a 0 2 k < ε Cálculo Numérico 47/53

Portanto, se k satisfaz a relação anterior, ao final da iteração k, teremos o intervalo [a, b] que contém a raiz ξ, tal que x [ a, b] x ξ b a ε Cálculo Numérico 48/53

Algoritmo do Método da Bissecção Seja f (x) contínua em [a, b] e tal que f (a) e f (b) têm sinais opostos: ENTRADA: extremidades a, b; precisão ε, número máximo de iterações N 0. SAÍDA: solução aproximada Passo 1: Faça i = 1; FA = f (a). ou mensagem de erro. Passo 2: Enquanto i N 0, execute os passos 3 a 6. Passo 3: Faça x = a + (b a) / 2; (Calcula x i ) FX = f (x). x Cálculo Numérico 49/53

Algoritmo do Método da Bissecção Passo 4: Se FX = 0 ou (b a) / 2 < ε, então: SAÍDA (x); (Procedimento concluído com sucesso). PARE. Passo 5: Faça i = i + 1. Passo 6: Se FA * FX > 0, então faça a = x; (Calcula a i, b i ). FA = FX senão faça b = x. Passo 7: SAÍDA ( O método falhou após N 0 iterações, N 0 =, N 0 ); (O procedimento não foi bem-sucedido). PARE. Cálculo Numérico 50/53

Outros procedimentos de parada podem ser aplicados no Passo 4 do algoritmo ou em qualquer das técnicas iterativas que aprenderemos. Por exemplo, podemos selecionar uma precisão ε > 0 e gerar x 1, x 2,..., x n até que uma das condições a seguir seja satisfeita: x n x n 1 < ε x n x n 1 x n < ε f ( x ) n < ε Cálculo Numérico 51/53

CUIDADO!!!! Podem ocorrer sequências com propriedade de as diferenças x n x n 1 convergirem para zero, enquanto a própria sequência diverge. ( ) { x n } n=0 Podem ocorrer de f x n estar próximo de zero, mesmo quando x n for significativamente diferente de x. Sem outras informações sobre f ou x, o melhor critério é: x n x n 1 x n < ε por ser o que se aproxima mais da ideia de testar o erro relativo. Cálculo Numérico 52/53

Método da Bissecção VANTAGENS: Facilidade de implementação; Estabilidade e convergência para a solução procurada; Desempenho regular e previsível. O número de iterações é dependente da tolerância considerada Cálculo Numérico 53/53

Método da Bissecção DESVANTAGENS: Lentidão do processo de convergência (requer o cálculo de f(x) em um elevado número de iterações); Necessidade de conhecimento prévio da região na qual se encontra a raiz de interesse (o que nem sempre é possível); Complexidade da extensão do método para problemas multivariáveis. Cálculo Numérico 54/53

Exercício Seja f (x) = x 3 9x + 3; I = [0, 1]; e = 10-3. k a k b k f(a k ) f(b k ) x k+1 f(x k+1 ) b - a 0 0 1 3-5 0,5-1,375 1 1 0 0,5 3-1,375 0,25 0,765625 0,25 2 0,25 0,5 0,765625-1,375 0,375-0,322265625 0,125 3 0,25 0,375 0,765625-0,322265625 0,3125 0,218017578 0,0625 4 0,3125 0,375 0,218017578-0,322265625 0,34375-0,531311035 0,03125 5 0,3125 0,34375 0,218017578-0,531311035 0,328125 0,822029114 0,015625 6 0,328125 0,34375 0,822029114-0,531311035 0,3359375 0,0144743919 7,8125 x 10-3 7 0,3359375 0,34375 0,0144743919-0,531311035 0,33984375-0,0193439126 3,90625 x 10-3 8 0,3359375 0,33984375 0,0144743919-0,0193439126 0,337890625-2,43862718 x 10-3 1,953125 x 10-3 9 0,3359375 0,337890625 0,0144743919-2,43862718 x 10-3 0,336914063 6,01691846 x 10-3 9,765625 x 10-4 Cálculo Numérico 55/53