DISTRIBUIÇÕES POISSON E MULTINOMIAL Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 03 de julho de junho de 2017
Distribuição Poisson A distribuição de Poisson é largamente empregada quando se deseja contar o número de ocorrências (sucessos) de um evento de interesse, por unidade de tempo, comprimento, área ou volume. É também chamada de distribuição dos eventos raros.
a) Número de furos em pneus por km rodado; b) Número de clientes que abastecem em um posto por hora; c) Número de chamadas num departamento policial a cada duas horas; d) Número de bactérias por ml de urina; e) Número de insetos de uma espécie coletados numa armadilha por dia;
Note que os possíveis valores que as variáveis aleatórias descritas podem assumir são: 0, 1,.... O comportamento dessas variáveis pode ser descrito pela chamada distribuição de Poisson. Temos que a função de probabilidade de uma variável aleatória com distribuição de Poisson é dada por: P(Y = y) = e λ λ y, y = 0, 1.... y! em que λ é igual o número médio de ocorrências do evento de interesse por unidade de tempo, distância, área, etc. Notação: Y Poi(λ).
Os pressupostos básicos para a utilização do modelo são: a) as condições permanecem estáveis no decorrer do tempo, isto é, a taxa média de ocorrências (λ) é constante ao longo do tempo; b) intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, a informação sobre o número de ocorrências em um intervalo nada revela sobre o número de ocorrências em outro intervalo.
A esperança e a variância de uma variável aleatória Y com distribuição de Poisson Poi(λ) são dadas, respectivamente, por: E(Y ) = λ e V (Y ) = λ
Exemplo 1 Um departamento de poĺıcia recebe em média 5 solicitações por hora. Qual a probabilidade de receber 2 solicitações numa hora selecionada aleatoriamente?
Exemplo 2 A experiência passada indica que um número médio de 6 clientes por hora abastecem em uma bomba de um posto de gasolina. a) Qual é a probabilidade de 3 clientes abastecerem na bomba a qualquer hora? b) Qual é a probabilidade de 3 clientes ou menos abastecerem na bomba a qualquer hora? c) Qual a probabilidade de 2 a 4 clientes abastecerem na bomba a qualquer hora?
Distribuição Poisson Exemplo Uma generalização importante da distribuição binomial ocorre quando há mais de dois resultados possíveis; As probabilidades dos vários resultados permanecem as mesmas para cada realização e as realizações são todas independentes.
Exemplo Se há k resultados possíveis para cada realização e suas probabilidades são p 1, p 2,..., p k, pode ser mostrado que a probabilidade de y 1 resultados do primeiro tipo, y 2 resultados do segundo tipo,..., e y k resultados do k-ésimo tipo, em n tentativas, é dado por P(Y 1 = y 1, Y 2 = y 2,..., Y k = y k ) = n! y 1!y 2!... y k! py 1 1.py 2 2... py k k Notação: Y Mult k (n, p 1, p 2,..., p k ).
Exemplo O valor esperado e a variância do número de vezes em que o índice i é observado são dados por: E(Y ) = np i e V (Y ) = np i (1 p i )
Exemplo Exemplo 1 A rede de TV aberta de uma grande cidade tem 30% da audiência nas noites de sexta-feira, um canal local tem 20%, a TV a cabo tem 40% e 10% assistem NetFlix. Qual é a probabilidade de que, entre sete espectadores de televisão selecionados aleatoriamente naquela cidade numa noite de sexta-feira, dois estejam assistindo TV aberta, um esteja assistindo ao canal local, dois estejam vendo TV a cabo e dois estejam assistindo pelo NetFlix?
Distribuição Poisson Exercício 1 Dado que um banco recebe em média 6 cheques sem cobertura por dia, qual é a probabilidade de receber quatro cheques sem cobertura em um dia qualquer?
Exercício 2 A quantidade de reclamações encaminhadas por dia a uma lavanderia a seco é, em média, 3, 2, e segue uma distribuição de Poisson. Encontre as probabilidades de que, num dado dia, sejam encaminhadas à lavanderia a) somente duas reclamações; b) no máximo duas reclamações.
Exercício 3 Um carro sendo testado num posto de inspeção estadual tem probabilidades de 0,70, 0,20 e 0,10 de ser aprovado na primeira, segunda e terceira tentativas, respectivamente. Qual é a probabilidade de que dentre dez carros sendo testados, seis sejam aprovados na primeira tentativa, três sejam aprovados na segunda e um seja aprovado na terceira?