Pré-Seleção OBM Nível 3

Aluno (a) Pré-Seleção OBM Nível 3 Questão 1. Hoje é sábado. Que dia da semana será daqui a 99 dias? a) segunda-feira b) sábado c) domingo d) sexta-feira e) quinta feira Uma semana tem 7 dias. Assim, se dividirmos 99 por 7 temos a quantidade de semanas. O resto nos dará a quantidade de dias que se passam depois de sábado. semanas, sobra 1 dia. Como estamos contando uma semana que termina no sábado, mais um dia temos DOMINGO. Gabarito: c Questão 2. 0,4444... a) 0,2222 b) 0,3333 c) 0,4444 d) 0,5555 e) 0,6666 Gabarito: e Questão 3. Um crime é cometido por uma pessoa e há quatro suspeitos: André, Eduardo, Rafael e João. Interrogados, eles fazem as seguintes declarações: André: Eduardo é o culpado. Eduardo: João é o culpado. Rafael: Eu não sou culpado. João: Eduardo mente quando diz que eu sou culpado. Sabendo que apenas um dos quatro disse a verdade, quem é o culpado? a) André. b) Eduardo.

2 c) Rafael. d) João. e) Não se pode saber. Analisemos: Apenas Eduardo ou João podem estar falando a verdade, pois uma fala nega a outra. Se André ou Eduardo estão falando a verdade, então ou Eduardo é culpado ou João o é. E, Rafael estão mentindo. Mas se Rafael está mentindo, então ele é o culpado. Chegamos em um absurdo, já que só podemos ter um culpado. Assim, André e Eduardo estão mentindo. Se João está falando a verdade, então André, Eduardo e Rafael estão mentindo. Como Rafael está mentindo e diz que ele não é o culpado, então o culpado é ele. Gabarito: c Questão 4. Um número inteiro n é bom quando 4n + 1 é um múltiplo de 5. Quantos números bons há entre 500 e 1.000? a) 0 b) 51 c) 100 d) 101 e) 102 Um número é bom quando o quádruplo dele mais um é múltiplo de 5. Mas, para ser múltiplo de 5, o número deve ter o algarismo das unidades igual a 0 ou 5. Logo, os números que procuramos são tais que ao multiplicá-los 4, resultem em um número cujo algarismo das unidades é igual a 4 ou 9. Desta forma, ao somarmos 1 a estes números obteremos um número terminado em 0 ou 5. Vejamos: quando multiplicamos algum número por 4 só obtemos números em que os algarismos das unidades são iguais a 0, 2, 4, 6, e 8. Assim, procuramos números que ao serem multiplicados por 4 tenham os algarismos das unidades igual a 4. Tais números devem, desta forma, terem algarismos das unidades iguais a 1 ou 6. Assim, os números são:

3 Ou seja, a cada 10 números, 2 são bons. Entre 500 e 1000 temos 500 números e, com isto, 100 números bons. Gabarito: c Questão 5. A soma das raízes reais de é: a) b) c) d) e) Pelo método de Tartaglia encontramos duas raízes complexas e uma real. Questão 6. Vendi dois rádios por preços iguais. Em um deles tive lucro de 25% sobre o preço de compra e no outro tive prejuízo de. Em relação ao capital investido: a) não tive lucro nem prejuízo b) lucrei c) lucrei d) tive prejuízo de e) tive prejuízo de Como o total é 100%, então eu tive prejuízo de 6,25%. Questão 7. Um serralheiro tem 10 pedaços de 3 elos de ferro cada um, mostrados abaixo. Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar um elo o serralheiro leva 5 minutos. Quantos minutos no mínimo ele levará para fazer a corrente? a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50

4 Abrindo uma cadeia de três elos, o serralheiro emenda 4 cadeias de 3 elos, formando um pedaço de 15 elos. Por isso, com 6 elos, ele forma dois pedaços de 15 elos; abrindo mais um elo de um desses pedaços, ele emenda 15 com 14, formando a corrente de 30 elos. Levará portanto 75= 35 minutos. Para verificar que não é possível em menos tempo, basta observar que, abrindo 6 elos, restam pelo menos 8 pedaços formados por 1, 2 ou 3 elos fechados e que necessitam de pelos menos 7 elos abertos para serem ligados. Gabarito: b Questão 8. O número de soluções inteiras distintas da equação é: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 Observemos que a base da potência no lado esquerdo da igualdade é par. Como o expoente da potência é inteiro e positivo (é igual a (x 1) 2 + 1), temos que a base, em módulo, é menor ou igual a 4, sendo então igual a 2, 2 ou 4. Assim, a equação dada é equivalente a, onde temos x = 0 ou x = 2;, onde não apresenta solução;, onde temos x = 1. Assim, a equação admite três soluções inteiras distintas. Questão 9. Se x e y são números reais positivos, qual dos números a seguir é o maior? a) b) c) d) e) Temos. Assim, como,

5 Gabarito: c Questão 10. Na figura, as distâncias entre dois pontos horizontais consecutivos e as distâncias entre dois pontos verticais consecutivos são iguais a 1. A região comum ao triângulo e ao quadrado tem área: a) b) c) d) e) G C B F A D E Temos que. Logo. Temos também que. Logo a área do triângulo é e, portanto, a área desejada é. Questão 11. Escrevemos uma lista com todos os números inteiros de 1 a 30, inclusive. Em seguida, e- liminamos alguns destes números de forma que não sobrem dois números tais que um seja o dobro do outro. Qual é a quantidade máxima de inteiros que podem permanecer na lista? a) 15 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21 Considere os seguintes conjuntos: ; ;

2 ; ; Cada conjunto contém números que são o dobro de algum número do mesmo conjunto. Observemos que podemos tomar todos os números dos conjuntos de A 9 a A 15, somente um dos dois elementos dos conjuntos A 5 a A 8, dois elementos dos conjuntos de A 2 a A 4, e três elementos do conjunto A 1. Portanto podemos tomar no máximo 7 + 4 + 3 2 + 3 = 20 elementos. Questão 12. Sejam a e b números reais positivos tais que a) é igual a. b) é igual a. c) é menor que. d) é maior que mas menor que 1. e) pode ser maior que 1.. Então Como, temos. Portanto, como e Questão 13. Seja f uma função real que tem as seguintes propriedades: i) Para todos reais, ii) Quanto vale a) 0 b) 2 c) 1998 d) 2000 e) 2002, temos que é maior que mas menor que. Fazendo x = 2000 e y = 0, temos f(2000 + 0) = 2000 + f(0) = 2000 + 2 = 2002. Gabarito: e Questão 14. Considere a seguinte seqüência: 27 333 207 33 23 2007 33 223 20007 33 2223

Qual dos seguintes inteiros é um múltiplo de 81? a) 200.007 b) 20.000.007 c) 2.000.000.007 d) 200.000.000.007 e) 20.000.000.000.007 2 Se 200...07 3322... 23 deve ser múltiplo de 81, o número 22...23 deve ser múltiplo de 9. Perceba que número de algarismos zero em 200...07 é o mesmo número de algarismos 2 em 22...23, assim o problema se resume a verificar a divisibilidade de 22...23 por 9, ou seja, quando 2 z 3 é múltiplo de 9, sendo z o número de zeros de 200...07. Isso se verifica para o número 20.000.000.000.007, com 12 zeros. Gabarito: e Questão 15. O desenho abaixo mostra um semicírculo e um triângulo isósceles de mesma área. Qual é o valor de? x o a) 1 b) c) d) e) Sendo o raio do semicírculo e a altura do triângulo em relação à base, cujo comprimento, sabemos que as áreas são iguais:. Mas logo,. Gabarito: e Questão 16. Um episódio muito conhecido na Matemática foi quando ao visitar o grande matemático Ramanujam no hospital, o outro grande matemático Hardy disse que o número do táxi que o trouxe, 1729, era um número sem graça; Ramanujam respondeu prontamente: Não diga isso, Hardy! 1729 é o menor número inteiro positivo que pode ser escrito como soma de dois cubos perfeitos positivos de duas maneiras diferentes! De fato, 1729 = 10 3 + 9 3 = 12 3 + 1 3. Um outro episódio não muito conhecido na Matemática foi quando o pequeno matemático Muralijam foi visitado pelo outro pequeno matemático Softy, que disse que o número do lotação que o trouxe era

3 um número sem graça. Muralijam responde imediatamente: Não, Softy, ele é o menor inteiro positivo que pode ser escrito como soma de dois quadrados perfeitos positivos de duas maneiras diferentes! A que número Muralijam e Softy se referem? a) 18 b) 41 c) 45 d) 50 e) 65 Os quadrados perfeitos necessários para verificar as alternativas são: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64. Vamos fazer uma tabela com a soma de cada dois deles e verificar qual o primeiro inteiro que ocorre como soma de dois pares distintos de quadrados perfeitos (só precisamos de uma parte da tabela): 1 4 9 16 25 36 49 64 1 2 5 10 17 26 37 50 65 4 5 8 13 20 29 40 53 68 9 10 13 18 25 34 45 58 73 16 17 20 25 32 41 52 65 80 25 26 29 34 41 50 61 74 89 36 37 40 45 52 61 72 85 100 49 50 53 58 65 74 85 98 113 64 65 68 73 80 89 100 113 128 Encontramos o número 50 como o menor deles. Questão 17. Dizemos que uma palavra Q é quase-anagrama de outra palavra P quando Q pode ser obtida retirando-se uma letra de P e trocando a ordem das letras restantes, resultando em uma palavra com uma letra a menos do que P. Um quase-anagrama pode ter sentido em algum idioma ou não. Por exemplo, RARO, RACR e ARCO são quase-anagramas de CARRO. Quantos são os quase-anagramas da palavra BACANA que começam com A? a) 48 b) 60 c) 72 d) 96 e) 120 Retirando-se um A, devemos achar anagramas de BACAN que começam com A, que são 4!=24. Retirando-se um B, devemos achar anagramas de ACANA que começam com A, que são 4!/2!=12. Retirando-se C ou N, obtemos também 12 anagramas começados com A. Esses anagramas obtidos são quase-anagramas de BACANA, um total de 60 quase-anagramas. Gabarito: b

4 Questão 18. Todo número real a pode ser escrito de forma única como, em que é inteiro e. Chamamos parte inteira de a e parte fracionária de a. Se, e, quanto vale? a) b) c) d) e) Somando as equações e juntando partes fracionárias com partes inteiras obtemos. Extraindo as possíveis partes fracionárias das equações dadas e dessa nova obtida, temos as seguintes possibilidades: ; ; ;. Se, teríamos, o que não fornece solução. Assim,. Reescrevendo o sistema para as variáveis, temos. Gabarito: b Questão 19. Os pontos L, M e N são pontos médios de arestas do cubo, como mostra a figura. Quanto mede o ângulo LMN? N M a) 90 o b) 105 o c) 120 o d) 135 o e) 150 o L Seja uma paralela às arestas verticais do cubo. Sendo a medida da aresta do cubo, pelo teorema de Pitágoras, e.

5 Pela lei dos co-senos,. Logo o ângulo mede. Gabarito: c Questão 20. Na figura, a reta PQ toca em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta PQ em R. Se LM = LN e a medida do ângulo PNL é, < 60 o, quanto mede o ângulo LRP? L M P N R Q a) b) c) d) e) ANULADA Deveria ser > 60 o Questão 21. As letras O, B e M representam números inteiros. Se O B M = 240, O B + M = 46 e O + B M = 64, quanto vale O + B + M? a) 19 b) 20 c) 21 d) 24 e) 36 Sabendo que e. Sendo O, B e M inteiros, a única possibilidade é e. Assim,. Gabarito: b

6 Questão 22. Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação x y x y Qual das alternativas apresenta um possível valor de y? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 1 1 1 2 2. Elevando ambos os membros ao quadrado: Desenvolvendo o produto notável: Elevando ambos os membros ao quadrado: A única alternativa que contém um número da forma é a alternativa C. Gabarito: c Questão 23. Platina é um metal muito raro, mais raro até do que ouro. Sua densidade é 21,45 g/cm 3. Suponha que a produção mundial de platina foi de cerca de 110 toneladas em cada um dos últimos 50 anos e desprezível antes disso. Assinale a alternativa com o objeto cujo volume é mais próximo do volume de platina produzido no mundo em toda a história. a) uma caixa de sapatos b) uma piscina c) um edifício de dez andares d) o monte Pascoal e) a Lua O volume de platina produzido na história é

7 Tal volume é mais próximo ao de uma piscina (por exemplo, uma piscina com 1,6 m de profundidade, 16 m de largura e 10 m de comprimento). Gabarito: b Questão 24. Esmeralda adora os números triangulares (ou seja, os números 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28 ), tanto que mudou de lugar os números do relógio de parede do seu quarto de modo que a soma de cada par de números vizinhos é um número triangular. Ela deixou o 12 no seu lugar original. Que número ocupa o lugar que era do 6 no relógio original? a) 1 b) 4 c) 5 d) 10 e) 11 Os seguintes pares de números têm soma igual a algum número triangular: Assim, observando em quais pares aparecem o número 12, observamos que seus vizinhos são obrigatoriamente 3 e 9. Da mesma forma, o outro vizinho do 3 é o7; o outro vizinho do 7 é 8; o outro vizinho do 8 é 2. Além disso, como o 6 só está nos pares os vizinhos de 6 são obrigatoriamente 4 e 9. Assim, supondo sem perda de generalidade que 3 está à direita de 12, temos os seguintes números no relógio: Considerando que 4 e 2 não podem ser vizinhos, concluímos que o outro vizinho do 4 é 11. Continuando, temos que o outro vizinho do 11 é 10; o outro vizinho do 10 é 5; outro vizinho do 5 é 1. E podemos completar o relógio:

8 Assim, o número que ocupa a posição original do 6 é o 5. Note que esse número ainda seria 5 se trocássemos as posições dos vizinhos do 12. Gabarito: c Questão 25. Os termos de uma seqüência de inteiros positivos satisfazem a relação a n+3 = a n+2 (a n+1 + a n ) para n = 1, 2, 3 Se a 5 = 35, quanto é a 4? a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 Sejam e. Então e, ou seja,. Sendo e inteiros positivos, e são maiores que 1 e também são divisores de. Assim, como 35 não pode ser escrito como produto de três inteiros maiores que 1,. Portanto, como é pelo menos 1, é maior ou igual a, de modo que e. Logo, Questão 26. Um professor de inglês dá aula particular para uma classe de 9 alunos, dos quais pelo menos um é brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos para fazer uma apresentação, terá no grupo pelo menos dois alunos de mesma nacionalidade; se escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de mesma nacionalidade. Quantos brasileiros existem na classe? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Suponha que haja alunos de 4 ou mais nacionalidades entre os 9 alunos da classe. Se escolhermos um aluno de cada nacionalidade não haverá dois alunos da mesma nacionalidade, o que é um absurdo. Logo, há alunos de no máximo 3 nacionalidades.

9 Da mesma forma, entre os 9 alunos não há 4 da mesma nacionalidade, pois se houvesse poderíamos formar um grupo de 5 alunos com mais de 3 alunos de mesma nacionalidade. Logo, há no máximo 3 alunos de cada nacionalidade. Como há 9 alunos, no máximo 3 alunos por nacionalidade, há exatamente 3 nacionalidades e 3 alunos de cada nacionalidade. Em particular, há 3 alunos brasileiros. Gabarito: c Questão 27. A função f é dada pela tabela a seguir. Por exemplo,. Quanto vale 2004 vezes a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 1 2 3 4 5 4 1 3 5 2 f ( f (...( f ( f (4))...))? Logo, como 2004 é múltiplo de 4, este ciclo se repetirá até a 2004º vez, que terá como resultado 4. Questão 28. Seja AB um segmento de comprimento 26, e sejam C e D pontos sobre o segmento AB tais que AC = 1 e AD = 8. Sejam E e F pontos sobre uma semicircunferência de diâmetro AB, sendo EC e FD perpendiculares a AB. Quanto mede o segmento EF? a) b) c) d) e)

10 Sendo G a projeção ortogonal de E sobre o segmento DF, então EG = 7. 2 2 Como AEB é um triângulo retângulo em E, EC AC CB EC 125 EC 5. 2 2 Como AFB é um triângulo retângulo em F, DF AD DB DF 818 DF 12. Logo FG = DF EC = 7 e EF 2 = EG 2 + GF 2 EF =. Questão 29. O produto dos números que aparecem nas alternativas incorretas dessa questão é um cubo perfeito. Assinale a alternativa correta. a) 4 b) 8 c) 18 d) 54 e) 192 2 3 2 3 6 13 6 481854 192 (2 ) (2 ) (23 ) (23 ) (2 3) 2 3 Como o produto das incorretas é um cubo perfeito, os expoentes que aparecem na fatoração deste produto em primos devem ser múltiplos de 3. Logo 13 6 a b 2 3 13a 6b a alternativa correta deve ser da forma 2 3, onde 2 3 é tal que 13 a e 6 b são múltiplos de 3 a 1 e b são múltiplos de 3. a b 2 3 Assim, a alternativa correta é a que apresenta 54 = 2 3 3. Questão 30. Qual é o menor inteiro positivo n para o qual qualquer subconjunto de n elementos de contém dois números cuja diferença é 8? a) 2 b) 8 F c) 12 d) 13 E G e) 15 7 A 1 C 7 D 18 B Considere os subconjuntos {1, 9, 17}; {2, 10, 18}, {3, 11, 19}, {4, 12, 20}; {5, 13}; {6, 14}; {7, 15}; {8, 16}. Dos quatro primeiros podemos tomar no máximo 2 elementos e dos demais no máximo 1 de modo a não haver dois números cuja diferença é 8. Logo o menor inteiro n é 42 411 13. Questão 31. Sejam

11 e Qual é o inteiro mais próximo de? a) 500 b) 501 c) 999 d) 1000 e) 1001 Façamos Agora, observemos que Portanto, o inteiro mais próximo de é 501. Gabarito: b Questão 32. Uma ampulheta é formada por dois cones idênticos. Inicialmente, o cone superior está cheio de areia e o cone inferior está vazio. A areia flui do cone superior para o inferior com vazão constante. O cone superior se esvazia em exatamente uma hora e meia. Quanto tempo demora até que a altura da areia no cone inferior seja metade da altura da areia no cone superior? a) 30min b) 10h c) 1h03min20s d) 1h10min12s e) 1h14min30s 2h h Quando a altura da areia no cone interior é a metade da altura da areia no cone superior, passaram 3 2 19 para o cone inferior 1 do volume total de areia. 3 27

12 Portanto demora 19 19 1h30min 5400s 3800s 1h03min 20s. 27 27 Gabarito: c Questão 33. A função real f, definida nos inteiros, satisfaz, para todo n inteiro. Quanto vale a) 17 b) 0 c) 1 d) 2 e) 9 Fazendo n = 0, temos f(0) f(2) = 9 Fazendo n = 2, temos f(2) 3f(0) = 25 Somando as duas igualdades, obtemos 2f(0) = 34, e logo f(0) = 17. Gabarito: a Questão 34. Para n inteiro positivo, definimos n! (lê-se n fatorial ) o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. Por exemplo, 6! = 1 2 3 4 5 6. Se n! = 2 15 3 6 5 3 7 2 11 13, então n é igual a a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 Observemos que todos os números primos menores ou iguais a n aparecem na fatoração de n!. Como 17 não é fator de n!, temos n < 17. Alem disso, como n! tem 3 fatores 5 e os três primeiros múltiplos de 5 são 5, 10 e 15, que não têm mais de um fator 5, temos n 15. Logo n = 15 ou n = 16. Como há 16 8 2 números pares menores ou iguais a 16, sendo 16 4 4 múltiplos de 4, 16 2 8 múltiplos de 2 e 1 múltiplo de 16, 16! admite 8 + 4 + 2 + 1 = 15 fatores 2, logo n = 16. Questão 35. Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois bastões verticais, como mostra a figura.

13 75 x 30 126 Qual a medida do ângulo x? a) 39º b) 41º c) 43º d) 44º e) 46º Trace retas horizontais pelos vértices mais baixos dos três quadrados: 75º x 30º 126º Então os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da esquerda são 60º e 30º, respectivamente; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado do meio são respectivamente 180º 126º 30º = 24º e 90º 24º = 66º; os ângulos à esquerda e à direita do vértice do quadrado da direita são respectivamente 180º 75º 66º = 39º e 90º 39º = 51º. Enfim, no triângulo retângulo com um dos ângulos igual a x, temos x = 90º 51º = 39º. Gabarito: a