O olhar geométrico na atividade de ensino de trigonometria Dayana Mara Santos Cruz Universidade de São Paulo (dayana.cruz@usp.br) Victor José de Oliveira - Universidade de São Paulo (email@email.com.br) Esther de Almeida Prado Rodrigues - Universidade de São Paulo Financiamento/Apoio: PIBID CAPES Modalidade: Comunicação Relato de Experiência RESUMO Este texto relata as dificuldades que nós, bolsistas do PIBID Matemática USP encontramos ao propor atividades sobre o triângulo retângulo em três 2ª séries do ensino médio de uma escola pública estadual paulista. Foi necessário rever e propor atividades que possibilitassem aos alunos desenvolver um olhar geométrico para os elementos do triângulo retângulo, isto é, identificar os catetos, hipotenusa, ângulo reto e ângulos agudos em qualquer posição que o triângulo retângulo se encontre. Com o objetivo de desenvolver essa habilidade realizamos uma série de atividades que necessitavam de especial atenção do aluno para esses elementos. O replanejamento das atividades iniciais propostas nos auxiliou, enquanto futuros professores, a perceber as dificuldades dos alunos e as nossas próprias dificuldades na elaboração de atividades de ensino de geometria. INTRODUÇÃO Nossa experiência na iniciação à docência no PIBID USP Matemática São Carlos, Grupo de Geometria, nos proporcionou uma reflexão mais atenta sobre as nossas dificuldades para entender as dificuldades dos alunos da educação básica em relação à geometria e a necessidade de propor atividades que as intermediassem.
No 1º bimestre de 2016 elaboramos atividades de ensino de geometria, onde o objetivo era tratar das relações trigonométricas, para três turmas da 2ª série do ensino médio, de uma escola pública estadual paulista. O início do desenvolvimento dessas atividades ocorreu com a retomada do Teorema de Pitágoras e observamos, logo na primeira aula, que os alunos tinham dificuldades anteriores à trigonometria, como por exemplo, entender o triângulo retângulo e seus elementos, catetos, hipotenusa, ângulo reto e ângulos agudos. Essas dificuldades dos alunos ficaram evidentes para nós bolsistas quando alterávamos a posição ou os nomes dos lados do triângulo retângulo. Para os alunos o x era, na maioria das vezes, a indicação da hipotenusa, mesmo que não estivesse no lado oposto ao ângulo reto. Assim, o nosso grupo de geometria, a partir dessa experiência em sala de aula e também das nossas próprias experiências como alunos, percebeu que era necessário refazer nosso Plano de Aulas de modo a desenvolver, o que denominamos por olhar geométrico, isto é, uma leitura mais detalhada do triângulo retângulo e seus elementos. A nova versão do Plano de Aulas consistiu em criar atividades nas quais seriam identificados os elementos do triângulo retângulo, seus vértices, ângulos reto e agudos, catetos e hipotenusa em diferentes posições. Durante nossas reuniões semanais com a orientadora e todos os pibidianos do grupo de geometria, verificamos que seria também necessário elaborar atividades para que os alunos da educação básica identificassem se um cateto é adjacente ou oposto a um determinado ângulo. Pois só quando fomos desenvolver as atividades com os alunos é que percebemos que nós também tínhamos dificuldades com o nosso vocabulário para explicarmos a diferença entre cateto adjacente ou oposto. Essas dificuldades poderiam se agravar ainda mais quando trabalhássemos com as relações trigonométricas, onde são necessárias habilidades geométricas para identificação dos catetos, tomando os diferentes
ângulos agudos como base. Pensando nisso, juntamente com a orientadora e demais pibidianos, optamos por trabalhar com os alunos do 2º ano do ensino médio, o olhar geométrico no triângulo retângulo. Essas atividades tiveram por objetivo desenvolver no aluno a capacidade de olhar para o triângulo retângulo e rapidamente identificar seus lados e ângulos independente da posição em que o triângulo se encontra. MATERIAIS E MÉTODOS O PIBID USP Matemática São Carlos trabalha com 5 horas aulas em cada série/ano por bimestre, dividimos as atividades em 5 aulas, sendo uma por semana, onde em cada aula tínhamos um objetivo. Neste texto vamos relatar algumas etapas das atividades desenvolvidas no 1º bimestre de 2016 que necessitaram de retomadas mais efetivas da nossa parte para favorecer a compreensão dos alunos. Como estávamos atuando em dupla na sala de aula, organizamos a nossa atuação da seguinte forma, enquanto um bolsista propunha e desenvolvia a atividade para a classe, o outro bolsista atendia as solicitações dos alunos individualmente, tentando sanar o máximo de dúvidas possível. Cada dia alternávamos as nossas funções para que ambos pudéssemos ter as mesmas experiências e tirarmos nossas conclusões com base nelas. RESULTADOS E DISCUSSÕES/ OU DESENVOLVIMENTO Na primeira aula começamos com o desenvolvimento do Teorema de Pitágoras. Acreditávamos que nossa proposta seria mais fácil do que as que eles já haviam estudado em anos anteriores. Principalmente com relação ao triângulo retângulo, pois seria uma retomada de um conceito já abordado em anos anteriores. Para tornar o conteúdo um pouco mais interessante iniciamos
a aula com a história do teorema de Pitágoras, e suas demonstrações em diversos países. Os alunos ficaram interessados na história e para chamar mais atenção fizemos a aula em slides colocando animações e sons e algumas imagens representativas. Após a breve introdução com a história iniciamos o estudo do teorema de Pitágoras com uma demonstração que consistiu em um triângulo formado pelos vértices de 3 quadrados, conforme a Figura 1, a seguir. A partir dessa imagem conseguimos demonstrar que a soma da área dos dois quadrados menores é igual a área do quadrado maior. Escolhemos fazer essa demonstração, porque muitas vezes os alunos apenas decoram a fórmula de Pitágoras, mas não sabem o seu significado, eles ficaram impressionados quando mostramos sua origem e comentavam agora entendi. Figura 1. Fonte: http://www.estudokids.com.br/teorema-de-pitagoras/. A segunda parte da aula foi a identificação das partes do triângulo retângulo e em seguida propusemos exercícios. Nos surpreendemos, pois foi a parte que os alunos tiveram muita dificuldade. Conseguiam identificar os
catetos, a hipotenusa, os ângulos, porém quando alterávamos a posição do mesmo triângulo eles se perdiam ou começavam a misturar cateto oposto com o cateto adjacente. Nesse momento entendemos que era necessário retomar os elementos do triângulo retângulo e desenvolver o que denominamos por olhar geométrico dos alunos para esses elementos, assim optamos por não dar prosseguimento ao teorema de Pitágoras. Entendemos que desenvolver o olhar geométrico dos alunos é dar atenção especial atenção aos elementos geométricos, neste caso do triângulo retângulo, necessários para desenvolver o Teorema de Pitágoras e as relações trigonométricas como seno, cosseno e tangente. Inicialmente optamos por dar visibilidade apenas (a) ao ângulo de 90º graus, (b) aos lados que formam o ângulo de 90º que são sempre os catetos e (c) ao outro lado, o lado oposto ao ângulo reto, que une um cateto ao outro, que é a hipotenusa. Propusemos uma série de situações nas quais os alunos deveriam marcar os elementos do triângulo retângulo. Desenhamos os triângulos retângulos em diferentes posições e neles deveriam ser anotados seus catetos e sua hipotenusa. Destacamos dois exemplos, como nas Figuras 2 e 3. HIPOTENUSA HIPOTENUSA Figuras 2 e 3. Fonte própria
Como outra forma de determinar a hipotenusa no triângulo retângulo sugerimos que os alunos traçassem uma reta partindo do vértice do ângulo de 90º graus, diferente dos outros dois lados que formam o ângulo reto, o lado que essa reta cruzar é a hipotenusa, como na Figura 4. A partir dessas atividades, os alunos começaram a compreender a diferença entre catetos e hipotenusa. Foram elaborados vários exemplos e atividades para desenvolver o olhar geométrico nos triângulos retângulos e seus elementos. HIPOTENUSA. Figura 4. Fonte própria A terceira parte da aula foi para identificar as partes do triângulo fixando um dos ângulos agudos, determinando seu cateto oposto e seu cateto adjacente. Essa parte foi ainda mais difícil para os alunos, pois eles já tinham dificuldade com algo fixo como o ângulo reto que é bem visível no triângulo, mas os ângulos agudos são dois, e sua posição pode variar de acordo com o ângulo fixado e a posição do triângulo, como indicado na Figura 5.
α HIPOTENUSA. β Figura 5. Fonte própria Retomamos a explicação, mas logo percebemos que a maioria dos alunos não havia compreendido, porque ao mostramos determinado triângulo e fixando um ângulo perguntarmos quem é o cateto oposto ao ângulo α? Eles sabiam responder, porém ao indicarmos o outro ângulo, o β, eles já se confundiam e erravam os lados oposto e adjacente. Ficou evidente que muitos alunos estavam dando respostas por tentativas e erros, sem pensar na posição desses elementos. Foi necessário retornar às explicações com os triângulos alterando suas posições iniciais. Os exercícios que propusemos nesta etapa foram os mais longos e mais importantes, pois foram os que desenvolviam o olhar geométrico com vários elementos do triângulo retângulo, como ângulos reto e agudos, catetos oposto e adjacente e a hipotenusa, simultaneamente. O primeiro exercício consistiu em uma série de triângulos com a variável a indicando um de seus elementos, que podia ser cateto, hipotenusa, ângulo reto ou um dos ângulos agudos. O aluno deveria dizer que parte do triângulo estava sendo indicado pela variável a. Nos primeiros triângulos os alunos apresentaram dificuldade, ainda confundiam um pouco, mas conforme foram resolvendo as atividades, consultando os pibidianos e os colegas começaram a compreender a função da variável a em determinada posição, muitos comentavam professora, entendi, é muito fácil.
O exercício seguinte teve como foco a construção da relação de Pitágoras para triângulos em diferentes posições, sem se importar com a variável que denominava seus lados. A outra grande dificuldade que percebemos foi que os alunos geralmente se prendem à relação c 2 = a 2 + b 2 se esquecendo do significado dessas variáveis, isto é, quais elementos do triângulo retângulo estão representados por essas variáveis. Observando essa dificuldade desenvolvemos uma atividade com uma série de triângulos retângulos em diversas posições. Sendo que todos tinham seus lados denominados por a, b e c, porém as variáveis foram distribuídas aleatoriamente. Muitos alunos tentaram fazer esse exercício sozinho e erraram, então orientamos que deveriam olhar apenas para o ângulo de 90º graus, ele definira os catetos e a hipotenusa. Após identificados os catetos e a hipotenusa é que escreveriam a relação de Pitágoras como (hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2 usando as variáveis que estiverem denominando os lados respectivamente, como nas Figuras 6 e 7, a seguir. c b a c a b (hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2 (hipotenusa) 2 = (cateto) 2 + (cateto) 2 (b) 2 = (a) 2 + (c) 2 (c) 2 = (a) 2 + (b) 2 b 2 = a 2 + c 2 c 2 = a 2 + b 2 Figuras 6 e 7. Fonte Própria Após essa orientação os alunos retomaram a resolução das atividades com menor incidência de erros. A próxima atividade apresentava uma série de triângulos onde os alunos deveriam identificar cateto oposto, cateto adjacente e
hipotenusa em relação ao ângulo indicado, os alunos conseguiram resolver esse exercício com certa facilidade. CONCLUSÕES A partir das dificuldades manifestadas pelos alunos das 2ª séries do ensino médio, logo na primeira aula, entendemos que era preciso alterar nosso Plano de Aulas e propor atividades de ensino de geometria que possibilitassem desenvolver o olhar geométrico do aluno, isto é, desenvolver habilidades para a leitura da figura e de seus elementos. Para nós pibidianos foi possível entender que ao elaborarmos o Plano de Aulas com as indicações da escola, do professor da classe e do orientador do nosso grupo, é necessário pensar nas habilidades geométricas que muitas vezes os alunos da educação básica não têm. Desenvolver o olhar geométrico evidenciando os elementos do triângulo retângulo e suas funções nos auxiliaram a pensar a geometria como um conceito que também tem uma linguagem própria e como tal necessita que a linguagem geométrica se torne visível e acessível aos alunos em todas as etapas da educação básica. Pois para nós foi uma situação nova os alunos da 2ª série do ensino médio não conseguirem localizar os elementos do triângulo retângulo. O replanejamento das atividades iniciais propostas nos auxiliou, enquanto futuros professores, a perceber as dificuldades dos alunos e as nossas próprias dificuldades na elaboração de atividades de ensino de geometria. Acreditamos que a observação das dúvidas dos alunos, a reorganização do nosso Plano de Aulas tendo como foco o olhar geométrico nos elementos do triângulo retângulo, contribuiu para a nossa formação docente e uma melhor aprendizagem dos alunos.
REFERÊNCIAS SMOLE, S. Kátia; Diniz, I. Maria. Matemática: manual do professor vol. 1, 6º Ed. São Paulo 2010. RIBEIRO, Jakcson. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, 1: ensino médio / Jackson Ribeiro. - São Paulo: Scipione, 2010. http://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-teoremapitagoras.htm e http://vestibular.brasilescola.uol.com.br/enem/seno-cosseno-tangente-noenem.htm